七年级(下)期中数学试卷(解析版) (10)

2023-2024学年山东省青岛市城阳区七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列运算正确的是( )A. a⋅a4=a4B. (3a)3=9a3C. a6−(a3)2=0D. a6÷a3=a22.下列说法正确的是( )A. 相等的角是对顶角B. 两点确定一条直线C. 一个角的补角一定大于这个角D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等3.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为( )A. 3×10−5B. 3×10−4C. 0.3×10−4D. 0.3×10−54.柿子熟了，从树上落下来．下面哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中(即落地前)的速度变化情况？( )A.B.C.D.5.若α=13°35′，则α的补角等于( )A. 76°25′B. 77°25′C. 167°25′D. 166°25′6.数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是( )A. 经过两点，有且仅有一条直线B. 经过一点，有无数条直线C. 垂线段最短D. 两点之间，线段最短7.计算(−m2)3⋅(2m+1)的结果是( )A. −2m7−m6B. −2m6+m6C. −2m7−m5D. −2m6−m58.电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度.如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB//CD//EF，BC//DE.若∠ABC=60°，则∠DEF的度数为( )A. 100°B. 120°C. 140°D. 160°9.如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1=36°，则∠COE等于( )A. 72°B. 95°C. 100°D. 108°10.研究表明，当潮水高度不低于260cm时，货轮能够安全进出该港口，海洋研究所通过实时监测获得6月份某天记录的港口湖水高度y(cm)和时间x(ℎ)的部分数据，绘制出函数图象如图：小颖观察图象得到了以下结论：①当x=18时，y=260；②当0<x<4时，y随x的增大而增大；③当x=14时，y有最小值为80；④当天只有在5≤x≤10时间段时，货轮适合进出此港口，以上结论正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

2023-2024学年江苏省南京市七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算的结果是()A. B. C. D.2.将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数是()A. B. C. D.3.在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形空白部分，其中，求阴影部分图形的总面积()A. B. C. D.4.一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的()A.内角和增加B.外角和增加C.对角线增加一条D.内角和增加5.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，当为度时，AM与CB平行．()A.16B.60C.66D.1146.如图，直线，点E在CD上，点O、点F在AB上，的角平分线OG交CD于点G，过点F作于点H，已知，则的度数为()A. B. C. D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.若有意义，则m取值范围是___.8.如图所示，的外角等于，，则的度数是______.9.如图，直角三角形ABC的周长为2022，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是_____.10.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为______.11.比较大小：_12.已知的乘积项中不含和x项，则_____.13.将沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点，若，，则的度数为_____.14.在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的3个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”．在如图的九宫格中，已填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则x的值为_____.15.定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④若，则其中正确结论的序号是__________填写你认为所有正确的结论的序号16.已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为_____；三、计算题：本大题共3小题，共18分。

七年级中期独立作业数学试题卷考生须知：1． 本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试时间100分钟，满分120分．2． 答题前，必须在答题卷的密封区内填写班级、姓名、考场号、座位号、学校．3． 所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1. 同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（ ）AB. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了平移的性质，根据平移不改变图形的形状和大小，只是位置发生变化，掌握平移的性质是解题的关键．【详解】解：A 、由图中所示的图案通过旋转而成，故本项错误；B 、由图中所示的图案通过翻折而成，故本项错误；C 、由图中所示的图案通过旋转而成，故本项错误；D 、由图中所示的图案通过平移而成，故本项正确；故选：D ．2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘，幂的乘方、积的乘方等内容，据此相关运算性质进行逐项分析，即可作答．.235x x x +=236x x x ⋅=()325x x =()23624x x =【详解】解：A 、不是同类项，故不能合并，该选项是错误的；B 、，故该选项是错误的；C 、，故该选项是错误的；D 、，故该选项是正确的；故选：D3. 下列方程中，是二元一次方程的是( )A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【详解】详解：A 、是三元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元一次方程，故C 正确；D 、是分式方程，故D 错误．故选：C ．【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．4. 下列各组数中，是二元一次方程的一个解的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据二元一次方程解的定义，逐项进行判断，即可得出答案．【详解】解：A 、左边右边，故A 不符合题意；B 、左边右边，故B 不符合题意；C 、左边右边，故C 不符合题意；D 、左边右边，故D 符合题意．故选D ．23x x ，2356x x x x ⋅=≠()3265x x x =≠()23624x x =324x y z -=690xy +=46x y +=21x y=+52x y -=31x y =⎧⎨=⎩02x y =⎧⎨=⎩20x y =⎧⎨=⎩13x y =⎧⎨=⎩53114=⨯-=≠5022=⨯-=-≠52010=⨯-=≠5132=⨯-==【点睛】本题考查二元一次方程的解；熟练掌握方程与解的关系是解题的关键．5. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）A. （-m +n ）（m - n ） B.（ a +b ）（b -a ）C. （x + 5）（x + 5） D. （3a -4b ）（3b +4a ）【答案】B 【解析】【详解】分析：根据两个二项式相乘，如果这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，否则不能．详解：A 项，(-m+n)(m-n) =-(m-n)(m-n)=-(m-n)²，没有两个数和与差的乘积的形式．故A 项不符合题意.B 项，(a+b)(b-a)=，出现了两个数和与差的乘积的形式.故B 项符合题意.C 项，(x+5)(x+5）=(x+5)²，没有两个数和与差的乘积的形式．故C 项不符合题意.D 项，(3a-4b)(3b+4a)，没有两个数和与差的乘积的形式．故D 项不符合题意.故选B.点睛：本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．6. 如图，DE ∥AB ，若∠ACD=55°，则∠A 等于（ ）A. 35°B. 55°C. 65°D. 125°【答案】B 【解析】【详解】∵DE ∥AB ，∠ACD=55°∴∠A=∠ACD=55°（两直线平行，内错角相等）．故选B ．7. 如果是关于x 的完全平方式，则m 的值为（ ）A. 6 B. C. D. 3【答案】C 【解析】1212121222111()()224b a b a b a +-=-229x mx -+6±3±【分析】完全平方式的特点是首平方，尾平方，首尾数积的两倍在中央，这里首末两项是x 和3的平方，那么中间项为加上或减去x 和3的乘积的2倍．【详解】解：∵是关于x 的完全平方式，∴，∴，故选C ．【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．8. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）A. 32°B. 58°C 68°D. 60°【答案】B 【解析】【详解】根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B9. 用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2=盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程组即可．.222a ab b ±+2222293x mx x mx -=++-223mx x -=±⋅⋅3m =±222a ab b ±+254036x y 362x y y x+=⎧⎨=⎩362x y x y+=⎧⎨=⎩3622540x y x y+=⎧⎨⨯=⎩3625240x y x y+=⎧⎨=⨯⎩【详解】解：设用x 张制作盒身，y 张制作盒底，根据题意得，故选：C ．【点睛】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．10. 已知关于和的方程组（k 为常数），得到下列结论：①无论取何值，都有；②若，则；③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则，其中正确的个数为（ ）A. 个 B. 个C. 个D. 个【答案】C 【解析】【分析】分别根据二元一次方程组的解，二元一次方程的解以及解二元一次方程组判断即可．【详解】解：方程组，得，即，故正确；若，则，解得，，故正确；解方程组，得，3622540x y x y +=⎧⎨⨯=⎩x y 23224x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩k 45x y +=1k =(21)1y x -=1k =x y 73k =123423224x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩①②⨯①+②38210x y +=45x y +=①1k =2123x y x y -=⎧⎨+=⎩11x y =⎧⎨=⎩(21)1y x ∴-=②23224x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩①②1223k x y k +⎧=⎪⎨⎪=-+⎩方程组有非负整数解时，有，，或，故不正确；若和互为相反数，则，，，故正确．故选：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．11. 已知，用含b 的代数式表示a ，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了列代数式表达式，根据，移项得，即可作答．【详解】解：∵，∴，故答案为：．12. 如图，将向右平移5个单位长度得到，且点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，若，则的长度是________．【答案】8【解析】【分析】根据平移的性质可得，，然后根据线段的和差定义求解即可．【详解】∵是由向右平移5个单位长度得到，∴，，∴，102230k k +⎧≥⎪⎨⎪-+≥⎩1 1.5k ∴-≤≤1k ∴=-1③x y 0x y +=12302k k +∴-+=73k ∴=④C 52a b -==a 52b +52a b -=52a b =+52a b -=52a b =+52b +ABC DEF 3EC =BC BC EF =5CF =DEF ABC BC EF =5CF =358BC EF EC CF ==+=+=【点睛】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到是解题的关键．13. 若，则________．【答案】−2【解析】【分析】先把等式的左边化为x 2−2x−15的形式，再求出m 的值即可．【详解】∵（x ＋3）（x−5）= x 2−5x+3x−15＝x 2−2x−15，∴m ＝−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式的法则，根据题意把（x ＋3）（x−5）化为x 2−2x−15的形式是解答此题的关键．14. 已知是二元一次方程的一组解，则______．【答案】2023【解析】【分析】本题主要查了二元一次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，∴，∴．故答案为：202315. 已知：m +2n ﹣2＝0，则3m •9n 的值为______．【答案】9【解析】【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则的逆运用，即可求解．【详解】解：∵m +2n ﹣2＝0，∴m +2n ＝2，∴3m •9n =3m •（32）n =3m +2n =32=9，BC EF =2(3)(5)15x x x mx +-=+-m =21x y =⎧⎨=-⎩1ax by +=-22024a b -+=21x y =⎧⎨=-⎩1ax by +=-21a b -=-22024a b -+21x y =⎧⎨=-⎩1ax by +=-21a b -=-22024120242023a b -+=-+=【点睛】本题主要考查乘方法则以及同底数幂的乘法法则，熟练掌握掌握两个法则的逆运用是解题的关键．16. 如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度．图1图2（1）若，则______度．（2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则______度．（用含的代数式表示）【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'，，最后计算出 ；（2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ．【详解】解：（1）如图1所示，，，，又'，'，又'，，又，EF AED x '∠=110x =︒EFB ∠=BF EFC ''∠=x 353902x ⎛⎫-⎪⎝⎭DEF EFB ∠=∠180AEH EHB ∠+∠=︒D ∠EF EFB =∠EFB ∠=12EHB ∠90EFB ∠=︒-12x ︒EFC '∠90=︒+12x ︒EFC ∠''=3290x ︒-︒AD BC ∥DEF EFB ∴∠=∠180AEH EHB ∠+∠=︒DEF D ∠=∠ EF D ∴∠EF EFB =∠EHB D ∠=∠ EF EFB +∠EFB ∴∠=12EHB ∠ AED x '∠=︒，故答案为：；（2）如图2所示，，，又，，故答案为：．【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题考查了整式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．180EHB x ∴∠=︒-︒EFB ∴∠=12()180290︒-=︒-12x ︒ 110x =︒∴EFB ∠=35︒35180EFB EFC '∠+∠=︒∴180EFC EFC '∠=∠=︒(90-︒-12)90x ︒=︒+12x ︒ 2EFC EFB EFC '''∠=∠+∠∴2EFC EFC EFB '''∠=∠-∠=90︒+122(90x ︒-︒-12)x ︒(=3290)x -︒3902x ⎛⎫-⎪⎝⎭()32a b -⋅()()22248a ba ÷6ab -222a b（1）利用单项式乘以单项式法则进行计算即可；（2）先计算积的乘方，然后利用单项式除以单项式法则计算即可．【小问1详解】解∶ 原式；【小问2详解】解：原式．18. 先化简，再求值：（x ﹣2y ）2﹣（x +y ）（x ﹣y ），其中，y ＝1．【答案】﹣4xy +5y 2，3【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式将原式去括号，再合并同类项即可化简，代入即可求值．【详解】解：，当x ，y ＝1时，原式．【点睛】本题考查了运用完全平方公式、平方差公式化简的知识，熟练运用完全平方公式、平方差公式是解答本题的关键．19. 解方程组：（1）；（2）．【答案】（1） 6ab =-()422168a b a=÷222a b =12x =2(2)()()x y x y x y +---222244x xy y x y =-++-245xy y =-+12=2141512532=-⨯⨯+⨯=-+=23137x y x y -=⎧⎨+=⎩①②()13218x y x y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②21x y =⎧⎨=⎩（2）【解析】【分析】（1）应用加减消元法，求出方程组的解即可；（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．【小问1详解】解： ，①②，可得，解得，把代入①，可得：，解得，原方程组的解是．【小问2详解】解：，由①，可得③，由②，可得④，③④，可得，解得，把代入③，可得：，解得，19585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23137x y x y -=⎧⎨+=⎩①②+3⨯1122x =2x =2x =2231y ⨯-=1y =∴21x y =⎧⎨=⎩()13218x y x y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②31x y -=-26x y -=-3⨯519x -=-195x =195x =19315y -=-85y =原方程组的解是．20. 如图，在的网格中，A ，B ，C ，D 均在格点上，按下列要求作图：图1 图2（1）在图1中，找出格点E ，连结DE ，使得．（2）在图2中，平移得到，使得点D 为一边的中点，请画出．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】（1）把向下平移4格，则点的对应点为点；（2）把先向右平移1格，再向下平移3格，则平移后的三角形满足条件．本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．【小问1详解】解：如图，点为所作；【小问2详解】解：如图2， 为所作．21. 如图，在中，于点D ，点E 是上一点，过点E 作于点F ，点G 是上一点，且．∴19585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩77⨯DE BC ∥ABC A B C ''' A B C ''' A B C ''' BC B E ABC -E A B C ''' ABC CD AB ⊥BC EF AB ⊥AC 12∠=∠（1）请说明的理由．（2）若，平分，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）根据“垂直于同一直线的两条直线平行”推出，根据“两直线平行，同位角线段”得出，则，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再根据平行线的性质求解即可．【小问1详解】解：∵，，∴，∴．∵，∴．∴．【小问2详解】解：∵，，∴，∵CD 平分，∴，又∵，∴．22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值．DG BC ∥370∠=︒CD ACB ∠2∠235∠=︒CD EF ∥2BCD ∠=∠1BCD ∠=∠370ACB ∠=∠=︒35BCD ∠=︒CD AB ⊥EF AB ⊥CD EF ∥2BCD ∠=∠12∠=∠1BCD ∠=∠DG BC ∥DG BC ∥370∠=︒370ACB ∠=∠=︒ACB ∠1352BCD ACB ∠=∠=︒CD EF ∥235BCD ∠=∠=︒3a b +=1ab =22a b +解：∵，，∴，．∴，∴．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若，求的值（2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的变形，根据已知条件表示出完全公式中的项是解题的关键．（）根据完全平方公式的适当变形即可解答；（）设，，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．【小问1详解】解：∵，∴，，∴，∴；【小问2详解】解：设，，∴，，∴，3a b +=1ab =2()9a b +=22ab =2229a b ab ++=227a b +=(9)(6)1x x --=22(9)(6)x x -+-C AB AC BC 6AB =20AFC 7412AC a =BC CF b ==()()961x x --=()()963x x -+-=29[]9()(6)x x -+-=()()2962x x --=22229()()()()()()962969629()(6)x x x x x x x x -+-+--=-+-+--=227()()9692x x -+-=-=AC a =BC CF b ==6a b +=2220a b +=2()36a b +=∴，∴，∴．23. 综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，）．保持三角板EDC 不动，老师将三角板绕点C 以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t 秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．深入探究：①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由．②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．拓展提升：③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．图1图2【答案】①成立，见详解；②不存在；或，见详解；③存，或【解析】【分析】本题是典型的实际操作问题，考查了平行线的性质，角度的和差运算，熟练掌握知识点是解题的关键．①；②当A 、B 分别在外部时，由，得在22236a b ab ++=8ab =118422ACF S ab ==⨯=△MN 90EDC ∠=︒60DEC ∠=︒90ABC ∠=︒45BAC ∠=︒ABC 5︒AC CN AC DCE ∠15ECB DCA ∠-∠=︒AC DCE ∠15ECB DCA ∠-∠=︒AC DCE ∠DCA ∠ECB ∠DCA ∠ECB ∠AC CM DE AC 15ECB DCA ∠+∠=︒15DCA ECB ∠-∠=︒24s t =60st =(455)(305)15ECB DCA t t ∠-∠=︒--︒-=︒CDE ACB DCA ECB DCE ∠=∠+∠+∠；当点A 在外部，点B 在内部，由，得．③根据平行线的性质确定旋转角的大小，即可求出时间．【详解】解：①∵，，，，∴，当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：；理由是：由旋转得：，，，；②当A 、B 分别在外部时，如图示：∵，∴；当点A 在外部，点B 在内部，如图示：∵，∴，∴，453015DCA ECB ∠+∠=︒-︒=︒CDE CDE ACB DCA DCB DCA DCE ECB ∠=∠+∠=∠+∠-∠15DCA ECB ∠-∠=︒90EDC ∠=︒60DEC ∠=︒90ABC ∠=︒45BAC ∠=︒45,30ACB ECD ∠=︒∠=︒AC DCE ∠DCA ∠ECB ∠15ECB DCA ∠-∠=︒5ACE t ∠=305DCA t ∴∠=︒-455ECB t ∠=︒-(455)(305)15ECB DCA t t ∴∠-∠=︒--︒-=︒CDE ACB DCA ECB DCE ∠=∠+∠+∠453015DCA ECB ∠+∠=︒-︒=︒CDE CDE ACB DCA DCB DCA DCE ECB ∠=∠+∠=∠+∠-∠4530DCA ECB ︒=∠+︒-∠15DCA ECB ∠-∠=︒综上：不存在；或．③当点A 在直线上方时，如图示：∵，∴，∴；当点A 在直线下方时，如图示：∵，∴，∴旋转了∴，综上：存，或．24. 某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：牛奶（箱咖啡（箱金额（元方案一20101100方案二3015__________（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元；在15ECB DCA ∠+∠=︒15DCA ECB ∠-∠=︒EC DE CA ∥180120ACE E ∠=︒-∠=︒120524s t =÷=EC DE CA ∥60ACE E ∠=∠=︒36060300︒-︒=︒300560s t =÷=24s t =60s t =)))（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有箱（直接写出答案）．【答案】（1）1650（2）①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用：（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解；（2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．【小问1详解】解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，（元），故答案为：1650；【小问2详解】解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，解得：，答：牛奶与咖啡每箱分别30元、50元；②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱，为14x y 20101100x y +=()3015 1.520101650x y x y +=+=x y a 14a b 34a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭x y 20101100x y +=()3015 1.52010 1.511001650x y x y ∴+=+=⨯=x y 2010110025201750x y x y +=⎧⎨+=⎩3050x y =⎧⎨=⎩a 14a打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元），即打折咖啡价格与牛奶原价相同，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意得：，整理得：，∴、均为正整数，∴是正整数，∴a 必须是20的倍数，，或，，，，即此次按原价采购的咖啡有6箱，故答案为：6．300.618⨯=)500.630⨯=b 13144a b a b ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭13183050120044a a b b ⎛⎫⨯+⨯-+= ⎪⎝⎭27201200a b +=12002727602020a ab -==-a b 276020a -∴2033ab =⎧⎨=⎩406a b =⎧⎨=⎩a b > 40a ∴=6b =。

