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数学篇解法荟萃求二次函数的解析式是中考中常考的内容，我们通常采用待定系数法求解.利用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是设、代、解、列，即先设出适当形式的解析式，再代入条件，得到有关待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组求出待定系数，最后列出解析式即可.那么如何根据抛物线的特征设出适当形式的函数关系式呢？这就需要同学们开动脑筋，拓展思路，根据题目的特点灵活选择解析式的形式.一、设一般式求函数的解析式若题目已知二次函数图象上的三个点的坐标，可以设一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)求其解析式.方法是把三个点的坐标分别代入一般式中，构造关于a ,b ,c 的三元一次方程组，解方程组即可得到a 、b 、c 的值，从而求得正确的函数解析式.例1已知二次函数图像经过了D（-1，-10）、E （1，0）、F （3，18）三个坐标点，求解其函数解析式.解：设此二次函数解析式为y =ax 2+bx +c（a≠0），将D 、E 、F 的坐标代入可得ìíîïï-10=a -b +c ,0=a +b +c ,18=9a +3b +c ,解方程组得ìíîïïa =1,b -5,c =-6,由此可得，此二次函数的解析式为：y =x 2+5x -6.评注：若所给抛物线上三个点不是特殊点(即顶点、与x 轴的交点)，常设一般式求解；若已知抛物线经过原点时，则可直接设其解析式为y =ax 2+bx ；若已知抛物线的对称轴是y 轴，则可直接设其解析式为y =ax 2+c .二、设顶点式求函数的解析式当已知函数图象的对称轴或者最值以及顶点坐标时，可以设顶点式求函数解析式.当顶点在坐标原点，即顶点为(0，0)时，可设y =ax 2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点在y 轴上，即顶点为(0，k )时，可设y =ax 2+k (a ≠0)求函数的解析式；当顶点在x 轴上，即顶点为(h ，0)时，可设y =a (x -h )2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点不在坐标轴上，即h 、k 都不为0时，可设y =a (x -h )2+k (a ≠0)求函数的解析式.设定解析式后，先将顶点坐标或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入其中求出a 的值，即可得到抛物线的解析式.例2已知二次函数的顶点坐标为（4，-2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式.分析：已知二次函数的顶点坐标，可用顶点式来设抛物线的解析式，再将点（5，1）代入，即可求出二次函数的解析式．解：设此二次函数的解析式为y =a (x -4）2-2；∵二次函数图象经过点（5，1），∴a (5-4)2-2＝1，解得a =3，∴y =3(x -4)2-2=3x 2-24x +46．巧用待定系数法求二次函数的解析式甘肃省兰州市榆中县第六中学高艳32数学篇例3已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，求此二次函数解析式.分析：因为抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，所以抛物线的对称轴是直线x =3，可设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式．解：∵抛物线与x 轴的两交点间的距离为4，且顶点坐标为（3，-2），∴抛物线的对称轴是直线x =3，抛物线与x 轴的两交点的坐标是（1，0）和（5，0），设抛物线解析式为y =a (x -3)2-2，将点（1，0）代入得a =12，∴抛物线解析式为y =12x 2-3x +52．评注：设顶点式求解二次函数解析式，需要确定其顶点坐标的具体数值，只要知道了顶点坐标h 和k 的取值，那么在运算过程中只需求出a 的值，就能够得到二次函数的解析式.三、设交点式求函数的解析式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为A (x 1,0)、B (x 2,0)以及另一个点坐标，可以设交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)求其解析式.将抛物线与x 轴两个交点的横坐标代入交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)，然后再将抛物线上另一点的坐标代入其中求出a ，最后将交点式化为一般式的形式即可.例3二次函数的图象过点A（3，0），B （-1，0）且与y 轴的交点为C （0，6）．求此二次函数的解析式.分析：由题意可设所求二次函数的解析式为y =a (x -3)(x +1)，将点C （0，6）代入所设解析式求出a 的值，即可求得所求二次函数的解析式；2∴可设其解析式为：y =a (x -3)(x +1)，又∵其图象过点（0，6），∴6=a （0-3）（0+1），解得a =-2，∴所求二次函数的解析式为：y =-2(x -3)(x +1)，即y =-2x 2+4x +6；评注：若已知二次函数y=ax 2+bx +c （a 不等于零）和x 轴相交的坐标点分别为A （x 1,0）和B （x 2,0），那必然存在ax 21+bx 2+c =0，即x 1和x 2是一元二次方程的两个根，ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2).由此将其解析式设为交点式来求解更加方便.总之，在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．只有选择最合适的解题方式才能让我们的解题更加高效.上期《<相似>拓展精练》参考答案1.D ；2.D ；3.D ；4.D ；5.32；6.5；7.3或65或545；8.16；9.证明过程略．10.解：由题意得：∠ABD =∠DEO =∠NPO =90°，PM =PN =4.6，BD ∥OE ，∴∠ADB =∠DOE ，∴△ADB ∽△DOE ，∴AB BD =DE EO ，∴1.53=0.6EO ，解得：EO =1.2，∵∠DOE =∠NOP ，∴△DEO ∽△NPO ，∴DE EO =NP PO ，∴0.61.2=4.6PO ，解得：PO =9.2，解法荟萃。
22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式 【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，依题意得：⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐＝k来求出相应的数．标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y极值【类型三】根据平移确定二次函数解析式将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2－3.即y＝2x2＋8x＋5.方法总结：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移m(m>0)个单位，向上平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移m(m>0)个单位，向下平移n(n>0)个单位后的解析式为y＝a(x－h－m)2＋k－n.【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．解析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.方法总结：y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k.【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出l 与t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
待定系数法求二次函数的解析式知识集结知识元利用一般式求二次函数的解析式知识讲解已知三个点求二次函数的解析式，一般选择一般式，基本的作法是：（1）设出二次函数的一般式；（2）将三个点的值分别代入到解析式中，得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得出三个字母的值，即可得到为此函数的解析式.例题精讲利用一般式求二次函数的解析式例1.'二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：求此二次函数的解析式．'例2.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'例3.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'利用顶点式求二次函数的解析式知识讲解当已知条件中出现二次函数的顶点或者顶点的横、纵坐标之一等顶点相关的内容时，会考虑用顶点式来求解二次函数的解析式.例题精讲利用顶点式求二次函数的解析式例1.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3例2.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4例3.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．例4.'已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．'利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式知识讲解当已知的点中出现与x轴的交点时，常会考虑设成两点式求二次函数的解析式，此类问题已知点的坐标的形式比较多，除了可以直接已知与x轴的两个交点坐标外，还可以已知其中一个与x轴的交点的坐标及对称轴等其他形式.例题精讲利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式例1.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．例2.抛物线与轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（）B．C．D．A．例3.过（﹣1，0），（3，0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，）C．（﹣1，5）D．（2，）例4.'已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．'