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第十五周教案第一、二课时回顾与思考教学目标（一）教学知识点 1.证明的必要性，了解证明的书写格式.2.了解定义、命题、公理和定理的含义.3.平行线的性质定理和判定定理.4.三角形的内角和定理及推论.（二）能力训练要求1.理解证明的含义.2.通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论.3.掌握用综合法证明的格式.体会证明的过程要步步有依据.4.通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用.5.通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用.（三）情感与价值观要求：通过学生回顾与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而发展他们的空间观念.教学重点1.平行线的性质定理和判定定理的应用.2.三角形内角和定理及其推论的应用.3.证明的步骤及书写格式.教学难点证明过程的书写. 教学方法自学，小组讨论法.教学过程Ⅰ.巧设问题情境，引入课题：前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？如何证明呢？今天我们就来对此进行回顾与思考.Ⅱ.回顾与思考：同学们先独立思考下列问题，然后以小组为单位进行讨论，回顾本章的内容.1.直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？2.请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理.3.什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么关系？你会证明它们吗？4.三角形内角和定理怎样证明？三角形的外角与内角有什么关系？5.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤.（学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决）如：两棵一样高的树，但相距很远，当你站在其中一棵树旁边时，显得它很高，而另一棵较低. 直观看，图6－69（1）长，图6－69（2）短，实际上是一样长的.定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定：命题呢，就是判断一件事情的句子.公理：是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题.即公认的真命题.定理是经过推理的过程得到的真命题.在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行.如果两条直线平行时，则同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的.这两类命题的条件和结论正好相反两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件. 公理也是.同学们讨论得很好，这两类命题的关系如下图你们会证明它们吗？会.主要利用平行线的性质公理证明其性质.利用平行线的判定公理证明判定定理. 很好.接下来看问题4、5. 证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.与它不相邻的内角关系是：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.证明一个命题是真命题的基本步骤是：（1）根据题意，画出图形.（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.在证明时需注意：（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来.（2）证明中的每一步推理都要有根据. 同学们讨论得真棒，通过分组活动，解决了具有能反映本章内容的一串问题.现在来梳理一下本章的知识结构图. 好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容.Ⅲ.课堂练习（一）课本P203复习题A组1~7图6－70 图6－71 图6－721.将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图6－70的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？答案：能.证明：∵四边形ABCD是正方形（已知）∴∠DAB=90°（正方形的性质）∵∠DAE=30°（已知）∴∠EAB=60°（等式性质）∵∠AEF=120°（已知）∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质）∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）2.已知，如图6－71，直线a,b被直线c所截，a∥b. 求证：∠1+∠2=180°证明：∵a∥b（已知）∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠3=∠2（对顶角相等）∴∠1+∠2=180°（等量代换）3.已知，如图6－72，∠1+∠2=180°, 求证：∠3=∠4.证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）∠1+∠2=180°（已知）∴∠1+∠5=180°（等量代换）∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）4.回答下列问题（1）三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？（2）一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？（3）一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？最小角不会大于多少度？答案：（1）是不一定（2）一个一个（3）如果一个三角形的最大角小于60°，则这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°. 最小角不会大于60°.图6－73 图6－74 图6－75（1）（2）5.“作一个立方体使它的体积等于已知立方体的2倍”，这是数学史上三个著名问题之一.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出这样的立方体的.在探索这一问题的过程中，有人曾利用过如图6－73所示的图形.其中AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，2PD=P A.如果∠A=α，那么∠ABP和∠PCD等于多少？解：∵AC⊥BD（已知）∴∠APB=90°（垂直的定义）∵∠A+∠APB+∠ABP=180°（三角形的内角和定理）∠A=α∴∠ABP=90°－α（等式的性质）∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）∴∠ABC+∠BCD=180°（等式的性质）∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）∵∠A=α（已知）∴∠PCD=α（等量代换）6.已知，如图6－74，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE.证明：∵DE∥BC（已知）∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠EGH是△FBG的一个外角（已知）∴∠EGH>∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠EGH>∠ADE（等量代换）7.已知，如图6－75，直线AB∥ED. 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.（本题有多种证法.）证法一：（如图6－75（1））过点C作CF∥AB.∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥ED（已知）∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）即：∠BCD=∠ABC+∠CDE证法二：（如图6－75（2）），延长BC交DE于F点∵AB∥DE（已知）∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）Ⅳ.课时小结：本节课我们复习了第六章“证明（一）”的主要内容.大家要掌握证明的基本步骤，要会灵活添加辅助线，把条件和结论联系起来.还要会应用平行线的性质，判定及三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题.