珠海市文园中学（集团）2023-2024学年第二学期期中考试七年级数学试卷说明：本试卷共4页，答题卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．）1. 数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）A. 同位角、内错角、同旁内角B. 同旁内角、同位角、内错角C. 同位角、对顶角、同旁内角D. 同位角、内错角、对顶角【答案】A【解析】【分析】两条线a 、b 被第三条直线c 所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：A ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．2. 下列各式中，是二元一次方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、是二元一次方程；的455x y -=1xy y -=45x y +2517x y +=455x y -=B 、不是二元一次方程；C 、不是方程；D、不是二元一次方程；故选：A ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义．含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程．3. 下列四个数中，是无理数的是（ ）A. 3.14B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的概念．根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可．【详解】解：3.14是有限的小数，不是无理数，故A 不符合题意．是分数，不是无理数，故B 不符合题意．是无理数，故C 符合题意．0为整数，不是无理数，故D 不符合题意．故选：C ．4. 如图，下列条件不能判定的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定进行判断即可．【详解】解；∵和是同位角，当时，，故A 错误；1xy y -=45x y +2517x y +=227227AD EF ∥A CBE∠=∠180A ABE ∠+∠=︒D DBE ∠=∠D CBE∠=∠A ∠CBE ∠A CBE ∠=∠AD EF ∥∵和是同旁内角，当时，，故B 错误；∵和是内错角，当时，，故C 错误；∵和不是同位角，也不是内错角，当时，不能证明，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．5. 下列命题是真命题的是（ ）A. 相等的角是对顶角B. 两直线平行，同旁内角相等C. 两点之间直线最短D. 邻补角互补【答案】D【解析】【分析】本题考查了判断命题的真假，根据对顶角相等，两直线平行同旁内角互补，两点之间线段最短，邻补角互补可得到答案，掌握各个选项所包含的知识点是解题的关键．【详解】解：A 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，原说法错误，故该选项是假命题；B 、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故该选项是假命题；C 、两点之间线段最短，原说法错误，故该选项是假命题；D 、邻补角互补是指两个相邻的角，它们的互为补角，该说法正确，故该选项是真命题；故选：D ．6. 在下列各式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了算术平方根， 根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：A ．，原计算错误，故该选项不符合题意；B，原计算错误，故该选项不符合题意；C，原计算错误，故该选项不符合题意；D，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D ．7. 如图，将沿直线折叠，使点A 落在边上的点F 处，，若，则（ ）A ∠ABE ∠180A ABE ∠+∠=︒AD EF ∥D ∠DBE ∠D DBE ∠=∠AD EF ∥D ∠CBE ∠D CBE ∠=∠AD EF ∥3=2=-8=2=3=±2=4=2=ADE V DE BC DE BC ∥70C ∠=︒FEC ∠=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质；根据平行线的性质可得，根据折叠的性质求出，进而可计算的度数．详解】解：∵，，∴，由折叠得：，∴，故选：B ．8. 二元一次方程的正整数解有( )A. 组B. 组C. 组D. 组【答案】C【解析】【分析】把y 看作已知数表示出x ，确定出方程的正整数解即可．【详解】解：方程2x +y =7，解得：，当y =1时，x =3；当y =3时，x =2；当y =5时，x =1，则方程的正整数解有3组，故选：C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y 看作已知数求出x ．9.，则x 为（ ）．A. 214B. C. 2140 D. 【答案】A 【50︒40︒30︒20︒70AED C ∠=∠=︒DEF ∠FEC ∠DE BC ∥70C ∠=︒70AED C ∠=∠=︒70DEF AED ∠=∠=︒180180707040FEC AED DEF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒27x y +=123472y x -=0.5981= 5.981=214±2140±【解析】变形为，，∴，，，∴．故选：A ．【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解．10. 如图，已知，点C 在上，，平分，且．则下列结论：①；②；③．其中正确的个数有（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质得出，证出，由角平分线定义得出，得出，证出，即可证明①；证出即可证明②；由即可证明③．【详解】解：∵，110==10=110=0.5981=0.5981110=5.981=5.981=214x =AB EF ∥EF EAC ECA =∠∠BC DCF ∠ACBC ⊥AE CD ∥190B ∠+∠=︒21BDC ∠=∠,ECA BAC BCF B ∠∠∠∠==190,90BCD ECA BCF ∠∠∠∠+=︒+=︒BCD BCF ∠=∠1ECA ∠=∠1EAC ∠=∠B BCD ∠=∠1,1ECA BAC BDC BAC ∠∠∠∠∠∠===+AB EF ∥∴∵∴∵平分，∴∴∵∴∴，故①正确；∵∴∴，故②正确；∵∴，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识：熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11. 已知是二元一次方程的一个解，则a 的值为_______．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a 的值即可．【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，∴，∴，故答案为：2．,ECA BAC BCF B∠∠∠∠==AC BC⊥190,90BCD ECA BCF ∠∠∠∠+=︒+=︒BC DCF ∠BCD BCF∠=∠1ECA∠=∠EAC ECA=∠∠1EAC ∠=∠AE CD ∥,BCF B BCD BCF∠∠∠∠==B BCD∠=∠190B ∠+∠=︒1,1ECA BAC BDC BAC ∠∠∠∠∠∠===+21BDC ∠=∠21x y =⎧⎨=⎩5ax y +=21x y =⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=⎩5ax y +=215a +=2a =12. 若的平方根是±3，则__________．【答案】5【解析】【分析】根据平方根的定义先得到（±3）2=2a-1，解方程即可求出a ．【详解】解：∵2a-1的平方根为±3，∴（±3）2=2a-1，解得a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．13. 如图，已知直线，相交于点O ，平分，，则的度数是_______．【答案】60【解析】【分析】本题考查角的和差，涉及角平分线的性质、对顶角、邻补角等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由邻补角定义解得，再由角平分线的性质解得，由对顶角相等求解即可．【详解】解：∵∴∵平分，∴∴．故答案为：60．14. 已知关于x 、y 的方程组，则的值为_______．21a -=a AB CD OE BOC ∠150∠=︒AOE AOD ∠︒30BOE ∠=︒260BOC BOE ︒∠=∠=150∠=︒AOE 18030BOE AOE ∠=︒-∠=︒OE BOC ∠260BOC BOE ︒∠=∠=60AOD BOC ∠=∠=︒322233x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩x y +【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，另方程组中的两个方程相加，即可得出，即可求出的值．【详解】解：由①+②可得出：，整理得：，∴，故答案为：1．15. 一副三角板按图示摆放，点E 恰好落在的延长线上，使，则的大小为_______°．【答案】15【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行的性质可得出，由三角板可知，然后根据角的和差关系即可得出．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：15．16. 如图（一）所示这种拼图（宽度设为）我们小时候可能都玩过，已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行，如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为 ；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为，则这样一片拼图的宽度a 为______．的()55x y +=x y +322233x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②5523x y a a +=++-()55x y +=1x y +=CB FD BC ∥BDE ∠60ABC BDF ∠=∠=︒45EDF ∠=︒BDE ∠FD BC ∥60ABC ∠=︒60ABC BDF ∠=∠=︒45EDF ∠=︒15BDE BDF EDF ∠=∠-∠=︒cm a 19cm 46cm cm【答案】【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知求出，的值．根据“当4片拼图紧密拼成一行时长度为，当10片拼图紧密拼成一行时长度为”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之求得，的值，进而得到结论．【详解】设小半圆半径为b ，则由题意得：依题意得：，解得：，∴这样一片拼图的宽度a 为，故答案为：．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．）17. 解方程组：．【答案】【解析】【分析】将方程②进行变形，用代入法即可解答．【详解】解：由②得： ③把代入 ①，得：，把代入 ③，得：，112a b 19cm 46cm a b a b ()()4191046a b b a b b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩1121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩11cm 211234225x y x y +=⎧⎨-=⎩21x y =⎧⎨=-⎩34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②25y x =-25y x =-2x =2x =1y =-∴方程组的解为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解题的关键是用代入消元法和加减消元法进行消元．18. 如图，已知，直线分别交于点E 、F ，，求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，由两直线平行，同位角相等，可得出，进一步得出，即可证明．【详解】证明：∵∴又∵，∴∴．19. 如图，直线与直线相交于，请完成下列各题：（1）过点画，交于点（2）过点画，垂足；（3）连接，比较线段与的长短，用“”连接，并说明依据．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3），垂线段最短为21x y =⎧⎨=-⎩AB CD MN AB CD ，12∠=∠EP FQ ∥MEB MFD ∠=∠∠=∠MEP MFQ EF FQ ∥AB CDMEB MFD ∠=∠12∠=∠∠=∠MEP MFQEF FQ ∥CD AB C P PQ CD ∥AB QP PR CD ⊥R PC PC PR <PR PC ＜【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质（1）过点画，交于点即可；（2）过点画，垂足为；（3）连接，根据垂线段最短即可判断与的大小．【小问1详解】解：如图，，交于点；【小问2详解】解：如图【小问3详解】解：与的大小为：．因为垂线段最短．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）20. 某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元．求购买的甲、乙两种奖品各有多少件？【答案】购买了甲种奖品10件，乙种奖品20件【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出二元一次方程组求解即可．【详解】解：设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则： 解得：答：购买了甲种奖品10件，乙种奖品20件．21. 如图，在中，点D 、F 在边上，点E 在边上，点G 在边上，与的延长线交于点H ，，．-P PQ CD ∥AB Q P PR CD ⊥R PC PC PR PQ CD ∥AB Q PR CD⊥PC PR PR PC ＜3086200x y x y +=⎧⎨+=⎩1020x y =⎧⎨=⎩ABC BC AB AC EF GD 1B ∠=∠23180∠+∠=︒（1）判断和的位置关系，并说明理由；（2）若，且，求的度数．【答案】（1），理由见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得出答案；（2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得解．【小问1详解】解：，理由如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；【小问2详解】解：由（1）得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，EH AD 60DGC ∠=︒44H ∠-∠=︒H ∠EH AD ∥32︒AB GD ∥2BAD ∠=∠3180BAD ∠+∠=︒2BAD H ∠=∠=∠60DGC BAC ∠=∠=︒4460BAC BAD H ∠=∠+∠=∠+∠=︒44H ∠-∠=︒EH AD ∥1B ∠=∠AB GD ∥2BAD ∠=∠23180∠+∠=︒3180BAD ∠+∠=︒EH AD ∥AB GD ∥2BAD ∠=∠DGC BAC ∠=∠60DGC ∠=︒60BAC ∠=︒EH AD ∥2H ∠=∠H BAD ∠=∠∴，∵，∴．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．22. 如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为______，若这个正方形的边长为a ，则______．（2）观察图②，请先写出阴影部分的面积为______，并在阴影部分的基础上将其补全为面积是5的正方形（顶点都在网格的格点上），若这个正方形的边长为b ，则______（3）请你利用以上结论，在图③数轴上表示实数a 和的大概位置．【答案】（1）10（2）2（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根：（1）用小正方形的面积加上三角形的面积即可求出阴影部分的面积；根据正方形面积公式即可求出a 的值；（2）仿照题意作图，然后根据正方形面积公式求出b 的值即可；（3）根据（1）（2）所求，在数轴上表示出2个数，即可．【小问1详解】解：这个阴影正方形的面积， 若这个正方形的边长为a ，则；故答案为：10【小问2详解】的4460BAC BAD H ∠=∠∠=∠∠=︒＋＋44H ∠-∠=︒32H ∠=°=a b =b -144413102=⨯-⨯⨯⨯=a =解：如图，四边形即为所求；阴影部分的面积为；∵这个正方形的边长为b ，面积是5，∴故答案为：2【小问3详解】解：，∴，如图，即为所求．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分．）23. 已知中，，将边沿着边所在直线平移得到线段（D 与A 为对应点且点D 不与重合），连接．（1）如图1，当时，求的度数；（2）在整个平移过程中，当时，求的度数；（3）在整个平移过程中，直接写出之间的等量关系．【答案】（1）1111222⨯+⨯⨯=b =34,23<<<<43,23b a -<-<-<<ABC 70B ∠=︒AB AC DE A C 、CE BC CE ⊥E ∠2E BCE ∠=∠E ∠B E BCE ∠∠∠、、20︒（2）或 （3）当平移到点A 上方时，；当平移到点A 和C 之间时，；当平移到点C 下方时，【解析】【分析】本题考查平行线的性质，平移的性质（1）作，由平移得，可得，由，即可求得；（2）当平移到点A 和C 之间时，当平移到点A 上方时，两种情况进行讨论即可；（3）由（1）（2）可以得到当平移到点A 上方时，当平移到点A 和C 之间时，当平移到点C 下方时，三种情况进行讨论.【小问1详解】解：如图，作，由平移得，∴∴又∵∴，即，∴∴【小问2详解】由（1）可知，当平移到点C 下方时，，不存在；①当平移到点A 和C 之间时，如图，作，由题意，设，则∵且∴又∵∴1403︒140︒DE E B BCE ∠=∠+∠DE E B BCE ∠=∠+∠DE BCE B E∠=∠+∠CF AB ∥DE AB ∥CF AB DE ∥∥70B BC CE ∠=︒⊥，DE DE DE DE DE CF AB ∥DE AB ∥CF AB DE∥∥21B E ∠=∠∠=∠，70B BC CE∠=︒⊥，90BCE ∠=︒1290∠+∠=︒90B E ∠+∠=︒90907020E B ∠=︒-∠=︒-︒=︒DE E BCE ∠<∠2E BCE ∠=∠DE CF AB ∥CF AB DE∥∥BCE x ∠=2E x∠=CF AB ∥70B ∠=︒70BCF B ∠=∠=︒DE CF∥2ECF E x ∠=∠=∴∴x =，= ②当平移到点A 上方时，如图，作，由题意，设，则∵且∴又∵∴∴∴综上所述，∠E 的度数为【小问3详解】解：由（2）得：当平移到点A 上方时，；当平移到点A 和C 之间时，；由（1）得：当平移到点C 下方时，24. 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T ：，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“麓外区间”为，如的麓外区间为．（1的“麓外区间”是______；（2）实数x ，y ，m 满足关系式：，求m 的算术平方根的“麓外区间”．370BCF BCE ECF x ∠=∠+∠==︒703⎛⎫︒ ⎪⎝⎭2E x ∠=1403⎛⎫︒ ⎪⎝⎭DE CF AB ∥CF AB DE ∥∥BCE x ∠=2E x∠=CF AB ∥70B ∠=︒70BCF B ∠=∠=︒DE CF∥2ECF E x∠=∠=70BCF BCE ECF x ∠=∠-∠==︒2140E x ∠==︒1401403⎛⎫︒︒ ⎪⎝⎭或DE E B BCE ∠=∠+∠DE B E BCE ∠=∠+∠DE BCE B E∠=∠+∠m T n <<(),m n 12<<()1,20=（3）若某一个无理数T 的“麓外区间”为，其中是关于x ，y 的二元一次方程的一组正整数解，请求出m 、n 的值，并写出一个符合题意的无理数T ．【答案】（1）（2）（3）（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查无理数的估算，解三元一次方程组以及二元一次方程组的应用．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．（1的取值范围，即可得出结果；（2）结合算术平方根的非负性得到求出m 的值，进而求出求m 的算术平方根的“麓外区间”即可．（3）根据二元一次方程组的解代入方程，组成新的二元一次方程组，从而求得m ，n 的值，然后根据“麓外区间”定义写出一个符合题意的无理数即可．【小问1详解】解：∵，的“麓外区间”是，故答案为：．【小问2详解】∴， 联立得：∴，(),m n x m y n=⎧⎨=⎩211y x +=()4,5()11,1234m n =⎧⎨=⎩23034201230x y m x y m x y +-=+-=+-=，，45<<()4,5()4,50=23034201230x y m x y m x y +-=+-=+-=，，1232303420x y x y m x y m +=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩123m =<<∴，∴m 的算术平方根的“麓外区间”是【小问3详解】∵是关于 x ，y 的二元一次方程的一组正整数解，∴又由题意，有，∴，解得 ∴符合题意的无理数T（答案不唯一）1112<<()11,12x m y n=⎧⎨=⎩211y x +=211n m +=1n m -=2111n m n m +=⎧⎨-=⎩34m n =⎧⎨=⎩。

2023-2024学年北京市东城区汇文教育集团七年级下学期期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.7的算术平方根是()A.B.C.D.2.在下列实数中，是无理数是()A. B.C.D.3.点到x 轴的距离为()A.3B.C.D.14.如图，小明从点O 出发，先向西走400m ，再向南走300m 到达点M ，如果点M 的位置用表示，那么表示的位置是()A.点AB.点BC.点CD.点D5.若是方程的一个解，则m 的值为.()A.1B. C.2 D.6.下列说法不正确的是()A.对顶角相等 B.两点之间，线段最短C.同旁内角互补D.若且，则7.一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且，则的度数是()A. B. C. D.8.如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是()A.3B.4C.5D.69.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路CF恰好和第一次拐弯之前的道路AE平行，则为()A. B. C. D.10.用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和m张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m的值可能()A.2024B.2025C.2026D.2027二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.比较大小：4___________用“>”“<”或“=”填空12.已知x、y满足方程组，则的值为__________.13.如图，从书店到公路最近的是①号路线，数学道理是__________.14.如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为__________15.若一个正数的平方根是和，则这个正数是__________.16.有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入x的值为625时，输出y的值是__________.17.已知；在同一个平面内，垂足为平分，则的度数为__________度18.如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为0，千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数是“中庸数”．对于一个“中庸数”m，将它的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的数，记，，已知“中庸数”n的千位数字为x，十位数字为y，且，为整数，，则“中庸数”n 为__________.三、解答题：本题共10小题，共80分。

