2013年深圳市南山区高二期末考试数学_文_试卷

2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31 B．36 C．42 D．485．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．6．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知命题p：|x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z} B．{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．39．已知数列{a n}中a1=1，a2=，a3=，a4=，…a n=…，则数列{a n}的前n项的和s n=（）A． B． C． D．10．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．211．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27，无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣1112．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a= ．15．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0= ．16．递减等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大，则n= ．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，记，求数列{c n}的前n项和T n．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0（a∈R）21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l 的方程及椭圆C的方程．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．进而判断出结论．【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．∴“x2＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【考点】三角形的形状判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2，又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π，∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31 B．36 C．42 D．48【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比中项的性质求得a3a5=a2a6，进而根据a3+a5=20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：a3a5=a2a6=64，∵a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q===2，∴a1===1，∴S5==31．故选A．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a3和a5，进而求得a1和q．5．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．6．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】导数的综合应用．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．7．已知命题p：|x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z} B．{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出命题P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知0＜x＜4，x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．【解答】解：由命题p：|x﹣1|≥2，得到命题P：x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即命题P：x≥3或x≤﹣1；∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．再由“p且q”为假命题，知命题P：x≥4或x≤0是假命题．故﹣1＜x＜3，x∈Z．∴满足条件的x的值为：0，1，2．故选D．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解： ===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S△ABC=2，则absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9．已知数列{a n}中a1=1，a2=，a3=，a4=，…a n=…，则数列{a n}的前n项的和s n=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a n===2．，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵a n===2．∴数列{a n}的前n项的和s n=2++…+==．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27，无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，得到函数极值即可．【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，由于﹣2＜x＜2，则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．故选：A【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，属于基础题12．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】化抛物线方程为标准方程，即可求得焦点坐标．【解答】解：抛物线y=8x2可化为，焦点在y轴上∵，∴∴抛物线y=8x2的焦点坐标为故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质，化抛物线方程为标准方程是关键．14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a= ．【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；方程思想；分析法；解三角形．【分析】根据三角形的面积公式，求出c，然后利用余弦定理即可得到a的值【解答】解：∵A=60°，b=1，△ABC的面积为，∴S△=bcsinA=csin60°=，即c=，解得c=4，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×1×4×=13，解得a=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．15．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0= e ．【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．16．递减等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大，则n= 7或8 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据题意，由S5=S10，可得S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，结合等差数列的性质，可得a8=0，又由数列{a n}是递减等差数列，则可得a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，分析可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足S5=S10，则S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，由等差数列性质得：5a8=0，可得a8=0，又由数列{a n}是递减的等差数列，则由a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，则当n=7或8时，s n取最大值，故答案为7或8．【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，要牢记其前n项和s n取最大或最小值的条件以及判断方法．