高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数自主训练北师大版必修4

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3 二倍角的三角函数学业分层测评 北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225D ．2425【解析】 因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425.【答案】 A2．已知α为第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．43 B ．34 C ．－43D ．－34【解析】 因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－24252＝－725，所以tanα2＝±1－cos α1＋cos α，又α2为第二或第四象限，所以tan α2<0，所以tan α2＝－1＋7251－725＝－43.【答案】 C3．(2015·咸阳高一检测)在△ABC 中，|AB →|＝2sin 15°，|BC →|＝4cos 15°，且∠ABC ＝30°，则AB →·BC →的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．2 3D ．－2 3【解析】 ∵∠ABC ＝30°，∴AB →与BC →的夹角θ＝180°－30°＝150°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 150° ＝2sin 15°·4cos 15°·cos 150° ＝4sin 30°cos 150° ＝4×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3. 【答案】 B4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A ．22B ．33C. 2 D ． 3【解析】 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝32，cos α＝12，∴tan α＝ 3.【答案】 D5．已知sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)的值为( ) A ．3356 B ．－3356C ．－43D ．43【解析】 ∵sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213，∴tan α＝－512.又tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－14＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－512＋431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－512×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3356.【答案】 A 二、填空题6．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为________．【解析】 cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.【答案】 127．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.【解析】 sin 3αsin α＝sin 2α＋αsin α＝1－2sin 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45.又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，所以tan 2α＝－34.【答案】 －348．(2015·宝鸡高一检测)已知0<x <π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，则cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.【导学号：】【解析】 ∵π4＋x ＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513.又0<x <π4，∴0<π4－x <π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2x ， ∴原式＝120169513＝2413.【答案】2413三、解答题9．化简：1＋sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＋2cos x (180°<x <360°)．【解】 原式＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 24cos2x2＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2＝cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x2－cos 2x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosx 2＝－cos x2cos x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2.因为180°<x <360°，cos x2<0，所以原式＝－cos x2cos x－cosx 2＝cos x .10．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值与最小值．【解】 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值2，当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )有最小值－1.[能力提升]1．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a －b ＝1D ．a ＋b ＝1【解析】 因为f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，所以a ＝f (lg 5)＝1＋sin 2 lg 52，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg 152＝1－sin 2 lg 52，α＋b ＝1＋sin 2 lg 52＋1－sin 2 lg 52＝1.【答案】 D 2．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A 35 B ．45 C.74D ．34【解析】 由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，sin θ>0.因为sin 2θ＝378.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以sin θ＝1－cos 2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝34. 【答案】 D3．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R 的单调减区间为________．【解析】 f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝ 3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1. 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π， 得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π，k ∈Z4．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值．【解】 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2 α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425， sin2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β， 所以cos 2β＝－2425.又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2β＝725.又sin α＋cos α＝355，所以1＋2sin α·cos α＝95，得1－2sin α·cos α＝15，所以(sin α－cos α)2＝15.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α<cos α，因此sin α－cos α＝－55， 解得sin α＝55，cos α＝255， 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。

