大学应用数学第十五章

第十五章 三角形垂心的性质及应用【基础知识】三角形三边上的高线的交点称为三角形的垂心，三角形的垂心有下列有趣的性质：性质1直角三角形的垂心在直角顶点，锐角三角形的垂心在形内，钝角三角形的垂心在形外．性质2设H 为锐角ABC △的垂心，则180BHC B C A ∠∠+∠=︒∠=-，180CHA C A B ∠∠+∠=︒-∠=，180AHB A B C ∠=∠+∠=︒-∠．性质3设H 为ABC △的垂心，则H ，A ，B ，C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且一垂心组的4个三角形外接圆的圆心组成另一垂心组，与原垂心组全等）． 注垂心组的4个三角形的外接圆是等圆（参见性质7（2）），反之若3个等圆1w ，2w ，3w 共点子H ，又1w 与2w 相交于点B ，2w 与3w 相交于点C ，3w 与1w 相交于点A ，则H 为ABC △的垂心，即H 、A 、B 、C 组成一垂心组．事实上，设直线BH 、CH 分别交直线AC 、AB 于点E 、F ．由等圆中等弧所对的圆周角相等，有ABH ACH ∠=∠，即知B 、C 、E 、F 四点共圆． 又由BAH BCH BEF ∠=∠=∠（当H 在ABC △内时）或BHA BCA BFE ∠∠∠==（当H 在ABC △外时），即知A 、F 、H 、E 四点共圆．于是，BFC BEC AFH ∠=∠=∠=邻补角相等90=︒，即知CF AB ⊥． 同理，BE AC ⊥．故H 为ABC △的垂心，即H 、A 、B 、C 为一垂心组． 性质4设ABC △的三条高线为AD ，BE ，CF ，其中D ，E ，F 分别为垂足（以下均同），垂心为H ，如图15-1．对于点A ，B ，C ，H ，D ，E ，F 有六组四点共圆，且A 、B 、C 、H 、D 、E 、F 可为这些圆的根心，有15条公共弦；有18对相似直角三角形，且AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅． 性质5在ABC △中，H 为垂心，BC a =，CA b =，AB c =，R 为ABC △外接圆半径，则222222AH a BH b CH c +=+=+．证明如图15-1，作ABC △的外接圆O e ，连AO 并延长交外接圆于M ，连BM ，CM ，则2AM R =． 易知BH MC ∥，CH BM ∥，因此，四边形BMCH 为平行四边形．于是，BH MC =，CH BM =．在Rt AMC △中，222MC b AM +=；在Rt ABM △中，222BM c AM +=，所以()222222BH b CH c R +=+=． 同理，过C 作直径，可证得()2222AH a R +=，因此 ()22222222AH a BH b CH c R +=++==．注此性质的证明，或由勾股定理有()()222222222222AH BC AE HE BE CE AE EB HE CE AB CH +=++++++=+=等，即可．图15-1A B性质6设ABC △的外接圆半径为R ，则2cos AH R A =⋅，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．证明当ABC △为锐角三角形时，如图152-，显然有AHE ACB ∠=∠，从而sin sin AEACB AHE AH ∠=∠=． 在Rt ABE △中，cos AE AB BAC =⋅∠，故cos 2sin cos 2cos 2cos sin sin AB BAC R ACB BACAH R BAC R A ACB ACB⋅∠⋅∠⋅∠===⋅∠=⋅∠∠．同理，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．当ABC △为钝角三角形时，不妨设A ∠为钝角．此时，只需调换图15-2中字母A 与H ，E 与F 的位置，图形不变，即得2cos AH R A ⋅=，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．当ABE △为直角三角形时，不妨设A ∠为直角，此时，垂心H 与A ，E ，F 重舍．显然2cos AH R A =⋅，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅．性质7H 为锐角ABC △所在平面内一点，H 为ABC △的垂心的充要条件是下列条件之一成立：（1）H 关于三边的对称点均在ABC △的外接圆上；（2）ABC △，ABH △，BCH △，ACH △的外接圆是等圆； （3）H 关于三边中点的对称点均在ABC △的外接圆上； （4）HAB HCB ∠∠=，HBC HAC ∠∠=；（5）BAO HAC ∠=∠，ABO HBC ∠=∠，ACO HCB ∠=∠，其中O 为ABC △的外心． 证明（1）必要性：如图15-3，延长AD 交ABC △的外接圆于D '，连CD '，则知HCD HAB BCD '∠=∠=∠，即知H ，D '关于边BC 对称．同理可证其余情形． 充分性：设H 关于边BC 的对称点D '在ABC △外接圆上，则BHC BD C '∠∠=，EG 180BD C A '∠+∠=︒，图15-2FEDABCH图15-3E'F'D 'FE D ABCH从而180BHC A ∠=︒-∠．同理，180AHC B ∠=︒-∠，180AHB C ∠=︒-∠．此时，设H '为ABC △的垂心，则由性质1知180BH C A '∠=︒-∠，180AH C B '∠=︒-∠，180AH B C '∠=︒-∠，而分别以BC ，CA ，AB 为弦，张角为180A ︒-∠， 180B ∠︒-∠，180C ︒-∠的三弧的交点是唯一的，即H '与H 重合，故H 为ABC △的垂心． 注在ABX △中，令BC a =，CA b =，AB c =，()12l a b c =++，R 、r 、S △分别为其外接圆， 内切圆半径，面积，()22222D E F l R r S S R '''-+=△△．（2）由（1）知BHC △与BDC △的外接圆关于BC 对称，即为等圆，即证．（3）如图15-4，设L ，M ，N 分别为边BC ，CA ，AB 的中点，H 关于这三点的对称点分别为1A ，1B ，1C ，如图连线，则得一系列不同的平行四边形．充分性：由11AB C HCB △≌△，知11AC B HBC ∠=∠．又由A ，1B ，C ，1C 四点共圆及1B C AH ∥，得么111AC B B CA HAC ∠=∠=∠，故HAC HBC ∠∠=． 同理，HAB HCB ∠=∠，HBA HCA ∠=∠．注意到1HCB CBA ∠=∠，及180HAC HBC HAB HCB HBA HCA ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒， 可得190HBA HBC CBA ∠+∠+∠=︒，即1A B AB ⊥，从而CH AB ⊥． 同理，AH BC ⊥，BH CA ⊥．故H 为ABC △的垂心．必要性：设垂心H 关于边BC 的对称点为D '，则1A D BC '∥，即四边形1BA D C '为梯形． 由1BCD HCB CBA '∠=∠=∠，知1BA D C '为等腰梯形，从而C ，B ，1A ，D '四点共圆， 由（1）知D '在ABC △的外接圆上，即1A 在ABC △的外接圆上． 同理，1B ，1C 也在ABC △的外接圆上．注1AA ，1BB ，1CC 均力直径，事实上，由BH AC ⊥有1AC AC ⊥，知190ACA ∠=︒，即证1AA 为直径． （4）必要性显然，仅证充分性．图15-4D 'MH NL C 1B 1A 1A BC如图15-5，设AH ，BH ，CH 的延长线分别交对边于D ，E ，F ．在ABD △和CBF △中， HAB HCB ∠∠=，ABD CBF ∠∠=，从而ADB CFB ∠=∠．同理，ADC BEC ∠=∠．由180ADC ADB ∠+∠=︒，则180BEC CFB ∠+∠=︒，从而180AEH AFH ∠+∠=︒，即知A ，E ，H ，F 四点共圆．连EF ，则HEF HAF ∠=∠．由HAF HCB ∠=∠，有BEF FCB ∠=∠，知B ，C ，E ，F 四点共圆，有BEC CFB ∠=∠．而180BEH CFB ∠+∠=︒，因此90BEC CFB ∠=∠︒=．可见BE ，CF 均是ABC △的两条高，故H 是ABC △的垂心．（5）必要性显然，仅证充分性．如图15-6，由()()11180********BAO AOB C C HAC ∠︒∠︒∠=︒∠∠=-=一-=，知HAC ∠与么C ∠互余，即知AH BC ⊥．同理，BH AC ⊥．故H 为ABC △的垂心．性质8在非直角三角形中，过H 的直线分别交AB ，AC 所在直线于P ，Q ，则 tan tan tan tan tan AB ACB C A B C AP AQ=∠+⋅∠=∠+∠+∠． 事实上，如图15-7，连AH 交BC 于D ，图15-5FEDABCH图15-6OABCH由APQ DPQ APD AQDAPD AQD APQ APQABCS S S S S S AD AH HD AP AQ AH AH S S S AB AC++++====⋅⋅⋅△△△△△△△△△ ABD ACDABC AP AQ S S AC BD AB CD AB AC AP AQ AQ BC AP BC S AB AC+==⋅+⋅⋅⋅△△△①连BH 并延长交AC 于E ，由Rt Rt AHE BCE △∽△，有1tan AH AE BC BE A ==∠，从而tan AD AD AAH BC⋅∠=． 又由tan AD B BD =∠tan AD C CD =∠，有tan BD AD BC BC B =⋅∠，tan CD AD BC BC C=⋅∠． 将其代入①式，有11tan tan tan AC AB A AQ B AP C∠=⋅+⋅∠∠． 注意到在非直角三角形中，有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ∠⋅∠⋅∠=∠+∠+∠，即证得结论成立． 性质9（卡诺定理）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍． 事实上，如图15-8，过C 作ABC △外接圆O e 的直径CD ，连AD ，DB ，则知2O BD M =．又可证AHBD 为平行四边形，AH DB =．即证．性质10锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍．事实上，过三角形三顶点作其所在高线的垂线构成新三角形，垂心为新三角形的外心，再注意到锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．或注意到性质9亦可证．性质11锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心；锐角三角形的三个顶点是垂心的垂足三角形的三个旁心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短．事实上，对于结论的前部分，利用四点共圆即证得，但我们可证如下更一般性的结论：若P 是ABC △的高AD 上任一点，直线BP 交AC 于E ，直线CP 交AB 于F ，则FDP PDE ∠=∠．如图15-9，过A 作BC 的平行线MN ，与BE 的延长线交于M ，与CF 的延长线交于N ，则有图15-7DACE HPQ图15-8BBAE PAEBCE PCES S AM AE DC EC S S ===△△△△． 从而PAE APB PCE BPCS SAM DC DC S S =⋅=⋅△△△△． 同理，APC BPC S AN BD S =⋅△△，APB APCSBD DC S =⋅△△． 由此三式，有1APB APB APC APC APC APBS DC S S AM DC AN BD S DC S S ⋅⋅=⋅==⋅⋅△△△△△△． 即AM AN =，故FDP PDE ∠=∠．若P 为垂心，即证得结论．