全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42)

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题一 试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程错误！未找到引用源。

2．如图，在错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，则m+2n 的值为错误！未找到引用源。

３．错误！未找到引用源。

4．单位正方体错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .５．设数列错误！未找到引用源。

6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。

7．若错误！未找到引用源。

8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误！未找到引用源。

条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列错误！未找到引用源。

的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

， 求证：错误！未找到引用源。

． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。

有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。

成立．二 试一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

求证：错误！未找到引用源。

N DCAMBPEFA二．（40分）设错误！未找到引用源。

．三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。

四．（50分）设错误！未找到引用源。

为正整数错误！未找到引用源。

的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。

为数列错误！未找到引用源。

的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。

加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 2、设是满足的正实数，试证： 3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。

加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK·KN＝PK·KQ， 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ① 不难证明 AP=AM，从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2. ② 由②即得①，命题得证. 2、设是满足的正实数，试证： 证明： 令 由均值不等式可知： 所以 另证：令 则 而 故 3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人． 【证】 将十个人表示为十个点，视对应的人相识或不相识而用红或蓝线段连结每对点． 已知所得的图中没有红色三角形，要证明图中有4个点，每两点之间的连线为蓝色．第一种情况：至少有4条红线由A点引出．设AB、AC、AD、AE为红线．由已知B、C、D、E中没有两点是用红线连结的，故B、C、D、E即为所求．第二种情况：至多有3条红线由A点引出．即A至少与6个点用蓝线相连，设为B、C、D、E、F、G．若B用红线连接C、D、E、F、G中3个点，不妨设为C、D、E，则A、C．D、E即为所求．若B至多与C、D、E、F、G中2点用红线相连，则B至少与其中3点用蓝线相连，不妨设BC、BD、BE为蓝线．C、D、E中至少一对用蓝线相连，例如CD是蓝线，则A、B、C、D即为所求． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。

加试模拟训练题（43）1、如图，已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2与⊙O内切于S、T两点，求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线．2、假设a、b、c是已知的自然数且a＜b＜c．1）．证明函数f：N→N是唯一的，f是由下列规则定义2）．找出至少有一个不动点(即f(x)＝x)的充分必要条件．3）．用a、b、c来表示这样的一个不动点．3、若干个步行者沿直线分别匀速行走．已知在某段时间内，所有步行者两两之间的距离之和严格递减．证明：在这段时间内，必有某个步行者，他与其它人的距离之和也严格递减．4、设,,a b c Z ∈使得222|a b c a b c ++++，证明：存在无穷多个正整数n ，使得 |n n n a b c a b c ++++加试模拟训练题（43）1、如图，已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2与⊙O内切于S、T两点，求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线．【证】如图，由题设，知O、O1、S共线，O、O2、T共线．连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N，则有OS＝OT．(1)充分性设S、N、T三点共线，则∠S＝∠T．因△O1SN、△O2NT都是等腰三角形，故∠S＝∠O1NS＝∠T＝∠O2NT，从而O2N∥OS，O1N∥OTOO1NO2为平行四边形，故OO1＝O2N＝O2M，OO2＝O1N＝O1M．所以△O1MO≌△O2OM，则S△O1MO＝S×O2OM O1O2∥OM；又由于O1O2⊥MN，故OM⊥MN．(2)必要性设OM⊥MN，由图知OO2－OO1＝(OT－O2T)－(OS－O1S)＝O1S－O2T(定值)＝MO1－MO2所以，O1M分别在以O1、O2为焦点的双曲线的(左、右)两支上．由OM⊥MN，O1O2⊥MN，知OM∥O1O2．又由双曲线对称性，知O1O2MO是等腰梯形．所以OO2＝O1M＝O1N，OO1＝MO2＝O2N，从而OO1NO2是平行四边形．所以2∠O1NS＋2∠O2NT＋2∠O1NO2＝(∠O1NS＋∠S＋∠SO1N)＋(∠O2NT＋∠T＋∠NO2T)＝360º，∠O1NS＋∠O2NT＋∠O1NO2＝180º，S、N、T三点共线．2、假设a、b、c是已知的自然数且a＜b＜c．1）．证明函数f：N→N是唯一的，f是由下列规则定义2）．找出至少有一个不动点(即f(x)＝x)的充分必要条件．3）．用a、b、c来表示这样的一个不动点．【解】我们可以逐步求出f(x)的表达式．在n＞c时，f(n)＝n－a在c≥n＞c－(b－a)时，f(n)＝f(f(n＋b))＝f(n＋b－a)＝n＋(b－a)－a在c－(b－a)≥n＞c－2(b－a)时，f(n)＝f(f(n＋b))＝f(n＋2(b－a))＝n＋2(b－a)－a…一般地，在c－k(b－a)≥n＞c－(k＋1)(b－a)时，f(n)＝n＋(k＋1)(b－a)－a，k＝0，1，…，q这里q ∈N ，满足q(b －a)≤c ＜(q ＋1)(b －a)因此，f(n)是唯一的．若f 有不动点n ，则n ＝n ＋k(b －a)－a 即 (b －a)|a上式不但是必要条件，而且也是充分条件．事实上，在这一条件成立时，设a ＝k(b －a)，则满足c －(k －1)(b －a)≥n ＞c －k(b －a) 的自然数n 都是不动点．3、若干个步行者沿直线分别匀速行走．已知在某段时间内，所有步行者两两之间的距离之和严格递减．证明：在这段时间内，必有某个步行者，他与其它人的距离之和也严格递减． 【题说】 第二十二届(1996年)全俄数学奥林匹克十一年级题2．【证】 设有n 个步行者，分别用p 1，p 2，…，p n 表示，用V ij 表示p i 与p j 彼此靠近的速度(1≤i ≤j ≤n)．这个量可能正，也可能负．注意，在整个考察时间内V ij 不会增大(仅当p i 与p j 相遇，或其中一人追上另一人时才会减小)．已知在考察时间的最后时刻，这些速度之和是正数：因为V ij ＝V ji (1≤i ＜j ≤n)，所以从而必有某个步行者P j ，使得因为所有的V ij 在整个考察时间内不增，所以不等式(*)在整个考察时间内成立．从而原命题得证．4、设,,a b c Z ∈使得222|a b c a b c ++++，证明：存在无穷多个正整数n ，使得 |n n n a b c a b c ++++证明 设()m m m m a b c S m N +++=∈．可知数列m S 满足递推公式321()()m m m m S a b c S ab bc ca S abcS +++=++-+++．（牛顿幂和公式） ①由于222|a b c a b c ++++，2222()()2()a b c a b c ab bc ca ++=+++++，可以得到|2()a b c ab bc ca ++++．②下面证明：若|m a b c S ++，则3|m a b c S +++．（1）a b c ++为奇数，由②得|a b c ab bc ca ++++．又因为|m a b c S ++，所以21|[()()]m m m a b c a b c S ab bc ca S abcS ++++++-+++，即3|m a b c S +++．（2）a b c ++为偶数，因为a 和1m a +，b 和1m b +，c 和1m c +奇偶性相同，所以a b c ++和111m m m a b c +++++奇偶性相同，1m S +也是偶数，结合②，有1|()m a b c ab bc ca S +++++，又因为|m a b c S ++，所以21|[()()]m m m a b c a b c S ab bc ca S abcS ++++++-++-， 即3|m a b c S +++．因为1S 能被a b c ++整除，所以4710,,S S S 也能被a b c ++整除，符合要求的n 有无穷多个．。