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】分类讨论；简易逻辑．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．（1）求A；（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0，可得cosA=，A∈（0，π），∴A=．（2）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=22+c2﹣4ccos，化为c2﹣2c﹣3=0，解得c=3．故△ABC的面积为bcsinA=×3×=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．∴，即，消去d得2q2﹣q﹣6=0，（2q+3）（q﹣2）=0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q=2，d=1，∴a n=n，b n=2n．（2）S n=2n+1﹣2，…c n=a n•（+1）=n•2n，设T n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，相减，可得T n=（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0（a∈R）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对a分类：a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1，分别解不等式即可．【解答】解：ax2﹣2（a+1）x+4＞0⇔（ax﹣2）（x﹣2）＞0…（ⅰ）a=0时，x﹣2＜0⇔x∈（﹣∞，2）…（ⅱ）0＜a＜1时，…（ⅲ）a=1时，（x﹣2）2＞0⇔x∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）…（ⅳ）a＞1时，…（ⅴ）a＜0时，…【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l 的方程及椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用|AB|=|BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C：联立，OP⊥OQ，可得，利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．．，．…∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．从而，解得b=1，∴椭圆C的方程为．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由函数，知（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．【点评】本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。

广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀∈R，2+2≤02．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．53．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣79．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=B．y2=3 C．y2=D．y2=912．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为．15．（5分）设不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集为N，若∈N是的必要条件，则a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB 交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀∈R，2+2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：，故选：B2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．3．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件【解答】解：当+2π时，满足但不一定成立，即充分性不成立，当时，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：+=（3，1，6），﹣=（2﹣1，，4﹣2），∵+与﹣互相垂直，∴3（2﹣1）++6（4﹣2）=0，解得=，故选：D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga•lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga•lgb的最大值是1故选B．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7【解答】解：由，得a n+3=2（a n+3），+1∵a1+3=4≠0，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故选：A．9．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【解答】解：由题意可得直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]【解答】解：由=﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时最大，代入目标函数=﹣2y，得=3，∴目标函数=﹣2y的最大值是3．当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时最小，由，得，即B（1，2）代入目标函数=﹣2y，得=1﹣2×2=﹣3∴目标函数=﹣2y的最小值是﹣3．故﹣3≤≤3，故选：B11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=B．y2=3 C．y2=D．y2=9【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3，故选：B12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．=，【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为﹣5．【解答】解：由，得log3（3a n）=log3a n+1，=3a n，且a n＞0，∴a n+1∴数列{a n}是公比为3的等比数列，又a2+a4+a6=9，∴=35．∴=．故答案为：﹣5．15．（5分）设不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集为N，若∈N是的必要条件，则a的取值范围为．【解答】解：若∈N是的必要条件，则M⊆N，若a=1时，不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，综上，故答案为：16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵=2，∴，且C﹣c=c，得C=2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2=a2，解得e=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由，取n=1，得，∵a n＞0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=3；（2）∵+a n，①∴，②+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，②﹣①得（a n+1∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）又A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosB，…（4分）∴，又B为三角形内角…（5分）∴…（6分）（2）由题意得2b=a+c=6，…（7分）又，∴…（9分）∴ac=9…（10分）∴…（12分）19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，∴，即a n=2n﹣1；（2）由（1）得，所以所以，两式相减，得，得．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB 交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，≠（2）设MN的中点坐标为（0，y0），联立得（22+1）2+4=0，所以，由0+2y0=0，得=1，所以直线的方程为：y=+121．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），设平面BEC的法向量=（1，y1，1），则，取1=，则=（），设平面ABC的法向量为=（，y，），则，取y=，得，设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．则cosθ===﹣，∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=+1，联立2=4y，消去y得，2﹣4﹣4=0，设A（1，y1），B（2，y2），G（，y），则1+2=4，12=﹣4，所以，所以，消去，得重心G的轨迹方程为；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．。

