. / 《计算方法》上机实验报告
班级：XXXXXX
小组成员：XXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXX
任课教师：XXX
二〇一八年五月二十五日
前言
通过进行多次的上机实验，我们结合课本上的内容以及老师对我们的指导，能够较为熟练地掌握Newton 迭代法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、Newton 插值法、Lagrange 插值法和Gauss 求积公式等六种算法的原理和使用方法，并参考课本例题进行了MATLAB 程序的编写。
以下为本次上机实验报告，按照实验内容共分为六部分。
实验一：
一、实验名称及题目： Newton 迭代法
例2.7(P38):应用Newton 迭代法求在附近的数
值解，并使其满足.
二、解题思路：
设'x 是0)(=x f 的根,选取0x 作为'x 初始近似值,过点())(,00x f x 做曲线)(x f y =的切线L ,L 的方程为))((')(000x x x f x f y -+=,求出L 与x 轴交
点的横坐标)
(')
(0001x f x f x x -
=,称1x 为'x 的一次近似值,过点))(,(11x f x 做曲线)(x f y =的切线,求该切线与x 轴的横坐标)
(')
(1112x f x f x x -
=称2x 为'x 的二次近似值,重复以上过程,得'x 的近似值序列{}n x ,把)
(')
(1n n n n x f x f x x -
=+称为'x 的1+n 次近似值，这种求解方法就是牛顿迭代法。
三、Matlab 程序代码：
function newton_iteration(x0,tol) syms z %定义自变量 format long %定义精度 f=z*z*z-z-1;
f1=diff(f);%求导 y=subs(f,z,x0);
y1=subs(f1,z,x0);%向函数中代值 x1=x0-y/y1; k=1;
while abs(x1-x0)>=tol x0=x1;
y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0); x1=x0-y/y1;k=k+1; end
x=double(x1) K
四、运行结果：
实验二：
一、实验名称及题目：
Jacobi 迭代法
例3.7（P74）：试利用Jacobi 迭代公式求解方程组
要求数值解
为方程组的精确解. 二、解题思路：
首先将方程组中的系数矩阵A 分解成三部分，即：U D L A ++=，D 为对角阵，L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
之后确定迭代格式，f X B X k k +=+)()1(*，（ ???=2,1,0k , k 即迭代次数），B 称为迭代矩阵。
最后选取初始迭代向量)0(X ，开始逐次迭代。最后验证精度。（迭代阵：b D UX
D X
k k
1
)
(1)
1(--++-=。）
雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算
一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大。
三、Matlab程序代码：
function jacobi(A,b,x0,eps,x1)
D = diag(diag(A));%求A的对角矩阵
L = -tril(A,-1);%求A的下三角矩阵
U = -triu(A,1);%求A的上三角矩阵
B = D\(L+U);
f = D\b;
x = B*x0+f;
n = 1;%迭代次数
while norm(x-x1)>=eps
x = B*x+f;
n = n+1;
end
format long
n
x
jingdu=norm(x-x1)
四、运行结果：
实验三：
一、实验名称及题目：
Gauss-Seidel 迭代法
例 3.8（P75）:试利用Gauss-Seidel 迭代公式求解方程组
，并使其数值解
为方程组的精确解. 二、解题思路：
Gauss-Seidel 迭代法与Jacobi 迭代法思路相近，首先将方程组中的系数矩阵A 分解成三部分，即：U D L A ++=，D 为对角阵，L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。之后确定迭代格式，f X B X k k +=+)()1(*，（ ???=2,1,0k , k 即迭代次数），B 称为迭代矩阵。最后选取初始迭代向量0X ，开始逐次迭代。最后验证精度。（迭代阵：
b L D UX
L D X
k k
1
)
(1)
1()()(--++++-=。）
Gauss-Seidel 迭代法与Jacobi 迭代法相比速度更快，但不全如此。有例子表明：Gauss-Seidel 迭代法收敛时，Jacobi 迭代法可能不收敛；而Jacobi 迭代法收敛时，Gauss-Seidel 迭代法也可能不收敛。 三、Matlab 程序代码：
function gauss_seidel(A,b,x0,eps,x1) D = diag(diag(A));%求A的对角矩阵L = -tril(A,-1);%求A的下三角矩阵
U = -triu(A,1);%求A的上三角矩阵B = (D-L)\U;
f = (D-L)\b;
x = B*x0+f;
n = 1;%迭代次数
while norm(x1-x)>=eps
x = B*x+f;
n = n+1;
end
format long
n
x
jingdu=norm(x1-x)
四、运行结果：
实验四：
一、实验名称及题目：
Lagrange 插值法
例 4.1（P88）：给定函数及插值节点
.试构造Lagrange 插值多项式，
给出其误差估计，并由此计算及其误差.
二、解题思路：
一般来说，如果我们有n 个点()()n n y x y x ,,...,1,1，各i x 互不相同。那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
∑==n
j j j x l y x L 0)()(，其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函
数），其表达式为：∏≠=--=n
j i i i
j i
j x x x x x l ,0)(。
三、Matlab 程序代码：
function y=lagrange(x0,x)
n=length(x0);%向量长度 s=0;
for k=1:n %k 从1到n 的循环 p=1.0; for j=1:n
if j~=k %“~=”不等于的意思 p=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end
y0=x0(k)*(1+cos(x0(k))); s=p*y0+s; end
format long s
wucha=abs(x*(1+cos(x))-s)