广东历年高考立体几何汇总

lαβm广东高考数学真题汇编：立体几何1、（2011•广东文数）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ） A 、20 B 、15 C 、12 D 、101解答：解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D2、（2011•广东文数）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 （ ） A 、 B 、4 C 、 D 、23、（2011•广东理数）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（ ） A 、6 B 、9 C 、12 D 、185. （2009广东文科）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④6．（2008广东文数）将正三棱柱截去三个角（如图1所示，AB C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）7．（2007广东文数）若l mn ，，是互不相同的空间直线，αβ，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）Ａ．若l n αβαβ⊂⊂，，∥，则l n ∥Ｂ．若l αβα⊥⊂，，则l β⊥Ｃ．若l nm n ⊥⊥，，则l m ∥ Ｄ．若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥ 8、（2006广东）给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;EF DIA H GB C EF DA B C侧视 图1图2B EA ．B EB ．B EC ．B ED ．③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.19. (2005广东)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题： ①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；④若=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//． 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④11、（2006广东）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为13．（2008广东文数）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD，PD =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC =，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ． （1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形； （3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．13．解：（1）在Rt BAD ∆中，60ABD ∠=，,AB R AD ∴==而PD 垂直底面ABCD ，PA ===PB ===,在PAB ∆中，222PA AB PB +=,即PAB ∆为以PAB ∠为直角的直角三角形。

高考立体几何知识点总结(详细)高考立体几何知识点总结一、空间几何体一）空间几何体的类型1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点。

2.旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

二）几种空间几何体的结构特征1.棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类底面是四边形，侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是矩形的棱柱称为四棱柱；底面是正方形的棱柱称为正四棱柱；棱长都相等的直棱柱称为正方体，棱长都相等的正四棱柱称为正方锥。

1.3 棱柱的性质1）侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；2）两底面是全等多边形且互相平行；3）平行于底面的截面和底面全等；1.4 棱柱的面积和体积公式直棱柱的侧面积为底周长乘以高，表面积为底面积加上两倍的侧面积，体积为底面积乘以高；其他类型的棱柱的面积和体积公式与直棱柱类似。

2.棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；2）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形。