重庆八中2023-2024学年度（下）半期考试初一年级数学试题A 卷（100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号除黑．1.的倒数是（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了倒数，根据倒数得定义求解即可．【详解】解：的倒数是2，故选：C ．2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项正确，符合题意；D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．3. 已知球的表面积与它的半径之间的关系式是，其中随的变化而变化，则在这个公式中变量是（ ）A. ， B. ， C. D. ，，【答案】B【解析】121212-2-12325a b ab-⋅=428a a a ⋅=224326b b b ⋅=222222a b ab a b ⋅=326a b ab -⋅=426a a a ⋅=224326b b b ⋅=322322a b ab a b ⋅=()2cm S ()cm R 24S Rπ=S R πR S R S S πR【分析】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握定义．根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，可直接得到答案．【详解】解：中，常量是4，，变量是、，故选：B ．4. 已知一个三角形的两边长分别为4cm ，7cm ，则它的第三边的长可能是（ ）A. 3cmB. 8cmC. 11cmD. 12cm【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，角形的两边差小于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，角形的两边差小于第三边，结合选项求解即可．【详解】解：设三角形的第三条边为，，三角形的第三条边长可能是，故选：B ．5. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D ，E 分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M 在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）A.B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得．【详解】解：∵，点D ，E 分别是，的中点，∴，在和中，24S R π=πS R cm x 311x << ∴8cm AB AC =AB AC DM EM =DM EM ADM AEM △△≌ASA AAS SSS SASSSS ADM AEM △△≌AB AC =AB AC AD AE =ADM △AEM △，∴，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．6. 如图是将一个小长方体铁块固定一个大长方体容器的底部的截面图，现均匀地向这个容器中注水，最后把容器注满，在注水的过程中大长方体水面的高度随时间变化的函数图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的图像，解题的关键数形结合，容器下面一段横截面积小，水位上升快，上面一段横截面积大，水位上升慢，即图像为两段线段，先陡后平．【详解】解：在注水过程中，容器下面一段横截面积小，水位上升快，上面一段横截面积大，水位上升慢，即图像为两段线段，先陡后平，故选：B ．7. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ）A. B. C. D. 或【答案】D AD AE AM AM DM EM =⎧⎪=⎨⎪=⎩()SSS ADM AEM ≌ h t x ()2216x k x +-+k 6-66±106-【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．根据和都是一个完全平方式解答即可．【详解】解：和它们都是完全平方式，或，解得：或，故选：D ．8. 某校社团课28名学生制作长方体礼品盒，每人每小时可做60个侧面或90个底面，一个礼品盒要一个侧面和两个底面组成，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做侧面，多少名学生做底面设分配x 名学生做侧面，则可列方程为（ ）A. B. C.D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配x 名学生做侧面，根据配套问题， 一个礼品盒要一个侧面和两个底面组成，列出方程，即可求解．【详解】解：设分配x 名学生做侧面，则可列方程为故选：D ．9. 如果关于x 的多项式的结果不含项，则m 的值为（ ）A. 0B. 4C.D. 1【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0进行求解即可．【详解】解：2816x x ++2816x x -+ ()224816x x x +=++()226481x x x =-+-∴k -=2828k -=-10k =6k=-()6029028x x =⨯-()609028x x =-()906028x x =-()2609028x x ⨯=-()2609028x x ⨯=-()()2144x x mx +-+2x 14()()2144x x mx +-+2x 2x ()()2144x x mx +-+3224444x mx x x mx =-++-+，∵关于x 的多项式的结果不含项，∴，∴，故选：C ．10. 如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【详解】解：A 、∵，∴，又∵，∴，故A 选项不符合题意；B 、 ∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B 选项符合题意；C 、∵，，又，∴，故C 选项不符合题意；D 、 ∵，∴，又∵，，∴，故D 选项不符合题意；故选：B ．()()3241444x m x m x =--+-+()()2144x x mx +-+2x ()410m --=14m =ABC BDE ABC BDE AB BD =AE DC=AB BD =DE AC =BE BC =E C∠=∠EAF CDF ∠=∠DE AC=AB BD =AE DC=BE BC =B B ∠=∠ABC DBE ≌△△()SAS AB BD =DE AC =B B ∠=∠SSA BE BC =E C ∠=∠B B ∠=∠ABC DBE ≌△△()ASA EAF CDF ∠=∠BAC BDE ∠=∠DE AC =B B ∠=∠()AAS ABC DBE ≌二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．11. 国家统计局最新数据显示，2024年一季度我国国内生产总值（GDP ）为亿元．数用科学记数法可以表示为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时是负整数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．12. 已知，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查同底数幂除法，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．根据同底数幂的除法法则求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：．13. 如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为______．【答案】【解析】的28499728499752.8499710⨯10n a ⨯110a ≤<n n a n 10n 1n =⨯52.824994997810752.8499710⨯56m =53n =5m n -=256m =53n =5632m n -=÷=2A B C D DCB ACB ∠+∠90︒【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等可得结论．【详解】解：，，，，，，故答案为：．14. 已知一个长方形的周长为，长与宽的平方和为，则该长方形的面积为______．【答案】####【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．设长方形的长、宽分别为、，则，，根据完全平方公式即可求解．【详解】解：设长方形的长、宽分别为、，则，，，，即，解得；，该长方形的面积为，故答案为：．三、解答题（15题共16分每小题4分，16题8分，17题10分，18题10分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．15. 计算：()SAS DCE ACB ≌DCE ACB ∠=∠ 3AB DE ==5BC EC ==90E ABC ∠=∠=︒∴()SAS DCE ACB ≌∴DCE ACB ∠=∠∴90DCB ACB DCB DCE BCE ∠+∠=∠+∠=∠=︒90︒12251121525.5a b 2225a b +=()212a b +=a b 2225a b +=()212a b +=∴6a b +=∴()a b a b ab +=++=222226ab +=25236112ab =∴112112（1）（2）（3） （4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则．（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）根据平方差公式简算即可；（3）根据整式的乘法法则计算即可；（4）根据积的乘方，平方差和完全平方公式即可求解．【小问1详解】解：小问2详解】【小问3详解】【()2031220263π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭2202620252027-⨯()2223a b a b-()()22m n m n -+0132362a b a b -42242m m n n -+()2031220263π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭819=+-0=2202620252027-⨯()()220262026120261=--⨯+()22202620261=--1=()2223a b a b -【小问4详解】16. 先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了整式的化简，代数式求值，绝对值的非负性．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的运算．先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项，然后计算除法，利用非负数的性质求得a 、b 的值，最后代入数值求解即可．【详解】解：原式∵，且，∴，∴，∴，将，代入上式得222232a b a a b b =⋅-⋅32362a b a b =-()()22m n m n -+()()2m n m n ⎡⎤=-+⎣⎦()222m n =-42242m m n n -=+()()()()223363a b a b a b b ⎡⎤+--+÷-⎣⎦()2120a b +++=533a b +233-()()()()223363a b a b a b b ⎡⎤=+--+÷-⎣⎦()()()2222673623a ab b a ab b b ⎡⎤=+--++÷-⎣⎦()()2593ab b b =--÷-533a b =+()2120a b +++=10a +≥()220b +≥10a +=()220b +=10a +=20b +=1a =-2b =-1a =-2b =-原式．17. 如图，在中，，，过点C 作，连接．（1）基本尺规作图：作，交线段于点F （保留作图痕迹）；（2）求证：．解：∵∴___①___（___②___）∵∴在和中∴∴（___④___）【答案】（1）见解析 （2）①；②两直线平行，同帝内角互补；③；④全等三角形的对应边相等【解析】【分析】（1）根据运用作相等角的作图方法画图即可；（2）根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④．【小问1详解】()()51323=⨯-+⨯-563=--233=-ABC AB AC =90BAC ∠=︒CE AB ∥AE ABF EAC ∠=∠AC BF AE =CE AB∥90BAC ∠=︒18090ACE BAC BAF∠=︒-∠=︒=∠BAF △ACE △()______BA ACBAF ACE ⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩③()ASA BAF ACE ≌BF AE =180BAC ACE ∠+∠=︒ABF EAC ∠=∠解：如图：即为所求【小问2详解】解：∵∴（两直线平行，同帝内角互补）∵∴在和中∴∴（全等三角形的对应边相等）18. 在中，D 是的中点，；（1）证明：；（2）若，平分，求的度数．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，，结合，证明，根据全等三角形的性质，即可得证；BAF ∠CE AB∥180BAC ACE ∠+∠=︒90BAC ∠=︒18090ACE BAC BAF∠=︒-∠=︒=∠BAF △ACE △ABF EACBA ACBAF ACE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA BAF ACE ≌BF AE =ABC BC AC BF ∥DE DF ==110BAC ∠︒DB ABF ∠C ∠35︒C FBD ∠=∠F CED ∠=∠CD BD =()AAS CDE BDF ≌（2）根据平行线的性质得出，进而根据平分，即可求解．【小问1详解】证明：∵∴，∵D 是中点∴在和中∴∴【小问2详解】解：∵∴，∵∴∵平分∴B 卷（50分）四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置．19. 定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．先根据新定义的运算求出的值，再比较即可．【详解】解：18070ABF BAC ∠=-∠=︒︒DB ABF ∠AC BF∥C FBD ∠=∠F CED∠=∠BC CD BD=CDE BDF V CED F C FBDCD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS CDE BDF ≌DE DF=AC BF∥C FBD ∠=∠180BAC ABF ∠+∠=︒=110BAC ∠︒18070ABF BAC ∠=-∠=︒︒DB ABF ∠1352C FBD ABF ∠=∠=∠=︒()*a b a a b =+()1*21122=⨯+=1n >*A m mn =*B mn m =A B A B>A B <A B ≤A B ≥A B -()22*A m mn m m mn m m n ==+=+，故选：C ．20. （多选）如图，的两条角平分线、相交于点D ，且，过点A 作交的延长线于点M ．则下列结论中正确的有（ ）A. 若，则B.C.D. 【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质即可求解．【详解】解：A.∵∴∵是的平分线，是的平分线，∴∴又∴()222*B mn m mn mn m m n m n==+=+∴()222221A B m m n m n -=-=- 1n >∴210n -< 20m ≥∴()2210A B m n -=-≤∴A B ≤ABC CF AE 90BAC ∠=︒AM AE ⊥CF =60B ∠︒BFD AEC∠=∠AC AF EC =+2180ADC B ∠-∠=︒12M B ∠=∠90,60BAC B ∠=︒∠=︒30ACB ∠=︒CF ACB ∠AE BAC ∠1115,4522BCF ACB BAE BAC ∠=∠=︒∠=∠=︒6045105AEC B BAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒180B BFC BCF ∠+∠+∠=︒1801801560105BFC BCF B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴故选项A 正确；B.无法找出三者关系，故选项B 错误；C.∵是的平分线，是的平分线，∴∴∴∴，故选项C 正确；D.∵∴∵∴，故D 正确；故选：ACD五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．21. 关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为______．【答案】【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可．【详解】解：BFC AEC ∠=∠AC AF EC 、、CF ACB ∠AE BAC ∠11,22DAC BAC DCA BCA ∠=∠∠=∠()111222DAC DCA BAC BCA BAC BCA ∠+∠=∠+∠=∠+∠()()11801802ADC DAC DCA BAC BCA ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠()11801802B =︒-︒-∠1902B =︒+∠2180ADC B ∠-∠=︒AM AE⊥90ADC M∠=︒+∠1902ADC B ∠=︒+∠12M B ∠=∠x 132kx x -+=k 8x k 132kx x -+=kx x-+=162kx x -=-25()k x -=-25x k =--52解为整数，或或或，则所有整数的和为，故答案为：．22. 若，，则______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、非负数的性质、乘方等知识点，根据题意推出，求得a 、c 的值成为解题的关键．由可得，再代入可得，根据非负数的性质可得，最后代入即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，即，∴．故答案为3．23. 在中，于E ，于D ，交于F ，平分交延长线于M ，连接，．若，，，则______．∴3k =7k =3k =-1k =k ++-=3713886a b -=22100ab c c +-+=c a =()()22310a c -+-=6a b -=6b a =-22100ab c c +-+=()()22310a c -+-=3,1a c ==c a 6a b -=6b a =-()262100a a c c -+-+=2262100a a c c -+-+=2269210a a c c -++-+=()()22310a c -+-=3010a c -=-=，31a c ==，133c a ==ABC CE AB ⊥AD BC ⊥CE AD EM BEC ∠AD BM CM 180DFC ABM ∠+∠=︒52BE AE =5AEF S =△EMC S =【答案】【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，，，得出，．进而根据得出，，根据得出，根据，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵平分∴，又∵∴，∴∵于E ，于D ，∴，，∴又∵∴∵，，∴，．∵，253BEM EFM △≌△AEF CEB ≌BE EF =AE EC =5AEF S =△5AE =103BEM EFM S S ==△△23FFM FMC S EF S FC ==△△352MFC EFM S S ==△△EMC EFM FMC S S S =+△△△180DFC ABM ∠+∠=︒180DFC DFE ∠+∠=︒MFE MBE ∠=∠EM BEC∠BME FME ∠=∠ME ME=BEM EFM △≌△()SAS EB EF=CE AB ⊥AD BC ⊥EAF ABC ECB ABC ∠+∠=∠+∠90AEF CEB ∠=∠=︒EAF ECB∠=∠EB EF=()AAS AEF CEB ≌BEM EFM △≌△AEF CEB ≌BE EF =AE EC =52BE AE =∴．∴．∴．∴，．∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案为：．六、解答题（24题10分，25题10分，26题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．24. 已知甲、乙两地相距10千米，小诚从乙地出发，匀速骑行至甲地，在甲地休息一段时间后，便以原速度的匀速返回乙地．小诚从乙地出发10分钟后，小勤从甲地出发至乙地，小勤先匀速步行至两地中点，再从中点匀速慢跑至乙地，最后两人同时到达乙地．在运动过程中，小诚和小勤距甲地的距离y （千米）与小勤出发的时间x （小时）的关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）小勤出发时，小诚骑行路程为______千米，小勤出发______小时后步行至甲、乙中点，小诚从乙地25BE AE EF ==1125225AEF S AE EF AE AE =⋅=⋅=△5AE =2BE EF ==5AE EC ==523FC EC EF =-=-=52AEM AEF FFM BEM BEM S AE S S S BE S +===△△△△△103BEM EFM S S ==△△23FFM FMC S EF S FC ==△△352MFC EFM S S ==△△1025533EMC EFM FMC S S S =+=+=△△△25345到甲地的骑行速度为______千米/小时，小勤的步行速度为______千米/小时；（2）写出小勤距甲地的距离y （千米）和x （小时）的关系式；（3）小勤出发多少小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距500米．【答案】（1）；1；；（2） （3）或【解析】【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用；（1）根据函数图象小诚骑行路程为 千米，小勤先匀速步行至两地中点，再从中点匀速慢跑至乙地，小诚从乙地出发10分钟后，小勤从甲地出发至乙地，可得小诚的速度，小勤1小时步行千米，可得小勤的步行速度，即可求解；（2）根据（1）的分析，根据路程等于速度乘以时间，分段写出关系式，即可求解；（3）设小勤出发t 小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距米．分量种情况讨论，结合题意列出一元一次方程，即可求解．【小问1详解】解：小勤出发时，小诚骑行路程为 千米，小勤先匀速步行至两地中点，再从中点匀速慢跑至乙地，根据函数图象可得，小勤出发小时后步行至甲、乙中点，小诚从乙地出发10分钟后，小勤从甲地出发至乙地，千米/小时，小勤1小时步行千米，则千米/小时；∴小诚从乙地到甲地的骑行速度为千米/小时，小勤的步行速度为千米/小时；故答案为：；1；；．【小问2详解】解：小诚从乙地出发，匀速骑行至甲地，在甲地休息一段时间后，便以原速度的匀速返回乙地．由（1）可得返回的速度为千米/小时，2.5155()501116116x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩720252.55500107.5 2.5-= 2.51107.5151060-=5551=1552.515545415125⨯=则所用时间为/小时，∵两人同时到达乙地．∴所用时间为∴当时，；当时，小勤的速度为：千米/小时，∴∴【小问3详解】设小勤出发t 小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距米．或解得：或答：小诚出发或小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距米．25. 我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．第一行第二行 各项系数和为第三行 各项系数和为第四行 各项系数和为……………………此图揭示了（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题：（1）多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______；105126=511166+=01x ≤≤5y x =1116x <≤510266÷÷=()56161y x x =+-=-()501116116x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩5002.5150.5510t t +++= 2.5150.5510t t +-+=720t =25t =720255001()01a b +=11()1a b a b +=+112+=121()2222a b a ab b +=++1214++=1331()3322333a b a a b ab b +=+++13318+++=()n a b +()7a b +（2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：①计算；②计算；③请直接写出的值．【答案】（1）8，7，128（2）①357；②；③4051【解析】【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法；（1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可．（2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解；②将已知式子裂项为，即可求解；③根据进行计算即可求解．【小问1详解】根据“杨辉三角”可知，第2行，展开后，各项系数和为，第3行，展开后，各项的系数和为，第4行，展开后，各项的系数和为，的11a =23a =36a =326a a +1250111a a a ++⋅⋅⋅+20262024a a -10051()n a b +()12n n n a +=3,26n =125011122212235051a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯()()2026202412026202612024202412a a -=⨯+-⨯+⎡⎤⎣⎦1()a b +122()a b +212142++==3()a b +3133182+++==第5行，展开后，各项系数和为，第6行，展开后，各项的系数和为，第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、各项的系数和为展开后，各项的系数和为，∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128；故答案为：8，7，128．【小问2详解】①由题意得：、、∴∴②由题意得：、、∴∴的4()a b +414641162++++==5()a b +515101051322+++++==6()a b +161520156161615201561642++++++==()7a b +17213535217171721353521711282+++++++==()n a b +2n ()7a b +8711a =2123a =+=31236a =++=()1122n n n a n +=++⋅⋅⋅+=()()32633126261635135722a a ⨯+⨯++=+=+=11a =2123a =+=31236a =++=()1122n n n a n +=++⋅⋅⋅+=125011122212235051a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯111212235051⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭111111212235051⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭12151⎛⎫=- ⎪⎝⎭③26. 已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若，点，分别在，上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：；（3）如图3，若，延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形性质即可解答；（2）过点作于点，延长交于点，证明，得到，，再证明得到，即可求解；（3）过点作于点，证明得到，，，推出，再证明，得到，，推出的50251=⨯10051=()()2026202412026202612024202412a a -=⨯+-⨯+⎡⎤⎣⎦()22120262026202420242=+--()120262024222=+⨯+⎡⎤⎣⎦4051=AB AC =AD AE =BAC DAE ∠=∠BD CE =90BAC ∠=︒D E AB AC BE D DH BE ⊥H A AF BC ∥HD F BF BF DF BE +=90BAC ∠=︒BD EC F A AQ BD ⊥Q 2.4FC =7.6BF =BQ 2.6BQ =BAD CAE ≌△△A AM DE ⊥M AM BE N AEN ADF ≌ EN DF =AN AF =BAN BAF ≌ BN BF =A AG EF ⊥G ABD ACE △△≌BD CE =ABD ACE ∠=∠ABD ACE S S = AQ AG =AQB AGC ≌ BQ CG =BAQ CAG ∠=∠，可证明四边形为正方形，得到，设，则，根据列方程，即可求解．【小问1详解】证明：，，，，，，；【小问2详解】如图2，过点作于点，延长交于点，，，，，，，，，，，，，，∵，即，在和中，90QAG ∠=︒AGFQ FG FQ =BQ CG x ==2.4FQ FG CF CG x ==+=+BF BQ FQ =+ BAC DAE ∠=∠∴BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠∴BAD CAE ∠=∠ AB AC =AD AE =∴()SAS BAD CAE ≌∴BD CE =A AM DE ⊥M AM BE N 90BAC ∠=︒AB AC =∴45ABC ACB ∠=∠=︒ 90BAC DAE ∠=∠=︒AD AE =AM DE ⊥∴45DAN EAN ∠=∠=︒ AF BC ∥∴45DAF ABC ∠=∠=︒∴45EAN DAF ∠=∠=︒ 90DHB BAE ∠=∠=︒DBH EBA ∠=∠∴BDH BEA ∠=∠BDH ADF∠=∠∴ADF BEA ∠=∠ADF AEN ∠=∠AEN △ADF △，，，，在和中，，，，，，，，即；【小问3详解】如图3，过点作于点，，，，在和中，，，，，，，EAN DAF AE ADAEN ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AEN ADF ≌∴EN DF =AN AF =BAN BAF △45AN AF BAN BAF AB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS BAN BAF ≌∴BN BF = BE BN EN =+BN BF =EN DF =∴BE BF DF =+BF DF BE +=A AG EF ⊥G 90BAD DAC ∠+∠=︒90CAE DAC ∠+∠=︒∴BAD EAC ∠=∠ABD △ACE △AB AC BAD EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD ACE ≌∴BD CE =ABD ACE ∠=∠ABD ACE S S = ∴1122BD AQ CE AG =，在和中，，，，，，，即，，，四边形为矩形，，四边形为正方形，，设，则，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是灵活运用这些知识．∴AQ AG =AQB AGC AQ AG AB AC =⎧⎨=⎩∴()HL AQB AGC ≌∴BQ CG =BAQ CAG ∠=∠ 90BAQ QAC ∠+∠=︒∴90CAG QAC ∠+∠=︒90QAG ∠=︒ AQ BF ⊥AG EF ⊥∴AGFQ AQ AG =∴AGFQ ∴FG FQ =BQ CG x == 2.4FQ FG CF CG x ==+=+ BF BQ FQ =+∴7.6 2.4x x =++∴ 2.6x =∴ 2.6BQ =。

2023-2024学年广东省惠州市博罗县四校联考七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数中的无理数是()A. B. C.0 D.2.下列各式中，是二元一次方程的是()A. B. C. D.3.下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是()A. B.C. D.4.在平面直角坐标系中，点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.下列各组x，y的值，不是方程的解的是()A. B. C. D.6.下列各组数中，互为相反数的是A.与B.与C.与D.与7.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是()A.B.C.D.8.如图是小刚画的一张脸，若用点表示左眼的位置，点表示右眼的位置，则嘴巴点C的位置可表示为()A.B.C.D.9.已知点与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离等于4，那么点N的坐标是()A. B. C.或 D.或10.如图，E在线段BA的延长线上，，，，连FH交AD于G，的余角比大，K为线段BC上一点，连CG，使，在内部有射线GM，GM平分则下列结论：①；②GK平分；③；④其中正确结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.比较大小：______12.把方程改写成用含x的式子表示y的形式为______.13.如图，OC是的角平分线，直线若，则的大小为______.14.已知，，则______.15.如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知，，则__________.16.如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是______.三、计算题：本大题共1小题，共6分。

