常微分方程-奇解与包络共36页文档

常微分方程教程第四章奇解第四章的主题是奇解。

奇解是指常微分方程的特解，它们具有非常特殊的性质。

在这一章中，我们将讨论奇解的定义、性质和求解方法。

首先，我们来看奇解的定义。

对于一个常微分方程，如果一些函数既是它的解，又满足该方程的初值条件，那么这个解就是初值问题的特解。

如果一个特解在一些区间上唯一地存在，且不能由其他解表示，那么它就是奇解。

奇解是一种与常解不同的特殊解，它在数学研究和应用中具有重要的意义。

接下来，我们将讨论奇解的性质。

首先，奇解的存在性和唯一性是奇解研究的基本问题。

对于一些常微分方程，它们可能具有奇解，而对于其他方程，则可能不存在奇解。

为了证明奇解的存在性和唯一性，我们需要运用一些相关的定理和方法，如皮卡逐步逼近法和柯西定理等。

这些定理和方法提供了解决奇解问题的有力工具。

其次，奇解的求解方法也是本章的重点内容。

对于一些特定的常微分方程，我们可以采用一些特殊的技巧和方法来求解它们的奇解。

例如，对于线性常微分方程，我们可以利用常系数线性微分方程的特征根和特征向量来求解奇解。

而对于一些非线性常微分方程，我们可以运用变量分离、积分因子和分离变量等方法来求解奇解。

这些求解方法的研究可以帮助我们更好地理解奇解的性质和特点。

最后，我们将讨论奇解的应用。

奇解不仅仅在数学研究中具有重要意义，它们还广泛应用于物理、化学、生物学等领域。

例如，在物理学中，奇解可以描述一些具有特殊性质或特殊行为的物理系统。

在化学反应动力学中，奇解也被广泛应用于描述化学反应过程中的特殊现象。

奇解的应用研究有助于我们更好地理解和掌握自然界中的现象和规律。

综上所述，第四章主要讨论了奇解的定义、性质和求解方法。

奇解是常微分方程中的特殊解，具有非常特殊的性质。

我们可以通过研究奇解的存在性、唯一性和求解方法，来更好地理解和应用常微分方程。

奇解的研究不仅在数学领域有重要意义，而且在物理、化学、生物学等领域也有广泛的应用。

通过学习和掌握奇解的知识，我们可以拓宽自己的数学视野，提高问题解决能力，并在实际应用中发挥奇解的作用。

浅谈常微分方程奇解与包络对常微分方程教科书中采用的不同方式来定义奇解，进行了讨论，指出了用包络定义奇解的不相容性，和用唯一性破坏定义奇解的合理性。

给出了求常微分方程以已知函数求奇解的多种方法，方法和实例表明，这对有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.标签：常微分方程；定义；奇解；包络0 前言常微分方程，是一个有悠久历史发展迅速的学科，是一个理论和实际应用都很有价值的学科，它不但自身应用十分广泛，而且对其他学科都有非常大的帮助。

许多科学家都对微分方程有了不同程度的研究。

比如牛顿，莱布尼茨等。

常微分方程是17世纪和微积分同时诞生的一门理论性非常强，研究应用非常广泛的学科之一，常微分方程的发展分了四个发展阶段，这四个发展阶段对常微分方程非常关键。

牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，当时几乎所有的数学家也是力学家.牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地，认识规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的，物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系，而这种联系，用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律就一目了然了。

为了便于讨论，现将第一种定义写出：1 奇解的定义在通常教科书中对奇解的定义采用两种方法：一种是用积分曲线族的包络（以下简称包络）定义奇解；另一种是用奇解的唯一性被破坏定义奇解.由下面的讨论可知，用第一种方法定义奇解将会产生混乱，甚至会出现不相容的情况.第二种定义则来源于微分方程本身内容，准确而不会产生歧义.为了便于讨论，现将第一种定义写出：1.1 定义1微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上还有方程的另外一些解存在，在它上面的每一点唯一性都不成立，奇解對应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过[1]。

