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专题12一次函数【专题目录】技巧1：一次函数常见的四类易错题技巧2：一次函数的两种常见应用技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【题型】一、正比例函数的定义【题型】二、正比例函数的图像与性质【题型】三、一次函数的定义求参数【题型】四、一次函数的图像【题型】五、一次函数的性质【题型】六、求一次函数解析式【题型】七、一次函数与一元一次方程【题型】八、一次函数与一元一次不等式【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）【题型】十、一次函数的实际应用【考纲要求】1、理解一次函数的概念，会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．2、会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义一次函数与正比例函数一次函数与正比例函数的定义如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质.一次函数与正比例函数的关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。
它可以由直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为⎪⎭⎫⎝⎛-0,kb，与y轴的交点为(0,b).【考点总结】二、一次函数的图象与性质【注意】1、确定一次函数表达式用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:（1）由题意设出函数的关系式;（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.2、y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．3、y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．4、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．【技巧归纳】技巧1：一次函数常见的四类易错题【类型】一、忽视函数定义中的隐含条件而致错1．已知关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，求m 的值．2．已知关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，求k 的值．【类型】二、忽视分类或分类不全而致错3．已知一次函数y ＝kx ＋4的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求这个一次函数的表达式．4．一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，对应的函数值的取值范围为1≤y≤9，求k ＋b 的值．5．在平面直角坐标系中，点P(2，a)到x 轴的距离为4，且点P 在直线y ＝－x ＋m 上，求m 的值．【类型】三、忽视自变量的取值范围而致错6．若等腰三角形的周长是80cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm )与底边长x(cm )的函数关系的图像是()7．若函数y 2＋6（x≤3），（x>3），则当y ＝20时，自变量x 的值是()A ．±14B ．4C ．±14或4D ．4或－148．现有450本图书供给学生阅读，每人9本，求余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式，并求自变量x 的取值范围．【类型】四、忽视一次函数的性质而致错9．若正比例函数y ＝(2－m)x 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是()A ．m<0B ．m>0C ．m<2D ．m>210．下列各图中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx(m ，n 是常数，且mn≠0)的大致图像的是()11．若一次函数y ＝kx ＋b 的图像不经过第三象限，则k ，b 的取值范围分别为k________0，b________0.参考答案1．解：因为关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，所以m ＋3≠0且|m ＋2|＝1，解得m ＝－1.2．解：若关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，则有以下三种情况：①－2k ＋3＝1，解得k ＝1，当k ＝1时，函数y ＝kx －2k ＋3－x ＋5可化简为y ＝5，不是一次函数．②x－2k ＋3的系数为0，即k ＝0，则原函数化简为y ＝－x ＋5，是一次函数，所以k ＝0.③－2k ＋3＝0，解得k ＝32，原函数化简为y ＝－x ＋132，是一次函数，所以k ＝32.综上可知，k 的值为0或32.3．解：设函数y ＝kx ＋4的图像与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，坐标原点为O.当x ＝0时，y ＝4，所以点B 的坐标为(0，4)．所以OB ＝4.因为S △AOB ＝12OA·OB ＝16，所以OA ＝8.所以点A 的坐标为(8，0)或(－8，0)．把(8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝8k ＋4，解得k ＝－12.把(－8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝－8k ＋4，解得k ＝12.所以这个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋4或y ＝12x ＋4.4．解：①若k>0，则y 随x 的增大而增大，则当x＝1时y＝9，即k＋b＝9.②若k<0，则y随x的增大而减小，则当x＝1时y＝1，即k＋b＝1.综上可知，k＋b的值为9或1.5．解：因为点P到x轴的距离为4，所以|a|＝4，所以a＝±4，当a＝4时，P(2，4)，此时4＝－2＋m，解得m＝6.当a＝－4时，同理可得m＝－2.综上可知，m的值为－2或6.6．D7.D8．解：余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式为y＝450－9x，自变量x的取值范围是0≤x≤50，且x为整数．9．D10.A11.<；≥技巧2：一次函数的两种常见应用【类型】一、利用一次函数解决实际问题题型1：行程问题1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300km；②乙车比甲车晚出发1h，却早到1h；③乙车出发后2.5h追上甲车；④当甲、乙两车相距50km时，t＝54或154.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图像，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h；(2)求线段DE对应的函数表达式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．题型2：工程问题3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图像如图所示．(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．(2)求乙组加工零件总量a的值．(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？题型3：实际问题中的分段函数4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3g，则超出部分可打八折．(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；(2)李阿姨要买一个质量不少于4g且不超过10g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值；某户居民上月用水8t，应交水费多少元？(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．【类型】二、利用一次函数解决几何问题题型4：利用图像解几何问题6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图像如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式；(3)当t为何值时，△APD的面积为10cm2?题型5：利用分段函数解几何问题)7．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D.如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.(当点P与点A或D重合时，y＝0)(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)画出此函数的图像．参考答案1．B2．解：(1)0.5(2)设线段DE对应的函数表达式为y＝kx＋b(2.5≤x≤4.5)．将D(2.5，80)，E(4.5，300)的坐标分别代入y＝kx＋b ＝2.5k＋b，＝4.5k＋b.＝110，＝－195.所以y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)．(3)设线段OA对应的函数表达式为y＝k1x(0≤x≤5)．将A(5，300)的坐标代入y＝k1x可得300＝5k1，解得k1＝60.所以y＝60x(0≤x≤5)．令60x＝110x－195，解得x＝3.9.故轿车从甲地出发后经过3.9－1＝2.9(h)追上货车．3．解：(1)设甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝kx，因为当x＝6时，y＝360，所以k ＝60，即甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝60x(0≤x≤6)．(2)a＝100＋100÷2×2×(4.8－2.8)＝300.(3)当工作2.8h时共加工零件100＋60×2.8＝268(件)，所以装满第1箱的时刻在2.8h后．设经过x1h恰好装满第1箱．则60x1＋100÷2×2(x1－2.8)＋100＝300，解得x1＝3.从x＝3到x＝4.8这一时间段内，甲、乙两组共加工零件(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)，所以x>4.8时，才能装满第2箱，此时只有甲组继续加工．设装满第1箱后再经过x2h装满第2箱．则60x2＋(4.8－3)×100÷2×2＝300，解得x2＝2.故经过3h恰好装满第1箱，再经过2h恰好装满第2箱．4．解：(1)y甲＝477x，y乙（0≤x≤3），＋318（x＞3）.(2)当477x＝424x＋318时，解得x＝6，即当x＝6时，到甲、乙两个商场购买所需费用相同；当477x<424x＋318时，解得x<6，又x≥4，于是当4≤x＜6时，到甲商场购买合算；当477x>424x ＋318时，解得x>6，又x≤10，于是当6＜x≤10时，到乙商场购买合算．5．解：(1)当x≤10时，由题意知y ＝ax.将x ＝10，y ＝15代入，得15＝10a ，所以a ＝1.5.故当x≤10时，y ＝1.5x.当x ＝8时，y ＝1.5×8＝12.故应交水费12元．(2)当x ＞10时，由题意知y ＝b(x －10)＋15.将x ＝20，y ＝35代入，得35＝10b ＋15，所以b ＝2.故当x ＞10时，y 与x 之间的函数表达式为y ＝2x －5.点拨：本题解题的关键是从图像中找出有用的信息，用待定系数法求出表达式，再解决问题．6．解：(1)6；2；18(2)PD ＝6－2(t －12)＝30－2t ，S ＝12AD·PD ＝12×6×(30－2t)＝90－6t ，即点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式为S ＝90－6t(12≤t≤15)．(3)当0≤t≤6时易求得S ＝3t ，将S ＝10代入，得3t ＝10，解得t ＝103；当12≤t≤15时，S ＝90－6t ，将S＝10代入，得90－6t ＝10，解得t ＝403.所以当t 为103或403时，△APD 的面积为10cm 2.7．解：(1)点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．①当点P 在边AB 上运动，即0≤x ＜3时，y ＝12×4x ＝2x ；②当点P 在边BC 上运动，即3≤x ＜7时，y ＝12×4×3＝6；③当点P 在边CD 上运动，即7≤x≤10时，y ＝12×4(10－x)＝－2x ＋20.所以y 与x 之间的函数表达式为y （0≤x ＜3），（3≤x ＜7），2x ＋20（7≤x≤10）.(2)函数图像如图所示．点拨：本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想．根据点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图像．技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【类型】一、利用两直线的交点坐标确定方程组的解1．已知直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2＝－x ＋4，＝x ＋2的解为()A ＝3＝1B ＝1＝3C ＝0＝4D ＝4＝02．已知直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，a)－y ＝0，＋y －b ＝0的解和a ，b 的值．3．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x ＋4的图像如图所示．(1)在同一坐标系中，作出一次函数y ＝2x －5的图像；(2)＋y ＝4，－y ＝5；(3)求一次函数y ＝－x ＋4与y ＝2x －5的图像与x 轴所围成的三角形的面积．【类型】二、利用方程(组)的解求两直线的交点坐标4mx ＋y ＝n ，＋y ＝f ＝4，＝6，则直线y ＝mx ＋n 与y ＝－ex ＋f 的交点坐标为()A ．(4，6)B ．(－4，6)C ．(4，－6)D ．(－4，－6)5．＝3，＝－2＝2，＝1是二元一次方程ax ＋by ＝－3的两组解，则一次函数y ＝a x ＋b 的图像与y 轴的交点坐标是()A ．(0，－7)B ．(0，4)CD －37，【类型】三、方程组的解与两个一次函数图像位置的关系6＋y ＝2，＋2y ＝3没有解，则一次函数y ＝2－x 与y ＝32－x 的图像必定()A ．重合B ．平行C ．相交D ．无法确定7．直线y ＝－a 1x ＋b 1与直线y ＝a 2x ＋b 21x ＋y ＝b 1，2x －y ＝－b 2的解的情况是()A ．无解B ．有唯一解C ．有两个解D ．有无数解【类型】四、利用二元一次方程组求一次函数的表达式8．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式．9．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(3，－3)，且与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上．(1)求直线AB 对应的函数表达式；(2)求直线AB 与坐标轴所围成的△BOC(O 为坐标原点，C 为直线AB 与y 轴的交点)的面积．参考答案1．B2．解：将(1，a)代入y ＝2x ，得a ＝所以直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，2)，所以方－y ＝0，＋y －b ＝0＝1，＝2.将(1，2)代入y ＝－x ＋b ，得2＝－1＋b ，解得b ＝3.3．解：(1)画函数y ＝2x －5的图像如图所示．(2)由图像看出两直线的交点坐标为(3，1)＝3，＝1.(3)直线y ＝－x ＋4与x 轴的交点坐标为(4，0)，直线y ＝2x －5与x 又由(2)知，两直线的交点坐标为(3，1)，所以三角形的面积为12×＝34.4．A5.C6.B7.B8．解：依题意将A(1，－1)与B(－1，3)的坐标分别代入y ＝kx ＋b＋b ＝－1，k ＋b ＝3，＝－2，＝1.所以这个一次函数的表达式为y ＝－2x ＋1.9．解：(1)因为一次函数y ＝kx ＋b 的图像与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上，所以将y ＝0代入y ＝4x －3中，得x ＝34，所以把A(3，－3)，By ＝kx ＋b＋b ＝－3，＋b ＝0，＝－43，＝1.则直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1.(2)由(1)知直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1，所以直线AB 与y 轴的交点C 的坐标为(0，1)，所以OC ＝1，又OB ＝34.所以S △BOC ＝12OB·OC ＝12×34×1＝38.即直线AB 与坐标轴所围成的△BOC 的面积为38.【题型讲解】【题型】一、正比例函数的定义例1、若一次函数y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数，则m 的值为_______．【答案】m=﹣3【解析】∵y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数，∴29030m m -⎧⎨-≠⎩＝解得m=-3．故答案是：-3.【题型】二、正比例函数的图像与性质例2、若正比例函数12y x =经过两点（1，1y ）和（2，2y ），则1y 和2y 的大小关系为（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．无法确定【答案】A【分析】分别把点（1，1y ），点（2，2y ）代入函数12y x =，求出点1y ，2y 的值，并比较出其大小即可．【详解】∵点（1，1y ），点（2，2y ）是函数12y x =图象上的点，∴112y =，21y =，∵112<，∴12y y <．故选：A ．【题型】三、一次函数的定义求参数例3、已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意，故选：B ．【题型】四、一次函数的图像例4、若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【题型】五、一次函数的性质例5、设k 0<，关于x 的一次函数2y kx =+，当12x ≤≤时的最大值是（）A ．2k +B ．22k +C ．22k -D ．2k -【答案】A【分析】利用一次函数的性质可得当x=1时，y 最大，然后可得答案．【详解】∵一次函数2y kx =+中0k <，∴y 随x 的增大而减小，∵12x ≤≤，∴当1x =时，122y k k =⨯+=+最大，故选：A ．【题型】六、求一次函数解析式例6、直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kx b +≤的解集是（）A ．2x -≤B ．4x ≤-C ．2x ≥-D ．4x ≥-【答案】C【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．【详解】解：根据图像得出直线y kx b =+经过（0，1），（2，0）两点，将这两点代入y kx b =+得120b k b =⎧⎨+=⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线解析式为：112y x =-+，将y=2代入得1212x =-+，解得x=-2，∴不等式2kx b +≤的解集是2x ≥-，故选：C ．【题型】七、一次函数与一元一次方程例7、一次函数3y kx =+（k 为常数且0k ≠）的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程()530k x -+=的解为（）A ．5x =-B ．3x =-C ．3x =D ．5x =【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．【详解】解：∵()53y k x =-+是由3y kx =+的图像向右平移5个单位得到的，∴将一次函数3y kx =+的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）∴当y=0时，方程()530k x -+=的解为x=3，故选：C ．【题型】八、一次函数与一元一次不等式例8、如图，直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（）A ．1x ≤B ．1≥xC ．1x <D ．1x >【答案】A【分析】将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b -=-,再将kx b x +≥变形整理，得0bx b -+≥，求解即可．【详解】解：由题意将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b +=，即1k b -=-，整理kx b x +≥得，()10k x b -+≥，∴0bx b -+≥，由图像可知0b >，∴10x -≤，∴1x ≤，故选：A ．