性质11的后部分结论的证明，可先作D 关于AB 的对称点D '，作D 关于AC 的对称点D ''，连D F '，D E ''，再利用前面结论知D '，F ，E ，D ''四点共直线，即证得结论． 性质12三角形垂心H 的垂足三角形的共顶点两邻边关于共顶点的高线、边均是对称的直线，它的三边分别平行于原三角形外接圆在各顶点切的切线．性质13H 为锐角ABC △的垂心的充要条件是HA HB AB HB HC BC HC HA CA AB BC CA ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅（见托勒密定理及应用例8）．性质14设H 为非直角ABC △的垂心，且D ，E ，F 分别为H 在BC ，CA ，AB 边所在直线上的射影，1H ，2H ，3H 分别为AEF △，BDF △，CDE △的垂心，则123DEF H H H △≌△．证明仅对锐角ABC △给出证明．如图15-10，连DH ，2DH ，3DH ，EH ，1EH ，3EH ，1FH ，2FH ．依题设则有HD BC ⊥且2FH BC ⊥，从而2HD FH ∥，HF AB ⊥且2DH AB ⊥，从而2HF DH ∥．故2HDH F 为平行四边形，有HD FH ∥．同理，3HDH E 为平行四边形，有3HD EH ∥．图15-9FEDA B CM N P 图15-10H 3H 2H 1FEDACH于是23FH EH ∥，即23EFH H 为平行四边形，故 23EF H H =．同理，有31FD H H =，12DE H H =．故123DEF H H H △≌△．推论1题设条件同上，则123H EF DH H △≌△，213H DF EH H △≌△，312H DE FH H △≌△． 推论2题设条件同上，则1231232H H H H FH DH E S S =△六边形．推论3题设条件同上，则1HH 与EF ，2HH 与FD ，3HH 与DE 相互平分． 性质15设O 、H 分别为ABC △的外心、垂心，则（1）O ，H 是ABC △的一对等角共轭点（与同一顶点连线夹边的角相等）；（2）令O 到BC ，CA ，AB 的距离分别为A d ，B d ，C d 时，cos A d R A =，cos B d R B =，cos c d R C =； （3）()2218cos cos cos OH R A B C =-；（4）AOH S △，BOH S △，COH S △中最大的一个等于另两个之和，其中R 为ABC △的外接圆半径．（参见例12）此性质的证明留给读者． 【典型例题与基本方法】例1如图15-11，设AD ，BE ，CF 为ABC △的三条高，D ，E ，F 分别为垂足．自A ，B ，C 分别作AK EF ⊥于K ，作BL FD ⊥于L ，作CN DE ⊥于N ．证明：直线AK ，BL ，CN 相交于一点．证明设ABC △的垂心为H ，由AK EF ⊥，CF AB ⊥，知FAK EFH ∠=∠．注意到A ，F ，H ，E 四点共圆，知FAK EAH ∠=∠．设O 为ABC △的外心，注意到性质6（5），有FAO EAH ∠=∠，知AO 与AK 重合．同理，BL 与BO 重合，CN 与CO 重合，故AK ，BL ，CN 三线共点于ABC △的外心O ．注此题的背景是AO EF ⊥，BO DF ⊥，CO DE ⊥，其中O 为外心．这可作圆的切线AT ，BK ，CL 即证．例2如图15-12，设H 为ABC △的垂心，P 是三角形所在平面内任一点．由H 向PA ，PB ，PC 引垂线HL ，HM ，HN 与BC ，CA ，AB 的延长线相交于X ，Y ，Z ．证明：X ，Y ，Z 三点共直线．图15-11OF E A BCH NK L证明设三条高线的垂足为D ，E ，F ，则HA HD HB HE HC HF ⋅=⋅=⋅．又A ，D ，L ，X 共圆，则HL HX HA HD ⋅=⋅．同理，HM HY HB HE ⋅=⋅，HN HZ HC HF ⋅=⋅． 于是，HM HY HN HZ HL HX ⋅=⋅=⋅．连PH 并延长，在其上取点Q ，使HP HQ HA HD ⋅=⋅，则X ，Q ，L ，P 四点共圆，从而90PQX PLX ∠∠=︒=，即XQ PQ ⊥．同理，YQ PQ ⊥，ZQ PQ ⊥，即XY PQ ⊥，XZ PQ ⊥．故X ，Z ，Y 三点共线．例3如图15-13，设H 为ABC △的垂心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点．一个以H 为圆心的圆交直线DE 于P ，Q ，交直线EF 于R ，S ，交直线FD 于T ，U ．证明：CP CQ AR AS BT BU =====．（1989年加拿大训练题）证明设AL ，BM ，CN 为ABC △的三条高，AL 交中位线EF 于K ，则K 为AL 的中点，且AK 垂直平分SR ，故AS AR =．同理，BT BU =，CP CQ =． 下面证明AR BT CP ==．设H e 的半径为r ，则()22222222AR AK KR AK r HK r AH AK HK r AH HL =+=+-+-=+⋅=． 同理，22BT r BH HM =+⋅，22CP r CH HN =+⋅． 而AH HL BH HM CH HN ⋅=⋅=⋅，故AR BT CP ==．例4如图15-14，设1234A A A A 为O e 的内接四边形，1H ，2H ，3H ，4H 依次为234A A A △，341A A A △，412A A A △，123A A A △的垂心．求证：1H ，2H ，3H ，4H 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置．（1992年全国高中联赛题）图15-12QXYZPHMN LF E DA BC图15-13RT K US QP H M N L F E DA B C证法1连21A H ，12A H ，12H H ，设O e 的半径为R ，在234A A A △中，注意到性质6（2），有212312sin A H R A A H =∠，故213242cos A A R A A A =⋅∠．在134A A A △中，同理求得123142cos A H R A A A =⋅∠． 由324314A A A A A A ∠=∠，故2112A H A H =．又2134A H A A ⊥，1234A H A A ⊥，于是2112A H A H ∥，故1221H H A A ∥． 设11H A 与22H A 的交点为M ，则12H H 与12A A 关于点M 成中心对称．同理，23H H 与23A A ，34H H 与34A A ，41H H 与41A A 都关于M 点成中心对称．故四边形1234H H H H 与四边形1234A A A A 关于M 点成中心对称，两者是全等形，从而1H ，2H ，3H ，4H 在同一个圆上．设此圆圆心为Q ，则Q 与O 也关于M 点成中心对称．由O ，M 两点则可确定Q 点的位置．证法2由性质5，得142132||A H R cos A A A =⋅∠，412432||A H R cos A A A =⋅∠，而213243A A A A A A ∠=∠，从而1441A H A H =．又1441A H A H ∥，知四边形1414A H H A 为平行四边形，故1441A A H H ∥． 同理，1221A A H H ∥，3443A A H H ∥，2332A A H H ∥． 于是，四边形1234A A A A ≌四边形1234H H H H ．由于四边形1234A A A A 有外接圆O e ，所以1H ，2H ，3H ，4H 四点共圆．显然四边形1234A A A A 与四边形1234H H H H 位似，位似中心为11A H 与44A H 之交点O '．故过四边形1234H H H H 的圆O ''e 的圆心O ''与O必关于O '对称，从而O ''在OO '的延长线上且OO O O ''''=． 【解题思维策略分析】1．利用图形中三角形垂心的特性例5如图15-15，设ABC △是锐角三角形，且BC AC >，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作OF 的垂线交边CA 于P ．证明：FHP BAC ∠=∠． （IMO -37预选题）图15-14证明延长CF 交O e 于D ，连BD ，BH ，由性质6（1）知F 为HD 的中点．设FP 所在直线交O e 于M ，N ，交BD 于T 点，由OF MN ⊥，知F 为MN 的中点．由蝴蝶定理知F 为PT 的中点．又因F 为HD 的中点，故HP TD ∥，于是FHP BDC BAC ∠=∠=∠． 例6如图15-16，设H 为ABC △的垂心，P 为该三角形外接圆上一点，E 是高BH 的垂足，并设PAQB 与PARC 都是平行四边形，AQ 交HR 于X ．证明：EX AP ∥．（IMO -37预选题）证明连PR 交AC 于M ，则M 为AC 中点，也为PR 中点．作ABC △外接圆的直径BD ，连DA ，DC ，HA ，HC ．由DA AB ⊥，HC AB ⊥，有DA HC ∥．同理，DC HA ∥，故四边形AHCD 为平行四边形，M 为DH 中点，于是四边形HRDP 为平行四边形，故HR DP ∥．又QX BP ∥，BP DP ⊥，则HR QX ⊥，即90AXH ∠=︒．而90AEH ∠=︒，从而A ，H ，E ，X 四点共圆，即么180AXE AHE ∠+∠=︒．而AHE ACB APB PAX ∠=∠=∠=∠，故180AXE PAX ∠+∠=︒，于是EX AP ∥．例7如图15-17，设ABC 是一个三角形，一个过B ，C 两点的圆分别与边AB ，AC 相交于C '，B '．证明：BB '，CC '，HH '三线共点，其中H 与H '分别为ABC △与AB C ''△的垂心．（IMO -36预选题）图15-15N 图15-16证明由AB C ABC ''∠=∠，知AB C ABC ''△∽△．同样，H B C HBC '''△∽△．设BB '与CC '相交于P ，由BB C CC B ''∠∠=，知PBH PCH ∠=∠（等角的余角相等）．①由PB C PCB ''∠=∠，知PB C PCB ''△∽△．作平行四边形PBDC ，则DBC PCB △≌．因而，DBC PB C ''△∽△，由此可知四边形BHCD ∽四边形B H C P '''．于是，BHD B H P ''△∽△．因而，HDB H PB ''∠=∠．② 作平行四边形HPCE ，则PCH CHE ∠=∠． ③ 注意到平行四边形BHED ，则DHE HDB ∠=∠． ④ 从而BPH DCE △≌△，有CDE PBH ∠=∠． ⑤ 及BPH DCE ∠=∠． ⑥利用⑤，①与③，可知CDE CHE ∠=∠，从而知H ，C ，E ，D 四点共圆， 即有DCE DHE ∠∠=． ⑦再由⑥，⑦，④与②，知BPH H PB ''∠=∠．因此，HH '也通过P 点，故BB '，CC '，HH '三线共点． 注上述证明中，也可将PHB △平移至CED △处，再证B H P CHD ''△∽△． 2．发掘图形中三角形的垂心特性例8如图15-18，在锐角ABC △中，以三边为直径分别在三角形外作三个半圆．O 为ABC △内一点，AO ，BO ，CO 的延长线分别交所对半圆于1A ，1B ，1C ．若ACO ABO ∠=∠，BCO BAO ∠=∠，CAO CBO ∠=∠，求证：11AB AC =，11BA BC =，11CA CB =．证明令1ACO ∠=∠，2ABO ∠=∠，3CAO ∠=∠，4CBO ∠=∠，5BCO ∠∠=，6BAO ∠=∠．由于12∠∠=，34∠=∠，56∠=∠，则13524690∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，即1AA BC ⊥．故O 为ABC △的垂心．设1BB 交AC 于E ，1C C 交AB 于F ，从而B ，F ，E ，C 四点共圆，有AF AB AE AC ⋅=⋅．图15-17C 'B'H 'EDABCHPC 11图15-18在1Rt AC B △中，21AC AF AB =⋅；在1Rt AB C △中，21AB AE AC =⋅，从而11AC AB =． 同理，11BA BC =，11CA CB =．