教学反思：第3、4课时第六章证明一、选择题1.下列语句中，是命题的是( )A.两点确定一条直线吗？ B.在线段AB上任取一点 C.作∠A的平分线AM D.两个锐角的和大于直角2.下列命题中，属于定义的是( )A.两点确定一条直线 B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 C.两直线平行，内错角相等 D. 同角或等角的余角相等3.下列命题中，是真命题的是( ) A.内错角相等 B.同位角相等，两直线平行C.互补的两角必有一条公共边D.一个角的补角大于这个角4.下列命题中，假命题是( ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.已知直线a、b、c，若a ⊥b，a∥c，则b⊥c C.互补的角是邻补角 D.邻补角是互补的角5.下列命题中，不正确的是( ) A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C.两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行6.如图1，可以得到DE∥BC的条件是( )图1 图2 图3 图4 图5A.∠ACB=∠BAC;B.∠ABC+∠BAE=180°C.∠ACB+∠BAD=180;D.∠ACB=∠BAD7.如图2，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件:(1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，其中能判定a ∥b 的条件是( )A.(1)(3)B.(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)8.如图3，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( )A.AD ∥BCB.AB ∥CDC.∠3=∠4D.∠A =∠C9.如图4，AB ∥CD ，则下列结论成立的是( )A.∠A +∠C =180°B.∠A +∠B =180°C.∠B +∠C =180°D.∠B +∠D =180°图6 图7 图8 图9 图1010.如图5，∠B =70°，∠DEC =100°，∠EDB =110°，则∠C 等于( )A.70°B.110 °C.80°D.100°11.如图6，下列推理正确的是( ) A.∵MA ∥NB ，∴∠1=∠3 B.∵∠2=∠4，∴MC ∥NDC.∵∠1=∠3，∴MA ∥NBD.∵MC ∥ND ，∴∠1=∠312.如图7，AB ∥CD ，∠A =25°，∠C =45°，则∠E 的度数是( ) A.60°B.70°C.80° D.65°13.已知，如图8，△ABC 中，∠B =∠DAC ，则∠BAC 和∠ADC 的关系是( )A.∠BAC ＜∠ADCB.∠BAC =∠ADCC.∠BAC ＞∠ADCD.不能确定14.对于△ABC ，下列命题中是假命题的为( )A.若∠A +∠B =∠C ，则△ABC 是直角三角形B.若∠A +∠B ＞∠C ，则△ABC 是锐角三角形C.若∠A +∠B ＜∠C ，则△ABC 是钝角三角形D.若∠A =∠B =∠C ，则△ABC 是斜三角形15.在△ABC 中，已知∠A +∠C =2∠B ，∠C －∠A =80°，则∠C 的度数是( )A.60°B.80°C.100°D.120°16.如图9，∠A 、∠DOE 和∠BEC 的大小关系是( ) A.∠A ＞∠DOE ＞∠BECB.∠DOE ＞∠A ＞∠BECC.∠BEC ＞∠DOE ＞∠AD.∠DOE ＞∠BEC ＞∠A17.如图10，∠B =∠C ，则∠ADC 与∠AEB 的关系是( )A.∠ADC ＞∠AEBB.∠ADC =∠AEBC.∠ADC ＜∠AEBD.不能确定二、填空题1.命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________;命题“直角都相等”的条件是_____________，结论是________________;“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是_____命题，可举出反例：____ .2.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，则∠C =________.3.△ABC 中，若∠A =30°，∠B =21∠C ，则∠B =________，∠C =________. 4.如图1，点D 在△ABC 边BC 延长线上，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，∠B =50°，∠CFD =60°，则∠ACB =________.5.如图2，已知AB ∥CD ，∠1=65°，∠2=45°，则∠ADC =________.图1 图2 图3 图4 图 56.如图3，若AB ∥EF ，BC ∥DE ，则∠B +∠E =________.7.如图4，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据.(1)∠1=∠2，_________. (2)∠A =∠3，_________.(3)∠ABC +∠C =180°，________.8.如图5，直线EF 分别交AB 、CD 于G 、H .∠1=60°，∠2=120°，那么直线AB 与CD 的关系是________，理由是：_______________________.三、解答题1.指出下列命题的题设和结论：(1)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.(3)同一个角的补角相等.2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：(1)平行于同一直线的两条直线平行.(2)同角的余角相等.(3)绝对值相等的两个数一定相等.3.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.(1)若a 2＞b 2，则a ＞b . (2)同位角相等，两直线平行. (3)一个角的余角小于这个角.4.（1）已知：如图6，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC . 求证：AB ∥CD .如图6如 图7 如图8 如图9 如图10（1）（2）（2）.已知：如图7，AD 是一条直线，∠1=65°，∠2=115°.求证：BE ∥CF .5.已知：如图8，∠1=∠2，∠3=100°，∠B =80°.求证：EF ∥C D.6、 已知：如图9，∠B=∠C.AD ∥BC ，求证：AD 平分∠EAC ；7、（1）如图10（1），AB ∥EF. 求证：（1）∠BCF=∠B+∠F.（2）当点C 在直线BF 的右侧时，如图（2），若AB ∥EF ，则∠BCF 与∠B ，∠F 的关系如何？请说明理由.8.已知：如图11，AD ∥BC ，∠B =∠D .求证:AB ∥CD .如图11 如图12 如图13 如图14 如图159.已知：如图12，∠1=∠B ，∠A =32°.求：∠2的度数.10.已知：如图13，AD ∥BC ，∠ABC =∠C ，求证：AD 平分∠EA C.11、 如图14，写出所有能推出直线AB ∥CD 的条件.12、 如图15，已知∠A=∠1，∠E=∠2，AC ⊥CE ，求证：AB ∥DE.第5课时八年级下第一章复习卷1．下列不等式一定成立的是( ) A.5a ＞4a B.x +2＜x +3 C.－a ＞－2a D.a a 24> 2．不等式6－2x ＞0的正整数解是________.3． 当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 4．若不等式组⎩⎨⎧>≤11x m x 无解，则m 的取值范围是( )A.m ＜11 B.m ＞11 C.m ≤11 D.m ≥15．当m ________时，不等式(2－m )x ＜8的解集为x ＞m-28. 6．解不等式(组)，并把它们的解集分别表示在数轴上(1)－2(x －3)＞1 (2)⎪⎩⎪⎨⎧-<-+≤-3314)3(265x x x x 7．画出函数y =3x +6的图象，并回答下列问题：（1）当x 为什么值时，y ＞0？（2）如果这个函数y 的值满足－6≤y ≤6，求相应的x 的取值范围8．某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了(m －5)%(m ＞5)后，仍不低于原价，则m 的值应为________.9．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确。
第十五章Fourier级数教学目的：1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确2L为周期的函数的Fourier 级数是为周期的函数的Fourier级数的推广，并理解奇、偶函数的Fourier 级数和Fourier级数的收敛定理。
教学重点难点：本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数；难点是Fourier 级数的收敛性的判别。
