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中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题中国科学技术大学~自主招生数学部分共8个填空题、3个解答题，分值为100;物理部分共10个选择题、6个大题，分值为100。
根据考生回忆，物理部分中规中矩，而数学部分整体格式类似高中数学联赛一试，难度和联赛一试相仿。
以下是部分真题。
填空题(1)二元绝对值不等式控制区域求面积，一个小难点是两个绝对值都是二元的。
如果第一时间抓住图形对称中心，分类讨论起来并不困难。
(2)考查三角形和向量结合类型题目，具体来说就是“奔驰定理”。
若知道结论可以快速解答，不知道的话就需要一些时间来推论了。
(3)有一道送分题，表面看上去是在考察代数，实际上可以转化为一个圆和一个定点的距离问题。
涉及到二次曲线参数方程的知识。
解答题(1)直接考查计数原理中的完全错排数，剩下就是计算了。
(2)数论题目，要用到二试以上的知识点，涉及的知识有费马小定理，欧拉定理。
题目难度较大，没有学过竞赛的题目根本无从下手。
中国科学院大学~综合评价中国科学院大学2019年综合评价采用5人小组面试，组员之间没有交流讨论环节，一共1个小时。
随机分组，不分专业。
面试问题大概分三个方向，1、考生自我介绍及个人情况了解;2、围绕国科大相关提问;3、专业相关的题目。
面试真题(部分)1、自我介绍，为什么来到国科大2、如果过了清北线怎么抉择?3、介绍所认识的国科大优势4、你认为目前科学能解决但未解决的问题是什么?5、介绍个人对未来的专业发展有什么规划，兴趣，暑假计划6、高中让你骄傲的事是什么?7、你认为弱势群体是谁?为什么?8、你的人生理想是什么?浙江大学~自主招生面试题(考生回忆)1、最喜欢的一本书，具体理由2、接着提问，喜欢的书有什么缺陷和不足3、用英语回答，暑假准备做什么南京大学~自主招生南京大学2019年自主招生笔试分为理科综合和文科综合，其中，理科综合一共8大题，4题数学、4题物理，考两小时。
“思维量和计算量都挺大的，有些题目需要用到高中的一些结论来倒推。
2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。
1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。
称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答王慧兴;王雪芹【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】3页(P20-22)【作者】王慧兴;王雪芹【作者单位】清华大学附属中学;北京师范大学第二附属中学【正文语种】中文从中科大这份自主招生试题看,我们得出以下4点结论: 1) 著名高校自主招生要求考生数学视野开阔,不局限于高考(考试大纲、考试说明),但不超过现行课标设定的知识与能力要求(只是当下常态教学搞全面应试教育,不以课标要求开展教学,譬如按课标编写的《初等数论》、《图论》等等,由于高考不考就不学); 2) 著名高校自主招生命题刻意追求与高考互补,也就是说高考刚刚考过的常态题型不再考查,坚持在课标范围内与高考形成互补; 3) 著名高校自主招生命题更突出对考生能力的考查,继续坚持(不回避)对过往竞赛试题推陈出新,譬如第1、2、3、6、7题在早些年全国高中数学联赛等试题中都有原型,第4题是三角形中的常态问题,另外第5题源于2007年全国高中数学联赛试题2,第8题源于2005年全国高中数学联赛试题加试3,第9题源于国外数学竞赛试题,第10题源于2010年国际数学奥林匹克(IMO)试题3,第11题源于2005年中国数学奥林匹克(CMO)试题6; 4) 对有志赢得更多机会的优秀学子,应把功夫放在平常,及早按课标要求,在常态学习中同时积淀与高考互补的内容,在高考之后登上才智展示的舞台. 以上都是笔者研究高校自主招生试题得出的经验,这些经验已写入笔者著作《自主招生数学备考十二讲》中．下面与读者分享这份精彩思维体操.例1 32 016除以100的余数是________.因为所以340≡1(mod100),从而32016≡316(mod100).再用二进制计算如下：3≡3(mod100),32≡9(mod100),34≡-19(mod100),38≡61(mod100),316≡612=3 721≡21(mod100),综上所述,32 016≡21(mod100).应用欧拉定理可以给出满足3a≡1 (mod 100)的一个正整数a，也可以经枚举发现周期性找出一个这样的正整数.譬如：3a≡1 (mod 100)等价于因为{3n} (mod 22):3,1,3,1,…,所以a是偶数.记a=2b (b∈N*),代入3a≡1 (mod 52),得9b≡1 (mod 52)，必有9b≡1 (mod 5)，但{9n} (mod 5):4,1,4,1,…,所以b=2c (c∈N*),代回9b≡1 (mod 52)，得81c≡1 (mod 52)，但{81n} (mod 25):6,11,16,21,1,…,所以c是5的倍数，记c=5k (k∈N*),从而a=20k,这样得到一个更小的a=20.当然，本题也可应用二项式定理求解例2 复数z1、z2满足|z1|=2,|z2|=3,|z1+z2|=4,则________.由|z1+z2|=4,得即亦即因为Δ=9-9×16=-9×15,所以,方程有2个共轭虚根i.本题灵活应用共轭与模的性质给出解答,也可走代数形式求解途径.由得所以即).由可得故亦即所以i.例3 用S(A)表示集合A的元素和,A⊂{1,2,3,4,5,6,7,8}且S(A)是3的倍数,但不是5的倍数,则集合A的个数是________.