例9如图15-19，O e 的内接四边形ABCD 的两组对边的延长线分别交于P ，Q ，两对角线相交于M ．试证：圆心O 恰为PQM △的垂心．证明过B ，D ，Q 三点作圆与QM 的延长线交于E ，连DE ，则MED QBD MAD ∠=∠=∠，故D ，A ，E ，M 共圆．设O e 的半径为r ，则22QM QE QD QA QO r ⋅=⋅=-，22QM ME BM MD r MO ⋅=⋅=-．此两式相加，并由QM QE ME =-，得2222QO QE MO ME -=-，故QM OE ⊥．连BE ，OA ，由90QEO ∠=︒，有270270OEB BEQ BDQ ∠=︒-∠=︒-∠． 又90BAO ADB ∠=︒-∠，180ADB BDQ ∠+∠︒=，有 90270360180BAO OEB ADB BDQ ADB BDQ ∠+∠=︒-∠+︒∠=︒-∠+∠=︒-（）， 所以，A ，B ，E ，O 四点共圆．同理，C ，D ，O ，E 四点共圆（事实上，19090902DEO MED MAD COD DCO ∠=︒∠=︒∠=︒∠=∠---）．而三圆BEOA e ，CEOD e ，O e 两两相交，所得三公共弦（所在直线）OE ，AB ，CD 或共点或互相平行．但AB 与CD 相交于P ，故OE 过点P ，即O ，E ，P 三点共线．又已证QM OE ⊥，因此，OM OP ⊥．同理，PM OQ ⊥．故O 为MPQM 的垂心．注若证OM PQ ⊥，则可这样证明：设O e 的半径为R ，在射线QM 上取一点E ，使B ，E ，M ，C 四点共圆，此时180180180180BEQ BEM BCM BCA BDA BDQ ∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠︒-∠=，从而B ，E ，D ，Q 四点共圆，()()22QE QM BM DB R OM R OM R OM ⋅=⋅=+-=-，QM QE QC QB ⋅=⋅=切线长222OQ R =-．两式相减，22222MQ OQ OM R =+-，所以22222OQ MQ R OM -=-．同理，有22222OP MP R OM =--．故2222OQ MQ OP MP -=-，即OM PQ ⊥．例10设O e 上的三点A 、B 、C ，满足90ABC ∠>︒，过点C 作AC 的垂线与AB 的延长线交于点D ，过D 作AO 的垂线与AC 交于点E ，与O e 交于点F ，且F 在D 、E 之间．证明：BFE △的外接圆与CFD △的外接圆切于点F ．（2012年巴尔干奥林匹克题） 证明如图15-20，延长AO 与O e 交于点G ，联结CG 、BG ．由于AG 为直径，则90ACG ∠=︒． 又DC AC ⊥，知D 、C 、G 三点共线，从而，知E 为DAG △的垂心．图15-19A又90ABG ∠=︒，则B 、E 、G 三点共线．因CDF GAC GFC ∠=∠=∠，知GF 与CFD ∠的外接圆切于点F ． 又FBE FAG GFE ∠=∠=∠，则GF 与BFE △的外接圆切于点F ． 因此，BFE △的外接圆与CFD △的外接圆切于点F ．例11自O e 外一点P 引O e 的两条切线PA ，PB ，其切点为A ，B ．在劣弧»AB 上任取一点C ，经过点C 作O e 的切线，分别交PA ，PB 于点D ，E ．又AB 与OD ，OE 分别相交于G ，F ，DF 与EG 相交于H ．求证：O ，H ，C 三点共线．证明如图15-21，连OA ，OB ，OC ，有OA AP ⊥，OB BP ⊥，OC DE ⊥，90OAP OBP COD OCE ∠=∠=∠=∠=︒，又PA PB =，DA DC =，EB EC =，则PAB PBA ∠=∠，AOD COD ∠=∠，BOE COE ∠=∠．于是()11802PAB PBA P ∠=∠=︒-∠，()11190222DOE AOC BOC AOB P ∠=∠+∠=∠=︒-∠， 故PAB DOE PBA ∠=∠=∠，即DAF DOF EBG EOG ∠∠=∠=∠=，所以O ，A ，D ，F 及O ，B ，E ，G 均四点共圆，有90DFE OAP OBP EGD ∠=∠=∠∠=︒=，故DF OE ⊥，EG OD ⊥．又DF 与EG 相交于H ，因而点H 是DOE △的垂心，有OH DE ⊥．又DE 切O e 于C ，则OC DE ⊥．故OC ，OH 重合，所以O ，H ，C 三点共线． 例12设O 、H 分别为锐角ABC △的外心和垂心，则AOH S △、BOH S △、COH S △中，最大的一个等于其余两个之和．证明当直线OH 通过ABC △的某一顶点时，结论显然成立．当直线OH 与ABC △的某两边相交时，如图15-22，设直线OH 与AB 、AC 相交．图15-20图15-21P取ABC △的重心G ，由欧拉定理，知G 必在OH 上，且G 在O 、H 之间．连AG 并延长交BC 于M ，则M 为BC 的中点．连MO ，MH ，并设B 、M 、C 到直线OH 的距离分别为BB '、MM '、CC '，则MM '为梯形BB C C ''的中位线．即2BB CC MM '''+=，从而2BOH COH MOH S S S +△△△=．又2AG MG =，则2AOH MOH S S △△=． 故AOH BOH COH S S S =+△△△．这说明直线OH 与顶点A 有关的两边相交时，AOH S △最大．同理可证得其他情形的结论．例13设点P 是锐角ABC △所在平面上任意一点，u ，v ，w 分别为A ，B ，C 点到点P 的距离．求证：222tan tan tan 4u A v B w C S ⋅+⋅+⋅△≥，其中S △为ABC △的面积，并证明等号成立的充要条件是P 为ABC △的垂心．证明如图15-23，取BC 所在直线为x 轴，过A 的高线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A ，B ，C 的坐标分别为()0,a ，(),0b -，(),0c (),,0a b c >，于是tan a B b=，tan aC c =，()()2tan tan a b c A B C a bc +=-+=-．由于A ∠为锐角，知20a bc ->． 设点P 的坐标为x y （，），则 222tan tan tan u A v B w C ⋅+⋅+⋅图15-22B'C 'M 'O ABCHMG图15-23()()()()2222222a b c a a x y a x b y x c y a bc b c +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦- ()()()()2222222a b c a b a x y a ay x y bc a bc bc ++=+--⋅+++- ()()()()()2222224a b c ax ay bc bc a bc a b c S bc a bc +⎡⎤=+-+-+=⎣⎦-△≥．故222tan tan tan 4u A v B w C S ⋅+⋅+⋅△≥． 上式等号成直的充要条件是0x =且3c y a =，即点P 为ABC △的垂心0,bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．3．注意垂足三角形性质的应用三角形的垂心在三边的射影组成的垂足三角形由性质11，12给出了有关性质，它还有一系列性质． 设p ，R ，r ，S △分别为ABC △的半周长、外接圆半径、内切圆半径及面积，1p ，1R ，1r ，S '△表示垂足DEF △的半周长及其他相应元素，则有如下性质： （I ）1rp p R=； （Ⅱ）2cos cos cos S S A B C '=⋅⋅⋅△△； （Ⅲ）21r r R ≤；（Ⅳ）112R R =．证明（Ⅰ）如图15-24，显然B ，C ，E ，F 四点共圆且该圆的直径为BC a =，ABC AEF △∽△，从而sin cos AFEF a a ACF a A AC=⋅=⋅∠=⋅．同理，cos cos FD AC B b B =⋅=，cos cos ED AB C c C =⋅=⋅． 于是cos cos cos EF FD DE a A b B c C ++=⋅+⋅+⋅222222222222b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-=⋅+⋅+⋅4442222222222a b c a b b c c a abc---+++=2162S abc=△（注意4S R abc =△） 图15-24FEDABCH()21628a b c r S S S R R R++===△△△． 故1rp p R=． （Ⅱ）由21sin cos cos 2cos 1sin 2AEF ABCAE AF AS c A b A A S bc b c A ⋅⋅∠⋅⋅⋅===⋅⋅∠△△．同理，2cos BDF ABC S B S =△△，2cos CED ABCSC S =△△． 于是222cos cos cos AEF BDF CEDABCS S S A B C S ++=++△△△△，从而()()2221cos cos cos AEF BDF CED ABCS S S S S A B C S S -++'==-++△△△△△△△ 2cos cos cos A B C =⋅⋅．（Ⅲ）由（Ⅱ）2cos cos cos S S A B C '=⋅⋅⋅△△，即112cos cos cos p r pr A B C =⋅⋅⋅，又由（Ⅰ）有1rp p R=，从而12cos cos cos cos r R A A B C =⋅⋅⋅⋅．又()2222cos cos cos 4p R r A B C R-+⋅⋅=，且222443p Rr R r ++≤（Grretsen 不等式），从而222222221444434422p R Rr r R Rr r R Rr r r r R R R---++---==≤（Ⅳ）设EF a '=，ED b '=，FD c '=，于是有1/4/4S a b c R S abc R''''=△△，cos cos cos a b c abc A B C '''=⋅⋅（见（Ⅰ）中证明），从而1cos cos cos S RA B C S R '=⋅⋅△△．又由（Ⅱ）有2cos cos cos S A B C S '=⋅⋅△△．故12R R =，即112R R =．例14已知D ，E ，F 为锐角ABC △的内切圆切点，设r ，R 分别为DEF e 与ABC e 的半径，DEF △的垂足三角形为KMN △．求证：224KMN ABC S S r R =△△∶∶． 证明如图15-25，令BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++，则AE AF p a ==-，BD BF p b ==-，CD CE p c ==-，且()21sin 21sin 2AEF ABCAE AF A p a S S bc b c A ⋅⋅∠-==⋅⋅∠△△，()2BDF ABC p b S S ac -=△△，()2CDE ABC p c S S ab -=△△， 从而AEF BDF CDEABCS S S S ++△△△△()()()2224a b c a b a c b c a b c abc+-++-++-=()()()22222222264a a b c b b a c c c a b abcabc--+--+--+=()()()2cos 2cos 2cos 64a bc A b ac B c ab C abcabc-⋅+-⋅+-⋅+=()31cos cos cos 12sin sin sin 22222A B C A B C =-++=-⋅⋅． 故()2sin sin sin 222ABC AEF BDF CDE DEF ABC ABC S S S S S A B CS S -++==⋅⋅△△△△△△△． 由KMN △为DEF △的垂足三角形，有 2cos cos cos KMNDEFS EDF DFE FED S =∠⋅∠⋅∠△△． 注意到DEF △为ABC △的内切圆切点三角形，设I 为ABC △内心，知180EID C ∠=︒-∠．又EI ID =，有12EDI DEI C ∠=∠=∠．