高 二 期 末 考 试 数 学(理科) 2013.07.03本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的，答案无效.3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损.考试结束后，将答题卡交回.5、考试不可以使用计器.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上． 2、若2i=a +bi i+(a ，b∈R，i 为虚数单位) 则a+b= A.1 B.2 C.－1 D.－23、今有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有A.10种B. 32种C. 25种D. 20种 4、在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是 A.(1)2π， B.(1)2π-， C.(1，0) D. (1，π) 5、直线x =3+t 21y =1+t 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (t 为参数)的倾斜角是 A.6π B.3π C.65π D.32π 6、随机变量ξ的分布列为A.－0.2B. 0.2C. 0.4D. 0 7、已知直线y=kx 是曲线y=lnx 的切线，则k 的值为 A.e B.－e C.1e D.1e- 8、定义在R 上的函数f(x)满足(x+2)·f ′(x)<0(其中f ′(x)是函数f(x)的导数)，又12a =f(log 3)，0.11b =f[()]3，c=f(ln3)，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡上．．．．．．．．．. 9、41(x )x-的二项展开式中x 2的系数是________.(用数字作答) 10、由曲线y=x 2和直线y=2x 围成的封闭区域的面积为______.11、把4名男生和4名女生排成一排，女生要在排在一起，不同排法的种数为______.(用数字作答)12、在平面上，若两个正三角形的边长比是1：2，则它们的面积比是1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为_____.13、观察下列等式：231111222⨯=-⨯，2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯， 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，…，由以上等式推测一个一般的结论：对于n ∈N*，2n 3141n 21...122232n(n 1)2+⨯+⨯++⨯=⨯⨯+______.14、已知函数x21()1(x 0)f(x)=2x 2x (x 0)⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩，，，对于下列命题：①函数f(x)的最小值为0；②函数f(x)在R 上是单调递减函数；③若f(x)>1，则x<－1； ④若函数y=f(x)－a 有三个零点，则a 的取值范围是0<a<1. 其中正确命题．．．．的序号是______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 15、(本小题满分12分)复数z=(3m －2)+(m －1)i ，m ∈R. (1)m 为何值时，z 是纯虚数？ (2)若n3)x(m ∈N*)的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数和之比为64，求m 的值并指出此时复数z 在复平面上对应的点位于第几象限.16、(本小题满分12分)为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长(1)现采用分层抽样方法，从这个样本中取出10株玉米，再从这10株玉米中随机选出3株，求选到的3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率；(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉22n(ad bc)K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)，其中n=a+b+c+d 为样本容量.17、(本小题满分14分)袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.18、(本小题满分14分)数列{a n }中，a n >0，a n ≠1，且nn+1n 3a a =2a +1(n∈N*).(1)证明：a n ≠a n+1；(2)若13a =4，计算a 2，a 3，a 4的值，并求出数列{a n }的通项公式.19、(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax3－bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值4 3 -.(1)求f(x)的表达式；(2)若关于x的方程f(x)=k有三个不同的零点，求实数k的取值范围.20、(本小题满分14分)已知函数a f(x)=lnxx-.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值；(3)若f(x)<x2在(1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.高二数学(理科)参考答案及评分标准2013.07.03二、填空题：(4×5′=20′) 9、4； 10、4311、2880； 12、108；13、n11(n 1)2-+⋅； 14、3，4. 三、解答题：(80′)15、(本小题满分12分)解：(1)3m －2=0且m －1≠0时，即2m 3=，z 是纯虚数. ……4分 (2)∵m 3)x(m∈N*)的展开式中，各项系数的和为2n，则m m 4642=，即m=6，此时复数z=16+5i 在复平面上对应的点位于第一象限. ……12分16、(本小题满分12分)解：(1)现采用分层抽样的方法，从样本中取出的10株玉米中圆粒的有6株，皱粒的有4株，所以从中再次选出3株时，既有圆粒又有皱粒的概率为12216464310C C C C 4P C 5+==. ……6分 (2)根据已知列联表：∴2250(1171319)K = 3.860 3.84130202426⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，又P(K 2≥3.841)=0.050，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关. ……12分 17、(本小题满分14分)解：(1) 记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”，位事件A ，摸出一球得白球的概率为25；摸出一球得黑球的概率为35； ……3分所以233212P(A)=555525⨯+⨯=，答：两球颜色不同的概率是1225. ……6分(2)由题设知，ξ可取0，1， 2，依题意得，323P(=0)=5410ξ⨯=， 32233P(=1)=54545ξ⨯+⨯=，211P(=2)=5410ξ⨯=， ……10分则3314E =0+1+2=105105ξ⨯⨯⨯， ……12分2224343419D =(0)+(1)(2)5105551025ξ-⨯-⨯+-⨯=， 答：摸出白球个数ξ的期望和方差分别为45，925. ……14分18、(本小题满分14分)(1)证明：(反证法)若a n =a n+1，则由n n+1n 3a a =2a 1+(n∈N*)，得nn n 3a a =2a 1+，得a n =1，这与已知a n ≠1相悖，故a n ≠a n+1. ……4分(2)方法一：(举例．．-猜想．．-证明．．) 若13a =4，由n n+1n 3a a =2a 1+(n∈N*)得，29a =10，327a =28，481a =82，猜想：n n n 3a =31+(n∈N*)， ……8分 以下用数学归纳法证明：①当n=1时，11133a =431=+，所以当n=1时命题成立； ……9分②假设当n=k 时，命题成立，即kk k 3a =31+，则当n=k+1时，k+1k+1k+1k+1k+1k k+1kk+1k+1k kk 333a 33131a =23312a 13113131++===⋅++++++， ……12分 所以，当n=k+1时，命题也成立，故nn n 3a =31+(n∈N*)， ……13分由①、②可知，对所有的自然数n ，都有nn n 3a =31+(n∈N*). ……14分(说明：其它方法请相应给分) 方法二：(利用数列递推．．．．．．