§3 二倍角的三角函数(一)内容要求 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点)．知识点1 二倍角公式1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，令β＝α，得sin 2α＝2sin_αcos_α. 2．cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，令β＝α，得cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.3．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，令β＝α，得tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 【预习评价】1．计算1－2sin 215°的结果为( ) A.12 B.22C.32D ．1答案 C2．sin 105°cos 105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34答案 B知识点2 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2，降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.【预习评价】1．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，故选D. 答案 D2.tan 75°1－tan 275°的值是( ) A.36B ．－36C ．2 3D ．－2 3答案 B题型一 化简求值【例1】 求下列各式的值． (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－ta n 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. 规律方法 在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用． 【训练1】 求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝212cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.【例2】 (1)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A.15 B ．－15C ．－75D.75(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝1－2425＝15.故选A. (2)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－1825＝725.答案 (1)A (2)D【迁移1】 若(1)中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，求sin α＋cos α的值．解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，所以sin α＋cos α＜0(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125，所以sin α＋cos α＝－15.【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值． 解 因为sin 2α＝2sin αcos α ＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2425， 故2tan αtan 2α＋1＝－2425， 解得tan α＝－43或－34，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，tan α＞－1， 故tan α＝－34.规律方法 1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1.题型三 三角函数式的化简或证明【例3】 化简：(1)cos 10°1＋3tan 10°cos 70°1＋cos 40°；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解 (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°2sin 20°cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)原式＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.规律方法 被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简． 【训练2】 化简下列各式： (1)2sin 2α1＋cos 2α×cos 2αcos 2α； (2)1－cos 20°cos 80°1－cos 20°；(3)11－tan θ－11＋tan θ. 解 (1)原式＝2sin 2α2cos 2α×cos 2αcos 2α＝tan 2α. (2)原式＝2sin 210°sin 10°2sin 210°＝2sin 210°2sin 210°＝ 2. (3)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan θ1＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.课堂达标1．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32 解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 答案 B2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A3．若tan α＝2，则tan 2α＝________. 解析 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 答案 －434．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________. 解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425. 答案 －24255．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 课堂小结1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－π2，α－π4等之间关系的应用．3．式中出现1＋cos α，1＋sin α时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号.基础过关1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1解析 f (x )＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 答案 B2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )A.724 B ．