中山市高一级2019学年度第一学期期末统一考试(数学)

2019级高一年级上学期期末测试卷数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案A B A B D D C D A D C B【解析】1．集合{|3}A x x =<A ，故选A ．2．将圆的方程2224110x y x y ++--=化为标准方程可得22(1)(2)16x y ++-=，由标准方程可得圆的半径为4，故选B ．3．分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面，故选A ．4．5log 0.60a =<，0.60.6510.5(01)b c =>=∈，，，∴a c b <<，故选B ．5．点(369)P ，，关于平面xOy 的对称点是1(369)P -，，，则垂足Q 是1PP 的中点，所以Q 的坐标为(360)P ，，，故选D ．6．(4)(2)A a B a -，，，∵，且斜率为2，则422AB a k a--==-，解得8a =，故选D ．7．∵直线2830()kx y k k -++=∈R 的方程可化为32(4)y k x -=+，当4x =-，3y =时方程恒成立，∴直线过定点(43)-，，故选C ．8．原平面图形是直角梯形，高为2a ，上底为a ，下底为(1a +，面积是12(112a a ⨯⨯++2(2a =+，故选D ．9．由两直线平行得8m =-，在直线3460x y --=上任取一点(20)P ，，则点P 到直线620x my +-=的距离为2216(8)d =+-，故选A ．10．方程()20190f x -=在(0)-∞，上有解，∴函数()y f x =与2019y =在(0)-∞，上有交点，分别观察直线2019y =与函数()f x 的图象在(0)-∞，上交点的情况，选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，故选D ．11．由三视图可知该几何体为以2为半径，3为高的圆锥沿着轴截得的半个圆锥，所以211π232π32V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选C ．12．偶函数满足(1)(1)f f -=，即11lg(101)lg(101)a a -++=+-，解得12a =，奇函数满足(0)0f =，则00202b +=，解得1b =-，则11122a b +=-=-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案310x y +-=1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，24π【解析】13．由题得直线310x y -+=的斜率为13，所以所求直线的斜率为3-，所以所求直线的方程为23(1)y x +=--，即310x y +-=．14．设圆心(11)，到直线22x y -=的距离为d ，则圆上的点到直线2x y -=的距离的最小值等于d r -22112-=．15．由题意，可作出函数图象如图1，由图象可知01601a a <<⎧⎨-⎩，≥，解之得116a <≤．16．平面四边形ABCD 中，24AB AD CD BD BD CD ====⊥，，，将其沿对角线BD 折成三棱锥A BCD -，使平面ABD ⊥平面BCD ，三棱锥A BCD -的顶点在同一个球面上，BCD △和ABC △都是直角三角形，BC 的中点就是球心，所以26BC =图1，所以球的表面积为24π．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：当1a >时，()log a f x x =在(0)+∞，上为增函数，…………………………（1分）∴在[327]，上函数()f x 的最小值为(3)log 3a f =，最大值为(27)log 27a f =，……………………………………………………（3分）∴log 27log 32a a -=，即log 92a =，解得3a =；……………………………（5分）当01a <<时，()log a f x x =在(0)+∞，上为减函数，…………………………（6分）∴在[327]，上函数()f x 的最小值为(27)log 27a f =，最大值为(3)log 3a f =，…………………………………………………………（8分）∴log 3log 272a a -=，即log 92a =-，解得13a =，………………………（9分）综上所述3a =或13a =．………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得32405370x y x y --=⎧⎨--=⎩，，解得两直线交点为(21)，，………………………………………………………（2分）设直线l 的斜率为1k ，∵l 与20x y ++=垂直，∴11k =，……………………………………………（4分）∵l 过点(21)，，∴l 的方程为12y x -=-，即10x y --=．…………………………………（6分）（Ⅱ）设圆C 的半径为r=，………………………………………………………………………（8分）则由垂径定理得2224r =+=，∴2r =，…………………………（10分）∴圆的标准方程为22(3)4x y -+=．………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵PD ⊥平面ABCD ，∴21123(23)8333P ABCD ABCD V PD S -==⨯= ．……………………………（4分）（Ⅱ）证明：如图2，∵E F ，分别是PC PD ，的中点，∴EF CD ∥，由正方形ABCD ，∴EF AB ∥，又EF ⊄平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，……………（6分）同理可得EG PB ∥，可得EG ∥平面PAB ，又EF EG E = ，∴平面PAB ∥平面EFG ．…………………………………（8分）（Ⅲ）证明：∵EM BC AD ∥∥，∴A D E M ，，，四点共面，由PD ⊥平面ABCD ，∴AD PD ⊥，…………………………………………………………………（9分）又AD CD ⊥，PD CD D = ，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥，……………………………………………（10分）又PDC △为等腰三角形，E 为斜边的中点，∴DE PC ⊥，…………………………………………………………………（11分）又AD DE D = ，∴PC ⊥平面ADEM ，即PC ⊥平面ADM ．……………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题设，总成本为20000125x +，…………………………………（2分）则21300200000320260000125320x x x x y x x x ⎧-+-<∈⎪=⎨⎪->∈⎩N N ，≤，且，，，且.………………………（5分）（Ⅱ）当0320x <≤时，21(300)250002y x =--+，…………………………（7分）则当300x =时，max 25000y =；…………………………………………………（8分）当320x >时，60000125y x =-是减函数，…………………………………（9分）则6000012532020000y <-⨯=，……………………………………………（11分）∴当月产量300x =件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．图2………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，设圆心为(1)a a +，．则圆C 为22()[(1)]8x a y a -+-+=，……………………………………………（2分）∵圆C 过点(63)，，∴22(6)[3(1)]8a a -+-+=，…………………………………………………（4分）解得4a =，…………………………………………………………………（5分）即圆C 的方程为22(4)(5)8x y -+-=．………………………………………（6分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=，…………………………（7分）∵过点(30)，的直线l 截圆所得弦长为∴1d =，则125k =，……………………………………………（8分）直线l 为125360x y --=；……………………………………………………（9分）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为3x =，此时弦长为…………………………………………………（11分）综上，直线l 的方程为3x =或125360x y --=．…………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数1()e ()e x x h x x =-∈-∞+∞，，函数()h x 为奇函数，……………………………………………………………（2分）函数()h x 的单调递增区间为()-∞+∞，．………………………………………（4分）（Ⅱ）据题意知，当[13]x ∈，时，max 1()()f x f x =，max 2()()g x g x =，…………………………………………………………………………（5分）∵()e x f x =在区间[13]，上单调递增，∴3max ()(3)e f x f ==，即31()e f x =，………………………………………（7分）又∵22()4(2)4g x x x b x b =-++=--++，∴函数()y g x =的对称轴为2x =，……………………………………………（8分）∴函数()y g x =在区间[13]，上的最大值为max ()(2)4g x g b ==+，即2()4g x b =+，……………………………………………………………（10分）由12()()f x f x =，得34e b +=，∴3e 4b =-．……………………………………………………………（12分）。

广东省中山市高一级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3、不可以使用计算器．4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{1,2}A =，集合Φ=B ，则=B AA.}1{B.}2{C.}2,1{D.Φ2．下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数A.2)(x y = B. 33x y = C. xx y 2= D.2x y =3．若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是A.3-B. 1C. 0或23- D. 1或3-4．函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像大致为5、根式11a a（式中0a >）的分数指数幂形式为 A ．34a - B ．34aC ．43a -D ．43a6．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是7．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”。

在下面的五个点()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,0.5M N P Q G 中，“好点”的个数为A ．0个B ．1个C ． 2个D ．3个8．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．//,m n n m αα⊥⇒⊥ 9．函数)23(log )(231+-=x x x f 的单调递增区间为A ．（－∞，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，23） D ．（23，+∞） 10．对于集合M 、N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且, ()()M N M N N M ⊗=--．设{}{}23,,2,x A y y x x x R B y y x R ==-∈==-∈，则A B ⊗等于A ．9(,0]4-B．[9,04-] C ．[)9(,)0,4-∞-+∞D ．9(,](0,)4-∞-+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共60分）二、填空题：（本大题共４个小题，每小题４分，共16分，请将答案填在相应题目的横线上）11. 在空间直角坐标系中，已知B A ,两点的坐标分别是()5,3,2A ,()4,1,3B ，则这两点间的距离=AB _____________.12.根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的开区间为____13．如右图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长 为4一个内角为60︒的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么 这个几何体的表面积为________．14．若直线044:1=-+y x l ，0:2=+y mx l ，0432:3=--my x l 不能构成三角形 ，则实数m 的值是： _______________.三、解答题：（本大题共5小题，满分44分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. (本小题9分)求以()3,1N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.16. (本小题9分)如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．P俯视图侧视图正视图求证：（1）．PA //平面BDE ； （2）．平面PAC ⊥平面BDE ．17.（本小题9分）设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．（Ⅰ）若()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）求证：无论a 取任何实数，函数()f x 都不可能是奇函数．18. (本小题9分)20世纪30年代，里克特（C.F.Richter ）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ,其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。

