第七章运筹学运输问题案例

第七章 运输问题

7.1 一个农民承包了6块耕地共300亩，准备播种小麦、玉米、水果和蔬菜四种农产品，各种农产品的计划播种面积、每块土地种植不同农产品的单产收益如下表：

单产收益（元/亩） 计划播种面积（亩） 地块1 地块2 地块3 地块4 地块5 地块6

小麦 500 550 630 1000 800 700 76

玉米 800 700 600 950 900 930 88

水果 1000 960 840 650 600 700 96

蔬菜 1200 1040 980 860 880 780 40

地块面积（亩） 42 56 44 39 60 59

问如何安排种植计划，可得到最大的总收益。

解：

这是一个产销平衡的运输问题。可以建立下列的运输模型：

地块1 地块2 地块3 地块4 地块5 地块6 计划播种面积（亩）

小麦 500 550 630 1000 800 700 76

玉米 800 700 600 950 900 930 88

水果 1000 960 840 650 600 700 96

蔬菜 1200 1040 980 860 880 780 40

地块面积（亩）

42 56 44 39 60 59 300

300

代入产销平衡的运输模板可得如下结果：

得种植计划方案如下表：

7.2 某客车制造厂根据合同要求从当年开始起连续四年年末交付40辆规格型号相同的大型客车。该厂在这四年内生产大型客车的能力及每辆客车的成本情况如下表：

年度 可生产客车数量（辆） 制造成本（万元/辆）

正常上班时间 加班时间 正常上班时间 加班时间

1 20 30 50 55

2 38 24 56 61

3 15 30 60 65

4 42 23 53 58

根据该厂的情况，若制造出来的客车产品当年未能交货，每辆车每积压一年的存储和维 地块1 地块2 地块3 地块4 地块5 地块6 计划播种面积（亩）

小麦 6 39 31 76

玉米 29 59 88

水果 2 56 38 96

蔬菜 40 40

地块面积（亩）

42 56 44 39 60 59 300

300 护费用为4万元。在签订合同时，该厂已储存了20辆客车，同时又要求四年期未完成合同后还需要储存25辆车备用。问该厂如何安排每年的客车生产量，使得在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加储存维护费用为最少？

解：得运价表（产大于销的运输模型）如下：

年度1 年度2 年度3 年度4 库存 生产能力（辆 ）

0 4 8 12 16 20 20

1 50 54 58 62 66 20

1’ 55 59 63 67 71 30

2 56 60 64 68 38

2’ 61 65 69 74 24

3 60 64 68 15

3’ 65 69 74 30

4 53 57 42

4’ 58 62 23

合同需求量（辆） 40 40 40 40 25

得生产安排的方案：

第一季度正常上班生产20台，加班27台，拿出正常生产18台和加班2台，加上年前储存的20台，满足本季度的40台；

第二季度正常生产38台，不安排加班。加上第一季度储存的2台，满足本季度的40台；

第三季度正常生产15台，不安排加班。加上第一季度储存的25台，满足本季度的40台；

第四季度正常生产42台。加班生产23台。拿出正常生产的17台的加班生产的23台满足本季度的40台。剩余25台以后务用。

如下表表示：

年度1 年度2 年度3 年度4 库存 生产能力（辆 ）

0 20 20

1 18 2 20

1’ 2 25 30

2 38 38

2’ 24

3 15 15

3’ 30

4 17 25 42

4’ 23 23

合同需求量（辆） 40 40 40 40 25

7.3 某企业生产有甲、乙、丙、丁四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别为：200吨、300吨、400吨和100吨，这些产品供应给A、B、C、D、E、F六个地区，六个地区的需求量分别为：200吨、150吨、350吨、100吨、120吨、120吨。由于工艺、技术的差别，各分厂运往各销售地区的单位运价（万元/吨）、各厂单位产品成本（万元/吨）和各销地的销售价格（万元/吨）如下表：