关系．．求通项．．．公式．．) 由n n+1n 3a a =2a 1+(n∈N*)，取倒数得n n+1n n 2a 11112=a 3a 3a 3+=⋅+， 又n+1n n111211+t t =(23t)a 3a 33a =⋅++++，令2+3t=t ，解得t=－1，∴n+1n1111(1)a 3a -=-， ∴n 1{1}a -是以114111a 33-=-=为首项，13为公比的等比数列，∴n 1n n 11111=()()a 333--⋅=，∴nn n n 1113()1a 33+=+=，∴n n n 3a 3+1=. 19、(本小题满分14分)解：(1)∵f′(x)=3ax 2－b ， ……1分 f′(2)=12a－b 且4f(2)=8a 2b 43-+=-， ……2分 ∴1a 3=，b=4， ……4分 ∴31f(x)x 4x 43=-+. ……5分(2)由f′(x)= x 2－4=0，得x=－2或x=2， ……6分 则当x ∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数； 当x ∈(－2，2)时，f′(x)<0，此时f(x)是减函数；当x ∈(2，+∞)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数， ……9分 所以f(x)在x=－2时，取得极大值28f(2)3-=， ……10分 所以f(x)在x=2时，取得极小值4f(2)3=-， ……11分 又x →－∞时，f(x)→－∞；x →+∞时，f(x)→+∞， ……12分 所以，方程f(x)=k 有三个不同零点时，428k 33-<<. ……14分 20、(本小题满分14分) 解：(1)221a x af (x)x x x′+=+=， 当a>0时，f′(x)>0，则f(x)在定义域(0，+∞)上是增函数， ……3分 (2)2x af (x)0x′+==，解得x=－a ， ……4分 则 ①当－a <－1时，即a>1，f′(x)>0 f(x)在[1，e]上是增函数， 此时，f(x)min = f(1)=－a=1.5，而a=－1.5不符合题意； ……5分 ②当1≤－a ≤e 时，即－e ≤a ≤－1时，当x ∈[1，－a]时，f′(x)<0，此时，f(x)是减函数；当x ∈(－a ，e]时，f′(x)>0，此时，f(x)是增函数，所以f(x)在x=－a 时， 取得极小值且极小值为f(－a)=ln(－a)+1，由题意得，f(－a)=1.5得a e =-符合题意； ……6分③当－a >e 时，即a<－e 时，f′(x)<0 f(x)在[1，e]上是减函数，此时，min a 3f(x)=f(e)1e 2=-=，则ea 2=不符合题意， ……7分所以，所求a 的值为a = ……8分 (3)若f(x)<x 2在(1，+∞)上恒成立<=>2a ln x x x>-在(1，+∞)上恒成立<=>a>xlnx －x 3在(1，+∞)上恒成立， ……10分设g(x)= xlnx －x 3，h(x)= g ′(x)=1+lnx －3x 2，则2116x h (x)6x 0x x-=-=<′(x>1)， ∴h(x)在(1，+∞)上是减函数，∴h(x)< h(1)=－2，即g ′(x)<0，∴g(x) 在(1，+∞)上是减函数，∴g(x)< g(1)=－1， ……13分 故a ≥－1为所求a 的取值范围. ……14分。

高 二 教 学 质 量 监 测数 学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2．答卷前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点。

3．答Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答在本试卷上无效。

4．答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答。

答在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

1. 设集合},5,4,3,2,1{=U },3，2，1{=A },4，3，1{=B 则)(B A C U ⋂等于 A. }3,2{ B ．}5,4{ C ．}5,2{ D ．}5，4,2{ 2. 若复数()i i z 21+=，则其共轭复数z 在复平面上对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知实数8.2log 2=a ，3log 4=b ，2.3log 4=c ，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c << B. a c b << C ．b a c << D.c a b << 4．设R n m ∈,，则“n m >”是“0)(2>⋅-n n m ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应是A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大2016.06.296. 函数)32(log )(22-+=x x x f 的定义域为A ．(][)+∞⋃-∞-,13,B. []3,1-- C ．()3,1-- D. ()()+∞⋃-∞-,13,7. 已知某公司采用节能技术后生产某产品的产量x 与消耗的能源y 如下表所示：根据上表，得到线性回归方程为35.07.0+=x y ，则实数m 等于 A. 3 B. 5.3 C. 4 D. 58．函数x kx x f ln )(-=在区间),1(+∞上单调递增，则实数k 的取值范围为 A ．)2,(--∞ B ．)1,(--∞ C ．[)+∞,2 D ． [)+∞,1 9. 已知定义在R 上的函数x x e x f x sin )(2++=，则曲线)(x f y =在点))0(0f ，（处的切线方程是A. 1+=x yB. 12+=x yC. 23-=x yD. 1+-=x y10. 已知函数)(x f 是定义在R 的偶函数，且0)()1(=++x f x f ，若)(x f 在]1,0[是增函数，那么)(x f 在]3,1[上是 A ．增函数 B. 减函数 C. 先减后增函数 D. 先增后减函数11. 已知：324322⨯=+，839833⨯=+，154161544⨯=+，…，观察以上等式，若nk m 999⨯=+（k n m ,,均为正整数），则k n m 2-+等于 A. 2- B. 1- C. 79 D. 8012. 已知0x 是函数x xx f ln 11)(+-=的一个零点， 若),(),,1(0201+∞∈∈x x x x ，则下列结论正确的是 A. 0)(1>x f B. )()(21x f x f > C. 0)()(21>⋅x f x fD. 0)()(21<⋅x f x f24 68 10 1214 16 18 20 …第16题第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上．．．．．．．．．。

2013高二上学期数学文科期末试题（有答案）潮州市2012-2013学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、不在A.（0，0）B.（1，1）C.（0，2）D.（2，0）2、已知是等比数列，，则公比q等于A．2B．C．D．3、已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为A．B．2C．2D．44、设命题甲:的解集是实数集；命题乙:,则命题甲是命题乙成立的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件5、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．6、当在上变化时，导函数的符号变化如下表：1（1，4）4－0+0－则函数的图象的大致形状为7、函数的最小值是A.4B.5C.6D.78、某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A、B两地的距离大约等于（提供数据：，结果保留两个有效数字）A．B．C．D．9、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是A.B.C.D.10、设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11、命题“，则且”的逆否命题是.12、在等差数列中，若，则.13、已知命题“，使”，若是假命题，则实数的取值范围为.14、对于使恒成立的所有常数中，的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答要写出证明过程或解题步骤）15、（本小题满分12分）已知且，命题P：函数在区间上为减函数；命题Q：曲线与轴相交于不同的两点.若为真，为假，求实数的取值范围.16、（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，种植蔬菜时需要沿左、右两侧与前侧内墙各保留1m宽的空地作为通道，后侧内墙不留空地（如图所示），问当温室的长是多少米时，能使蔬菜的种植面积最大？17、（本小题满分14分）在锐角△中，已知a、b、分别是三内角、、所对应的边长,且.⑴求角的大小；⑵若，且△的面积为，求的值.18、(本小题满分l4分)已知函数（为实常数）。