2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。

一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。

在这里我们讨论不存在奇解的判别法。

如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。

我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。

关键词：奇解，判别式，包络线。

1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。

但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。

在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。

在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。

2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。

奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。

3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。

那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。

方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。

试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples．Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method.1．引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P －判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C －判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2．奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall 不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线Γ,q ∈Γ.在曲线族(),,0V x y C =中都有一条曲线()*K C 通过q 点并在该点与Γ相切,而且()*K C 在q 点的某一邻域内不同与Γ,则称曲线Γ为曲线族(),,0V x y C =的一支包络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解;反之,微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P －判别式和C －判别式.定理[]11:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G ∈是连续的,而且对y 和p 有连续的偏微商'y F 和'p F ,若函数y= (x) (x J)ϕ∈是微分方程'(,,)0F x y y =的一个奇解,并且()'x. (x). (x)G (x J)ϕϕ∈∈则奇解y=ϕ(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程(,,)0F x y p = , ()',,0p F x y p =其中p y =.定理[]12:设微分方程(,,)0F x y y =有通积分(,,)0V x y c =又设积分曲线(,,)0V x y c =有()y= (x) x J ψ∈则y= (x)ψ满足C －判别式的联立方程 (,,)0V x y c = ,'(,,)0c V x y c =.以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C －判别式和P －判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由[]1中奇解部分的定理2和定理5知,只要求解是微分方程的解,用P －判别式求出的解满足:'''(,,)0(,,)0y pp F x y p F x y p ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩, 用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩,则此解就是奇解,既然C －判别式和P －判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式（C －判别式和P －判别式）对所有一阶微分方程求奇解都有效?3．几个例子利用P －判别式和C －判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?【例1】: 求的奇解()2'0y y x +-=解: 令'y p =,利用P －判别式:2020p y x p ⎧+-=⎨=⎩; 消去P 得y x =,但y x =不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P －判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C －判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.【例2】: 求2'33y 5y -=的奇解.解:原方程的通解为:()35y x c =+C －判别式为:()()35230305y x cx c -⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ ; 消去C 得y=0,但y=0不是方程的解,所以原方程无奇解.以上两个例子充分说明了C －判别式和P －判别式是求奇解的必要条件.【例3】: 求微分方程()2'1xyy y ye ⎡⎤-=⎣⎦的奇解.解: 原方程的P －判别式为:()()22210210xy y p ye p y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩ ; 消去P 得y=0易知y=0是微分方程的解. 而且:'''(,,)10(,,)20y pp F x y p F x y p ⎧=-≠⎪⎨=≠⎪⎩所以y=0是微分方程的奇解.【例4】[]1: 求()2'419y y y ⎡⎤-=⎣⎦. 解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:()()2230x c y y ---= ()* 由C －判别式:()()()223020x c y y x c ⎧---=⎪⎨--=⎪⎩（其中C 为任意常数） 确定二支连续可微的曲线0y =和3y =,对他们分别作如下形式的参数表示式:1A :x c = 0y = ()c -∞<<∞ 2A : x c = 3y = ()c -∞<<∞ 容易验证1A 满足相应的非蜕化条件:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩, 因此1A 是积分曲线族()*的一支包络,从而它是微分方程的奇解.而2A 不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言2A 是否为包络,不过我们可以利用简单的作图得知2A 不是曲线族()*的包络,因此它不是奇解,虽然它是微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P －判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C －判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P －判别式时满足:'''(,,)0(,,)0y pp F x y p F x y p ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩; 用C －判别式时满足:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩. 