先把集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中的8个元素按照同余作划分.按模3同余划分:{1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6}.若A≠{1,2,3,4,5,6,7,8},故满足S(A)是3的倍数的真子集A的个数是但其中和数是15的13个子集{8,7}、{8,6,1}、{8,5,2}、{8,4,3}、{8,4,2,1}、{7,6,2}、{7,5,3}、{7,5,2,1}、{7,4,3,1}、{6,5,4}、{6,5,3,1}、{6,4,3,2}、{5,4,3,2,1}以及和数是30的4个子集{4,5,6,7,8}、{2,3,4,6,7,8}、{1,3,5,6,7,8}、{1,2,3,4,5,7,8}这17个子集应当去掉,所以满足题设的真子集A的个数是83-17=66.本题检测组合计数基本技能,常态的问题是单一分组设计,如“求集合{1,2,…,100}的元素之和是3的倍数的三元子集个数”就是一个常态的练习题,求解的关键是按摸3的余数作划分{1,2,…,100}={1,4,7,…,100}∪{2,5,8,…,98}∪{3,6,…,99},再按目标合理分类与分步组合计数得例4 在△ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,则tan A的最大值是________.记BC=a,AC=b,AB=c,由正弦定理和余弦定理,得即c2=2a2+b2.再由余弦定理,得当b=c时取“=”.从而故此时).本题检测基于正弦定理和余弦定理探求三角形中最值问题能力,但考生容易囿于三角变换，陷入怪圈,因此,试题设计体现知识自觉调用、检测目标意识.例5 若对任意实数x,都有|2x-a|+|3x-2a|≥a2,则实数a的取值范围是________.由绝对值不等式,得到综上并且当时取到“=”,即所以题设恒成立条件转化为即故实数a的取值范围是].本题检测应用绝对值不等式求最值的基本技能.上述解法带参数求最值，也可换元去掉参数. 首先a=0满足题设,以下设a≠0,换元x=ay,则恒成立条件化为|2y-1|+|3y-2|≥|a|.由在时取“=”,所以故综上所述例6 设则x=(sin a)logbsin a与y=(cos a)logbcos a的大小关系是____.logbx=(logbsin a)2,logby=(logbcos b)2，因为故再由0<b<1可知f(x)=logbx 是减函数,所以f(cos a)>f(sin a)>0,即logbcos a>logbsin a>0,从而(logbcos a)2>(logbsin a)2>0.综上所述,0<logbx<logby,所以1>x>y>0.例7 在梯形ABCD中,AD∥BC,且AC与BD交于点P1,作P1Q1∥AD交CD于Q1,连接AQ1交BD于P2,作P2Q2∥AD交CD于Q2,依此类推,设AD=a,BC=b,则PnQn=________.先算初值, 由所以由此,可得递推公式即由等差数列通项公式,得故).本题检测平面几何中比例计算基本技能,这里给出建构递推数列求解,也可以利用归纳推理、猜想、证明.例8 设an是与最接近的整数,则________.任取n∈N*,存在k∈N*与i∈{0,1,2,…,2k},使n=k2+i,则k.按题设定义,得an=k的充要条件是即亦即i∈{0,1,2,…,k},所以记则因为442<2016<452,所以本题检测基于“换序”更换和式求值的组合能力.例9 设a,b,c>0,且a+b+c=3,求证证明由柯西不等式,得目标转化为证把条件a+b+c=3代入,即得亦即已知成立,故命题得证.本题检测应用柯西不等式推证分式型不等式的基本技能,柯西不等式是证明多元不等式与求多元极值的重要工具.例10 求所有函数f:N*→N*,使得对任意互异正整数x、y,都有0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|. 按题意,f(x)≠f(y),∀x、y∈N*(x≠y),即f:N*→N*是单射.任取n∈N*,都有0<|f(n+1)-f(n)|<2,但f(n)、f(n+1)∈N*,所以f(n+1)-f(n)=±1.情形1: 若f(n+1)-f(n)=1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有记c=f(1)-1,则f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.经验证,这是满足题设条件的函数. 情形2: 若f(n+1)-f(n)=-1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有但无论如何定义正整数f(1),都不能使所有f(n)∈N*,故此情形不存在满足题设的函数f(x).情形3: f(n+1)-f(n)=±1(n∈N*),且则必存在k∈N*(k>1)使得,f(k)=f(k-1)-1,而f(k+1)=f(k)+1,所以f(k+1)=f(k-1),这与f:N*→N*是单射矛盾,故此种情形不存在满足题设的函数f(x).综上所述,满足题设的函数f:N*→N*所有解是f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.本题检测对单射的深刻理解与应用、分类讨论能力与极端性思维能力.例11 求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解(x,y,z).假设y≠0,若y≥1，必有x≥3,方程两边模5，得2x≡1(mod 5).因为{2n} (mod 5):2,4,3,1,…,所以4|x,从而5y·7z=2x-1≡0 (mod 3),矛盾.所以y=0,原方程即2x-7z=1.当x≤3时，解得(x,z)=(1,0),(3,1);当x≥4时，有7,1≡7z=2x-1≡0 (mod 16),矛盾.综上所述,方程共有2个解(x,y,z)=(1,0,0)、(3,0,1).本题检测应用同余性质求解不定方程基本技能,属初等数论典型内容.。