－724C.247D ．－247解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×－341－－342＝－247，故选D.答案 D3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12D.23解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.答案 A4．2sin 222.5°－1＝________. 解析 原式＝－cos 45°＝－22. 答案 －225．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案1166．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α的值．解 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32.7．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsinπ4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.能力提升8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A.459B.259C ．－459D ．－259解析 令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23，0＜α＜π，∴sin α＝53. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459.答案 A9．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A ．4 3 B.833C ．4D ．8解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos xsin x＝2sin 2x ＋2cos 2x sin x cos x＝4sin 2x， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8. 答案 D10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 答案 311．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 答案 212．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．(选做题)设函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．(1)求f (x )的解析式，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，f (x )的取值范围； (2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，求cos x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6 ∵T ＝2π2ω＝πω＝2π， ∴ω＝12. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )∈［3，2］. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝65， sin x ＝35，∴cos x ＝±1－sin 2x ＝±45.。

§3 二倍角的三角函数1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点) 3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 二倍角公式与半角公式阅读教材P 124～P 127练习2以上部分，完成下列问题． 1．二倍角公式2．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R ，总有sin 2α＝2sin α.( ) (2)对任意α∈R ，总有cos 2α＝1－2cos 2α.( ) (3)对任意α∈R ，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )(4)sin 22°30′cos 22°30′＝24.( ) 【解析】 (1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错． (2)cos 2α＝2cos 2α－1，所以(2)错．(3)α≠π4＋k π2(k ∈Z )时，有tan 2α＝2tan α1－tan 2α，所以(3)错． (4)sin 22°30′cos 22°30′＝12×2sin 22°30′cos 22°30′＝12sin 45°＝24，所以(4)对．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知cos α＝33，α为第四象限的角，求tan α2的值． 【精彩点拨】 根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan α2.【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos α＝33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63. ∴tan α＝sin αcos α＝－ 2.∵α为第四象限角，∴α2是第二或第四象限的角， ∴tan α2<0.由tan α＝2tanα21－tan2α2，得tan α2＝2－62.在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题，尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值．[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：66470073】【解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，∴sin 2α＝19－1＝－89，且sin αcos α＝－49<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝1＋89＝173， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－173×13＝－179，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－89－179＝81717.化简：(1)＋3cos 70°·1＋cos 40°；(2)1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，其中π<α<3π2.【精彩点拨】 (1)先把切化弦，再用二倍角公式化简． (2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．【自主解答】 (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10 °sin 20°·2cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2，1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2，∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋1－sin α2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[再练一题] 2．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0.故原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12cos α ＝cos 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.