对于一些微分方程既能用P －判别式又能用C －判别式求奇解,我们接着看一道例题.【例5】[]5: 求20dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的奇解．解: 法一:令dyp dx=,则P-判别式: 2020p xp y p x ⎧+-=⎨+=⎩ ; 消去P 得24x y =-.法二:方程的通解为2y cx c =+ C －判别式:2020y cx c x c ⎧--=⎨+=⎩ ; 消去C 得24x y =-,满足非蜕化条件:()()()()()()()()'''',2,20,0,,10,0x y C C V V c ϕψ⎧=-≠⎪⎨=-≠⎪⎩ 所以24x y =-是奇解.由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P －判别式来求奇解又可用C －判别式求奇解.那么能否将P －判别式和C －判别式联合起来求奇解呢?4．新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P －判别式和C －判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P －判别式和C －判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C －P 消去法【例6】[]9: 求()()23''48927x y y y -=-的奇解. 解: 令'y p = P －判别式:()23248927809x y p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩; 消去P 得:y x =及427y x =-方程的通解为:()()23y c x c -=-C －判别式:()()()()2320230y c x c y c x c ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩; 消去C 得427y x =-.则427y x =-为奇解. 例6中介绍了一种新方法, C －P 消去法:定义:联合P-判别式和C-判别式,从P －判别式得到解(),0x y ϕ=和从P －判别式得到解(),0x y ψ=中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解.在例6中,由P －判别式得到()4027y x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭,由C －判别式得到4027y x -+=,它们的公共单因式为4027y x -+=,令其为零,即427y x =-. 【例7】: 求220xp xp y +-=的.解: 从220xp xp y +-=和220xp x +=中消去P 得:y=-x 再求通解,将方程写成22y xp xp =+211(222)dx dy p dy pxdp pdx xdp p p==+++ 即 2d x d px p-= 通积分为: 2()4y c xc -= 从2()4y c xc -=和 2()4y c c --=中消去C 得:0x =及y x =- 按C －P 消去法知y x =-是奇解.就特殊方程:(),dyf x y dx= 假设(),f x y 连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法.4.2. 自然法[]6定义:当点集L ＝(,)|fx y y ⎧⎫∂=∞⎨⎬∂⎩⎭不是孤立点集,而是有分支()y x ϕ=时,则()y x ϕ=可能是奇解.对于(),dy f x y dx = 当(),f x y 连续,则只要f y∂∂有界,就能保证(),dyf x y dx =的解存在唯一,所以当fy∂=+∞∂时,他就可能破坏了解的唯一性. 【例8】: 求'21y y =- （|y|≤1）的奇解. 解: ()2,1f x y y =-21f yy y∂-=∂- 当1y =±时,fy∂=+∞∂ 所以 1y =±可能破坏解的唯一性,它可能是奇解.验证: (1) 1y =± 显然是方程的解.(2) 由分离变量法求得通解是:sin()y x c =+ ()22x c ππ-≤+≤在1y =上任取一点()0,1x 通解表达式中有解00sin()cos()2y x x x x π=+-=-通过点()0,1x 且其上导数'0y = ,即此解与1y =相切,故1y =是奇解.同理:1y =-也是方程的奇解.4.3. 拾遗法[]7定义:当方程(),dyf x y dx=在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x 、y 的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.【例9】: 求210x x dy dx --= ()1x ≤的奇解. 解: 除以因式21x x -得:21dx dy x x=-积分后得通解:2ln ||11x y c x=++-但令消去因子为零,即210x x -=得0x =;1x =±验证: (1) 它们都是方程的解;(2) 有2limln ||11x x x→=-∞+-2211lim ln ||lim ln ||01111x x x x xx-+→→==+-+-前者说明通解表达式中没有解与0x =相交;后者说明通解表达式中有解与1x =±.相交,且从方程本身看出交点上的斜率都是'y =±∞ 因此得结论:0x =是正常解,1x =±是奇解.5．结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C －判别式(),0x y ψ=和P －判别式(),0x y ϕ=容易求得时,方法C －P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况: (1) P －判别式和C －判别式均可用来求奇解; (2) P －判别式与C －判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P－判别式不可求奇解,但C－判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C－判别式不可求奇解,并且导致P－判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献[]1丁同仁、李承志.常微分方程教程[]M.高等教育出版社,1991年. []2钱祥征.常微分方程解题方法[]M.湖南科学技术出版社,1984年.[]3王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程[]M.高等教育出版,1978年 . []4何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记[]J.内江师范高等专科学校学报,2000年第15卷第2期:1－3.[]5路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式[]J.科学教育论坛,2005年第24期:207－211.[]6张维琪.浅谈奇解的求法[]J.吉安师专学报,1989年第6期:5－10.[]7谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件[]J.河北师范学院学,1993年第3期:27－31.[]8曾庆健.一类常微分方程奇解的求法[]J.安徽电子信息职业技术学院学报2004第5、6期第225页.[]9张少霞.常微分方程奇解的讨论[]J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:133－136.。