教学时数：10学时§1 Fourier级数一．三角级数与正交函数系.1．背景：⑴波的分析：频谱分析 . 基频( ) . 倍频.⑵函数展开条件的减弱: 积分展开 .⑶中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.2.三角级数的一般形式: 一般的三角级数为. 由于,设, 得三角级数的一般形式3. 三角级数的收敛性:Th1 若级数收敛, 则级数在R 内绝对且一致收敛 .证用M判别法.4.三角函数正交系统:（1. ）内积和正交: 由R中的内积与正交概念引入.设函数和在区间上( R)可积 . 定义内积为.当时, 称函数和在区间上正交 .函数的正交性与区间有关 . 例如函数和在区间上并不正交( 因为) , 但在区间却是正交的 .（2）.正交函数系统: 标准正交系( 幺正系) , 完全系 .三角函数系统是区间上的正交系统 . 验证如下:, ;,对且,有和.该系统不是标准正交系, 因为, .因此, 三角函数系统是标准正交系. （与R中的坐标系比较）二.以为周期函数的Fourier级数：1．三角级数的系数与其和函数的关系：Th2 若在整个数轴上且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式，，证P642．Fourier系数和Fourier级数：Euler―Fourier公式：设函数在区间上（R）可积，称公式，，为Euler―Fourier公式. 称由Euler―Fourier公式得到的和为函数的Fourier系数. 并称以Fourier系数和为系数的三角级数为函数的Fourier级数, 记为～例1, . 求函数的Fourie r级数.解是上的奇函数, ;.因此, ～ .例2设函数满足条件( 称满足该条件的函数为反周期函数). 问这种函数在区间内的Fourier系数具有什么特性.解.而.因此, .时, , ;同理得.三.收敛定理:1. 按段光滑函数: .定义若的导函数在区间上连续, 则称函数在区间上光滑.若函数在区间上至多有有限个第一类间断点, 且仅在区间上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称是区间上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数在区间上按段光滑, 则⑴在区间上可积;⑵对, 都存在, 且有,( 用Lagrange中值定理证明)⑶在区间上可积 .2.收敛定理:Th3 设函数是以为周期的周期函数且在区间上按段光滑, 则在, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即,其中和为函数的Fourier系数. ( 证明放到以后进行) 系若是以为周期的连续函数, 在上按段光滑,且则的Fourier级数在内收敛于.3.函数的周期延拓:四.展开举例:例3 把函数展开为Fourier级数.解参阅例1 , 有例4展开函数.解; .函数在上连续且按段光滑, 又, 因此有.( 倘令, 就有,)例5设求函数的Fourier级数展开式. P67 .例1例6把函数展开成Fourie r级数. P68例2例7在区间内把函数展开成Fourier级数.练习1（2）（i）解法一( 直接展开) ;;.函数在区间内连续且按段光滑, 因此有, .由于, 该展开式在上成立.( 在该展开式中, 取得, ;取, . )解法二( 间接展开: 对例3中的展开式作积分运算) 由例3 , 在区间内有. 对该式两端积分, 由Fourier级数可逐项积分,有.为求得, 上式两端在上积分, 有,因此, , .§2 以为周期的函数的展开式一.以为周期的函数的Fourier级数:设函数以为周期, 在区间上(R )可积 . 作代换, 则函数以为周期. 由是线性函数, 在区间上(R )可积 .函数的Fourier系数为 . .,,～还原为自变量, 注意到, 就有～其中,,当函数在区间上按段光滑时, 可展开为Fourie r级数.註三角函数系是区间上的正交函数系统 .例1把函数展开成Fourier级数. P72例1二. 正弦级数和余弦级数:1.区间上偶函数和奇函数的Fourier级数:2.奇展开和偶展开:例2设, . 求的Fourier级数展开式. P74例2 例3把定义在上的函数( 其中之一展开成正弦级数.例4把函数在内展开成: ⅰ> 正弦级数; ⅱ>余弦级数.P76例4§3 收敛定理的证明Dini定理设以为周期的函数在区间上按段光滑, 则在每一点, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即,其中和为的Fourier系数.证明思路: 设～对每个, 我们要证明. 即证明.方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann—Lebesgue定理证明相应积分的极限为零.施证方案:1.写出的简缩形式. 称这一简缩形式为的积分形式, 或称为Dirichlet积分, 即.利用该表示式, 式可化为+ , 于是把问题归结为证明,和.这两式的证明是相同的, 只证第一式.2.为证上述第一式, 先利用三角公式建立所谓Dirichlet积分, 利用该式把表示为积分,即把表示为Dirichlet积分.于是又把上述1中所指的第一式左端化为.3.利用所谓Riemann —Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此,先证明Bessel不等式(P78预备定理1 ), 再建立Riemann —Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化为.4.把上式化为应用Riemann —Lebesgue定理的形式, 即令,则.为使最后这一极限等于零, 由Riemann —Lebesgue定理, 只要函数在区间上可积. 因此希望存在. 由函数在区间上按段光滑, 可以验证存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论.预备定理1 ( Bessel不等式) 若函数在区间上可积, 则有Bessel 不等式,其中和为函数的Fourier系数.证P78 .推论1 ( Riemann—Lebesgue定理) 若函数在区间上可积, 则有,.证P79 .推论2 若函数在区间上可积, 则有,.证P79.预备定理2 若是以为周期的周期函数, 且在区间上可积, 则函数的Fourie r级数部分和有积分表示式.当时, 被积函数中的不定式由极限来确定.证P80—81.Dirichlet积分: .证由三角公式,.Dini定理的证明: P81—82 .附註1.Parseval等式( 或称Ляпинов等式) 设可积函数的Fourie r级数在区间上一致收敛于, 则成立Parseval等式.证法一注意到此时函数在区间可积,由Bessel不等式, 有.现证对, 有.事实上, 令由一致收敛于,对对, 有, 因此,.即当时有.令, . 由的任意性, 有.综上即得所证 .证法二由一致收敛于, .而 .因此,.由双逼原理, 即得所证等式 .证法三利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书) , 有=.Parseval等式还可用公式( 其中、与、分别是函数和的Fourier系数（参阅吉林大学邹承祖等编《数学分析习题课讲义》上册P427）证明；也可用所谓卷积函数证明.Parseval等式的意义：设在幺正系下函数的Fourier系数为和，可见，；，；同理有; 其中和为函数的通常Fourier系数.于是, Parseva l等式即成为.注意到, 就有,这是勾股定理的推广, 即在坐标系中的勾股定理. 因此, 可称Parseval等式是无穷维空间中的勾股定理 .( 与三维空间中的勾股定理做比较) .2.Fourier级数与三角级数: Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数.一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数的Fourier级数) 的必要条件为:若三角级数为Fourier级数, 则数项级数收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数是收敛的三角级数(利用Dirichlet判别法), 由级数发散, 正弦级数不是Fourier级数.例证明: 当时, 三角级数在R内收敛, 但其和函数在区间上不是( R )可积的 .证由Dirichlet判别法, 可得该级数在内收敛. 反设和函数在区间在上( R )可积, 则该三角级数是函数的Fourier级数 . 由于也在上( R )可积, 则有Bessel不等式.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由, 矛盾. 可见, 函数在区间在上不是( R)可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier级数.一个三角级数是否为Fourier级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier级数. 近代或现代有些积分的建立,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP积分( Symmetric Cesaro Pe rron积分) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier级数.第十六章多元函数的极限与连续教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。