--高 二 教 学 质 量 监 测数 学（理科）注意:本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间１2０分钟．1．答卷前,考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。

２．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题,每小题５分，满分60分.在每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求的.１．设命题P ：.02,2>+∈∀x R x 则P ⌝为A. 02,200>+∈∃x R x ﻩB. 02,200≤+∈∃x R x C ． 02,200<+∈∃x R x ﻩD ． 02,2≤+∈∀x R x 2． 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，公差2-=d ,213=S 则1a 的值为:A. 10 ﻩB. 9 ﻩＣ. 6 D. 53.“21cos =α”是 “3πα=”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件4． 已知向量(2,1,4),(1,0,2)a b →→==，且→→+b a 与→→-b a k 互相垂直，则k 的值是 A. １ ﻩC ． ﻩD. 2017.01.04--５． 在AB C ∆中,若013,3,120AB BC C ==∠=，则AC =A ．1ﻩ ﻩB ．２ﻩ ﻩﻩﻩC.3ﻩ ﻩ Ｄ.46. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线经过点()4,3，则此双曲线的离心率为 Ａ.37 ﻩﻩＢ． 45ﻩC.34 ﻩ D ． 357. 若b a ,均为大于1的正数,且100=ab ,则b a lg lg ⋅的最大值为A. 0 ﻩﻩﻩB. 1 ﻩ C ． 2 ﻩ D.258. 已知数列{}n a ：11=a ，()++∈+=N n a a n n ,321 ,则=n aA ． 321-+n ﻩB. 12-n Ｃ. 12+n ﻩＤ.722-+n9. 已知直线022=-+by ax ()0,0>>b a 平分圆064222=---+y x y x ,则21a b+的最小值是 A.22-ﻩB.12- ﻩC.223+ ﻩD.223-１０. 设y x ,满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则y x z 2-=的取值范围为A. ()3,3- ﻩB ． []3,3- C. [)3,3- ﻩD. []2,2- 11． 如图,过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ,交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为1531C 2BC BF =3AF =Ａ. 23 2y x=Ｂ.D．１2. 在锐角AB C∆中,角,,A B C所对的边分别为,,a b c,，2a=, ABCS∆＝2，则b的值为B．2ﻩＣ．ﻩﻩＤ.二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)11. 在中,0075,45,3===CAAC ,则BC的长为 .1２. 已知数列{}na满足：()++∈=+Nnaann,log1log133，且9642=++aaa，则)(log97531aaa++的值为 .1５. 设不等式()(2)0x a x a-+-<的解集为N，若Nx∈是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-=∈2,21Mx的必要条件，则a的取值范围为_________1６．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为21,FF,过1F且与x轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，直线2AF与椭圆的另一个交点为C,若→2→22=CFAF,则椭圆的离心率为__＿______三、解答题(本大题共６小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算23y x=29y x=ABC∆----步骤.)1７．(本题满分10分)已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足:n n n a a S +=22，()+∈Nn（1)求321,,a a a 的值 (2）求数列{}n a 的通项公式18．(本题满分12分）在AB C ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且B c a C b cos )2(cos -=. (1)求角Ｂ的值；(２)若c b a ,,成等差数列，且3=b ,求ABC ∆面积19．(本题满分１２分）已知递增的等比数列{}n a 满足:9,84132=+=⋅a a a a (1）求数列{}n a 的通项公式;（２）设数列{}())∈(122=:+N n a n b b n n n -，求数列{}n b 的前n 项的和n T--２0．(本题满分1２分),是平面内的一个动点，直线与交于点,（1)求动点的轨迹的方程;（2)设直线与曲线交于M 、N 两点,当线段的中点在直线上时，求直线l 的方程.2１．（本题满分1２分）如图，在以Ａ,B ,Ｃ,D ,Ｅ，F 为顶点的五面体中，面A ＢＥF 为正方形，ＡF =2ＦD ,∠ＡFD =９0°,且二面角D ﹣AF ﹣Ｅ与二面角C ﹣B Ｅ﹣F 都是6０°．(１)证明平面ABE Ｆ⊥平面EF ＤC ; (2)证明:C Ｄ//ＥＦ（3）求二面角E ﹣BC ﹣A 的余弦值.P PA PB P P C 1:+=kx y l C MN 20x y +=2１题图 22题图22.(本题满分１2分）已知Ｏ是坐标系的原点，Ｆ是抛物线C：x２＝4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AＢ的中点为Ｍ，△OAB的重心为Ｇ．(1）求动点G的轨迹方程;(2)设(1）中的轨迹与ｙ轴的交点为D,当直线AB与x轴相交时，令交点为E,求四边形ＤEＭG的面积最小时直线AB的方程.高二数学理科数学参考答案：一、选择题1—１2BBCDA DBACB ＢA二、填空题----1３.2 1４. 5- １5. 25或21≥-≤a a16. 5三、解答题１7. 解:(1）3,2,1321===a a a ……３分(2）22n n a S = +n a , ①1211n 2+++=∴+n n a a S ② ②-① 得 ()()0111=--+++n n n n a a a a …．．5分0,01>+∴>+n n n a a a 1-1=∴+n n a a ……７分{}n a ∴是首项为1,公差为１的等差数列……..8分()n n a n =⨯-+=∴111……１0分 (学生用数学归纳法做相应给分)１8．解: （1）∴-=，B c a C b cos )2(cos 由正弦定理，B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -= ∴，B A C B C B cos sin 2sin cos cos sin =+……２分∴，）（B A C B cos sin 2sin =+……3分 又π=++C B A ∴，B A A cos sin 2sin =……４分21cos =∴B 又B 为三角形内角 ……5分 3π=∴B ……6分(2）由题意得 ,62=+=c a b ……７分 又 3π=B--()acac c a ac b c a B 292221cos 2222--+=-+==∴ ……9分9=∴ac 0439sin 21==∴∆B ac S ABC ……12分1９. 解:（1）由题意,得,84132==a a a a 又,941=+a a所以,8,141==a a ， 或 ,1,841==a a ，……3分由{}n a 是递增的等比数列,知1>q 所以,8,141==a a ，且2=q ……………4分 1111221---=⨯==∴n n n n q a a ……………５分（２）由（1）得()()nn n n a n b 212122-=-=，…………………………6分所以123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅所以23412123252...(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅……………………8分所以1231122(22...2)(21)2n n n T n +-=⋅++++-- 0得()12326n n T n +=-+． (2)20．--(11分3分6分 (２）设MN 的中点坐标为00(,)x y ………………7分得22(21)40k x kx ++=…………………………９分11分 由0020x y +=，得1k =所以直线的方程为：…………………………1２分21. 