顶点在原点的二次函数解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲顶点在原点的二次函数解析式的求法例1.若二次函数函数的图象是顶点在原点，则的值为（）A．-2 B．2C．±2 D．4例2.'抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．'例3.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在y轴上的抛物线的解析式的形式是b=0，即一次项系数为0.例题精讲顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．例2.已知一抛物线的顶点在y轴上，且过二点（1，2）、（2，5），则此抛物线的解析式为．例3.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在x轴上的二次函数可以有多种表述方法：（1）与x轴只有唯一的交点；（2）判别式等于0；（3）图象不在x轴上方（或下方）；（4）对应的一元二次方程有两个相等的实根等.例题精讲顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法已知抛物线的顶点在轴上，则等于（）A．4B．8C．-4D．16例2.若函数的图象顶点在轴上，则的值为（）A．B．-1C．D．或例3.'如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．'过原点的二次函数的解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲过原点的二次函数的解析式的求法例1.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．例2.'二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．求此二次函数的解析式．'例3.'已知抛物线经过原点，点（1，﹣4）和（﹣1，2），求抛物线解析式．'例4.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'与长度相关的解析式的求法知识讲解在利用线段的长度或者线段之间的等量关系求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与长度相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，﹣6），对称轴是直线x=3，与x轴交于A、B 两点，且AB=8．求函数解析式．'例2.'如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．'例3.'在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C （如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．'与面积相关的解析式的求法知识讲解在利用几何图形的面积求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与面积相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式．'例2.'在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+kx+4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．'例3.'已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．'利用几何综合性质求函数解析式知识讲解利用几何性质求函数解析式是求解析式中的较难问题，其难点在于对几何性质的探究，并通过几何性质找到所需的点或列出所需的等式.例题精讲利用几何综合性质求函数解析式例1.'如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．'例2.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'例3.'已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线y1=x﹣6相交于M、D两点①用含a的式子表示点D的坐标；②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．'当堂练习单选题练习1.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2练习2.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．练习3.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．练习4.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．练习5.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4练习1.已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（3，﹣3），则该抛物线的函数解析式为．练习2.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．练习3.若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．练习4.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．解答题练习1.'如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．'练习2.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'练习3.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'练习4.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．'练习5.'已知，抛物线的顶点为P（3，﹣2），且在x轴上截得的线段AB=4．求抛物线的解析式．'练习6.'如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．求这个二次函数的解析式．'练习7.'直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．'练习8.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．求该二次函数的表达式．'练习9.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'练习10.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'练习11.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'。
人教版数学九年级上册26.1.5《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第26.1.5节《用待定系数法求二次函数的解析式》是本册教材的重要内容之一。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的，旨在让学生通过待定系数法求解二次函数的解析式，从而更好地理解和掌握二次函数的知识。
本节教材主要分为两个部分，第一部分是待定系数法的引入和解释，第二部分是待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
在第一部分中，教材通过例题和练习题让学生理解待定系数法的概念和原理；在第二部分中，教材通过例题和练习题让学生掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
二. 学情分析在九年级的学生中，大部分学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象，但是对于待定系数法的理解和应用还有待提高。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，能够运用待定系数法求解二次函数的解析式，并能够通过练习题进行巩固和提高。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点是待定系数法的理解和应用。
在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和练习法相结合的教学方法。
首先，我会通过讲解和示例让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理；然后，我会通过布置练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和动画等，来帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.引入：通过复习二次函数的一般形式和图象，引导学生思考如何求解二次函数的解析式。
2.讲解：讲解待定系数法的概念和原理，并通过示例让学生理解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