2.3 棱锥的面积和体积公式正棱锥的侧面积为底周长乘以斜高，表面积为底面积加上侧面积，体积为底面积乘以高除以3；其他类型的棱锥的面积和体积公式与正棱锥类似。

立体几何大题综合1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3.异面直线所成角cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角，a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)4.直线AB 与平面所成角，sin β=AB ⋅m |AB ||m |(m 为平面α的法向量).5.二面角α-l -β的平面角cos θ=m ⋅n |m ||n |(m ，n 为平面α，β的法向量).6.点B 到平面α的距离d =|AB ⋅n | |n |(n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α).一、解答题(2023·广东梅州·统考三模)如图所示，在几何体PABCD 中，AD ⊥平面PAB ，点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上BC <PC ，BP =6，AB =AP =23，DC =2，CD ∥平面PAB .(1)证明：平面PCD ⊥平面PAD .(2)若二面角B -CD -P 的余弦值为-714，求线段AD 的长.(2023·浙江·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥PD．(1)求证：平行四边形ABCD为矩形；(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离．(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模)如图1，在△ABC 中，AB =AC =2,∠BAC =2π3,E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF ⊥AB .将△BEF 沿EF 翻折到△B EF 的位置，如图2.(1)当AB =2时，证明：平面B AE ⊥平面ABC ；(2)已知二面角B -EF -A 的大小为π4，棱AC 上是否存在点M ，使得直线B E 与平面B MF 所成角的正弦值为1010？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，截面ACC1 A1的面积为6．(1)求点B到平面ACC1A1的距离；(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值．(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)在三棱锥O-ABC中，AB=BC=OB=2,∠ABC=120°，平面BCO⊥平面ABC，且OB⊥AB.(1)证明：OB⊥AC；(2)若F是直线OC上的一个动点，求直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值.(2023·福建宁德·校考模拟预测)图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=1．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．(1)求证：BD⊥PD；(2)求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值．(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC,AC =2，且BC=CC1=1，点D在线段BC1(含端点)上运动，设λ=BDBC1.(1)当AB⎳平面A1CD时，求实数λ的值；(2)当平面A1CD⊥平面A1C1D时，求平面A1CD与平面ABB1A1的夹角的正弦值.(2023·福建三明·统考三模)如图，平面五边形ABCDE由等边三角形ADE与直角梯形ABCD 组成，其中AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2，CD=3，将△ADE沿AD折起，使点E到达点M 的位置，且BM=a.(1)当a=6时，证明AD⊥BM并求四棱锥M-ABCD的体积；(2)已知点P为棱CM上靠近点C的三等分点，当a=3时，求平面PBD与平面ABCD夹角的余弦值.(2023·河北·统考模拟预测)在圆柱O 1O 2中，等腰梯形ABCD 为底面圆O 1的内接四边形，且AD =DC =BC =1，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线，CG =1.(1)求证：平面O 1CG ∥平面ADE ；(2)设DP =λDE ，λ∈0,1 ，试确定λ的值，使得直线AP 与平面ABG 所成角的正弦值为10535.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，CD =2AB =2，AP =AC =AD .(1)证明：平面PBC ⊥平面PCD ；(2)已知CP =2BC =2，DQ =λDP ，λ∈0,1 .若平面ABP 与平面ACQ 夹角的余弦值为36，求λ的值.(2023·河北·校联考三模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ,BD 交于点O ，且PO ⊥平面ABCD ,OC =1,OD =OP =2,M 是PD 的中点，N 是线段CD 上一动点．(1)当平面OMN ⎳平面PBC 时，试确定点N 的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点Q 在直线MN 上，以PQ 为直径的球的表面积为214π．以O 为原点，OC ,OD ,OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，求点Q 的坐标．(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，AB1⊥A1C，AB1的中点为O，BC的中点为D.(1)证明：OD∥平面ACC1A1；(2)若∠ACB=90°，AB1=B1C，AC=2BC=4，求平面ACC1A1与平面ABC所成角的大小.(2023·山东济南·校考模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，AD⎳BC，AD⊥CD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠DCF =60°，G是线段BE上一动点(不含端点)．(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG⎳平面CDEF；(2)若AD=1,CD=DE=2，且直线DG与平面CDEF成45°角，求二面角E-DG-F的正弦值．(2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)矩形ABCD所在平面与等腰梯形ACEF所在平面互相垂直，EF⎳AC，EF=12AC，直线AF与平面ABCD所成角为60°，EF=AB=2.(1)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；(2)线段AF上任意一点到平面BDE的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．(2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中AA1=2AC=4,AB=BC,F为BB1的中点，点E是CC1上靠近C1的四等分点，A1F与底面ABC所成角的余弦值为2 2．(1)求证：平面AFC⊥平面A1EF；(2)在线段A1F上是否存在一点N，使得平面AFC与平面NB1C1所成的锐二面角的余弦值为277，若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由．。

高考立体几何试题汇编（1990——2002年）(90全国)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.（91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．（92理）两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d。

在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m，AF=n（93全国）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离.（94全国）如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1；(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.（95全国）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AF⊥DE，F是垂足。

(1)求证：AF⊥DB(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离（96全国）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.(Ⅰ)求证:BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.① ∵__________________________________∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,② ∵___________________________________∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③ ∵ __________________________________∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,④ ∵_________________________________∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,⑤ ∵_________________________(Ⅱ)解:（97全国）如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明AD ⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED ⊥面A 1FD 1;（98全国）已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝2，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。

广东高考立体几何大题分析一.原题快览理科18.（本小题满分13分）如图5，在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60°， PA=PD=2，PB=2，E,F 分别是BC ，PC 的中点． （1）证明：AD ⊥平面DEF ；（2）求二面角P-AD-B 的余弦值．文科18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A ，A '，B ，B '分别为CD ，CD ''，DE ， D E ''的中点，1O ，1O '，2O ，2O '分别为 CD ，C D ''，DE ，D E ''的中点． （1）证明：1O '，A '，2O ，B 四点共面； （2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '， 使得11O H A O ''''=，证明：2BO '⊥平面H B G ''．二.考点分析1.考查的知识点理科：等腰三角形、等边三角形、菱形的性质；勾股定理；余弦定理；中位线定理；三角形的中线长公式；线线平行、线线垂直；线面垂直；面面平行；二面角的概念与计算；空间直角坐标系；点与向量的坐标；向量的垂直、平行、数量积；法向量.文科：圆的性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质；平行四边形的性质；线线平行、线线垂直；线面垂直；2.考查的能力理科和文科的共性：所涉及知识点的概念理解、原理应用能力；逻辑推理能力；基本运算能力；化归的数学思想。