解：（Ⅰ)证明:∵ABEF 为正方形，∴AF ⊥EF ． ∵∠AF Ｄ=90°，∴AF ⊥DF ， ∵DF∩EF=F,∴AF ⊥平面E ＦＤC ， ∵A Ｆ⊂平面A ＢEF ，∴平面ＡB ＥF ⊥平面ＥFD Ｃ; ………………………………４分 (Ⅰ)解：由ＡF ⊥D Ｆ,A Ｆ⊥EF ，1y x =+可得∠DFＥ为二面角D﹣AＦ﹣E的平面角；……………………5分由CE⊥ＢE，BE⊥EF，可得∠CEＦ为二面角C﹣ＢE﹣F的平面角．…………………………6分可得∠DFＥ=∠CEF=6０°.∵ＡB∥EF,AＢ⊄平面EFDC，ＥF⊂平面ＥＦDＣ，∴AB∥平面EFDC，……………………………………７分∵平面EFDC∩平面ＡBCD=ＣD，AB⊂平面ABCＤ，∴AB∥ＣD，∴CＤ∥ＥF，∴四边形ＥＦDC为等腰梯形．……………………………………8分以E为原点,建立如图所示的坐标系，设ＦＤ＝a,则E（０，０，0),B（0，2a，０)，C(,0，a)，Ａ（２a,2a，0）,∴=(０，２ａ,0），＝（,﹣２a，a）,＝(﹣2ａ，0，0）…………９分设平面ＢEC的法向量为＝(x１，ｙ1，ｚ1),则，则,取=（，0,﹣1).………………1０分设平面ABC的法向量为=（x２，ｙ2,z2)，则，则，取=(0，,4) (1)--设二面角Ｅ﹣BＣ﹣Ａ的大小为θ，则cosθ＝＝＝﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣.…………………………１２分22. 解:（Ⅰ)焦点F（０,1)，显然直线AB的斜率存在，设AB:ｙ=kx+1,联立ｘ2＝4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A(x1，y1）,B（x2,y2),G（ｘ,y）,则x１+x２=４ｋ，x1x2＝﹣4，所以，所以，消去k,得重心Ｇ的轨迹方程为;…………………………4分--(Ⅰ)由已知及(Ⅰ）知，,因为，所以DG∥ＭＥ,(注:也可根据斜率相等得到），…………5分，……6分D点到直线AB的距离,……………………7分所以四边形DEMG的面积,………………１０分当且仅当，即时取等号,………………11分此时四边形DEＭG的面积最小，所求的直线ＡB的方程为.………………1２分--。

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第Ⅰ卷 选择题(共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24x y =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16D ．1(0,)163．圆8)3()3(22=-+-y x 与直线3460x y ++=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 4．设l 是直线,,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α,l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，（f (x 2）-f (x 1）)(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是A ．∃x 1,x 2∈R ，（f (x 2）-f （x 1)）(x 2-x 1）≤0B ．∀x 1,x 2∈R ，（f （x 2）-f (x 1)）(x 2-x 1）≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f （x 2)-f （x 1）)（x 2-x 1)〈0D ．∀x 1，x 2∈R,（f (x 2）-f (x 1））(x 2-x 1）〈06．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为A ．2πB ．3C ．2D ．4π7．已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为A ．3B ．．253或3 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中, 直线1C B 与1D C 所成角为A ．030B ．045C ．0609．一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为A ．36B ．8C ．38D ．1210．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A 。

高三数学(文)第 1 页 共 11 页深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数 学 (理科) 2013.01.16本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点．2013-1-262、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的，答案无效．3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损.考试结束后，将答题卡交回．5、考试不可以使用计算器．第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、已知全集 U={x ∈N*|x<6}，A={1，3}，B={3，5}，则∁U (A ∪B)等于A. {1，4}B. {1，5}C.{2，4} D.{2，5}2、复数41(1)i--的值是A. 4B.－4iC.4iD.－43是边长为1那么这个几何体的全面积为 A.4π B. 2π C.3πD.32π4、如右图所示为函数f(x)=2sin(ωx+Φ) (ω>0，π<<π2φ)的部分图像，其中A ，B两点之间的距离为5，那么f(－1)= A.2 B.C. D.－25、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 31，则处应填写的数字为A.5B.4C.6D.7 6、点P(2，－1)为圆(x －1)2+y 2=25的弦AB A. x+y －1=0 B. 2x+y －3=0 C.2x －y －5=0 D. x －y －3=0主视图 左视图高三数学(文)第 2 页 共 11 页7、将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和m ，则函数32y =m x nx +13-在[1，+∞)上为增函数的概率是 A.12B.23C.34D.568、定义运算a b =⊕a b =⊗2x f(x)=(x 2)2⊕⊗-为A.奇函数B.偶函数C.常函数D.非奇非偶函数第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． 9、251(x )x-展开式中x 4的系数是 (用数字作答).10、已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比 数列的公比是 . 11、已知双曲线2222x y 1ab-= (a>0，b>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，则双曲线的离心率e 的值为_____.则f[g(1)]的值为；满足的f[g(x)]>g[f(x)]的值是____.13、若实数x ，y 满足约束条件x 2y 32x y 3+≥⎧⎨+≤⎩，且x ≥0，则x －y 的最大值是_______.14、(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是x 1y t 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)上，则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为_______.15、(几何证明选讲选做题)如右图，O 是半圆的圆心，直径AB =PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，AC=4，则PB=____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.16、(本小题满分12分)第15题图已知函数2xf(x)=sinx+acos2，a为常数，a∈R，且x=2π是方程f(x)=0的解.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π]，求函数f(x)的值域.17、(本小题满分12分)(1)求该运动员两次都命中7环的概率；(2)求ξ的分布列；(3)求的数学期望Eξ.18、(本小题满分14分)如图，已知四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ABC=450，DC=1，A B=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.