中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试（数学理）数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知3()lg ,(2)f x x f ==则A ．lg 2B ．lg 8C ．1lg 8D ．1lg 232．01()x x e dx --⎰= A ．312e -+ B ．–1 C ．11e -- D ．32-3．已知两直线m 、n ，两平面α、β，且βα⊂⊥n m ,．下面有四个命题：1）若n m ⊥则有,//βα； 2）βα//,则有若n m ⊥；3）βα⊥则有若,//n m ； 4）n m //,则有若βα⊥．其中正确命题的个数是A ．０B ．１C ．2D ．34．函数y=sin x 的图象按向量平移后与函数y=2-cos x 的图象重合，则是A ．3(,2)2π--B ．3(,2)2π-C ．(,2)2π-D ．(,2)2π- 5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是5 z 3 4 4 4 4 4 36．对变量x, y 有观测数据（i x ，i y ）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（i u ，i v ）（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断AB ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关7．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 .B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .C ．丙地：中位数为2，众数为3 .D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 .8．以平行六面体ABCD —A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367 B ．385376 C ．385192D ．38518 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．若复数 z 满足z (1+i) =1－i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z =_______.10．命题“,cos 1x x ∀∈≤R ”的否定是 .11．在二项式251()x x -的展开式中，含4x 的项的系数是_______. 12．平面内满足不等式组1≤x +y ≤3，—1≤x —y ≤1，x ≥0，y≥0的所有点中，使目标函数z =5x +4y 取得最大值的点的坐标是图1 5 图2第14题 5 13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．14．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：小时），随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表．流程图，则输出的S 的值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(本小题满分12分)已知：函数,0(),0a x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩（0>a ）．解不等式：12)(<-x x f ．16．(本小题满分12分)已知向量)sin ,sin 33(),sin ,(cos x x x x -==，定义函数OQ OP x f ⋅=)(．（1）求)(x f 的最小正周期和最大值及相应的x 值；（2）当OQ OP ⊥时，求x 的值．17．(本小题满分14分)一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经验，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为０．６，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数（不计甲负乙的局数），求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）．S1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………………18．(本小题满分14分)如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧P 为侧棱SD 上的点．（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；（Ⅱ）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小；19．(本小题满分14分)已知数列,5}{1=a a n 的首项前n 项和为S n ，且S n+1=2S n +n+5（n ∈N*）．（Ⅰ）证明数列}1{+n a 是等比数列；（Ⅱ）令)1(1)(,)(221f x x f x a x a x a x f n n '=+++=处的导数在点求函数 .20．(本小题满分14分)已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是直线外一点，向量、、满足()[]32ln 1232=⋅-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x x ，记)(x f y =．（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，31ln >a ,证明：不等式[]x x f x a 3)(ln ln /->-成立； （3）若关于x 的方程b x x f +=2)(在[]1,0上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．高三级—学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题DACB BCDA二、填空题 9. i ； 10. ,cos 1x x ∃∈>R 11．10； 12．（2，1）； 13. 262n n -+； 14. 6.42三、解答题15．解：1）当0≤x 时，即解12<--x x a ， 即0222>-+-x a x ，不等式恒成立，即0≤x ； 2）当0>x 时，即解12<-x a ，即02)2(<-+-x a x ，因为22>+a ，所以22+<<a x ．由1）、2）得，原不等式解集为}22,0|{+<<≤a x x x 或．16．解：（1）x x x x f 2sin cos sin 33)(+-=11(sin 22)22x x =+1)23x π=+ 22,T πωπω===．当5,12x k k Z ππ=-∈时，()f x 取最大值12+ （2）当⊥时，()0f x =，即1)023x π+=， 解得6x k k πππ=+或，k Z ∈．17．解：甲选手胜乙选手的局数作为随机变量ξ，它的取值共有0、1、2、3四个值.1)当ξ=0时,本场比赛共三局,甲选手连负三局,P(ξ=0)=（1-0.6）3=0.064;2)当ξ=1时,本场比赛共四局,甲选手负第四局,且前三局中,甲胜一局,P(ξ=1)=13330.6(10.6)0.1152C ⨯-=;3)当ξ=2时,本场比赛共五局,甲选手负第五局,且前四局中,甲胜二局,P(ξ=2)=22340.6(10.6)0.13824C ⨯-=;4)当ξ=3时,本场比赛共三局、或四局、或五局．其中共赛三局时，甲连胜这三局；共赛四局时，第四局甲胜，且前三局中甲胜两局；共赛五局时，第五局甲胜，且前四局中甲胜两局；P(ξ=３)=323232340.60.6(10.6)0.6(10.6)C C +⨯-+⨯-=0.68256=0⨯0.064+1⨯0.1152+2⨯0.13824+3⨯0.68256=2.43926≈2.4394.18．解法一：（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO AC ⊥．在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥. (Ⅱ)设正方形边长a，则SD =．又OD =，所以 60=∠SDO , 连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面，所以AC OP ⊥,且AC OD ⊥,所以POD ∠是二面角P AC D --的平面角．由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥，所以030POD ∠=,即二面角P AC D --的大小为030． 解法二：（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．设底面边长为a，则高SO =． 于是),(,0,0)2S D，(0,,0)2C ，(0,,0)2OC a =，(,0,)2SD a =-， 所以，0OC SD ⋅=故 OC SD ⊥，从而 AC SD ⊥(Ⅱ)由题设知，平面PAC的一个法向量(,0,)22DS a =，平面DAC 的一个法向量)0,0,)2O S a =，设所求二面角为θ，则c o s 2O S D S O S D S θ⋅==,所求二面角的大小为03019．解：解：（Ⅰ）由已知,521++=+n S S n n ∴,42,21++=≥-n S S n n n 时两式相减，得 ,1)(211+-=--+n n n n S S S S即 ,121+=+n n a a 从而).1(211+=++n n a a当n=1时，S 2=2S 1+1+5， ∴62121+=+a a a 又,11,521=∴=a a A B C DP S O N E从而 ).1(2112+=+a a 故总有 .*),1(211N n a a n n ∈+=++ 又∵ ,01,51≠+∴=n a a 从而.2111=+++n n a a 即61}1{1=++a a n 是以为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.123-⨯=n n a n n x a x a x a x f +++= 221)( 1212)(-+++='∴n n x na x a a x f .从而n na a a f +++=' 212)1()123()123(2)123(2-⨯++-⨯+-⨯=n n)21()2222(32n n n +++-⨯++⨯+= 2)1()]22(2[31+-++-⨯=+n n n n n 2)1(]222[311+-+-⨯=++n n n n n .62)1(2)1(31++-⋅-=+n n n n20．解：（1）()[]y x x ⋅-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32ln 1232 A 、B 、C 三点共线，∴ 1)32ln(1232=-+++y x x ∴ )32ln(232x x y ++= （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，31ln >a ，则x a ln > 又由（1）得，x x x f 3323)(/++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x ，则03233)(/>+=-xx x f ∴ 要证原不等式成立，只须证：xx a 323ln ln ++> （*） 设xx x x x h 323ln 323ln ln )(+=++=． ()()()03223233323332)(2/>+=+⋅-+⋅+=x x x x x x x x h ∴ )(x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x 上均单调递增，则)(x h 有最大值31ln )31(=h ，又因为31ln >a ，所以)(x h a >在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,61x 恒成立． ∴ 不等式（*）成立，即原不等式成立．（3）方程b x x f +=2)(即b x x x =++-)32ln(2232令)32ln(223)(2x x x x ++-=ϕ， ∴ ()()xx x x x x x x 321313321923323)(2/+-+=+-=-++=ϕ 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,0x 时，0)(/<x ϕ，)(x ϕ单调递减，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,31x 时，0)(/>x ϕ，)(x ϕ单调递增，∴)(x ϕ有极小值为⎪⎭⎫ ⎝⎛31ϕ＝213ln -即为最小值．又()2ln 0=ϕ，()215ln 1-=ϕ，又215ln -－2ln ＝03425ln 21425ln 2125ln >⨯>=e e∴ -5ln 212ln >． ∴ 要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使≤<-b 213ln 2ln ．。

中山市高一年级2019—2020学年第一学期期末统一考试131810090 22B31．物理公式在确定物理量数量关系的同时，也确定了物理量间的单位关系,例如由公式F ma =我们可以得到力的单位为kg m s⋅2，其中kg 是质量单位“千克”，m 是长度单位“米”，s 是时间单位“秒”．求力F 对物体做功的功率时可用物理公式P =Fv ，其中v 为物体的瞬时速度，P 是要求的功率。

在国际单位制中，功率P 的单位为“瓦特”，结合公式，判断下列哪个单位与单位“瓦特”相同（ ）A. kg m s ⋅23B. kg m s ⋅3C. kg m s ⋅22D. kg m s ⋅332．两个物体质量分别为m 1和m 2，且m 1＝2m 2，分别从高度为h 和2h 的地方做自由落体运动。