第十五章 Fourier 级数1 Fourier 级数上一章讨论的幂级数实质上是一种“解析”函数(即其存在任意阶导数), 这种函数类组成了一个无穷维线性空间, 21,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 是它的一个线性无关的 无穷子集, 而幂级数就是这个集元素的线性组合, 但是这种函数太少(条件太强), 下面我们讨论的是种更广泛的函数项级数,它是由三角函数列所产生的三角级数.一、三角级数1、背景与三角级数形式在某些实验和应用中，常碰到一类周期运动，简谐振动，它可用正弦函数 sin()y A x ωϕ=+表示，A —振幅，ϕ—初相角，ω—角频率，周期T απω= 较复杂的周期运动则是由几个简谐振动叠加sin()k k k y A k x ωϕ=+ 1,2,k n =⋅⋅⋅11sin()n nk k k k k y y A k x ωϕ====+∑∑易见, k y 的周期为T k，1,2,k n =⋅⋅⋅，y 的周期仍为T , 对无穷多个简谐振动叠加就 可得到函数项级数01sin()n n n A A n x ωϕ∞=++∑ (1)若上述级数收敛, 则它所描述的运动是更一般的周期运动. 下面仅对1ω= 讨论, 由于sin()sin cos cos sin n n n nx nx nx ϕϕϕ+=+,01sin()n n n A A nx ϕ∞=++∑01(sin cos cos sin )n n n n n A A nx A nx ϕϕ∞==++∑ 记002a A = sin n n n A a ϕ= cos n n n Ab ϕ= 1,2,n =⋅⋅⋅ 故级数(1)可写成01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ (2) 它是由三角函数列1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,cos ,sin x x x x nx nx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅所产生的一般形式的三角级数. 易见, 若级数(2)收敛, 则其和函数一定是以2π为周期的周期函数.我们下面主要讨论两个问题:1) 什么样的函数可用三角级数表示?2) 如果可表示, 系数0,,n n a a b 如何确定?2、 三角级数的收敛性定理1 若级数01||(||||)2n n n a a b ∞=++∑收敛，则级数(2)在整个R 上绝对且一致收敛.二、三角函数正交系统1、内积与正交如3R 中， 123(,,)x x x x =， 123(,,)y y y y =，112233,x y x y x y x y =++， ,0x y x y ⊥⇔=区间[,]a b 上所有Riemann 可积函数按通常的加法与数乘运算构成线性空间, 记作[,]R a b ，定义[,]R a b 中的内积为,()()ba f g f x g x dx 〈〉=⎰，,[,]f g R ab ∈ 若函数,f g 满足,0f g 〈〉=，则称,f g 在[,]a b 上正交, 简称f 与g 正交.2、正交函数系若函数列{}[,]n f R a b ⊂, 0, ,,,0, .i j i j f f i j ≠⎧〈〉=⎨≠=⎩ 则称{}n f 为[,]R a b 中的正交系. 进一步, 如果还有,1i i f f 〈〉=, 1,2i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅成立, 那么称{}n f 为[,]R a b 中的标准正交系.3、 三角函数正交系三角函数系{1,cos ,sin ,cos 2,sin 2}x x x x ⋅⋅⋅为区间[,]ππ-上的正交系, 事实上1,cos cos 0kx kxdx ππ-==⎰; 1,sin sin 0kx kxdx ππ-==⎰; sin ,cos sin cos 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ ,1,2k h =⋅⋅⋅对,1,2k h =⋅⋅⋅且k h ≠有sin ,sin sin sin 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ cos ,cos cos cos 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ 1([cos()cos()])2k h x k h x dx ππ-=++-⎰ 同时 1,12π=，22sin cos kxdx kxdx πππππ--==⎰⎰.但上述系统不是标准正交系, 而,,}x x nx nx ⋅⋅⋅ 为一标准正交系.三、以2π为周期的函数的Fourier 级数1、三角级数的系数与其和函数的关系定理 2 若在整个R 上, 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，且等式右边级数 一致收敛，则有如下关系式成立:1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅》2、 F ourier 系数与Fourier 级数设函数f 在[,]ππ-上可积且以2π为周期，称公式1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅为Euler Fourier -公式，并称由此得到的,n n a b 为f 的Fourier 系数，同时称以Fourier 系数,n n a b 为系数的三角级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 为函数f 的Fourier 级数，记为01()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 记号“~”表示上式右边是左边函数的Fourier 级数.由定理2知, 若右边三角级数在R 上一致收敛于和函数f , 则此三角级数就是f 的Fourier 级数，此时“~” 应该就是“=”，但从f 本身出发由Euler Fourier -公式得到f 的Fourier 系数及Fourier 级数是否就是f ?注 由积分值唯一，f 只能有一种形式的Fourier 级数，而同一Fourier 级数可以 表示不同的函数，也就是说g f ≠，但g 与f 可能有完全相同的Fourier 级数.下面我们需要讨论f 的Fourier 级数是否收敛? 若收敛, 又收敛于什么函数? 其与f 又有什么关系? 这就是收敛性问题.四、收敛定理1、按段光滑函数若f 的导函数f '在[,]a b 上连续，则称f 为[,]a b 上光滑函数; 若f 在[,]a b 上至多有有限个第一类间断点, 且f '在[,]a b 上仅有有限个点不连续且为第一类间断点, 则称f 在[,]a b 上按段光滑.若f 在[,]a b 上按段光滑, 则1) f 在[,]a b 上可积;2) [,]x a b ∀∈, (0)f x ±存在, 且0()(0)lim (0)t f x t f x f x t+→+-+'=+ 0()(0)lim (0)t f x t f x f x t -→+--'=- 3) f '在[,]a b 上可积.2、收敛定理定理 3 设函数f 是以2π为周期的周期函数, 且在[,]ππ-上按段光滑, 则 [,]x ππ∀∈-，f 的Fourier 级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 收敛于f 在点x 处的左右极限的算术平均值，即(0)(0)2f x f x ++-=01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑， 其中,n n a b 为函数f 的Fourier 系数.推论 若f 是以2π为周期的连续函数，且在[,]ππ-上按段光滑，则f 的Fourier 级数在R 上收敛于f .3、 函数的周期延拓在讨论函数的Fourier 展式时，常常只给出函数f 在(,]ππ-(或[,)ππ-)上的解析表达式，此时我们可以理解为它是定义在整个数轴上以2π为周期的函数，即在(,]ππ-以外的部分可按f 在(,]ππ-上的关系式作周期延拓，即作(), (,], ˆ()(2), ((21),(21)],f x x f x f x k x k k πππππ∈-⎧=⎨-∈-+⎩ 1,2,k =±±⋅⋅⋅.五、一些例子例 1 设, 0,()0,0,x xf xxππ≤≤⎧=⎨-<<⎩求f的Fourier展式.例 2 将函数()||f x x=，[,]xππ∈-展成Fourier级数.