单位：（万元/吨）

A B C D E F 各厂成本

甲 0.05 0.04 0.03 0.04 0.03 0.01 0.12

乙 0.03 0.08 0.09 0.05 0.06 0.02 0.14

丙 0.07 0.07 0.03 0.07 0.04 0.04 0.11

丁 0.06 0.04 0.02 0.06 0.05 0.08 0.15

各地售价 0.2 0.24 0.18 0.22 0.16 0.22

1、试确定该公司获利最大的产品调运方案。

2、如果E地区至少供应100吨，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

2、如果E地区至少供应100吨，C地区的需要必须全部得到满足，试确定该公司获利最大的产品调运方案。

解：

1、无条件运输问题的运输模型（大于产的产销不平衡运输问题）：

A B C D E F 各厂产量吨）

甲 0.03 0.08 0.03 0.06 0.01 0.09 200

乙 0.03 0.02 -0.05 0.03 -0.04 0.06 300

丙 0.02 0.06 0.04 0.04 0.01 0.07 400

丁 -0.01 0.05 0.01 0.01 -0.04 -0.01 100

各地销量 200 150 400 100 150 150

得安排方案如下：

A B C D E F 各厂产量吨）

甲 50 150 200

乙 200 100 300

丙 400 400

丁 100 100

各地销量 200 150 400 100 150 150

可获最大利润47.5元。

2、有条件的产销不平衡问题，加条件后就已转 化为产销平衡的运输问题

A B C D E F 各厂产量吨）

甲 0.03 0.08 0.03 0.06 0.01 0.09 0.03 200

乙 0.03 0.02 -0.05 0.03 -0.04 0.06 0.03

300

丙 0.02 0.06 0.04 0.04 0.01 0.07 0.02 400

丁 -0.01 0.05 0.01 0.01 -0.04 -0.01 -0.01 100

-M 150

各地销量 200 150 400 100 100 50 150

得安排方案如下：

A B C D E F 各厂产量吨）

甲 50 100 50 200 乙 150 150 300

丙 300 100 400

丁 100 100

50 100 150

各地销量 200 150 400 100 100 50 150

可获最大利润41.5元。

3、这也是有条件的产销不平衡问题，加条件后就已转 化为产销平衡的运输问题

A B C D E F 各厂产量吨）

甲 0.03 0.08 0.03 0.06 0.01 0.09 0.03 200

乙 0.03 0.02 -0.05 0.03 -0.04 0.06 0.03 300

丙 0.02 0.06 0.04 0.04 0.01 0.07 0.02 400

丁 -0.01 0.05 0.01 0.01 -0.04 -0.01 -0.01 100

-M -M 150

各地销量 200 150 400 100 100 50 150

得安排方案如下：

A B C D E F 各厂产量吨）

甲 50 100 50

200

乙 200 100 300

丙 400

400

丁 100 100

150

150

各地销量 200 150 400 100 100 50 150

可获最大利润39.5元。

注：本问题注意的是对于求最大化的产销不平衡问题，大M就取负值。

7.4 某自行车制造公司设有两个装配厂，且在四个地区有销售公司。该公司生产和销售的相关数据如下表：

两个装配厂的有关数据

装配厂 A B

产量（辆） 1100 1000

装配费用（元/辆） 45 55

四个销售公司和需求量

销售公司 1 2 3 4

需求量（辆） 500 300 550 650

从两个装配厂到四个销售公司的运价表

运输单价 销售公司

1 2 3 4

装配厂A 9 4 7 18

装配厂B 2 17 15 8 各家销售公司需要的自行车应由哪个厂装配，才能保证公司获得最大利润？

解：运输问题数学模型：

运输单价（元/辆） 公司1 公司2 公司3 公司4 产量（辆）

装配厂A 54 49 52 64 1100

装配厂B 57 73 69 61 1000

需求量（辆） 500 300 550 650

可得结果生产安排方案如下表：

运输单价（元/辆） 公司1 公司2 公司3 公司4 产量（辆）

装配厂A 250 300 550 1100

装配厂B 250 650 1000

需求量（辆） 500 300 550 650

此运输问题的最小成本（最优值）: 110700元。

即按此方案安排生产，可以使总成本为最低，因此就可以得到最大的利润。

7.5某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、400箱和500箱。需要供应给四个地方销售，这四地的产品需求分别 为400箱、250箱、550箱和200箱。三个分厂到四个销售地的单位运价如下表：

销地

产地 甲 乙 丙 丁

1分厂 21 17 23 25

2分厂 10 15 30 19

3分厂 23 21 20 22

（1） 应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？

（2） 如果2分厂的产量从400箱增加到600箱，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？

（3） 如果甲销地的需求量从400箱增加到500箱，其它情况都与（1）完全相同，应如何安排运输方案，使得总的运输费用最小？

解：

（1） 本问题的运输模型：

销地

产地 甲 乙 丙 丁 产量

1分厂 21 17 23 25 300

2分厂 10 15 30 19 400

3分厂 23 21 20 22 500

销量 400 250 550 200

可得结果运输安排方案如下表：

销地

产地 甲 乙 丙 丁 产量

1分厂 240 50 10 300