[探究共研型]探究1 【提示】 由任意角的三角函数的定义可知，S 2α，C 2α中的角α是任意的，但要使T 2α有意义，需要α≠π4＋k π2(k ∈Z )．探究2 半角公式适用条件是什么？ 【提示】 cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝ ±1－cos α2，α∈R . tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .探究3 在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？【提示】 一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．探究4 怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值． 【精彩点拨】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质． 【自主解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值，最大值为2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f (x )转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．[再练一题] 3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.1．tan 15°等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C.3＋1D ．3－1【解析】 由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.【答案】 B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )【导学号：66470074】A ．－13B ．－23C.13D ．23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13. 【答案】 C3．已知cos α＝23，270°<α<360°，则cos α2的值为________．【解析】 因为270°<α<360°，所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.又cos α＝2cos2α2－1，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－306. 【答案】 －3064.已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ＝________.【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.【答案】11185．求证：sin 2θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝tan θ. 【证明】 左边＝2sin θcos θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝sin θ2cos θ＋cos θ2cos θ＋＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．原式得证．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切自主广场我夯基 我达标1.若sin2α=41，且α∈（4π，2π），则cosα-sinα的值是（ ） A.23B.43C.-23D.-43 思路分析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα)2，其展开式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，应当注意的是在（4π, 2π）上，cosα<sinα，所以开方时应取负号. 答案：C2.如果|cosθ|=51，25π＜θ＜3π，则sin 2θ的值为（ ） A.510- B.510C.515- D.515 思路分析：根据25π<θ<3π,可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cosθ=-51，而45π<2θ<23π为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果. 答案：C3.若23π＜α＜2π，则α2cos 21212121++等于（ ） A.cos 2αB.-sin 2αC.-cos 2αD.sin 2α 思路分析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2α=2cos 2α，达到脱去根号的目的，这是解这类问题的常规思路.答案：C4.(全国高考卷Ⅱ，文10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)为（ ）A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x思路分析：∵ f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin 2x)=2+2sin 2x ，∴f(x)=2+2x 2.∴f(cosx)=2+2cos 2x=3＋cos2x.答案：C5.若f （α）=21cotα-2cos 212cos 2sin 2ααα-，那么f （12π）的值为______________. 思路分析：将函数f(α)化简变形可得简单形式，即f(α)=21cotα+21cos sin 21=ααcotα+21tanα=ααα2sin 1tan 21tan 2=+，所以f(12π)=6sin 1π=2. 答案：26.(2006某某高三百校大联考第二次，11)函数y=sin 2x-sin 4x 的最小正周期是T=____________.思路分析：将函数解析式化为y=sin 2x-sin 4x=sin 2x(1-sin 2x)=sin 2xcos 2x=41sin 22x=-81(1+cos4x)，∴T=42π=2π. 答案：2π 7.已知α为钝角、β为锐角且sinα=54，sinβ=1312，则cos 2βα-的值为______________. 思路分析：∵α为钝角、β为锐角，且sinα=54，sinβ=1312， ∴cosα=53-，cosβ=135. ∴cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=6533. ∵2π＜α＜π，0＜β＜2π， 又∵0＜α-β＜π，0＜2βα-＜2π， ∴co s 2βα-＞0. ∴cos 2βα-=.656572)cos(1=-+βα 答案：656578.化简110sin 1+︒+-sin10°.思路分析：1±sinα是完全平方的形式.解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222 =|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°| =|2sin50°|+|2cos50°| =2sin50°+2cos50°=2sin95°=2cos5°.我综合我发展9.(2006高考卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--. （1）求f(x)的定义域；（2）设α为第四象限的角，且tanα=34-，求f(α)的值. 思路分析：（1）即解cosx≠0；（2）化简f(α)，再求值.解：（1）由cosx≠0得x≠kπ+2π(k∈Z )，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ+2π,k∈Z }. （2）因为tanα=34-，且α是第四象限的角， 所以sinα=-54,cosα=53, 故f(x)=απαcos )42sin(21-- =αααcos )2cos 222sin 22(21-- =αααcos 2cos 2sin 1+- =ααααcos cos sin 2cos 22- =2(cosα-sinα) =514.10.