理科和文科的差异：知识点理科比文科多；运算能力理科要求高于文科；空间图形的想象能力文科高于理科，因为理科的图形比较直观，只需要一点空间图形的立体感知力即可，而文科的图形背景复杂，线线关系、线面关系不直观，比较抽象，容易误导学生的思维。

广东文科数学历届立体几何高考题集锦2011年广东文科数学9.如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形等腰三角形和菱形，则该几何体体积为A.34B.4C.32D.218.（本小题13分）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.,,,,'',,''A A B B CD CD DE DE ''分别为的中点,''1122,,,O O O O 分别是,'',,C D C D D ED E的中点. （1）2:',',,O A O B 证明四点共面；（2）'''111''',O ''G AA AOH H AO =设为的中点，延长到使得, 证明:'2''.BO HBG ⊥平面2012年广东文科数学7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π2223GH'BB'AO 2EO 1DO'2E'C'O'1D'CA'图1正视图 俯视图侧视图55635563PABCH FED 图518.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱 锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥ 因为ABAD A =所以PH ⊥平面ABCD（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 因为PH ⊥平面ABCD所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E B C FB C FV S E G F C A D E G -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=212（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 因为E 是PB 的中点，所以1//2ME AB =因为1//2DF AB =所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形 所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥ 因为AB ⊥平面PADPABCHF E DGM所以MD AB ⊥ 因为PAAB A =所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PAB2013年广东文科数学6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. 16B. 13C. 23D. 18.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//,//l l αβ，则//αβ，则//αβ B. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβ C. 若,//l l αβ⊥，则//αβ D. 若,//l αβα⊥，则l β⊥18．(本题满分14分)如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，D,E,分别为AB,AC 上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A-BCF ，其中22BC =。

石门中学2010—2011学年度第二学期高二理科数学三检专题复习（一）立体几何（2） 编辑：张展朋 校正：徐庆均 【感受高考】 2006年17、(本题14分)如图5所示，AF 、DE 分别是O 、1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是O 的直径，6AB AC ==,//OE AD .(I)求二面角B AD F --的大小；(II)求直线BD 与EF 所成的角.17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=10828210064180||||,cos =⨯++=>=<FE BD 设异面直线BD与EF所成角为α，则1082|,cos |cos =><=α 直线BD 与EF 所成的角为1082arccos图5A FD19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE x = V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

19.解: (1)11) (032V x x x =⋅<<即3V =-(0x <<;(2)22)V x x '==-,(0,6)x ∴∈时,0;V '>x ∴∈时,0;V '<6x ∴=时()V x 取得最大值.(3)以E 为空间坐标原点,直线EF 为x 轴,直线EB 为y 轴,直线EP 为z 轴建立空间直角坐标系,则(0,6(3,6A C AC --=;(0,0,6),(6,0,6)P F PF ∴=-,设异面直线AC 与PF 夹角是θ1cos 7θ∴==A20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD，PD =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DFEB FC =，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ． （1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形； （3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．20．解：（1）在Rt BAD ∆中，60ABD ∠=，,AB R AD ∴==而PD 垂直底面ABCD ，PA ===PB ===,在PAB ∆中，222PA AB PB +=,即PAB ∆为以PAB ∠为直角的直角三角形。

广东春季高考数学立体几何
广东春季高考数学立体几何主要考查以下几个方面的知识点：
1. 点、线、面的位置关系：包括点在线上、点在线外、线在面上、线面平行、线面相交等。

2. 几何体的性质：如长方体、正方体、球体、圆柱体、圆锥体等的基本性质和特征。

3. 几何体的表面积和体积计算：掌握各种几何体的表面积和体积公式，并能运用这些公式解决实际问题。

4. 空间向量：理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算，如数量积、向量加法和向量积等。

5. 空间直线与平面：了解直线与平面之间的关系，如直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交等。

6. 空间几何体的对角线：掌握空间几何体的对角线长度公式，并能运用这些公式解决实际问题。

7. 空间几何体的角：了解空间几何体的角的概念，掌握各种角的大小和性质。

为了在广东春季高考数学立体几何中取得好成绩，建议同学们平时多做一些练习题，熟悉各种题型，加强对概念的理解和运用。

同时，也要注意培养自己的空间想象能力和几何推理能力，以应对考试中的各种挑战。

高考数学立体几何题型全归纳一、空间几何体的结构特征1. 一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（）正视图：是一个矩形，长为2，高为√(3)；侧视图：是一个矩形，长为2，高为1；俯视图：是一个正三角形，边长为2。