它们在空中的运动时间分别用t 1和t 2表示，落地时的速度大小分别用v 1和v 2表示，则（ ）A ．1212t :t =1:4v :v =2:1，B．1212t :t =v :v = C．1212t :t =v :v =1:2 D．1212t :t =1:4v :v =，3．甲、乙两物体从同一点开始沿同一直线运动，甲的位移-时间图像x –t 图和乙的速度-时间图像v –t 图如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．甲在3 s 末速度为零，甲运动过程中，距出发点的最大距离为4 mB ．乙在1~2 s 内的加速度和4~6 s 内的加速度大小相同，方向相反C ．第3 s 内甲、乙两物体速度方向相反D ．0~4 s 内甲的位移大小为4 m ，乙的位移大小为8 m第3题图4．如图所示，光滑水平面上，大小为F 1的水平拉力可拉着m 1=3kg 的物体以2m/s 2的加速度匀加速运动，大小为F 2的水平拉力可拉着m 2=2kg 的物体以3m/s 2的加速度匀加速运动，若将m 2固定在m 1上，对m 1施加F= F 1+ F 2的水平拉力，则产生的加速度为（ ）A ．5 m/s 2B ．2.5 m/s 2C ．2.4 m/s 2D ．无法计算5．质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为265t t x +=（位移x 的单位为m ，时间t 的单位为s ），则该质点（ ）A ．第2 s 内的位移是34mB ．前2s 内的平均速度是6m/sC ．任意相邻的1 s 内位移差都是12mD ．任意1s 内的速度增量都是6m/s 6．如图所示，A 、B 两物体紧靠着放在粗糙水平地面上，A 、B 间接触面光滑．在水平向右推力F 作用下两物体一起向右加速运动，物体A 恰好不离开地面，则关于A 、B 两物体的受力个数，下列说法正确的是A ．A 受3个力，B 受4个力B ．A 受4个力，B 受3个力C ．A 受3个力，B 受3个力D ．A 受4个力、B 受4个力7．在物理学的发展进程中，思想与方法对物理学的发展起到了重要作用，下列关于物理学思想的说法中正确的是（ ）A ．牛顿第一定律是利用思维对事实进行分析的产物，能用实验直接验证B ．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看作匀速直线运动，再把各小段位移相加，这里运用了微元思想C ．“当物体的大小和形状在所研究问题中可以忽略时，将物体简化为一个点进行研究”。

广东中山18-19高一上年末统一考试--数学数 学本试卷分第I 卷〔选择题〕、第II 卷〔非选择题〕两部分。

共100分，考试时间100分钟。

本卷须知1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不能够使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

5、参考公式：球的体积公式34,3V R π=球，其中R 是球半径、锥体的体积公式V 锥体13Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高、台体的体积公式V台体1()3h S S '=++，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高、第一卷〔选择题 共40分〕【一】选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分，每题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1、假如{}5,4,3,2,1=S ，{}4,3,1=M ，{}5,4,2=N ，那么()()N C M C S S ⋂等于〔 〕A 、φB 、{}3,1C 、{}4D 、{}5,22、以下函数中，在定义域上既是增函数又是奇函数的是〔 〕 A 、x y 2= B 、x y lg = C 、3x y = D 、 1y x=3、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形。

②平行四边形的直观图是平行四边形。

③正方形的直观图是正方形。

④菱形的直观图是菱形 以上结论，正确的选项是〔 〕A 、①②B 、①C 、③④D 、①②③④ 4、假设213211()(),22a a +-<那么实数a 的取值范围是〔 〕 A 、(1,)+∞ B 、1(,)2+∞ C 、(,1)-∞ D 、1(,)2-∞ 5、方程ln 3x x +=的解所在区间是〔 〕A 、〔0，1〕B 、〔1，2〕C 、〔2，3〕D 、〔3，+∞〕 6、如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，那么该几何体的体积是〔 〕 A B 、12π C D7、倾斜角为30°，且通过点〔0，1〕的直线方程是〔 〕A 、0x =B 、0x -=C 10y +-=D 10y -+=8、直线、m 、n 与平面α、β，那么以下表达错误的选项是〔 〕 A 、假设//,//m l n l ，那么//m n B 、假设,//m m αβ⊥， 那么αβ⊥正视图 俯视图侧视C 、假设//,//m n αα ， 那么//m nD 、假设m β⊥ ，αβ⊥ ，那么//m α或m α⊂9、设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，那么(2)f -，()f π，(3)f -的大小关系是〔 〕A 、()(3)(2)f f f π>->-B 、()(2)(3)f f f π>->-C 、()(3)(2)f f f π<-<-D 、()(2)(3)f f f π<-<- ①关于任意)1,1(-∈x ，都有()()f x f x -=-； ②)(x f 在)1,1(-上是减函数； ③关于任意)1,1(,21-∈x x ，都有)1()()(212121x x x x f x f x f ++=+；其中正确命题的个数是〔〕A 、0B 、1C 、2D 、3第二卷〔非选择题共60分〕【二】填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上〕 11、71log 13y x=-函数的定义域是. 12、三个数0.377,0.3,ln 0.3的大小关系是. 13、点(2,3)A -到直线:3430l x y ++=的距离为.14、假设三直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点，那么k =.【三】解答题：〔本大题共5小题，共44分。

2018-2019学年广东省中山市高一上学期期末测试数学试题一、单选题1．下列表示正确的是（ ） A ．0N ∈ B ．27Z ∈ C ．3Z -∉ D ．Q π∈ 【答案】A【解析】0N ∈， 237Z Z Q π∉-∈∉，，,选A.2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）. A ． 2寸 B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸 【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量2222219(101066)3314πππππ⨯⨯+⨯+==，故选B.【考点】1.实际应用问题；2.圆台的体积. 3．下列大小关系正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.【考点】指数函数与对数函数的值域点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。

4．已知，则A ．2B ．7C ．D ．6【答案】A【解析】先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果．【详解】，，，故选A．【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．5．函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题. 6．给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A．和B．和C．和D．和【答案】D【解析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果． 【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确 故选：D 【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是基础题． 7．若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线12:70:50l x y l x y +-=+-=和上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A ．23 B ．33 C ．32 D ．42【答案】C【解析】AB 中点在直线0x y b ++=上，该直线到12,l l 的距离相等；则|7||5|b b +=+解得6b =-，所以M 轨迹为60x y +-=则M 到原点距离的最小值为原点的直线60x y +-=的距离即为|006|3 2.2+-=故选C 8．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据对任意的，，，有，判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性之间的性质，将不等式转化为不等式组，数形结合求解即可．【详解】因为对任意的，，当，有 ,所以,当函数为减函数，又因为是偶函数，所以当时，为增函数，，，作出函数的图象如图：等价为或，由图可知，或，即不等式的解集为，故选A．【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.9．如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是当时，为四边形；当时，为等腰梯形；当时，与交点R满足；当时，为六边形；当时，的面积为．A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知根据的不同取值，分别作出不同情况下的截面图形，利用数形结合思想能求出结果．【详解】当时，如图，是四边形，故正确当时，如图，为等腰梯形，正确；当时，如图,由三角形与三角形相识可得，由三角形与三角形相识可得,，正确当时，如图是五边形，不正确；当时，如图是菱形，面积为，正确，正确的命题为，故选D．【点睛】本题主要考查正方体的截面，意在考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．10．函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：①“囧函数”的值域为；②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题设可知函数的函数值不会取到0，故命题①是错误的；当时，函数是单调递增函数，故“囧函数”在上单调递减，因此命题②是错误的；容易验证函数是偶函数，因此其图象关于轴对称，命题③是真命题；因当时函数恒不为零，即没有零点，故命题④是错误的；因为，不妨设，则由，即，也即，其判别式，因，且两根之积，故直线与函数的图象至少有一个交点，因此命题⑤也是真命题．综上命题③⑤是正确的，其它都是错误的，应选答案B。