中学生数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能构成三角形3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是：A. 25π平方厘米B. 50π平方厘米C. 75π平方厘米D. 100π平方厘米5. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/2二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的立方是-27，这个数是______。

7. 一个直角三角形的两个直角边分别是6和8，斜边的长度是______。

8. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。

9. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。

10. 一个圆的直径是14厘米，那么它的周长是______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 解方程：2x + 5 = 17。

12. 证明：如果一个三角形的两边长分别是a和b，且a + b > c，那么这个三角形是存在的。

13. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) 的极限，当x趋近于1。

14. 一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，计算它的体积。

15. 一个圆的半径是7厘米，计算它的周长和面积。

答案：一、选择题1. B2. B3. C4. B5. D二、填空题6. -37. 108. 5，-59. 410. 44π厘米三、解答题11. 解：2x + 5 = 17 → 2x = 12 → x = 612. 证明：根据三角形的两边之和大于第三边的性质，如果a + b > c，则可以构成三角形。

13. 解：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) = 3x + 1，当x趋近于1时，极限为4。

加试模拟训练题（42）1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点．2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n ∈N，都有f(f(n))＝kn．求证，对每一个n∈N都有3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）4、 试确定使72++b ab 整除b a b a ++2的全部正整数对).,(b a加试模拟训练题（42）1、 设P 是△ABC 内一点，∠APB －∠ACB ＝∠APC －∠ABC ，又设D 、E 分别是△APB 及△APC 的内心．证明AP 、BD 、CE 交于一点． 【证】 延长AP 交BC 边于K ，交△ABC 的外接圆于F ，连结BF 、CF ．∠APC －∠ABC ＝∠AKC ＋∠PCK －∠ABC ＝∠BAK ＋∠PCK＝∠BCF ＋∠PCK ＝∠PCF同理 ∠APB －∠ACB ＝∠PBF 所以由已知 ∠PCF ＝∠PBF有正弦定理 PB sin ∠PFB ＝PF sin ∠PBF ＝PF sin ∠PCF ＝PC∠PFC所以 PB PC ＝sin ∠PFB sin ∠PFC ＝sin ∠ACB sin ∠ABC ＝ABAC即 PB AB ＝PCAB设∠ABP 的角平分线BD 交AP 于M ，则PM AM ＝PBAB同样设CE 与AP 交于N ，则PN AN ＝PC AC由此，PM AM ＝PNAN，所以M 与N 重合，即AP 、BD 、CE 交于一点.2、设N 为自然数集合，k ∈N ．如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对每个n ∈N ，都有f(f(n))＝kn ．求证，对每一个n ∈N 都有【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1．【证】由于f 严格递增且取整数值，所以f(n ＋1)≥f(n)＋1 从而对m ≥n ，有f(m)＝f(n ＋m －n)≥f(n)＋m －n 取m ＝f(n)，得f(f(n))－f(n)≥f(n)－n故f(n)≥2kn/(k ＋1)3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题） 【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符 合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==ni iX1,0 ①∑==ni iY1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数.综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线. 4、 试确定使72++b ab 整除b a b a ++2的全部正整数对).,(b a解：.7)7()(222a b b ab a b a b a b -=++-++ )7(722a b b ab -++∴（i ）若072>-a b 则有：22277.ab b b a b ++≤-<矛盾；（ii ）若072<-a b 则.77722a b a b ab <-≤++ 72<∴b ， 1=∴b 或.2=b当1=b 时，题设成为8+a 整除57)8(717,17-+=--a a a 有 得293578⨯=+a ，21a ∴=或49=a当2=b 时，a a 7494-+ 由于)94(2470+<-<a a 知：4794-=+a a 无整数解；（iii ）若072=-a b 则27,7k a k b ==其中+∈Zk 此时b a b a ++2除以72++b ab 商恰为k ，题设条件满足。

全国高中数学联赛第二试试题一、选择题1、试找出最大的正整数N ，使得无论怎样将正整数1至400填入20×20方格表的各个格中，都能在同一行或同一列中找到两个数，它们的差不小于N 。

2、设非负整数数列a 1,a 2,…,a 2007满足：a i +a j ≤a i+j ≤a i +a j +1，对一切i,j ≥1,i+j ≤2007成立。

证明：存在实数x ，使对一切1≤n ≤2007，有a n =[nx].3、以ΔABC 的三边向外作正方形ABED ，BCGF 和CAIH ，直线DI ，EF ，GH 交成ΔLMK ，其中K=DI ∩EF ，M=DI ∩GH ，L=EF ∩HG 。

求证：ΔKLM 中KM 上的中线LN ⊥BC 。

以下是答案一、选择题1、解 N=209。

先证明N ≤209，用正中的竖直直线将方格表分成两个20×10的方格表，将1至200逐行按递增顺序填入左表中，再在右表中按同样的原则填入201至400，这样一来，在每一行中所填之数的最大差不超过210-1=209，在每一列中所填之数的最大差都不超过191-1=190，所以N ≤209。