同理，12FDI DFI B ∠=∠=∠，12FEI EFI A ∠=∠=∠．从而()119022EDF EDI FDI B C A ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠． 同理，1902DFE C ∠=︒-∠，1902FED B ∠=︒-∠．于是2sin sin sin 222KMN DEF A B CS S =⋅⋅△△∶． 又2sinsin sin 2222A B C rR⋅⋅=，则2KMN DEF DEF ABC S S S S r R ==△△△△∶∶∶． 图15-25K MNFE DAB故224KMN ABC S S r R =△△∶∶．例15在锐角ABC △中，高AD 、BE 、CF 交于点H ，M 、N 分别在BF 、CE 上，且DM 、DN 分别平分BDF ∠、CDE ∠．求证：AM AN =． 证明如图15-26，令1BDM ∠=∠，…，6NDC ∠=∠．由题设知12∠=∠，56∠=．由性质11，知34∠=∠．从而26∠=∠．又由A 、F 、D 、C 四点共圆，知BFD DCA ∠=∠． 于是DFM DCN ∠∠∽，从而DMA DNC ∠=∠．所以A 、M 、D 、N 四点共圆，注意2345∠+∠=∠+∠，故AM AN =．例16设AD 、BE 、CF 为锐角ABC △的三条高，P 、Q 分别在线段DF 和EF 上．求证： PAQ DAC ∠=∠的充分必要条件是AP 平分QPF ∠．（其中证必要性为2006年德国家队选拔赛题） 证明如图15-27，由题设知AD 、BE 、CF 共点于ABC △的垂心H ，且CF 为DFE ∠的平分线．作Q 关于直线AB 的对称点Q '，则Q '在直线FD 上，QQ AB '⊥，AQ AQ '=．于是，Q Q FC '∥，从而由A 、F 、D 、C 四点共圆，知DAC DFC PQ Q '∠=∠=∠．必要性，当PAQ DAC ∠=∠时，则PAQ PQ Q '∠=∠，所以A 、Q '、P 、Q 四点共圆，再由AQ AQ '=，即知AP 平分QPQ '∠．即AP 平分QPF ∠．充分性，当AP 平分QPF ∠时，再作Q 关于直线AP 的对称点1Q ，则1Q 在直线PD 上，1PQ A AQP ∠=∠，且1PQ PQ PF FQ PF FQ PQ ''=<+=+=，所以1Q 在PQ '上．因此，11180180PQ A AQ Q PQ A AQP ''∠=∠=︒-∠=︒-∠，所以A 、Q '、P 、Q 四点共圆，于是A图15-26F E DBCMN 654321图15-27Q 'Q 1F EDABHP QPQ Q PAQ '∠=∠．故PAQ DAC ∠=∠．注此例证明中用到了性质12的前部分内容． 4．注意垂心与外心是一对等角共轭点的应用例17在ABC △中，60A ∠=︒，AB AC >，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于点H ，点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM CN =．求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题） 证明如图15-28，设直线OH 交AB 于M '，交AC 于N '，联结AO 、AH ，由性质6知AO AH =．设O 在AB 、AC 的射影分别为T 、S ．则由性质9知12OT CH =，12OS BH =．注意到AOH △为等腰三角形及性质15（1）知AM N ''△为等边三角形，从而可求得OT '，OS '，且OM ON ''=． 于是，()()()2BH BM NC HC OS OT MH NH BH HC OH OH OH OH-+--+-=== 例18设O 、H 分别为锐角ABC △的外心和垂心，BE 、CF 分别为两条商，寻求O 为AFC △的垂心的充要条件．证明如图15-29，联结AO 、AH 、BO 、CO ．注意到O 、H 为等角共轭点，即性质15（1）及A 、F 、H 、E 四点共圆，知EFH EAH FAO ∠=∠=∠． 而90AFH ∠=︒，即知AFE ∠与FAO ∠互余，故 AO FE ⊥．于是，O 为AFE △的垂心FO AE ⇔⊥FO BE AFO ABE HCE ⇔⇔∠=∠=∠∥，BCO ECH ∠=∠ AFO BOC B ⇔∠=∠⇔、C 、O 、F 四点共圆图15-28'ABC图15-299045BOC BFC ⇔∠=∠=︒⇔∠︒．注由性质6，知45A ∠=︒时，2AH R ==，且由正弦定理有2sin BC R A =⋅=，即45A AH BC ∠=︒⇔=．于是，此例结论可改为：O 为AFE △的垂心的充要条件是AH BC =．此时，可由垂心组的4个三角形的外接圆是等圆即可推证． 5．注意垂心组性质的应用例19已知ABC △的外接圆半径等于A ∠内的旁切圆半径，A ∠内的旁切圆与边BC 、射线AC 、AB 分别切于点M 、N 、L ．证明：ABC △的外心O 就是MNL △的垂心．（2006年伊朗国家队选拔赛题）证明如图15-30，由垂心纽概念知，我们证M 为OLN △的垂心，即证OM LN ⊥，LM ON ⊥．设A I 为么A ∠内的旁切圆圆心，联结A AI 交e 于点M '，则知M '为»BC的中点，因而OM BC '⊥． 又A MI BC ⊥，且A OM MI '=，即知四边形A OMI M '为平行四边形，有A OM M I '∥，即A OM AI ∥． 而A AI LN ⊥，故OM LN ⊥．延长A I B 交O e 于N '，可证N '为优弧¼ABC 的中点，同理可证四边形A I NON '为平行四边形，得LM ON ⊥．例20在平行四边形ABCD （90A ∠<︒）的边BC 上取点T ，使得ATD △是锐角三角形，令1O ，2O ，3O 分别为ABT △、DAT △、CDT △的外心．求证：123O O O △的垂心位于直线AD 上．证明如图15-31，由题设知12O O 、32O O 分别是线AT 、DT 的中垂线（两圆心的连线垂直平分公共弦），于是，由对称性及圆心角与圆周角关系知1212180AO O TO O TBA TCD ∠=∠=︒-∠=∠，3232DO O TO O TCD ∠=∠=∠．图15-30于是，知T 、1O 、2O 、3O 四点共圆，记此圆为1w ．又由对称性知，1212O TO O AO ∠=∠（对称轴12O O ），3232DO O TO O ∠=∠（对称轴为32O O ），过A 、1O 、2O 的圆2w ，过D 、2O 、3O 的圆3w 与1w 均相等．由垂心组性质，知123O O O △的垂心是圆2w 与3w 的一个交点H ．设H '是圆2w 与直线AD 的另一个交点，则么21232AH O AO O DO O '∠=∠=∠，即知H '在圆3w 上，即知H '与H 重合．故H 在直线AD 上． 【模拟实战】习题A1．设锐角ABC △的三条高AD 、BE 、CF 相交于H ，若BC a =，CA b =，AB c =，则AH AD BH BE CH CF ⋅+⋅+⋅的值是（ ）． A ．2ab bc ca++B ．2222a b c ++C ．()23ab bc ca ++ D ．()22223a b c ++2．已知H 、O 分别为锐角ABC △的垂心和外心，OD BC ⊥，垂足为D ，则AH OD =∶________． 3．设H 是等腰ABC △的垂心，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积ABC HBC S S ⋅△△的值是变小、变大，还是不变？4．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，I 、2I 、2I 分别是ABC △、ACD △、BCD △的内心．求证：C 为12II I △的垂心．5．设H 、O 分别为锐角ABC △的垂心和外必．证明：在BC 、CA 、AB 上分别存在点D 、E 、F ，使得OD DH OE EH OF FH +=+=+，且直线AD 、BE 、CF 共点．6．ABC △的外接圆为O e ，60C ∠=︒，M 是»AB 的中点，H 是ABC △的垂心．求证：OM OH ⊥． 7．在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，DF AB ⊥于F ，AE CF ⊥于E 且交DF 于M ．求证：图15-31ww 2M 为DF 的中点．8．在Rt ABC △中，CD 为斜边AB 上的高，D 为垂足，O ，1O ，2O 分别为ABC △，ACD △，BCD △的内心．求证：C 为12OO O △的垂心．9．试证：ABC △外接圆上任一点P 的西姆松线平分P 与ABC △的垂心H 的连线． 10．设H 是锐角ABC △的垂心，由A 向以BC 为直径的圆作切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ．求证：P ，H ，Q 三点共线．（1996年第11届冬令营试题） 11．已知O e 的直径为AB ，AG 是弦，C 是弧»AG 的中点，CD AB ⊥于D 交AG 于E ，BC 交AG 于F ．求证：AE EF =．12．已知锐角ABC △，以sin A ∠，sin B ∠，sin C ∠为三边作一A B C '''△，以A '，B '，C '为圆心，分别以cos A ∠，cos B ∠，cos C ∠为半径画圆，则三圆心交于一点H ，且H 正好是A B C '''△的垂心．13．在ABC △中，H 为垂心，BC a =，ABC △的外接圆半径为R ，且22a AH R =-，求sin A 之值． 14．在锐角ABC △中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．15．已知H 是锐角ABC △的垂心，以AH 为直径的圆交ABC △的外接圆于N ，NH 交BC 于M ．求证：M 是BC 的中点．16．已知线段AB BC CD ==，O e 分别与AB ，BC ，CD 相切于点E ，F ，G ，设AC 交BD 于P ．求证：O ，P ，F 三点共线．17．已知C ，D 是以AB 为直径的半圆上任意两点，若AC 与BD 交于E ，AD 与BC 交于F ． 求证：半圆过C ，D 的切线与EF 三线共点． 18．设锐角ABC △的外接圆半径1R =，内切圆半径为r ，它的垂足A B C '''△的内切圆半径为ρ．求证：()21113r ρ-+≤． （IMO -34预选题）习题B1．已知AD ，BE ，CF 为锐角ABC △的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点．证明：PQR △的外接圆通过BC 的中点M ．2．在非等腰锐角ABC △中，高1AA 和1CC 夹成的锐角的平分线分别与边AB 和BC 相交于点P 和Q ，角B 的平分线同连结ABC △的垂心和边AC 之中点的线段相交于点R ．证明：P ，B ，Q ，R 四点共圆．（第26届俄罗斯竞赛题） 3．在Rt ABC △中，AD 是斜边上的高，连结ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别与边AB 及AC 交于K ，L ．求证：2ABC AKL S S △△≥．（IMO -29试题）4．在ABC △外接圆»BC 上取几个点Pi （1i =，2，…，n ），作i P 关于AB 的对称点i M ，i P 关于AC 的对称点ºi N ，试证：n 条直线i iM N 共点． 5．在锐角ABC △中，C B ∠>∠，点D 是边BC 上一点，使得ADB ∠是钝角，H 是ABD ∠的垂心，点F 在ABC ∠内部且在ABD ∠的外接圆圆周上．求证：点F 是ABC △垂心的充分必要条件是：HD 平行CF 且H 在ABC △的外接圆圆周上．（1999年中国奥林匹克题） 6．在圆内接ABC △中，H 是ABC △的垂心，分别作H 点关于边BC ，CA ，AB 的对称点1H ，2H ，3H ．若P 是圆周上任意一点，连接1PH ，2PH ，3PH 分别与边BC ．CA ，AB 或其延长线交于D ，E ，F．试证：D，E，F三点共线．。