2019-2020学年第一学期高一期末考试数学参考答案（附解析和评分细则）第Ⅰ卷（选择题每题5 分共60 分）1．B 【解析】∵1∈BB ,∴12．D 【解析】∵(ll ll ll 2xx )2−1>0,∴ll ll ll 2xx >1或ll ll ll 2xx <−1，解得xx >2或0<xx <12．3．A 【解析】由角θθ的终边在直线yy =3xx 上可得，tt tt ttθθ=3，ccllcc 2θθ=ccllcc 2θθ−ccss tt 2θθ=1−tt tt tt 2θθ1+tt tt tt 2θθ=−45．4．C 【解析】弧长6步，其所在圆的直径是4步，半径为2步，面积S =12∗2∗6=6(平方步)．5．B 【解析】由θθ∈[0,ππ4]可得2θθ∈[0,ππ2]，ccllcc 2θθ=√1−ccss tt 22θθ=18，ccss tt θθ=�1−ccllcc 2θθ2=√74答案应选B ．6．C 【解析】∵yy =(14)xx 是减函数，yy =−4xx 也是减函数，所以在R 上是减函数且是奇函数,选C ．7．B 【解析】yy =4ccss tt 3(xx −ππ9)，只需将函数yy =4ccss tt 3xx 的图像向右平移ππ9个单位．8．B 【解析】当xx <0时，因为ee xx −ee −xx <0，所以此时ff (xx )=ee xx −ee −xxxx <0，故排除A ．D ；又ff (1)=ee −1ee >2，故排除C ，选B ．9．A 【解析】由于f (x )=ccllcc 2xx +bbccllccxx +cc =1+ccllcc 2xx2+bbccllccxx +cc ．当bb =0时，ff (xx )的最小正周期为ππ； 当b ≠0时，ff (xx )的最小正周期2ππ；cc 的变化会引起ff (xx )的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选A ． 10．D 【解析】∵ff (xx )=�−xx 2+3xx ,xx ≤0ll tt (xx +1),xx >0，∴由|f(x)|≥ttxx 得，�xx ≤0xx 2−3xx ≥ttxx ，且�xx >0ll tt ⁡(xx +1)≥ttxx ，由�xx ≤0xx 2−3xx ≥ttxx，可得tt ≥xx −3，则tt ≥−3，排除A ，B ，当tt =1时，取xx =9,ln (xx +1)<xx ，不恒成立，故tt =1不适合，排除C ，故选D ． 11．C 【解析】由ff (−xx )=4−ff (xx )得ff (−xx )+ff (xx )=4，可知ff (xx )关于(0,2)对称，而yy =2xx +1xx=2+1xx也关于(0,2)对称，∴对于每一组对称点xx ss +xx ss ′=0,yy ss +yy ss ′=4，∑(xx ss +yy ss )=∑xx ss mmss =1+∑yy ss =0+4∙mm 2=2mm mm ss =1mm ss =1,∴，故选C ．12．A 【解析】因为ff (−xx )=sin |−xx |+|sin(−xx )|=sin |xx |+|ccss tt xx |=ff (xx )， 所以ff (xx )是偶函数，①正确；结合函数图像，可知ff (xx )的最大值为2，②正确， 画出函数ff (xx )在[−ππ,ππ]上的图像，很容易知道ff (xx )有3零点，所以③错误， 因为（π2，π），ff (xx )单调递减，所以④正确，故答案选A. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题.13．4【解析】，∵ll ll 5+ll ll 15=0,ff (xx )+ff (−xx )=ll tt ��1+4xx 2−2xx�+2+ll tt ��1+4(−xx )2+2xx�+2 =ll tt ��1+4xx 2−2xx�+ll tt ��1+4xx 2+2xx�+4 =ll tt [��1+4xx 2−2xx���1+4xx 2+2xx�]+4 =ll tt (1+4xx 2−4xx 2)+4=ll tt 1+4=414．−√612【解析】ff (αα)=ccss tt (αα−5ππ)ccllcc (8ππ−αα)tt tt tt (−αα−ππ)ccss tt �αα−ππ2�ccllcc (3ππ2+αα)=(−ccss tt αα)ccllccαα(−tt tt ttαα)(−ccllccαα)ccss tt αα=−tt tt ttαα,因为αα是第三象限角，且ccllcc �αα−3ππ2�=−ccss tt αα=15， 所以sin α=−15,ccllccαα=−√1−ccss tt 2αα=−2√65,tt tt ttαα=ccss tt ααccllccαα=√612，所以ff (αα)=−√612．15．5√39【解析】cos �α+β3�=cos [�π4+α�−�π4−β3�]=cos �π4+α�cos �π4−β3�+sin �π4+α�sin �π4−β3�，而ππ4+αααα(ππ4,ππ2)，ππ4−ββ3αα(ππ4,ππ3)，因此sin �π4+α�=2√23,sin �π4−β3�=√63则cos �α+β3�=13∗√33+2√23∗√63=5√39．16．6【解析】由题意ff (−xx )=ff (xx )知，所以函数ff (xx )为偶函数，所以ff (xx )=ff (2−xx )=ff (xx −2)，所以函数ff (xx )为周期为2的周期函数，且ff (0)=0,ff (1)=1，而ll (xx )=|xxccllccππxx |为偶函数，且ll (0)=ll �12�=ll �−12�=ll �32�=0，在同一坐标系下作出两函数在[−12,32]上的图像，发现在[−12,32]内图像共有6个公共点，则函数ℎ(xx )=ll (xx )−ff (xx )在在[−12,32]上的零点个数为6．三、解答题.17．【解析】（1）∵α∈�ππ2,ππ�,ccss tt αα=√55，∴cos α=−√1−ccss tt 2αα=−2√55……………2分ccss tt �ππ6+αα�=ccss tt ππ6ccllccαα+ccllcc ππ6ccss tt αα=√15−2√510；…………………………………5分（2）∵sin2α=2sin αcos α=−45,ccllcc 2αα=ccllcc 2αα−ccss tt 2αα=35………………………7分∴ccllcc �5ππ3−2αα�=ccllcc5ππ3ccllcc 2αα+ccss tt5ππ3ccss tt 2αα=3+4√310．…………………………10分18．【解析】（Ⅰ）由sin ππ3=√32,ccllcc ππ3=12,ff �ππ3�=2．………………………………………2分（Ⅱ）化简得ff (xx )=−ccllcc 2xx +√3ccss tt 2xx =2ccss tt (2xx −ππ6),…………………………………5分 所以ff (xx )的最小正周期是ππ,…………………………………………………………………8分 由正弦函数的性质得2kkππ−ππ2≤2xx −ππ6≤2kkππ+ππ2,kk ∈ZZ ,解得kkππ−ππ6≤xx ≤kkππ+ππ3,kk ∈ZZ所以ff (xx )的单调递增区间是�kkππ−ππ6，kkππ+ππ3�,kk ∈ZZ ．……………………………………12分 19．【解析】(1)∵ff (xx )是以2为周期的周期函数,当xx ∈[1,2]时,ff (xx )=−xx +3,∴当xx ∈[−1,0]时,ff (xx )=ff (xx +2)=−(xx +2)+3=1−xx ……………………………2分∵ff (xx )是偶函数,∴当xx ∈[0,1]时,ff (xx )=ff (−xx )=1+xx …………………………………4分 当xx ∈[2,3]时,ff (xx )=ff (xx −2)=1+xx −2=xx −1…………………………………6分 (2)设AA ,BB 的纵坐标为 tt ,横坐标分别为3－tt ,tt +1,1≤tt ≤2,则|AABB |=(tt +1)－(3－tt )=2tt －2,………………………………………………………………………………………8分 ∴△AABBAA 的面积为SS =(2tt －2)·(3－tt )=－t 2+4tt －3(1≤tt ≤2)=－(t-2)2+1 当t=2时,S 最大值=1………………………………………………………………………………12分 20．【解析】(1)：由题意可知，OOOO =12AABB =1=AAAA ，……………………………………1分 所以OOEE =OOOOccss tt ∠OOOOAA +AAAA =32,…………………………………………………………2分 AAEE =OOAA +OOOOccss tt ∠OOOOAA =1+ccllcc 30°=2+√32．所以SS ∆GGOOEE =12OOEE ∗AAEE =12∗32∗2+√32=6+3√38，21即三角形铁皮OOEEGG的面积为6+3√38．……………………………………………………………5分(2)设∠OOOOAA=θθ，则0≤θθ≤ππ，OOEE=ccss ttθθ+1,AAEE=ccllccθθ+1，………………………6分所以SS∆GGOOEE=12OOEE∗AAEE=12(ccss ttθθ+1)(ccllccθθ+1)=12(ccss ttθθccllccθθ+ccss ttθθ+ccllccθθ+1)，…8分令t=sinθ+cosθ=√2sin�θ+ππ4�，因为0≤θθ≤ππ，所以ππ4≤θθ+ππ4≤5ππ4，所以−1≤tt≤√2．因为tt2=(ccss ttθθ+ccllccθθ)2=1+2ccss ttθθccllccθθ，所以ccss ttθθccllccθθ=tt2−12，……………………10分故SS∆GGOOEE=12OOEE∗AAEE=12�tt2−12+tt+1�=14(tt2+2t+1)=14(tt+1)2，而函数yy=14(tt+1)2在区间[−1,√2]上单调递增，故当tt=√2，即θθ=ππ4时，yy取最大值，即yy mmttxx=14(√2+1)2=3+2√24，所以剪下的铁皮三角形GEF的面积的最大值为3+2√24．……………………………………12分21．【解析】（1）ff(xx)+ff(−xx)=ttxx2+2xx−4tt+1+ttxx2−2xx−4tt+1=2ttxx2−8tt+2= 2tt(xx−2)(xx+2)+2.………………………………………………………………………3分∴当x=±2时，ff(xx)+ff(−xx)=2，ff(xx)是“局部中心函数”。

