常微分方程-奇解与包络共36页文档

常微分方程教程第四章奇解第四章的主题是奇解。

奇解是指常微分方程的特解，它们具有非常特殊的性质。

在这一章中，我们将讨论奇解的定义、性质和求解方法。

首先，我们来看奇解的定义。

对于一个常微分方程，如果一些函数既是它的解，又满足该方程的初值条件，那么这个解就是初值问题的特解。

如果一个特解在一些区间上唯一地存在，且不能由其他解表示，那么它就是奇解。

奇解是一种与常解不同的特殊解，它在数学研究和应用中具有重要的意义。

接下来，我们将讨论奇解的性质。

首先，奇解的存在性和唯一性是奇解研究的基本问题。

对于一些常微分方程，它们可能具有奇解，而对于其他方程，则可能不存在奇解。

为了证明奇解的存在性和唯一性，我们需要运用一些相关的定理和方法，如皮卡逐步逼近法和柯西定理等。

这些定理和方法提供了解决奇解问题的有力工具。

其次，奇解的求解方法也是本章的重点内容。

对于一些特定的常微分方程，我们可以采用一些特殊的技巧和方法来求解它们的奇解。

例如，对于线性常微分方程，我们可以利用常系数线性微分方程的特征根和特征向量来求解奇解。

而对于一些非线性常微分方程，我们可以运用变量分离、积分因子和分离变量等方法来求解奇解。

这些求解方法的研究可以帮助我们更好地理解奇解的性质和特点。

最后，我们将讨论奇解的应用。

奇解不仅仅在数学研究中具有重要意义，它们还广泛应用于物理、化学、生物学等领域。

例如，在物理学中，奇解可以描述一些具有特殊性质或特殊行为的物理系统。

在化学反应动力学中，奇解也被广泛应用于描述化学反应过程中的特殊现象。

奇解的应用研究有助于我们更好地理解和掌握自然界中的现象和规律。

综上所述，第四章主要讨论了奇解的定义、性质和求解方法。

奇解是常微分方程中的特殊解，具有非常特殊的性质。

我们可以通过研究奇解的存在性、唯一性和求解方法，来更好地理解和应用常微分方程。

奇解的研究不仅在数学领域有重要意义，而且在物理、化学、生物学等领域也有广泛的应用。

通过学习和掌握奇解的知识，我们可以拓宽自己的数学视野，提高问题解决能力，并在实际应用中发挥奇解的作用。

浅谈常微分方程奇解与包络对常微分方程教科书中采用的不同方式来定义奇解，进行了讨论，指出了用包络定义奇解的不相容性，和用唯一性破坏定义奇解的合理性。

给出了求常微分方程以已知函数求奇解的多种方法，方法和实例表明，这对有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.标签：常微分方程；定义；奇解；包络0 前言常微分方程，是一个有悠久历史发展迅速的学科，是一个理论和实际应用都很有价值的学科，它不但自身应用十分广泛，而且对其他学科都有非常大的帮助。

许多科学家都对微分方程有了不同程度的研究。

比如牛顿，莱布尼茨等。

常微分方程是17世纪和微积分同时诞生的一门理论性非常强，研究应用非常广泛的学科之一，常微分方程的发展分了四个发展阶段，这四个发展阶段对常微分方程非常关键。

牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，当时几乎所有的数学家也是力学家.牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地，认识规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的，物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系，而这种联系，用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律就一目了然了。

为了便于讨论，现将第一种定义写出：1 奇解的定义在通常教科书中对奇解的定义采用两种方法：一种是用积分曲线族的包络（以下简称包络）定义奇解；另一种是用奇解的唯一性被破坏定义奇解.由下面的讨论可知，用第一种方法定义奇解将会产生混乱，甚至会出现不相容的情况.第二种定义则来源于微分方程本身内容，准确而不会产生歧义.为了便于讨论，现将第一种定义写出：1.1 定义1微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上还有方程的另外一些解存在，在它上面的每一点唯一性都不成立，奇解對应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过[1]。

2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。

一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。

在这里我们讨论不存在奇解的判别法。

如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。

我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。

关键词：奇解，判别式，包络线。

1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。

但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。

在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。

在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。

2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。

奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。

3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。

那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。

方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。