解析：底面正三角形的边长a = 2，底面积S_{底}=(√(3))/(4)a^2=(√(3))/(4)×2^2=√(3)。

侧棱长h = 1，三个侧面的面积S_{侧}=3×2×1 = 6。

所以表面积S=2S_{底}+S_{侧}=2√(3)+6。

2. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）正视图：是一个梯形，上底为1，下底为2，高为2；侧视图：是一个矩形，长为2，宽为1；俯视图：是一个矩形，长为2，宽为1。

解析：该几何体是一个四棱台。

上底面积S_{1}=1×1 = 1，下底面积S_{2}=2×2=4，高h = 2。

根据四棱台体积公式V=(1)/(3)h(S_{1}+S_{2}+√(S_{1)S_{2}})=(1)/(3)×2×(1 + 4+√(1×4))=(14)/(3)二、空间几何体的表面积与体积3. 已知球的直径SC = 4，A，B是该球球面上的两点，AB=√(3)，∠ ASC=∠BSC = 30^∘，则棱锥S - ABC的体积为（）解析：设球心为O，因为SC是球的直径，∠ ASC=∠ BSC = 30^∘所以SA=SB = 2√(3)，AO = BO=√(3)又AB=√(3)，所以 AOB是等边三角形，S_{ AOB}=(√(3))/(4)×(√(3))^2=(3√(3))/(4)V_{S - ABC}=V_{S - AOB}+V_{C - AOB}=(1)/(3)× S_{ AOB}×(SO + CO)=(1)/(3)×(3√(3))/(4)×2=√(3)4. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）正视图：是一个正方形，右上角缺了一个等腰直角三角形；侧视图：是一个正方形，右上角缺了一个等腰直角三角形；俯视图：是一个正方形，右上角缺了一个小正方形。

广东文科数学历届立体几何高考题集锦2011年广东文科数学9. 如图 1-3,某几何体的正视图(主视图 ,侧视图(左视图和俯视图分别是等边三角形等腰三角形和菱形,则该几何体体积为A. 4B.4C.32D.218. (本小题 13分如图所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的 ., , , , ' ', , ' ' A A B B CD CD DE DE ''分别为的中点,' '1122, , , O O O O 分别是, ' ' , , C D C D D ED E的中点 . (1 2:', ', , O A O B 证明四点共面;(2 ' ' '111' ' ', O ' ' G AA AOH H AO =设为的中点,延长到使得 , 证明 :'2' ' . BO HBG ⊥平面2012年广东文科数学7. 某几何体的三视图如图 1所示,它的体积为( A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π图 1正视图俯视图侧视图PABCFE图 518. (本小题满分 13分如图 5所示, 在四棱锥 P ABCD -中, AB ⊥平面 PAD , //AB CD , PD AD =, E 是PB 的中点, F 是 CD 上的点且 12DF AB=, PH 为△ PAD 中 AD 边上的高 . (1证明:PH ⊥平面 ABCD ;(2若 1PH =, AD =, 1FC =,求三棱锥 E BCF -的体积;(3证明:EF ⊥平面 PAB .解:(1证明:因为 AB ⊥平面 PAD所以 PH AB ⊥因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高所以 PH AD ⊥因为 ABAD A =所以 PH ⊥平面 ABCD(2连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 因为 E 是 PB 的中点,所以 //EG PH 因为 PH ⊥平面 ABCD所以 EG ⊥平面 ABCD则 1122EG PH ==111332E BC FB C FV S E G F C A D -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=(3证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 因为 E 是 PB 的中点,所以 1//2ME AB =因为 1//2DF AB =所以 //ME DF =所以四边形 MEDF 是平行四边形所以 //EF MD 因为 PD AD = 所以 MD PA ⊥因为 AB ⊥平面 PADPABCEM所以 MD AB ⊥因为 PAAB A =所以 MD ⊥平面 PAB 所以 EF ⊥平面 PAB2013年广东文科数学6. 某三棱锥的三视图如图 2所示,则该三棱锥的体积是(A. 16B. 13C. 23D. 18. 设 l 为直线, , αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若//, //l l αβ,则//αβ,则//αβ B. 若, l l αβ⊥⊥,则//αβ C. 若, //l l αβ⊥,则//αβ D. 若, //l αβα⊥,则l β⊥18. (本题满分 14分如图 4,在边长为 1的等边三角形 ABC 中, D,E, 分别为AB,AC 上的点, AD=AE, F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将△ ABF 沿 AF 折起,得到如图 5所示的三棱锥 A-BCF,其中 2BC =。