注设f是以2π为周期的可积函数.1) 若f为奇函数，则其Fourier级数中仅含正弦函数sin的项，而若f为偶函数，其Fourier级数仅含常数及余弦函数cos的项,2)1()cosna f x nxdxπππ-=⎰21()cosccf x nxdxππ+=⎰0,1,2n=⋅⋅⋅1()sinnb f x nxdxπππ-=⎰21()sinccf x nxdxππ+=⎰1,2n=⋅⋅⋅例 3 将函数22, 0,()0, ,, 2,x x f x x x x ππππ⎧<<⎪==⎨⎪-<≤⎩展成Fourier 级数.例 4 设函数f 满足：()()f x f x π+=-，问此函数在(,)ππ-内的Fourier 级数 具有什么性质.六、Fourier 级数的一致收敛性定理 4 设函数f 在[,]ππ-上连续，以2π为周期，且其导函数可积，则f 的Fourier 级数一致收敛于f .推论 若f 在[,]ππ-上可积，以2π为周期，则f 的Fourier 级数总可逐项积分，且所得到的级数一致收敛 (不论f 的Fourier 级数是否收敛). 例 5 将展开式11sin 2(1)n n nx x n∞+==-∑ ()x ππ-<<逐项积分.2 以2l 为周期的函数展开式一、以2l 为周期的函数的Fourier 级数上一节讨论的函数f 是以2π为周期的或者是定义在(,]ππ-上, 作以2π为周期的周期延拓函数, 本节主要讨论以2l 为周期的函数的Fourier 展式以及奇偶函数的Fourier 展开式.设函数()f x 以2l 为周期,在[,]l l -上可积,作代换l x t π=, 则函数()()lt F t f π=以2π为周期, 在[,]ππ-上可积(l x t π=为线性函数,可通过可积充要条件证明).函数()F t 的Fourier 系数为 1()cos n a F t ntdt πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅ 1()sin n b F t ntdt πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅ 01()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑ (还原成自变量x ) 注意到()()()l F t f t f x π==，t x lπ=, 则 01()()cos sin 2n n n a n n f x F t a x b x l l ππ∞==++∑ 其中 1()cos n a F t ntdt πππ-=⎰1()cos l l n f x xdx l lπ-=⎰， 0,1,2n =⋅⋅⋅ 1()sin n b F t ntdt πππ-=⎰1()sin l l n f x xdx l l π-=⎰， 1,2n =⋅⋅⋅ 若()f x 在[,]l l -上按段光滑，则f 可展成Fourier 级数, 且由收敛性定理知(0)(0)2f x f x ++-=01cos sin 2n n n a n n a x b x l l ππ∞=++∑ 注 可以验证三角函数系22{1,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin }n n x x x x x x l l l l l lππππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 是[,]l l -上的正交函数系.例 1 将函数0, 50, ()3, 05x f x x -<<⎧=⎨≤<⎩展成Fourier 级数.注2 我们可将任一有限区间上定义的按段光滑函数展成Fourier 级数 (可首先 进行周期延拓) 此条件比幂级数展开条件弱得多.二、正弦级数与余弦级数1、正弦级数与余弦级数设f 是以2l 为周期的偶函数或是定义在[,]l l -上的偶函数，则在[,]l l -上，()cos n f x x l π为偶函数，()sin n f x x lπ为奇函数，因而f 的Fourier 系数为 02()cos l n n a f x xdx l lπ=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅ 0n b = 1,2n =⋅⋅⋅因而f 的Fourier 级数仅有余弦函数的项，即01()~cos 2n n a n f x a x lπ∞=+∑ 此级数称为余弦级数. 类似地, 若f 为[,]l l -上的奇函数(以2l 为周期), 则可得1()~sinn n n f x b x lπ∞=∑ 其中 02()sin l n n b f x xdx l lπ=⎰，1,2n =⋅⋅⋅ 称之为正弦级数.例 2 将()|sin |f x x =，x ππ-≤<, 展成余弦级数.2、奇展开与偶展开若f 仅在[0,]π([0,]l )上定义, 此时我们可将f 偶延拓(或奇延拓)到[,]ππ- (或[,]l l -)上，然后再根据前面的方法求其余(正)弦级数 例3 将()sin f x x =，[0,]x π∈分别展成正余弦级数. .例 4 将[0,]π上的函数 1 0 1() 20x h f x x h h x π<<⎧⎪⎪==⎨⎪<≤⎪⎩(0)h π<<展成正弦级数.例 5 将()f x x =在(0,2)内展成 1) 余弦级数; 2) 正弦级数; 3) 一般级数.注 同一函数在同一区间上可用正弦级数、余弦级数与一般级数分别表示.例 6 将2()f x x =(0)x π<<分别展成正弦和余弦级数.例 7 如何将定义在[0,]2π上的可积函数f 延拓到(,)ππ-上，使得其Fourier 级数剧院形式211cos(21)n n a n x ∞-=-∑小 结1、将[,]a b 上可积函数f 展为Fourier 级数最基本方法是 i) 按系数公式计算系数1()cos b n a n a f x xdx l l π=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin b n a n b f x xdx l lπ=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅ 其中2b al -=; ii) 将系数代入级数 01()~cossin 2n n n a n n f x a x b x l lππ∞=++∑; iii) 根据收敛性定理判定可改为等号的范围. 若f 在[,]a b 上分段光滑，则其Fourier 级数的和函数为() (,)(0)(0) (,) 2()(0)(0) 2f x f x a b f x f x x a b f S x f a f b x a b ∈⎧⎪++-⎪∈⎪=⎨++-⎪=⎪⎪⎩的连续点为的间断点或 呈周期状 其它 特别地，若f 为[,]l l -上的奇函数，则0n a =, 0,1,2n =⋅⋅⋅; 若f 为[,]l l -上的偶函数，则0n b =，1,2n =⋅⋅⋅; 若f 仅在[0,]l 上有定义, 则可将f 作奇偶延拓, 得到相应的正弦或余弦级数.注 可积函数在指定区间上的Fourier 展式是唯一的，而三角级数是无限多 (其系数不要求是此区间上的Fourier 系数).2、由Fourier 级数的定义和积分性质知Fourier 级数具有可加性.3、由Fourier 级数的定义及正余弦函数的正交性，三角多项式01cos sin 2nk k k a a kx b kx =++∑ 在[,]ππ-上的Fourier 级数就是其本身. 4、若f 在[,]ππ-上可积，则f 有Fourier 级数01()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑则不论此级数是否收敛(或收敛,也不论是否收敛于f ), 都可以逐项积分01()(cos sin )2xx n n n a f t dt a nt b nt dt ∞=-=+∑⎰⎰, [,]x ππ∈-.并且上式就是0()()2xa x f t dt ϕ=-⎰在[,]ππ-上的Fourier 展式. 5、若f 在[,]ππ-上连续, 按段光滑, ()()f f ππ=-，则01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑. [,]x ππ∈-.而逐项求导之后，可得到f '的Fourier 级数()~(cos sin )n n n f x a nx b nx ∞=''+∑若f '仍分段光滑，则f '的Fourier 级数收敛于(0)(0)2f x f x ''++-，(,)x ππ∈-.若f '还是连续的，则1()(cos sin )n n n f x a nx b nx ∞=''=+∑ (,)x ππ∈-.3* 收敛定理的证明定理 (收敛定理) 设f 以2π为周期且在[,]ππ-上按段光滑，则在[,]x ππ∈-处，f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 处的左右极限的平均值, 即(0)(0)2f x f x ++-01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞==++∑ 其中,n n a b 为f 的Fourier 系数.