17.解方程组：四、解答题：本题共7小题，共66分。

西南大学附中2023－2024学年度下期期中考试初一数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答．2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．3．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡收回．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1. 3的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据倒数的定义可知．【详解】解：3的倒数是，故选：C【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2. 若有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了零指数幂，由即可求解，掌握零指数幂是解题的关键．【详解】解：若有意义，则，∴，故选：．3. 直角三角板绕直角边旋转一周得到的立体图形是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台33-1313-13()03x +x 3x >-3x ≥-3x <-3x ≠-30x +≠()03x +30x +≠3x ≠-D【解析】【分析】根据面动成体的原理和圆锥的定义即可得出答案．本题考查了旋转体的定义和常见的几何体，掌握常见的几何体是解题的关键．【详解】解：直角三角板绕着它的一条直角边所在直线旋转一周可形成圆锥，故选：B ．4. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形，故选C ．考点：简单组合体的三视图．5. 如图是正方体的展开图，相对面的数字之和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面，根据相对的两个面的两个数字之和为求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．【详解】解：由图可知，和相对，和相对，∴，，∴，，∴，62a b -2-3-656a b 、a 5b 256a +=26b +=1a =4b =22142a b -=⨯-=-6. 如图，已知在点处看位于南偏西的方向上，在点处看位于南偏东的方向上，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了方向角，利用角的的和差关系计算即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，，∴，故选：．7. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则和乘法公式分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键．【详解】解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；A P 60︒P B 70︒APB ∠130︒80︒50︒10︒1906030∠=︒-︒=︒2907020∠=︒-︒=︒12302050APB ∠=∠+∠=︒+︒=︒C 2441a a ÷=()3328x x -=()222x y x y -=-()()222x y x y x xy y +--=---A 244a a a ÷=B ()3328x x -=-C ()2222x y x xy y -=-+、，该选项正确，符合题意；故选：．8. 下列命题是假命题的是（ ）A. 若两直线平行，则一组同旁内角的角平分线所形成的夹角为B. 在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 在同一平面内，两直线不相交必平行D. 平移前后对应点连接的线段平行且相等【答案】D【解析】【分析】本题考查了真假命题，根据平行线性质、垂线的性质、直线的位置关系、平行的性质逐项判断即可求解，掌握以上相关知识是解题的关键．【详解】解：、若两直线平行，则一组同旁内角的角平分线所形成的夹角为，该命题是真命题，不合题意；、在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，不合题意；、在同一平面内，两直线不相交必平行，该命题是真命题，不合题意；、平移前后，对应点所连的线段平行或在同一直线上，该命题是假命题，符合题意；故选：．9. 的个位数字为（ ）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键．由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可．【详解】解：由题意知，的D ()()()2222x xy x y x y x y y =-=-+-+---D 90︒A 90︒BCD D ()()()()246418313131319⨯+++⋅⋅⋅++()()()()246418313131319⨯+++⋅⋅⋅++()()()()246492313131311⎡⎤=⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()()()()2464931313131311⎡⎤=-⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦1303=1234533393273813243=====，，，，1304322÷=+1303()()()()246418313131319⨯+++⋅⋅⋅++()()()()246492313131311⎡⎤=⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()()()()2464931313131311⎡⎤=-⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦……，∵，∴每4个3相乘为1个循环，∵，∴的个位数字为9，故选：D ．10. 若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，理解一元一次不等式组的解集以及方程的根的定义是正确解答的前提，确定的取值范围是得出正确答案的关键．根据不等式组的解集以及偶数解的个数，确定的取值范围，再根据一元一次方程的根进一步确定的取值范围，再求出符合条件的整数的和即可．【详解】解：，由，解得，由，解得，，()()()()224649313131311⎡⎤=-++⋅⋅⋅++⎣⎦()1289311⎡⎤=-+⎣⎦12893=⨯212833=⨯1303=1234533393273813243=====，，，，1304322÷=+1303x ()421132x a x x x ⎧->-⎪⎨--≤⎪⎩y ()821y a ---=a 24-40-14-18-a a a ()421132x a x x x ⎧->-⎪⎨--≤⎪⎩()42x a x ->-83x a <-1132x x --≤85x ≥3858a x ∴-≤<根据解集有且仅有2个偶数解，∴这两个偶数解为2和4，，，又关于的方程的解为，根据解为非负整数，，解得：，综上可得：∴整数的值为，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；符合条件的所有整数的和为，故选：A ．11. 如图，，点、点在上，点、点在上，，点在与之间，连接、，与交于点，且．是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列说法错误的有（ ）个．；；；A. B. C. D. 8463a -∴<≤104a ∴-≤<-y ()821y a ---=62a y +=-602a ∴+-≥6a ≤-106a -≤≤-a 10,9,8,7,6-----10a =-10622y -+=-=9a =-96322y -+=-=8a =-8612y -+=-=7a =-76122y -+=-=6a =-6602y -+=-=∴a 108624---=-AB CD Q E AB P F CD 2BEP EPQ ∠=∠M AB CD FM EM EM PQ G FM PE ∥FN ∠MFC 13NFC MFC ∠=∠MK FN ∥MH EMF ∠①90AEM BEP ∠+∠=︒②AEP MFP ∠=∠③AQP BQP MFP ∠-∠=∠④254EGP NFC HMK∠-∠=∠1234【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质逐一判断即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键【详解】解：∵，∴，，∴，∴，故错误；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故正确；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，AB CD 180AEM MEP EPC ∠+∠+∠=︒BEP EPC ∠=∠180AEM MEP BEP ∠+∠+∠=︒180AEM BEP MEP ∠+∠=︒-∠①AB CD 180AEP EPC ∠+∠=︒FM PE ∥MFP EPD ∠=∠180EPD EPC ∠+∠=︒180MFP EPC ∠+∠=︒AEP MFP ∠=∠②180AQP BQP ∠+∠=︒180AQP BQP ∠=︒-∠1801802AQP BQP BQP BQP BQP ∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠AB CD BEP EPC ∠=∠2BEP EPQ ∠=∠2EPC EPQ ∠=∠QPC EPQ ∠=∠FM PE ∥180MFP EPC ∠+∠=︒1801802MFP EPC EPQ ∠=︒-∠=︒-∠∵，∴，∴，故正确；∵，∴，因缺少条件，无法证明的结论，故错误；∴错误，共个，故选：．12. 关于的整式与，令，，下列说法正确的有（ ）个．①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能；②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为；③若，，，，，，则的最小值为；④若，，，，令，，且，，则共有项．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项与系数等知识．熟练掌握多项式乘以多项式，多项式的项与系数是解题的关键．（1）由是关于的二次整式，可知至少有一个为2，然后分情况求解；进而可判定①的正误；由，可得，则，可求，即，由，可判断②的正误；由，，，，，，可得，，则，由，可得，进而可判断③的正误；由AB CD BQP QPC EPQ ∠=∠=∠1802MFP BQP AQP BQP ∠=︒-∠=∠-∠③13NFC MFC ∠=∠3NFC MFC ∠=∠④④①④2B ()0x x ≠m x ax b ++n x cx d ++m A x ax b =++n B x cx d =++A B +x m n +4m =()3A x C =-C C 134m =4a =0b =2n =1c =1d =4A B -8-1m =0a b ==2n =0c d ==1A A B =+1B A B =⨯11n n n A A B --=+()112n n n B A B n --=⨯≥88A B +89m n d A c B x ax b x x =++++++x m n ，4m =()()()()()()432432333333A x ax b x x mx nx c x m x n m x c n x c x C =++=-+++=+-+-+--=-3030m n m -=-=，39m n ==，3239C x x x c =+++13913++=4m =4a =0b =2n =1c =1d =44A x x =+21B x x =++()22428A B x -=--()2220x -≥()224288A B x -=--≥-，，，，可得，，然后根据题意，推导规律并作答即可．【详解】解：∵是关于的二次整式，∴至少有一个为2，当时，；此时值为；当时，；此时的值为；综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求；∵，∴，∴，解得，，∴，∵，∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求；∵，，，，，，∴，，∴，∵，∴，③正确，故符合要求；∵，，，，∴，，∴，，∴，共3项；∴，，∴，共项；∴，，∴，共项； 的1m =0a b ==2n =0c d ==A x =2B x =m n d A c B x ax b x x =++++++x m n ，2m =012n =，，m n +234，，2n =012m =，，m n +234，，m n +4m =()()()()()()432432333333A x ax b x x mx nx c x m x n m x c n x c x C =++=-+++=+-+-+--=-3030m n m -=-=，39m n ==，3239C x x x c =+++13913++=C 134m =4a =0b =2n =1c =1d =44A x x =+21B x x =++()()24242244414428A B x x x x x x x -=+-++=--=--()2220x -≥()224288A B x -=--≥-1m =0a b ==2n =0c d ==A x =2B x =21A A B x x =+=+31B A B x =⨯=1132x x x A B =+++21321x A B x x A ==+++54211B A B x x =⨯=+543222x x x x x A B =+++++523=+5324322A x x x x B x A =++=+++876523222B A B x x x x =⨯=+++87643352322x x x x A B x x x x =++++++++835=+……∴可推导，，共项；，共项；，共项；，共项；∴，共项．④正确，故符合要求；故选：D ．二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的橫线上．13. 若，则的补角为______度．【答案】【解析】【分析】本题考查了求一个角的补角，根据补角的定义直接计算即可求解，掌握补角的定义是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴补角为为，故答案为：．14. 若，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算可得，代入已知条件计算即可求解，掌握同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．15. 若是完全平方式，则的值是______．的44A B +1358=+55A B +21813=+66A B +341321=+77A B +552134=+88A B +893455=+8730A ∠=︒'A ∠92.58730A ∠=︒'1801808730923092.5A ''︒-∠=︒-︒=︒=︒A ∠92.5︒92.532m =35n =233m n -=4125()()23232333333m n m n m n -=÷=÷()()2323232343333325125m n m n m n -=÷=÷=÷=4125()2292x m xy y --+m【答案】或8【解析】【分析】本题主要考查完全平方式的概念，掌握完全平方式的形式特点是解题的关键．根据完全平方式的定义，可得，即可求出m 的值．【详解】解：∵，∴，解得或8，故答案为：或8．16. 如图，在同一直线上，已知，，点，点分别是、的中点，若，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了线段的和差关系，设，可得，；根据可得，再根据线段的中点得出，，结合计算即可求解；【详解】解：设，∴∴∵，∴，∴∴∵点是的中点，4-()322m -±-⨯=()2222(93)223x m xy x x y y y --±⨯+=+()322m -±-⨯=4m =-4-A B C D 、、、13AB AC =25BC CD =E F AC BD 3EF =CD =55CD x =225BC CD x ==7BD BC CD x =+=13AB AC =332AC BC x ==12BE x =72BF x =EF BF BE =-5CD x =225BC CD x ==7BD BC CD x=+=13AB AC =23BC AC =332AC BC x ==AB AC BC x=-=E AC∴∴∵点是的中点，∴∴∴∴故答案为：17. 若的结果不含的二次项和一次项，则的值为______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了多项式乘以多项式结果不含某项的问题，先根据多项式的乘法法则将算式展开，再根据其结果不含的二次项和一次项，让的二次项和一次项系数分别为，求出和的值，代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式结果不含某项即该项得系数为是解题的关键．【详解】解：，∵的结果不含的二次项和一次项，∴，解得或，∴或，故答案为：或．18. 已知，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式．熟练掌握代数式求值，完全平方公式是解题的关键．1322AE AC x ==12BE AE AB x =-=F BD 1722BF BD x ==33EF BF BE x =-==1x =55CD x ==5()()214ax x bx --+-x 4a b -44-x x 0a b 0()()()()2322321444144ax x bx ax abx ax x bx ax ab x a b x --+-=-+-+-+=-++-++()()214ax x bx --+-x 1040ab a b +=⎧⎨+=⎩122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩44a b -=4-44-221x x +=4323293x x x x -+++=15由题意知，，由，将代入，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴；将代入得，原式，故答案为：．19. 如图，四边形中，，点、点在上，将沿折叠，点落在点处，线段所在的直线平分，将沿折叠，点刚好落在线段上的点处，且两条折痕形成的，则______．【答案】##度【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则由平行线的性质可得，再由角平分线的定义推出，进而由平角的定义得到，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案．212x x =-4323293x x x x -+++()22223293x x x x x =-⋅+++()21025x x =++221x x +=221x x +=212x x =-4323293x x x x -+++()22223293x x x x x =-⋅+++()()()21231212293x x x x x =---+-++221443612293x x x x x x =-+-++-++210205x x =++()21025x x =++221x x +=101515=⨯+=15ABCD AD BC ∥E F BC CD DE C C 'C E ''C G DEC ∠CD DF C DA C ''54FDE ∠=︒DGE ∠=108︒108ADF CDF DEC DEC EDC EDC ''===∠∠，∠∠，∠∠EDC EDC x '==∠∠180722C ADC x =︒-=︒-∠∠12DEG DEC '=∠120DEC ∠=︒120722180x x +︒+︒-=︒【详解】解：由折叠的性质可得，设，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为；．20. 五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．注意设而不求、方程思想的应用．设去年礼盒的售价为x ，则礼盒B 的售价为，去年A ，B ，C 三个礼盒的销量分别为，去年的销售额分别为，，，得出C 的售价为，今年B 的售价为n ，A 的销量为m ，根据题意列ADF CDF DEC DEC EDC EDC ''===∠∠，∠∠，∠∠EDC EDC x '==∠∠AD BC ∥()180180254722C ADC x x ∠=︒-∠=︒-︒+=︒-'C G DEC ∠1122DEG DEC DEC '==∠∠180DEG DEC '+=︒∠∠60DEG ∠=︒120DEC ∠=︒120722180x x +︒+︒-=︒12x =︒1801260108DGE =︒-︒-︒=︒∠108︒、、A B C 、、A B C 1:2:3B A 1.5C A A 10%B C B C 516A B 6:7A B 8581925A 1.5x ,2,3a a a ax 3ax 4ax 43x式计算即可求解．【详解】解：设去年礼盒的售价为x ，则礼盒B 的售价为，去年A ，B ，C 三个礼盒销量分别为，，，∴去年的销售额分别为，，，∴C 的售价为，今年B 的售价为n ，A 的销量为m ，根据题意得到表格：去年售价x 去年销量a 去年销售额今年售价n 今年销量m 由表格以及题意得：，，得，代入解得：，∴今年礼盒与礼盒的售价之比为：故答案为： ．三、解答题：本大题共8小题，70分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．21. 计算．（1）（2）的A 1.5x a 2a 3a ax 3ax 4ax 4433ax x a =A B C1.5x 43x 2a 3a ax 3ax 4ax (110%)x +43x 2a 3a451.12(34)(1316mx an ax ax ax ax ++=++⨯+1.1:26:7mx an =127.7an m x =385156n x =A B 1.185********156x x =8581925()()0222575⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭432243x y z x y -÷（3）（4）【答案】（1）；（2）； （3）；（4）．【解析】【分析】（）利用零指数幂、乘方运算分别化简，再合并即可；（）根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解；（）先算乘方运算，再根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；（）根据多项式乘以多项式、完全平方公式展开，再合并同类项即可；本题考查了有理数的混合运算、零指数幂和整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式，；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：原式；【小问4详解】解：原式，．()()22222422ab a b a ab --+⋅-()()()22432331x y x y x x y ----5-243x yz -3645441684a b a b a b --+6245931x y x y x -+-1234()212575=+-⨯()16=+-=5-()()()423243x x y y z =-÷÷÷243x yz =-()22224424ab a b a a b =--+⋅3645441684a b a b a b =--+()6234623629321x y x y x y x x y x y =--+--+6234623629321x y x y x y x x y x y =--+-+-6245931x y x y x =-+-22. 因式分解（1）（2）（3）【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】本题主要考查了分解因式：（1）提取公因式分解因式即可；（2）先提取公因数，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：2422155a b a b +42242a a -+-()()()()2225393a b x y a b x y +++---()222315bb a +()()22211a a -+-()()()47629x y a b a b -++-225a b 2-()x y +2422155a b a b +()222351a b b =+42242a a -+-()42221a a =--+()2221a =--()()2211a a =-+-⎡⎤⎣⎦()()22211a a =-+-()()()()2225393a b x y a b x y +++---()()()2225393x y a b a b ⎡⎤=++--⎣⎦()()()()()53335333x y a b a b a b a b =+++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．23. 先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】本题考查了了整式的混合运算化简求解，非负数的性质，先利用整式的运算法则对整式进行化简，再根据非负数的性质求出的值，把的值代入化简后的结果中进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，，，，∵，∴，，∴，，∴原式．24. 如图，点、点在上，点、点、点在上，已知，，，与交于点，求证：．请完善下列证明过程．()()()1412418x y a b a b =++-+()()()47629x y a b a b =-++-()()()()()21233222422x y y x x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤-+----⋅+÷- ⎪⎣⎦⎝⎭()2420x y -+-=2630y x -68--x y 、x y 、()()()()2222221232442742x y x xy y x xy y y ⎛⎫⎡⎤=---+---÷- ⎪⎣⎦⎝⎭()2222221492882742x y x xy y x xy y y ⎛⎫=--+--++÷- ⎪⎝⎭()2113152y xy y ⎛⎫=-+÷- ⎪⎝⎭211131522y y xy y ⎛⎫⎛⎫=-÷-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2630y x =-()2420x y -+-=40x -=20y -=4x =2y =26230468=⨯-⨯=-F D AB P E M AC ED AB ⊥MD PB ∥EDM BQF ∠=∠BP CF Q CF AB ⊥证明：（已知），（垂直的定义），（已知），______（两直线平行，同位角相等），（已知），______．（ ），（ ），，，______．（ ），______（ ），（垂直的定义）．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等是解题的关键．按照步骤作答即可．【详解】证明：（已知），（垂直的定义），（已知），（两直线平行，同位角相等），（已知），．（对顶角相等），（等量代换），，，ED AB ⊥ 90EDA ∴∠=︒MD PB ∥DME ∴∠=EDM BQF ∠=∠ EDM CQP ∴∠=∠180DEM EDM DME ∠=-∠-∠︒ 180QCP CQP QPC ∠=-∠-∠︒∴ED CF ∴∥∴CF AB ∴⊥ED AB ⊥ 90EDA ∴∠=︒MD PB ∥DME BPC ∴∠=∠EDM BQF ∠=∠ BQF CQP ∠=∠EDM CQP ∴∠=∠180DEM EDM DME ∠=-∠-∠︒ 180QCP CQP QPC ∠=-∠-∠︒∴．（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（垂直的定义）．25. 如图，在四边形中，点在上，平分，，．（1）求证：；（2）若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．（1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证；（2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，DEM QCP ∠=∠ED CF ∴∥∴CFA EDA ∠=∠CF AB ∴⊥ABCD F AB DF ADB ∠DF DC ⊥BDC BCD ∠=∠AD BC ∥BE ABD ∠CD E DF H AD G 128BAD ∠=︒32DBC ∠=︒E ∠64︒DF DC ⊥90FDA ADE FDB BDC ∠+∠=︒=∠+∠DF ADB ∠FDA FDB ∠=∠ADE BDC ∠=∠ADE BCD ∠=∠AD BC ∥AD BC ∥20ABD ∠=︒BE ABD ∠10DBE ∠=︒AD BC ∥32DBC ∠=︒32ADB DBC ∠=∠=︒180742ADB BDC BCD ︒-∠∠=∠==︒E EM BC ∥42BEM ∠=︒106CEM ∠=︒BEC CEM BEM ∠=∠-∠DF DC ⊥90FDA ADE FDB BDC ∠+∠=︒=∠+∠DF ADB ∠FDA FDB ∠=∠ADE BDC ∠=∠∵，∴，∴；【小问2详解】解：由（1）知，∴，∵平分，∴，∵，，∴，，如图，过作，∴，，∴，∴的度数为．26. 百果园李老板在德昌旅游时发现这里的水果极其丰富，尤其是春节期间的草莓更是物美价廉．他在一家水果店前驻足观察到，一位客人买了斤中果草莓和斤大果草莓共花费元，另一位客人买了斤中果草莓和5斤大果草莓花费元．（1）请问在德昌中果草莓和大果草莓每斤各多少元？（2）在重庆，中果草莓每斤元，大果草莓每斤元，如果在德昌这个店购买然后运回重庆销售，有一定利润．经了解：重庆到德昌公里，一辆载重斤的卡车满载的时候运输费用为每公里元，现计划购买中果和大果草莓共斤，在运输以及销售过程中大果和中果草莓损耗各．如果大果购买重量与中果购买重量之差不超过斤，那么当总利润不低于元且水果重量均为整数时，请问有哪几种购买方案？BDC BCD ∠=∠ADE BCD ∠=∠AD BC ∥AD BC ∥18020ABD BAD DBC ∠=︒-∠-∠=︒BE ABD ∠1102DBE ABD ∠=∠=︒AD BC ∥32DBC ∠=︒32ADB DBC ∠=∠=︒180742ADB BDC BCD ︒-∠∠=∠==︒E EM BC ∥42BEM DBE DBC ∠=∠+∠=︒180106CEM BCD ∠=︒-∠=︒64BEC CEM BEM ∠=∠-∠=︒E ∠64︒3234676122070030005300020%5014000【答案】（1）在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元；（2）第一种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第二种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第三种：购买斤中果草莓，斤大果草莓．【解析】【分析】（）设在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元，根据题意，列出方程组即可求解；（）设购买了斤中果草莓，则购买了斤大果草莓，根据题意，列出不等式组求出的取值范围，再根据为整数即可求解；本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．【小问1详解】解：设在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元，由题意可得，，解得，答：在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元；【小问2详解】解：设购买了斤中果草莓，则购买了斤大果草莓，由题意可得，，解得，∵为整数，∴或或，∴有三种购买方案：第一种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第二种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第三种：购买斤中果草莓，斤大果草莓．27. 材料一：若一个自然数除以3余数为，则该自然数的各数位上的数字之和除以3的余数也为．例如125除以3余数为2，则除以3的余数也为2．材料二：若一个自然数可以表示为一个整数的平方，那么该自然数称为完全平方数．例如681475152514761524147715231x y 2a ()3000a -a a x y 32346576x y x y +=⎧⎨+=⎩68x y =⎧⎨=⎩68a ()3000a -()()()()120%12120%300020683000700514000300050a a a a a a ⎧⎡⎤-⨯+--⨯-+--⨯≥⎪⎣⎦⎨--≤⎪⎩31475147711a ≤≤x 1475x =14761477147515251476152414771523x x 1258++=ab a，所以169是完全平方数．（1）证明：完全平方数除以8的余数为1．（其中为整数）（2）一个各位数字均不为0四位自然数，去掉的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉的千位数字后形成的三位数除以3余2，由的千位数字与百位数字构成的两位数记为，由的十位数字与个位数字构成的两位数记为，为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数．【答案】（1）见详解 （2）2326，2623，4338，4635，4932，1368，1665，1962，8239，8536，8833，5269，5566，5863，2299，2596，2893，8386，8683【解析】【分析】（1）将展开为，即可求证，（2）结合材料1可得到，，根据、、、的范围，得到，且是完全平方数，得到，，，，，结合与的范围，分情况讨论，即可求解，本题考查了，十进制整数表示方法，完全平方数，解题的关键是：根据条件列式，分情况讨论．【小问1详解】证明：，∵为整数，∴能被8整除，∴完全平方数除以8的余数为1；【小问2详解】解：∵余数为1，余数为2，∴余数为1，余数为2，设，，其中，∴，，∵，，∵，，，，∴，，的216913=()243k +k m abcd =m m m s m t s t +m ()243k +()282311k k +++131a b c k ++=+232b c d k ++=+a b c d ()221018018198a c b d ≤+++≤+=()10a c b d +++=254981121169a c +b d +()()2222431624916248182311k k k k k k k +=++=+++=+++k ()28231k k ++()243k +()100103a b c ++÷()100103b c d ++÷()3a b c ++÷()3b c d ++÷131a b c k ++=+232b c d k ++=+1211k k ³³，()131b k a c =+-+()232c k b d =+-+10s a b =+10t c d =+19a ≤≤19b ≤≤19c ≤≤19d ≤≤218a c ≤+≤218b d ≤+≤∴，∵为完全平方数且为奇数，之间的奇数完全平方数有：，，，，，∴，，，，，当，时，，b 可取，，c 无值可取，当，时，，b 可取，，，c 可取，∴，或，∴，，当，时，，b 可取，，，，c 可取，，∴或，或或，∴，，，，，，当，时，，可取，，，，可取，，，∴或或，或或， ∴，，，，，，，，，当，时，，可取，，，可取，()221018018198s t a c b d ≤+=+++≤+=s t +22198 254981121169()10s t a c b d +=+++=2549811211692a c +=5b d +=()1113131231b k a c k k =+-+=+-=-2()()2223232531c k b d k k =+-+=+-=-4a c +=9b d +=()()1113131431b k a c k k =+-+=+-=-36()()22232329332c k b d k k =+-+=+-=-+222a c =⎧⎨=⎩36b d =⎧⎨=⎩63b d =⎧⎨=⎩2326m =26237a c +=11b d +=()()1113131732b k a c k k =+-+=+-=-369()()22232321133c k b d k k =+-+=+-=-3643a c =⎧⎨=⎩16a c =⎧⎨=⎩38b d =⎧⎨=⎩65b d =⎧⎨=⎩92b d =⎧⎨=⎩4338m =4635493213681665196211a c +=11b d +=()()111313111331b k a c k k =+-+=+-=--258()()22232321133c k b d k k =+-+=+-=-36983a c =⎧⎨=⎩56a c =⎧⎨=⎩29a c =⎧⎨=⎩29b d =⎧⎨=⎩56b d =⎧⎨=⎩83b d =⎧⎨=⎩8239m =8536883352695566586322992596289316a c +=9b d +=()()11131311635b k a c k k =+-+=+-=-36()()22232329321c k b d k k =+-+=+-=--8∴， 或， ∴，，故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，．28. 如图，在直线上放置两块三角板，，，，．其中三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．（1）如图，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，且两块三角板同时从图的位置开始旋转，当与第一次相遇时，______；（2）如图，两块三角板转到图位置，此时，，点为延长线上一点，连接交于点，当且（，且）时，用等式表示与的数量关系，并说明理由．（3）三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，两块三角板同时从图的位置开始旋转，当线段转到处两块三角板同时停止旋转．在旋转过程中，射线平分，射线平分．设旋转时间为秒，当与垂直时，直接写出的值．【答案】（1）；（2），理由见解析；88a c =⎧⎨=⎩36b d =⎧⎨=⎩63b d =⎧⎨=⎩8386m =868323262623433846354932136816651962823985368833526955665863229925962893838686831MN BA AO ⊥45BOA ∠=︒CD OD ⊥30DOC ∠=︒AOB O 5︒1OCD O 10︒1OB OD DON ∠=22OB MN ⊥OA CD ∥F OB DB AF E 100AEB ∠=︒FDB EBA x ∠=∠=︒3580x <<45x ≠AFO ∠FDC ∠OCD O 10︒1OB OM OE BOD ∠CF DCO ∠t CF OE t 100︒2160FDC AFO ∠=∠+︒（3）或或．【解析】【分析】（）列出一元一次方程解答即可求解；（）由平行可得，由得，由三角形外角性质得，得到，，据此即可表示与的数量关系；（）分三种情况：重合前；第一次相交后；第二次相交后；画出图形解答即可求解；本题考查了一次一次方程的几何应用，平行线的性质，三角形内角和定理和外角性质，角平分线的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【小问1详解】解：设经过秒重合，由题意可得，，解得，∴转过的度数为，∴，故答案为：；【小问2详解】解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴；【小问3详解】3t =275112BDO EBA x ∠=∠=︒100AEB ∠=︒80EAB x ∠=︒-︒35AFB x ∠=︒-︒35AFO x ∠=︒-︒290FDC x ∠=︒+︒AFO ∠FDC ∠3①OB OD 、②OB OD 、③OB OD 、t 5101804530t t +=--7t =OD 10770︒⨯=︒3070100DON ∠=︒+︒=︒100︒2160FDC AFO ∠=∠+︒OA CD ∥BDO EBA x ∠=∠=︒100AEB ∠=︒18010080EAB x x ∠=︒-︒-︒=︒-︒45AFB FAB ABO ∠+∠=∠=︒()45458035AFB FAB x x ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒35AFO x ∠=︒-︒90290FDC FDB BDO ODC x x x ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒+︒()290235160FDC x x ∠=︒+︒=︒-︒+︒2160FDC AFO ∠=∠+︒解：分三种情况：重合前，如图，∵射线平分，∴，当时，，∴，∴，∵射线平分，∴，∴，∴；第一次相交后，如图，同可得，∴，∴；第二次相交后，如图，∴，∴；①OB OD 、CF DCO ∠11603022FCO OCD ∠=∠=⨯︒=︒CF OE ⊥90OFC ∠=︒60COF ∠=︒603030DOE ∠=︒-︒=︒OE BOD ∠260BOD DOE ∠=∠=︒510180456030t t +=︒-︒-︒-︒3t =②OB OD 、①60BOD ∠=︒510360601803045t t +=︒-︒+︒-︒-︒27t =③OB OD 、510360360601803045t t +=︒+︒-︒+︒-︒-︒51t =综上，当或或时，与垂直．3t 2751CF OE。