广东高考数学立体几何专题（2019）18．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．（2018）18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，,E F分别为,AD BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PF BF⊥.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.（2017）18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAP CDP∠=∠=.90（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90∠=，求二面角A-PB-C的APD余弦值.（2016）（18）（本题满分为12分）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，90∠=，AFD且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．（I）证明；平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．（2015）18. (本小题满分14分)如图2, 三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====,点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.（2014）18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值．（2013）图4PABCED F（2019解答）18．解：（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)AM =--，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||5⋅〈〉===‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --的正弦值为5． 19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．（2018解答）18.（12分）解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE.又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .可得32PH EH ==.则33(0,0,0),(0,0,(1,,0),(1,,2222H P D DP --=(0,0,2HP =为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||4||||3HPDP HP DP θ⋅===⋅.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为4.（2017解答）18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90 BAP CDP∠=∠=.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.（1）证明：//,AB CD CD PD AB PD⊥∴⊥,又,AB PA PA PD P∴⊥⋂=,PA、PD都在平面PAD内，故而可得AB PAD⊥。

F图6PED CBA2007-2011年广东省高考理科数学立体几何试题及答案汇编【2007广东理科数学第19题，本满分14分】如图6所示，等腰三角形ABC的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于B D 、的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到PEF 的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，V x （）表示四棱锥P ACEF -的体积. （1）求V x （）的表达式； （2）当x 为何值时，V x （）取得最大值？ （3）当V x （）取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值.【2008广东理科数学第20题，本满分14分】如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60,45ABD BDC ∠=∠=。

PD垂直底面,ABCD PD =.,E F 分别是,PB CD 上的点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G 。

（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形； （3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影． （1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.【2010广东理科数学第18题，本满分14分】如图5，ABC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点．平面AEC 外一点F 满足5FB DF a ==，6FE a =． （1）证明：EB FD ⊥；（2）已知点,Q R 分别为线段,FE FB 上的点，使得22,33BQ FE FR FB ==,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．GFE DC AC 1D 1B 1A 1如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且060DAB ∠=,2PA PD ==,2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，（1）证明：AD DEF ⊥平面;（2）求二面角P AD B --的余弦值.（1）由折起的过程可知，P E ⊥平面ABC，ABC S ∆=2254BEF BDC x S S ∆∆=⋅=21(9)12x -（0x << （2）21'())4V x x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值 （3）过F 作MF//AC 交AD 与M,则,21212BM BF BE BEMB BE AB BC BD AB=====，PM=MF BF PF ====在△PFM 中， 84722cos 427PFM -∠==，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为27；2008年【解析】（1）在Rt BAD ∆中，60ABD ∠=，,AB R AD ∴==而PD 垂直底面ABCD，PA ===PB ===,在PAB ∆中，222PA AB PB +=,即PAB ∆为以PAB ∠为直角的直角三角形。

广东高考数学立体几何知识点2017广东高考数学立体几何知识点立体几何是高考数学考试中重要的知识点，也是高考考试中的高频考点之一。

下面店铺为大家整理的广东高考数学立体几何知识点，希望大家喜欢。

广东高考数学立体几何知识点一、平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a) A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b) lα—直线l在平面α内;c) aα—直线a不在平面α内;d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行高考数学不等式复习资料是不等式一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。

通常不等式中的`数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为<，≤,≥，> 中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