再证N 不能小于209。

考察子集M 1={1，2，…，91}和M 2={300，301，…，400}，将凡是填有M 1中的数的行和列都染为红色；将凡是填有M 2中的数的行和列都染为蓝色，只要证明红色的行和列的数目不小于20，而蓝色的行和列的数目不小于21。

那么，就有某一行或某一列既被染为红色，又被染为蓝色，从而其中必有两个数的差不小于300-91=209。

设有i 行和j 列被染为红色，于是，M 1中的元素全部位于这些行与这些列的相交处，所以ij ≥91,从而i+j ≥2ij ≥291≥19.同理，被染为蓝色的行数与列数之和.201012''2''>≥≥+j i j i2、 证明 先证对任意m,n ∈N +,1≤m,n ≤2007，有ma n a m n 1+<，即ma n <na m +n. ① （1）当m=n=1时a 1<a 1+1，结论成立；（2）设m,n 都小于k 时，命题成立，ⅰ）当m=k,n<k 时，设m=nq+r ，则a m ≥a nq +a r ≥q an +a r ，所以na m ≥nqa n +na r ，所以na m +n ≥nqa n +na r +n=ma n -ra n +na r +n>ma n ；ⅱ）当n=k, m<k 时，设n=mq+r, 0≤r<m ，则a n ≤a qm +a r +1≤a (q-1)m +a r +a m +2≤…≤q am +a r +q ，由归纳假设ra m +r ≥ma r ,所以ma n ≤mqa m +ma r +mq<mqam+ra m +r+mq=na m +n ，所以当m,n 至少有一个为k 时结论成立，而m=n=k 时，结论也成立，所以由数学归纳法，①得证。

加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n ,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值． 解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U =2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n≥≥≥,,2,121 又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序)n b b b n22212+++≥ (倒序)n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

加试模拟训练题（84） 2.数列｛an｝由下列条件决定：a1=1；n≥1时，an+1=an+1/an．求a100的整数部分[a100]． 3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，我们考虑以这些点为顶点的所有可能的三角形，证明：其中至多有70%的三角形是锐角三角形． 4. 用表示不大于的最大整数，求 . 加试模拟训练题（84） 2. ?数列｛an｝由下列条件决定：a1=1；n≥1时，an+1=an+1/an．求a100的整数部分[a100]． 【题说】1990年日本数学奥林匹克第一轮选拔赛题12． 【解】由题有 因为an+1-an=1/an＞0，所以an递增．当≥2时，an≥a2=2，于是=200+98/4＜225 所以 14＜a100＜15 故[a100]=14．? 3.在一个平面上有100个点，其中任意三点均不共线，我们考虑以这些点为顶点的所有可能的三角形，证明：其中至多有70%的三角形是锐角三角形． 【题说】 第十二届(1970年)国际数学奥林匹克题6．本题由原苏联提供． 【证】 任意五个点，其中没有三点共线，则一定可以找到以它们为顶点的三个非锐角三角形．这个结论可分三种情形讨论． (1)若五个点组成一个凸五边形，则这个五边形中至少有两个内角为钝角，它们可能相邻(例如∠A、∠B)，也可能不相邻(例如∠A、∠C)，如图a、图b．再注意四边形ACDE中至少有一个内角非锐角，这样就找到了三个不同的非锐角，相应地得到三个非锐角三角形． (2)若五个点中有四个点组成一个凸四边形ABCD(图C)，另一点E在ABCD内部，则EA、EB、EC、ED相互间的夹角至少有两个钝角．再加上ABCD中的非锐内角，至少也可找到三个非锐角三角形． (3)若五个点中有三点组成一个三角形ABC(图d)，另外两点D和E均在△ABC内，由于∠ADB、∠BDC、∠CDA中至少有两个钝角，我们可以找到四个钝角三角形． 综合(1)、(2)、(3)可得结论． 数的比为 例2 用表示不大于的最大整数，求 . 讲解 题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除： （1）分子是哪些数相加，求出和来； 由，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个 1～3650365个366～7311366个732～10972366个1098～14633366个1464～18294366个1830～20045175个 （2）除法谁除以366，求出商的整数部分. 原式。

加试模拟训练题(76)1以AA5C的两边AB, AC向外作正方形ABDE, ACFG。

AABC的高为AH。

2 求证：AH, BF, CD交于-点。

3.一次竞赛在n (>1)轮中共发了m枚奖章.第一轮发了WX"的皿.1»的孑,笫二了2枚又"的土….直至第n轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮？一共发了多少奖章?3.证明：恰好存在一个三角形，其三条边长为连续自然数，而且一个角的大小是另一个角的两倍.4.设ax Q +/?y0为形如ax + by ( a.b不全为零)的整数中最小的正数，证明：Vx, y G Z ,恒有(ax0 + by。

)|(ax + Z?y) o加试模拟训练题（76）1 以△A3C的两边AB,A C向外作正方形ABDE,ACFGo△ABC的高为AH。

求证：AH, BF, CD交于一点。

证如图。

延长到® AM=BC.连CM, BM。

设CM与3F交于点K。

在△ACM和ABCF中，AC=CF, AM=BC, ZMAC+ZHAC=180°, ZHAC+ /HCA=9Q° ,并且ZBCF=90° +ZHCA,因此ZBCF+ZHAC=180°,ZMAC=ZBCF O从而△ MAC^ABCF, ZACM=ZCFB O所以匕MKF= Z KCF+ Z KFC= Z KCF+ ZMCF=90° ,即BF ± MCo同理CD ± MB。