2023-2024学年北京市海淀区中关村中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，和是邻补角的是()A. B.C.D.2.9的算术平方根是()A.3B.C. D.3.下列各数中，无理数是()A.B.C.D.4.小明读了：“子非鱼，焉知鱼之乐乎？”后，利用电脑画出了鱼儿的各种形态，请问：右图中所示的小鱼图案经过平移后得到的是()A. B.C.D.5.如图，，，则的度数为()A.B.C.D.6.如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果，那么以下四个结论中错误的是()A.B.C.D.7.下列命题中，假命题是()A.对顶角相等B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.在同一平面内三条直线a，b，c，如果，，那么D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补8.如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为，表示九龙壁的点的坐标为，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()A.保和殿B.养心殿C.武英殿D.景仁宫9.在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为()A. B.C.或D.或10.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B在y轴上，对于线段AB有如下四个结论：①线段AB的最小值是2；②线段AB的最大值是2；③线段AB可能经过点；④线段AB可能经过点上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①③B.②③C.②④D.①④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

11.的相反数是__________.12.点在y轴上，则P点坐标是__________.13.如图，数轴上点A，B对应的实数分别是，2，点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是__________写出一个即可14.如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是__________，理由是__________.15.在平面直角坐标系中，如果过点和点B的直线平行于x轴，且，那么点B的坐标是__________.16.如图，直线，直线AB分别与直线a，b相交于点C和点B，过点C作射线于C，若，则的度数是__________.17.如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为，，船C的位置应表示为__________.18.将1，，，，按右侧方式排列.若规定表示第m排从左向右第n个数，则所表示的数是__________；与表示的两数之积是__________.三、解答题：本题共9小题，共54分。

2023~2024学年度七年级下学期期中综合评估数学一、选择题（本大题共16个小题，1－10每小题3分，11－16每小题2分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 观察下列图形，其中是三角形的是（ ）A.B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，得出正确选项．【详解】解：因为由不在同一直线上三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，所以A ，C ，D 错误，只有B 符合，故选B ．【点睛】本题考查的知识点是三角形的定义，解题关键是准确理解掌握三角形定义．2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了幂的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键．【详解】解：A 、，该选项不符合题意；B 、，该选项不符合题意；C 、，该选项符合题意；D 、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；故选：C ．3. 如图，在线段、、、中，长度最小的是（ ）的()246a a =()222a b a ab b -=-+32623a b ab a ÷=246+=a a a ()2486aa a =≠()222222ab a ab a b b a b -=+-≠+-32623a b ab a ÷=2a 4a PA PB PC PDA. 线段B. 线段C. 线段D. 线段【答案】B【解析】【分析】由垂线段最短可解．【详解】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B ．故选B ．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．4. 肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示计算即可；【详解】数字0.00000071科学记数法表示为，故选：C ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确分析判断是解题的关键．5. 以下列各组数为边长不可能构成一个三角形( )A. 4，5，9B. 6，2，6C. 4，6，8D. 5，7，11【答案】A【解析】【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：A 、4+5=9，不能构成三角形，故此选项符合题意；B 、2+6＞6，能构成三角形，故此选项不合题意；C 、4+6>8，能构成三角形，故此选项不合题意；D 、5+7>11，能构成三角形，故此选项不合题意；.是PAPB PC PD77.110⨯60.7110-⨯77.110-⨯87110-⨯77.110-⨯故选：A ．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．6. 要画一个面积为长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别为（ ）A. 常量为30，变量为x 、yB. 常量为30、y ，变量为xC. 常量为30、x ，变量为yD. 常量为x 、y ，变量为30【答案】A【解析】【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．【详解】解：由题意，得，常量为30，变量为.故选：A ．【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．7. 如图，已知直线，，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，即可得出结果．【详解】解：∵a ∥b ，∴∠2=∠1=70°（两直线平行，同位角相等）．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．230cm cm x cm y 30xy =,x y ,x y //a b 170=︒∠2∠110︒90︒70︒60︒8. 在中，作出边上的高，正确的是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为，纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选：D9. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；拼成的长方形的面积：，ABC ∆AC AC B AC D a b a b >()()22a b a b a b -=+-()2222a b a ab b +=++()2222a b a ab b -=-+()2a ab a a b -=-22a b -()a b +()a b -=⨯()()a b a b +⨯-22a b -()()a b a b +⨯-所以得出：，故选：A ．【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．10. 为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程”，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程改造道路长度y （千米）与时间x （天）之间的关系的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查从函数的图像中获取信息，设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为，得，且，根据三个阶段的速度进行判断得到答案．【详解】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为得，且∵B 的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合∴B 正确∵C 的图像没有停工期∴C 错误∵A 和D 的图形均是随着时间x （天）的增加，改造道路里程y （公里）越来越少，与实际情况不符合∴A 、D 错误故选：B ．11. 如图，直线分别与直线，相交于点，，已知，平分交直线于点，则（）22()()a b a b a b -=+-1v 2v 3v 20v =13v v <1v 2v 3v 20v =13v v <EF AB CD G H 1250∠=∠=︒GM HGB ∠CD M GMD ∠=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．求出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：，，平分，，，，，故选：B ．12. 某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（ ）用电量（千瓦时）…应缴电费（元）…A. 用电量每增加千瓦时，电费增加元B. 若用电量为千瓦时，则应缴电费元C. 若应缴电费为元，则用电量为千瓦·时D. 若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦时【答案】D【解析】【分析】根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可．120︒115︒130︒110︒BGM ∠AB CD 150∠=︒ 1801130BGF ∴∠=︒-∠=︒GM BGF ∠1652BGM BGF ∴∠=∠=︒1250∠=∠=︒ AB CD ∴∥180********GMD BGM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒∙12340.55 1.10 1.65 2.201∙0.558∙ 4.42.7552 1.1∙【详解】解：A 、若用电量每增加千瓦时，则电费增加元，故本选项叙述正确，不符合题意；B 、若用电量为千瓦时，则应缴电费元，故本选项叙述正确，不符合题意；C 、若应缴电费为元，则用电量千瓦时，故本选项叙述正确，不符合题意；D 、若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦·时，故本选项叙述错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．13. 若多项式是一个完全平方式，则k 值是( )A. 10B. C. 5 D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了完全平方式，按照完全平方式的形式对原式因式分解，把因式分解形式展开后再按照多项式相等的定义求解即可．【详解】解：是一个完全平方式，，，，解得．故选：B ．14. 如果，则①，②，③，上述结论中正确的是（ ）A. 只有①B. 只有②C. 只有③D. ①②和③【答案】A【解析】【分析】本题考查平行线的性质．由得，即可得出答案．【详解】解：1∙0.558∙80.55 4.4=⨯=2.75 2.750.555=÷=∙22400.5511=225x kx ++10±5±225x kx ++ ()22255x kx x ∴++=±22(5)1025x x x ±=±+ 10kx x ∴=±10k =±AB CD 12∠=∠34∠∠=1324∠+∠=∠+∠AB CD 12∠=∠∥ AB CD是由推出的，故由不能推出，进而也不能得到故选：A ．15. 下列结论正确的是（ ）A. 直角三角形高只有一条B. 三角形的高至少有一条在三角形内部C. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部D. 钝角三角形的三条高都在三角形外部【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可．【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误；B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确；C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误；D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误．故选：B ．16. 如图，已知，若按图中规律，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线的性质．根据题意，由图1可得，后面的图的规律是角的和为角的个数减1个，具体见详解．【详解】解：如下图的12∴∠=∠34∠∠=AD BC ∥AB CD 34∠∠=1324∠+∠=∠+∠AB CD 12n ∠+∠+⋅⋅⋅+∠=180n ⋅︒2180n ⋅︒(1)180n -⋅︒2(1)180n -⋅︒12180∠+∠=︒180︒图1图2 图3 图如图1，；如图2，过点作即；如图3，作同理可得同理得；如图，根据上面的推理规律可得．故选：C ．二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）17. 谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是________．【答案】冰的厚度n∥ AB CD 12180∴∠+∠=︒M ∥MN AB∥MN AB1180AMN ∴∠+∠=︒∥ AB CDMN CD∴ 3180NMC ∴∠+∠=︒131801802180AMN NMC ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=⨯︒1232180∠+∠+∠=⨯︒∥,∥MN AB PQ AB1180AMN ∠+∠=︒180NMP MPQ ∠+∠=︒4180QPC ∠+∠=︒12343180∠+∠+∠+∠=⨯︒n 12(1)180n n ∠+∠+⋅⋅⋅+∠=-⋅︒【解析】【分析】、根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．【详解】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度．故答案为：冰的厚度．【点睛】本题考查了变量与常量的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．18. 如图，一块含有30°角的直角三角板，两个顶点分别在直尺的一对平行边上，∠α＝110°，∠β＝_____°．【答案】50【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠1＝70°，再根据平角的定义即可得出∠β＝50°．【详解】解：∵直尺的两边平行，∠α＝110°，∴∠1＝180°﹣∠α＝70°，∴∠β＝180°﹣70°﹣60°＝50°．故答案为：50．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.19. 如图，、分别是边，上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为________．D E ABC AB BC 2AD BD =BE CE =ADF 1S FCE 2S 24ABC S = 12S S -【答案】【解析】【分析】，所以求出三角形的面积和三角形的面积即可，因为，，且，就可以求出三角形的面积和三角形的面积【详解】解：∵，∴，∵，∴．∵，，∴，∵，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明或演算步骤）20. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）4ADF CEF ABE BCD S S S S -=- ABE BCD 2AD BD =BE CE =24ABC S = ABE BCD .BE CE =12BE BC =24ABC S = 1122ABE ABC S S == 2AD BD =24ABC S = BCD S =△13ABC S = 81212()()4ABE BCD BEFD BEFD S S S S S S S S -=+-+=-=四边形四边形 422012(2)|8|3π-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭()342272226a a a a b ab ⋅+--÷()222(2)(2)(2)68(2)x y x y x y x y xyy ---+-+÷-21019999.5⨯-2-（2）（3）（4）【解析】【分析】本题考查实数的运算，整式的运算．（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；（2）先算同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，再算加减即可；（3）先去括号，再算加减即可；（4）利用平方差和完全平方公式计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式；【小问3详解】原式；【小问4详解】原式．21. 先化简，再求值：，其中，【答案】，．【解析】【分析】先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式完成化简，最后代值计算即可．613a -2265x y +98.754198=-++-2=-66686a a a =--613a =-2222244434x xy y x y x xy=-+-+++2265x y =+2(1001)(1001)(1000.5)=+---22100110021000.50.25=--+⨯⨯-98.75=()()()()32322524x y x y x y x y x ⎡⎤+--+-÷⎣⎦12x =13y =2x y -16-【详解】解：，当，时，原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．22. 将下列证明过程补充完整：已知：如图，点B. E 分别在AC 、DF 上，AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ，∠1=∠2，∠A=∠F.求证：∠C=∠D.证明：因为∠1=∠2(已知).又因为∠1=∠ANC(______)，所以______(等量代换).所以______∥______(同位角相等，两直线平行).所以∠ABD=∠C(______).又因为∠A=∠F(已知)，所以______∥______(______).所以______(两直线平行，内错角相等).所以∠C=∠D(______)【答案】见解析.【解析】【详解】分析：根据对顶角相等可知∠1=∠ANC ，根据同位角相等，两直线平行，可知DB ∥EC ，再根据平行线的性质可知∠ABD =∠C ，再根据平行线的性质以及判定即可得出答案．详解：证明：∵∠1=∠2(已知)..()()()()32322524x y x y x y x y x⎡⎤+--+-÷⎣⎦()()222294510244x y x xy xy y x⎡⎤=--+--÷⎣⎦()222294510244x y x xy xy y x =---++÷()2484x xy x=-÷2x y =-12x =13y =11121223236=-⨯=-=-又∵∠1=∠ANC (对顶角相等)，∴∠2=∠ANC (等量代换).∴DB ∥EC (同位角相等，两直线平行).∴∠ABD =∠C (两直线平行，同位角相等)又∵∠A=∠F (已知)，∴DF ∥AC (内错角相等，两直线平行)，∴∠D =∠ABD (两直线平行，内错角相等).∴∠C =∠D (等量代换).点睛：考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法与性质定理是解题的关键.23. 如图，点是边上一点．（1）在的左侧作；（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）根据上面所作的图形，你认为和一定平行吗？请说明理由．【答案】（1）见详解（2），理由见详解【解析】【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定．（1）理由尺规作图作一个角等于已知角即可；（2）根据内错角相等，两直线平行来判定即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求【小问2详解】，理由如下：．P BAC ∠AB AB APD BAC ∠=∠PD AC PD AC ∥APD ∠PD AC ∥ APD BAC∠=∠∴PD AC ∥24. 甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（甲车的速度大于乙车的速度）前往地和地，在途中的服务区两车相遇，休整了2h 后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离（km ）和所用时间（h ）之间的关系图象如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；（2）两地相距距离 ；（3）求图中的值以及甲车的速度．【答案】（1）时间；两车之间的距离（2）900（3）；甲车速度【解析】【分析】本题考查一次函数的图象与实际问题．（1）根据图象的横坐标、纵坐标即可得知自变量与因变量；（2）根据图象的纵坐标可得；（3）根据甲乙再在服务区相遇可求得甲乙的速度和，再根据图中的数值可求得的值及甲的速度，具体见详解．【小问1详解】解：由图知，图中的自变量是时间，因变量是两车之间的距离，故答案为：时间，两车之间的距离；【小问2详解】由图可知，两地相距距离为，故答案为：900；【小问3详解】，，解得，,A B B A s t ,A B km x 12x =90/hkm x ,A B 900km ()9006150/h V V km +=÷=甲乙150(8)600x -=12x =，所以，甲车速度为．25. 规定两数a ，b 之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空： ， ；（2）若，，，试探究a ，b ，c 之间存在的数量关系；（3）若，求t 的值．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据新定义运算，求解即可；（2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解；（3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解．【小问1详解】解：∵，∴，故答案为：，【小问2详解】，理由如下：∵，，∴，，∵∴，即∴【小问3详解】设，，，则，，()()90012290/h V km =÷-=甲12x =90/h km ()a b ，c a b =(),a b c =328=()2,83=()5125=，()232--=，()45a =，()4,6b =()4,30c =()()(),8,3,m m m t +=35a b c +=245630⨯=35125=()5232-=-()51253=，()2325--=，35a b c +=()45a =，()4,6b =()4,30c =45a =46b =430c =5630⨯=444a b c ⨯=44a b c+=a b c+=(),8m x =(),3m y =(),m t z =8x m =3y m =z m t=由可得∴【点睛】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．26. 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中包括垂直这种特殊位置关系．图1 备用图图2 备用图【应用】（1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，是直线上一点，平分交于点．①当D 在点B 的右侧，且，， ， ；②过点作，垂足为，记度，度，直接写出与的关系式．【拓展】（2）中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A ，B 两座可旋转探照灯．如图2，假定主道路是平行的，即 ，连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是3度秒，灯转动的速度是9度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值．()()(),8,3,m m m t +=x y z+=8324z x y x y t m m m m +===⨯=⨯=PQ MN ∥A B PQ MN AC ∠PAB MN C D MN AE BAD ∠MN E 30ADC ∠=︒50AEC ∠=︒BAD ∠=︒PAC ∠=︒E EFAC ⊥F AEF x ∠=ADB y ∠=y x PQ MN ∥AB 45ABN ∠=︒A AC AQ AP B BD BM BN A AC AQ AP B BD BM BN A /B /t A AC AQ AP AC BD t【答案】（1）①，；②；（2），，，．【解析】【分析】（1）①根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的定义得到，进而根据，以及平行线的性质即可求解；②分点在点的右侧，与在点的左侧，分别讨论，根据平行线的性质即可求解；（2）分三种情形讨论，①未到时，②从返回时，③第2次从出发，根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）①，．平分，，．，，，又平分，．②如图所示，点在点的右侧，平分交于点，平分交于点．，，设，，记度，度，，，，40BAD ∠=︒55PAC ∠=︒1802y x =-115t =222.5t =337.5t =445t =20DAE ∠=︒40BAD ∠=︒ABC BAD ADC ∠=∠+∠D B D B BD BN BD BN BD BM AC BD AEC DAE ADC ∠=∠+∠ 503020DAE ∴∠=︒-︒=︒AE BAD ∠20BAE DAE ∴∠=∠=︒40BAD BAE DAE ∴∠=∠+∠=︒304070ABC BAD ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒ PQ MN ∥18070110PAB ∴∠=︒-︒=︒AC ∠PAB 1552PAC PAB ∴∠=∠=︒D B AC ∠PAB MN C AE BAD ∠MN E DAE BAE ∴∠=∠PAC BAC ∠=∠DAE BAE α∠=∠=PAC BAC β∠=∠=AEF x ∠=ADB y ∠=EF AC ⊥ 90AFE ∴∠=︒90FAE AEF ∠+∠=︒即，，，，即，，，点在点的左侧，平分交于点，平分交于点．，，设，，记度，度，，，，，，，，，；（2）如图所示，①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，90x αβ++=︒90()x αβ∴=︒-+PQ MN ∥180PAD ADB ∴∠+∠=︒22180y αβ++=︒1802()y αβ∴=-+2y x ∴=D B AC ∠PAB MN C AE BAD ∠MN E DAE BAE ∴∠=∠PAC BAC ∠=∠DAE BAE α∠=∠=PAC BAC β∠=∠=AEF x ∠=ADB y ∠=EF AC ⊥ 90AFE ∴∠=︒90FAE AEF ∠+∠=︒FAE CAB EAB βα∴∠=∠-∠=-9090()x FAE βα∴=-∠=︒--2DAC DAB CAB αβ∠=∠-∠=- PQ MN ∥(2)2()y PAD PAC DAC βαββα∴=∠=∠-∠=--=-1802y x ∴=-BD AC AC MN T BD PQ S与互相垂直时，，，，，解得：；②如图所示，当返回时，，，，，，，，解得：；或如图所示，当返回时，，，，AC BD 90SBT ATB ∴∠+∠=︒180(1809)SBT MBS t ∠=︒-∠=-︒ 3ATB QAT t ∠=∠=︒1809390t t ∴-+=15t =BD 90TAB ABD ∴∠+∠=︒45ABN ∠=︒ PQ MN ∥135BAQ ∴∠=︒(1353)BAC t ∠=-︒9135ABD MBD ABM t ∠=∠-∠=︒-︒13539135t t ∴-=-22.5t =BD 90ABD CAB ∴∠-∠=︒45ABN ∠=︒ PQ MN ∥，，，，解得：；③当第2次从出发，与垂直时，如图所示，，，，，，解得：．综上所述，，，，．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，垂直的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．135BAQ ∴∠=︒(1353)BAC t ∠=-︒135(3609)ABD ABM MBD t ∠=∠-∠=︒-︒-︒135(3609)(1353)90t t ∴----=37.5t =BD MB AC 90PAC ASB ∴∠+∠=︒PQ MN ∥(9360)MBS ASB t ∴∠=∠=-︒(1803)PAC t ∠=-︒9360180390t t ∴-+-=45t =115t =222.5t =337.5t =445t =。