(1) 求证：AB//平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值.19、(本小题满分14分)设函数1f(x)=x lnx⋅(x>0且x≠1).ACP高三数学(文)第 3 页共11 页高三数学(文)第 4 页 共 11 页(1)若f′(x 0)=0，求x 0的值； (2)求函数f(x)的单调区间；(3)已知1αx 2x >对任意x ∈(0，1)成立，求实数x 的取值范围.20、(本小题满分14分) 已知椭圆C ：2222xy1a b+= (a>b>0)3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l2，求△AOB 面积的最大值.21、(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n －n 2+3n ，(n ∈N*). (1)求a 2，a 3的值；(2)试求λ，μ的值，使得数列{a n +λn 2+μn}为等比数列； (3)设数列{b n }满足：n n 1n 1b =a n 2-+-，S n 为数列{b n }的前n 项和， 证明：n≥2时，n 6n 5<S <(n +1)(2n +1)3.高三数学(理)参考答案及评分标准2013.01.16一、选择题：(10×5′=50′)高三数学(文)第 5 页 共 11 页则A ∪B={1，3，5}，所以∁U (A ∪B)= {2，4}，故选择B. 2、解：复数4421(1)(1i)(2i)4i --=-+=-=，故选择A.3、解：一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体是底面直径为1， 高为1的圆柱，其全面积为132(1222⨯)π+π⨯=π，故选择D.4、解：如右图所示为函数f(x)=2sin(ωx+Φ) (ω>0，π<<π2φ)的部分图像，其中|AB|=5，|AC|=4，则|BC|=3，所以A(－1，2)，f(x)的最小正周期为6， 则2ππ63ω==，所以πf(x)=2sin(x )3+φ， 把点A(－1，2)代入上式，得πsin()13-+φ=，ππ32-+φ=(π<<π2φ)，5π6φ=，所以π5πf(x)=sin(x )36+， 那么π5ππf(1)=2sin()2sin2362--+==，故选择C.5、解：阅读右侧程序框图，S=1，i=1→S=3，i=2→S=7，i=3→S=15，i=4→S=31，i=5.为使输出的数据为31，则①处应填写的数字为5，故选择C.6、解：由题意知，点P (2，－1)，圆心C(1，0)，则k PC =－1，所以k AB =1， 故直线AB 的方程为y ―(―1)=1×(x －2)，即x －y －3=0，故选择C.7、解：函数32y =m x nx +13-，则y ′=2mx 2－n ，而函数32y =m x nx +13-在[1，+∞)上为增函数，等价于在[1，+∞)上y ′=2mx 2－n≥0恒成立，等价于2m≥n(1≤m ，n≤6，m ，n ∈N*). 将一枚骰子抛掷两次，所有事件的基本情况(m ，n)：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)， (4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36种.其中2m≥n 有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)， (3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)， (6，5)，(6，6)，共有30种，第4题图高三数学(文)第 6设事件“函数32y =m x n x +13-在[1，+∞)上为增函数”为M ，则满足条件的概率是305P (M )366==，故选择D.8、解：由题意知，则f(x)=f(x)的定义域为24x 02⎧-≥⎪≠，2x 2x 04-≤≤⎧⎨≠⎩，， 所以{x|－2≤x ≤2且x ≠0}，即定义域关于原点成中心对称. 而f(x)==|x 2|22x 2x==-----，所以f(x)f(x)(x)x-==-=----，所以f(x)为奇函数，故选择A.二、填空题：(4×5′=20′) 9、解：251(x )x-展开式中的通项公式：5rr 2r 5r 5r r 3r 5r +1551T (1)C (x )()(1)C x x----=-⋅⋅=-⋅，令3r －5=4，则r=3，所以251(x )x-展开式中x 4的系数是(－1)2C 53=10.10、解：已知等差数列{a n }的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则a 52=a 1·a 16，即(a 1+4d)2=a 1·(a 1+16d)，整理得a 1=2d ， 而这个等比数列的公比是5111a a 4d 2d 4d q 3a a 2d++====.11、解：由题意知，双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0，即b 1a2=，则双曲线的离心率为：e 2===.当x=1时，f[g(1)]=3，g[f(1)]=3，f[g(x)]>g[f(x)]不成立； 当x=2时，f[g(2)]=3，g[f(2)]=1，f[g(x)]>g[f(x)]成立； 当x=3时，f[g(3)]=1，g[f(3)]=1，f[g(x)]>g[f(x)]不成立. 故f[g(1)]的值为1；满足的f[g(x)]>g[f(x)]的值是13、解：实数x ，y 满足约束条件x 2y 32x y 3+≥⎧⎨+≤⎩，且x ≥0，其平面区域如图所示， 设目标函数z=x －y ，当目标函数线经过点A(1，1)时，高三数学(文)第 7 页 共 11 页则x －y 的最大值是1－1=0.14、解：把曲线C 的极坐标方程ρ=6sinθ，化为普通方程为：x 2+ y 2=6y ，即x 2+ (y －3)2=9，其圆心为(0，3)，半径r=3. 直线l 的参数方程是x 1y t 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为：x －2y+1=0， 圆心(0，3)到直线l 的距离为d -⨯+==，则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为4=. 15、解：连结BC ，在Rt △ABC 中，AB = AC=4，由勾股定理得，BC =由射影定理BC 2=AC·CP ，得CP=2，再由切割线定理PB 2=PC·PA=2×6=12，即PB =. 三、解答题：(80′) 16、解：(1) 2f()sin+acos0224πππ==，则11+a 02=，解得a=－2. ……3分所以2x f(x)=sinx 2cossinx cosx 12-=--，则f(x)=(x )14π--， ……5分所以函数f(x)的最小正周期为2π. ……6分 (2)由x ∈[0，π]，得x []444ππ3π-∈-，，则sin (x )[1]42π-∈-， ……10分(x )[14π-∈-(x )1[21]4π--∈-，则函数f(x)的值域为[21]-. ……12分 (2)ξ可能取值为7，8，9，10， ……4分 P(ξ=7)= 0.04；P(ξ=8)= 2×0.2×0.3+0.32= 0.21； ……5分 P(ξ=9)= 2×0.2×0.3+ 2×0.3×0.3+0.32= 0.39； ……7分 P(ξ=10)= 2×0.2×0.2+ 2×0.3×0.2+ 2×0.3×0.2+0.22= 0.36； ……9分 10分(3)ξ的数学期望E ξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07. ……12分18、解：(1)证明：∵AB//CD ，CD ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB//平面PDC.第15题图APE高三数学(文)第 8 页 共 11 页……3分(2)证明：在是直角梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则四边形ADCE 为矩形，∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1， 在Rt △BEC 中，∠ABC=450，∴CE=BE=1，CB =，……4分∴AD=CE=1，则AC ==，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴BC ⊥AC. ……6分又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ， ……7分而PA ∩AC=A ，∴BC ⊥平面PAC ； ……8分 (3)方法1 PA ⊥平面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，又CD ⊥AD ，而PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD. 