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

第十五章二次根式1.结合实际问题,了解二次根式、最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式.2.掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简.3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算,会将分母中含有一个二次根式(根号下仅限于数)的式子进行分母有理化.1.借助二次根式的化简与运算,提高运算能力.2.能运用类比和转化的数学思想讨论、探究二次根式的有关性质和运算法则.3.能将二次根式的计算问题转化为利用二次根式的性质进行化简的问题,理解“从特殊到一般”,再“从一般到特殊”的探究事物规律的方法.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.引导学生适时地运用“逆向思维”和“类比思维”提出问题与解决问题,以提高学生的数学基本素养.(1)在第十四章已经学习了平方根、算术平方根的概念,还学习了借助于平方运算来求非负数的平方根、算术平方根.本章是在此基础上,结合实际问题的需要,引入二次根式的概念,并以“同一个非负数的算术平方根是唯一的”为依据,得到二次根式的基本性质.(2)二次根式的基本性质是二次根式化简的基本依据,用它可将任何一个二次根式化成与之等值的最简二次根式,教材既突出了化简的依据,又突出了化简的实施方法.(3)二次根式基本性质的逆向应用,便可实施二次根式的乘除运算.教材以学生操作为主,辅以例示解析的过程,引导学生掌握二次根式的乘除运算(包括简单的分母有理化);二次根式的加减运算,实际上是以二次根式的化简为前提,而后合并“同类的最简二次根式”.教材借助于和“整式加减的合并同类项”的类比,启发学生自主地理解并掌握这类运算;在二次根式的混合运算中,使学生认识到:与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算也是先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.(4)通过对本章的学习,可以更概括、更统一地认识“式”的意义和发展层次,可以更概括、更统一地认识“式的化简”与“式的运算”的依据和实施的共性,从而更好地提高运算能力.【重点】1.二次根式的加减运算.2.二次根式的乘除运算.【难点】二次根式的化简与计算.1.注重概念的形成过程,让学生在概念形成的过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析,综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学对提高学生思维水平是十分有必要的.如二次根式的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识二次根式所表示的意义.2.鼓励学生探索与交流.教学中应当让学生进行充分的探索和交流,给学生充分的活动时间与空间,如最简二次根式是一个怎样的式子,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受最简二次根式应满足的条件;再如二次根式的性质,在教学过程中应当让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,并鼓励学生用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生认识到新旧知识间的区别与联系.在二次根式的加、减、乘、除运算的教学中,应注意通过类比使学生认识到新旧知识的区别与联系.二次根式与以前学过的数、整式和分式一样,有关的化简与运算,相应的运算律、运算法则、运算顺序,乘法公式同样适用.15.1二次根式1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解,()2,(其中a≥0)的意义.3.理解二次根式的性质.1.体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.2.经历二次根式概念的形成过程,体会用类比的思想研究二次根式及其性质.1.为学生创造操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程.2.鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,激发学生应用数学的热情.3.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念与性质.【难点】二次根式基本性质的灵活应用.第课时1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性.2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算.1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力.2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力.1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情.2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【重点】二次根式的概念和简单性质.【难点】二次根式的简单性质.【教师准备】课件1~7.【学生准备】复习平方根与算术平方根的知识.导入一:1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?2.【课件1】填空.(1)的平方根是;(2)一个圆的面积为S,这个圆的半径是;(3)若正方形的面积为a-4,则边长为.学生思考并回答.3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?学生观察,总结共同特征并表述意见.[设计意图]唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.导入二:1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是.2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)[设计意图]让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.导入三:在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,表示非负数a的算术平方根,±表示非负数a的平方根;,±都表示非负数a的开平方,中“”表示一种运算,因此,(a≥0)还有一个名字,你知道吗?[设计意图]通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情.活动一:二次根式的概念思路一【课件2】(教材第90页一起探究)1.(1)2,18,,的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?引导学生分析得出:1.解:(1),,,. (2),,-.2.解:,.引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了,,,,,,-,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.[知识拓展](1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.(2)本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.(3)要注意,等,这时无论a取何值都有意义.[设计意图]让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.【课件3】判断下列各式是二次根式吗?;②6;-;-(m≤0);x,y异号);;+1;.学生快速回答,共同分析.[设计意图]通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.思路二活动:(引导学生概括二次根式的定义:像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式) 概念深化:提问:+1是不是二次根式?呢?议一议:二次根式表示什么意义?此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?其中字母a要满足什么条件?为什么?【展示点评】经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.【反思小结】教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:(1)必须有二次根号;(2)被开方数不能小于0.[设计意图]通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性.活动二:二次根式的简单性质思路一【课件4】(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有≥0.小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有()2=a.学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.教师总结:(1)(a≥0)是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;(2)()2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.【课件5】做一做:=;=;=;=;=.教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:=2;=0.01;;;=0.想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论?学生讨论得出,一般地,a(a≥0).【课件6】(教材第91页做一做)化简.(1)()2;(2);(3);(4).教师指名回答,公布答案.解:(1)()2=3. (2). (3)=5. (4).思路二我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0(a≥0).1.性质1:()2=a(a≥0).(1)观察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9……(2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示?(3)板书:当a≥0时, a.[设计意图]通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.2.性质2:=a(a≥0).(1)提问:等于什么?(2)举例:=2;-=2;=3;-=3……(3)发现:当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.(4)归纳:-3.比较()2和的区别.学生讨论,回答.说明:关键抓住被开方数的非负性和(a≥0)的非负性.[知识拓展]理解()2和时应注意以下几点:(1)从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()2中的a为非负数.(2)从所得的结果理解:,而()2=a,也就是说当a≥0时,=()2.[设计意图]通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.活动三:例题讲解【课件7】化简.(1);(2).〔解析〕0.04=0.22,,可以利用a(a≥0)化简.解:(1)=0.2. (2)=12=1.[设计意图]尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.1.二次根式的定义一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.2.二次根式的基本性质(1)当a≥0时,()2=a;(2)当a≥0时,=a.1.下列各式中,不是二次根式的是 ()A. B.- C. D.解析:根据二次根式的定义,可知二次根式的被开方数是非负数,因为-的被开方数小于零,故B错误.故选B.2.如果-是二次根式,那么a应满足()A.a≥0B.a≠3C.a=3D.a≥3解析:∵-是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故选D.3.若a为实数,则化简()A.-aB.aC.a2D.|a|解析:∵当a<0时,=|a|=-a.当a≥0时,=|a|=a.故选D.4.下列四个等式:-=4;②(-)2=16;③()2=4;-=-4.其中正确的是()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:-=4,正确;②(-)2=4≠16,不正确;③()2=4,符合二次根式的意义,正确;-=4≠-4,不正确.①③正确.故选D.5.如果-=2-x,那么x的取值范围是()A.x≤2B.x<2C.x≥2D.x>2解析:根据二次根式的结果是非负数,可得不等式2-x≥0,解得x≤2.故选A.6.计算--的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:--=-=-3.故选A.7.探究发现.(1)完成下列填空:=,=,-=,④-=.(2)利用(1)中发现的规律计算:①若x>2,则-=;-=.解析:根据-即可得解.答案:(1)①3②0.5③6(2)①x-2②π-3.148.当x取何值时,下列各式为二次根式?(1)-;(2)--.解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可得答案.解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以当x≤0时,-是二次根式.(2)根据题意得2-x<0,得x>2,所以当x>2时,--是二次根式.9.判断下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,为什么?,-,,-,(a≥0),.解析:二次根式要满足两个条件:(1)带有二次根号“”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式;的根指数是3,故不是二次根式;-的被开方数小于0,无意义,故不是二次根式.10.