【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）例9、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则△AOB 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B 【分析】根据方程或方程组得到A (﹣3，0)，B (﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：在y ＝x +3中，令y ＝0，得x ＝﹣3，解32y x y x =+⎧⎨=-⎩得，12x y =-⎧⎨=⎩，∴A (﹣3，0)，B (﹣1，2)，∴△AOB的面积＝12⨯3×2＝3，故选：B．【题型】十、一次函数的实际应用例10、A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y （千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得0 1.680 2.6k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：80128 kb=⎧⎨=-⎩，∴y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h ）∴货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），当y ＝200﹣80＝120时，120＝80x ﹣128，解得x ＝3.1，5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．一次函数（达标训练）一、单选题1．已知一次函数4y kx =+经过()11,y ，()22,y ，且12y y <，它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一次函数的增减性，可知它的图象可能为B 、C 选项，结合一次函数y=kx +4的图象经过点(0，4)，即可得到答案．【详解】∵一次函数y=kx +4经过(1,y 1)，(2,y 2)且y 1<y 2，∴y 随x 的增大而增大，又∵一次函数y =kx +4的图象经过点(0，4)，∴它的图象可能是B 选项，故选B ．【点睛】本题主要考查一次函数的系数与函数图象之间的关系，掌握一次函数系数的几何意义，是解题的关键．2．已知一次函数1y kx =-经过()11,A y -，()22,B y 两点，且12y y >，则k 的取值范围是（）A ．0k >B ．0k =C ．0k <D ．不能确定【答案】C【分析】根据一次函数的增减性可得出结论．【详解】∵1212,y y -<>，∴函数y 随x 的增大而减小．∴k ＜0，故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．3．一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限，则m 可能的取值为（）A ．-1B ．34C ．0D ．1【答案】B【分析】根据一次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限，∴0m >，∴m 可能的取值为34．故选：B【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数()0y kx b k =+≠，当0,0k b >>时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当0,0k b ><时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当0,0k b <>时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当0,0k b <<时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．4．一次函数31y x =-+的图象经过（）A ．一、二、四象限B ．一、三、四象限C ．一、二、三象限D ．二、三、四象限【答案】A【分析】根据一次函数关系中系数符号k ＜0，b ＞0解答即可．【详解】解：∵31y x =-+中0k <，∴一次函数图象经过第二、四象，∵0b >，∴一次函数图象经过一、二、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查了一次函数的图象，根据k 和b 的符号进行判断是解题的关键．5．若23y x b =+-，y 是x 的正比例函数，则b 的值是（）A ．0B ．23-C ．23D ．32【答案】C【分析】根据y 是x 的正比例函数，可知23=0b -，即可求得b 值．【详解】解：∵y 是x 的正比例函数，∴23=0b -，解得：23b =，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．二、填空题6．请写出一个图象经过点()2,0A 的函数的解析式：______．【答案】24y x =-（答案不唯一）【分析】写出一个经过点（2，0）的一次函数即可．【详解】解：经过点()2,0A 的函数的解析式可以为24y x =-，故答案为：24y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键．7．将直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．【答案】24y x =-【分析】根据一次函数平移的规律解答．【详解】解：直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y ＝2x －1－3=2x －4，即y =2x －4，故答案为y =2x －4．【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．三、解答题8．某中学积极响应“双减”政策，为了丰富学生的课外活动，激发学生参加体育活动的兴趣，准备购买一批新的羽毛球拍．已知甲、乙两商店销售同一种羽毛球拍，但两个商店的原价和销售方式均不同．在甲商店，无论一次性购买多少支羽毛球拍，一律按原价出售；在乙商店，一次性购买羽毛球拍的数量不超过20支，按原价销售，若一次性购买球拍数量超过20支，超出的部分打八折．设该学校购买了x 支羽毛球拍，在甲商店购买所需的费用为1y 元，在乙商店购买所需的费用为2y 元，1y ，2y 关于x 的函数图像如图所示．(1)分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式．(2)请求出m 的值，并说明m 的实际意义．(3)若该学校一次性购买羽毛球拍的数量超过80支，但不超过120支，到哪家商店购买更优惠？【答案】(1)142y x =；()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(2)m =100，m 的实际意义是当一次性购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元(3)当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算【分析】（1）根据函数图像设出表达式，利用待定系数法解得即可；（2）根据图像交点，当x >20时，令12y y =，解得x ，y 的值即可；（3）由m 的意义，结合图像，谁的图像靠下谁更合算．（1）由题意，甲商店设11y k x =，∴184020k =，∴142k =，∴1142y x =；乙商店：当0<x≤20时，设22y k x =，∴2100020k =，∴250k =，∴250y x =，当x >20时，()2100020500.84020y x x =+-⨯⨯=+，∴()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩；（2）当x>20时，令12y y =，即4020042x x +=，∴x =100，y =4200，∴m =100，∴m 的实际意义是当一次购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元；（3）由m 的意义，结合图像可知，谁的图像在下谁更合算，当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是掌握一次函数图像的性质．一次函数（提升测评）一、单选题1．一次函数()32y k x k =++-()01k +-有意义的k 的值可能为（）A ．－3B ．－1C ．－2D ．2【答案】B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<．()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k +-有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键．2．已知直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，若将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点，若△ABC 的面积为6，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先求出点B （0，4），可得OB =4，再根据平移的性质，可得AC =m ，再根据△ABC 的面积为6，即可求解．【详解】解：∵直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，当x =0时，y =4，∴点B （0，4），∴OB =4，∵将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点，∴AC =m ，∵△ABC 的面积为6，∴1462m ´=，解得：m =3．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．3．已知一次函数y =-kx +k ，y 随x 的增大而减小，则在直角坐标系内大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由于一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小，可得-k ＜0，然后，判断一次函数y =-kx +k 的图象经过的象限即可．【详解】解：∵一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小，∴-k ＜0，即k >0，∴一次函数y =-kx +k 的图象经过一、二、四象限．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y =kx +b 的图象性质：①当k ＞0，b ＞0时，图象过一、二、三象限；②当k ＞0，b ＜0时，图象过一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，图象过一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，图象过二、三、四象限．4．在平而直角坐标系中，一次函数32y x m =-+的图像关于直线1y =对称后经过坐标原点，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】由题意一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ），根据点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称，即可求出答案．【详解】解：根据题意，在一次函数32y x m =-+中，令0x =，则2y m =，∴一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ），∵点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称，∴22m =，∴1m =；故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题．5．甲、乙两自行车运动爱好者从A B 地，匀速骑行．甲、乙两人离A 地的距离y （单位：km ）与乙骑行时间x （单位：h ）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）A ．乙骑行1h 时两人相遇B ．甲的速度比乙的速度慢C ．3h 时，甲、乙两人相距15kmD ．2h 时，甲离A 地的距离为40km【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，甲乙骑行1.5h 时两人相遇，故选项A 不合题意；甲的速度比乙的速度快，故选项B 不合题意；甲的速度为：30÷（1.5-1）=30（km/h ），乙的速度为：30÷1.5=20（km/h ），3h 时，甲、乙两人相距：30×（3-0.5）-20×3=15（km ），故选项C 符合题意；2h 时，甲离A 地的距离为：30×（2-0.5）=45（km ），故选项D 不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题6．如图，直线3y x =和2y kx =+相交于点(),3P a ，则关于x 的不等式32≤+x kx 的解集是______．【答案】1x ≤【分析】先根据直线3y x =求出P 点坐标，不等式32≤+x kx 的解即为直线OP 在直线PQ 下方时，对应的x 的范围【详解】∵(),3P a 点在3y x =上。
2024年中考数学一轮复习考点精析及真题精讲—正比例函数与一次函数→➊考点精析←一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符函数图象图象的位置性质号k >0图象经过第一、三象限y 随x 的增大而增大k <0图象经过第二、四象限y 随x 的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和(-bk，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx +b (k ≠0)的图象可由正比例函数y =kx (k ≠0)的图象平移得到；b >0，向上平移b 个单位长度；b <0，向下平移|b |个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b(k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四y =kx +b(k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四3.k ，b 的符号与直线y =kx +b （k ≠0）的关系在直线y =kx +b （k ≠0）中，令y =0，则x =-b k ，即直线y =kx +b 与x 轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k ，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴．②当–bk=0，即b =0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k ，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴．4.两直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）的位置关系：①当k 1=k 2，b 1≠b 2，两直线平行；②当k 1=k 2，b 1=b 2，两直线重合；③当k 1≠k 2，b 1=b 2，两直线交于y 轴上一点；④当k 1·k 2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y =kx （k ≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k ．（4）将求得的待定系数k 的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k 、b 的函数解析式y =kx +b ．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k ，b 的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k ，b ．（4）将求得的k ，b 的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．→➋真题精讲←考向一一次函数和正比例函数的定义1．正比例函数是特殊的一次函数．2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．1．（2020·四川中考真题）已知函数1(2)2(2)x xyxx-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当函数值为3时，自变量x的值为（）A．﹣2B．﹣23C．﹣2或﹣23D．﹣2或﹣32【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【解析】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，解得：x=﹣2；若x≥2，当y=3时，﹣2x=3，解得：x=﹣23，不合题意舍去；∴x=﹣2，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．2．（2020·四川成都市·九年级二模）下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝1x；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【详解】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确；（2）y＝x﹣1符合一次函数的定义，故正确；（3）y＝1x属于反比例函数，故错误；（4）y＝x2属于二次函数，故错误．综上所述，一次函数的个数是2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．考向二一次函数的图象及性质1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k ≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x 轴．4．一次函数图象的位置和函数值y 的增减性完全由b 和比例系数k 的符号决定．3．（2023·四川乐山·统考中考真题）下列各点在函数21y x =-图象上的是（）A．()13-，B．()01，C．()11-，D．()23，【答案】D【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式21y x =-，进行计算即可得到答案．【详解】解： 一次函数图象上的点都在函数图象上，∴函数图象上的点都满足函数解析式21y x =-，A.当=1x -时，=3y -，故本选项错误，不符合题意；B.当0x =时，1y =-，故本选项错误，不符合题意；C.当1x =时，1y =，故本选项错误，不符合题意；D.当2x =时，3y =，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．4．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，则k 的值可为（）A．2-B．1-C．12-D．2【答案】D【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．5．（2020·山东济南·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【解析】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键．6．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得到一次函数(0)y kx b k =+≠的图象，则该一次函数的解析式为（）A．23y x =-+B．26y x =-+C．23y x =--D．26y x =--【答案】B【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【详解】解：正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得：2(3)26y x x =--=-+，故选：B．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数23y x =-的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】依据一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫⎪⎝⎭，，即可得到一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限．【详解】解：一次函数23y x =-中，令0x =，则=3y -；令0y =，则32x =，∴一次函数23y x =-的图象经过点()03-，和302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．8.（2023·新疆·统考中考真题）一次函数1y x =+的图象不经过．．．（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据10,10k b =>=>即可求解．【详解】解：∵一次函数1y x =+中10,10k b =>=>，∴一次函数1y x =+的图象不经过第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．9．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（）A．