2019年秋中山市高一数学上学期期末考试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{（1，2）（3，4）}的子集个数为（ ） A. 3 B. 4C. 15D. 162.如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的图是( )A. B. C. D.3.设函数()lg f x a x =-的定义域为(]0,10，则实数a 的值为（ ）A. 0B. 10C. 1D.1104.已知经过两点（5，m ）和（m ，8）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） A. 5B. 8C.132D. 75.如图，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A. 8cmB. 6cmC. ()213cm +D. ()212cm +6.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 47.对于给定的正数k ，定义函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，若对于函数22()2x x f x -++=的定义域内的任意实数x ，恒有()()k f x f x =，则（ ）A. k 的最大值为22B. k 的最小值为22C. k 的最大值为1D. k 的最小值为18.已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,2)D. 92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.下列说法中，正确的有（ ）A. 直线y ＝ax ﹣3a +2 （a ∈R ）必过定点（3，2）B. 直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为2C. 直线x 3-y +1＝0 的倾斜角为30°D. 点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离为710.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c C. 若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥bD. 若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b11.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数()11xf x lg x-=+为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是（ ） A. 同学甲发现：函数的定义域为（﹣1，1），且f （x ）是偶函数B. 同学乙发现：对于任意的x ∈（﹣1，1），都有()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭C. 同学丙发现：对于任意的a ，b ∈（﹣1，1），都有()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+=⎪+⎝⎭D. 同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x 1，x 2，总满足()()12120f x f x x x --＞12.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体ABCD 每组对棱相互垂直 B. 四面体ABCD 每个面的面积相等C. 从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°D. 连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.311log 533125+-=_____．14.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，30BAC ∠︒＝，则此几何体的体积为________．15.已知f （x ）＝ln （219x+-3x ），则f （lg12）+f （lg 2）等于_____．16.函数y 228201x x x =-+++的最小值为_____．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)M -和()2,5N ．（1）若M ，N 是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M 的两条边所在直线的方程； （2）若M ，N 是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．18.已知集合{}2|430A x xx =-+≤，{}2|log 1B x x =>．（1）集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）对任意x B ∈，都有函数()230f x x kx k =-++>，求实数k 的取值范围．19.某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L （x ）（元）与用电量x （度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？20.已知函数f （x ）1x=+lg 4x x -．（1）判断并证明函数f （x ）的单调性； （2）解关于x 的不等式()131302f x x lg ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＞．21.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．（1）求证：11D C AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由．22.对于定义域为[0，1]）的函数f （x ），如果同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，都有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立，则称函数f （x ）为理想函数．（1）判断函数g （x ）＝2x﹣1（x ∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f （x ）为理想函数，假定存在x 0∈[0，1]，使得f （x 0）∈[0，1]，且f （f （x 0））＝x 0，求证f （x 0）＝x 0．2019年秋中山市高一数学上学期期末考试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{（1，2）（3，4）}的子集个数为（ ） A. 3 B. 4C. 15D. 16【答案】B 【解析】 【分析】直接枚举求解即可. 【详解】易得()(){}1,2,3,4的子集有∅,(){}1,2,(){}3,4,()(){}1,2,3,4.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的子集个数,属于基础题.2.如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的图是( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用异面直线的定义和正方体的性质 ,逐一分析各个图形中的2条直线的是否相交与平行，即可把满足条件的图形找出来.【详解】①中的PQ 与RS 是两条平行且相等的线段，故选项①不满足条件； ②中的PQ 与RS 是两条平行且相等的线段，故选项②也不满足条件； ④中，由于PR 平行且等于12SQ ，故四边形SRPQ 为梯形；故PQ 与RS 是两条相交直线，它们和棱交于同一个点，故选项④不满足条件；③中的PQ 与RS 是两条既不平行，又不相交的直线，故选项③满足条件， 故答案为③.【点睛】本题主要考查空间两条直线的位置关系以及异面直线的定义，意在考查空间想象能力以及对基础知识掌握的熟程度，属于中档题. 3.设函数()lg f x a x =-的定义域为(]0,10，则实数a 的值为（ ）A. 0B. 10C. 1D.110【答案】C【分析】先带参数求函数的定义域，与已知条件比较可得a 的关系．求得a 值． 【详解】由lg 0a x -得lg ,010a x a x ≤∴<≤.∵函数()lg f x a x =-的定义域为(]0,10，1010,1a a ∴=∴=，故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，掌握对数函数的性质是解题关键． 4.已知经过两点（5，m ）和（m ，8）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） A. 5 B. 8C.132D. 7【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的公式直接求解即可. 【详解】由题可知,815m m -=-,解得132m =.故选：C【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算公式,属于基础题.5.如图，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A. 8cmB. 6cmC. ()213cm +D. ()212cm +【答案】A 【解析】 【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【详解】解：将直观图还原为平面图形，如图所示.2OB O B ''=＝22，1OA O A ''==，所以221(22)3AB =+=，所以原图形的周长为8cm ， 故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．6.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x .【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点，易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <所以023x <<， 结合[]x 的性质，可知[]02x =.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7.对于给定的正数k ，定义函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，若对于函数22()2x x f x -++=的定义域内的任意实数x ，恒有()()k f x f x =，则（ ）A. k 的最大值为22B. k 的最小值为22C. k 的最大值为1D. k 的最小值为1【答案】B 【解析】 【分析】先根据()()k f x f x =得到k 与()f x 最值的关系，然后利用换元法求解函数()f x 的值域，即可确定k 的取值范围，则k 的最值可确定.【详解】因为()()k f x f x =，所以由定义知max ()k f x ， 因为220x x -++≥，所以[]1,2x ∈-，则函数()f x 的定义域为[]1,2-，令 22t xx =-++，则 30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2[1,22]t∈，所以max ()22f x =，因此 22k .故选B.【点睛】指数型函数()()g x f x a=值域的求解方法：利用换元法令()tx g =，求解出()g x 的值域即为t 的取值范围，根据指数函数ty a =的单调性即可求解出()f x 的值域.8.已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,2)D. 92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a 的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数()12,021,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，由题意可知，方程230-+=t t a 在区间()1,2上有两个不同的实数根，令()()2312gt t t a t =-+<<，由题意可知：()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，据此可得：924<<a . 即a 的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.【【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.下列说法中，正确的有（ ）A. 直线y ＝ax ﹣3a +2 （a ∈R ）必过定点（3，2）B. 直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为2C. 直线x 3-y +1＝0 的倾斜角为30°D. 点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离为7 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A,化简方程令a 的系数为0求解即可. 对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可. 对D,利用横坐标的差求解即可. 【详解】对A,化简得直线()32y a x =-+,故定点为()3,2.故A 正确.对B, 32y x =-在y 轴上的截距为2-.故B 错误. 对C,直线310x y -+=的斜率为33,故倾斜角θ满足[)3tan ,01803θθ=∈︒，, 即30θ=︒.故C 正确.对D, 因为直线2x =-垂直于x 轴,故()5,3-到2x =-的距离为()527--=.故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了直线的基础知识点,属于基础题.10.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c C. 若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b D. 若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b【答案】AD【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质辨析即可. 【详解】对A,根据平行的传递性可知A 正确. 对B,因为垂直不具有传递性可知B 错误. 对C,当ab 且,a b α⊂,//αγ时也满足//,//a b γγ但不满足//a b ,故C 错误.对D,根据线面垂直的性质可知,D 正确. 故选：AD【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题.11.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数()11xf x lg x-=+为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是（ ） A. 同学甲发现：函数的定义域为（﹣1，1），且f （x ）是偶函数 B. 同学乙发现：对于任意的x ∈（﹣1，1），都有()2221x f f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭C. 同学丙发现：对于任意的a ，b ∈（﹣1，1），都有()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+=⎪+⎝⎭D. 同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x 1，x 2，总满足()()12120f x f x x x --＞【答案】BC 【解析】 【分析】对A,先分析()1lg1xf x x-=+的定义域,再计算()f x -判定即可. 对B,分别计算()22,21x f f x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭再判断即可. 对C,分别计算()(),1a b f a f b f ab +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭再判断即可.对D,举出反例判定即可.