AH, BF, CD为4MBC的3条高线，故AH, BF, CD三线交于一点。

3.一次竞赛在n （＞1）轮中共发了m枚奖章.第一轮发了HR"的…收蚂,算*£了2枚R"的！，拓条轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮？一共发了多少奖章?【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题6.本题由匈牙利提供.因为( Cm-t)・言-2)* y- — ], y-n + lj, - n阿含土2・(：)f ••+ U-l)-:f...+Cn-l) J-6 G-l) 5 (?) 7-1],所以m- Cy) Cy) 7 -IJ-Q即(m-36) • 6『1=7“・(n-6)所以6叫(n-6)但6nl>n-6所以n=6, m=363.证明：恰好存在一个二角形，其二条边长为连续自然数，而且一个角的大小是另一个角的两倍. 【题说】第十届（1968年）国际数学奥林匹克题1.本题由罗马尼亚提供.【证】设AABC的二边为n+1, n, n—l（n为自然数），ZC = 2ZB> 延长Be%,使8= AC, NZCAD = ZD =^ZACB = ZB,AD = AB,于是 2AB=AB+AD>BC + CD = BC+AC,所以 AB = n+l. 由左DCA S Z\DAB,得DB • DC = AD2DB = DC+BC = AC+BC = 2n-l所以ACX (2n—l) = (n+l)2由于n不能整除(n+1)2.所以AC = n—1. 由(n—l)(2n—l) = (n+),解得 n = 54.设ax0 + by0为形如ax + by ( a.b不全为零)的整数中最小的正数，证明：Vx, y G Z ,恒有(ax0 + by。

加试模拟训练题(80)1 ABCD是一个平行四边形，E是AB±的一点,F为CD上的一点。

AF交ED于G, EC交FB于H。

连接线段GH并延长交AD于L,交BC于机求证：DL=BM.2.由0和1组成的、长度为n (如00101, 10100长度都为5)的排列中，没有两个1 相连的排列的个数记为f (n).约定f (0) =1.试证明：(1) f (n) =f (n-1) +f (n-2), nN2；(2) f (4k+2)可被3整除，k》0.离专字习网/ 3.设ABCD是块矩形的板，|AB|=20, |BC|=12,这块板分成20X12个单位正方形.设r是给定的正整数.当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于齐时，可以把放在其中一个小方块里的砸而移别另一个小方块中.在以A为顶点的小方块中放有一个硬币，我们的工作是要找出一系列的移动，使这硬币移到以B 为顶点的小方块中.(a)证明当r被2或3整除时，这一工作不能够完成.(b)证明当r=73时，这项工作可以完成.(c)当r = 97时，这项工作能否完成？4.设a,b,c是三个互不相等的正整数。

求证：在a3b-ab3, b i c-bc i, c3a-ca3三个数中, 至少有一个能被10整除。

梅 涅劳斯定理，得EG DI CH i ---- =1 9GD IC HE AG FH BJ----- . ----- — 1 . HB JA因为AB//CD,所以竺 _ AG — , CH _ FH GD GFHE ~ HB'加试模拟训练题(80)1 ABCD 是一个平行四边形，E 是48 ±的一点,F 为CD 上的一点。

AF 交ED 于G, EC 交FB 于连接线 段GH 并延长交AD 于L,交BC 于M 。

求证:DL=BM.证 如图，设直线L/W 与曲的延长线交于点与DC 的延长线交于点/。

在△£(：£)与中分别使用n^-Dl BJ 0n CD + CI AB + AJ +后厂,,,布 从而一=—,即 ----------- = -------- ,故CI=AJ.而 IC JA CI AJ BM _BJ DI _ DL MC~ CI ~ AJ~ LA J 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL 。

加试模拟训练题(88)1.以0为圆心的圆通过/4BC的两个顶点A、C,且与4B、BC 两边分别相交于K、N两点,AABC和/KBN的两外接圆交于B、M 两点.证明：ZOMB为直角.2. 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1 =0至少有一个实根，对所有这种数对(a, b),求出的最小可能值.3 一条平行于x轴的直线,如果它与函数y=x"+px'+qx" + rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD可以构成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”.证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的.4.已知实函数/(x, y)满足/(%,0) = 1, ①z) = f(z,xy) + z.求/(x, y)的表达式・蒿圭字2网加试模拟训练题(88)1.以O为圆心的圆通过/4BC的两个顶点4、C,且与4B、BC两边分别相交于K、N两点，AABC和ZJKB/V的两外接圆交于B、M两点.证明：ZOMB为直角.分析对于与圆有关的问题，常可利用圆幕定理，若能找到B/M上一点，使该点与点P对于圆O等幕即可.证明：由BM、KN、4C三线共点P,知PMPB=PN-PK=PO2~r2. (1) 由ZPMN=ZBKN=ZCAN,得P、M、N、C 共圆, 故BM-BP=BN-BC=BO2~r2.⑵⑴一⑵得，PM-PB~BM-BP= PO2- BO2,即(PM~BM)(PM+BM)= PO2-BO2,就是PM2-BM2= PO2- BO2,于是0/W丄PB.2.设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a, b),求出a'+b'的最小可能值.【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3.本题由瑞典提供.【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+l=0从而方程y2+ay+(b-2)=0有一宴根，宪对值为I I >2. 0ftta a-4(b-2)>O.并且此式即C则平方整理得2 I a I工2+b从而由ftW»3b = -|f a=±扌时，a^ + b a WHk<M&|«8t«= * 2^程x4+ax3+bx2+ax+l 的实根).3 一条平行于x轴的直线,如果它与函数y=x*+px'+qx' + rx+s的图像相交于互异的四点A、B、C、D,而线段AB、AC与AD可以构成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”.证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的.【题说】1980年四国国际数学竞赛题5.本题由芬兰提供.【证】设有一条直线是三角形的，不妨设它就是x轴，并且交点A在最左面(如果B在最左, A为左起第二个，则BA、BC、BD也成三角形，其它情况令x = —t就可以化成这两种)，A就是原点.这时B、C、D的横坐标是三次方程x3+px2+qx+r = 0的三个根，它们可以作为三角形的三条边的充分必要条件是P<0, q>0, rVO及p3>4pq-8r.任一条平行于x轴的直线y = y°与y = x" + px3 + qx'+rx + s的四个交点的横坐标记为x o<xi<x2<x3,则正数a=Xj —x0, b = x2—Xo, C=x3—Xo及0 满足方程y0= (x + Xo)4+p (x+Xo)3 + q (x + Xo)2+r (x + Xo) +s从而a、b、c是方程+P)«3-»- (“： +3p«i +q) K+(4#+3px： 42^ 4r) =0的根.由于(41, +p) 1 -4(4r( 4- p) (&： +3fw. +q)+8(4K： +3p«J +r)= p3 —4pq+8r>0所以a、b、c可以作为三角形的边长.即直线y=y。