2B．1C．－1D．－2【答案】D【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D.【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．10．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点()2,A m 在直线522y x =-上，过点A 的直线交y 轴于点()0,3B ．(1)求m 的值和直线AB 的函数表达式．(2)若点()1,P t y 在线段AB 上，点()21,Q t y -在直线522y x =-上，求12y y -的最大值．【答案】(1)32m =，334y x =-+；(2)152【分析】（1）把点A 的坐标代入直线解析式可求解m ，然后设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；（2）由（1）及题意易得()133024y t t =-+≤≤，()25921222y t t =--=-，则有12391115324242y y t t ⎛⎫-=-+--=-+ ⎪⎝⎭，然后根据一次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：把点()2,A m 代入522y x =-，得32m =．设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，把点32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,3B 代入得3223.k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得343.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的函数表达式为334y x =-+．（2）解：∵点()1,P t y 在线段AB 上，点()21,Q t y -在直线522y x =-上，∴()133024y t t =-+≤≤，()25921222y t t =--=-，∴12391115324242y y t t ⎛⎫-=-+--=-+ ⎪⎝⎭．∵1104k =-<，∴12y y -的值随x 的增大而减小，∴当0=t 时，12y y -的最大值为152．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．考向三用待定系数法确定一次函数的解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,1P ，点()4,1A ，以点P 为中心，把点A 按逆时针方向旋转60︒得到点B ，在(11,M --，2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()31M -，(4M 四个点中，直线PB 经过的点是（）A．1M B．2M C．3M D．4M 【答案】B【分析】根据含30︒角的直角三角形的性质可得(21B +，，利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将1234M M M M ，，，四个点的一个坐标代入1y +中可解答．【详解】解：∵点()4,1A ，点()0,1P ，∴PA y ⊥轴，4PA =，由旋转得：604APB AP PB ∠=︒==，，如图，过点B 作BC y ⊥轴于C ，∴30BPC ∠=︒，∴2BC PC ==，，∴(21B +，），设直线PB 的解析式为：y kx b =+，则211k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴1k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB 的解析式为：1y +，当=1x -时，1y =，∴点(11,M -不在直线PB 上，当3x =-时，10y ⎛=+= ⎝⎭，∴2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线PB 上，当1x =时1y =，∴()31M -不在直线PB 上，当2x =时，1y =，∴(4M 不在直线PB 上．故选：B．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B 的坐标是解本题的关键．12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，则22k b -=________________．【答案】6-【分析】把点()1,3和()1,2-代入y kx b =+，可得32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，再整体代入求值即可．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，∴32k b k b +=⎧⎨-+=⎩，即32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，∴()()()22326k b k b k b -=+-=⨯-=-；故答案为：6-【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．14．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3；(1)若函数图象经过原点，求m 的值；(2)若函数图象在y 轴的截距为﹣2，求m 的值；(3)若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m 的值；(4)若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．【答案】(1)m＝3；(2)m＝1；(3)m＝1；(4)m＜﹣12．【分析】(1)根据函数图象经过原点可得m﹣3＝0，且2m+1≠0，再解即可；(2)根据题意可得m﹣3＝﹣2，解方程即可；(3)根据两函数图象平行，k 值相等可得2m+1＝3；(4)根据一次函数的性质可得2m+1＜0，再解不等式即可．【详解】解：(1)∵函数图象经过原点，∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，解得：m＝3；(2)∵函数图象在y 轴的截距为﹣2，∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，解得：m＝1；(3)∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，∴2m+1＝3，解得：m＝1；(4)∵y 随着x 的增大而减小，∴2m+1＜0，解得：m＜﹣12．【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握与y 轴的交点就是y＝kx+b 中，b 的值，k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．14．若1y -与2x +成正比例，且当2x =时，5y =.（1）求y 与x 的函数关系式（2）如果点(,5)m 在该函数图象上，求m 的值.【答案】（1）y=x+3；（2）m=2.【分析】（1）设y-1=k（x+2），把x=2，y=-5代入求出k 的值，进而可得出y 与x 的函数关系式；（2）直接把点（m，5）代入（1）中一次函数的解析式即可．【详解】解：（1）设()12y k x -=+（0k ≠）当x＝2时，y＝55-1=(2+2)k∴k=1当K＝10时y-1=x+2y=x+3（2）当点（m，5）在该函数图象上∴5=m+3∴m=2【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解答此题的关键．15．若函数y＝（m+1）x+m 2﹣1是正比例函数．（1）求该函数的表达式．（2）将该函数图象沿y 轴向上或者向下平移，使其经过（1，﹣2），求平移的方向与距离．【答案】（1）y＝2x；（2）沿y 轴向下平移4个单位．【分析】（1）根据正比例函数的定义可得一个关于m 的等式，求得m 值代入函数解析式即可得；（2）根据函数解析式可设平移后的函数解析式为2y x b =+，将(1,2)-代入求得b 值，再根据平移后的函数解析式即可得.【详解】（1）根据题意得210m -=且10m +≠，解得1m =，所以该函数的表达式为2y x =；（2）设平移后的函数解析式为2y x b =+，将(1,2)-代入得22b -=+，解得4b =-，则平移后的函数解析式为24y x =-，所以函数的图象是沿y 轴向下平移4个单位，使其经过(1,2)-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求函数解析式、以及函数图象的平移，掌握正比例函数的定义是解题关键.。
专题11 截长补短模型模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。
其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等【过关练】1．（2022秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB 于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】如图，在上截取连接证明利用全等三角形的性质证明求解再证明从而可得答案．【详解】解：如图，在上截取连接平分故选：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（）A．3B．9C．11D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC =∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．3．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．【答案】6【分析】在AD上截取AF=AE，连接BF，易得△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E，CE=BF，则有∠D=∠DFB，然后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：在AD上截取AF=AE，连接BF，如图所示：AB=AC，∠FAB=∠EAC，，BF=EC，∠BFA=∠E，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∠DFB=∠D，BF=BD，BD=6，CE=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．4．如图，中，平分，，，则的度数为_______．【答案】【分析】如图（见解析），在线段AC上取点E，使得，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，，然后根据线段的和差、等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．【详解】如图，在线段AC上取点E，使得平分在和中，，又故答案为：．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．【答案】20°【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．【详解】解：如图，延长至点E使，连接．∴，∵，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴设，则．在与中，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，∠ACB=∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的角平分线，∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD ，△ABD ≌△FBD ，DE=DA ，DF=AD=DE ，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC ，△DEC ≌△DFC ，；故答案为40°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分交于点D ，若，求的度数．【答案】【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明然后利用内角和定理求解即可．【详解】解：如图，在上截取，连接．∵平分，．∵，，∴∵，，∴，∴，∴．∵，∴．设，则．∵在中，，解得，∴．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（ ）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB==90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.9．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若，求四边形的面积．【答案】12.【分析】在AB上截，根据SAS易证，∠AOD=∠AOE，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则，可得，继而证明△BOE ≌△BOC，可得S四ABCD =2S△AOB，即可得出答案．【详解】解：在AB上截，∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠EAO，在△AOD和△AOE中,∴，，，平分，平分，∴∠AOB=90°，，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，在△BOC和△BOE中,∴，四边形ABCD的面积的面积==12.故答案为12.【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S四ABCD =2S△AOB是解题的关键．10．（2021秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（ ）A．2B．4C．2D．4【答案】B【分析】延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，可以证明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根据△EAC的面积等于四边形的面积是4，可得EC的长，进而可得结论．【详解】解：如图，延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四边形ABCD，∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，∵，∴AE＝，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、面积及等积变换、三角形面积公式、勾股定理，解题的关键是综合运用以上知识．11．（2020秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）【答案】180°-2x【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示，在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．12．（2021秋·广东佛山·八年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD 上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有______．【答案】①②③④【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO=∠ACO，∠APO+∠DCO=30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC=60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC=PO，∠PCO=60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC，即可得出结果．【详解】解：连接BO，如图1所示：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，又∵OP=OC，∴OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO，∴∠OBP=∠ACO，∴∠APO=∠ACO，故①正确；又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°，∴∠APO+∠DCO=30°，故②正确；∵∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∠PBC=30°，∴∠BPC+∠BCP=150°，又∵∠BPC=∠APO+∠CPO，∠BCP=∠BCO+∠PCO，∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，又∵∠POC+∠OPC+∠OCP=180°，∴∠POC=60°，又∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形，∴PC=PO，∠PCO=60°，故④正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE是等边三角形，∴AP=EP，又∵△OPC是等边三角形，∴OP=CP，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC，在△APO和△EPC中，，∴△APO≌△EPC（SAS），∴AO=EC，又∵AC=AE+EC，AE=AP，∴AO+AP=AC，故③正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：．（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是______．【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）延长到点G，使，连接，先证明，得到，然后证明，得到，根据，可得；（2）在上截取，连接，先证明△ABG≌△ADF（SAS），得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明△EAG≌△EAF（SAS），得到EG=EF，根据BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．【详解】（1）如图，延长到点G，使，连接．，，又，，∴，，，．，∴，．，；（2）．如图，在上截取，连接，，，在△ABG和△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠BAD=2∠EAF，∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF，∴∠GAE=∠EAF，在△EAG和△EAF中，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG=EF，∵BG=DF，∴EF=BE-BG=BE-DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．14．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N 是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．【答案】CN=MN+BM，见解析【分析】采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论.【详解】解：CN=MN+BM．证明：如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．在△MBD和△ECD中，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN．在△MND与△END中，∴△MND≌△END（SAS）．∴MN=NE．∴CN=NE+CE=MN+BM．【点睛】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.15．（2023·全国·九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．证明：延长CD到G，使，在与中，∴理由：（SAS）进而证出：___________，理由：（__________）进而得．【变式探究】如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．【答案】（1），理由：SAS；（2），证明见解析；（3）BE+DF=EF．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论，进而证明，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1），，则，，，在与中，，理由：（）；（2）满足即可，证明如下：如图，延长至，使，，，，在与中，，，则，，，在与中，，理由：（）；（3）BE+DF=EF．