《22.1.5用待定系数法求二次函数解析式》一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+32．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣33．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣34．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣35．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣1 ﹣﹣2 ﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A ．y=﹣2x 2B ．y=2x 2C ．y=﹣x 2D ．y=x 27．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣x 2﹣x+2C ．y=﹣x 2﹣x+1D ．y=﹣x 2+x+28．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点M （，a ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：9．若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为______．10．与抛物线y=x 2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为______．11．若抛物线y=x 2﹣4x+c 的顶点在x 轴上，则c 的值是______．12．已知二次函数y=a （x+1）2﹣b （a ≠0）有最小值1，则a______b ．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______．14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是______．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______．16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为______．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为______．三、解答题：19．求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．《22.1.5用待定系数法求二次函数解析式》参考答案与试题解析一、选择题：1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（）A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+3【解答】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，把（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）代入得解得，所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，故选：D．2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．故选：B．3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（）A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：，由直线x=1为对称轴，得到﹣=1，即b=﹣2a，代入方程组得：，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，故选B4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D选项，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．故选：C．5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣1 ﹣﹣2 ﹣…A．y=x2﹣x﹣B．y=x2+x﹣C．y=﹣x2﹣x+D．y=﹣x2+x+【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣）和（2，﹣），∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把（﹣1，﹣1）代入得4a﹣2=﹣1，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣．故选A．6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x2【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2．故选：C．7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，∴a＞0，﹣＞0，因此b＜0，∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，∴c＜0，∴a＞0，＞0，则点M（，a）在第一象限．故选：A．二、填空题：9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x﹣3 ．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，a=﹣1，函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．故答案为y=﹣x2+4x﹣3．10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为y=（x﹣3）2+1 ．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，所以a=，所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．故答案为y=（x﹣3）2+1．11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．【解答】解：∵y=x2﹣4x+c=（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4=0，解得c=4，故答案为：4．12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a ＞b．【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，∴a＞b．故答案是：＞．13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3 ．【解答】解：据题意得解得∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是y=﹣x2﹣2x+3 ．【解答】解：可先从抛物线y=x2﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为y=ax2+bx+c，则c=3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，b=﹣2，c=3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式y=（x﹣2）2﹣1 ．【解答】解：因为开口向上，所以a＞0∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2∵y轴的交点坐标为（0，3），∴c=3．答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是①③④．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错．故答案为：①③④．17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵顶点C到x轴的距离为2，∴C点坐标为（1，2）或（1，﹣2），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把C（1，2）代入得a×3×（﹣3）=2，解得a=﹣，所以此时抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+；把C（1，﹣2）代入得a×3×（﹣3）=﹣2，解得a=，所以此时抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．故答案为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．．【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）代入得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=﹣x2+x；当图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）时，把得，解方程组得，则二次函数的解析式为y=x2+x．所以该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．三、解答题：19．求出符合条件的二次函数解析式：（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9．20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把（0，3）代入得a×3×（﹣5）=3，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+x+3．21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．【解答】解：∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），把（0，﹣2）代入得a•1•（﹣5）=﹣2，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣x﹣2．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2；（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．设OP=x，则PA=PC=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=．23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵m＞0，∴x=﹣=﹣＜0，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）解：设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=﹣m＜0，x1•x2=﹣m2＜0，∴x1与x2异号，又∵=＞0，∴OA＞OB，由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x1＜0，x2＞0，∴OA=|x1|=﹣x1，OB=x2，代入得：=，=，从而，解得m=2，经检验m=2是原方程的根，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（3）解：当x=0时，y=﹣m2∴点C（0，﹣m2），∵△ABC是直角三角形，∴AB2=AC2+BC2，∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2∴﹣2x1•x2=m4∴﹣2（﹣m2）=m4，解得m=，∴S△ABC=×AB•OC=|x1﹣x2|•=×2m×m2=．。