高考立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。

广东高考热点题型聚焦（三）《立体几何》广东课标高考三年来风格特点“坚持对立体几何内容的考查重在空间想象能力，理科试题兼顾几何和向量方法”，“理科试题兼顾几何和向量方法”这句话实质上是淡化向量方法在立几中的工具作用，突出了第一句话中重在空间想象能力的考查.文理科要求差别较大.仅从对立体几何内容的考查重在空间想象能力，不追求图形的新颖、不迎合命题时尚考虑，可通过图形丰富的线段达到考查空间想象能力的要求. 文科参考题目：三棱柱ABC C B A -111中，侧棱1AA ⊥底面ABC .CB AC ⊥，D 为AB 中点，1=CB ，3=AC，1A A =（I ）求证：//1BC 平面CD A 1； （II ）求三棱锥11C A DC -的体积.（Ⅰ）证明：连接1AC ，设E C A AC =11 ，连接DE∵ABC C B A -111是三棱柱，侧棱1AA ⊥底面ABC .且31==AA AC ∴C C AA 11是正方形，E 是1AC 中点， 又D 为AB 中点 ∴ED ∥1BC 又⊂ED 平面CD A 1，⊄1BC 平面CD A 1∴//1BC 平面CD A 1（II ）在平面ABC 中过点D 作AC 的垂线，交AC 于H .由于底面ABC ⊥面11ACC A ，且AC 为两平面交线，∴DH ⊥面11ACC A .△ABC中，2AB ==，所以30BAC ∠=o，且1AD =.在△ADC 中，1sin 302HD AD ==o由于132AC C S =V ，所以111113133224D AC C AC C V DH S -=⋅⋅=⋅⋅=V ∴由等积法可得11114C A DCD AC C V V --==.本题几何构图常规，但线段丰富，能较好地考查考生的空间想象能力.在设问中，既考查线面平行，同时在体积的求解过程中涉及面面垂直、线面垂直等定理以及体积求解中的勾股定理和等积法等知识.理科参考题目：1C1B1AABC1C1B1AABCHE已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为AF 的中点. (Ⅰ)求证：1FG ∥平面11BB E E ； (Ⅱ)求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； (Ⅲ)求异面直线EG 与1F A 所成角的余弦值. 证明：(Ⅰ)因为AF ∥BE ，AF ⊄平面11BB E E ， 所以AF ∥平面11BB E E ， 同理可证，1AA ∥平面11BB E E ， 所以，平面11AA F F ∥平面11BB E E又1F G ⊂平面11AA F F ，所以1FG ∥平面11BB E E (Ⅱ)因为底面ABCDEF 是正六边形，所以AE ⊥ED ， 又1E E ⊥底面ABCDEF ，所以1E E ⊥AE ， 因为1E E ED E = ，所以AE ⊥平面11DD E E ，又AE ⊂平面1F AE ，所以平面1F AE ⊥平面11DEE D(Ⅲ)由于底面ABCDEF 是正六边形，所以EF ⊥BF .如图，建立如图所示的空间直角坐标系.则11(0,2,0),,0),(0,0,2),1,0)2E GF A --. 则5,0)2EG =-uu u r ，11,2)F A =--uuu r ，从而两异面直线EG 与1F A 所成角的余弦值为11cos 7EG F A EG F Aθ===uu u r uuu r g uu u r uuu r . 本题几何构图常规，但线段丰富，能较好地考查考生的空间想象能力.在设问中，既考查空间中的平行关系（线面、面面），同时考查空间中的垂直关系（线面、面面）.对于空间角的考查几何与向量方法均可使用，有助于全面而深刻地训练空间中元素的关系.从延续风格，迎合命题时尚考虑文科继续关注通过三视图体现对考生空间想象能力的考查的题型. 理科关注通过平面图形的翻折考查考生空间想象能力的题型.xyzPABCDED ABC俯视图1．已知一几何体的三视图如图（甲）示，（三视图中已经给出各投影面顶点的标记）（1）在已给出的一个面上（图乙），画出该几何体的直观图； （2）设点F 、H 、G 分别为AC , AD ,DE 的中点， 求证：FG//平面ABE ；（3）求该几何体的全面积． 解：（1）该几何体的直观图如图示：------------------------4分 （2）证明：由图（甲）知四边形CBED 为正方形∵F 、H 、G 分别为AC,AD ,DE 的中点∴FH//CD, HG//AE----------------------------------------5分 ∵CD//BE ∴FH//BE∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE∴//FH 面ABE ----------------------------7分 同理可得//HG 面ABE 又∵FH HG H = ∴平面FHG//平面ABE---------------------------8分 又∵FG ⊂面FHG∴FG//平面ABE-------------------------------------9分 （3）由图甲知AC ⊥CD ，AC ⊥BC, BC ⊥CD∴CD ⊥平面ACB, ∴CD ⊥AB同理可得ED ⊥AD---------------------------------------10分∵2ACB ACD S S ∆∆==，122ABE ADE S S ∆∆==⨯⨯=，4CBED S = ------12分 ∴该几何体的全面积:ACB ACD ABE ADE CBED S S S S S S ∆∆∆∆=++++ ＝2＋2＋＝4(2.------14分 2．右图为一简单组合体，其底面ABCD 为 正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且 2PD AD EC ===2 .（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何 体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主) 视图和侧(左)视图；（2）求四棱锥B －CEPD 的体积； （3）求证：//BE 平面PDA ． 解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分 （图乙）DEBC HF DGEBCADEBCA∴平面PDCE ⊥平面ABCD∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ----------5分 ∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE --6分 ∴四棱锥B －CEPD 的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形.----8分(3) 证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ， EC ⊄平面PDA∴EC//平面PDA ,------------------------------------10分 同理可得BC//平面PDA ----------------------------11分 ∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA -----------------------------13分又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分 理科参考题目： 1．如图（甲），在直角梯形ABED 中，AB//DE ，AB ⊥BE ，AB ⊥CD,且BC=CD,AB=2,F 、H 、G 分别为AC ,AD ,DE 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED,如图（乙）． （1）求证：平面FHG//平面ABE ； （2）记,BC x =()V x 表示三棱锥B －ACE 的体积，求()V x 的最大值；（3）当()V x 取得最大值时，求二面角D －AB －C 的余弦值．