证明如下：如图，延长至，使，在与中，，，则，，，在与中，，理由：（）；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P 为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)一定成立(3)MN＝NC﹣BM【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠PBC＝∠＝30°，进而得到∠PBM＝∠PCN＝90°，证明Rt△PBM≌Rt△PCN，得到∠BPM＝∠CPN＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质证明结论；（2）延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，证明△PBM≌△PCH，得到PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，再证明△MPN≌△HPN，得到MN＝HN，等量代换得到答案；（3）在AC上截取CK＝BM，连接PK，仿照（2）的方法得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，（3）解：在AC上截取CK＝BM，连接PK，如图所示，在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证：．【答案】见解析【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则．【详解】证明：延长至点，使得，连接，四边形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：在ABE和ADG中，，∴ABE≌ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在AEF和GAF中，，∴AEF≌AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，在ABE和ADG中，，∴ABE≌ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在AEF和GAF中，，∴AEF≌AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．19．如图，是等边三角形，，，，则________．【答案】6【分析】在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，由四点共圆得∠，再证明，△是等边三角形，得，再由线段的和差关系可得结论．【详解】解：在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，∵∴四点共圆，∴∠∴∠∵△是等边三角形，∴，，∴△，∠，∴，∴∠，即，∴△是等边三角形，∴，∵，，∴，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠是解答此题的关键．20．（2023·全国·九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+DC,证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．(2) 延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE, ,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E三点共线，∵AE=AD，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)结论：DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,∵,,∴,∵,∴=,∵AB=AC,CE=BD,∴(SAS),∴AD=AE, ,∴,∴,∴,∴DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.21．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD= BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，证明，得到，，根据为等腰直角三角形，得到，再根据，即可解出答案.（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，由即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵是等腰直角三角形，∴DE=BD，∴DC+AD=BD，故答案为．（2）．证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴为等腰直角三角形，．∵，∴．（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.22．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．（1）求的度数；（2）求证：．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证（2）延长至F，使，连接，由，，且，可证由，可证为等边三角形，可得，可推出结论，【详解】解：（1）∵，，∴为等边三角形，∴，∵，，∵，∴（2）如图，延长至F，使，连接，由（1）得为等边三角形，∴，∵，又∵，且，∴，在与中，∴∴，∴，∴又∵，∴为等边三角形∴，又∵，且，∴，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．23．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB ＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．（1）求∠ADB的度数；（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD ＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，∵DB＝DC，∠DCB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；（2）DE＝AD+CD，理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB＝∠AME＝120°．∵AE＝AB，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEM中，，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD＝ME，∵BD＝CD，∴CD＝ME．∵DE＝DM+ME，∴DE＝AD+CD．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP 的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF与△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．25．（2022秋·全国·八年级专题练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若．①直接写出的大小；②求证：．（2）若图2，若，求证：．【答案】（1）①120°；②见解析；（2）见解析【分析】（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF 的面积进行转换，从而得出结论．【详解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)= ×120°=60°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，∴△DEF≌△SEF，∴，，，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS =90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴，∴∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图中，分别平分相交于点．（1）求的度数；（2）求证：【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出；（2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，又∵AD、CE分别平分，∴，∴，又∵∠CPD是△ACP的外角，∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，∴∠CPD=60°．（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF，∵∠CPD=60°，∴∠APC=120°，∠APE=60°∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE在△APE与△APF中，∴△APE≌△APF（SAS）∴∠APF=∠APE=60°，∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，在△CFP与△CDP中，∴△CFP≌△CDP（ASA）∴CD=CF∴AC=AF+CF=AE+CD，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理与角平分线的角度计算问题，解题的关键是通过在AC上截取AF=AE构造全等三角形．27．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．。
专题11 一次函数1．一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
2．一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。
3．一次函数的性质：（1）当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y 随x 的增大而减小；（3）当b>0时，直线交y 轴于正半轴；（4）当b<0时，直线交y 轴于负半轴。
4. 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.5．一正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。
正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．6.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。
7．正比例函数的性质（1）当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．8．正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）专题知识回顾【例题1】（2019某某省某某市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（）A．kb＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k+b＜0【答案】B．【解析】y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0；故选：B．【例题2】（2019•某某某某）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．【答案】x＜2．【解析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，则b＝6k，故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，∵k＜0，∴x﹣2＜0，解得：x＜2．【例题3】（2019•某某）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．专题典型题考法及解析（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+2；（2）点C的坐标是（0，﹣）．【解析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象平行于直线y＝x，∴k＝，∵一次函数的图象经过点A（2，3），∴3＝+b，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，∴x＝﹣4，∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为（0，y），∵AC ＝BC ，∴＝，∴y ＝﹣，经检验：y ＝﹣是原方程的根，∴点C 的坐标是（0，﹣）．一、选择题 1.（2019•某某某某）若点P 在一次函数4+-=x y 的图像上，则点P 一定不在（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】坐标系中，一次函数4+-=x y 经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限。
专题11 一次函数（满分：100分 时间：90分钟）班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）A ．第一班车离入口处的距离y （米）与时间x （分）的解析式为y ＝200x ﹣4000（20≤x≤38）B ．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟C ．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车D ．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）2．（2020·湖北咸宁市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =- B ．2y x =+ C ．2y x = D ．22y x x =-3．（2020·四川中考真题）已知函数1(2)2(2)x x y x x-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当函数值为3时，自变量x 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣23 C ．﹣2或﹣23 D ．﹣2或﹣324．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A -，下列说法正确的是（ ）A ．正比例函数1y 的解析式是12y x =B ．两个函数图象的另一交点坐标为()4,2-C ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大D ．当2x <-或02x <<时，21y y <5．（2020·湖北荆州市·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数1y x =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2020·江苏泰州市·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．1-7．（2020·贵州遵义市·中考真题）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）一次函数21y x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·四川内江市·中考真题）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）A ．25y x =--B ．23y x =--C ．21y x =-+D ．23y x =-+10．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2020·重庆中考真题）A ，B 两地相距240 km ，甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止，两车之间的路程y （km ）与甲货车出发时间x （h ）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40，，则点E 的坐标是__________．12．（2020·山东东营市·中考真题）已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （1，﹣1），B （﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）13．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·）如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．14．（2020·贵州遵义市·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．15．（2020·上海中考真题）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2020·辽宁锦州市·中考真题）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？17．（2020·山东潍坊市·中考真题）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）18．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．19．（2020·四川攀枝花市·中考真题）如图，过直线12y kx =+上一点P 作PD x ⊥轴于点D ，线段PD 交函数(0)m y x x=>的图像于点C ，点C 为线段PD 的中点，点C 关于直线y x =的对称点C '的坐标为(1,3)．（1）求k 、m 的值；（2）求直线12y kx =+与函数(0)m y x x=>图像的交点坐标； （3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+>的解集． 20．（2020·吉林长春市·中考真题）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为_________千米/时，a的值为____________．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．。
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】第11讲：一次函数的图象与性质单元检测一、夯实基础1.一次函数3y x -=-，如果0y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2x <B ．3x <C ．6x >-D ．6x <-2.已知直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：①k>0，b>0；②k>0，b<0；③k<0，b>0；④k<0，b<0．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 如图所示，函数y=mx +m 的图像中可能是（ ）4.当自变量x 增大时，下列函数值反而减小的是（ ）A ． y=3x B ．y=2x C ．y=3x - D ．y=-2+5x 5.正比例函数的图像如图，则这个函数的解析式为( )A ．y=xB ．y=-2xC ．y=-xD ．12y =- 6.一次函数3y x -=-，如果0y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2x <B ．3x <C ．6x >-D ．6x <-7.已知直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：①k>0，b>0；②k>0，b<0；③k<0，b>0；④k<0，b<0．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、能力提升 8.直线y=(2-5k )x +3k -2不过第一象限，则k 需满足 ，写出一个满足上述条件的一个函数的解析式 ．9.直线y=4x -2与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ．10.直线y=(2-5k)x+3k-2若经过原点，则k= ；若直线与x 轴交于点（-1，0），则k= ，11.一次函数24y x =-+的图像经过的象限是____，它与x 轴的交点坐标是____，与y 轴的交点坐标是____，y 随x 的增大而____．三、课外拓展12.（1）已知关于x 的一次函数y=(2k -3)x+k -1的图像与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（2）已知函数y =(4m -3)x 是正比例函数，且y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围．四、中考链接13. 已知一次函数3y x =-+，当0≤x ≤3时，函数y 的最大值是( )．A ．0B ．3C ．-3D ．无法确定14. 下列图像中，不可能是关于x 的一次函数y =mx-(m -3)的图像的是（ ）参考答案 一、夯实基础 1．B2.B3.D4.C5．C6.B7.B二、能力提升8. 2253k <<，1122y x =-- 9．1(,0),(0,2)2- 10．21,32 11. 一、二、四象限，（2，0），（0，4），减小三、课外拓展12.（1）依题意，有10230k k ->⎧⎨-<⎩，解得312k <<；（2）依题意，得430m ->，即34m >时，y 随x 的增大而增大四、中考链接13.B14．C 中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