预备定理1 (Bessel 不等式) 若f 在[,]ππ-上可积，则2222011()2n n n a a b f x dx πππ∞-=++≤∑⎰.推论1 (Riemann Lebesgue -定理) 若f 为可积函数, 则lim ()cos 0nf x nxdx ππ-=⎰; lim ()sin 0nf x nxdx ππ-=⎰.注 由预备定理1 知220nn a b +→, 进而0,0n n a b →→. 推论2 若f 为可积函数, 则01lim ()sin()02n f x n xdx π+=⎰, 01lim ()sin()02n f x n xdx π-+=⎰.预备定理2 若f 是以2π为周期的函数, 在[,]ππ-上可积, 则其Fourier 级数的 部分和()n S x 写成1sin()12()()2sin2n n tS x f x t dt t πππ-+=+⎰当0t =时，被积函数中的不定式由极限01sin()12lim22sin2t n tn t →+=+确定.例 1 直接证明Riemann Lebesgue -定理. 若f 在[,]a b 上可积，则lim ()sin lim ()cos 0b baaf x xdx f x xdx λλλλ→∞→∞==⎰⎰.例2 证明：若,f g 在[,]ππ-上可积，且它们的Fourier 级数在[,]ππ-上分别 一致收敛于f 和g ，则0111()()2n n n n n a f x g x dx a b ππααβπ∞-==++∑⎰，其中,n n a b 为f 的Fourier 系数，,n n αβ为g 的Fourier 系数.注 若g f =, 则有若f 的Fourier 级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则Parseval 等式成立2222011()2n n n a f x dx a b πππ∞-==++∑⎰(Bessel 不等式中等号成立)例 3 证明：若三角级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数,n n a b 满足33sup{||,||}n n nn a n b M ≤,则上述三角级数收敛且其和函数具有连续导数.例 4 设周期为2π的可积函数(),()x x ϕψ满足()()x x ϕψ=-，则,ϕψ的Fourier 系数,,,n n n n a b αβ有何关系?例5 设()f x 是以2π为周期的可积函数，在[,]ππ-上的Fourier 级数为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑证明：平移后的函数()f x h +的Fourier 级数为01()~cos sin 2n n n a f x h nx nx αβ∞=+++∑其中 cos sin n n n a nh b nh α=+，0,1,2n =⋅⋅⋅cos sin n n n b nh a nh β=-，1,2n =⋅⋅⋅例 6 将下列函数展为Fourier 级数. 1. ()x f x e = x ππ-≤<;2. 0() 0bx x f x ax x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩.例 7 将下列函数展为指定的Fourier 级数. 1) ()2xf x π-=，[0,]x π∈ 正弦级数;2) ()f x x =，0x l ≤≤ 别展为正弦余弦级数.例 8 证明：在[0,]π上, 2221cos 1(362)12n nx x x n ππ∞==-+∑.。
131第十五章 Fourier 级数教学基本要求:1.熟练掌握函数的Fourier 级数展开;2.正确理解Fourier 级数的分析性质；3.了解Fourier 级数收敛性的证明．§1 Fourier 级数教学目的:理解三角函数系及其正交性、会求解以π2为周期的按段光滑的函数的傅里叶展开式，识记傅里叶系数公式及收敛定理. 教学内容:1.三角函数系及其正交性;2.三角级数及收敛定理;3.傅里叶系数公式、函数的傅里叶级数及其收敛定理（不含证明）;4.以π2为周期的函数的傅里叶展开式的求解 教学重点:傅里叶系数公式、函数的傅里叶级数及其收敛定理 以π2为周期的函数的傅里叶展开式的求解 零．引言在科学试验与工程技术经常碰到一种周期运动, 比如单摆在振幅很小时的摆动,交流电的电流、电压等都可用正弦函数 )sin(ϕω+=x A y 来描述, 这种运动也常称为简谐运动, 若干个简谐运动n k x k A y k k k ,,2,1,)sin( =+=ϕω的迭加则可描述更复杂的周期运动. 比如方波 就可看成无穷多个奇次正弦函数的迭加132型如∑∞=+1)sin(k k kkx Aϕ的函数项级数称为三角级数. 三角级数的理论不仅在函数概念起过很大作用,还有许多数学上的基本概念来自三角级数, 这一理论一直是现代数学的一个重要分支.一． 三角级数·正交函数系：1. 三角级数的一般形式: 一般的三角级数为 ∑∞=++10)sin(n n nx n AA ϕω.由于 nx nx nx n n n sin cos cos sin )sin(ϕϕϕ+=+, 设 n n n n n n b A a A a A ===ϕϕcos , sin , 20, 得三角级数的一般形式∑∞=++1*), sin cos 2n n n nx b nx a a它是由三角函数列(或三角函数系)133,sin ,cos , ,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x所产生.2. 三角级数的收敛性:定理1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛, 则级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在R 内绝对且一致收敛 .证 ( 用M 判别法).由于nx b nx a n n sin cos +≤n n b a +二. 三角函数正交系统:1. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上黎曼( R )可积. 定义内积为⎰=><badx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时,称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交.函数的正交性与区间有关.例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的. 2. 正交函数系统: 标准正交系, 完全系. 3. 三角函数正交系统:三角函数系, sin , cos , , 2sin , 2cos , sin , cos , 1 nx nx x x x x是区间] , [ππ-上的正交系统. 验证如下:⎰-=>=<ππ0cos cos , 1 nxdx nx , , 2 , 1 , 0sin sin , 1 ==>=<⎰-n nxdx nx ππ ;⎰-=>=<ππnxdx mx nx mx cos sin cos ,sin 21[]0)sin()sin(=-++⎰-dx x n m x n m ππ,, 2 , 1 , =n m ;对 , 2 , 1 , =n m 且n m ≠,有134>=< sin , sin nx mx ⎰-=ππ0 sin sin nxdx mx 和>=< cos , cos nx mx ⎰-=ππ0 cos cos nxdx mx .该系统不是标准正交系, 因为 ⎰-=πππ21dx , ⎰-=ππnxdx 2sin ⎰-=πππnxdx 2cos .因此,三角函数系} , sin , cos, 2sin, 2cos, sin, cos, 21{ πππππππnxnx xxxx是标准正交系. 与R 3中的坐标系} , , {k j i 比较 ） 三. 以π2为周期函数的Fourier 级数：1． 三角级数的系数与其和函数的关系： Th2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++1, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n证 [1]P642． Fourier 系数和Fourier 级数：Euler ―Fourier 公式：设函数)(x f 在区间] , [ππ-上（R ）可积，称公式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n为Fourier 公式. 称由Fourier 公式得到的n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数.并称以Fourier 系数n a 和n b 为系数的三角级数∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 为函数)(x f 的Fourier 级数, 记为 )(x f ～∑∞=++1. sin cos 2n n n nx b nx a a135例1 设)(x f x =, ∈x ] , [ππ-. 求函数)(x f 的Fourier 级数. 