苏州市立达中学校2023-2024学年度第二学期期中考试试卷初一数学一、选择题1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )A. x 2－6x ＝x (x －6)B. (x ＋3)2＝x 2＋6x +9C. x 2－4＋4x ＝(x ＋2)(x －2)＋4xD. 8a 2b 4＝2ab 2·4ab 2【答案】A【解析】【详解】分析：直接利用因式分解的定义分析得出答案．详解：A 、x 2-6x=x （x-6），正确；B 、（x+3）2=x 2+6x+9，是多项式的乘法运算，故此选项错误；C 、x 2-4+4x=（x+2）（x-2）+4x ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D 、8a 2b 4=2ab 2·4ab 2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选A ．点睛：此题主要考查了分解因式的定义，正确把握定义是解题关键．2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法、单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方及同底数幂的除法运算等知识，根据整式相关运算法则逐项验证即可得到答案，熟记底数幂的乘法、单项式乘以单项式、积的乘方乘方、幂的乘方及同底数幂的除法运算法则是解决问题的关键．【详解】解：A 、由同底数幂的乘法运算法则可知，，计算错误，不符合题意；B 、由单项式乘以单项式运算法则可知，，计算错误，不符合题意；C 、由积乘方、幂的乘方运算法则可知，，计算错误，不符合题意；D 、由同底数幂的除法运算法则可知，，计算正确，符合题意；故选：D ．的326a a a ⋅=236m n m n ⋅=+()32528b b -=-()32()a a a -÷-=3256a a a a ⋅=≠2366m n mn m n ⋅=≠+()3265288b b b -=-≠-()32()a a a -÷-=3. 若二次三项式是一个完全平方式，则的值为（ ）A. 6B. C. D. 12【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项分别为，据此可得一次项可以为，由此可得答案．【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式，∴，∴，故选：C ．4. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（ ）A. B. 或 C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．【详解】解：当是腰时，3+3＜8，不符合三角形三边关系，故舍去；当是腰时，周长；故它的周长为．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形三边的关系，注意分类讨论思想的应用和三角形三边关系是解题的关键．5. 一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ）A. 内角和增加360°B. 外角和增加360°C. 对角线增加一条D. 内角和增加180°【答案】D【解析】【详解】因为n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，当边数增加一条就变成n +1，则内角和是（n ﹣1）•180°，236x mx ++m 6±12±226x ，12x ±222366x mx x mx ++=++2612mx x x =±⋅⋅=±12m =±3cm 8cm 14cm14cm 19cm 19cm 3cm 8cm ()88319cm =++=19cm内角和增加：（n ﹣1）•180°﹣（n ﹣2）•180°=180°；故选D ．6. 若一个三角形的3个外角的度数之比，则与之对应的3个内角的度数之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的外角及其性质及三角形的外角与它相邻的内角互补的知识，设三角形的3个外角度数分别为、、，根据三角形的外角及其性质解出三角形的3个外角度数分别为、、，再求出对应的内角，即可得出对应的3个内角的度数之比．【详解】解：设三角形的3个外角度数分别为、、，根据题意得，解得，所以三角形的3个外角度数分别为、、，则对应的三角形的3个内角度数分别为、、，所以对应的3个内角的度数之比为．故选：C ．7. 某小区有一正方形草坪，如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪边方向的长度增加4米，边方向的长度减少4米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（ ）A. 增加8平方米B. 增加16平方米C. 减少16平方米D. 保持不变【答案】C【解析】【分析】本题考查根据图形列代数式解决实际问题，涉及平方差公式、整式减法运算等知识，读懂题意，准确表示出改造前后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积，利用整式运算求解即可得到答案，利用代数式表示出图形面积是解决问题的关键．【详解】解：如图所示：2:3:43:2:44:3:25:3:13:1:52x 3x 4x 80︒120︒160︒2x 3x 4x 234360x x x ++=︒40x =︒80︒120︒160︒100︒60︒20︒100:60:205:3:1︒︒︒=ABCD AB AD设正方形草坪的边长为米，则由题意可知，，，，，即改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比减少16平方米，故选：C ．8. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记；．已知，则的值是（ ）A. 4B. 5C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查多项式乘以多项式、整式的加减，由系数可知，再根据题中新定义，将已知等式左边展开化简，然后使常数项相等即可求解．【详解】解：∵系数为5，∴，∴，ABCD x 4AE x =-4AG x =+2S x ∴=正方形()()24416S x x x =+-=-矩形()221616S S x x ∴-=--=正方形矩形∑1123...(1)n k k n n ==++++-+∑()()()()334...n k x k x x x n =+=+++++∑()()221570n k x k x k xmx =⎡⎤+-+=+-⎣⎦∑m 5-4-2x 6n =2x 6n =()()21nk x k x k =⎡⎤+-+⎣⎦∑(2)(1)(3)(2)(4)(3)(5)(4)(6)(5)x x x x x x x x x x =+-++-++-++-++-()()()()2222226122030x x x x x x x x x x =+-++-++-++-++-25570x x =+-∵，∴，故选：B ．二、填空题9. 微电子技术使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为平方毫米，数据用科学记数法表示为 _____________．【答案】【解析】【分析】绝对值小于1正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解．故答案为：【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10. 计算的结果是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形得到，据此求解即可．【详解】解：的()()221570nk x k x k x mx =⎡⎤+-+=+-⎣⎦∑5m =0.000000650.0000006576.510-⨯10n a -⨯70.00000065 6.510-=⨯76.510-⨯10n a -⨯110a ≤<()2021202320222 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭1.5-()202120212113.5.51⎛⎫⎝⨯⨯⨯- ⎪⎭()20212 1.51153.⎛⎫⨯⨯- ⎪⨯⎝⎭()2021202320222 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭()202120212113 1.5.5⎛⎫=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭()20212 1.511.53⎛⎫=⨯⨯- ⎪⨯⎝⎭，故答案为：．11. 若，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了零指数幂，根据零指数幂有意义的条件是底数不为0进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为；．12. 若2x ﹣y ＝3，xy ＝3，则＝_____．【答案】21【解析】【分析】首先将已知条件平方，进而将已知代入求出答案．【详解】解：∵2x ﹣y ＝3，∴，∵xy ＝3；∴＝9+4xy ＝21；故答案为：21．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式及用整体代入求值是解题的关键．13. 已知，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再利用平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号后，合并同类项，最后利用整体代入法代值计算即可得到答案．【详解】解：∵，()20211511.⨯=⨯-1.5=- 1.5-()021b +=b 2b ≠-()021b +=20b +≠2b ≠-2b ≠-224y x +()2222494x y x xy y --+＝＝224y x +230x x --=()()()()2215222x x x x x +-+++-823-=x x 230x x --=∴，∴．14. 如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为______．【答案】9【解析】【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，由，，推出再根据三角形的面积公式即可得出答案【详解】解：∵是的中线，∴，∵是的中线，∴，∴，，∴，23-=x x ()()()()2215222x x x x x +-+++-222441524x x x x x =++--+-25x x =-+35=+8=AD ABC BE ABD △EFBC ⊥F 36ABC S =△4EF =BC 12ABD ABC S S = 12BDE ABD S S = 1136944BDE ABC S S ==⨯=△△AD ABC 12ABD ABC S S = BE ABD △12BDE ABD S S = 1136944BDE ABC S S ==⨯=△△12BDE S BD EF =⋅△192BD EF ⋅=即，解得：，∴，故答案为：9．15. 如图，AB ∥DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝150°，则∠BCD 的度数为_____°．【答案】50【解析】【分析】过点C 作FG ∥AB ，根据平行线的传递性得到FG ∥DE ，根据平行线的性质得到∠B ＝∠BCF ，∠CDE+∠DCF ＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF ＝80°，由等式性质得到∠DCF ＝30°，于是得到结论．【详解】解：如图，过点C 作FG ∥AB ，因为FG ∥AB ，AB ∥DE ，所以 FG ∥DE ，所以∠B ＝∠BCF ，（两直线平行，内错角相等 ）∠CDE+∠DCF ＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）又因为∠B ＝80°，∠CDE ＝150°，所以∠BCF ＝80°，（等量代换）∠DCF ＝30°，（等式性质）所以∠BCD ＝50°．故答案为：50．【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．16. 如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______．1492BD ⨯⨯=92BD =9BC =ABC DE A BCDE A 'A ∠12∠+∠【答案】【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，先由折叠的性质，再由三角形外角的性质可得，，由此即可得到．【详解】解：由折叠的性质知：．由三角形的外角性质知：，；∴，即．故答案为：．17. 如图，在同一平面内，于点于点，连接平分交于点，点为延长线上一点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则，正确的有______．【答案】①②③④【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，由垂直可得，即可证明①；根据条件证明，即可证明②；根据角平分线的性质和第②问的结论即可证明③；根据角平分线的性质和即可证明④；根据题中条件找到即可证明⑤．【详解】解：∵，，∴，∴，故①正确；122A∠+∠=∠DAE DA E '∠=∠1EAA EA A ''∠=∠+∠2DAA DA A ''∠=∠+∠122A ∠+∠=∠DAE DA E '∠=∠1EAA EA A ''∠=∠+∠2DAA DA A ''∠=∠+∠122DAE DA E DAE '∠+∠=∠+∠=∠122A ∠+∠=∠122A ∠+∠=∠AB BC ⊥,B DC BC ⊥C ,AD DE ADC ∠BC E F CD ,AF BAF EDF ∠=∠BAD ADF ∠=∠AF ED ∥2ADC F ∠=∠1902CED ADC ∠+∠=︒13ADE BAD ∠=∠160AFD BED ∠+∠=︒AB CD EDA DAF ∠=∠DC BC ⊥23ADC BAD ∠=∠AB BC ⊥DC BC ⊥AB CD BAD ADF ∠=∠∵，，∴，∴，故②正确；∴，∵平分，∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，∵平分，∴，∴，故④正确；∵，∴，∵，平分，∴，∴，∴，∴，∵，平分，∴，，∴，∴，故⑤错误；故答案为；①②③④．BAF EDF ∠=∠BAD ADF ∠=∠EDA DAF ∠=∠AF ED ∥CDE F ∠=∠DE ADC ∠CDE ADE ∠=∠ADE F ∠=∠2ADC F ∠=∠DC BC ⊥90CED CDE ∠+∠=︒DE ADC ∠CDE ADE ∠=∠1902CED ADC ∠+∠=︒AB CD 180BAD CDA ∠+∠=︒13ADE BAD ∠=∠DE ADC ∠23ADC BAD ∠=∠21803BAD BAD ∠+∠=︒108BAD ∠=︒72ADC ∠=︒2ADC F ∠=∠DE ADC ∠36ADE CDE ∠==︒∠36F ∠=︒126BED CDE DCE ∠=+=︒∠∠162AFD BED ∠+∠=︒18. 当______时，代数式的值为1．【答案】或或【解析】【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算和零指数幂，根据1的任何次方都为1，负1的偶次方为1 ，非零底数的零指数结果为1进行求解即可．【详解】解：当，即时，原式，符合题意；当，即时，原式，符合题意；当，即时，原式，符合题意；综上所述，当或或时，代数式的值为1．故答案为：或或．三、解答题19. 计算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本题主要考查了乘法公式，零指数幂，负整数指数幂，积的乘方和同底数幂乘除法计算：（1）先计算积的乘方，同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案；（2）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案；（3）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；（4）先把原式变形为，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得到x =()201623x x ++1-2-2016-231x +==1x -120162015111-+===231x +=-2x =-()()220162014111-+=-=-=20160x +=2016x =-()02016231=-⨯+==1x -2x =-2016x =-()201623x x ++1-2-2016-()32248232a a a a a -+⋅-÷()30202213.1412π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭()()()2223a b b a a b +---()()33x y x y +--+626a -8-22568a ab b -+-2269x y y -+-()()33x y x y +---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦答案．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解；；【小问4详解】解：．20. 把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）（4）()32248232a a a a a -+⋅-÷666272a a a =-+-626a =-()30202213.1412π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭181=--8=-()()()2223a b b a a b +---()2222469a b a ab b =-+--+2222469a b a ab b =-+-+-22568a ab b =-+-()()33x y x y +--+()()33x y x y =+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()223x y =--()2269x y y =--+2269x y y =-+-2425x -269a a -+2464x -22344ab a b b --【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本题主要考查了分解因式：（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式即可；（3）先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：；【小问4详解】解：．21. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图：()()2525x x +-()23a -()()444x x +-()22--b a b b -2425x -()()2525x x =+-269a a -+()23a =-2464x -()2416x =-()()444x x =+-22344ab a b b --()2244b a ab b =--+()22b a b =--ABC A B C ''' B B '（1）补全；（2）利用格点在图中画出边上的高线；【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图—平移变换，画三角形的高：（1）根据点B 和点的位置确定平移方式为向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，据此找到A 、C 对应点的位置，然后顺次连接即可得到答案；（2）根据网格的特点结合三角形高的定义作图即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示，即为所求；22. （1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查了幂的乘方及其逆运算，同底数幂乘法及其逆运算：A B C ''' AC BE B 'A C ''、A B C '''、、A B C ''' BE 233m n +=927m n ⋅105,106x y ==3210x y +274500（1）根据幂的乘方的逆运算法则得到，进而根据同底数幂乘法计算法则把原式变形为，据此代值计算即可；（2）先由幂的乘方计算法则得到，再根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可．详解】解：（1）∵，∴；解：∵，∴，∴，∴．23. 如图，AD ⊥BC ，垂足D ，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，∠1＝∠2，∠C +∠ADE ＝90°．（1）求证：DE ∥AC ；（2）判断EF 与BC 的位置关系，并证明你的猜想．【答案】（1）详见解析；（2）EF ⊥BC ，证明详见解析．【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠1+∠C ＝90°，等量代换得到∠1＝∠ADE ，于是得到结论；（2）等量代换得到∠2＝∠ADE ，根据平行线的性质即可得到结论．【为2392733m n m n ⋅=⋅233m n +321012536x y ==，1022331100x x y y +=⋅10233m n +=927m n⋅()()2333m n=⋅2333m n=⋅233m n+=33=27=105,106x y ==()()3232105106x y ==，321012536x y ==，1022331101253645000x y x y +⋅=⨯==10【详解】（1）证明：∵AD ⊥BC ，∴∠1+∠C ＝90°，∵∠C +∠ADE ＝90°，∴∠1＝∠ADE ，∴DE ∥AC ；（2）解：EF ⊥BC ，理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ADE ，∴∠2＝∠ADE ，∴EF ∥AD ，∴∠EFD ＝∠ADC ＝90°，∴EF ⊥BC ．【点睛】本题主要考查了垂直的定义及平行线的性质与判定，关键是根据“同角的余角相等”来得到角的等量关系，进而求证问题．24. （1）填空：，，，……（2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；（3）计算【答案】（1）见解析；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题．（1）根据乘方的运算法则计算即可；（2）根据式子规律可得，然后利用提公因式可以证明这个等式成立；（3）设题中的表达式为，再根据同底数幂的乘法得出的表达式，相减即可．【详解】（1）．（2）第个等式为：左边右边左边右边．（3）设( )1022___2-==( )2122___2-==( )3222___2-==n n 0123100022222++++⋯+100121-11222n n n ---=12n -a 2a 10021132222212,22422,22842-=-=-=-=-=-=n 11222n n n ---= ()111222212n n n n ---=-=-=12n -=∴=11222n n n --∴-=0123100022222a =++++⋯+则②-①得：故：．25. 先阅读后解题：若，求m 和n 的值．解：等式可变形为：即，因为，，所以，即，．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知的三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足，则的周长是______；（2）求代数式的最小值是多少？并求出此时a ，b 满足的数量关系；（3）请比较多项式与的大小，并说明理由．【答案】（1）9（2）3， （3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据配方法，可得a ，b 的值，在根据三角形三边的关系，可得c 的值，根据三角形的周长，可得答案；（2）根据配方法，可得非负数的和，根据非负数的性质，可得答案；（3）根据多项式的减法计算，然后根据配方法化简多项式的差，可得结论．【小问1详解】123100122222a =+++⋯+100121a =-0123100010012222221a =++++⋯+=-2226100m m n n ++-+=2221690m m n n +++-+=()()22130m n ++-=()210m +≥()230n -≥10m +=30n -=1m =-3n =ABC 222216330a b a b +--+=ABC 2244487a b ab a b ++--+234x x +-2223x x +-22b a +=234x x +-<2223x x +-222216330a b a b +--+= ()()221240a b ∴-+-=已知的三边长a ，b ，c 都是正整数，的周长是故答案为：【小问2详解】当时，的最小值为3【小问3详解】【点睛】本题考查了非负数的性质，利用配方法得出非负数的和是解题关键．26. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．()()210240a b -≥-≥ ，()10240a b ∴-=-=，14a b ∴==， ABC 35c ∴<<4c ∴=∴ABC 1449++=92244487a b ab a b ++--+()()22427b a b a =+-++()2223b a =+-+()220b a +-≥ ∴22b a +=2244487a b ab a b ++--+234x x +-()2223x x +--2234223x x x x =+---+21x x =-+-213024x ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭∴234x x +-<2223x x +-【问题探究】探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果．【形成结论】（1）探究2中 ；【应用结论】（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知，，求的值；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值．【答案】（1） ；（2）；（3）【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键．（1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案；（2）结合（1）中的公式进行计算即可；（3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案．【详解】解：（1）由图可得：()a b +()2222a b a ab b +=++()2a b c ++()2a b c ++=0a b c ++=2224a b c ++=ab bc ca ++22222222a b b c c a a ab b ++++222222a b c ab bc ac +++++2ab bc ca ++=-222222222a b b c c a a ab b ++=++2222224a b b c c a ++=c a b =--大正方形的边长为，故大正方形的面积为，大正方形的面积还可以表示为，，故答案为：；（2），，，；（3） ，，，，，，即，，．27. 已知，如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连接平分平分．()a b c ++()2a b c ++222222a b c ab bc ac +++++()2222222a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++222222a b c ab bc ac +++++0a b c ++= 2224a b c ++=()()()22222044ab bc ca a b c a b c ∴++=++-++=-=-2ab bc ca ∴++=-()2222222222222ab bc ca a b b c c a ab c abc a bc ++=+++++ ()2222222222222a b b c c a ab bc ca ab c abc a bc∴++=++---()()222abc a b c =--++420abc =-⨯4=0a b c ++= c a b ∴=--2224a b c ++=Q ()2224a b a b ∴++--=222224a b ab ++=222a b ab ∴++=22222222422a b b c c a a ab b ++∴==++AB CD MN AB M CD N E MN ,P Q ,MB ND ,,PE EQ PF ,MPE QF ∠DQE ∠（1）如图1，当时，求的度数；（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）（2），理由见解析【解析】【分析】（1）延长交于，设，交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，在和中，由三角形内角和得出关系式，进一步得出结果；（2）类比（1）的方法过程，即可得出结果．【小问1详解】解：延长交于，设，交于点，如图所示：平分，设，则，，，，，，平分，，在和中，，，PE QE ⊥PFQ ∠PEQ ∠PFQ ∠135︒2180PFQ PEQ ∠∠-=︒PE CD G PE FQ H 2APE α∠=12FPH APE ∠∠α==AB CD PGQ ∠EQD ∠EQH ∠EQH △PFH △PE CD G PE FQ H PF Q MPE ∠2APE α∠=12FPH APE ∠∠α==∥ AB CD 2PGQ APE ∠∠α∴==PE QE ⊥ 90QEH QEG ∠∴==︒902EQD QEG PGQ ∠∠∠α∴=+=︒+QF DQE ∠1452EQH EQD ∠∠α∴==︒+EQH △PFH △=180HEQ HQE EHQ ∠+∠+∠︒180FPH FHP PFH ∠∠∠++=︒，，即，，故答案为：；【小问2详解】解：延长交于，设，交于点，如图所示：平分，设，则，，，，，平分，，和中，，，，，即，．【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键数形结合，准确找出各个角度之间的和差倍分关系列方程．在PHF EHQ ∠∠=HEQ HQE FPH PFH ∠∠∠∠∴+=+9045PFH αα∠︒+︒+=+135PFH ∠∴=︒135︒PE CD G PE FQ H PF Q MPE ∠2APE α∠=12FPH APE ∠∠α==∥ AB CD 2PGQ APE ∠∠α∴==180GEQ PEQ ∠∠=︒- 1802EQD QEG PGQ PEQ ∠∠∠∠α∴=+=︒-+QF DQE ∠119022HQE EQD PEQ ∠∠α∠∴==︒+-EQH △PFH △=180PEQ HQE EHQ ∠+∠+∠︒180FPH FHP PFH ∠∠∠++=︒PHF EHQ ∠∠=PEQ HQE FPH PFH ∠∠∠∠∴+=+1902PEQ PEQ PFQ ∠α∠α∠+︒+-=+2180PFQ PEQ ∠∠∴-=︒。