第十一讲：一次函数知识梳理知识点1、一次函数与正比例函数的概念重点：掌握一次函数与正比例函数的概念难点：熟练判断一次函数与正比例函数一般地，形如 的函数，叫做正比例函数。
一般地，形如 的函数，叫做一次函数。
例1、下列函数中是一次函数的是（ ）A.B. C. D. A 、0 个 B 、1 个C 、2 个D 、3 个 解题思路：运用一次函数与正比例函数的概念，例1选C,例2选B知识点2、一次函数的图象和性质重点：掌握一次函数与正比例函数图像和性质难点：运用一次函数与正比例函数图像和性质解决问题1、 形状一次函数的图象是一条2、 画法确定 个点就可以画一次函数图像。
一次函数与轴的交点坐标（ ,0），与轴的交点坐标(0, )，正比例函数的图象必经过两点分别是(0, )、(1, )。
3、 性质（1）一次函数，当 0时，的值随值得增大而增大；当 0时，的值随值得增大而减小。
（2）正比例函数，当 0时，图象经过一、三象限；当 0时，图象经过二、四象限。
强调：k,b 与 一次函数y=kx +b 的图象与性质:k 决定函数的增减性;b 决定图象与y 轴的交点位置②当ｋ＞0时，y 随着x 的增大而增大，③当ｋ＜0时，y 随着x 的增大而减小，④当b ＞0时，直线交于ｙ轴的正半轴，122-=x y x y 1-=31+=x y 1232-+=x x y x y )0(≠+=k b kx y k y x k y x k k⑤当b ＜0时，直线交于ｙ轴的负半轴⑥当b ＝0时，直线交经过原点，（3）一次函数的图象如下图，请你将空填写完整。
A.函数图象经过点(1,5)B.函数图像经过一、三象限C. 随的增大而减小D.不论取何值，总有解题思路：熟练掌握正比例函数的图像性质，选C例2、一次函数的图象不经过．．．（ ）。
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解题思路：熟练掌握一次函数中k,b 的作用，或画出一次函数的图像，选B练习1、求一次函数与轴的交点坐标 ，与轴的交点坐标 ，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
专题10一次函数及其应用一、单选题1．（2023·四川乐山·统考中考真题）下列各点在函数21y x =-图象上的是（）A ．()13-，B ．()01，C ．()11-，D ．()23，【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式21y x =-，进行计算即可得到答案．【详解】解： 一次函数图象上的点都在函数图象上，∴函数图象上的点都满足函数解析式21y x =-，A.当=1x -时，=3y -，故本选项错误，不符合题意；B.当0x =时，1y =-，故本选项错误，不符合题意；C.当1x =时，1y =，故本选项错误，不符合题意；D.当2x =时，3y =，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．2．（2023·内蒙古·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得到一次函数(0)y kx b k =+≠的图象，则该一次函数的解析式为（）A ．23y x =-+B ．26y x =-+C ．23y x =--D ．26y x =--【答案】B【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【详解】解：正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得：2(3)26y x x =--=-+，故选：B ．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．3．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数23y x =-的图象是（）．．．．【答案】D【分析】依据一次函数)3-，和302⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即可得到一次函数三、四象限．【详解】解：一次函数=3y -；令0y =，则一次函数23y x =-的图象经过点一次函数23y x =-的图象经过一、三、四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．（2023·新疆·统考中考真题）一次函数A ．0k >B ．0kb <C ．0k b +>DA．8:28B．8:30【答案】A【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．【详解】解：令小亮出发时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，A．()2,5B．()3,5【答案】C【分析】先根据一次函数解析式求得点∠=︒，=9090OAC∠︒，进而得出ACD故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．10．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A．1M B．M【答案】B∴PA y ⊥轴，4PA =，由旋转得：60APB AP ∠=︒=，如图，过点B 作BC y ⊥轴于C ∴30BPC ∠=︒，∴223BC PC ==，，∴()2123B +，），设直线PB 的解析式为：y kx =+则21231k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，∴31k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB 的解析式为：3y x =当=1x -时，31y =-+，∴点()11,3M --不在直线PB 当33x =-时，333y ⎛=⨯- ⎝二、填空题11．（2023·山东·统考中考真题）一个函数过点()1,3，且y 随x 增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式_________．【答案】3y x =（答案不唯一）【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．【详解】解：由一个函数过点()1,3，且y 随x 增大而增大，可知该函数可以为3y x =（答案不唯一）；故答案为3y x =（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，则22k b -=________________．【答案】6-【分析】把点()1,3和()1,2-代入y kx b =+，可得32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，再整体代入求值即可．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，∴32k b k b +=⎧⎨-+=⎩，即32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，∴()()()22326k b k b k b -=+-=⨯-=-；故答案为：6-【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．13．（2023·天津·统考中考真题）若直线y x =向上平移3个单位长度后经过点()2,m ，则m 的值为________．【答案】5【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点()2,m 代入即可求得m 的值．【详解】解： 直线y x =向上平移3个单位长度，∴平移后的直线解析式为：3y x =+．平移后经过()2,m ，235m ∴=+=．故答案为：5．【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14．（2023·湖南郴州·统考中考真题）在一次函数()23y k x =-+中，y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是___________（任写一个符合条件的数．．．．．．．．即可）．【答案】3（答案不唯一）【分析】根据一次函数的性质可知“当20k ->时，变量y 的值随x 的值增大而增大”，由此可得出结论．【详解】解：∵一次函数23y k x =-+（）中，y 随x 的值增大而增大，∴20k ->．解得：2k >，故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k 的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k 的取值范围是关键．15．（2023·广西·统考中考真题）函数3y kx =+的图象经过点()2,5，则k =______．【答案】1【分析】把点()2,5代入函数解析式进行求解即可．【详解】解：由题意可把点()2,5代入函数解析式得：235k +=，解得：1k =；故答案为：1．【答案】5【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出【详解】解：设111y k x b =+过111232b k b =⎧⎨=+⎩，解得：11122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩同理：22275k b +=-+=，k 则分别计算11k b +，223,k b k +故答案为：5．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．三、解答题17．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点线交y 轴于点()0,3B ．(1)求m的值和直线(2)若点()1,P t y在线段【答案】(1)32 m=，钟）之间的函数图象如图所示．(1)当1540x ≤≤时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式；(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】(1)12180y x =-；(2)180【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为460y x =+()2560x ≤≤，联立12180y x =-()1540x ≤≤，即可求解．【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得，15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12180k b =⎧⎨=-⎩，∴12180y x =-()1540x ≤≤；（2）设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得，11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：11460k b =⎧⎨=⎩，∴460y x =+()2560x ≤≤；(1)A ，B 两地之间的距离是______千米，(2)求线段FG 所在直线的函数解析式；(3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【答案】(1)60，1；(2)60120y x =-+；【分析】（1）根据货车从A 地到B 地花了(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．(2)求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．【答案】(1)30；(2)(3120y x =+30<【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为（2）解：设该商场节前购进m 千克A 粽子，则节后购进()400m -千克A 粽子，获得的利润为w 元，根据题意得：()()()2012161040022400w m m m =-+--=+，∵()121040046000m m m ⎧+-≤⎨>⎩，∴0300m <≤，∵20>，∴w 随m 的增大而增大，∴当300m =时，w 取最大值，且最大值为：230024003000w =⨯+=最大，答：节前购进300千克A 粽子获得利润最大，最大利润为3000元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．22．（2023·四川成都·统考中考真题）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A ，B 两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B 种食材共需68元，购买5千克A 种食材和3千克B 种食材共需280元．(1)求A ，B 两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A 种食材千克数不少于B 种食材千克数的2倍，当A ，B 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)A 种食材单价是每千克38元，B 种食材单价是每千克30元；(2)A 种食材购买24千克，B 种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元【分析】（1）设A 种食材的单价为a 元，B 种食材的单价为b 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设A 种食材购买x 千克，则B 种食材购买()36x -千克，根据题意列出不等式，得出24x ≤，进而设总费用为y 元，根据题意，()38303681080y x x x =+-=+，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设A 种食材的单价为a 元，B 种食材的单价为b 元，根据题意得，6853280a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：3830a b =⎧⎨=⎩，答：A 种食材的单价为38元，B 种食材的单价为30元；（2）解：设A 种食材购买x 千克，则B 种食材购买()36x -千克，根据题意，()236x x ≥-解得：24x ≥，设总费用为y 元，根据题意，()38303681080y x x x =+-=+∵80>，y 随x 的增大而增大，∴当24x =时，y 最小，∴最少总费用为82410801272⨯+=（元）【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．23．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)求方案二y 关于x 的函数表达式；(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．【答案】(1)30件；(2)20600y x =+；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；（2）由图象可得点()()0,600,30,1200，设方案二的函数表达式为y kx b =+，利用待定系数法即可得到方案二y 关于x 的函数表达式；（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为()30,1200，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；（2）由图象可得点()()0,600,30,1200，设方案二的函数表达式为y kx b =+，把()()0,600,30,1200代入上式，得600,301200.b k b =⎧⎨+=⎩解得20,600.k b =⎧⎨=⎩∴方案二的函数表达式为20600y x =+．（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键．24．（2023·浙江金华·统考中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s （米）与哥哥离开学校的时间t （分）的函数关系．(1)求哥哥步行的速度．(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．①求图中a 的值；②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题）25．（2023·四川遂宁·统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？(1)求大巴离营地的路程s 与所用时间t 的函数表达式及(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．【答案】(1)4020s t =+，2a =；(2)1h 3【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段(1)求OA 所在直线的表达式．(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？(3)甲机器人到P 地后，再经过1分钟乙机器人也到【答案】(1)200y x =；(2)出发后甲机器人行走【分析】（1）利用待定系数法即可求解；则乙机器人()1t +分钟后到P 地，P 地与M 地距离()10011000y t =-++，由()20010011000t t =-++，得3t =．∴600y =．答：,P M 两地间的距离为600米．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．30．（2023·上海·统考中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．(1)他实际花了多少钱购买会员卡？(2)减价后每升油的单价为y 元/升，原价为x 元/升，求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？【答案】(1)900；(2)0.90.27y x =-；(3)1.00【分析】（1）根据10000.9⨯，计算求解即可；（2）由题意知，()0.90.30y x =-，整理求解即可；（3）当7.30x =，则 6.30y =，根据优惠后油的单价比原价便宜()x y -元，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，10000.9900⨯=（元），答：实际花了900元购买会员卡；（2）解：由题意知，()0.90.30y x =-，整理得0.90.27y x =-，∴y 关于x 的函数解析式为0.90.27y x =-；（3）解：当7.30x =，则 6.30y =，∵7.30 6.30 1.00-=，∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元．【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．31．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km 1.2(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．︒）与加热的时间位：C选填“正比例”“一次”“二次(2)根据以上判断，求(3)当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．【答案】(1)一次；(2)【详解】（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加10s ，油的温度就升高20℃，故可知可能是一次函数关系，故答案为：一次；（2）设这个一次函数的解析式为()0y kt b k =+≠，当0=t 时，10y =；当10t =时，30y =，103010b k b =⎧∴⎨=+⎩，解得210k b =⎧⎨=⎩，∴y 关于t 的函数解析式为210y t =+；（3）当110t =时，211010230y =⨯+=答：当加热110s 时，油沸腾了，推算沸点的温度为230C ︒．【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．36．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．【答案】(1)1l 的解析式为6y x =-+；2l 的解析式为15y x =-+；(2)①10,20x m y m =+=-；②3l 的解析式为30y x =-+，图象见解析；(3)538a c b+=【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ，再得出点()2,m m 按照乙方式移动()10m -次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【详解】（1）设1l 的解析式为y kx b =+，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，∴1l 的解析式为6y x =-+；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x =-+；（2）①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了()10m -次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ；∴点()2,m m 按照乙方式移动()10m -次后得到的点的横坐标为21010m m m +-=+，纵坐标为()21020m m m +-=-，∴10,20x m y m =+=-；②由于102030x y m m +=++-=，∴直线3l 的解析式为30y x =-+；函数图象如图所示：（3）∵点,,A B C 的横坐标依次为,,a b c ，且分别在直线∴()()(),6,,15,,30A a a B b b C c c -+-+-+，设直线AB 的解析式为y mx n =+，把A 、B 两点坐标代入，得615ma n a mb n b +=-+⎧⎨+=-+⎩，解得：9196m b a a n b a ⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，∴直线AB 的解析式为916y x b a ⎛⎫=-++ ⎪-⎝⎭∵A ，B ，C 三点始终在一条直线上，∴991630a c c b a b a ⎛⎫-++-=-+ ⎪--⎝⎭，整理得：538a c b +=；即a ，b ，c 之间的关系式为：538a c b +=．【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．37．（2023·广西·统考中考真题）【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：中秤盘质量0m 克，重物质量m 克，秤砣质量【方案设计】m=，目标：设计简易杆秤．设定01050厘米．任务一：确定l和a的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于(1)男女跑步的总路程为_______________(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．【答案】(1)1000m ；(2)315m【分析】（1）根据男女同学跑步的路程相等，求得男生跑步的路程，乘以（2）根据题意男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：出解析式为 3.580y x =+，【详解】（1）解：∵开始时男生跑了100s ．∴男生跑步的路程为50 4.5+(1)=a___________，b=___________(2)请分别求出1y，2y与x的函数关系式；(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为【答案】(1)12，30；(2)110y x=+【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算(1)图中a的值是__________；(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距。