解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED 如图（乙）∵F 、H 、G 分别为AC , AD,DE 的中点 ∴FH//CD, HG//AE-----------------------------------------------------------1分 ∵CD//BE ∴FH//BE∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE∴//FH 面ABE -------------------------------------3分 同理可得//HG 面ABE又∵FH HG H = ∴平面FHG//平面ABE-----------------4分 （2）∵平面ACD ⊥平面CBED 且AC ⊥CD∴AC ⊥平面CBED----------------------------------------------------5分∴()V x ＝A BCE V -＝13BCE S AC ∆⋅ ∵BC x = ∴2AC x =-（02x <<）∴()V x ＝22111(2)(2)326x x x x ⨯-=-＝1(42)12x x x ⋅⋅---------------7分 解法1：∵34264(42)()327x x x x x x ++-⋅⋅-≤=∴()V x 16416122781≤⨯=, (甲)HF D GEBCA(乙)当且仅当42x x=-即43x=时取“＝”∴()V x的最大值为1681-------------------------------------------9分[解法2：∵21'()(43)6V x x x=-，令'()0V x=得0x=（不合舍去）或43x=当43x>时'()0V x<，当43x<<时'()0V x>∴当43x=时()V x有最大值，max4()()3V x V==1681]（3）解法1：以点C为坐标原点，CB为x轴建立空间直角坐标系如右图示：由（2）知当()V x取得最大值时43x=，即BC=43这时AC=23,∴B4(,0,0)3,4(0,,0)3D,2(0,0,)3A-----10分∴平面ACB的法向量4(0,,0)3CD=设平面ABD的法向量为(,,)m a b c=∵42(,0,)33AB=-,44(,,0)33BD=--------------11分由m AB⊥,m BD⊥得4433a b-+=，4233a c-=令1c=得11(,,1)22m=----------------------------------------12分设二面角D－AB－C为θ，则2cos||||m CDm CDθ⋅===⋅---------14分[解法2：由（2）知当()V x取得最大值时43x=，即BC=43这时AC=23，从而AB==过点C作CM⊥AB于M，连结MD∵,CD AC CD BC⊥⊥AC BC C=∴CD⊥面ABC∵CM⊂面ABC∴CM CD⊥∴AB⊥面MCD∵MD⊂面MCD∴AB MD⊥∴CMD∠是二面角D－AB－C的平面角yMACB EGHFEDCBA侧视图俯视图由AB CM AC BC ⋅=⋅得AC BC CM AB ⋅=24⨯= ∴MD ==在Rt △MCD 中cos MC CMD MD ∠=== [解法3：设二面角D －AB －C 为θ,∵,CD AC CD BC ⊥⊥且AC BC C = ∴CD ⊥面ABC ∴△ABC 为△ABD 在面ABC 上的投影 ∵ACB ∆≌ACD ∆ ∴AB AD =,又∵O 为BD 的中点 ∴AO BD ⊥ ∵AO ∴12ABD S BD AO ∆=⋅＝12339⨯= ∵12ABC S AC BC ∆=⋅=49, ∴cos ABC DABS S θ∆∆=4=.]2．已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （1）求此几何体的体积V 的大小;（2）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （3）试探究在DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ 并说明理由.ACBEG DF HoxOQABCD E（2）解法1:过点B 作BF//ED 交EC 于F ，连结AF ，则∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．-------5分在△BAF 中，∵AB=BF=AF=5==．∴222cos 2BF AB AF ABF BF AB +-∠==⋅ 即异面直线DE 与AB--------------------------------------------7分 解法2：以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线为x,y,z 则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，1），E （0，0，4）∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-，∴cos ,DE AB <>=∴异面直线DE 与AB所成的角的余弦值为5． （3）解法1:在DE 上存在点Q ，使得AQ ⊥BQ.-----------------------------------------------------8分取BC 中点O ，过点O 作OQ ⊥DE 于点Q ，则点Q 满足题设.------------------------------10分 连结EO 、OD ，在Rt △ECO 和Rt △OBD 中 ∵2EC OBCO OD== ∴Rt ECO ∆∽Rt OBD ∆ ∴EOC OBD ∠= ∵90EOC CEO ∠+∠=∴90EOC DOB ∠+∠=∴90EOB ∠=．-----------------11分∵OE ==OD ==∴2OE OD OQ ED ⋅=== ∴以O 为圆心、以BC 为直径的圆与DE 相切．切点为Q∴BQ CQ ⊥ ∵AC ⊥面BCED ,BQ ⊂面CEDB ∴BQ AC ⊥ ∴BQ ⊥面ACQ ---------13分 ∵AQ ⊂面ACQ∴BQ AQ ⊥．------------------------------------------------------------------------------------------14分 解法2: 以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q 存在,其坐标为（0，m ，n ），则(4,,),(0,4,)AQ m n BQ m n =-=-D C 1B 1A 1CBA OB 2DC 1B 1A 1CBA(0,,4)EQ m n =- ，(0,4,1)QD m n =--∵AQ ⊥BQ ∴2(4)0m m n -+= ----------------------------①∵点Q 在ED 上，∴存在R λ∈(0)λ>使得EQ QD λ=∴(0,,4)(0,4,1)m n m n λ-=--44,11m n λλλλ+⇒==++-----------② ②代入①得222416()81601(1)λλλλλλ+=⇒-+=++，解得4λ= ∴满足题设的点Q 存在，其坐标为168(0,,)55． 3．如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由 B 沿棱柱侧面经过棱C C 1到点A 1的最短路线长为设这条最短路线与CC 1的交 点为D ．（1）求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；（2）在平面A 1BD 内是否存在过点D 的直线与平面ABC 平行？证明你的判断； （3）证明：平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1．解：(1)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点B 运动到点B 2的位置，连接A 1B 2，则A 1B 2就是由点B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线。