根据材料回答问题.x为何值时,-有意义?解:根据题意得x(x-1)≥0,由乘法法则得-或-解得x≥1或x≤0,即当x≥1或x≤0时,- 有意义.体会解题思想后,求当x为何值时,-有意义.解析:根据题目信息进行解答.解:要使-有意义,则-≥0,所以-或-解得x≥2或x<-,即当x≥2或x<-时,-有意义.11.已知y=---3,求(x+y)4的值.解析:先根据二次根式有意义的条件求出x的值,进而得出y的值,代入代数式进行计算即可.解:∵-与-有意义,∴--解得x=2,∴y=-3,∴(2-3)4=1.第1课时活动一:二次根式的概念活动二:二次根式的简单性质活动三:例题讲解例题一、教材作业【必做题】1.教材第91页练习.2.教材第92页习题A组第1,2题.【选做题】教材第92页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.化简,正确的结果是 ()A.±72B.72C.432D.以上答案都不是2.下列各式中不是二次根式的是 ()A. B.-C. D.-3.下列各式:;;;-;.其中二次根式的个数有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知是二次根式,则a的值可能是()A.-2B.-1C.2D.-75.要使二次根式-有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≤C.x≥D.x≤6.要使代数式-有意义,则x的()A.最大值是B.最小值是C.最大值是D.最小值是【能力提升】7.实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,则+a的化简结果为()A.2a+bB.-bC.bD.2a-b8.下列各式哪些一定是二次根式?(1);(2);(3)-;(4)-;(5)-.9.当x是怎样的实数时,下列各式有意义?(1)-;(2) --;(3)(4) -;(5)-;(6)-.【拓展探究】10.化简--.11.已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简+2---.【答案与解析】1.B(解析:=72.故选B.)2.B(解柏:二次根式成立的条件是被开方数是非负数,而-的被开方数是负数,所以不是二次根式.故选B.)3.B(解析:根据二次根式的定义,一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式.故选B.)4.C(解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可知C选项正确.故选C.)5.B(解析:依题意得3-2x≥0,解得x≤.故选B.)6.A(解析:∵代数式-有意义,∴2-3x≥0,解得x≤.∴x的最大值为.故选A.)7.B(解析:由数轴可知b<0<a,|b|>|a|,∴+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.故选B.)8.解:(1)∵m2≥0,∴m2+1>0,∴是二次根式. (2)∵a2≥0,∴是二次根式. (3)∵n2≥0,∴-n2≤0,∴当n=0时,-才是二次根式,故不一定是二次根式. (4)当a-2≥0时是二次根式,当a-2<0时不是二次根式,即当a≥2时是二次根式,当a<2时不是二次根式,故不一定是二次根式. (5)当x-y≥0时是二次根式,当x-y<0时不是二次根式,即当x≥y时是二次根式,当x<y时不是二次根式,故不一定是二次根式.>0,解得x<. (3)x2≥0,x取全体实数. (4)-1≥0,解得x≥3. (5)(x-2)2≥0,x 9.解:(1)5-3x≥0,解得x≤. (2)--取全体实数. (6)x+8≥0且x-4≠0,解得x≥-8且x≠4.10.解:原式=|3-a|+|a-7|.①当a<3时,原式=3-a+7-a=10-2a;②当3≤a≤7时,原式=4;③当a>7时,原式=a-3+a-7=2a-10.11.解:由数轴可知-2<a<-1,1<b<2,b>a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3.在授课过程中,首先教师让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一些思考题,得出二次根式的定义.通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的方法,通过“大家谈谈”让学生得出二次根式的两个性质,体会从特殊到一般的思维过程,进而掌握公式的一般推导方法.本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程.同时在学习过程中,引导学生自己得出结论及二次根式的两个性质,在学生举例讨论之后,让学生自己初步得出了结论.整个教学过程,体现了“从特殊到一般”“由具体到抽象”的过程.1.在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题,出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束得也比较仓促.2.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺.3.新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论,但在互动方面做得还不够,大部分学生都是独立思考,很少与同学合作交流.1.在今后教学中,应注意时间的掌控,合理地安排好每个环节的时间,事先应做好预设.2.在教学中应多培养学生合作交流的意识,这样有助于他们今后的生活和学习.练习(教材第91页)解:(1)2. (2)0.04. (3)0.8. (4).习题(教材第92页)A组1.解:(1). (2)11. (3)15.2.解:(1). (2)169. (3).B组1.解:设镜框的宽为2x cm,则长为3x cm.由题意得3x·2x=300,x2=50.解得x=5或x=-5(舍),所以2x=10.答:镜框的宽为10cm.2.解:设大正方形的边长为x cm.由题意得x2=a2+b2,取正值解得x=.当a=3,b=4时,x=5.答:大正方形的边长为5 cm.对于二次根式的定义可以从以下几个方面理解:(1)从形式上看,二次根式必须含“”.(2)二次根式的被开方数a既可以表示一个数,也可以表示一个代数式,但必须保证有意义,即a若表示一个数,则a必须是非负数;若a表示一个代数式,则这个代数式的值必须是非负数.也就是说当a≥0时,才是二次根式;当a<0时,无意义.对于二次根式的被开方数是非负数,是指整个代数式是非负数,而不是其中的字母表示的数为非负数.为了求出使二次根式有意义的字母的取值范围,只需解不等式(组)即可.先化简a+,然后再分别求出a=-2和a=3时,原代数式的值.解:a+=a+=a+|a+1|.当a=-2时,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1;当a=3时,原式=3+|3+1|=3+4=7.[解题归纳]本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键是先化简,再求值.已知a,b,c均为实数,且+a=0,=1,=c,化简----.〔解析〕首先根据已知条件确定a,b,c的符号,从而确定a+b,a-c,c-b的符号,然后根据二次根式的性质、绝对值的意义即可化简求解.解:∵+a=0,∴=-a,∴a≤0,∵=1,∴ab>0,则a,b同号,∴a<0,b<0.∵c,∴c≥0.∴a+b<0,a-c<0,c-b>0.∴原式=-b+(a+b)+(c-a)-(c-b)=-b+a+b+c-a-c+b=b.[解题归纳]本题考查了二次根式的定义以及绝对值的意义,正确确定a,b,c的符号是关键.实数x在什么范围内取值时,下列各式才有意义?;(3)-.(1);(2)-〔解析〕根据二次根式有意义的条件进行解答.解:(1)若有意义,则3x+7≥0,解得x≥-.有意义,则2x-1>0,解得x>.(2)若-(3)若-有意义,则解得-1≤x≤2.-[解题归纳]本题主要考查了二次根式有意义的条件,解答本题的关键是要使二次根式有意义,被开方数不能小于0.第课时1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质.2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简.3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式.1.运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质.2.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解.培养学生探索事物之间内在联系的学习习惯,使学生获得成功的喜悦.【重点】1.积(商)的算术平方根的性质.2.最简二次根式的概念.【难点】能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式.【教师准备】课件1~13.【学生准备】二次根式的简单性质.导入一:【课件1】一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗?[设计意图]学生在已有经验的基础上直接开平方,发现200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境.导入二:教师提问:【课件2】(1)什么是二次根式?二次根式的被开方数需满足什么条件?(2)我们学过二次根式的哪些简单性质?学生回答.[设计意图]简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系.活动一:一起探究——二次根式的性质思路一探究点1:积的算术平方根问题1:【课件3】计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?(1)与(2).学生计算,得出(1)(2)中两式均相等.问题2:【课件4】猜想:与有什么关系?组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流)方法一:事实上,根据积的乘方法则,有()2=()2×()2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即.方法二:因为()2=()2×()2=2×5,()2=2×5,且>0,>0,所以.问题3:【课件5】当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由.指导学生仿照问题2的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b≥0时,()2=a·b,(·2=()2·()2=a·b,所以·.引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0).[知识拓展]积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···a≥0,b≥0,c≥0,d≥0).[设计意图]尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性.探究点2:商的算术平方根问题1:【课件6】与是否相等?与呢?学生经过计算得出两个式子均相等.问题2:【课件7】对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系?并说明理由.学生不难猜想得到(a≥0,b>0).引导学生根据刚才的证明过程加以证明.解:因为当a≥0,b>0时,,,所以.问题3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即(或)(a≥0,b>0)[设计意图]培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力.思路二问题1:【课件8】计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.师:出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律.生:学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等.问题2:【课件9】根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用计算器验证.(1)=;=.(2)=;=.(3)=;=.(4)=;=.学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等.问题3:【课件10】猜想:(1)当a≥0,b≥0时,和·有什么关系?(2)当a≥0,b>0时,和有什么关系?请你说明理由.引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明.[设计意图]引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积(商)的算术平方根的性质.活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念【课件11】化简.(1);(2)(3);(4).〔解析〕(1)(2)直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简;(3)(4)利用(a≥0,b>0)进行化简.解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).【课件12】观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:(1)化简前,被开方数是怎样的数?(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.提出问题:在,3,,,,3,中,哪些是最简二次根式?为什么?把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式.指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成.出示“做一做”.【课件13】(教材第94页做一做)化简.(1);(2);(3);(4).解:(1)=3.(2)=4.(3).(4).[设计意图]巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力,强化训练,提高能力.。