加试模拟训练题(40)I、ZsABC具有下面性质：存在一个内部的点F使ZPAB = 10°,ZPBA = 20°, ZPCA 30°, ZE4C=40°.证明：ZsABC是等腰三角形.2、求适合以下条件的所有函数f： [1, +-)-(1, +8)：(l)f(x)W2(x+l)； (2)f (x+1) = [f2(x) —l]/x.3、设项链A有珠14颗，B有珠19颗.对奇数n》l,用n, n+1, n+2,…，n+32给这 33颗珠编号，使每个整数恰用一次，且相邻之珠编号互素，试证最少有6种可行方法.4、k > 2,n A,n2,---,n k自然数，且满足"2|(2"'_1),儿3|(2如一1),“，久|(2"1_1),〃汁(2处一1),证明％ =乃2 =…=为=1。

CO 加试模拟训练题(40)1、 ZsABC 具有下面性质：存在一个内部的点F 使ZPAB = 10°, ZPBA=20° , /PCA = 30°, ZB4C=40°.证明：AABC 是等腰三角形.(第25届(1996年)美国数学奥林匹克题5) [解]作AC 边上的高30,又作AQ 使ZQAD=30° , 交3。

于0 连F0 设直线FQ 交AC 于C'.因为/&4。

=10°+40°=50°,所以 £430=90°—50° =40° , ZPBQ=40° - ZPBA = 20° = ZPBA, ZPAQ= ZPAC~ZQAD = IO° = ZPAB,从而 F 是AABQ 的内心，ZPQA = ZPQB =|(180° -40° -20°) =60° BZPC' A = ZPQA- Z QAC=30°,而ZPCA = 3Q° ,所以 C'与 C 重合. /I/AM QA = QC, QD 平分 AC, BA=BC. 凌勺2、 求适合以下条件的所有函数f ： [1, +8)-(1, +8)： |A D (l)f (x) W2(x + 1) ； (2)f (x+1) = [f 2(x) —l]/x.【题说】1994年中国数学奥林匹克(第九届数学冬令营)题3.【解】易见，函数f (x) =x+1满足条件.下面证明这是唯一符合要求的函数.令 g(x) =f (x) — (x+1),由⑵,有 g(x+l) | = | f (x+1) — (x+2) 驴|，八+1K B WI , ---- - ---因f (x)》1,故|gG) He SI •顽E5)1又由 1 Wf (x) W2(x+1),得一 xWg(x)Wx+l代入(1),得2~+2 ' ) M + 1teCx) 1＜半洛代入⑴，得XW 制i因此，对任何自然数n, 令n—8,就得g(x) =0.从而f (x) =x+1是满足本题条件的唯一函数.3、设项链A有珠14颗，B有珠19颗.对奇数nNl,用n, n+1, n+2,…，n+32给这 33颗珠编号，使每个整数恰用一次，且相邻之珠编号互素，试证最少有6种可行方法.【题说】第三届(1993年)澳门数学奥林匹克第二轮题5.【证】A的珠顺次编为n+k, n + k+1,…,n + k+13.B 的珠顺次编为 n+k+14, n + k+15, n+32, n, n+1,…，n+k— 1, lWkW18.当且仅当(n+k, n + k+13) = (n + 32, n) = (n + k—1, n+k+14) = 1 即(n+k, 13) = (n, 32) = (n + k—1, 15) = 1 (*)时，编号合乎要求.因为n为奇数，(n, 32)=1,显然成立.18个连续值中至少2个k能使13|n + k,恰有6 个能使3|n+k—1,至多4个能使5|十k —1,故使(*)不成立的至多2 + 6 + 4=12个值，即至多有6个值能使(*)成立.注：因为连续15个数中有8个数与15互素，连续3个数中必有一个与15互素(3的倍数与 5的倍数至多各1个).故k的18个连续值中至少有9个使n+k-1与15互素，故最小有7 种可行的编号法，7是最佳值.令n = 99,则恰好只有m=3, 6, 8, 9, 11, 14, 15这7个数能使(*)成立.3> k > 2,n v n2,---,n k自然数，且满足〃21 (2"「一 1), 〃31 (2"2 —1), • • •,(2妇—1), 1 (2以-1),证明〃产〃2 =••• = 〃'= 1。

加试模拟训练题(8)1、已知圆0],。

2，。

3，。

4按顺时针的顺序内切于圆0,设圆0i,0j(l<i< j<4)的外公切线长为厶，证明依次以Z12,Z23,Z34,Z14为边长，以/13,/24为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。

2.设AABC -边长为a,b,c,有不等式Y(b-c)2 > ly^±£(z? _c)2 ......①3 a试证不等式①中的系数丄是最优的.33、设M={ l,2,3,-,2m n} (m,neN*)>连续2mn个正整数组成的集合，求最小的正整数k,使得M的任何k元子集中都存在m+1个数，ai,a2,…am+i，满足册+14.已知a,b,m,n e N*,且(a,b) = l,a > 2 ,试问a" +b" I a m +b m的充要条件是“I加吗? 2006年山东省第二届夏令营试题)加试模拟训练题(8)1、已知圆0],。

2，。

3，。

4按顺时针的顺序内切于圆0,设圆<9,.,(9.(1<Z< J'<4)的外公切线长为厶，证明依次以Z12,Z23,Z34,Z14为边长，以/13,/24为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。

证明设圆0,0],。

2，°3，°4的半径分别为R,r v r2,r3,r4 ,圆0{,02,03,04与圆0的切点分别为A,B,C,D , 00{ = a,00n = b,003 = c,004 = d , = a, /L0^003 = /3 , ZO3OO4 = /,Z01004 = 8 ,因为R = a + r^=b + r2,所以有= OjO；_(斤-弓)2 =a~ +b2 -2abcosa - (a -b)~ = 2ab(l-cosa) = 4aZ?sin2彳,即-2应i吟同理可得3皿厶血的表达式。

由托勒密定理的逆定理知，只要证1丛4+?23厶4 =厶3‘24 °代入切的表达式，只要证sin — sin — + sin — sin — = sin sin - +—, 即AB CD+ BC AD = AC BD。