(2006某某高考卷，15)已知函数f(x)=sinx+sin(x+2π),x∈R , （1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的最大值和最小值；（3）若f(α)= 43，求sin2α的值. 思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)的形式来讨论其性质.解：f(x)=sinx+sin(x+2π) =sinx+cosx =2sin(x+4π). （1）f(x)的最小正周期为T=12π=2π. （2）f(x)的最大值为2和最小值为-2.（3）因为f(α)=43，即sin α+cos α=43. ∴(sinα+cos α)2=169. ∴2sinαcos α=167-， 即sin2α=167-. 11.已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β. 思路分析：要求的2β是β的一半，而β=(α+β)-β，于是转化为已知的角，根据sinα和sin(α+β)，结合平方关系式可得cosα和cos(α+β)，从而求出cosβ，再运用半角公式求得结论，解答本题时一定要考虑到角的X 围.解：∵0＜α＜2π，∴cosα=α2sin 1-=135. 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π.若０＜α+β＜2π， ∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能. 故2π＜α+β＜π.∴cos（α+β）=53-. ∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cos （α+β）cosα+sin（α+β）sinα=53-×135+54×1312=6533. ∵0＜β＜2π，∴0＜2β＜4π. 故cos 2β=656572cos 1=+β. 12.(2006某某高考卷，理17)已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x∈R .（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）函数f(x)的图像可以由函数y=sin2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？ 思路分析：将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式，再讨论其性质.解：f(x)=2322cos 1+-x sin2x+(1+cos2x) =23sin2x+21cos2x+23=sin(2x+6π)+ 23, （1）f(x)的最小正周期T=2π2=π. 由题意,得2k π-2π≤2x+6π≤2kπ+2π,k∈Z , 即k π-3π≤x≤kπ+6π,k∈Z . ∴f(x)的单调增区间为［kπ-3π,kπ+6π］,k∈Z . （2）步骤：①先把y=sin2x 图像上所有点向左平移12π个单位长度，得到y=sin(2x+6π)的图像； ②再把y=sin(2x+6π)图像上所有的点向上平移23个单位长度，就得到y=sin(2x+6π)+ 23即f(x)的图像.。

3.3 二倍角三角函数典题精讲例1化简︒+98sin 1=__________________.思路分析：︒+98sin 1=2)49cos 49(sin ︒+︒=|sin49°+cos49°| =sin49°+cos49°=2sin(49°+45°)=2sin94°=2cos4°. 答案：2cos4°变式训练(湖北高考卷，理3)假设△ABC 内角A 满足sin2A=32，那么sinA+cosA 值为〔 〕 A.315315 C.35 35 思路分析：∵sin2A=2sinAcosA＞0，∴cosA＞0.∴sinA+cosA＞0.∴1+sin2A=(sinA+cosA)2.∴1+32=(sinA+cosA)2.∴(sinA+cosA)2=35. ∴sinA+cosA=. 答案：A例2求以下各式值.〔1〕cos12πcos 125π； 〔2〕〔cos 12π-sin 12π〕〔cos 12π+sin 12π〕；〔3〕21-cos 28π；〔4〕-32+34cos 215°.思路分析：〔1〕题添加系数2，即可逆用倍角公式；〔2〕题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；〔3〕中提取系数2后产生倍角公式形式；〔4〕那么需提取系数32. 解：〔1〕cos 12πcos 125π=cos 12πsin 12π=21×2cos 12πsin 12π=21sin 6π=41. 〔2〕〔cos12π-sin 12π〕〔cos 12π+sin 12π〕=cos 212π-sin 212π=cos 6π=23.〔3〕21-cos 28π=-21〔2cos 28π-1〕=-21cos 4π=-42.〔4〕-32+34cos 215°=32〔2cos 215°-1〕=32cos30°=33. 绿色通道：根据式子本身特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子值，在变形中一定要整体考虑式子特征. 变式训练求sin10°sin30°sin50°sin70°值.思路分析：由si n30°=21，原式可化为21sin10°sin50°sin70°，再转化为21cos20°cos40°cos80°，产生成倍数角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中对偶式，设而不求，到达变形目. 解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=21cos20°cos40°cos80° 解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°， 那么MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°) =421sin20°sin60°sin100°sin140°=421cos10°cos30°cos50°cos70°=421N. ∴M=161，即sin10°sin30°sin50°sin70°=161.例3(2005江苏高考卷，10)假设sin 〔6π-α〕=31，那么cos 〔32π+2α〕值为〔 〕A.97- 31 C.31 D.97思路分析：观察发现32π+2α=2(3π+α)，而(3π+α)+( 6π-α)= 2π，那么cos(3π+α)=sin(6π-α),cos 〔32π+2α〕=2cos 2(3π+α)-1=2sin 2(6π-α)-1=97-.答案：A绿色通道：通过角形式变化，生成所求角或再变形即得所求角，是三角变换重要方式，求解时应当对所给角有敏锐感觉，这种感觉养成要靠平时经历积累.变式训练1sin 〔4π+α〕sin 〔4π-α〕=61，且α∈〔2π，π〕，求sin4α值.思路分析：发现4π+α与4π-α是互余关系，将其中一个角三角函数变为另一个余名三角函数，即可产生倍角公式形式，逆用倍角公式可得2α三角函数值，进一步可求4α正弦值.解：∵〔4π+α〕+〔4π-α〕=2π，∴ sin〔4π-α〕=cos 〔4π+α〕.∵ sin〔4π+α〕sin 〔4π-α〕=61，∴ 2sin〔4π+α〕cos 〔4π+α〕=31.∴sin〔2π+2α〕=31.∴cos2α=31.又∵α∈〔2π，π〕，∴2α∈〔π，2π〕. ∴ sin2α=3222cos 12-=--α. ∴ sin4α=2sin2αcos2α=.变式训练2设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，那么sin 4θ值等于〔 〕 A. B. C. D.思路分析：4θ显然是2θ一半，可以直接应用公式.∵5π＜θ＜6π，∴25π＜2θ＜3π, 45π＜4θ＜23π.∴sin 4θ=2122cos1a --=--θ. 答案：D例4(2006全国高考卷Ⅱ,理2)函数y=sin2xcos2x 最小正周期是〔 〕C.4π D.2π 思路分析：将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式. y=sin2xcos2x=21sin4x ，那么T=. 