自主招生数学试题及答案同学们都在忙碌地复习自己的功课，为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学试题及答案，希望可以帮助到大家!2019年清华等五校自主招生英语试题及答案1.以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?A.2B.3C.5D.6解析：显然为满足要求的多项式，其次数为5.若存在次有理系数多项式以和为两根，则必含有因式，即最小次数为5.故选C.2.在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法?A.720B.20C.518400D.14400解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法;在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法;红車放定后，黑車只有6种停法.故停放方法共种.故选D.3.已知，求的值.解析：∵又由，有或当时，有当时，4.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为ADB、ADC的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系，并说明理由.解析：延长ND至E，使ND=ED，连结BE、ME，则△BED≌△CND，△MED≌△MND，ME=MN，由BM+BEEM，得BM+CNMN.5.设数列满足，前项和为，求解析：∵由，有时，，于是特征方程有重根2，可设将代入上式，得于是6.模长为1的复数满足，求解析：取，便能得到=1.下面给出证明，=1.7.最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数.解析：设满足条件的正整数为个.考虑模3的同余类，共三类，记为则这个正整数需同时满足①不能三类都有;②同一类中不能有3个和超过3个.否则都会出现三数之和为3的倍数.故当时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意，所以满足要求的正整数最多有4个.8.已知为2019个实数，满足，且，求证解析：设若，则于是，进而若这2019个数去掉绝对值号后只能取和两值，又即这2019个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同，这不可能.9.对于任意的，求的值.解析：各式相加，得10.已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有;现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明.解析：数阵中的中每一行的各数仍是递增的.下面用反证法给出证明. 若在第行存在，令，其中，则当时，即在第列中至少有个数小于，也就是在数阵中的第列中至少排在第行，这与排在第行矛盾.所以数阵中的中每一行的各数仍是递增的.这篇数学试题及答案就为大家分享到这里了。
高考数学精品复习资料2019.5专题之6、数列与极限一、选择题。
1．(复旦大学)设数列{a n},{b n}满足b n=a n−a n−1,n=1,2,3,…,如果a0=0,a1=1,且{b n}是公比为2的等比数列,又设S n=a1+a2+…+a n,A.0B.C.1D.22．(复旦大学)已知x2−(tan θ+cot θ)x+1=0(0<θ<π),且满足x+x3+…+x2n−1+…3．(复旦大学)设实数a,b,c都不为0,则下列不等式一定成立的是4．(复旦大学)设有4个数的数列为a1,a2,a3,a4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零.对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1,则k应满足A.12k>27B.12k<27C.12k=27D.其他条件5．(复旦大学)设n为一个正整数,记则P(n)是n的一个多项式.下面结论中正确的是6．(复旦大学)A.0<a+b≤10B.0<a+b<10C.a+b>0D.a+b≥107．(复旦大学)A.数列{x n}是单调增数列B.数列{x n}是单调减数列C.数列{x n}或是单调增数列,或是单调减数列D.数列{x n}既非单调增数列,也非单调减数列8．(20xx复旦大学)二、填空题。
9．(华中科技大学) .10．(清华大学等七校联考).三、解答题。
11．(华南理工大学)已知a2+a−1=0,b2+b−1=0,a<b,设a1=1,a2=b,a n+1+a n−a n−1=0(n≥2),b n=a n+1−a·a n.(1)证明数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项;(3)设c1=c2=1,c n+2=c n+1+c n,证明:当n≥3时,(−1)n(c n−2a+c n b)=b n−1.12．(华中科技大学)已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,在平面直角坐标系xOy中,直线x=a n与x轴和函数f(x)=2x的图象分别交于点A n(a n,0)和B n(a n,b n).