加试模拟训练题（50）)(.1都相切的圆的延长线以及边、边上的旁切圆是与边的注：边上的旁切圆半径；的外接圆半径等于上，求证：在线段边上的高，是的外心和内心，分别为、如图，BC AC AB BC ABC BC ABC OD I BC AD ABC I O ∆∆∆2. 设m 和n 是正整数,a 1,a 2,…,a m 是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当a i +a j ≤n,1≤i ≤j ≤m,就有某个k,1≤k ≤m,使得a i +a j =a k ,求证：3.在木板上写有若干个0,1和2．现在可以擦掉两个不同的数字,并用另一个数字来代替(代替0和1的是2,代替1和2的是0,代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法,最后在木板上只留下一个数字,那么与它们操作的次序无关．4.求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x,y）．加试模拟训练题（50）)(.1都相切的圆的延长线以及边、边上的旁切圆是与边的注：边上的旁切圆半径；的外接圆半径等于上，求证：在线段边上的高，是的外心和内心，分别为、如图，BC AC AB BC ABC BC ABC OD I BC AD ABC I O ∆∆∆2cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin 2sin )(21sin 21,12cos 2cos 2sin 42sin 2sin 2sin 2sin sin 2)2()1(2sin 2sin 2sin 22cos 2sin 2sin sin 2cos 2sin 2sin 212sin 21212121sin sin 2sin //,C B C B C B C B C B A R A C B C B A R r a c b A bc r a c b r S A bc r BC ABC C B A A C B C B A C B C B A C C B BK AB BA BI BKB BI AB S S IK AI A BAK CACB AKB A CAK CBK B IBC ABI C B R B c OKAD IK AI AD OK BC OK R O OK K O ABC AI b CA a BC c AB a a a ABC a KBI ABI ++--+⋅=-+⋅=∴-+=⇒-+==∆=∴==⋅=⋅=+⋅⋅⋅⋅==∴∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠=⋅==∴∴⊥∆===∆∆∆则：上的旁切圆半径为的边又设可得：、由又，，的半径，记为是圆则点，于的外接圆的延长线交设，，证明：如图，记 边上旁切圆的半径的外接圆半径等于即BC ABC R C B A R C B C B C B A R ∆∴=⋅=+⋅=2sin 2sin 22sin 42sin 2sin 22sin sin sin sin2.设m和n是正整数,a1,a2,…,a m是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当a i+a j≤n,1≤i≤j≤m,就有某个k,1≤k≤m,使得a i+a j=a k,求证：【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题1．本题由法国提供．【证】不妨设a1＞a2＞…＞a m,若存在某个i,l≤i≤m,使a i+a m+1-i≤n．则a i＜a i+a m＜a i+a m-1＜…＜a i+a m+1-i≤n由已知,得i元集这不可能,于是对1≤i≤m,恒有a i+a m+1-i≥n+1．从而2（a1+a2+…+a m）=（a1+a m）+（a2+a m-1）+…+（a m+a1）≥m（n+1）3.在木板上写有若干个0,1和2．现在可以擦掉两个不同的数字,并用另一个数字来代替(代替0和1的是2,代替1和2的是0,代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法,最后在木板上只留下一个数字,那么与它们操作的次序无关．【题说】第九届(1975年)全苏数学奥林匹克八年级题6,十年级题5．【证】假设0的个数是p,1的个数是q,2的个数是r．在每次操作后,p、q和r分别增加或减少1,即p、q、r改变一次奇偶性．当木板上只留下一个数字时,p、q、r三个数中,一个为1,另两个为0．由此可见,p、q、r三数中,必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同；与它对应的数字最后留在木板上．4.求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x,y）．【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8．【解】由条件得（2x2+1）（y2－13）=1188=22×33×11从而2x2+1与y2－13均为22×32×11的因数．又2x2+1是奇数,故2x2+1为33×11=297的因数．由下表可知,所求的正整数解为（4,7）和（7,5）．。