解 由于)(x f 是] , [ππ-上的奇函数⇒=n a 0;=n b π1⎰⎰==-ππππ0sin 2sin nxdx x nxdx xn nxdx n n nx x n 2) 1 (cos 1cos 2100--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰πππ . 因此, )(x f ～ ∑∞=--11sin ) 1 (2n n nnx. 四. 收敛定理:1 按段光滑函数: .定义 若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续, 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在, 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f tx f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 )⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . 2. 收敛定理:Th3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x136的左、右极限的算术平均值, 即=-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a , 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明在§3中进行 )推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数,且在] , [ππ-上按段光滑, 则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f . 注: 若)(x f 是以π2为周期的函数,则π1=n a ⎰+π2cos )(c cnxdx x f ， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰+π2sin )(c cnxdx x f ， , 2 , 1=n其中c 为任意实数.3. 函数的周期延拓: 五. 展开举例:例5 把函数∈=x x x f , )(] , [ππ-展开为Fourier 级数.解 参阅例1 ,有⎩⎨⎧±=<<-=-∑∞=-., 0,, )(sin ) 1 (211πππx x x f n nx n n 例5 展开函数∈=x x x f , ||)(] , [ππ-. 解 0=n b ; ⎰==πππ02xdx a .⎰⎰-==ππππππ00sin 2sin 2cos 2|nxdx n nx x n nxdx x a n ===|02cos 2ππnx n ⎪⎩⎪⎨⎧-=-., 0 ,, 4)1(cos 222为偶数为奇数n n n n n πππ函数)(x f 在] , [ππ-上连续且按段光滑, 又)()(ππf f =-, 因此有137∑∞=---=12, )12()12cos(42||k k xk x ππ∈x ] , [ππ-. ( 若令π=x , 就有 ∑∞=-+=12)12(142k k πππ , ⇒ ∑∞==-122.8)12(1k k π ) 例4 设⎩⎨⎧<<-≤≤=. 0 , 0, 0, )(x x x x f ππ 求函数)(x f 的Fourier 级数展开式. [1]P66 E1.例5 . 2 , , , 0 , 0 , )(22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<=ππππx x x x x x f 把函数)(x f 展开成Fourier 级数. [1]P67 E2Ex [1]P70—71 1—8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的:理解以e 2为周期的函数的傅里叶系数公式及傅里叶展开式，理解函数展开成正弦级数、余弦级数或一般傅里叶级数的方法及收敛定理． 教学内容:1.以 2为周期的函数的傅里叶系数．公式及其傅里叶展开式;2.奇函数与偶函数的傅里叶级数、函数展开成正弦级数、余弦级数 教学重点:以 2为周期的函数的傅里叶系数．公式及其傅里叶展开式;奇函数与偶函数的傅里叶级数、函数展开成正弦级数、余弦级数一. 以l 2为周期的函数的Fourier 级数:设函数)(x f 以l 2为周期, 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =, 则函数) ()(πlt f t F =以π2为周期.由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间] , [ππ-上(R )可积.函数)(t F 的Fourier 系数为 . .138⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, , 2 , 1 , 0=n ；⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, , 2 , 1 =n )(t F ～∑∞=++1. sin cos 2n n n nt b nt a a 还原为自变量x , 注意到lxt x f tl f t F , )()()(ππ===, 就有)()(t F x f =～∑∞=++10 . sin cos2n n n lxn b l x n a a ππ 其中 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l l xt dx l xn x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n ； =n b ⎰-l l dx lx n x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourier 级数. 注： 三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos , 1 { lxn l x n lxlxππππ是区间] , [l l -上的正交函数系统 . 例1 把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50, 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. [1]P94 E1二. 正弦级数和余弦级数:1. 区间] , [ππ-上偶函数和奇函数的Fourier 级数:2.奇展开和偶展开:例2 设|sin |)(x x f =, ππ≤≤-x . 求f 的Fourier 级数展开式. [1] P74 E2 例3 把定义在] , 0 [π上的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<=., 0 , , 21 , 0 , 1 )(πx h h x h x x f ( 其中之一) 0π<<h139展开成正弦级数. [1] P75 E3例1 把函数x x f =)( 在) 2 , 0 (内展开成: ⅰ>正弦级数; ⅱ> 余弦级数. [1]P99 E4 Ex [1] P77 1—6 .§3 收敛定理的证明教学目的：理解贝塞尔不等式，黎曼——勒贝格定理、预备定理2，了解傅里叶级数收敛定理的证明． 教学内容:贝塞尔不等式、黎曼——勒具格定理、预备定理2; 函数傅里叶级数收敛定理的证明 Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑,则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1++=-++∑∞= , 其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++1. sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.施证方案:1. 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式. 称这一简缩形式为 )(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分, 即140⎰-++=πππdt t tn t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n - =2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t tn t x f 2sin2212sin )(1=2)0(+x f ⎰++-ππ02sin 2212sin )(1dt t t n t x f +2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin )(1ππdt t t n t x f ,于是把问题归结为证明 [∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dtt tn t x f ]0=,和 [∞→n lim 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin )(1ππdtt tn t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 2. 