广东2013年高考(理科)数学立体几何（二面角）专题汇编1.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，,ABCD60,DAB ∠=FC ⊥平面,ABCD AE BD ⊥，CB CD CF ==．（1）求证BD ⊥平面AED ； （2）求二面角F BD C --的余弦值．2.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ︒∠=， ==2PA AD ，=1AC . (Ⅰ)证明：PC 丄AD ；(Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；(Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.3.如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，12BB =，M 是线段11B D 的中点． （1）求证：//BM 平面1D AC ；（2）求证：1D O ⊥平面1AB C ； （3）求二面角1B AB C --的大小．4.如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AD =2，BD =22.文档来自于网络搜索 （Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AC ；（4分） （Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小；（5分） （Ⅲ）求点C 到平面PBD 的距离. （5分）ABCD FEDCBAPDP A5.直三棱柱111ABC A B C -中13AB AC AA a ===,2BC a =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点，且2CF a =.（I ）求证：1B F ⊥平面ADF ；（II ）求平面ADF 与平面11AA B B 所成锐二面角的余弦值.6.如图， 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA 1＝4，点D 是AB 的中点（Ⅰ）求证：AC ⊥BC 1；（Ⅱ）求二面角1D CB B --的平面角的正切值．7.已知几何体A —BCED 的三视图、直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体A —BCED 的体积V 的大小；（2）求二面角A ED B --的余弦值．B 1C ACA 1FD 4244正视图侧视图俯视图DABC E8.三棱柱111C B A ABC -的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D 为AC 的中点.（1）求证：//1AB 平面1BDC ； （2）求证：⊥C A 1平面1BDC ； （3）求二面角1A BC D --的正切值.9.一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．（1）求证：AC BD ⊥；（2）求二面角A BD C --的平面角的大小．10.如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，45ABC ∠=︒，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（1）求证：//AB 平面PCDA B CD1A1B1C1AABP（2）求证：⊥BC 平面PAC（3）求二面角D PC A --的平面角α的正弦值．11.如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，CE ∥AB ，BC //AD 。