(Ⅰ)记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为S n,求证数列{S n}是等比数列;(Ⅱ)判断△B n B n+1B n+2的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(Ⅲ)对于给定的正整数n,是否存在这样的实数d,使得以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形?如果存在,求出d的取值范围;如果不存在,请说明理由.13．(中国科技大学)已知A={x|x=n!+n,n∈N*},B是A在N*上的补集.(1)求证:无法从B中取出无限个数组成等差数列;(2)能否从B中取出无限个数组成等比数列?试说明理由.15．(浙江大学)16．(同济大学等九校联考)设数列{a n}满足a1=a,a2=b,2a n+2=a n+1+a n.(1)设b n=a n+1−a n,证明:若a≠b,则{b n}是等比数列;(2)若(a1+a2+…+a n)=4,求a,b的值.17．(清华大学)证明:正整数数列a1,a2,…,a2n+1是常数列的充分必要条件是其满足性质P:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数),使得两类之和相等.18．(清华大学)已知数列{a n},且S n=na+n(n−1).19．(清华大学)请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.22．(北京大学)已知由整数组成的无穷等差数列中有三项:13,25,41.求证:2 009为其中一项.23．(北京大学等十三校联考)等差数列a1,a2,…满足a3=−13,a7=3.这个数列的前n项和为S n,数列S1,S2,…中哪一项最小?并求出这个最小值.24.1.D【解析】通过叠加的方法求出数列{a n}的通项,再求出其前n项和,根据极限的运算法则进行计算.根据b1=1,b n=2n−1,得a n−a n−1=2n−1,令n=1,2,…,n,得n个等式,叠加得a n=1+2+…+2n−1=2n−1,从而S n=2n+1−2−n..选D.4.A【解析】根据后3个数成等差数列,前3个数成等比数列设出这四个数,再根据前3个数的和为k,进行分析求解.因为后3个数成等差数列且和为9,故可依次设为:3−d,3,3+d,又因为前3个数成等比数列,则第1个数为:,即+3−d+3=k,化简得:d2−9d+27−3k=0,因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以12k>27,选A.5.D【解析】首先要对式子P(n)=k4进行化简,得到一个有确定项数的表达式,再去分析各项的系数特点.6.B【解析】由于a,b是不相等的正数,且a,b的大小对数列的极限值有影响,所以可对a,b的大小9.−ln 2【解析】10.lg 3【解析】a n=lg=lg(n2+3n+2)−lg[n(n+3)]=[lg(n+1)−lg n]−[lg(n+3)−lg(n+2)],所以S n=a1+a2+…+a n=[lg(n+1)−lgn]+[lgn−lg(n−1)]+…+(lg2−lg1)−{[lg(n+3)−lg(n+2)]+[lg(n+2)−lg(n+1)]+…+( lg 4−lg 3)}=[lg(n+1)−lg 1]−[lg(n+3)−lg 3]=lg+lg 3,所以S n=lg 3+lg=lg 3.11.12.13.(1)若能从B中取出无限个数组成等差数列{a m},并设公差为d.则a m=a1+(m−1)d,而n>d时,n!+n,(n+1)!+(n+1),(n+2)!+(n+2),…被d除,其余数分别与n,n+1,n+2,…被d除的余数相同,而这些余数应该是逐一递增的,取得d−1后,又以周期性的形式出现,所以存在n0,使n0!+n0被d除与a m被d除的余数相同.这就说明:n0!+n0是等差数列{a m}中的项,而n0!+n0∈A,故n0!+n0∉B.于是,矛盾就产生了,故假设不成立,即要证明的结论成立.(2)能从B中取出无限个数组成等比数列.例如b m=5m(m∈N*).由于n!+n=n[(n−1)!+1],并且当n>5时,5不能整除(n−1)!+1,故5m∉A,因此,5m∈B.故数列{b m}是从B中取出无限个数组成的等比数列.14.(1)当n=1时,a1=1∈[1,2].假设当n=k(k∈N*) 时,1≤a k≤2成立.则当n=k+1时,a k+1=1+,而1≤a k≤2,故≤≤1.a k+1=1+∈[,2]⊆[1,2],即当n=k+1时,1≤a k+1≤2.综上,1≤a n≤2(n∈N*).(2)，而由a n=1+(n≥2)及1≤a n≤2(n∈N*)知,a n·a n−1=a n−1+1∈[2,3],故∈[,](n≥2,n∈N*),所以原式得证.15.如图所示,16.(1)由2a n+2=a n+1+a n得2(a n+2−a n+1)=−(a n+1−a n).b n=a n+1−a n,则b n+1=−b n,∴{b n}是首项为b−a,公比为−的等比数列.(2)由(1)知,b n=(−)n−1·b1,即a n+1−a n=(−)n−1(b−a),∴a2−a1=(−)1−1(b−a),a3−a2=(−)2−1(b−a),…a n+1−a n=(−)n−1(b−a),以上各式相加得:a n+1−a1=(b−a)·,a n+1=a+(b−a)[1−(−)n],即a n=a+(b−a)[1−(−)n−1],∴a1+a2+…+a n=na+(b−a)[n−]=na+(b−a)n−(b−a)+(b−a)(−)n.∵(a1+a2+…+a n)=4,∴,解得.17.这里必要性是显然的,下面证明充分性,即满足性质P的2n+1个正整数构成常数列.可用反证法证明:若a1,a2,…,a2n+1不全相等,并且它们从小到大的排列为:a'1≤a'2≤…≤a'2n≤a'2n+1,而且在a'i+1−a'i>0中,最小者为a−a.