答案：D绿色通道：讨论三角函数周期性时，先化简解析式再求周期.化简手段是：利用与差、倍角、半角等三角公式；化简结果是：将三角函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式，再利用公式T=ωπ2得周期.变式训练(2006陕西高考卷，理17)函数f(x)=3sin(2x-6π)+2sin 2(x-12π)(x∈R ). 〔1〕求函数f(x)最小正周期；〔2〕求使函数f(x)取得最大值x 集合.思路分析：将三角函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b 形式,再讨论周期与最值.解：(1)f(x)=3sin(2x-6π)+1-cos 2(x-12π) =2[23sin 2(x-12π)-21cos 2(x-12π)]+1 =2sin[2(x-12π)-6π]+1 = 2sin(2x-3π)+1,∴T=2π2=π.(2)当f(x)取最大值时，sin(2x-3π)=1，有2x-3π=2k π+2π (k∈Z). ∴x=kπ+125π. 即使函数f(x)取得最大值x 集合为{x∈R|x= kπ+125π，k∈Z }. 问题探究问题试用tan 2α表示sinα,cosα,tanα.导思：看到α与2α，联想到α=2(2α)，因此从二倍角公式角度来探讨. 探究：可以由倍角公式直接获得tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得sin α=2sin 2αcos 2α=2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 212cos 2sin 2222αααααααα+=+=，cos α=cos 22α-sin 22α=2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 12sin 2cos 22222222αααααααα+-=+-=-. 用tan 2α来表示sinα、cosα与tanα关系式如下： sinα=tanα=.这三个公式统称为“万能公式〞.其优点是用正切函数来求二倍角三角函数值会特别方便，也为一类三角函数求值提供了一座方便可行桥梁.如要计算cosα或sin(α+β)值，可以先设法求得tan 2α或tan 值.由于公式中涉及角正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.所谓“万能〞是指：不管角α哪一种三角函数，都可以表示成tan2α2α为变量“一元有理函数〞，即如果令tan 2α=t ，那么sinα、cosα与tanα均可表达为关于t 分式函数，这就实现了三角问题向代数问题转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径.如下面例题很好地表达了这一方法作用。

3.3 二倍角的三角函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知θ是第二象限角，sin θ=53，那么cos 2θ的值为（ ） A.55 B.±55C.1010D.±1010解析：θ为第二象限角，2θ为第一或第三象限角.sin θ=53，则cos θ=54-.10102cos 12cos ±=+±=θθ.答案：D2.求下列各式的值：（1）21-cos 28π=_______________；（2）︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________.解析：（1）原式=21-(2cos 28π-1) =424cos 21-=-π.（2）原式=2145tan 21=︒.答案:(1)42- (2)213.计算：cos 12πcos 3πcos 125π.解：原式=.816sin 4112sin 12cos 21==πππ4.已知cos 2α=1312-,α∈(π,2π),求sin α,cos α,tan α.解:∵α∈(π,2π),∴2π<2α<π.又cos 2α=1312-, ∴sin 2α=135)1312(12cos 122=--=-α.∴sin α=2sin 2αcos 2α=2×135×(1312-)=169120-,cos α=2cos 22α-1=2(1312-)2-1=169119.∴tan α=119120cos sin -=a α.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知2sin θ=1+cos θ，则tan 2θ的值是（ ） A.21 B.2C.21或不存在D.不存在 解析：2sin θ=1+cos θ，当2sin θ≠0，1+cos θ≠0，得出2tan 21cos 1sin θθθ==+，当sin θ=0时，cos θ=-1，θ=2k π+π，2tan θ不存在.答案：C2.已知cos(α+4π)=53,2π≤α＜23π，则cos(2α+4π)的值为____________________.解析：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=22(cos2α-sin2α). ∵2π≤α<23π，∴43π≤α+474ππ<.又∵cos(α+4π)>0，∴23π<α+474ππ<.∴sin(α+4π)=54)4(cos 12-=+--πα.∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π).cos(α+4π)=2524-,sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2(α+4π)=257.∴原式=22×(2572524--)=50231-.答案:50231-3.当x∈［2π-,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时x 的值.解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2,周期T=π.当x∈［2,2ππ-］时，2x+4π∈［45,43ππ-］,。

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切自我小测1．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于( )A ．223B ．－223C ．23D ．－232．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A ．459B ．259C ．－459D ．－2593．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值为( )A ．－16B ．16C ．52D ．－564．1＋cos 100°－1－cos 100°等于( )A ．－2cos 5° B．2cos 5°C ．－2sin 5°D ．2sin 5°5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( )A ．－79B ．79C ．29D ．－236．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是__________．7．等腰三角形顶角的余弦值为23，那么这个三角形一底角的余弦值为__________．8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值．9．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求函数y ＝2cos 2x ＋1＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．10．已知△ABC 的面积为3，且满足0＜A B ·A C ≤6.设AB 和AC 的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ的最大值与最小值．参考答案1．解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2(sin θcos θ)2＝59，∴(sin θcos θ)2＝29.∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＞0，∴sin θcos θ＝23.∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223.答案：A2．解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α. ∵cos α＝23，0＜α＜π，∴sin α＝53.∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×53×23＝459.答案：A3．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2得tan α＝13.原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝13－12＝－16.答案：A4．解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.答案：C5．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13.∴cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝1－29＝79.答案：B6．解析：∵f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π1＝2π.答案：2π7．解析：设等腰三角形的底角为α，顶角为β， 则α＝π2－β2，cos β＝23，∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β2＝sin β2＝1－cos β2＝66.答案：668．解：sin 2B ＋C2＋cos 2A ＝1－cos(B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A2＋2cos 2A －1＝12＋12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－19.9．解：y ＝2cos 2x ＋1＋2tan x ＋1＝2(sin 2x ＋cos 2x )2cos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]．令tan x ＝t ，则有y ＝g (t )＝(t ＋1)2＋1，∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.综上，当x ＝－π4时，y min ＝1；当x ＝π4时，y max ＝5.10．解：(1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 则由已知条件可得12bc sin θ＝3,0＜bc cos θ≤6，可得cos θ＞0，tan θ≥1.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.(2)f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－3cos 2θ＝1＋sin 2θ－3cos 2θ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3.∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，2π3，∴2≤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3≤3.即当θ＝5π12时，f (θ)max ＝3；当θ＝π4时，f (θ)min ＝2.。

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课后导练基础达标1.若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：⎩⎨⎧<>⇔⎩⎨⎧<<⇔⎩⎨⎧<-<.0cos ,0sin ,sin cos ,0cos sin ,0sin cos ,02sin ααααααααα ∴α在第二象限.答案：B2.sin15°sin30°sin75°的值等于（ ） A.43 B.83 C.81 D.41 解析：原式=sin15°·sin30°·cos15° =21sin 230°=81. 答案：C3.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于（ ） A.34 B.34- C.43 D.43- 解析:tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-，而tan2x=344122-=-⨯,∴原式=43.答案：C 4.已知sin2α=54，cos 2α=53-，则角α所在的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析:sin α=2sin2α·cos 2α=2524-<0,cos α=cos 22α-sin 22α=257-<0. 答案：C5.(2006全国高考卷Ⅱ,理2) 函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A.2π B.4π C.4π D.2π 解析：化简，得y=21sin4x,∴T=2π.故选D. 答案：D6.cos5πcos 52π的值为___________.解析：cos 5πcos 52π=5sin254sin 215sin 252cos 52sin 5sin 252cos 52cos 5sin 2πππππππππ===41. 答案：417.已知sin α=cos2α,α∈(0,2π),则sin2α=_________.解析：∵sinα=1-2sin 2α,即2sin 2α+sin α-1=0, ∴sinα=-1或sin α=21. 又∵α∈(0,2π),∴sinα=21,α=6π.∴cosα=23. ∴sin2α=2×21×23=23.答案：238.求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值.解析：原式=21·cos80°·cos40°·cos20°︒︒20sin 220sin 2 =41·cos80°·cos40°·︒︒20sin 240sin 2 =16120sin 16160sin 20sin 80sin 80cos 81=︒︒=︒︒•︒•. 9.求证：ααα2sin 2cos 112sin +++=21(tan α+1).证明：左=s ααααααααααααααcos 2cos sin )sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin 2sin 2222+=++=•+++ =21(tan α+1)=右边. 10.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π，求cos(2α+4π)的值.解析：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π =22(cos2α-sin2α). ∵2π≤α<23π,∴43π≤α+4π<47π47π.又∵cos(α+4π)>0,∴23π<α+4π<47π.∴sin(α+4π)=54)4(cos 12-=+--πα.∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π)=2524-,sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2(α+4π)=257.∴原式=22×(2524--257)=50231-. 综合运用11.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=53,那么cos2β的值为（ ） A.257 B.2518 C.257- D.2518- 解析：由已知可得sin ［(α-β)-α］=53,即sin β=53-.则cos2β=1-2sin 2β=1-2×257259=. 答案：A12.若α∈［25π,27π］,则ααsin 1sin 1-++的值为（ ） A.2cos 2α B.-2cos 2αC.2sin 2αD.-2sin 2α解析：∵25π≤α≤27π，∴45π≤2α≤47π.∴cos 2α≥sin 2α.