常微分方程奇异解在介绍常微分方程的奇异解之前，我们先来回顾一下常微分方程的基本概念。

常微分方程是一种描述函数关系的数学工具，它包含未知函数及其导数或高阶导数。

一般的常微分方程可以表示为dy/dx=f(x,y)，其中y 是未知函数，f(x,y)是已知函数。

在求解常微分方程时，我们通常希望找到满足特定条件的解。

例如，我们可以通过给定的初值条件，求解方程在其中一点上的解。

这种解称为常微分方程的初值问题解。

另外，我们还可以寻找常微分方程的通解，它是满足方程所有可能条件的解。

然而，除了初值问题解和通解之外，常微分方程还存在一些特殊的解，即奇异解。

奇异解是指在常微分方程的解集中，具有特殊性质的解。

与一般的解不同，奇异解通常具有一些特殊的约束条件或额外的性质。

奇异解不仅在理论研究中有重要的意义，而且在实际问题的建模和求解中也有广泛的应用。

下面，我们通过一些具体的例子来介绍常微分方程的奇异解。

首先，考虑一个简单的一阶常微分方程dy/dx=0。

该方程描述了一个常数函数，其导数恒为零。

可以看出，对于此方程，y=c（c为常数）是方程的一个解。

这个解是奇异解，因为它满足方程的所有条件，但不符合通解的形式。

其次，考虑一个二阶常微分方程d^2y/dx^2+y=0。

该方程描述了一个谐振子的运动。

我们知道，该方程的通解为y=A*cos(x)+B*sin(x)（A和B为常数）。

然而，在一些特定的边界条件下，方程也有奇异解。

例如，当边界条件为y(0)=1和y(π)=0时，方程的解为y=-sin(x)。

可以看出，该解满足方程的边界条件，但不能表示为通解中的形式。

因此，该解是方程的奇异解。

奇异解在物理学中也有广泛应用。

例如，考虑一个具有摩擦的运动的质点。

该运动可以用二阶常微分方程描述。

在一些情况下，方程的解中可能存在奇异解，即表示质点停止运动的解。

除此之外，奇异解还有许多其他的应用。

例如，在电路理论中，通过求解常微分方程可以得到电路中电流和电压的变化关系。

3.3 奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family )[教学内容] 1. 介绍微分方程奇解的概念; 2.介绍曲线族包络的概念; 3. 介绍求解微分方程奇解的方法;4. 介绍寻找曲线族包络的方法；5.复习克莱罗方程.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解；难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3[考核目标]1.微分方程奇解的概念;2. 知道曲线族包络的概念;3. 求解微分方程奇解的方法;4. 知道寻找曲线族包络的方法;5. 认识克莱罗方程并会求解.1.微分方程奇解和曲线族包络的概念2.包络和奇解的寻找例45. 求曲线族03)y(y C)(x 22=---的包络.解：由C 判别式得到，0C)2(x 0,C)y(y C)(x 22=-=---.得到两条直线⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3y Cx ,0y C x .4202411234由上图知道，直线y=0是原曲线族的包络.例46. 求曲线族0C)(x 32C)(y 32=---的包络. 解：由C 判别法知，0C)-2(x C)-2(y 0,C)(x 32C)(y 232=+=---.2112211解得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧==94C y 32C x ,C y C x ，即直线92x y x,y -==. 由上图知，直线92x y -=是曲线族的包络.作业38. 求曲线族4c y c)(x 22=+-的包络，其中c 为参数.例47. 求方程2)dxdy (dx dy 2x y -=的奇解. 解：记dxdy p =，则方程为2p 2x p y -=，运用p 判别法知，02p 2x ,p 2x p y 2=--=. 解得2x y =. 易验证可知，2x y =不是原方程的解，因此，原方程没有奇解.例48. 求方程01y )dxdy (22=-+的奇解. 解：记01y p ,dxdyp 22=-+=，由p 判别法知，02p 0,1y p 22==-+，解得1y ±=. 令⎪⎩⎪⎨⎧==sin t dxdy t cos y ，当0dx dy ≠时，1sin t sin t dx dy /dt dy dt dx -=-==，即C t x +-=.故所求的通解为C)cos(x y -=.42241.00.50.51.0容易验证1y ±=为原方程的奇解.作业39. 求解方程0y )dxdyx ()dx dy (2=-+，并求奇解（如果存在的话）.3. 克莱罗方程与应用题例49. 求一曲线使得它的切线在两坐标轴之间的线段长为a>0.1.00.50.5 1.01.00.50.51.0作业40. 求一曲线，使得它上面每一点的切线与坐标轴的两截距之和等于常数a>0.。