设S=a1+a2+…+a2n+1,若S为奇数,则由性质P知,每一个a i均为奇数;若S为偶数,则每一个a i 又均为偶数.①当a i均为奇数时,a1−1,a2−1,a3−1,…,a2n+1−1也具有性质P;②当a i均为偶数时,,,,…,也具有性质P.从而可知,a−a一定是偶数.当最小者a−a=2时,我们有:是n个奇偶性相同的正整数之和,也是n个奇偶性相同的正整数之和,所以它们的差:=是偶数,而另一方面,由于a−a=2,故=1,从而产生了矛盾.故正整数数列a1,a2,…,a2n+1为常数列.而当最小者a−a=2k(k>1,k∈N)时,我们对数列{a'i}应用①与②的变换,有限次后,就能得到数列{b'i}(b'i为正整数),而这个数列满足性质P,并且b−b=2.这样{b'i}为常数列,从而正整数数列a1,a2,…,a2n+1亦为常数列.18.19.三个质数组成的公差为8的等差数列只有一个,即:3,11,19.证明如下:当第一个质数为2时,则等差数列为2,10,18,不符合题意;当第一个质数大于或等于3时,设第一个质数分别为:m=3k, n=3k+1, p=3k+2,且k∈N*.则分别有:①3k,3k+8,3k+16;②3k+1,3k+9,3k+17;③3k+2,3k+10,3k+18.对于①,由于3k为质数,故k=1.此时,这三个数为3,11,19;对于②,由于3k+9=3(k+3)不是质数,此种情况不会出现;对于③,由于3k+18=3(k+6)不是质数,此种情况不会出现. 因此,所求的等差数列仅有:3,11,19.20.21.22.41−25=16,25−13=12,16和12的最大公因子是4,此等差数列的公差一定是4的因子,设公差为d,则nd=4,n为正整数,而2 009=41+1 968=41+4×492=41+492×nd,故2 009为其中一项. 23.24.。
高考数学精品复习资料2019.5专题之4、创新与综合题一、选择题。
1．(复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是A.1B.2C.3D.42．(同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为错误！未找到引用源。
的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk 表示连续做k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是A.σ4B.σ5C.σ2τD.τσ2二、解答题。
3．(南京大学)求所有满足tan A+tan B+tan C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.4．(浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?5．(清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?6．(清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?7．(清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?8．(清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
是其一根.9．(清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,a+b+c=abc化为错误！未找到引用源。
2019年中科大创新班考试数学模拟试题参考答案一、填空题1、答案：7．解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.MRS MNPQ S S -=⨯-⨯⨯=正方形2、答案：480．解析：对0,7两元素的像而言，因为0)()(=j f i f ,所以，0,7这两个元素的像至少有一个为0，共计有1518*2=-种情形。
对1,6两元素的像而言，此时，3*26*16)()(===j f i f ，对1,6两元素的像有四种可能。
同理对2,5有2种，对3,4有4种，共计15*4*2*4=480种3、答案：552．解析：不妨设椭圆E 的方程为22221(0)+=>>x y a b a b，P 经过E 的两个焦点，222=+x cy c222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于5==c e a 4、答案：324+.解析：如图所示：324tan 2tan tan sin sin sin 322sin 2122+==+⇔=⇔=⇔∆∆B C A C B A R B R S S AC OG AGC AOC ∥5、答案：.96如图：记MN 与AK 交于点G 并设面ACK 与面CMN 所成的锐角大小为θ。
作⊥CO 面ABD 于点O 。
延长AO 交于BD 于点X ，易知O 是ABD ∆的中心，则XD BX OX AO ==,2，又ND AN MB AM 2,2==，因此，M 、O 、N 三点共线。
O 是MN 的中点。
由MN AO ⊥，CO AO ⊥知⊥AO 面CMN 。
故ACG ∆在面CMN 上的投影为OCG ∆。