大学高等数学基础教材目录第一章：导论1.1 数学的发展历程1.2 数学思维与数学语言1.3 数学的应用领域第二章：集合论与逻辑2.1 集合的基本概念与运算2.2 集合的性质与关系2.3 逻辑与命题2.4 命题的合取与析取2.5 谓词逻辑与量词第三章：数列与极限3.1 数列的定义与性质3.2 数列的极限概念3.3 极限的性质与运算3.4 数列的收敛与发散3.5 无穷大量与无穷小量第四章：连续性与一元函数4.1 函数的定义与性质4.2 一元函数的极限与连续性 4.3 初等函数与其性质4.4 反函数与复合函数4.5 函数的图像与性质第五章：全微分与微分运算5.1 全微分与偏导数5.2 多元函数的全微分5.3 隐函数与参数方程5.4 微分中值定理5.5 泰勒展开与高阶导数第六章：一元函数的微分学应用 6.1 函数的增减与极值6.2 函数的凹凸性与拐点6.3 泰勒展开的应用6.4 一元函数的曲线图形第七章：不定积分与定积分 7.1 不定积分的定义与性质 7.2 基本积分公式与换元法 7.3 定积分的定义与性质7.4 反常积分与广义积分7.5 积分中值定理与应用第八章：重积分与曲线积分 8.1 二重积分的定义与性质 8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分的定义与性质 8.4 三重积分的计算方法8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数与函数级数 9.1 数项级数的收敛与发散 9.2 正项级数收敛的判定9.3 幂级数与常数项级数9.4 函数项级数的收敛性9.5 泰勒级数与函数逼近第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶常微分方程10.3 高阶常微分方程10.4 欧拉方程与特解10.5 线性微分方程与变换第十一章：多元函数的微分学11.1 多元函数的偏导数11.2 多元函数的全微分11.3 隐函数与参数方程11.4 多元函数的极值与条件极值 11.5 多元函数的曲面图形第十二章：向量代数与线性代数12.1 向量的基本运算与性质12.2 向量的线性相关与线性无关 12.3 向量的内积与投影12.4 矩阵的基本运算与性质12.5 线性方程组与矩阵的秩第十三章：多元函数的积分学13.1 双重积分的定义与性质13.2 双重积分的计算方法13.3 三重积分的定义与性质13.4 三重积分的计算方法13.5 曲线积分与曲面积分的应用第十四章：级数与幂级数14.1 数项级数的审敛与发散14.2 正项级数的审敛法14.3 幂级数的收敛半径14.4 幂级数的求和运算14.5 幂级数的应用与展开第十五章：偏微分方程15.1 偏微分方程的基本概念15.2 一阶偏微分方程15.3 二阶线性偏微分方程15.4 常系数线性偏微分方程15.5 热方程与波动方程以上是《大学高等数学基础教材》目录的简要介绍，旨在为读者提供对该教材内容的整体把握和知识框架。

高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。

大学高等数学基础教材下册第一章导数和微分第一节函数导数的定义与性质第二节常见函数的导数1. 幂函数的导数2. 指数函数的导数3. 对数函数的导数4. 三角函数的导数5. 反三角函数的导数第三节高阶导数1. 二阶导数2. 高阶导数的计算第四节隐函数与参数方程的导数1. 隐函数的导数2. 参数方程的导数第二章积分与定积分第一节不定积分1. 基本积分表2. 特殊积分a. 有理函数的积分b. 三角函数的积分c. 指数函数与对数函数的积分第二节定积分1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法a. 改变积分区间b. 分部积分法c. 凑微分法4. 定积分的应用a. 几何应用b. 物理应用c. 经济应用第三章微分方程第一节微分方程的基本概念1. 微分方程的定义2. 解的概念第二节常微分方程1. 高阶线性常微分方程a. 齐次线性微分方程b. 非齐次线性微分方程2. 一阶线性常微分方程3. 可分离变量微分方程4. 高阶常系数齐次线性微分方程5. 可降阶的高阶常系数齐次线性微分方程第三节常微分方程的应用1. 生物学应用2. 物理学应用3. 工程学应用第四章无穷级数第一节数项级数1. 无穷级数的收敛与发散2. 收敛级数的性质3. 收敛级数的求和第二节幂级数1. 幂级数的基本概念2. 幂级数的收敛域3. 幂级数的性质第三节泰勒级数1. 泰勒级数的定义2. 常见函数的泰勒展开a. 指数函数的泰勒展开b. 对数函数的泰勒展开c. 三角函数的泰勒展开第五章多元函数微分学第一节二元函数的极限与连续1. 极限的定义2. 连续的定义第二节偏导数与全微分1. 偏导数的定义与计算2. 全微分的定义与计算第三节隐函数与参数方程的偏导数与全微分1. 隐函数的偏导数与全微分2. 参数方程的偏导数与全微分第六章多元函数的积分学第一节二重积分1. 二重积分的定义与性质2. 二重积分的计算方法a. 矩形区域上的二重积分b. 一般区域上的二重积分c. 极坐标下的二重积分第二节三重积分1. 三重积分的定义与性质2. 三重积分的计算方法a. 长方体上的三重积分b. 一般区域上的三重积分c. 柱面坐标与球面坐标下的三重积分第三节多重积分的应用1. 几何应用2. 物理应用3. 经济应用第七章空间解析几何基础第一节空间直线与平面1. 空间直线的方程2. 空间平面的方程第二节空间曲线与曲面1. 空间曲线的参数方程2. 空间曲面的方程第三节空间向量与标量积1. 空间向量的定义与性质2. 空间向量的运算3. 空间向量的模与方向角4. 空间向量的数量积与向量积第四节空间直线与平面的位置关系1. 点与直线的位置关系2. 直线与平面的位置关系3. 平面与平面的位置关系第八章多元函数微分学应用第一节多元函数的极值与条件极值1. 多元函数的极值与最值2. 多元函数的条件极值第二节多元函数的梯度与方向导数1. 多元函数的梯度2. 多元函数的方向导数第三节多元函数的泰勒展开1. 二元函数的泰勒展开2. 三元函数的泰勒展开第九章多重积分的应用第一节物理应用1. 质心与重心2. 质量、重力与力矩第二节统计应用1. 概率密度函数与分布函数2. 期望值与方差第十章曲线与曲面积分第一节曲线积分1. 第一类曲线积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲线积分a. 定义b. 性质与计算第二节曲面积分1. 第一类曲面积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲面积分a. 定义b. 性质与计算第十一章常微分方程的定性与数值解第一节常微分方程的定性1. 稳定性与解的性态2. 解的存在唯一性第二节常微分方程的数值解1. 插值法2. 数值微分与数值积分3. 数值解的稳定性第十二章矩阵与线性方程组第一节矩阵的基本概念1. 矩阵的定义与运算2. 矩阵的基本性质第二节线性方程组的解1. 线性方程组的表示与解的存在唯一性2. 齐次线性方程组的基础解系3. 非齐次线性方程组的通解与特解第三节矩阵的秩与逆矩阵1. 矩阵的秩与线性独立性2. 逆矩阵的定义与性质第十三章局部极值与最值第一节多元函数的极值与最值1. 多元函数的极值与最值的定义2. 多元函数的极值判定第二节约束条件下的极值与最值1. 拉格朗日乘子法2. 约束条件下的条件极值第十四章重积分的应用第一节应用于质量与质心1. 三维物体的质量2. 质心的位置与坐标第二节应用于流量与通量1. 二维平面上的流量2. 曲面上的通量第十五章傅里叶级数与傅里叶变换第一节傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义2. 傅里叶级数的性质第二节傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义2. 傅里叶变换的性质。