九年级数学中考一轮总复习教案7．一次函数命题点1 正比例函数1．（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（ ）A ．y ＝﹣8xB ．y =8xC ．y ＝8x 2D ．y ＝8x ﹣42．(2019·无锡)某个函数具有性质：当x >0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可)． 命题点2 一次函数的图象与性质 3．（2019·临沂）下列关于一次函数y ＝kx+b(k ＜0，b ＞0)的说法，错误的是（ ） A ．图象经过第一、二、四象限 B ．y 随x 的增大而减小 C ．图象与y 轴交于点(0，b) D ．当x ＞－bk时，y ＞0 4．（2019·扬州）若点P 在一次函数4+-=x y 的图像上，则点P 一定不在（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 5．（2019•绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等于（ ） A. －1 B. 0 C. 3 D. 4 6．（2019·枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过点P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）A ．y ＝-x ＋4B ．y ＝x ＋4C ．y ＝x ＋8D ．y ＝-x ＋8 7．（2019·天津）直线12-=x y 与x 轴交点坐标为 . 8．（2019· 潍坊）当直线y=(2－2k)x+k －3经过第二、三，四象限时，则k 的取值范围是 ．命题点3 一次函数综合题 9．（2019·徐州）函数y ＝x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在x 轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 共有_________个． 10．（2019·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1 A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x 轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线3333+=x y 上，且∠C 1OA 1 =∠C 2A 1 A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，OA 1=1，则点C 6的坐标是 ．11．（2019·乐山）如图，已知过点)0,1(B 的直线1l 与直线2l ：42+=x y 相交于点),1(a P -. （1）求直线1l 的解析式；（2）求四边形PAOC 的面积.D第11题图 12．（2019·衢州）定义：在平圆直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ）、B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝3a c +，y ＝3b d+，那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （－1，8），B （4，－2），当点T （x ，y ）满足x ＝143-+＝1，y ＝8(2)3+-＝2时，则点T （l ，2）是点A ，B 的融合点． （1）已知点A （－1，5），B （7，7），C （2，4）．请说明其中一个点是另外两个点的融合点； （2）如图，点D （3，0），点E （1，2t ＋3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式；②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．命题点4 一次函数的实际应用 13．（2019·资阳）爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y （米）与爷爷离开公园的时间x （分）之间的函数关系是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2019·随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是( )A ．B ．C ．D ． 15．（2019•德州）下表中给出A ，B ，C 三种手机通话的收费方式．收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min ） A 30 25 0.1 B 50 50 0.1 C 100 不限时（1）设月通话时间为x 小时，则方案A ，B ，C 的收费金额y 1，y 2，y 3都是x 的函数，请分别求出这三个函数解析式． （2）填空：若选择方式A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ； 若选择方式B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ； 若选择方式C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为 ； （3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．命题点5 一次函数与不等式 16．（2019·苏州）若一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的图像经过点()01A -，，()11B ，，则不等式1kx b +>的解为（ ）A ．0x <B ．0x >C ．1x <D ．1x >17．（2019·滨州）如图，直线y=kx+b(k<0)经过点A （3，1），当kx+b <13x 时，x 的取值范围为_________．)))能力检测一、选择题（每题4分，共28分）1．（2019•包头）在函数y=3x−2−√x+1中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2 2．（2019•梧州）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1 3．（2019•毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（）A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜04．（2019•黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（）A．体育场离林茂家2.5kmB．体育场离文具店1kmC．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/minD．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min5．（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2019•重庆）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（）A．5 B．10 C．19 D．217．（2019•武汉）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）8．（2019•天水）函数y =√x −2中，自变量x 的取值范围是 ． 9．(2019·成都)已知一次函数y ＝(k －3)x ＋1的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 ． 10．（2019•烟台）如图，直线y ＝x +2与直线y ＝ax +c 相交于点P （m ，3），则关于x 的不等式x +2≤ax +c 的解为 ．11．（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C ＝0的距离公式为：d =00√A +B ，则点P （3，﹣3）到直线y =−23x +53的距离为 ．12．（2019·观察此表，利日该商店销售纯净水的数量约为瓶．13．（2019·盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交y 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是________．三、解答题（共48分）14．(2019·南京)已知一次函数y 1＝kx ＋2(k 为常数，k ≠0)和y 2＝x －3．(1)当k ＝－2时，若y 1＞y 2，求x 的取值范围．(2)当x ＜1时，y 1＞y 2．结合图象，直接写出k 的取值范围． 15．（2019·常德）某生态园推出甲、乙两种消费卡，设入园次数x 时所需费用为y 元，选择这两种消费卡时，y 与x 的函数关系如图5所示，解答下列问题： ⑴分别求出两种卡消费时，y 与x 的函数表达式； ⑵请根据入园次数确定旋转哪种消费卡比较合算.16．( 2019·济宁)小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y （km ）与小王的行驶时间x （h ）之间的函数关系．请你根据图像进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx +1（k ≠0）与直线x ＝k ，直线y ＝﹣k 分别交于点A ，B ，直线x ＝k 与直线y ＝﹣k 交于点C ． （1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．18．（2019·天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/kg3050150…甲批发店花费/元300…乙批发店花费/元350…（Ⅰ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；（Ⅰ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买数量多．7．一次函数考点训练1．答案：A解析：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；B、y=8x ，是反比例函数，不合题意；C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；故选：A．2．答案：y＝x解析：本题考查了一次函数与二次函数的增减性，y＝kx(k>0)和y＝ax2(a>0)都符合条件，因此本题答案为y ＝x ． 3．答案：D解析：本题考查了一次函数的图象与性质．直线y ＝kx+b(k ＜0，b ＞0)经过第一、二、四象限，与x 轴的交点坐标是(－b k ，0)，因此，当x ＞－bk时，y ＜0，故选项D 错误． 4．答案：C解析：结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y ＝－x ＋4的图象经过第一、二、四象限， 此题得解解：∵－1＜0，4＞0，∴一次函数y ＝－x ＋4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．∵点P 在一次函数y ＝－x ＋4的图象上，∴点P 一定不在第三象限．故选：C ． 5．答案：C解析：本题考查了用待定系数法求一次函数解析式；设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧4＝k ＋b ，7＝2k ＋b .∴⎩⎨⎧k ＝3，b ＝1，∴y ＝3x ＋1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；因此本题选C ．6．答案：A解析：本题考查了一次函数图象，设点P 的坐标为（x ，y ），则矩形的长为x ，宽为y ，由周长为8可得2（x ＋y ）＝8，即y ＝-x ＋4．因此本题选A ． 7．答案：（21，0） 解析：本题考查了一次函数图象的性质，求直线与x 轴的交点坐标，就要求出当y=0时，x 的值为多少.令0=y ，得21=x ，所以直线12-=x y 与x 轴交点坐标为（21，0）.因此本题答案为：（21，0）．8．答案：1＜k ＜3解析：本题考查了一次函数图象与系数的关系．当直线y=(2－2k)x+k －3经过第二、三，四象限时，有⎩⎨⎧<-<-.03,022k k 解得1＜k ＜3．9．答案：4解析：本题考查了等腰三角形存在性，涉及到一次函数的性质，线段的垂直平分线以及圆等知识，作AB 的垂直平分线，交于坐标原点，△OAB 为等腰三角形；以B 为圆心BA 长为半径交x 轴于C 2，△C 2AB 为等腰三角形，以A 为圆心，AB 长为半径，交x 轴于C 3，C 4，则△C 3AB ，△C 4AB 为等腰三角形，所以满足条件的C 点的有4个.第9题图10．答案：（47， 解析：本题考查了一次函数与几何图形的综合问题，根据题意可知直线与x 轴的交点坐标D （-1,0），与x 轴的夹角为300，又因为∠C 1OA 1 =∠C 2A 1 A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，∴△DA 1C 2,△DA 2C 3,△DA 3C 4…都是等腰三角形，∴第1个菱形的边长是1，第2个菱形的边长是2，第3个菱形的边长是4，第4个菱形的边长是8，第5个菱形的边长是16，第6个菱形的边长为32,所以C 6的纵坐标为因为C 6点在直线3333+=x y 上，∴C 6（47，（47，． 11．思路分析：本题考查了待定系数法求一次函数解析式的综合应用，先用待定系数法求a 的值，再设l 1解析式为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入函数解析式进行计算求出k 、b 的值，即可得解；（2）求出C 、A 的坐标，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 解答过程：（1）上，：在直线点42),1(2+=-x y l a P a =+-⨯∴4)1(2，即2=a ， 则P 的坐标为)2,1(-，设直线1l 的解析式为：b kx y +=)0(≠k ，那么⎩⎨⎧=+-=+20b k b k ， 解得：⎩⎨⎧=-=11b k .1l ∴的解析式为：1+-=x y .（2） 直线1l 与y 轴相交于点C ，∴C 的坐标为)1,0(， 又 直线2l 与x 轴相交于点A ，A ∴点的坐标为)0,2(-，则3=AB ， 而BOC PAB PAOC S S S ∆∆-=四边形， ∴PAOC S 四边形2511212321=⨯⨯-⨯⨯=. 12．思路分析:本题考查了新定义、点的坐标、分类思想．（1）根据融合点的定义进行检验；（2）①根据融合点的定义列出关于横坐标与纵坐标的两个等式，进而得到y 与x 的函数关系式；②按∠DTH ＝90°、∠DHT ＝90°、∠HTD ＝90°三种情形分类求解．解答过程：（1）∵173-+＝2，573+＝4，∴.点C （2，4）是点A 、B 的融合点． （2）①由融合点定又知x ＝33t +，∴t ＝3x －3．又∵y ＝0(23)3t ++，∴t ＝332y -．∴3x －3＝332y -．∴y ＝2x －1． ②要使ADTIH 为直角三角形，可分三种情况讨论：（Ⅰ）当∠THD ＝90°时，如图1所示，设T （m ，2m －1），则点E （m ，8m ＋3）．由点T 是点D 、E 的融合点，可得m ＝33m +或2m －1＝(23)03m ++，解得m ＝32．∴点E 1（32，6）． （Ⅰ）当∠TDH ＝90°时，如图2所示，则点T 为（3，5）．由点T 是点D 、E 的融合点，可得点E 2（6，15）．（Ⅰ）当∠HTD＝90°时，该情况不存在． 综上所述，符合题意的点为（32，6）、（6，15）．图1图213．答案：B解析：本题考查函数的图象，从爷爷离家900米的公园回家，则爷爷离家的距离应该越来越近，故选B .14．答案：B解析：本题考查了距离与时间的图象．由题意可得，乌龟的路程随着时间的变化而变化，兔子一开始让乌龟先跑，所以最初一段时间，兔子的路程为0，因为兔子又输给了乌龟，所以乌龟比兔子先到达终点，符合题意的是选项B ，因此本题选B ． 15．思路分析：（1）根据题意可以分别写出y 1、y 2、y 3关于x 的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；（3）结合图象可得：小张选择的是方式A ，小王选择的是方式B ，将y ＝81代入y 2关于x 的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间． 解答过程：（1）∵0.1元/min ＝6元/h ， ∴由题意可得，y 1={30(0≤x ≤25)6x −120(x ＞25)，y 2={50(0≤x ≤50)6x −250(x ＞50)，y 3＝100（x ≥0）；（2）作出函数图象如图：结合图象可得：若选择方式A 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：0≤x ＜853， 若选择方式B 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：853＜x ＜1753， 若选择方式C 最省钱，则月通话时间x 的取值范围为：x ＞1753．故答案为：0≤x ＜853，853＜x ＜1753，x ＞1753．（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，∴结合图象可得：小张选择的是方式A ，小王选择的是方式B ，将y ＝80分别代入y 2={50(0≤x ≤50)6x −250(x ＞50)，可得 6x ﹣250＝80，解得：x ＝55，∴小王该月的通话时间为55小时．16．答案：D解析：本题考查了解一元一次不等式组以及不等式组解集，根据题意可以画出如下图图像，观察图像易得不等式1kx b +>的解为1x >，因此本题选D ．17．答案：x ＞3解析： 本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据直线y ＝kx +b （k ＜0）经过点A （3，1），正比例函数y ＝x 也经过点A 从而确定不等式的解集．正比例函数y ＝x 也经过点A ，∴kx +b ＜x 的解集为x ＞3，，因此本题填x ＞3．能力检测1．答案：D解析：根据题意得，{x −2≠0x +1≥0， 解得，x ≥﹣1，且x ≠2．故选：D ．2．答案：D解析：直线y ＝3x +1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y ＝3x +1﹣2＝3x ﹣1．故选：D ．3．答案：B解析：y ＝kx +b 的图象经过一、三、四象限，∴k ＞0，b ＜0，∴kb ＜0；故选：B ．4．答案：C解析：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5﹣1.5＝1km ＝1000m ，所用时间是（45﹣30）＝15分钟， ∴体育场出发到文具店的平均速度=100015=2003m /min故选：C ．5．