全国初中数学联赛模拟试卷二一、选择题(本大题共6个小题,每小题只有一个正确答案,选对得5分,选错、不选或多选均得0分).1.已知方程0352=++-a x x 有两个正整数根,则a 的值是( ). A .a =1B .a =3C .a =1或a =3D .a =1或a =42.已知函数1622+++=x bx ax y 的最大值为9,最小值为1,则有( ).A .a =5,b =4B .a =4,b =5C .a =b =5D .a =b =43.若方程029)39(62234=+--++p px x p x x 有且仅有一个实数满足,则p 的值是( ).A .49-=pB .89-=pC .49-=p 或89-=pD .不存在4.方程0422=-++a ax x 恒有二相异实根,方程022=++k ax x 也有二相异实根,且其二根介于上面方程二根之间,则k 的取值为( ).A .k 2≤a 2B .k ≥a -4C .a -4＜k ＜a 2D .a -4＜k ＜a 5.已知a 、b 、c 均为正实数,关于x 的三个方程:0222=+++c x b a x 0222=+++a x b a x 0222=+++b x b a x则这三个方程存在实根的情况是( ).A .均有实根B .至少两个有实根C .至少一个有实根D .都没有实根 6.用集合R 1、R 2分别表示下列两函数的值域.(1)1122+++-=x x x x y ; (2)x x y 913--=(x ＞0)则有( ).A .R 1={y :y ≤3}, R 2={y :y ≤-3}B .R 1={y :31≤y ≤3}, R 2={y :y ≥-3}C .R 1={y :31≤y ≤3}, R 2={y :y ≤-3}D .非上述答案二、填空题(本大题共有6个小题,每小题5分)1.已知方程0)2963()1(2222=++-+++b ab a x a x 有实根,则方程的根为______.2.已知方程(|a |-1)x 2+2(a +1)x +1=0恰有一个实数满足,则a 的值为______.3.若方程0)3(233=--+-+-x x a x x x x x 只有一个实根,则a 的值为______.4.若方程组⎩⎨⎧+-=-++=+yx a y x yx a y x 2)(2)(22 有解,但无不同的解,则a 等 于______.5.如图所示,在四边形ABCD 中,AD =DC =1,∠DAB =∠DCB =90°,BC 、AD 的延长线交于点P ,则AB ·S △P AB 的最小值是______.6.设2)(|)(|)(,2)(2x f x f x g x x x f -=-+=,当0≠a 时,直线y =ax +b 与曲线y =g (x )有三个不同的交点,则a 、b 的取值范围是______.三、解答题1.(8分)已知a ＞b ＞c ,求证:22)(9)2)(2(4)2(c a b a c c b a a c b -=-------2.(8分)一艘船A 停泊在距海岸2千米处的海面上,沿海岸有一座B 城,距离岸上离船最近的C 点3千米.一位船员因事要到B 城去.已知他步行每小时走5千米,划船每小时行3千米,问此船员最快几小时到达B 城?3.(10分)已知222b a c +=,且a ＞0,b ＞0,c ＞0,求证方程)1(2x a -0)1(222=++-x c bx 有两个不等的实根;若该方程的两根的平方和等于6,求它的两根.4.(14分)已知a 、b 、c 都是正数,求证: (1)若长度为a 、b 、c 的线段可构成一个三角形,则对一切满足p +q =1的实数,都有pa 2+qb 2＞pqc 2.(2)若对于一切满足p +q =1的实数,都有pa 2+qb 2＞pqc 2,则长度为a 、b 、c 的线段可以构成一个三角形.参考答案1. △=52-4(a +3)=13-4a 应为一完全平方数,且不大于52,因而a =1或a =3.易验证,a =1.a =3时原方程确有两个正整数根,故选C .解2:设方程的二整数根为x 1、x 2,不妨设x 1≤x 2,由韦达定理应有: x 1+x 2=5……①, x 1x 2=a +3……②.由①应有x 1=2,x 2=3或x 1=1,x 2=4,代入②得a =3或a =1.故选C .2.解:由1822+++=x bx ax y 得 (a -y )x 2+8x +(b -6)=0.要此方程有实根,应有 △=82-4(a -y )(b -y )≥0 也即 y 2-(a +b )y +ab -16≤0因为y 的最小值是1,最大值是9,因此可得方程组:⎩⎨⎧=-++-=-++-016)(981016)(1ab b a ab b a 解这个方程组得a =b =5,故选C . 3.解:将方程x 4+6x 3+(9-3p )x 2-9px +2p 2=0 变形得 (x 2+3x -p )(x 2+3x -2p )=0由于这个方程仅有一个实数满足,因此方程x 2+3x -p =0与x 2+3x -2p =0,有一个有重根,另一个无实根,于是应有不等式组(I )⎩⎨⎧<+=∆=+=∆08904921p p 与(Ⅱ) ⎩⎨⎧=+=∆<+=∆08904921p p 由不等组(I )得49-=p ,不等式组(Ⅱ)无解.故选A . 4.解:设方程x 2+2ax +a -4=0的二根为x 1,x 2,判别式为1644)4(44221+-=--=∆a a a a ;方程x 2+2ax +k =0的二根为'1x 、'2x ,判别式为k a 4422-=∆.则有222222221221∆±-<∆+-<∆--<∆--a a a a从而得 21∆>∆,即 4a 2-4a +16>4a 2-4k 解得 k >a -4.又x 1、x 2及'1x 、'2x 都是相异二实数根,因而△2>0,△1>0.只要△2=4a 2-4k >0,即可得k <a 2,∴a -4<k <a 2,故选C .5.解:当a =1,b =1.1.c =1.15时,三个方程变形为03.21.222=++x x02.215.222=++x x 0225.222=++x x仅方程0225.222=++x x 有实根,因而排除3选项A 与B .若三个方程均无实根,则应有 △1=4(a +b )-8c <0 △2=4(b +c )-8a <0 △3=4(a +c )-8b <0 三个不等式相加,得△1+△2+△3=4(2a +2b +2c )-8(a +b +c )<0而4(2a +2b +2c )-8(a +b +c )=0,矛盾.由此排除3,D .故选C .6.解:由(1)1122+++-=x x x x y 得0)1()1()1(2=-++--y x y x y221)1(4)1(y y --+=∆≥0 整理得 (y -3)(3y -1)≤0解此不等式得31≤y ≤3,故R 1={ y :31≤y ≤3 }.由(2))0(913>--=x xx y )91(3x xy +-=.又因为x x 91+≥6912=⋅x x故 y ≤3-6=-3.故R 2={ y :y ≤-3 }.故选C . 二、填空题 1.解:因为方程0)2963()1(2222=++-+++b ab a x a x 有实根.因而其判别式△=4(1+a )2-4(3a 2-6ab +9b 2+2)≥0 又 △=4(1+a )2-4(3a 2-6ab +9b 2+2) =4(1+2a +a 2-3a 2+6ab -9b 2-2) =4(-a 2+2a -1-a 2+6ab -9b 2) =-4[(a -1)2+(a -3b )2]≥0从而有 (a -1)2+(a -3b )2≤0得 a =1,b =31.原方程为 x 2+4x +4=0所以x 1=x 2=-2,原方程的根为-2,-2. 2.解:因为方程(|a |-1)x 2+2(a +1)x +1=0恰有一个实数满足,因而有两种情况,可用两个不等式组表示:(I )⎩⎨⎧≠+=-0)1(201||a a (Ⅱ)⎩⎨⎧≠-=--+=∆01||01|(|4)1(42a a a 由不等式组(I ),得a =1. 不等式组(Ⅱ)等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥≠-=--+0010)1(4)1(42a a a a 和⎪⎩⎪⎨⎧<≠--=---+0010)1(4)1(42a a a a 解此二不等式组,得a =-2,所以a 的值是-2和1.3.解:将方程0)3(233=--+-+-x x a x x x x x 去分母整理得 09422=-+-a x x ……①原分式方程只有一个实根的可能有:方程①有相等的实根,但非0与3.