【详解】对A, ()1lg1xf x x -=+定义域为()()101101x x x x->⇒-+>+,解得()1,1x ∈-. 又()()11lg lg 11x xf x f x x x +--==-=--+,故()1lg 1x f x x-=+为奇函数.故A 错误. 对B, ()()()222222221122111lg lg lg 2lg 221211111x x x x x x x f f x x x x x x x x ---+-⎛⎫+===== ⎪+++⎝⎭++++, ()1,1x ∈-.故B 正确.对C, ()()()()()()1111lglg lg 1111a b a ba b b a b a f f ----=+++=+++, ()()()()()()1111lg lg lg 1111111a ba b ab f a b ab abab a b a b ab a b a b -+-+--==++⎛⎫+= ⎪++⎝⎭+++++++, 故()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+=⎪+⎝⎭成立.故C 正确.对D, ()100lg 010f -==+,11112lg =lg 012312f -⎛⎫=< ⎪⎝⎭+,所以()1210002f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-,故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了函数的性质判定,需要根据题意与函数的解析式逐个代入计算或者举出反例判定.属于中档题.12.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体ABCD 每组对棱相互垂直 B. 四面体ABCD 每个面的面积相等C. 从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°D. 连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分 【答案】BD 【解析】 【分析】对AD,将该四面体放入长方体中进行分析即可. 对B,利用全等判定即可. 对C,举出反例即可.【详解】对A,易得四面体ABCD 可放入一个长方体中,如图.若四面体ABCD 每组对棱相互垂直,不妨设AD BC ⊥,根据长方体的性质有''A D BC ⊥,则长方体侧面矩形''A BC D 为正方形,这不一定成立,故A 错误.对B,因为该四面体每组对边均相等.故侧面的三角形三边分别相等,即侧面三角形为全等三角形.故每个面的面积相等.故B 正确.对C,若四面体ABCD 为正四面体,则从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角均为60︒,则和为180︒,故C 错误.对D, 根据长方体的对称性可知, 四面体ABCD 每组对棱中点的线段为长方体中连接每组对面中心的线段,故这三条线段,,HI LM KJ 相互垂直平分且交于长方体的中心O .故D 正确.综上,BD 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查了对边相等的四面体的性质,一般放到长方体中去分析,属于中档题. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.311log 533125+-=_____．【答案】10． 【解析】 【分析】根据指对数的运算法则求解即可. 【详解】3311log 5log 513312533510+-=⋅-=.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题. 14.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，30BAC ∠︒＝，则此几何体的体积为________．【答案】356R π 【解析】 【分析】先由题意可知，阴影部分以直径AB 所在直线为轴旋转一周后，所得几何体为一个球掏去了两个共底的圆锥，因此其体积等于球的体积减去中间两个圆锥的体积即可. 【详解】由题意可得：阴影部分以直径AB 所在直线为轴旋转一周后，所得几何体为一个球掏去了两个共底的圆锥，因为球的半径为R ，30BAC ∠︒＝，所以31CD BD 22R R==，，所以3AD 2R =， 故几何体的体积为2233AD BD41331315V V 33223226V V R R R R R R ππππ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭球圆锥圆锥 . 故答案为356R π 【点睛】本题主要考查几何体的体积公式，熟记公式即可求解，属于基础题型. 15.已知f （x ）＝ln （219x+-3x ），则f （lg12）+f （lg 2）等于_____． 【答案】0 【解析】 【分析】 分析()f x 的奇偶性,再计算()1lg lg 22f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】因为()()2ln193f x x x =+-, 故()()()()()2222ln193ln193ln 199ln10f x f x x x xx x x +-=+-+++=+-==.故()()()1lg lg 2lg 2lg 202f f f f ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭. 故答案为：0【点睛】本题主要考查了利用函数性质求值的问题,属于基础题. 16.函数y 228201x x x =-+++的最小值为_____．【答案】5 【解析】 【分析】观察可知所求函数式为距离之和的表达式,再数形结合分析求解即可. 【详解】由题意,可知y 228201x x x =-+++2222(4)21x x =-+++2222(4)(02)(0)(01)x x =-+-+-+-.则上式可看作x 轴上一点P （x ,0）到两定点M （4,2）、N （0,1）的距离之和. 由题意,求函数y 的最小值,即为点P 到两定点M 、N 的距离之和的最小值,如下图所示,根据图,作点N （0,1）关于x 轴的对称点N ′（0,﹣1）. 很明显,当点M 、P 、N ′三点共线时,函数y 取得最小值, 此时最小值即为|MN ′|22(40)(21)=-++=5.故答案为：5【点睛】本题主要考查了数形结合解决距离之和的问题,需要根据题意判定所给的表达式的几何意义,属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)M -和()2,5N ．（1）若M ，N 是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M 的两条边所在直线的方程； （2）若M ，N 是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．【答案】（1）310y x -+=和330y x ++=；（2）另外一条对角线为370y x +-=，端点为(2,3)-和(4,1)． 【解析】试题分析：（1）根据斜率公式可得()51320MN k --==-，:13MN l y x +=，与MN 直线垂直的直线斜率113MN k k -'==-，1:13l y x +'=-，整理成一般式即可；（2）设另外两个端点坐标分别为()''11,M x y '，()''22,N x y '，根据M '在直线370y x +-=上，且22||OM OM '=，列方程组求解即可.试题解析：（1）∵()0,1M-，()2,5N ，()51320MN k --==-，:13MN l y x +=，与MN 直线垂直的直线斜率113MNk k -'==-，1:13l y x +'=-，整理得所求两条直线为310y x -+=和330y x ++=．（2）∵直线MN 方程为：310y x -+=， 另外一条对角线斜率13k '=， 设MN 中点为()1,2O ，则另一条对角线过O 点，∴()1213y x -=--，整理得370y x +-=， 设另外两个端点坐标分别为()''11,M x y '，()''22,N x y '， ∵M '在直线370y x +-=上， ∴''11370y x +-=，① 且22||OM OM '=，∴()()()()2222''11011212x y -+--=-+-，②联立①②解出23x y -''=⎧⎨=⎩或41x y ''=⎧⎨=⎩，即另外两个端点为()2,3-与()4,1．【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，两条直线垂直与斜率的关系属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= ；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 18.已知集合{}2|430A x xx =-+≤，{}2|log 1B x x =>．（1）集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）对任意x B ∈，都有函数()230f x x kx k =-++>，求实数k 的取值范围．【答案】（1）a ∈（﹣∞，3]；（2）k ∈（﹣∞，6）． 【解析】 【分析】 (1)先求解[]1,3A =,再分C =∅与C ≠∅两种情况讨论即可.(2)分二次函数()23f x x kx k =-++的判别式与0的比较关系讨论即可.【详解】根据条件可得[]1,3A =,()2,B =+∞,（1）因为C A ⊆,①C =∅,则1a ≤； ②C ≠∅,则1a >且3a ≤,即13a ,综上a ∈（﹣∞,3]；（2）根据题意对任意x ＞2,函数f （x ）＝x 2﹣kx +3+k ＞0,①△＞0时,()2220k f ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩,解得k ≤﹣2,则k ∈（﹣∞,﹣2]；②△＝0时,2k≤2,解得k ＝﹣2； ③△＜0时,解得﹣2＜k ＜6； 综上：k ∈（﹣∞,6）.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,同时也考查了二次不等式的解集求解参数范围的问题,属于中档题.19.某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L （x ）（元）与用电量x （度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？ 【答案】（1）L （x ）0.520300.6130x x x x +≤⎧=⎨-⎩，＜，＞，60度电．（2）25＜x ＜50．选择方案一比选择方案二好．【解析】 【分析】(1)易得该函数为分段函数,分030x <≤与30x >两种情况分段求解,再求()35L x =的解即可.(2)令()()0.58gx x L x =-,再分析()0g x >解即可.【详解】（1）L （x ）0.520300.6130x x x x +≤⎧=⎨-⎩，＜，＞,①当0＜x ≤30时,令0.5x +2＝35,解得x ＝66（舍去）.②当x ＞30时,令0.6x ﹣1＝35,解得x ＝60.∴老王家该月用电60度电. （2）令g （x ）＝0.58x ﹣L （x ）,由（1）可得：g （x ）0.0820300.02130x x x x -≤⎧=⎨-+⎩，＜，＞.显然g （x ）＞0所求.①当0＜x ≤30时令g （x ）＝0.08x ﹣2＞0,解得x ＞25,∴25＜x ≤30. ②当x ＞30时,令g （x ）＝﹣0.02x +1＞0,解得x ＜50.则30＜x ＜50. 综上可得：25＜x ＜50.选择方案一比选择方案二好.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用以及求解等,需要根据题意求出分段函数并求解.属于基础题.的,20.已知函数f （x ）1x=+lg 4x x -．（1）判断并证明函数f （x ）的单调性； （2）解关于x 的不等式()131302f x x lg ⎛⎫---⎪⎝⎭＞． 【答案】（1）f （x ）在（0，4）上单调递减，见解析（2）（0，1）∪（2，3）． 【解析】 【分析】(1)先求解定义域,再取区间内1204x x <<<,再计算()()12f x f x -的正负即可.(2)先求得()11lg3f =+,再根据函数的单调性将不等式转换为()()1312f x x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞求解即可.【详解】（1）f （x ）的定义域为（0,4）,f （x ）在（0,4）上单调递减,证明如下：设0＜x 1＜x 2＜4,则：()()()()1212211211221221444114x x x x x x f x f x lg lg lg x x x x x x x x -----=+--=+-,∵0＜x 1＜x 2＜4,∴x 2﹣x 1＞0,x 1x 2＞0,4﹣x 1＞4﹣x 2＞0,12214114x xx x --＞，＞, ∴21120x x x x -＞,()()1221414x x x x --＞,()()1221404x x lg x x --＞, ∴f （x 1）＞f （x 2）,∴f （x ）在（0,4）上单调递减； （2）∵f （1）＝1+lg 3, 由()131302f x x lg ⎛⎫---⎪⎝⎭＞得,()()1312f x x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞, ∵f （x ）在（0,4）上单调递减, ∴()10312x x -＜＜,解得0＜x ＜1或2＜x ＜3, ∴原不等式的解集为（0,1）∪（2,3）.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的定义证明以及根据函数的单调性求解不等式的方法.属于中档题. 21.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．（1）求证：11D C AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接1DC ，证明1D C ⊥平面1ADC 即可 （Ⅱ）取DC 中点E ，证明四边形11A D EB 平行四边形即可【详解】⑴连DC 1,正方形DD 1C 1C 中,D 1C⊥C 1D ∵AD⊥平面DD 1C 1C ∴AD⊥CD 1又AD∩CD 1=D ∴CD 1⊥平面DA C 111D C AC ⊥⑵ E 为AC 中点时，1D E ∥平面1A BD 9’梯形ABCD 中，DE∥且=" AB " ∴AD∥且=BE ∵AD∥且= A 1D 1∴A 1D 1∥且="BE " ∴A 1D 1EB 是平行四边形 ∴D 1E∥B A 1又B A 1⊂平面DB A 1D 1E ⊄平面DB A 1 ∴1D E ∥平面1A BD22.对于定义域为[0，1]）的函数f （x ），如果同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，都有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立，则称函数f （x ）为理想函数．（1）判断函数g （x ）＝2x﹣1（x ∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f （x ）为理想函数，假定存在x 0∈[0，1]，使得f （x 0）∈[0，1]，且f （f （x 0））＝x 0，求证f （x 0）＝x 0．【答案】（1）g （x ）为理想函数；见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据理想函数满足的条件逐个判断即可. (2)利用条件③中的性质,再利用反证法证明即可.【详解】（1）显然g （x ）＝2x﹣1在[0,1]满足条件①g （x ）≥0,也满足条件②g （1）＝1, 若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤1,则()()()()()12121212212121x x x x g x x g x g x +⎡⎤⎡⎤+-+=---+-⎣⎦⎣⎦()()121212222121210x x x x x x +=--+=--≥,满足条件③,故g （x ）为理想函数；（2）证明：由条件③知,任给m ,n ∈[0,1],当m ＜n 时,由m ＜n 知,n ﹣m ∈[0,1], ∴f （n ）＝f （n ﹣m +m ）≥f （n ﹣m ）+f （m ）≥f （m ）, 若x 0＜f （x 0）,则f （x 0）≤f [f （x 0）]＝x 0,矛盾； 若x 0＞f （x 0）,则f （x 0）≥f [f （x 0）]＝x 0,矛盾； 故x 0＝f （x 0）.【点睛】本题主要考查了新定义函数的问题,需要根据新函数满足的关系式代入证明,同时也考查了反证法的运用,属于中档题.。