长春外国语学校2023-2024学年第二学期期中考试七年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）1. 下列漂亮的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形绕某个点旋转180度能与原图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故A选项符合题意；B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C选项不符合题意；D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．2. 如图，数轴上A 、B 两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）A. 1B. 4C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，进而得出答案．【详解】解：由数轴可得：A 到原点距离为3，B 到原点距离为4，∵数轴上A 、B 两点到原点的距离是三角形两边的长，∴设该三角形第三边长为x ,则x 的取值范围是：，∴该三角形第三边长可能是4．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3. 下列各数中，为不等式组解的是（ ）A. B. 0 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式组的解集与解，先求出不等式组的解集，再逐项判断是否在原不等式组的解集内即可，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法．【详解】解：，解得，解得，原不等式组的解集为，A 、，不在原不等式组的解集内，故不是原不等式组的解，不符合题意；B 、，不在原不等式组的解集内，故0不是原不等式组的解，不符合题意；C 、，在原不等式组的解集内，故2是原不等式组的解，符合题意；D 、4不在原不等式组的解集内，故4不是原不等式组的解，不符合题意；17x <<23040x x -⎧⎨-⎩＞＜1-23040x x -⎧⎨-⎩＞①＜②①32x >②4x <∴342x <<312-<1-302<3242<<4. 下列四组多边形中，能密铺地面的是( )①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形．A. ①②③④B. ②③④C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】本题考查能铺满地面的图形组合，掌握正多边形的内角和公式，会求正多边形的每个内角，抓住围绕一点的各个角的和为是解题关键．根据围绕一点的各个角的和为进行一一判断即可．【详解】解∶①正六边形与正三角形，正六边形每个内角，正三角形每个内角，， 能铺满地面；②正十二边形与正三角形，正十二边形每个内角，正三角形每个内角，， 能铺满地面；③正八边形与正方形，正八边角形每个内角，正方形每个内角，， 能铺满地面，④正三角形与正方形，正三角形每个内角，正方形每个内角，，能铺满地面；其中能铺满地面的是①②③④．故选：A ．5. 若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是（ ）边形．A. 八B. 十C. 十二D. 十四【答案】B【解析】【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．【详解】解：∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，∴1800°÷180°=10．故选B ．【点睛】此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握其定理和运算公式．6. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人分9两，还美8两．问银有几两？设银有两，则可列方程为（ ）A B. C. D. .360︒360︒120︒60︒2602120360⨯︒+⨯︒=︒150︒60︒2150160360⨯︒+⨯︒=︒135︒90︒2135190360⨯︒+⨯︒=︒60︒90︒360290360⨯︒+⨯︒=︒x 7498x x +=-7498x x -=+4879x x -+=4879x x +-=【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“每人7两，还剩4两；每人9两，还差8两”，结合分银子的人数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：∵银子共有x 两，每人7两，还剩4两，∴分银子的人共∵银子共有x 两，每人9两，还差8两，∴分银子的人共人．又∵分银子的人数不变，∴可列方程组．故选：C ．7. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．【详解】A. ．根据SSS 一定符合要求；B. ．根据SAS 一定符合要求；C. ．不一定符合要求；47x -⎛⎫ ⎪⎝⎭89x +⎛⎫ ⎪⎝⎭4879x x -+=ABC ∆,,AB BC CA,,AB BC B ∠,,AB AC B ∠,,∠∠A B BC,,AB BC CA ,,AB BC B ∠,,AB AC B ∠D. ．根据ASA 一定符合要求．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS ，SAS ，ASA 三个判定定理．8. 如图，在四边形中，P 是边上的一个动点，要使的值最小，则点P 应满足（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作点B 关于的对称点，连接，则交点P 即为符合题意的点，根据轴对称的性质解答即可．【详解】解：如图所示，作点B 关于的对称点，连接，交于点P ，连接，则的最小值为的长，点P 即为所求．∵点与点B 关于对称，∴，∵，∴，故D 符合题意；由图可知，选项A 和选项B 不成立，而C 只有在时成立，条件不充分．故选：D ．【点睛】此题考查轴对称的性质，明确轴对称的相关性质并正确作图，是解题的关键二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）,,∠∠A B BC ABCD AB CD AD AB ⊥ ，，AD PC PB +PB PC=PA PD =90BPC ∠=︒APB DPC∠∠=AD B ''B C AD B 'B C 'AD BP PC PB +B C 'B 'AD APB APB '∠=∠DPC B PA ∠=∠'DPC APB ∠=∠PD PC =9. 已知关于x 的方程的解是，则a 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题关键是将方程的解代入原方程，使原方程转化为关于的一元一次方程．将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可．【详解】解：是方程的解，将代入原方程得，解得，故答案为： 6．10. 若将二元一次方程写成用含的代数式表示的形式，则_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了代入消元法，利用等式的基本变形，移项、系数化为即可，掌握等式的基本性质是解题的关键．【详解】解：移项得，，系数化为得，，故答案为：．11. 若关于x ，y 的二元一次方程组的解x ，y 满足，则满足题意的最大整数a 是____________．【答案】2【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答．【详解】解：，得：，240x a +-==1x -a 1x =a 1x =240x a +-=1x =240a -+-=6a =25x y -=x y y =1522x -125y x -=-+11522y x =-1522x -2477525x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩1x y +<9932x y a +=+329a x y ++=1x y +<3219a +<2477525x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②①②+9932x y a +=+解得：，∵，∴，解得，，∴满足题意的最大整数a 是2，故答案为：2．12. 如图，正五边形与正方形有公共的顶点A ，与相交于点M ，，则______．【答案】##94度【解析】【分析】首先根据正五边形内角和求出内角为，然后根据角的和差四边形内角和求解即可．【详解】∵五边形是正五边形，∴正五边形的内角∵∴∵四边形是正方形∴∵四边形内角和为∴．故答案为：．【点睛】此题考查了正多边形的内角和，解题的关键是熟练多边形内角和公式．13. 某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于的329a x y ++=1x y +<3219a +<73a <ABCDE AFGH DE H G 40BAH ∠=︒EMH ∠=94︒108︒ABCDE ABCDE ()521801085BAE E -⨯︒∠=∠==︒40BAH ∠=︒1084068HAE BAE BAH ∠=∠-∠=︒-︒=︒AFGH 90H ∠=︒MHAE 360︒36094EMH H HAE E ∠=︒-∠-∠-∠=︒94︒，则这种商品最多可以打 _____折．【答案】8【解析】【分析】设这种商品打折，利用利润售价进价，结合利润率不低于，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】解：设这种商品打折，根据题意得：，解得：，∴的最小值为8，∴这种商品最多可以打8折．故答案为：8．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．14. 如图，在中，，，点D 在边上，且，点E 、F 在线段上．，的面积为18，则与的面积之和___________．【答案】12【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案．【详解】标记角度如下：20%x =-20%x x 150********%10x ⨯-≥⨯8x ≥x ABC AB AC =AB BC >BC 2CD BD =AD CFD BED BAC ∠=∠=∠ABC ABE CDF ABE ACF V V ≌ABD △ADC △12∶ABD △ADC △ABE CAF V V ≌ABE CDF∵在等腰中，，，∴与等高，底边比值为∴与的面积比为，∵的面积为18∴的面积为6，的面积为12，∵,即，∴，∵，，，∴，∴∴与的面积相等，∴，故答案为：12．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 解方程组：．【答案】【解析】【分析】本题考查加减消元法，根据加减消元法的一般步骤求解即可．【详解】解：，得：，解得：，ABC AB AC =2CD BD =ABD △ADC △12∶ABD △ADC △12∶ABC ABD △ADC △CFD BED ∠=∠12∠=∠BEA AFC ∠=∠13ABE ∠∠∠=+34BAC ∠+∠=∠1BAC ∠=∠=4ABE ∠∠()AAS ABE ACF ≌ABE ACF △12ABE CDF ACF CDF ADC S S S S S +=+== 3202790x y x y -=-⎧⎨+=⎩1010x y =⎧⎨=⎩3202790x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②2-⨯②①13130y =10y =将代入得：，解得：，∴原方程组的解是：．16.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次方程，按照解一元一次方程的一般步骤求解即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并得：，系数化为1得：．17. 解不等式组：并将解集在数轴上表示．【答案】，数轴上表示见解析【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】 解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式组的解集为，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答10y =②271090x +⨯=10x =1010x y =⎧⎨=⎩213134x x +--=x =15-()()4213312x x +--=843+912x x +-=831249x x -=--51x =-x =15-22,121,3x x x x -≤⎧⎪+⎨-<⎪⎩24x -≤<221213x x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②2x ≥-4x <24x -≤<此题的关键．18. 如图，在中，于点D ，是的角平分线，交于点E ，，，求的度数．【答案】【解析】【分析】此题考查了三角形外角的性质，角平分线的概念和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．首先根据三角形外角的性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵∴∵，∴∵是的角平分线∴∵∴．19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点O 、M 也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．ABC BD AC ⊥AE CAB ∠BD 120AEB ∠=︒40CBA ∠=︒C ∠80︒30DAE AEB ADE ∠=∠-∠=︒BD AC⊥90ADB ∠=︒120AEB ∠=︒30DAE AEB ADE ∠=∠-∠=︒AE CAB ∠260DAB DAE ∠=∠=︒40CBA ∠=︒180180604080C CAB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ABC（1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的．（2）画出关于直线对称的．（3）画出绕点O 按顺时针方向旋转后得到的．（4）的面积是 ．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）见解析（4）【解析】【分析】（1）根据平移方式找出原三角形顶点平移后的对应点，再连线即可；（2）找出原三角形顶点关于对称的对应点，再连线即可；（3）找出原三角形顶点绕点O 按顺时针方向旋转后的对应点，再连线即可；（4）利用割补法求面积即可．【小问1详解】解：如下图所示：即为所求做的三角形；ABC 111A B C △ABC OM 222A B C △ABC 90︒333A B C △ABC 32OM 90︒111A B C △【小问2详解】如下图所示：即为所求做的三角形；【小问3详解】如下图所示：即为所求做的三角形；222A B C △333A B C △【小问4详解】的面积为：，故答案为：．20. 对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：．（1）___________(用含有，的代数式表示)．（2）已知，且．①求，的值；②直接写出的值为___________．【答案】（1）（2）①的值为1，的值为1；②【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．（1）根据定义公式代入运算即可；（2）①按照定义代入计算得出方程组，解方程组即可求出，的值；②将a 、b 的值代入化简，再代入求值即可．【小问1详解】解：∵，ABC 1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=32x y ()()(),3T x y ax by x y =-+a b ()()()1,11113144T a b a b =⨯-⨯⨯+⨯=-()1,2T =a b ()0,13T =-()2,13T -=-a b ()2,3T 714a b -a b 11-a b (),T x y ()()(),3T x y ax by x y =-+∴，故答案为：；【小问2详解】解：①根据题意可得：，，整理得：，解得：，的值为1，的值为1；②的值为1，的值为1∴∴，故答案为：．21. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ．连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ．（1）求证：△BCD ≌△FCE ；（2）若EF ∥CD ．求∠BDC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90°．【解析】【分析】（1）根据旋转图形的性质可得：CD =CE ，∠DCE =90°，根据∠ACB =90°得出∠BCD =90°-∠ACD =∠FCE ，结合已知条件得出三角形全等；（2）根据全等得出∠BDC =∠E ，∠BCD =∠FCE ，从而得出∠DCE =90°，然后根据EF ∥CD 得出∠BDC =90°．【详解】解：（1）∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，在()()()1,22132714T a b a b =-+⨯=-714a b -()()()0,100313T a b =⨯-+⨯=-()()()2,122313T a b -=---+⨯=-3323b a b -=-⎧⎨--=-⎩11a b =⎧⎨=⎩∴a b a b ()()(),3T x y x y x y =-+()()()2,32323311T =-+⨯=-11-∴CD =CE ，∠DCE =90°，∵∠ACB =90°，∴∠BCD =90°-∠ACD =∠FCE ，在△BCD 和△FCE 中，∵CD ＝CE ，∠BCD ＝∠FCE ， CB =CF ，∴△BCD ≌△FCE （SAS ）．（2）由（1）可知△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC =∠E ，∠BCD =∠FCE ，∴∠DCE =∠DCA +∠FCE =∠DCA +∠BCD =∠ACB =90°，∵EF ∥CD ，∴∠E =180°-∠DCE =90°，∴∠BDC =90°．22. 教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页部分内容．如图，在中，，，平分，平分，求的度数．解：∵平分（已知），∴．同理可得________°．∵（），∴（等式的性质）________________．（1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．问题推广：（2）如图，在中，、的角平分线交于点P ，将沿折叠使得点A 与点P 重合，若，则________度．ABC 80ABC ∠=︒50∠=°ACB BP ABC ∠CP ACB ∠BPC ∠BP ABC ∠11804022PBC ABC ∠︒⨯︒=∠==PCB ∠=180B P C P B C P C B ∠+∠+∠=︒180BPC PBC PCB ∠=︒-∠-∠18040=︒-︒-=ABC ABC ∠ACB ∠ABC DE 1296∠+∠=︒BPC ∠=（3）如图，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P ，过点B 作于点H ，若，则________度．【答案】（1）25；三角形的内角和等于；；；（2）114；（3）49【解析】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；（2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案；（3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，继而得到，再由垂线的定义得到，则；【详解】解：（1）∵平分（已知），∴．同理可得．∵（三角形内角和定理），∴（等式的性质）ABC BAC ∠ABC CBM ∠BH AP ⊥82ACB ∠=︒PBH ∠=180︒25︒115︒132AED ADE ∠+∠=︒48A ∠=︒2BAC BAP ∠=∠2CBM PBM ∠=∠41PBM BAP ∠=∠+︒41P PBM BAP ∠=∠-∠=︒90BHP ∠=︒18049PBH P BHP ∠=︒-∠-∠=︒BP ABC ∠11804022PBC ABC ∠︒⨯︒=∠==PCB ∠=25︒180B P C P B C P C B ∠+∠+∠=︒180BPC PBC PCB ∠=︒-∠-∠1804025=︒-︒-︒故答案为：，三角形内角和定理，，；（2）由折叠的性质可得，，，，，，，，，平分，平分，，，，即，，故答案为：；（3）平分，平分，，，，即，，，，，即，；故答案为：49；23. 某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套，经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元，且购买4套A 型和5套B 型课桌凳共需1820元．（1）求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用低于40880元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳数量的，求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？【答案】（1）A 型180元，B 型220元（2）二种方案：①A 型79套，B 型121套；②A 型80套，B 型120套；购买A 型80套，B 型120套总费25︒25︒115︒AED PED ∠=∠ADE PDE ∠=∠1180AEP ∠+∠=︒ 2180ADP ∠+∠=︒1296∠+∠=︒22264AED ADE ∴∠+∠=︒132AED ADE ∴∠+∠=︒18048A AED ADE ∴∠=︒-∠-∠=︒180132ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒BP ABC ∠CP ACB ∠2ABC PBC ∴∠=∠2ACB PCB ∠=∠22132PBC PCB ∴∠+∠=︒66PBC PCB ∠+∠=︒180114BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠-∠=︒114AP BAC ∠BP CBM ∠2BAC BAP ∴∠=∠2CBM PBM ∠=∠CBM BAC ACB ∠=∠+∠ 22PBM BAP ACB ∠=∠+∠82ACB ∠=︒1412PBM BAP ACB BAP ∴∠=∠+∠=∠+︒41P PBM BAP ∴∠=∠-∠=︒BH AP ⊥ 90BHP ∠=︒18049PBH P BHP ∴∠=︒-∠-∠=︒23【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是能找准等量关系，（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组求解即可；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组并求解即可．【小问1详解】设A 型课桌凳a 元/套，B 型课桌凳b 元/套则，解得答：购买A 型需180元/套，B 型需220元/套．【小问2详解】设购买A 型x 套，B 型套．则，解得∴又∵x 是整数，∴，80．∴共有两种方案：①A 型79套，B 型121套；②A 型80套，B 型120套；方案①：费用为：元；方案②：费用为：40800元；答：共有2套购买方案：①A 型79套，B 型121套；②A 型80套，B 型120套；当购买A 型80套，B 型120套时，费用最低．24. 如图，在长方形中，，．点P 从点A 出发，沿折线AB -BC 以每秒3个单位的速度向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B 运动．设点Q 的运动时间为t 秒．40451820a b a b =-⎧⎨+=⎩180220a b =⎧⎨=⎩()200x -()()1802202004088022003x x x x ⎧+-<⎪⎨≤-⎪⎩7880x x >⎧⎨≤⎩7980x <≤x =791807922012140840⨯+⨯=180********⨯+⨯=ABCD 9AB =12BC =CB（1）①当点P 在边上运动时，；当点P 在BC 边上运动时， ．(点P 在运动时，用含t 的代数式表示)②当时，的面积是 ．（2）当点P 与点Q 重合时，求t 的值．（3）当直线将矩形的面积分成1∶3两部分时，求t 值．（4）若点P 关于点B 的中心对称点为点，直接写出面积是面积的倍时t 的值．【答案】（1）①，；②（2） （3）或5 （4）或5或10【解析】【分析】（1）①判断出时间t 的取值范围，根据线段的和差定义求解；②当时，点P 在上，求出，在运用直角三角形面积公式计算即可；（2）根据，构建方程求解；（3）分①当点P 在上时和②当点P 在上时两种情况讨论，运用三角形面积公式构建方程求解即可；（4）分①当点P 在上时，②当点P 在上且未到达点C 时，③当到达点C ，点Q 继续运动时三种情况讨论，运用三角形面积公式构建方程求解即可．【小问1详解】在长方形中，，，①当点P 在边上运动时，，，当点P BC 边上运动时， ，，故答案为：，；②当时，点P 在上，，在AB PB =PB =2t =PBC DP ABCD P 'PDP '△QDC 2.493t -39t -1821432t =30132t =AB PB BP CQ BC +=AB BC AB BC ABCD 9AB CD ==12BC AD ==AB 3AP t =()9303PB AB AP t t =-=-≤≤3AB BP t +=()()3937PB AB BP AB t t =+-=-≤≤93t -39t -2t =AB 9323PB =-⨯=又∵，故的面积是：，故答案为：18；【小问2详解】当P ，Q 重合时，点P 在上，∴，即，∴ ；【小问3详解】①当点P 在上时，∵直线将矩形的面积分成1∶3两部分∴的面积是矩形的面积的，即，∴，解得：②当点P 在上时，，，∵直线将矩形的面积分成1∶3两部分，12BC =PBC 113121822PB BC ⋅=⨯⨯=BC BP CQ BC +=3912t t -+=214t =AB DP ABCD APD △ABCD 141124AP AD AB BC ⋅=⋅1131291224t ⨯⋅=⨯⨯32t =BC 39PB t =-()1239213PC BC PB t t =-=--=-DP ABCD∴的面积是矩形的面积的，即，∴，解得：，综上所述：或5；小问4详解】①当点P 在上时，在的延长线上取，则点与点P 关于点B 中心对称，则，，∵面积是面积的倍，即，∴，解得：；②当点P 在上且未到达点C 时，在的延长线上取，则点与点P 关于点B 中心对称，则，，【CPD △ABCD 141124PC CD AB BC ⋅=⋅()11213991224t ⨯-⋅=⨯⨯5t =32t =AB 03t ≤≤PB PB P B '=P '()2293186PP PB t t =-=-'=CQ t =PDP '△QDC 2.411 2.422PP AD CQ CD '⋅=⋅⋅()11186129 2.422t t -⋅=⋅⨯3013t =BC 37t ≤<CB PB P B '=P '()2239618PP PB t t ==-=-'CQ t =∵面积是面积的倍，即，∴，解得：；③当到达点C ，点Q 继续运动时，，在的延长线上取，则点与点P 关于点B 中心对称，则，，∵面积是面积的倍，即，∴，解得：，综上所述：t 的值为或5或10．【点睛】本题属于动点问题，考查了长方形的性质，三角形的面积、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．PDP '△QDC 2.411 2.422PP CD CQ CD '⋅=⋅⋅()1161899 2.422t t -⋅=⋅⨯5t =7t ≥CB PB P B '=P '224PP BC '==CQ t =PDP '△QDC 2.411 2.422PP CD CQ CD '⋅=⋅⋅112499 2.422t ⨯⨯=⋅⨯10t =3013。

2022-2023学年山西省太原市七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算3−1的值是( )A. −3B. −13C. 13D. 32.如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内，经测量，要使木条a//b，∠2=110°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为( )A. 20°B. 70°C. 110°D. 160°3. 下列各式中，计算结果等于a8的是( )A. a2⋅a4B. (a2)4C. a2+a4D. a16÷a24. 如图，点A是直线l外一点，点B，C，D在直线l上，连接AB，AC，AD，若AC⊥l，则点A到直线l的距离是( )A. 线段AB的长B. 线段AC的长C. 线段AD的长D. 线段BD的长5. 下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (m+n)(n+m)B. (2m−n)(2n+m)C. (3m+n)(3m−n)D. (m+1)(−m−1)6. 学完第二章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“▲”处的依据为( )如图，因为直线AB，CD相交于点O，所以∠AOB与∠COD都是平角．所以∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°．所以∠1=∠3(依据：▲)．A. 同角的余角相等B. 同角的补角相等C. 同位角相等D. 平角的定义7. 芝麻是山西省的主要油料作物，全省种植面积约30万亩，被称为“八谷之冠”，它作为食物和药物，应用广泛.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，这一数据用科学记数法表示为( )A. 2.01×10−6kgB. 0.201×10−7kgC. 2.01×10−8kgD. 20.1×10−5kg8.如图，一座塔建在山坡上，塔身与水平面垂直，现测得塔身与山坡坡面所成的锐角为72°.则此山坡的坡面与水平面夹角∠α的度数为( )A. 18°B. 72°C. 108°D. 162°9. 利用乘法公式计算1982，下列方法正确的是( )A. 1982=2002−200×2+22B. 1982=2002−22C. 1982=2002+2×200×2+22D. 1982=2002−2×200×2+2210. 下列各图中，能直观解释“(3a)2=9a2”的是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 化简(x+3)(x−3)的结果是______．12.如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角处，都剪去一个边长为x(cm)的小正方形，则图中阴影部分面积y(cm2)与x(cm)之间的关系式为______ ．13.如图，AF//BE//CD，AB//DE.若∠1=∠2，则图中与∠A相等的角是______ (写出一个即可)．14. 计算(−3)2022×(1)2023的结果是______ ．315. 已知球的半径为R时，它的体积为V=4πR3．3A.如图1所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则一个球的体积与整个盒子容积之比为______ ．B.如图2所示，m个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则这m个球的体积之和与整个盒子容积之比为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。