答案：A解析：A 、由①可知：a ＞0，b ＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A 正确；B 、由①可知：a ＜0，b ＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故B 错误； xC、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．6．答案：C解析：当x＝7时，可得−7+b2=−2，可得：b＝3，当x＝﹣8时，可得：y＝﹣2×（﹣8）+3＝19，故选：C．7．答案：A解析：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴y随t的增大而减小，符合一次函数图象，故选：A．8．答案：x≥2．解析：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥29．答案：k＜3解析：k＜3∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴k－3＜0，解得：k＜3.10．答案：x＜1解析：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x＜1；11．答案：813√13解析：∵y=−23x+53∴2x+3y﹣5＝0∴点P（3，﹣3）到直线y=−23x+53的距离为：22=813√13，故答案为：813√13．12．答案：150解析：本题考查了函数的应用，由表格可知销售数量y与日期x之间的函数关系式为y＝120＋5（x －1）＝5x＋115，当x＝7时，y＝5×7＋115＝150，因此本题应填150．13．答案：y＝x－1解析：在y＝2x－1中，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝12．∴B（0，－1），A（12，0）．∴OA＝12，OB＝1．如答图所示，过A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．∴∠BAD＝∠AED＝90°．∴∠OAB＋∠EAD＝90°．∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＋∠OBA＝90°．∴∠EAD＝∠OBA．在Rt△ABD中，∵∠ABD＝45°，∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－45°＝45°．∴∠ABD＝∠AD B．∴AB＝AD．在△OAB与△EDA中，AOB AEDOBA EADAB AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△OAB≌△EDA．∴AE＝OB＝1，DE＝OA＝1 2．∴OE＝OA＋AE＝12＋1＝32．∴D（32，12-）．设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b．把B（0，－1）、D （32，12-）代入得11322b k b -=⎧⎪⎨-=+⎪⎩，．解得k ＝13，b ＝－1．∴直线BC 的函数表达式为y ＝13x －1．14．思路分析:本题考查了一次函数与不等式的关系、数形结合思想等．解答过程：(1)当k ＝－2时，y 1＝－2x ＋2．根据题意，得－2x ＋2＞x －3．解得x ＜53． (2)如图4，直线y 2＝x －3上横坐标是1的点D 的纵坐标是－2．①当直线y 1＝kx ＋2经过点D (1，－2)时，k ＝－4．此时符合题意；②当直线y 1＝kx ＋2与直线y 2＝x －3平行时，k ＝1．此时符合题意；③当直线y 1＝kx ＋2与直线y 2＝x －3的交点P 在射线DC 上时，符合题意，此时k 的取值范围是－4＜k ＜1且k ≠0．综上所述，k 的取值范围是－4≤k ≤1且k ≠0．15．思路分析：本题考查了一次函数与图像，（1）甲：正比例函数y ＝mx ，将点（5,100）代入求得m ；乙，一次函数，将点（0,100），（20,300）代入；（2）找到甲、乙收费相等的点的坐标，在分类讨论．解答过程：⑴设y mx 甲， 100y nx 乙由题意可得100=5m ，解得20m ，∴=20y x 甲；30020100n ，解得10n ，∴10100y x 乙；⑵根据题意得，=2010100y x y x 甲乙解得10200x y 结合图像可知，当次数少于10次时，选择甲中消费卡比较合算，等于10次是甲、乙均可，当次数大于20次时，选择乙种消费卡，比较合算16．思路分析：本题考查了一次函数图象的应用，由图可知，出发时两车相距30km ，一个小时后两车相遇，之后在小李到达甲地前，两车的距离变大，速度和不变，小李到达甲地后，只有小王运动，此时的相对速度为小李本人的速度，即小王用了3小时到达了乙地．解答过程：（1）从线段AB 可以看出：两人从相距30千米的两地相遇用了一个小时时间，则V 小王＋yx第16题答图CE D ABO xO y D A B y 2 y 1y 1 y 1 C1 图4V 小李＝30千米/时，小王用了3个小时走完了30千米的全程，∴V 小王的速度＝10千米/时， V 小李＝20千米/时.（2）C 点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20＝1.5小时，此时小王和小李的距离是（1.5－1）×30＝15，∴C 点坐标是（1.5，15）．设BC 解析式为y ＝kx ＋b ，则将点B (1,0),C (1.5,15)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧=+=+.155.1,0b k b k 解得⎩⎨⎧-==.30,30b k ∴BC 解析式为y ＝30x －30．（1≤x ≤1.5）17．思路分析：本题考查了一次函数的图象与性质以及点的坐标特征．（1）令x ＝0，y ＝1，直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）；（2）①当k ＝2时，A （2，5），B （−32，﹣2），C （2，﹣2），在W 区域内有6个整数点；②当x ＝k +1时，y ＝﹣k +1，则有k 2+2k ＝0，k ＝﹣2，当0＞k ≥﹣1时，W 内没有整数点；解答过程：（1）令x ＝0，y ＝1，∴直线l 与y 轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A （k ，k 2+1），B （−k−1k，﹣k ），C （k ，﹣k ），①当k ＝2时，A （2，5），B （−32，﹣2），C （2，﹣2），在W 区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；②直线AB 的解析式为y ＝kx +1，当x ＝k +1时，y ＝﹣k +1，则有k 2+2k ＝0，∴k ＝﹣2，当0＞k ≥﹣1时，W 内没有整数点，∴当0＞k ≥﹣1或k ＝﹣2时W 内没有整数点；18．思路分析：本题考查了一次函数的简单应用.（Ⅰ）根据题意计算即可，6×30＝180，6×150＝900，7×30＝210，7×50+5×（150﹣50）＝850，因此本小题答案为：（从左到右，从上往下）依次为180，900，210，850．（Ⅰ）根据题意直接列式即可，甲批发店花费 y 1（元）＝6×购买数量x （千克）；而乙批发店花费 y 2（元）是购买数量x （千克）的分段函数：花费 y 2（元）在一次购买数量不超过50kg 时，y 2（元）＝7×购买数量x （千克）；一次购买数量超过50kg 时，y 2（元）＝7×50+5（x ﹣50）．（Ⅰ）①根据花费相同，即y 1＝y 2列方程即可求出相应的x 的值；②求出在x ＝120时，所对应的y 1、y 2的值，比较得出结论；③求出当y ＝360时，两店所对应的x 的值，再通过比较得出结论．解答过程：（Ⅰ）（从左到右，从上往下）依次为：180，900，210，850；（Ⅰ）y 1＝6x （x ＞0）；当0＜x ≤50时，y 2＝7x （0＜x ≤50）；当x ＞50时，y 2＝7×50+5（x ﹣50）＝5x +100 （x ＞50）.因此y 1，y 2与x 的函数解析式分别为： y 1＝6x （x ＞0）；⎩⎨⎧>+=-+⨯≤<=)50(,1005)50(5507)500(,72x x x x x y . （Ⅰ）①当0＜x ≤50时，由题知6x ＝7x ，解得x ＝0，不合题意舍去；当x ＞50时，由题知6x ＝5x +100，解得x ＝100，故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克，因此本小题的答案为：100； ②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120+100＝700，∵720＞700，∴乙批发店花费少．故本小题答案为：乙；③当y 1＝6x ＝360时，解得x ＝60；当y 2＝7x =360时，解得x=3607（大于50，舍去）；当y 2＝5x +100＝360时，解得x ＝52.∵60＞52，∴甲批发店购买数量多．本小题答案为：甲．。
一次函数综合应用知识归纳＋真题解析【知识归纳】一、一次函数和一元一次方程的关系一次函数y ＝kx ＋b 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx ＋b ＝0的；若从图象上来看，则可看做函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点的，即为方程kx ＋b ＝0的解．二、一次函数和一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为类似ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y ＝ax ＋b 的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y ＝ax ＋b 的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的解集即可．①如图1，一次函数b kx y +=的图象与x 轴交于点（x 0，0）．当它在x 轴上方的部分时，对应不等式为，其解为；当它在x 轴下方的部分时，对应不等式为，其解为.图1图21x+b 1② 如图2，一次函数111b x k y +=与222b x k y +=的图象交点的横坐标为x 0．当222b x k y +=的图象在111b x k y +=上方的部分时，对应不等式为，其解为；当222b x k y +=的图象在111b x k y +=下方的部分时，对应不等式为，其解为.二、一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．(2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是等等．【知识归纳答案】一、一次函数和一元一次方程的关系：解；横坐标．二、一次函数和一元一次不等式的关系为kx+b ＞0，其解为x ＞x 0；为kx+b ＜0，其解为x ＜x 0.③ k 2x+b 2＞k 1x+b 1，其解为x ＞x 0；当222b x k y +=的图象在111b x k y +=下方的部分时，对应不等式为k 2x+b 2＜k 1x+b 1，其解为x ＜x 0.二、一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息：横轴、纵轴(2)一次函数图象的应用：射线、线段或折线等等．真题解析一．选择题（共6小题）1．对于函数y=2x ﹣1，下列说法正确的是（ ）A ．它的图象过点（1，0）B ．y 值随着x 值增大而减小C ．它的图象经过第二象限D ．当x ＞1时，y ＞0【考点】F5：一次函数的性质．【分析】根据一次函数的性质进行计算即可．【解答】解：A 、把x=1代入解析式得到y=1，即函数图象经过（1，1），不经过点（1，0），故本选项错误；B 、函数y=2x ﹣1中，k=2＞0，则该函数图象y 值随着x 值增大而增大，故本选项错误；C 、函数y=2x ﹣1中，k=2＞0，b=﹣1＜0，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项错误；D 、当x ＞1时，2x ﹣1＞1，则y ＞1，故y ＞0正确，故本选项正确．故选：D．2．一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是（）学科网A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系知m﹣2＜0，据此可以求得m的取值范围．【解答】解：如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2．故选A．3．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．学科网令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．又∵OP∥CD，∴点P为线段CD′的中点，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．学科网4．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（）A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、y2的值，将其与0比较大小后即可得出结论．【解答】解：∵点（﹣1，y1），（4，）在一次函数y=3x﹣2的图象上，∴y1=﹣5，y2=10，∵10＞0＞﹣5，∴y1＜0＜y2．故选B．5．公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（）A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P【考点】FH：一次函数的应用．【分析】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，∴A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．故选A．6．小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，图中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min 到家，再过5min小东到达学校，小东始终以100m/min的速度步行，小东和妈妈的距离y（单位：m）与小东打完电话后的步行时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米；②小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min；③小东打完电话后，经过27min到达学校；④小东家离学校的距离为2900m．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】FH：一次函数的应用．【分析】①由当t=0时y=1400，可得出打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；②利用速度=路程÷时间结合小东的速度，可求出小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；③由t的最大值为27，可得出小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；④根据路程=2400+小东步行的速度×（27﹣22），即可得出小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①当t=0时，y=1400，∴打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；②2400÷（22﹣6）﹣100=50（m/min），∴小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；③∵t的最大值为27，∴小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；④2400+（27﹣22）×100=2900（m），∴小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．综上所述，正确的结论有：①②③④．故选D．学科网二．填空题（共6小题）7．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x﹣1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1＜y2（填“＞”，“＜”或“=”）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据k=1结合一次函数的性质即可得出y=x﹣1为单调递增函数，再根据x1＜x2即可得出y1＜y2，此题得解．【解答】解：∵一次函数y=x﹣1中k=1，∴y随x值的增大而增大．∵x1＜x2，∴y1＜y2．故答案为：＜．8．如图，点A1（1，）在直线l1：y=x上，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2：y=x 于点B1，A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第n个等边三角形A n B n C n的面积为．（用含n的代数式表示）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质．【分析】由点A1的坐标可得出OA1=2，根据直线l1、l2的解析式结合解直角三角形可求出A1B1的长度，由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出OA2=3，通过解直角三角形可得出A2B2的长度，同理可求出A n B n的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形A n B n C n的面积．【解答】解：∵点A1（1，），∴OA1=2．∵直线l1：y=x，直线l2：y=x，∴∠A1OB1=30°．在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°，∴A 1B 1=OB 1，∴A 1B 1=．∵△A 1B 1C 1为等边三角形，∴A 1A 2=A 1B 1=1，∴OA 2=3，A 2B 2=．同理，可得出：A 3B 3=，A 4B 4=，…，A n B n =，∴第n 个等边三角形A n B n C n 的面积为×A nB n 2=．故答案为：．9．如图，直线y=x 上有点A 1，A 2，A 3，…A n +1，且OA 1=1，A 1A 2=2，A 2A 3=4，A n A n +1=2n 分别过点A 1，A 2，A 3，…A n +1作直线y=x 的垂线，交y 轴于点B 1，B 2，B 3，…B n +1，依次连接A 1B 2，A 2B 3，A 3B 4，…A n B n +1，得到△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…，△A n B n B n +1，则△A n B n B n +1的面积为 （22n ﹣1﹣2n ﹣1） ．（用含有正整数n 的式子表示）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】由直线OA n 的解析式可得出∠A n OB n =60°，结合A n A n +1=2n 可求出A n B n 的值，再根据三角形的面积公式即可求出△A n B n B n +1的面积．【解答】解：∵直线OA n 的解析式y=x ，∴∠A n OB n=60°．∵OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，A n A n+1=2n，∴A1B1=，A2B2=3，A3B3=7．设S=1+2+4+…+2n﹣1，则2S=2+4+8+…+2n，∴S=2S﹣S=（2+4+8+…+2n）﹣（1+2+4+…+2n﹣1）=2n﹣1，∴A n B n=（2n﹣1）．∴=A n B n•A n A n+1=×（2n﹣1）×2n=（22n﹣1﹣2n﹣1）．故答案为：（22n﹣1﹣2n﹣1）．10．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是②③．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．【考点】FF：两条直线相交或平行问题；18：有理数大小比较；CB：解一元一次不等式组．【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5，故①错误；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=[﹣2.1]+（﹣2.1）+[﹣2.1）=（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）=﹣7，故②正确；③当1＜x＜1.5时，4[x]+3（x）+[x）=4×1+3×2+1=4+6+1=11，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B 两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是12．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是；（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA=45°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系．【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，所以直线AB的解析式为y=﹣x+2，则B（0，2）．