又PA=AD=1，AC =PC =，PD = ……10分∴点D 到PC的距离PC D S h'1PC2==V ……11分在三棱锥P-ACD 中，A D C 11S C D A D 22=⋅⋅=V，PAC 1S AC PA 22=⋅⋅=V ，V P-ACD =V D-PAC ，∴点D 到PAC的距离AD C P AC D PACPAC1S PA V 3h 11S S 33-⋅===V V V ……13分∴h sin h'2α==. ……14分方法2如图，分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知，A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，……9分∴AP (001)=uur ，，，PC (111)=-uu r ，，， 设m (a b c)=u r ，，为平面PAC 的一个法向量，则m AP 0m PC 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uu r，即c 0a b c 0=⎧⎨+-=⎩， 设a=1，则b=－1，∴m (110)=-u r，，， ……10分 同理设n (x y z)=r ，，为平面PCD 的一个法向量，求得∴n (101)=r，，，……11分高三数学(文)第 9 页 共 11 页∴m n 1cos =2|m ||n |⋅α==⋅u r r u r u u r -， ……13分∴sin 2α= ……14分19、解：(1)函数1f(x)=x lnx ⋅(x>0且x≠1)，则22ln x 1f'(x)=x ln x+-⋅， ……2分若f′(x 0)=0，可求得01x =e. ……4分故单调递增区间是1(0)e，，单调递减区间是1(1)e，和(1，+∞). (3)在1αx 2x >两边取对数，得1ln 2alnx x>， ……10分由于0<x<1，所以a 1ln 2xlnx>(*)，……11分由(*)的结果可知，当x ∈(0，1)时，1f(x)f()=e e ≤-， ……13分 为使(1)式对所有x ∈(0，1)成立，当且仅当ae ln 2>-，即a>－eln2. ……14分20、解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意22b 1())a 3a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， ……2分 解得a =b=1， ……3分 ∴c = ……4分∴所求椭圆C 的方程为：22xy 13+=.……5分(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，①当AB ⊥x 轴时，|AB |=； ……6分②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m ， ……7分 =2223m =(k +1)4， ……8分把y=kx+m 代入椭圆方程，整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2－3=0，高三数学(文)第 10 页 共 11 页∴1226km x +x =3k +1-，21223(m 1)x x =3k +1-⋅， ……9分22222221222236k m12(m 1)|AB |(1+k )(x x )(1+k )[](3k +1)3k +1-=--22222222224212(k 1)(3k +1m )3(k 1)(9k 1)12k3(3k +1)(3k +1)9k +6k 1+-++===++2212319k 6k=+++(k ≠0) 1234236≤+=⨯+， ……11分当且仅当2219k k=，即k 3=±时等号成立. ……12分当k=0时，|AB |=，综上可知，|AB|max =2， ……13分∴当|AB|最大时，△AOB面积的最大值为max 1S |AB |222=⨯=.21、解：(1)数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n －n 2+3n ，(n ∈N*)，所以a 2=2a 1－12+3×1=4，a 3=2a 2－22+3×2=10. ……2分(2)若数列{a n +λn 2+μn}为等比数列，则存在q ≠0，使a n+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=q(a n +λn 2+μn ) 对∀n ∈N*成立. ……3分由已知a n+1=2a n －n 2+3n ，代入上式得，2a n －n 2+3n +λ(n+1)2+μ(n+1)= q(a n +λn 2+μn )，整理得 (q －2)a n +(λq －λ+1) n 2+(μq －2λ－μ－3)n －λ－μ=0，① ……5分因为①式对∀n ∈N*成立，所以q 20q 10q 2300-=⎧⎪λ-λ+=⎪⎨μ-λ-μ-=⎪⎪-λ-μ=⎩，解得q=2，λ=－1，μ=1，此时，a n +λn 2+μn = a n －n 2+ n ， ……7分当λ=－1，μ=1时，数列{a n +λn 2+μn}是公比为2的等比数列. ……8分(3)证明：由(2)得，a n －n 2+ n=(a 1－12+ 1)2n-1=2n-1，即a n =n 2－n+2n-1， 所以n n 12n 11b =a n 2n-=+-， ……9分因为n 2221111b 111nn n n 422=<=---+， ……10分当n ≥2时，S n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n1111112151()()...()1355711133n n n 2222222<+-+-++-=+-<-++， ……11分现证n 6n S >(n 2)(n +1)(2n +1)≥.证法1：当n=2时，21215S =b b 144+=+=，高三数学(文)第 11 页 共 11 页而6n 62124(n +1)(2n +1)(2+1)(22+1)355⨯===⨯⨯，5445>，当n=2时成立，……12分当n≥3时，由n 21111b =nn (n 1)nn 1>=-++，S n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n 11111111n (1)()()...()122334n n 1n 1n 1>-+-+-++-=-=+++，且2n+1>6得，612n 1>+，∴n n6n S >n 1(n +1)(2n +1)>+. ……14分证法2：当n≥2时，2222n 222211111n (n 1)(2n 1)S (123...n )(...)6123n++=++++++++>(1+1+1+…+1)2=n 2，∴n 6n S >(n +1)(2n +1). ……14分证法3：(数学归纳法)①当n=2时，21215S =b b 144+=+=，而6n62124(n +1)(2n +1)(2+1)(22+1)355⨯===⨯⨯，5445>，故当n=2时不等式成立， ……12分②假设n=k(n ≤k)时不等式成立，即k 6kS >(k +1)(2k +1)成立，则当n=k+1时，2k 1k k 1226k 16k 8k 1S =S b >(k +1)(2k +1)(k +1)(k +1)(2k +1)++++++=，因为226k 8k 16(k +1)(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++-222(6k 8k 1)(k +2)(2k +3)6(k +1)(2k +1)(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++-=32216k 40k 25k 0(k +1)(2k +1)(k +2)(2k +3)++=>，所以k +16(k +1)S >(k +2)(2k +3)成立， 根据①②可知，n 6nS >(n +1)(2n +1)对于n≥2，n ∈N*都成立. ……14分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2 - 1B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + x2. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(-x)的图像是（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位3. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. x^2 < 4C. x > 2 或 x < -2D. x^2 > 44. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10为（）A. 95B. 100C. 105D. 1105. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 16. 下列方程中，无实数解的是（）A. x^2 - 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 + 4x + 4 = 07. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数f(x)的图像的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -28. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则第10项an为（）A. 19B. 20C. 21D. 229. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则函数f(x)的定义域为（）A. x > -1B. x ≥ -1C. x < -1D. x ≤ -110. 已知直线l的方程为3x - 4y + 12 = 0，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (4, 0)B. (-4, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(2)的值为______。