由面积射影定理得963129641241cos =⨯⨯⨯===∆∆∆∆ACK CMN ACG COG S S S S θ6、答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-215215，.解析：设()()cos sin 0z r i r θθ=+>，由已知得11cos i sin 1r r θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212cos 21r r θ++=，所以2132cos 25r r θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭≤，有1r r +，即210r -+≤．解这个一元二次不等式，注意到z r =，可知1122z ≤≤．7、答案：2475+.解析：显然每个正整数x 皆属于{}n x ，称{}n x 的这种子列为A 型的，记为123,,,a a a ；下面考虑x 不是正整数的情况，称{}n x 的这种子列为B 型的，记为123,,,b b b ；由[]{}x x x =+，其中0{}1x <<，所以20{}1x <<，设2{},x x k k +=为整数，则2[]{}{},x x x k ++=而由22{}{}[],0{}{}2x x k x x x +=-<+<，得[]1k x -=，所以[]1x k =-，1,2,3,k = ，并且2{}{}1x x +=，解得51{}2x -=，于是11,2x k =-+1,2,3,k = ，因此任两个相邻自然数之间恰有一个B 型子列的项，从而11,2k b k -=-+k a k =，1,2,3,k = ，且{}n x 的前100项自小到大排列是：11225050,,,,,,b a b a b a ，所以，5050100112475k k k k S b a===+=+∑∑．8、答案：39.解析：首先存在38个连续的正整数，其中每一个数的数码之和不是11的倍数,如下：999981,999982， (1000018)若39≥m ，至少有3个是10的倍数，这3个数中必有一个数的十位不大于8，且该后至少有19个数在所取的39个连续的正整数中.设这个数为a ，并设它的数码和为)(a S ，现在考虑数a ，a +1,a +2,...,a +9,a +19,这11个数都是所取的39个数中的数，它们的数码之和构成11个连续的正整数，必有一个是11的倍数.二、解答题证明：由b c a 2=+，得CA B sin sin sin 2+=即2cos 2sin 22cos 2sin4C A C A C A C A -+=++因为02sin ,20≠+<+<C A C A π所以2cos 22cos C A C A +=-展开并整理，得2cos 2cos 2sin 2sin3C A C A =所以312tan 2tan =C A 三、解答题证明：令c bx ax x f ++=2)(，则c f =)0(，c b a f ++=)1(，c b a f +-=-)1(，且1)0(≤f ，1)1(≤f ，1)1(≤-f ，则)0(f c =，2)1()1(--=f f b ，2)0(2)1()1(f f f a --+=，所以当[]1,1-∈x 时，2)0(2)1()1(2)1()1()0(22f f f f f x f x a bx cx --++--⋅+⋅=++)0()1()1(21)1(212f x f x f x ⋅-+-⋅-+⋅+=)0(1)1(1)1(12f x f xf x ⋅-+-⋅-+⋅+≤221212122≤-=-+-++≤x x x x 所以命题得证。
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
2019年中国科学技术大学自主招生试题 解析则ABC 面积的最的最大值为_____5.设点0(1,0)P ，i OP 绕O θ顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点∈，且z z 8.已知1234,,,x x x x ∈，且 {|14}{18,36,54}i j k x x x i j k ≤<<≤= ，则1234x x x x +++=_____分，共60分）9.将 123D D D 的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知 12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体 ABCD 的体积。
求证：对于任意的*0,nxk e =∈=∑上仅有一个解*∈求证：存在多项式)，满足cos 在[]x 上完全分解1. 通过画图，易知该平面区域的图形是个平行四边形BS=OABS=OAB首先结合图示说明红色曲线为y=sin 2x,蓝色曲线为y=-cos 3xS=ABCS=ABC首先，令注意到20,P P 重合，因此所有操作以 2为周期，故20191(cos ,sin )P P θθ=--事实上，20,P P 的重合是必然的，并不依赖于P 的坐标和θ的大小，下面我们来证明这一事实。
首先，我们刻画000(,)P x y 到111(,)P x y 这个变换，记0(,)Q m n ，则00cos sin sin cos x m y n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭111001x m y n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上，知00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷（创新班）-学生用卷一、综合题（本大题共11小题）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第1题 若z +z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是 ．2、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第2题 若|5x +6y |+|9x +11y |⩽1，则包围图形的面积S = ．