为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n 建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分, 即把2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分1412)0(+x f =⎰++ππ02sin2212sin)0(1dt t t n x f . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t tn t x f ]= ∞→=n lim []⎰++-+ππ02sin2212sin )()0(1dt ttn t x f x f . 3. 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零.为此,先证明Bessel 不等式([1]P78预备定理1 ), 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 4. 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim []⎰++-+ππ02sin2212sin )()0(1dt t tn t x f x f ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→πϕπ0021sin )(1lim tdt n t n . 为使最后这一极限等于零,由Riemann — Lebesgue 定理,只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式142∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x fb a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数. 证 [1]P78.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n ,⎰-∞→=ππ0sin )(lim nxdx x f n .证 [1]P79.推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有⎰=+∞→π00)21sin()(limxdx n x f n , ⎰-∞→=+00)21sin()(lim πxdx n x f n .证 [1]P79 — 80.预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 在区间] , [ππ-上可积,则函数)(x f 的Fourie r 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim0+=+→n t tn t 来确定.证 [1]P80— 81.143Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t t n . 证 由三角公式2sin 2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n , ⇒⎰+ππ02sin 212sin 1dt t t n =(⎰⎰--=+ππππππ12sin2212sin1dt t tn ϕϕϕn cos 2cos cos 21++++ )dt 1=.Dini 定理的证明: [1]P81—82 .Ex [1] P83 1—5 . 附注1. Parseval 等式 设可积函数)(x f 的Fourier 级数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n nb a a . 现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 事实上, 令)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1, )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f , 对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,144[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k nb a a dx x f dx x Sx f dx 1222022)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k k b a a 12220)(2. 令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有)(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n nb a a . 综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k nb a a dx x f dx x Sx f 1222022)(2)(1)()(1.因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k kb a a 12220)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup 1x S x f n ()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n .由双逼原理, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f =><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π⎰-∞→∞→=><=ππππdx x S x S x S n n n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式还可用公式⎰∑-∞=++=ππβααπ10)(2)()(1n n n n n b a a dx x g x f ( 其中n a 、145n b 与n α、n β分别是函数)(x f 和)(x g 的Fourier 系数证明；也可用所谓卷积函数证明.Parseval 等式的意义：设在单位正系} , sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰->==<ππππdx x f x f A )(2121, )(0 ， 2 )(1220220a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰-；⎰-=>==<πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1cos, )(， 22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ11222022202) (2)(n n n n nnB A A b a a dx x f .注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=12222)(n n n B A A x f ,这是勾股定理的推广, 即在坐标系*)中的勾股定理. 因此, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理. ( 与三维空间中的勾股定理做比较 ) .1. Fourier 级数与三角级数: Fourie r 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n nnx是收敛的三角146级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n nn 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n n nx不是Fourier级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n n nx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数. 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(11212.即有上式左端的正项级数收敛.但由∑∞=⇒≤<121120n n αα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的. 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.。