∴OB=OA=2，AB=2．设点O到直线AB的距离为d，=OA2=AB•d，得由S△OAB4=2d，则d=．故答案是：．（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CPA=∠ABO=45°，所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，所以=，即=，解得m=12．故答案是：12．12．当m=﹣3，0，﹣时，函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣5（x≠0）是一次函数．【考点】F1：一次函数的定义．【分析】根据二次项的系数为零，可得一次函数．【解答】解：①由y=（m+3）x2m+1+4x﹣5（x≠0）是一次函数，得m+3=0．解得m=﹣3；②，解得m=0；③2m+1=0，解得：m=﹣；综上所述，当m=﹣3，0，﹣时，y=（m﹣3）x2m+1+4x﹣5是一次函数．故答案为：﹣3，0，﹣．三．解答题（共7小题）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C．（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．【考点】F9：一次函数图象与几何变换；O4：轨迹．【分析】（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：（1）∵OB=4，∴B（0，4）∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+4；（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴AD•OB=5，∴（m+2）•m=5，即m2+2m﹣10=0，解得m=﹣1+或m=﹣1﹣（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B的运动路径长为：×2π×（﹣1+）=π．14．直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；（2）将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C．作出l1的图象，l1的解析式是y=﹣2x+6．（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D．作出l2的图象，tan∠CAD=．【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象．【分析】（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l的解析式；（2）将直线向上平移4个单位可得直线l1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式；（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l2的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO=可得答案．【解答】解：（1）当y=0时，﹣2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），当x=0时，y=2，即点B（0，2），如图，直线AB即为所求；（2）如图，直线l1即为所求，直线l1的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6，故答案为：y=﹣2x+6；（3）如图，直线l2即为所求，方法一、∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，∴∠BAD=90°，∴∠CAD+∠OAB=90°，又∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠CAD=∠ABO，∴tan∠CAD=tan∠ABO==；方法二：∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），设直线l2解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、（3，1）代入，得：，解得：，∴直线l2的解析式为y=x﹣，当x=0时，y=﹣，∴直线l2与y轴的交点E（0，﹣），∴tan∠CAD=tan∠EAO===，故答案为：．15．为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6分钟忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前行走，小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆．已知单车的速度是步行速度的3倍，如图是小亮和姐姐距家的路程y（米）与出发的时间x（分钟）的函数图象，根据图象解答下列问题：（1）小亮在家停留了2分钟．（2）求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系式．（3）若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m分钟，原计划步行到达图书馆的时间为n分钟，则n﹣m=30分钟．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据路程与速度、时间的关系，首先求出C、B两点的坐标，即可解决问题；（2）根据C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（3）求出原计划步行到达图书馆的时间为n，即可解决问题．【解答】解：（1）步行速度：300÷6=50m/min，单车速度：3×50=150m/min，单车时间：3000÷150=20min，30﹣20=10，∴C（10，0），∴A到B是时间==2min，∴B（8，0），∴BC=2，∴小亮在家停留了2分钟．故答案为2．（2）设y=kx+b，过C、D（30，3000），∴，解得，∴y=150x﹣1500（10≤x≤30）（3）原计划步行到达图书馆的时间为n分钟，n==60n﹣m=60﹣30=30分钟，故答案为30．16．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出y关于x的函数解析式；（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题；（2）列出方程组即可解决问题；（3）由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，可得75≤l≤150．【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，则有，解得，∴y=﹣x+75．（2）由题意，解得，∴单层部分的长度为90cm．（3）由题意当y=0，x=150，当x=0时，y=75，∴75≤l≤150．17．为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设购进篮球m个，排球n个，根据购进篮球和排球共60个且共需4200元，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据总利润=单个利润×购进数量，即可得出y与x之间的函数关系式；（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据进货成本在4300元的限额内且全部销售完后所获利润不低于1400元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，取其整数即可得出各购进方案，再结合（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：，解得：，答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∴y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：，解得：40≤x≤．∵x取整数，∴x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．18．在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距480千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离；（2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）分两种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等．【解答】解：（1）360+120=480（千米）故答案为：480；（2）设3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b，由图象可得，货车的速度为：120÷3=40千米/时，则点B的横坐标为：3+360÷40=12，∴点P的坐标为（12，360），，得，即3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=40x ﹣120；6=60千米/时，（3）v客=360÷v邮=360×2÷8=90千米/时，设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，120+（90﹣40）t=360﹣（60+90）tt=1.2（小时）；设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，40t+60t=480解得t=4.8，综上所述，经过1.2或4.8小时邮政车与客车和货车的距离相等．19．一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5小时，轿车比卡车每小时多行驶60千米，两车到达甲城后均停止行驶，两车之间的路程y（千米）与轿车行驶时间t（小时）的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息解答下列问题：（1）请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；（2）求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点D的坐标；（3）请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程s（千米）与轿车行驶时间t（小时）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据图象可知甲城和乙城之间的路程为180千米，设卡车的速度为x千米/时，则轿车的速度为（x+60）千米/时，由B（1，0）可得x+（x+60）=180可得结果；（2）根据（1）中所得速度可得卡车和轿车全程所用的时间，利用卡车所用的总时间减去轿车来回所用时间可得结论；（3）根据s=180﹣120×（t﹣0.5﹣0.5）可得结果．【解答】解：（1）甲城和乙城之间的路程为180千米，设卡车的速度为x千米/时，则轿车的速度为（x+60）千米/时，由B（1，0）得，x+（x+60）=180解得x=60，∴x+60=120，∴轿车和卡车的速度分别为120千米/时和60千米/时；（2）卡车到达甲城需180÷60=3（小时）轿车从甲城到乙城需180÷120=1.5（小时）3+0.5﹣1.5×2=0.5（小时）∴轿车在乙城停留了0.5小时，点D的坐标为（2，120）；（3）s=180﹣120×（t﹣0.5﹣0.5）=﹣120t+420．。
专题11 一次函数考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】1、有两个变量。
2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a 时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
专题11 一次函数考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】1、有两个变量。
2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a 时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。
2、列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。
缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。
3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。
缺：图像中只能得到近似的数量关系。
【典型例题】1．（·河北中考真题）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y =（）A．2 B．3 C．6 D．x+3 【答案】B【解析】依题可得：2x6y x32+=-=．故选B．2．（·广西中考模拟）下列各曲线中哪个不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：显然A、B、C三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；D、对于x＞0的部分值，y都有二个或三个值与之相对应，则y不是x的函数；故选：D．3．（·新疆中考模拟）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】A ，B ，D 的图象都满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故A 、B 、D 的图象是函数，C的图象不满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故C 错误． 故选C ．4．（·浙江中考模拟）用100元钱在网上书店恰好可购买m 本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n 本书共需费用y 元，则可列出关系式（ ） A ．1000.6y n m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1000.6y n m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()1000.6y n m =+D ．()1000.6y n m =+【答案】A 【详解】解：平均每本书价格为100m， 购买n 本书共需费用1000.6y n m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A ．5．（·浙江中考模拟）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜0B ．﹣1＜x ＜1或x ＞2C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1或1＜x ＜2【答案】B 【解析】y <0时，即x 轴下方的部分，∴自变量x 的取值范围分两个部分是−1<x <1或x >2. 故选B.【考查题型汇总】考查题型一 确定自变量取值范围1．（·山东中考模拟）函数x 的取值范围是（ ）A ．x≠2B ．x ＜2C ．x≥2D ．x ＞2【答案】D 解：∵函数有意义, ∴x-2>0, 即x ＞2 故选D2．（2007·江苏中考真题）在函数y =−1y +2中，自变量y 的取值范围是（ ） A ．x≠2 B．x≤-2 C ．x≠-2 D ．x≥-2 【答案】C 【解析】根据题意得：x+2≠0，解得：x≠-2.故选C ．3．（·湖南中考模拟）函数y =√2−y +1y −3中自变量y 的取值范围是（ ） A ．y =3 B ．y ≤2C ．y <2且y ≠3D ．y ≤2且y ≠3【答案】B 【详解】 根据题意得：{2−y ≥0y −3≠0解得：x≤2 故选B4．（·湖南中考模拟）函数y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥1 B ．x ＞1 C ．x≥1且x≠2D ．x≠2【答案】C 【解析】试题分析：依题意得：x ﹣1≥0且x ﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选C ．5．（·湖南中考真题）下列函数中，自变量x 的取值范围是x≥3的是（ ）A ．1y=x 3- B ．C ．y=x 3-D ．【答案】D 【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使各函数在实数范围内有意义，必须：A 、分式有意义，x ﹣3≠0，解得：x≠3；B 、二次根式和分式有意义，x ﹣3＞0，解得x ＞3；C 、函数式为整式，x 是任意实数；D 、二次根式有意义，x ﹣3≥0，解得x≥3。
故选D 。
考查题型二 从函数图形中获取信息1．（·吉林中考模拟）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米； （2）小明在书店停留了多少分钟；（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？【答案】（1）1500米；（2）4分钟; (3)2700米；共用14分钟． 【详解】(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米；(2)根据题意,小明在书店停留的时间为从(8分)到(12分)， 故小明在书店停留了4分钟.(3)一共行驶的总路程=1200+(1200−600)+(1500−600)=1200+600+900=2700米； 共用了14分钟.2．（2005·江苏中考真题）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：(1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．①求排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)与之间的关系式；②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．【答案】（1）洗衣机的进水时间是4分钟；清洗时洗衣机中水量为40升．（2）排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升．【解析】解：（1）依题意得洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升；（2）①∵洗衣机的排水速度为每分钟19升，从第15分钟开始排水，排水量为40升，∴y=40-19（x-15）=-19x+325，②∵排水时间为2分钟，∴y=-19×（15+2）+325=2升．∴排水结束时洗衣机中剩下的水量2升．（1）根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量；（2）①由于洗衣机的排水速度为每分钟19升，并且从第15分钟开始排水，排水量为40升，由此即可确定排水时y与x之间的关系式；②根据①中的结论代入已知数值即可求解．3．（·甘肃中考模拟）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 随x的变化关系.（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【答案】（1）3600 ，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）.【详解】(1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为3600m，中途休息时间为：50﹣30=20min，故答案为；3600，20；(2)观察图象可知小亮休息前走了30分钟，1950米，所以小亮休息前的速度为：19506530=(米/分)，小亮休息后的速度为：36001950558050-=-(米/分)，答：小亮休息前的速度为65米/分，休息后的速度为55米/分；(3)缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟，小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，80－60＝20(分)，∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20⨯55=1100(米)，答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100米.考查题型三利用函数图形求解实际问题1．（·湖北中考真题）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】A、兔子后出发，先到了，不符合题意；B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，符合题意；C、乌龟先出发后到，不符合题意；D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意，故选B．2．（·富顺县赵化中学校中考真题）均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（）A．B．C．D．【答案】D【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.3．（·安徽中考模拟）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。