2019年中山市高中必修五数学上期末一模试题含答案一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D ．若a b <，则a b <3．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞4．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1105．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．116．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．527．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 8．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．149．设实数,x y满足242210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1yx+的最大值是（）A．-1B．12C．1D．3210．已知等比数列{}n a的各项都是正数，且13213,,22a a a成等差数列，则8967a aa a+=+A．6B．7C．8D．911．已知正项等比数列{}n a的公比为3，若229m na a a=，则212m n+的最小值等于（）A．1B．12C．34D．3212．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为=40h的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为=60βo，=30αo，若山坡高为=35a，则灯塔高度是（）A．15B．25C．40D．60二、填空题13．ABC∆内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且2cos(32)cosb C ac B=-.当42b=2a c=，ABC∆的面积为______.14．已知函数()2xf x=，等差数列{}n a的公差为2，若()2468104f a a a a a++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L___________.15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c的值为_______．16．已知数列{}n a满足51()1,62,6nna n naa n-⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N∈都有1n na a+>，则实数a的取值范围是_________.17．等差数列{}n a前9项的和等于前4项的和.若141,0ka a a=+=，则k= .18．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则11a cc a+++的最小值为_____．19．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．20．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．在()f x 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． (1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC △的周长最大值．23．若0,0a b >>,且11a b+=（1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 24．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围； （2）)若41212x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围. 25．已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14m a b+=，求+a b 的最小值．26．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．D解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 6．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键8．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列， 又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0nS>成立的正整数n的最大值是17，故选C．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．9．D解析：D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由1yx+的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件242210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220xx y-=⎧⎨+-=⎩，解得A（112，），1yx+的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，113212PAk+==最大．故答案为32．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．解析：D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得31212322a a a ⨯=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．11．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．12．B解析：B 【解析】 【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度．过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ， 如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-，又山高为a ，则灯塔CD 的高度是3340cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα⨯⨯=-=-=-=-=-． 故选B ．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正 325【解析】 【分析】由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2cos 3B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-， 所以()2sin 3sin cos B C A B +=，在三角形中，()sin sin B C A +=，所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3B =，又0B π<<，所以sin B == 由余弦定理得2224323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967c =.故ABC ∆的面积为2219696sin sin sin 277S ac B c B c B ======. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-【解析】 【分析】根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出625a =，并得出56825a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.【详解】依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且56282255a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫++++==+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭L ， 而()()()()1231061231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，因此，()()()()62123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .故答案为6-. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.15．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，所以222,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：17,212⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得5610012a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出． 【详解】∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>， ∴5610012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()510122a a a a --⨯+＜，＞，＜＜ ， 解得17 212a ＜＜．故答案为17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数解析：10 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =所以567890a a a a a ++++= 由等差数列性质可知70a = 因为40k a a += 所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．18．4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4 【解析】 【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值． 【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=V ＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（），当且仅当1a c ==时取等号．∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.19．【解析】分析：设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解：设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得：两边再平方得：又两数列公差相等即解得：或为正项数列故答案为：点 解析：14【解析】分析：设公差为d ，首项1a ，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案. 详解：设公差为d ，首项1a ，Q {}n a 和都是等差数列，且公差相等，∴=，即=，两边同时平方得：()1114233a d a a d +=+++14a d +=两边再平方得：()221111168433a a d d a a d ++=+，∴2211440a a d d -+=，12d a =，又两数列公差相等，2112a a d a =-==，12a =， 解得：114a =或10a =， Q {}n a 为正项数列，∴114a =.故答案为：14. 点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想.20．【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3116【解析】 【分析】由题意首先求得1S ，然后结合递推关系求解5S 即可. 【详解】由题意可知：12221S a =-=，且：()122n n n S S S +=--，整理可得：()11222n n S S +-=-， 由于121S -=-，故()455113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n 项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．(1) 12n n a -=(2) n S 221n n =+-【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项, ∴()21321a a a =+-, 即()2211q q =+-, 解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦L L()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-.221n n =+-. 【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 22．（1）3A π= (2)9【解析】试题分析：（1）由()2cos cos b c A a C -=，根据正弦定理，得2sin cos sin B A B =， 可得1cos 2A =，进而可得A 的值；（2）由（1）及正弦定理，得;b B c C ==，可得ABC ∆的周长，33636l B B sin B ππ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合范围20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求ABC ∆的最大值.试题解析：（1）由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+()2sin cos sin sin B A C A B ∴=+= ()0,B π∈Q sin 0B ∴≠ ()0,A π∈Q1cos 2A = 3A π∴=(2)解：由（I ）得3A π∴=，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====所以;b B c C ==ABC ∆的周长33l B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3sinBcos sin 33cosB ππ⎫=+++⎪⎭33cosB =++36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q 当3B π=时，ABC ∆的周长取得最大值为9．23．（1）；（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在． 【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式． 24．（1）14m ≥（2）[]6,12- 【解析】 【分析】（1）由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭，再由不等式的恒成立的思想：ab m ≤恒成立，则需()max m ab ≥得所求范围；（2）根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤，运用分类讨论法可求出不等式的解集. 【详解】（1）0a >，0b >，且1a b +=，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥.（2）∵(),0,a b ∈+∞，1a b +=，∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故若41212x x a b+≥--+恒成立，则2129x x --+≤， 当2x -≤时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-，当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<， 当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤. 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-. 【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值，利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系，分类讨论求解绝对值不等式，属于中档题. 25．（Ⅰ）[]1,1-； （Ⅱ）92. 【解析】 【分析】（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得2m =，再由()122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）Q ()2121121x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，，， ∴ 122x x ≤-⎧⎨-≤⎩ 或 1122x -<≤⎧⎨≤⎩ 或 122x x >⎧⎨≤⎩∴ 11x -≤≤,∴不等式解集为[]1,1-.（Ⅱ） Q ()()11112x x x x -++≥--+=,∴ 2m =,又142a b+=,0,0a b >>, ∴1212a b +=,∴ ()125259222222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭,当且仅当1422a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩即323a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号,所以()min 92a b +=.【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 26．（1）3B π=（2【解析】 【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=，0B Q π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin sin CD ADC DAC AC ∠∠==∴四边形ABCD的面积．11122S DAC ABC =⨯∠+∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和.。

