《幂函数》PPT课件

(4) y x
1 2
(5) y x
1
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，
-3
-4
a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数
y x的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域： [0,) 奇偶性： 在R上是偶函数
高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数
y x 中 x 前面的系数是1，后面没有其它项。
一、幂函数的定义： 一般地，我们把形如 y x 的函数叫做 x为自变量， 幂函数，其中 为常数。
x 2 2 2
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
1 (5) y x
（ 1 ）y 3 ; (2) y x ; (3) y 2 x ; (4) y x 1;
奇函数
1
奇偶性 奇函数
非奇非偶 函数

在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是 增函数 公共点
在R上 在(0，+∞) 在( －∞,0)， 是增函 上是增函数 (0, +∞）上是 减函数 数
（1，1）
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0
a=1
作业: 利用单调性判断下列各值的大小。
(1)1.3 与1.5
1 4
0.5
0.5
(2)5.1 与5.09
1 4
2
2
(3) 1.79 与 1.81
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？ 答案（2）（5）
例1 :已知f ( x) m m 1 x
2


2 m 3
是幂函数，
求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
m m 1 1
2
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明 : 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3， 27)

3

27 3 ,即3 3 3 3 f ( x) x 3 3 f ( x)的定义域为R， f ( x) ( x) x
f ( x) f ( x)

f ( x)是奇函数
在[0,)上是增函数 单调性：
在(,0]上是减函数
1 y x 函数 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
在{x x 0}上是奇函数 奇偶性：
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
函数 y x 的图像
1 2
定义域： [0,)
值 域： [0,) 奇偶性： 非奇非偶函数
奇偶性： 在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞）
1 2
R R 奇函数
yx 0 （0，+） ， 0 （0，+） ，
单调性： 在[0,)上是增函数
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
y 8
0 0 0
1 1 1
2 8
2
3 27
4 … 64 …
3
2 …
y=x3
6
4 2
y=x
1 2 3 4 x
1 2
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
函数 y x 的图像
3
定义域：
值 域：
R R
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.