即 △=16-8(9-a )=0 得 a =7,相应方程的根为 x =1.方程①有二不等实根,其中一根为0,另一根不是3,即应有9-a =0,a =9,另一根为x =2.方程①有二不等实根,其中一根为3,另一根不是0,即应有2×9-4×3+9-a =0, a =15,另一根是a =-1.综上所述,a 的值等于7、9、15. 4.解:原方程组中两方程相减得: 4xy =2x ∴2x (2y -1)=0由此得:x =0或y =21.当x =0时,两方程均为y 2=a +2y ……①;当y =21时,两方程均为x 2=a +43……②.若y =21,原方程组有唯一解,由②得a +43=0,所以a =-43.但此时方程①的判别式△=4+4a =1>0,此时原方程组的解不唯一,矛盾.因此方程组有解时,必须x =0才有可能有唯一解.此时方程①的判别式△=4+4a =0,所以a =-1.此时方程②x 2=-41,正好无解.而方程①为y 2=-1+2y ,得y =1.故a =-1时,方程组有唯一解.5.解:设DP =x ,则AP =x +1,PC =12-x .由△PCD ～△P AB 可得:DCABPC AP = 所以 112-+=⋅=x x PC DC AP AB 令=y AB ·S △P AB 112-+=x x ·21·AP ·AB 21=·112-+x x ·)1(+x ·112-+x x)1(2)1(23-+=x x )1(2)1(2-+=x x得 x 2+2(1-y )x +(1+2y )=0 由于x 为实数,所以 △=4(1-y )2-4(1+2y )≥0 即 4y (y -4)≥0又y >0,故应有y ≥4,即AB ·S △P AB 的最小值是4.6.解:∵f (x )=x 2+x -2=(x +2)(x -1) 若x ≤-2或x ≥1,则 |f (x )|=x 2+x -2=f (x ) 若-2<x <1时,则|f (x )|=-(x 2+x -2)=-f (x ) 因而,有⎩⎨⎧<<-+--=-=122)(0)(2x x x x f x g 当x ≤-2或x ≥1时 当 时其图象为当0≠a 时,要使直线y =ax +b 与曲线y =g (x )交于三个不同的点充要条件是方程ax +b =-x 2-x +2 ①在-2<x <1的范围内有两个不等实根,将①变形为h (x )=x 2+(a +1)x +b -2 ② 于是有△=(a +1)2-4(b -2)>0 ③-2<-21+a <1 ④ h (-2)=b -2a >0 ⑤ h (1)=b +a >0 ⑥由③得 b <41(a +1)2+2由④得 -3<a <3 ∴-3<a <0,0<a <3. 由⑤、⑥得:当a >0时,b >2a ; 当a <0时,b >-a .所以a 、b 的取值范围是2a <b <41(a +1)2+2,0<a <3或-a <b <41(a +1)2+2,-3<a <0.三、解答题1.分析与证明 要证等式的左边具有判别式形式.令'a =2a -b -c ,'b =2b -c -a , 'c =2c -a -b ,可构造二次方程'a x 2+'b x +'c =0又 'a +'b +'c=(2a -b -c )+(2b -c -a )+(2c -a -b ) =0因此方程①有一实根是1,由求根公式x 1、2='2'a b ∆±- 但a >b >c ,从而'a =2a -b -c >0,'c =2c -b -a <0,所以其中只有一个正根.'2'a b ∆±-=1 由此得∆=2'a +'b =2(2a -b -c )+(2b -c -a )=3a -3c =3(a -c ) △=9(a -c )2即 (2b -c -a )2=4(2a -b -c )(2c -a -b )=9(a -c )22.解:如图所示.AC =2千米,CD =3千米,∠ACB =2π.设船员登岸点D 距C 为x 千米,则DB =3-x ,AD =42+x .而步行的时间是53x -,划船的时间是342+x .总时间为53342xx t -++=①将①化简,得4539152+=+-x x t ②设k =15t -9,代入②,得 k +3x =542+x两边平方化简得16x 2-6kx +100-k 2=0 ③ 因x 为实数,故其判别式 △=36k 2-6400+64k 2≥0从而得k ≥8,即15t -9≥8,t ≥1517,故t 的最小值是1517.所以船员最快1517小时,即1小时8分钟到达B 城.3.解:原方程整理得0)(22)(2=++--a c b x a c 则 ))((4)22(2a c a c b +--=∆ 222484c b a -+=∵222c b a =+,b >0∴044842222>=-+=∆b c b a . 所以此方程有两个不等的实根.ac ba cb b x -±=-±=)12()(242222,1 ∵62221=+x x∴6)(])12()12[(2222=--=+a c b ∴1)(22=-a c b ∵b >0,c >0, ∴1=-ac b故方程的二根为x1=12+,x2=12-.4.证明:p+q=1时,pa2+qb2-pqc2=pa2+(1-p)b2-p(1-p)c2=c2p2+(a2-b2-c2)p+b2二次函数f(x)=c2x2+(a2-b2-c2)x+b2△=(a2-b2-c2)2-4c2b2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)(1)若长度为a、b、c的线段可能构成三角形,从而有a+b>c, b+c>a, c+a>b.∴△<0.又c2>0,抛特线开口向上.∴f(p)>0.即p+q=1时,pa2+qb2-pqc2>0.∴pa2+qb2>pqc2(2)对一切满足p+q=1的实数,都有pa2+qb2>pqc2.即f(p)=c2p2+(a2-b2-c2)p+b2>0 成立.所以二次函数f(x)=c2x2+(a2-b2-c2)p+b2的图象在x轴上方.故△=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)<0由于a>0,b>0,c>0.a+b+c>0,所以(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0 ①不失一般性,不妨设a≥b≥c＞0,显然a+b-c>0, c+a-b>0.由①知必有b+c-a>0所以长度为a、b、c的线段可以构成一个三角形.。

中学二模数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -2B. 0C. 1D. 22. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 下列哪个表达式是正确的？A. \( a^2 + b^2 = c^2 \)（当a、b、c为直角三角形的边）B. \( (a + b)^2 = a^2 + b^2 \)C. \( a^3 + b^3 = (a + b)^3 \)D. \( \sqrt{a^2} = a \)（当a≥0）5. 如果\( x \)和\( y \)互为倒数，那么下列哪个等式是正确的？A. \( xy = 1 \)B. \( xy = 0 \)C. \( x + y = 1 \)D. \( x - y = 1 \)6. 一个数的平方根是4，那么这个数是多少？A. 16B. 8C. -16D. 47. 一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 8B. 6C. 4D. 28. 下列哪个是二次方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的解？A. 2B. 3C. 6D. 99. 一个函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)10. 下列哪个是正比例函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = 3x \)C. \( y = 1/x \)D. \( y = |x| \)二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的周长公式是________。

12. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的体积是________。

13. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________或________。