如右图所示，在单位圆中当45π≤2α≤47π时，|sin 2α|≥|cos 2α|, ∴sin 2α+cos 2α≤0,∴22)2sin 2(cos )2cos 2(sinsin 1sin 1αααααα-++=-++=-(sin2α+cos 2α)+(cos 2α-sin 2α)=-2sin 2α. 答案：D13.若sin （2π+α）=53,则cos2α=____________-.解析：sin(2π+α)=cos α=53.cos2α=2cos 2α-1=257-.答案：257-14.已知α为锐角，且sinαcosα=21,则ααcos 11sin 11+++=__________. 解析：α为锐角，且由sinαcosα=21⇒sin2α=1⇒2α=2π⇒α=4π,∴原式=4-22. 答案：4-2215.已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,2π)，求sinα,tanα. 解析：由题意知4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.又α∈(0,2π),∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sinα-1=0，得sinα=21,∴α=6π.tanα=33.拓展探究16.已知f （x ）=xx x 2cos 4sin 5cos 624-+，求f （x ）的定义域，判定它的奇偶性并求其值域.解析：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠kπ+2π，k∈Z . ∴其定义域为{x|x≠2πk +4π，k∈Z }，即定义域关于原点对称. （2）f （-x ）=)2cos(4)(sin 5)(cos 624x x x ---+-=f （x ），则y=f （x ）对于定义域内任意自变量恒成立.故y=f （x ）为偶函数.（3）f （x ）=1cos 2)1cos 3)(1cos 2(sin cos 1cos 5cos 62222224---=-+-x x x x x x x =3cos 2x-1. {x|x≠2πk +4π，k∈Z }. 其值域为{y|-1≤y≤2且y≠21}.。

§3 二倍角的三角函数A组1.若tan α=3,则的值等于()A.2B.3C.4D.6解析:=2tan α=6.答案:D2.等于()A.-2cos 5°B.2cos 5°C.-2sin 5°D.2sin 5°解析:原式==(cos 50°-sin 50°)=2=2sin(45°-50°)=-2sin 5°.答案:C3.cos·cos·cos·cos的值为()A. B. C. D.解析:乘以,利用倍角公式化简得.答案:D4.(2016山东济南高三月考)已知π<α<2π,化简的结果为()A.sinB.-sinC.cosD.-cos解析:∵<α<2π,∴<π,∴cos α>0,cos<0,∴原式==-cos.答案:D5.若sin 2α=,0<α<,则cos的值为()A. B.- C.± D.解析:(sin α+cos α)2=1+sin 2α=,因为0<α<,所以sin α+cos α=,则cos(cos α+sin α)=.答案:D6θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=,则sin 2θ等于()A. B.- C. D.-解析:∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2(sin θcos θ)2=,∴(sin θcos θ)2=.∵θ为第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0,∴sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=.∴sin 2θ=2sin θcos θ=.答案:A7.函数f(x)=2cos2+sin x的最小正周期是.解析:∵f(x)=2cos2+sin x=1+sin,∴T==2π.答案:2π8.定义运算a b=a2-ab-b2,则sin cos=.解析:原式=sin2-sin·cos-cos2=-cossin=-.答案:-9.已知π<α<,化简:.解:原式=,∵π<α<,∴,∴cos<0,sin>0.∴原式==-=-cos.10f(x)=2cos x(sin x-cos x),x∈R.(1)求函数f(x)图像的对称中心;(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.解:(1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin-1.令2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,因此,函数f(x)的图像的对称中心为,k∈Z.(2)因为f(x)=sin-1在区间上为增函数,在区间上为减函数,又f=-1,f-1,f sin-1=-cos-1=-2,故函数f(x)在区间上的最大值为-1,最小值为-2.B组1.可化简为()A.1B.-1C.cos xD.-sin x 解析:原式=====1.答案:A2.若cos θ=-,θ是第三象限的角,则=()A. B.- C. D.-2解析:=,因为cos θ=-,且θ是第三象限的角,所以sin θ=-,故=-2.答案:D3.若=-,则cos α+sin α的值为.解析:∵==-(cos α+sin α)=-,∴cos α+sin α=.答案:4.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点A,则sin 2α=.(用数值表示)解析:由已知得x A=-,从而由三角函数的定义可知sin α=,cos α=-,所以sin 2α=2sin αcosα=2×=-.答案:-5.若<β<α<π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin α+cos α的值为.解析:由题意得0<α-β<,π<α+β<π,则sin(α-β)=,cos(α+β)=-,∴sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)·cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-, ∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=.又sin α+cos α=sin>0,∴sin α+cos α=.答案:6f(x)=cos 2x-2a(1+cos x)的最小值为-,则a=.解析:f(x)=cos 2x-2a cos x-2a=2cos2x-2a cos x-2a-1,令t=cos x,则-1≤t≤1,函数f(x)可转化为y=2t2-2at-2a-1=2-2a-1,当>1,即a>2时,当t=1时,y min=2-2a-2a-1=-,解得a=,不符合a>2,舍去;当<-1,即a<-2时,当t=-1时,y min=2+2a-2a-1=1≠-,不符合题意,舍去;当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,当t=时,y min=--2a-1=-,解得a=-2±,因为-2≤a≤2,所以a=-2+.综上所述,a=-2+.答案:-2+7.已知sin α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos的值.解:∵0<α<,∴cos α=,∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.若0<α+β<,∵sin(α+β)<sin α,∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.又,∴cos.8a=,b=(cos x,-1).(1)当a∥b时,求2cos2x-sin 2x的值;(2)求f(x)=(a+b)·b在上的值域.解:(1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0,∴tan x=-,∴2cos2x-sin 2x=.(2)由题意知a+b=,∴f(x)=(a+b)·b=(sin x+cos x)·cos x+×(-1)=sin x cos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin,∵-≤x≤0,∴-≤2x+,∴-1≤sin,∴-≤f(x)≤,∴函数f(x)在上的值域为.。