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第一讲线性空间的概念与性质第一节什么是线性空间11’54’’第二节例子7’35’’第三节线性空间的性质6’55’’第二讲线性表示及基与坐标第一节线性表示13’34’’第二节基于维数7’35’’第三节向量的坐标20’12’’第四节过渡矩阵10’45’’第三讲子空间第一节子空间定义4’38’’第二节常见的子空间12’34’’第三节基扩张定理6’10’’第四节和空间与交空间28’53’’第五节直和17’13’’第四讲线性变换第一节线性变换的定义14’32’’第二节线性变换的矩阵表示19’24’’第三节零空间与值空间6’10’’第五讲线性变换矩阵的相似化简第一节线性变换在不同基偶下的矩阵22’16’’第二节线性变换的不变子空间17’03’’第三节线性变换的特征值与特征向量6’37’’第四节线性变换的对角化8’51’’第六讲内积空间第一节内积的定义38’23’’第二节向量的正交及Schmidt正交化22’51’’第三节正交补空间18’26’’第七讲正交变换与对称变换第一节正交变换18’08’’第二节旋转变换与镜像变换19’39’’第三节对称变换34’27’’第八讲矩阵的相似对角化第一节相似对角化的概念与性质26’53’’第二节相似对角化的求解方法8’27’’第三节相似对角化的应用11’22’’第九讲Jordan标准形第一节Jordan矩阵21’18’’第二节行列式因子、不变因子与初等因子31’09’’第三节Jordan标准形的求解6’59’’第十讲方阵多项式与最小多项式第一节方阵多项式31’52’’第二节零化多项式27’23’’第三节最小多项式32’19’’第十一讲矩阵范数第一节向量范数34’53’’第二节矩阵范数11’44’’第三节诱导范数15’16’’第四节常用的诱导范数10’45’’第五节谱与谱半径9’04’’第十二讲矩阵级数第一节矩阵序列的极限16’03’’第二节矩阵级数4’41’’第三节方阵幂级数13’45’’第十三讲方阵函数第一节方阵函数定义12’35’’第二节方阵函数性质20’17’’第十四讲方阵函数的计算第一节方阵函数计算方法之一——Jordan标准形法10’58’’第二节方阵函数计算方法之二——最小多项式法26’57’’第十五讲矩阵的三角分解第一节三角分解20’25’’第二节三角分解的求解14’32’’第三节平方根求解13’59’’第十六讲矩阵的正交三角分解第一节正交三角分解8’41’’第二节正交三角分解的Schmidt方法14’12’’第三节正交三角分解的Householder方法26’32’’第十七讲矩阵的满秩分解第一节Hermite标准形20’48’’第二节满秩分解21’52’’第十八讲矩阵的奇异值分解第一节奇异值14’40’’第二节奇异值分解11’34’’第三节奇异值分解的求解12’29’’第四节奇异值分解的应用14’08’’第十九讲矩阵的广义逆及其应用第一节广义逆的定义与性质20’46’’第二节广义逆的求解9’36’’第三节广义逆在最小二乘问题中的应用28’52’’。

一、前言教学目的：使学生了解高等数学的基本概念、方法和应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

重点：高等数学的基本概念、方法和应用。

难点：理解并掌握高等数学中的抽象概念和方法。

二、极限与连续教学目的：使学生了解极限的概念，掌握极限的计算方法，理解函数的连续性。

重点：极限的概念和计算方法，函数的连续性。

难点：理解极限的直观意义，掌握无穷小和无穷大的概念。

三、导数与微分教学目的：使学生了解导数的概念，掌握导数的计算方法，理解导数在实际问题中的应用。

重点：导数的概念和计算方法，导数在实际问题中的应用。

难点：理解导数的几何意义，掌握高阶导数的计算方法。

四、积分与不定积分教学目的：使学生了解积分的概念，掌握积分的计算方法，理解积分在实际问题中的应用。

重点：积分的概念和计算方法，积分在实际问题中的应用。

难点：理解积分的直观意义，掌握换元积分和分部积分的方法。

五、定积分与面积教学目的：使学生了解定积分的概念，掌握定积分的计算方法，理解定积分在实际问题中的应用。

重点：定积分的概念和计算方法，定积分在实际问题中的应用。

难点：理解定积分的性质，掌握定积分的计算技巧。

六、微分方程教学目的：使学生了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程的解法，理解微分方程在实际问题中的应用。

重点：微分方程的基本概念，一阶微分方程的解法，微分方程在实际问题中的应用。

难点：理解微分方程的解的存在性定理，掌握高阶微分方程的解法。

七、线性代数基本概念教学目的：使学生了解线性代数的基本概念，掌握矩阵的运算，理解线性方程组的解法。

重点：线性代数的基本概念，矩阵的运算，线性方程组的解法。

难点：理解线性空间和线性变换的概念，掌握矩阵的特征值和特征向量。

八、线性方程组与矩阵教学目的：使学生了解线性方程组的基本概念，掌握线性方程组的解法，理解矩阵的应用。

重点：线性方程组的基本概念，线性方程组的解法，矩阵的应用。

难点：理解线性方程组的解的存在性定理，掌握矩阵的逆矩阵。

数学21章知识点总结第一章数论数论是研究整数性质和整数间的关系的学科，是数学的一个重要分支。

数论的研究对象主要是自然数，介绍基本的整数性质和整数间的关系等。

1. 整数性质：包括偶数、奇数、质数、合数等概念，以及整数的最大公约数、最小公倍数等相关性质。

2. 整数间的关系：包括整数的因数、倍数、整除等基本概念，以及整数的互质、互素、同余等关系。

第二章代数代数是数学的一个重要分支，主要研究数与数的关系和数之间的运算规律，是数学中的基础内容。

1. 代数式：包括代数式的基本概念、加减乘除等基本运算法则，以及代数式的合并、分解等相关知识。

2. 一元一次方程：介绍一元一次方程的基本概念和解法，包括利用等式性质和化简等方法解一元一次方程。

3. 一元二次方程：介绍一元二次方程的基本概念和解法，包括利用配方法、公式法等方法解一元二次方程。

第三章几何几何是数学的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面的性质和它们之间的关系，包括图形的性质和测量等内容。

1. 图形的基本性质：包括点、线、面等基本概念，以及直线、角、三角形、四边形等基本图形的性质。

2. 图形的相似和全等：介绍相似三角形和全等三角形的性质和判定方法，包括辅助线法、相似比法等相关知识。

3. 圆的性质和应用：介绍圆的基本性质，包括圆的周长、面积和扇形、弓形等相关概念和计算方法。

第四章三角学三角学是数学的一个重要分支，主要研究三角形及其周围的知识，包括三角函数、三角恒等式、三角变换等内容。

1. 三角函数：介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等基本三角函数的定义和性质，包括三角函数的图像、周期性、奇偶性等相关知识。

2. 三角恒等式：介绍基本的三角恒等式，包括同角三角函数的关系、和差化积、倍角公式等相关知识。

3. 三角变换：介绍三角函数的基本图像和性质，包括三角函数的平移、伸缩、反转等相关变换。

第五章数列和数学归纳法数列是由一系列数按一定规律排列而成，是数学中的一个重要的概念，包括数列的概念、等差数列、等比数列、数列的通项公式、数列的性质等内容。

数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。

定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。

基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。

定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。

2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。

(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。

定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。

定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。

定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。

由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。

实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。