3、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第3题 f (x )=√3+1x 的离心率是 ．4、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第4题 a 1=1，a 2=3，a n =2a n−12a n−2+a n−1，则a n = ．5、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第5题 x 2−y 2=4p 2，x ，y 为正整数，p 为素数，则x 3−y 3= ．6、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第6题 a =20202020，b =√20192021⋅20212019，c =12(20192021+20212019)，则a ，b ，c 大小顺序是 ．7、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第7题 f (x )=(x −1)2+k 2，且a ，b ，c ∈[0,1]，f (a )、f (b )、f (c )为三角形的三边，则k 的取值范围是 ．8、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第8题a1，a2，⋯，a n为1，2，⋯，n的排列，若i<j且a i<a j则(a i,a j)为顺序对，设x为a1，a2，⋯，a n的顺序对的个数，则E(X)=．9、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第9题已知x∈[0,π2]，求y=3sin2x−2sin2x+2sinx−cosx的取值范围．10、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第10题已知f(x)=x3+ax2−x+1−a，求所有a∈R，使得∀x∈[−1,1]，|f(x)|⩾|x|恒成立．11、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第11题已知1+√2+⋯+√n<C(n+1)32，证明：当C=23，不等式成立，且C<23该不等式不成立．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;6 、【答案】暂无;7 、【答案】暂无;8 、【答案】暂无;9 、【答案】暂无;10 、【答案】暂无;11 、【答案】暂无;。
2023年中国科学技术大学强基计划测试数学试题一、填空题1. 二元函数 22(,)(cos )(23sin )f x y x y x y =++++ 的值域是_______. 解：令22(,)(,)[(cos )][(23)(sin )]d x y f x y x y x y ==--++--考虑其几何意义表示直线:23l y x =+上的点到单位圆上点的距离.如图, 过O 点做线段OA 垂直于l 于A , 易得min 2335(,)1512d x y OA r -=-=-=+显然当(,)(,)x y →+∞+∞时, (,)d x y →+∞, 因此235(,)5f x y ⎛⎫-≤<+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以(,)f x y 的值域是1465,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭2. 设复数z 满足||1z =, 且 11z z ω+=-, 则 2214ωω+ 的最小值为_________. 解：设i z a b =+, 其中,a b ∈且221a b +=, 则21(1)(1)i,1(1)(1)1||()1z z z z z bz z z a z z z ω++--====-----++ 所以221011b a t a a ω+⎛⎫-===> ⎪--⎝⎭. 于是我们有22221111444244,t t t t ωωωω+=-=+≥⋅=-当且仅当12t =时取等号, 故2214ωω+的最小值为4.3. 已知2023(12)x +展开式中nx 的系数最大, 则正整数n 的值为________.解: 由二项式定理知:kx 的系数为2023C 2k kk T =, 令1111202320232023!2C 2404624045(1)!(2022)!11349,13C 22023!2!(2023)!k k k k k kk k T k k k k T k k k ++++⨯-+-⎡⎤===<⇒>=⎢⎥+⎣⎦- 所以0110481049104910502023,T T T T T T T <<<<>>>且即2023(12)x +展开式中1049x的系数最大, 故n 的值为10494. 设抛物线22,y x a y x a =+=--都与22,x y a x y a =+=--相切, 则由上述四条抛物线所围成的封闭图形的面积为__________.解：注意到当0a ≤时, 上述四条抛物线均相交, 故0a >, 所以2y x a =+与2x y a =+相切于第一象限, 联立22(1)()0,y x ax y x y x y x y a ⎧=+⇒++-=⇒=⎨=+⎩代入2y x a =+得20x x a -+=, 此时11404a a ∆=-=⇒=如图, 封闭图形的面积S 即为曲边梯形ABCD 的面积, 其中11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭. 