中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试数学•理一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

1. 集合{}2560A x x x =-+≥,{}210B x x =->，则A B ⋂==（）A.(][),23,-∞⋃+∞B.1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,32⎛⎤⎥⎝⎦ D.[)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦2. 已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii i-=-+，则3z +=（）B. D.5 3. 计算sin133cos197cos 47cos73+的结果为（ ）A.12B.12- C.2 D.2-4. 如图，在下列四个正方体中，A,B 为正方体的两个顶点，M, N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是（ ）5.61014log 3,log 5,log 7a b c ===，则（）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D.c b a >>6. 已知,x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则的最小值为()A. 2B.2D.1 7. 电路从A 到B 上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于A.1027 B.448729 C.100243D.40818.有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的 站法有()A. 8 种B. 16 种C.32 种D.48 种9. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.12 B.12- C. 1 D. -110. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥,若当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -,的外接球体积为() 'A.D.11. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若，则423a a +的最小值为（）A. 9B. 12C. 16D. 1812. 若关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=-有三个不相等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中, 2.718m R e ∈=为自然对数的底数,则3122312111x x x xx x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. eB. 1m -C. 1 m +D. 1二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置, 书写不清，模棱两可均不得分。

中山市高一年级2019—2020学年度第一学期期末统一考试数学试卷本试卷满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.一、选择题：本大题共8小题，每题5分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求．1．集合的子集个数为（）A．3 B．4 C．15 D．162．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是()A．B．C．D．3．设函数的定义域为，则实数的值为（）A．0 B．10 C．1 D．4．已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．5 B．8 C． D．75．如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cmC． D．6．表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（）A． B． C． D．7．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则（）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为1 D．的最小值为18．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共2小题，每小题7分.在每小题给出的选项中，有多项符合颞目要求.全部选对的得7分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列说法中，正确的有（）A．直线y＝ax﹣3a+2 （a∈R）必过定点（3，2） B．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2C．直线xy+1＝0 的倾斜角为30° D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7 10．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥γ，b∥γ，则a∥b D．若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b11．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是（）A．同学甲发现：函数的定义域为（﹣1，1），且f（x）是偶函数B．同学乙发现：对于任意的x∈（﹣1，1），都有C．同学丙发现：对于任意的a，b∈（﹣1，1），都有D．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x1，x2，总满足12．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则下列结论正确的是（）A．四面体ABCD每组对棱相互垂直B．四面体ABCD每个面的面积相等C．从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°D．连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．_____．14．如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，，则此几何体的体积为________．15．已知f（x）＝ln（3x），则f（lg）+f（lg2）等于_____．16．函数y的最小值为_____．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知点和．（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．18．（12分）已知集合，．（1）集合，若，求实数的取值范围；（2）对任意，都有函数，求实数的取值范围．19．（12分）某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L（x）（元）与用电量x（度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？20．已知函数f（x）lg．（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式．21．（12分）如图，在直四棱柱中，已知，．（1）求证：；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由．22．（12分）对于定义域为[0，1]）的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．（1）判断函数g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f（x）为理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））＝x0，求证f（x0）＝x0．中山市高一年级2019—2020学年度第一学期期末统一考试数学试卷本试卷满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.一、选择题：本大题共8小题，每题5分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求．1．集合的子集个数为（）A．3B．4C．15D．16【答案】B【解析】易得的子集有,,,.2．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是()A．B．C．D．【答案】C【解析】①中的与是两条平行且相等的线段，故选项①不满足条件；②中的与是两条平行且相等的线段，故选项②也不满足条件；④中，由于平行且等于，故四边形为梯形；故与是两条相交直线，它们和棱交于同一个点，故选项④不满足条件；③中的与是两条既不平行，又不相交的直线，故选项③满足条件，故答案为③.3．设函数的定义域为，则实数的值为（）A．0B．10C．1D．【答案】C【解析】由得，∵函数的定义域为，，故选：C.4．已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．5B．8C．D．7【答案】C【解析】由题可知,,解得.故选：C5．如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cmC．D．【答案】A【解析】解：将直观图还原为平面图形，如图所示.＝，，所以，所以原图形的周长为8cm，故选：A.6．表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知是的零点，易知函数是（0，）上的单调递增函数，而，，即，所以，结合的性质，可知，故选B.7．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则（）A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为1D．的最小值为1【答案】B【解析】因为，所以由定义知，因为，所以，则函数的定义域为，令，则，，所以，因此，故选：B.8．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：，即的取值范围是，本题选择D选项.二、选择题：本题共2小题，每小题7分.在每小题给出的选项中，有多项符合颞目要求.全部选对的得7分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列说法中，正确的有（）A．直线y＝ax﹣3a+2（a∈R）必过定点（3，2）B．直线y＝3x﹣2在y轴上的截距为2C．直线xy+1＝0的倾斜角为30°D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7【答案】ACD【解析】对A,化简得直线,故定点为.故A正确.对B,在轴上的截距为.故B错误.对C,直线的斜率为,故倾斜角满足,即.故C正确.对D,因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D正确.故选：ACD.10．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥γ，b∥γ，则a∥b D．若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b【答案】AD【解析】对A,根据平行的传递性可知A正确.对B,因为垂直不具有传递性可知B错误.对C,当且,时也满足但不满足,故C错误.对D,根据线面垂直的性质可知,D正确.故选：AD11．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是（）A．同学甲发现：函数的定义域为（﹣1，1），且f（x）是偶函数B．同学乙发现：对于任意的x∈（﹣1，1），都有C．同学丙发现：对于任意的a，b∈（﹣1，1），都有D．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x1，x2，总满足【答案】BC【解析】对A,定义域为,解得.又,故为奇函数.故A错误.对B,,.故B正确.对C,,,故成立.故C正确.对D,,,所以,故D错误.故选：BC12．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则下列结论正确的是（）A．四面体ABCD每组对棱相互垂直B．四面体ABCD每个面的面积相等C．从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°且小于180°D．连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分【答案】BD【解析】对A,易得四面体可放入一个长方体中,如图.若四面体每组对棱相互垂直,不妨设,根据长方体的性质有,则长方体侧面矩形为正方形,这不一定成立,故A错误.对B,因为该四面体每组对边均相等.故侧面的三角形三边分别相等,即侧面三角形为全等三角形.故每个面的面积相等.故B正确.对C,若四面体为正四面体,则从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角均为,则和为,故C错误.对D,根据长方体的对称性可知,四面体每组对棱中点的线段为长方体中连接每组对面中心的线段,故这三条线段相互垂直平分且交于长方体的中心.故D正确.综上,BD正确.故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．_____．【答案】10．【解析】.故答案为：10.14．如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，，则此几何体的体积为________．【答案】【解析】由题意可得：阴影部分以直径所在直线为轴旋转一周后，所得几何体为一个球掏去了两个共底的圆锥，因为球的半径为，，所以，所以，故几何体的体积为.故答案为15．已知f（x）＝ln（3x），则f（lg）+f（lg2）等于_____．【答案】0【解析】因为,故.故.16．函数y的最小值为_____．【答案】5【解析】【分析】【详解】由题意,可知y.则上式可看作x轴上一点P（x,0）到两定点M（4,2）、N（0,1）的距离之和. 由题意,求函数y的最小值,即为点P到两定点M、N的距离之和的最小值,如下图所示,根据图,作点N（0,1）关于x轴的对称点N′（0,﹣1）.很明显,当点M、P、N′三点共线时,函数y取得最小值,此时最小值即为|MN′|5.故答案为：5四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．在平面直角坐标系中，已知点和．（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．【解析】试题分析：（1）根据斜率公式可得，，与直线垂直的直线斜率，，整理成一般式即可；（2）设另外两个端点坐标分别为，，根据在直线上，且，列方程组求解即可.试题解析：（）∵，，，，与直线垂直的直线斜率，，整理得所求两条直线为和．（）∵直线方程为：，另外一条对角线斜率，设中点为，则另一条对角线过点，∴，整理得，设另外两个端点坐标分别为，，∵在直线上，∴，①且，∴，②联立①②解出或，即另外两个端点为与．18．已知集合，．（1）集合，若，求实数的取值范围；（2）对任意，都有函数，求实数的取值范围．【分析】(1)先求解,再分与两种情况讨论即可.(2)分二次函数的判别式与0的比较关系讨论即可.【解析】根据条件可得,,（1）因为,①,则；②,则且,即,综上a∈（﹣∞,3]；（2）根据题意对任意x＞2,函数f（x）＝x2﹣kx+3+k＞0,①△＞0时,,解得k≤﹣2,则k∈（﹣∞,﹣2]；②△＝0时,2,解得k＝﹣2；③△＜0时,解得﹣2＜k＜6；综上：k∈（﹣∞,6）.19．某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L（x）（元）与用电量x（度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？【解析】（1）L（x）,①当0＜x≤30时,令0.5x+2＝35,解得x＝66（舍去）.②当x＞30时,令0.6x﹣1＝35,解得x＝60.∴老王家该月用电60度电.（2）令g（x）＝0.58x﹣L（x）,由（1）可得：g（x）.显然g（x）＞0为所求.①当0＜x≤30时,令g（x）＝0.08x﹣2＞0,解得x＞25,∴25＜x≤30.②当x＞30时,令g（x）＝﹣0.02x+1＞0,解得x＜50.则30＜x＜50.综上可得：25＜x＜50.选择方案一比选择方案二好.20．已知函数f（x）lg．（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式．【解析】（1）f（x）的定义域为（0,4）,f（x）在（0,4）上单调递减,证明如下：设0＜x1＜x2＜4,则：,∵0＜x1＜x2＜4,∴x2﹣x1＞0,x1x2＞0,4﹣x1＞4﹣x2＞0,,∴,,,∴f（x1）＞f（x2）,∴f（x）在（0,4）上单调递减；（2）∵f（1）＝1+lg3,由得,,∵f（x）在（0,4）上单调递减,∴,解得0＜x＜1或2＜x＜3,∴原不等式的解集为（0,1）∪（2,3）.21．如图，在直四棱柱中，已知，．（1）求证：；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由．【解析】⑴连DC1,正方形DD1C1C中,D1C⊥C1D∵AD⊥平面DD1C1C∴AD⊥CD1又AD∩CD1=D∴CD1⊥平面DA C1⑵E为AC中点时，平面9’梯形ABCD中，DE∥且=" AB "∴AD∥且=BE∵AD∥且= A1D1∴A1D1∥且="BE "∴A1D1EB是平行四边形∴D1E∥B A1又B A1平面DB A1D1E平面DB A1∴平面22．对于定义域为[0，1]）的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．（1）判断函数g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f（x）为理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））＝x0，求证f（x0）＝x0．【解析】（1）显然g（x）＝2x﹣1在[0,1]满足条件①g（x）≥0,也满足条件②g （1）＝1,若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则,满足条件③,故g（x）为理想函数；（2）证明：由条件③知,任给m,n∈[0,1],当m＜n时,由m＜n知,n﹣m∈[0,1], ∴f（n）＝f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）,若x0＜f（x0）,则f（x0）≤f[f（x0）]＝x0,矛盾；若x0＞f（x0）,则f（x0）≥f[f（x0）]＝x0,矛盾；故x0＝f（x0）.。