由图形的对称性可知:12201188d ,43OAE S S x x x ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰曲边三角形所以围成的封闭图形的面积为13.二、解答题5. 已知实系数函数32()f x x ax bx c =+++满足当11x -≤≤时, |()|1f x x ≤+恒成立, 求证()0f x =的根均为实数.解: 由题取1x =-, 我们有|(1)|110f -≤-+=, 所以(1)0f -=, 从而不妨设()2()(1),f x x x px q =+++于是当11x -≤≤时有()22(1)(1)111x x x px q x x px q -+≤+++≤+⇒-≤++≤分别取x =1和 x = -1有1112011120p q q p p q q p ⎧-≤-+≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨-≤++≤-≤+≤⎪⎩⎩①②①+②可得:20q -≤≤ . 因此对于方程20x px q ++=而言, 其判别式240p q ∆=-≥ , 这足以说明方程()2()(1)0f x x x px q =+++=的三个根均为实数.6. 设数列{}n a 与{}n b 分别为各项均为正整数的等差数列和等比数列, 且111a b == , 设n n n c a b =+. 若存在*k N ∈使得237,307k k c c +==, 求{}n c 的通项公式.解: 设数列n a 的公差为*d ∈ ,数列n b 的公比为 *q ∈, 则有11(1),n n n a n d b q -=+-= .由题 11(1)n n n n c a b n d q -=+=+-+于是有：111121(1)(1)36(*)1(1)(1)306,k k k k k k c k d qk d q c k d q k d q --+++⎧⎧=+-+-+=⎪⇒⎨⎨=+++++=⎪⎩⎩ 两式相减可得()1221270k d q q -+-=, 对(*)式分类讨论: (1) 若k -1=1 从而()2336(6)63303306d q q q q d q +=⎧⇒-++=⎨+=⎩ 从而d =30, q =6, 故163029n n c n -=+-.(2) 若12k -≥, 则134k q-≤, 从而1,2,3,4,5q =.1) 若q =4或5 , 注意到()()3232212441270d q q d +-≥+->, 从而 12k -=, 代入有()22242361235,4306d q q d q ⎧+=⇒-=⎨+=⎩无解 2)若q =3, 则()12112331283270333k k k d d ---+-=+⨯=⇒<, 故k -1=3, 其中k -1=2 已舍. 于是有35333653306d d ⎧+=⎨+=⎩无解 3) 若q =2, 则()12112221232270290k k k d d ---+-=+⨯=⇒< , 故k -1=3,4,5,6, 其中 k-1=2已舍. 经检验, 此时方程组11(1)236(1)2306,k k k d k d -+⎧-+=⎨++=⎩均无解 4) 若q =1, 则有(1)136(1)1306k d k d -+=⎧⎨++=⎩ 无解 综上我们有163029n n c n -=+-7. 一个箱子里有m 个黑球和n 个白球(m <n ), 从箱子中不放回的每次抽取一个球, 直到取完. 记P (m , n )为在整个取球过程中, 黑球个数始终小于白球个数的概率, 求: (1) P (2,4)的概率值. (2) P (m , n )的表达式.解: 问题等价于在平面上由点 (0,0)行走到点(n, m), 规定每次只能向右或者向上前进1个单 位, 且不能触碰到直线y =x 的行走方法数.首先第一步一定是(0,0)(0,1)→, 之后每一条触碰直线y =x 的线路都一一对应着一条从点 (0,1)到点(n , m )的线路, 其对应方式为: 将第一次触碰直线y =x 之前的线路做关于直线y =x 对称, 如下图所示.我们注意到从点(0,1)到点(n , m )的行走方法数为1C nm n +-, 从而自点(0,0)到点(n , m )且末触碰到直线y =x 的行走方法数为11C C m nm n m n +-+--综上我们可得24241241224C C 1(1)(2,4).3C P +-+-+-==11C C (2)(,).C m n m n m n m m nn m P m n m n +-+-+--==+8.求证22222222221224212n n nn n n n n +++≤++++ 对任意的*n ∈均成立.解: 法(1)：要证 22221242ni i n nn i n =+≤++∑, 只需证22222211213.4242nni i i n n n n n n n i n i ==+-≥-⇔≥++++∑∑事实上, 由Cauchy 不等式有 ()22222211111n n n i i i n i n n i ===⎛⎫⎡⎤⎛⎫+≥= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎝⎭∑∑∑ 所以 22223116(1)(21)8316ni n nn n n n i n n n =≥=++++++∑ 由于22263660,4283183184n n nn n n n n n n-=-≥++++++当且仅当n =1时等号成立, 于是我们有22221242ni i n nn n i =+≤++∑ 法(2)：注意到由基本不等式有 22221111.224nn ni i i i i i n ni n n i ===+≤==+∑∑∑ 而2211042484n n n n n n ++--=≥++ 当且仅当n =1时等号成立, 于是我们有 22221242ni i n nn n i =+≤++∑。