2023-2024学年北京市西城区北京市第八中学七年级下学期期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列各式中正确的是()A. B. C. D.3.如图，下列两个角是内错角的是()A.与B.与C.与D.与4.在实数，，，，，0，，中，无理数有个()A.1B.2C.3D.45.若是二元一次方程的一个解，则m的值为()A. B. C.1 D.6.下列命题中，真命题是()A.互补的角是邻补角B.同旁内角互补C.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D.如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也相互垂直7.已知，则下列不等式中不成立的是()A. B. C. D.8.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得()A. B. C. D.9.如图，直线AB，CD交于点O，已知于点平分，若，则的度数是()A. B. C. D.10.如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为2a，则小长方形的周长为()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.x的2倍与4的差不大于3，用不等式表示为__________.12.如图，点E在DC的延长线上，请添加一个恰当的条件__________，使13.如图，，则AC__________填>，<，，理由是__________.14.已知二元一次方程组，则的值为__________.15.若是关于x、的二元一次方程，则__________.16.已知：实数a，b满足，则的平方根是__________.17.如图，在公园的长方形草地内修建了宽为2米的道路后，剩余的草地面积是__________平方米．18.如图，第一象限内有两点，，将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是__________.三、解答题：本题共10小题，共80分。

广东实验中学2023-2024学年第二学期期中教学质量监测七年级数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列四个数中，属于无理数的是（）A. 0.65B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．据此解答即可．解：A 、是有理数，不是无理数，不符合题意；B、是有理数，不是无理数，不符合题意；CD是有理数，不是无理数，不符合题意，故选：C ．2. 如图，，，则的度数是（）A. 105°B. 75°C. 115°D. 65°【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，根据两直线平行，同位角相等求出，再根据对顶角相等解答．解：如图，∵，13π2π0.1010010001⋯0.65132=a b 275∠=︒1∠3∠a b∴，∴．故选：B ．3. 如图，现要在李庄附近建一高铁站，为了使李庄的人乘车最方便，那么选高铁线上的点来建高铁站，理由是（）A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握直线外的一点到直线上的点之间的距离，垂线段最短．解：根据垂线段最短可得：应建在A 处，理由：垂线段最短．故选：C ．4. 若是关于的二元一次方程，则的值为（）A. 1B. 3或1C. 3D. 3或0【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程定义，正确理解二元一次方程的定义是解题关键，方程的两个未知数的系数不能为0是解题的易错点．根据二元一次方程的定义列绝对值方程求解即可．解：是关于的二元一次方程，∴且，解得：，故选：A5. 如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（）的3275∠=∠=︒1375∠=∠=︒A ()231t xt y -+-=,x y ()231t x t y -+-=,x y 21t -=30t -≠1t =ABC 7BC =ABC RS DEF 4CF =A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了图形的平移．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行或在同一直线上，对各选项分析判断即可求解．解：∵把沿的方向平移到的位置，，，∴，，故选项AC 正确，不符合题意；∴，∴，选项B 正确，不符合题意；长度不能确定；故选项D 错误，符合题意；故选：D ．6. 已知是二元一次方程解，则的值是（）A. 2B. 4C. 6D. 9【答案】B【解析】【分析】本题主要考查根据二元一次方程的解求参数，把的值代入方程，根据等式的性质变形即可求解．解：根据题意得，，∴，故选：．7. 下列命题中为真命题的是（）A. B. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行C. 同旁内角互补D. 有理数与数轴上的点一一对应【答案】B【解析】【分析】本题主要考查真、假命题的判定，根据平方根的概念，平行线的判定，同旁内角，实数与数轴的的7EF =4BE =AC DF ∥7DF =ABC RS DEF 7BC =4CF =7EF BC ==AC DF ∥BC CE EF CE -=-4BE CF ==DF 12x y =⎧⎨=-⎩3ax by -=242a b +-x y ，23a b +=2(2)23224242b a b a +-=⨯+--==B 4=±关系即可求解．解：，故该选项错误，不符合题意，、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意，、两直线平行，同旁内角互补，故该选项错误，不符合题意，、实数与数轴上的点一一对应，故该选项错误，不符合题意，故选：．8. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，轴，，则点的坐标是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】此题考查平面直角坐标系中点的坐标的表示，与x 轴垂直的直线的特征，正确表示点在直角坐标系中的位置是解题的关键．根据垂直于x 轴的性质，可得出点N 的横坐标为，再由即可得到点N 的坐标．解：点的坐标是，轴，点N 的横坐标为，，点B 的纵坐标为：或，点B 的坐标为：或．故选：D ．9. 如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（）A. 130°B. 100°C. 80°D. 150°【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质，轴对称的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．由题意可得，则有，结合所给的条件可求得，再由平行线的性质得A 4=BCD B M ()1,2-MN x ⊥3MN =N ()1,5-()2,2()2,2()4,2-()1,1--()1,5-1-3MN = M ()1,2-MN x ⊥∴1- 3MN =∴235+=231-=-∴()1,5-()1,1--2120∠-∠=︒EFC ∠AD BC ∥12180∠+∠=︒2100∠=︒，由折叠的性质可得，从而可求得．解：由题意得：，∴，，，∵，∴，解得：，∴，由折叠可得，∴，∴．故选：A ．10. 如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，则点的坐标为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查找点的坐标规律，根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，，进而判断与的纵坐标相同，即可求解．解：∵，，，，∴根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，，∴与的纵坐标相同，∴故选：D．100DEG ∠=︒50DEF ∠=︒180130EFC DEF ∠︒∠=︒=-AD BC ∥12180∠+∠=︒2DEG ∠=∠180DEF EFC ∠+∠=︒2120∠-∠=︒22200∠=︒2100∠=︒100DEG ∠=︒DEF FEG ∠=∠50DEF ∠=︒180130EFC DEF ∠︒∠=︒=-A O x 1234A A A A 、、、()()()()12340,0,1,1,2,0,3,1A A A A -2024A ()2024,0()2025,1-()2023,1()2023,1-20244506÷=2024A 4A ()10,0A ()21,1A ()32,0A ()43,1A -20244506÷=2024A 4A ()20242023,1A -二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 81的算术平方根是_____．【答案】9【解析】【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．解：81．故答案为：9．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．12. 将方程x ﹣2y ＝5变形为用含x 的代数式表示y 的形式是y ＝_____．【答案】【解析】【分析】利用整式的性质，将y 留到等号的左边即可得到答案．方程x ﹣2y ＝5，解得：y ＝，故答案为【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程，熟练掌握变形依据是解题的关键．13. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载．如图是经典残局“七星聚会”的一部分，如果“车”的位置表示为，“兵”的位置表示为，那么“炮”的位置应表示为___________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了坐标确定位置，根据“车”的位置用建立平面直角坐标系，进而得出“炮”的位置，正确得出原点的位置是解题关键．9=52x -52x -52x -()2,2-()2,0-()01，()2,2-∵“车”的位置用表示，“兵”的位置表示为，∴以“兵”所在的行为轴，以“车”向左数两列所在的列线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，∴“炮”的位置应表示为，故答案为：．14. 如图，木棒与分别在处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点逆时针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转_________°．【答案】##度【解析】【分析】过点作，根据同位角相等，两条直线平行可得当时，即需要变小，即木棒绕点G 逆时针旋转即可．解：过点作，∴，∵，∴∠，()2,2-()2,0-x y ()01，()01，AB CD 、EF G H 、110EGB ∠=︒85EHD ∠=︒AB G CD 25︒25G MN CD ∥85EHD EGN ∠=∠=︒EGB ∠25︒AB 25︒G MN CD ∥85EHD EGN ∠=∠=︒110EGB ∠=︒1108525BGN EGB EGN ∠∠=-=︒-︒=︒∴需要变小，即木棒绕点G 逆时针旋转，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．15. 如图，直线，，，则__________°．【答案】【解析】【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，先求解，，如图，过作，证明，再利用平行线的性质进一步可得答案．解：∵，，∴，，如图，过作，∵，∴，∴，，∴，∴；故答案为：16. 定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（为常数），我们把这种EGB ∠25︒AB 25︒25︒AB CD AE CE ⊥1126∠=︒C ∠=3690AEC ∠=︒18012654BAE ∠=︒-︒=︒E EG AB ∥AB EG CD ∥∥AE CE ⊥1126∠=︒90AEC ∠=︒18012654BAE ∠=︒-︒=︒E EG AB ∥AB CD ∥AB EG CD ∥∥54AEG BAE ∠=∠=︒C CEG ∠=∠905436CEG ∠=︒-︒=︒36C ∠=︒36xOy (),P x y (),P kx b by k ++k b 、变换称为“变换”．已知点经过“变换”的对应点分别是，．若，则____________，___________．【答案】①. 3 ②. 或【解析】【分析】本体主要考查了解二元一次方程组，坐标与图形，先根据经过“变换”的对应点是得到，接方程组求出的值，进而表示出的坐标，再由，求出的值即可．解：∵点经过“变换”的对应点是，∴，解得：，∴∵，经过“变换”的对应点为，∴，∴轴，，∵，∴，∴解得或故答案为：3；或．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：（1（2SS ()()()2,1,,2,3,2A B m n C m n +SS ()5,3D ,E F 4S =三角形A E F k b +=n =1676-()2,1A SS ()5,3D 253k b b k +=⎧⎨+=⎩,k b E F ，4S =三角形A E F n ()2,1A SS ()5,3D 253k b b k +=⎧⎨+=⎩21k b =⎧⎨=⎩3k b +=(),2B m n ()3,2D m n +SS E F ，()()21222722E m n F m n ++++，，，EF x ∥6EF =4S =三角形A E F 122142EF n ⋅+-=32214n +-=16n =76-1676-+2332--【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解答本题的关键．（1）先算立方根和算术平方根，再算减法即可；（2）先算乘法和绝对值，再算加减即可．【小问1】；【小问2】．18. 解方程组：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入法与加减法解方程组是解本题的关键；43-9-1323=-+-43=-2332---292=--+9=-72345y x x y =-⎧⎨-=⎩()92153416s t s t +=⎧⎨--=⎩31x y =⎧⎨=⎩4332s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）直接利用代入法解方程组即可；（2）先把方程组整理为，再利用加减法解方程组即可．【小问1】解：，把①代入②得：，∴，解得：，把代入①得：，∴方程组的解为：；【小问2】，整理得：，∴得：，解得：，把代入②得：，解得：，∴方程组的解为：．19. 如图，是的平分线，，，求的度数．（请写出推理依据）184303410s t s t +=⎧⎨+=⎩①②72345y x x y =-⎧⎨-=⎩①②()34725x x --=1133x =3x =3x =1y =31x y =⎧⎨=⎩()92153416s t s t +=⎧⎨--=⎩184303410s t s t +=⎧⎨+=⎩①②-①②1520s =43s =43s =4410t +=32t =4332s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AE DAB ∠∥AE CB 40B ∠=︒C ∠【答案】【解析】【分析】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，首先根据平行线的性质可得，，再根据是的平分线，可得．利用等量代换可得．解：如图：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等），又∵平分（已知），∴（角平分线定义），∴（等量代换）．20. 如图，，，平分交于点，试说明．下面是小林同学的证明，请你完善解答过程，并在括号内填写相应的推理依据．证明：∵（已知）∴，（）∵（已知）∴．（等量代换）∵（已知）∴=180°．（）∴．（等式的性质）∵平分（已知）40︒1B ∠=∠2C ∠=∠AE BAD ∠12∠=∠40B C ∠=∠=︒AE BC 1B ∠=∠2C ∠=∠AE DAB ∠12∠=∠40C B ∠=∠=︒AD BC ∥1,60C B ∠=∠∠=︒DE ADC ∠BC E AB DE ∥AD BC ∥1______60∠=∠=︒1C ∠=∠60C B ∠=∠=︒AD BC ∥________C ∠+∠_______180********C ∠=︒-∠=︒-︒=︒DE ADC ∠∴．（）∴．（）∴．（）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记相关定理的内容，根据推理过程即可完善相关步骤．解：，（已知）．（两直线平行，同位角相等），（已知）．（等量代换），（已知）．（两直线平行，同旁内角互补）∴（等式的性质）平分，（已知）．（角平分线定义）（等量代换）．（内错角相等，两直线平行）21. 已知一个数两个平方根分别为和．（1）求的值；（2）如图在数轴上，若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧且满足，求的立方根．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查平方根的含义，求一个数的立方根，二次根式的加减运算，理解题意是关键．（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可；（2）根据，先求解，可得，再根据立方根定义进行求解即可．的的111206022ADE ADC ∠=∠=⨯︒=︒1ADE ∠=∠AB DE ∥AD BC ∥ 160B ∴∠=∠=︒1C ∠=∠ 60C B ∴∠=∠=︒ AD BC ∥180C ADC ∴∠+∠=︒ADC ∠180********C =︒-∠=︒-︒=︒DE ADC ∠111206022ADE ADC ∴∠=∠=⨯︒=︒1ADE ∴∠=∠∴AB DE ∥ma a -m A a M m Bb B A 2BA AM=28b -+10m =22BA AM =b 28b -+【小问1】解：∵一个数的两个平方根分别为和，∴，解得：，∴；【小问2】∵点，点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，∴，，∵，，解得：，∴；∴的立方根是；22. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系后，三角形的顶点坐标为．（1）把三角形向左平移5个单位长度再向上平移6个单位长度得到，在图中画出三角形ma a-0a a +-=a =210ma ==A M 10Bb B A AB b =-10AM =-2BA AM =(210b =20b =-28b -2028=--8=28b -2ABC ()()()1,4,5,5,5,1A B C ---ABC A B C '''；（2）（1）中的三角形面积为___________；（3）在轴的负半轴上是否存在点，使．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）8（3）不存在，理由见解析．【解析】【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点即可；（2）把三角形的面积面积公式计算即可；（3）设P 的坐标为．由．构建方程求出m 即可．【小问1】解：如图，即为所求；【小问2】解：的面积；【小问3】解：设在轴的负半轴上P 的坐标为．A B C '''A B C '''x P 12A B C S S ''''=三角形ABP 三角形P A B C '''、、()0m ，34A B P A B O A PO BPO S S S S '''''+-== A B C ''' A B C ''' 14482=⨯⨯=x ()0m ，由题意，，∴，解得，不合题意舍去故在轴的负半轴上不存在点，使．【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．23. 一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵．结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节．广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”．为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒．假定广场两侧的灯带是平行的，即，且．1113(32)452932222A B C S ''=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯=三角形2341A B P A B C S S ''''== ()()111314212224m m ⨯⨯+⋅-⨯-⨯⋅-=502m =>x P 12A B CS S ''''=三角形ABP 三角形A AN AM B BQ BP A a ︒B b ︒PQ MN ∥120ABQ ∠=︒（1）当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯；（2）若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的；（3）两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点．①______________（用含的代数式表示）；②作，请求出与的数量关系．【答案】（1）20（2）（3）①或；②或【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案；（2）分当时，当时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可；（3）①分当时，当时，两种情况画出对应图形讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案．【小问1】解：∵，，∴，∵灯转动的速度是/秒，∴灯射线经过秒，第一次照射到灯；【小问2】解：如图所示，当时，∵，，∴，的3a =A B 3a =4b =()060t t <<B BP ,AC BC C BCA ∠=150DCA ∠=︒ABC ∠BCD ∠1807t =7t ︒3607t ︒-︒74240ABC BCD -=︒∠∠74ABC BCD=∠∠60BAN ∠=︒045t <≤4560t <<020t <<3045t <<020t <<3045t <<ABC ∠BCD ∠PQ MN ∥120ABQ ∠=︒60BAN ∠=︒A 3︒A 60203=B 045t <≤PQ MN ∥BQ AN ''∥180Q BQ BQ N BQ N NAN ''''+=︒=∠∠，∠∠∴，∴，解得；如图所示，当时，∵，，∴，∴，∴，解得（舍去）；综上所述，；【小问3】解：①如图所示，当时，过点C 作，则，∴，∴；如图所示，当时，同理可得；180Q BQ NAN ''+=︒∠∠34180t t +=1807t =4560t <<PQ MN ∥BQ AN ''∥180Q BQ BQ N BQ N NAN ''''+=︒=∠∠，∠∠180Q BQ NAN ''+=︒∠∠33604180t t +-=180t =1807t =020t <<CE PQ ∥CE PQ MN ∥∥43BCE CBQ t ACE CAN t ==︒==︒∠∠，∠∠7BCA BCE ACE t =+=︒∠∠∠3045t <<180418033607BCA PBC MAC t t t =+=︒-︒+︒-︒=︒-︒∠∠∠综上所述，或，故答案为：或；②如图所示，当时，由（3）①得，∴，∵，∴；如图所示，当时，由（3）①得，∴，∵，∴；综上所述，或．24. 如图1，点，且满足．7BCA t =︒∠3607BCA t =︒-︒∠7t ︒3607t ︒-︒020t <<7ACB t =︒∠1507BCD ACD ACB t =-=︒-︒∠∠∠1204ABC ABD DBC t =-=︒-︒∠∠∠74240ABC BCD -=︒∠∠3045t <<3607ACB t =︒-︒∠7210BCD ACD ACB t =-=︒-︒∠∠∠4120ABC ABD DBC t =-=︒-︒∠∠∠74ABC BCD =∠∠74240ABC BCD -=︒∠∠74ABC BCD =∠∠()()0,3,,0M a N b -()280b a -++=（1）直接写出的坐标：，；（2）点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒．①当时，求证：；②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，且满足．请将图2补全，并求之间的数量关系．【答案】（1），（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案；（2）利用三角形的面积公式证明，再进一步可得答案；（3）先根据题意补全图形，设，设，则，再证明，，再进一步可得答案．【小问1】解：∵，∴，，解得：，，∴点，【小问2】M N 、M N P M y Q N x ,NP MQ D ,P Q 12t <<MPD NQD S S =三角形三角形180QMN PNM ∠+∠=︒MQ E EO G OEQ ∠12GNP ONG ∠=∠NOE OEG G ∠∠∠、、()0,2()3,0-3NOE OEG NGE∠+∠=∠5a =3b =-PON MOQ S S = OEG QEG x ∠=∠=︒GNP y ∠=︒2ONG y ∠=︒32NOE y x ∠=︒+︒2OEG NGE x y ∠+∠=︒+︒()280b a -++=80b a -+=50a -=5a =3b =-()()0,2,3,0M N -①当时，，，∴，，∴，∴，∴；②如图，补全图形如下：∵点为的角平分线上一点，∴设，∵，设，则，如图，∵，∴，过作，∴，∴，，∴，12t <<22OP t =-33OQ t =-()1322332PON S t t =⨯-=- ()1233332MOQ S t t =⨯-=- PON MOQ S S = PON MOQ POQD POQD S S S S +=+ 四边形四边形DNQ DMP S S = G OEQ ∠OEG QEG x ∠=∠=︒12GNP ONG ∠=∠GNP y ∠=︒2ONG y ∠=︒180QMN PNM ∠+∠=︒MQ PN ∥G GT MQ ∥MQ GT PN ∥∥TGN PNG y ∠=∠=︒TGE QEG x ∠=∠=︒NGE x y ∠=︒+︒过作，而，∴，∴，，∴，而，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．O OK MQ ∥MQ PN ∥MQ OK PN ∥∥3KON ONP y ∠=∠=︒2KOE OEQ x ∠=∠=︒32NOE y x ∠=︒+︒2OEG NGE x y ∠+∠=︒+︒3363OEG NGE x y ∠+∠=︒+︒33234OEG NGE x y x ∠+∠=︒+︒+︒4NOE OEG =∠+∠3NOE OEG NGE ∠+∠=∠。

2023～2024学年第二学期期中考七年级数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每题4分，共40分，请将答案涂在答题卡的相应位置上）1. 计算a 2·a 3 的结果是 （ ）A. a 4B. a 5C. a 6D. a 8【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算后即可选取答案．【详解】a 2•a 3=a 2+3=a 5，故选B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的法则，熟练掌握运算是解题的关键．2. 如图，直线相交于点，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，即可得出结果．【详解】解：由题意，得：是对顶角，，∴；故选C ．3. 对于圆的周长公式，下列说法正确的是（ ）A. C ，是变量，2是常量B. r 是变量，C 是常量C. C 是变量，r 是常量D. C ，r 是变量，是常量【答案】D【解析】【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．【详解】解：圆的周长公式表明圆的周长与半径成正比，比值为是一个常数，变量为周长和半径AB CD 、O 130∠=︒2∠10︒20︒30︒40︒1,2∠∠130∠=︒2130∠=∠=︒2πC r =π2π2πC．故选：D ．【点睛】本题考查了常量、变量，熟记相关概念是解题关键．4. 如图，△ABC 中，∠A =60°，∠B =40°，则∠C 等于（ ）A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°【答案】B【解析】【详解】由三角形内角和定理得，∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =80°，故选：B ．5. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，完全平方公式和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、，原式计算错误，不符合题意；B 、，原式计算错误，不符合题意；C 、，原式计算错误，不符合题意；D 、，原式计算正确，符合题意；故选：D ．6. 如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（）r ()235a a =()33626a a =()222a b a b +=+()()22a b a b a b -+=-()236a a =()33928a a =()2222a b a ab b +=++()()22a b a b a b -+=-A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 两点确定一条直线D. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】B【解析】【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，故选：B ．【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．7. 变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（ ）A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中进行求解即可．【详解】解：在中，当时，，故选：C ．8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．由作法易得.y x 112y x =+2x =y 2-1-2x =112y x =+112y x =+2x =12122y =⨯+=A O B AOB '''∠=∠SSS SAS AAS ASA，，，根据可得到三角形全等．【详解】解：由作图可知，，，，．故答案为：A ．9. 如图，下列条件中，能判定的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】解：由，可以判定（内错角相等，两直线平行），故A 符合题意；由，不能判定，故B 不符合题意；由，能判定（同位角相等，两直线平行），不能判定，故C 符合题意；由，可以判定（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了平行线判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．10. 如图，为上方一点，H 、G 分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④【答案】D的OD O D ''=OC O C ''=CD C D ''=SSS OD O D ''=OC O C ''=CD C D ''=∴()SSS COD C O D ''' ≌AB CD ∥23∠∠=14∠=∠15∠=∠4180ADC ∠+∠=︒23∠∠=AB CD ∥14∠=∠AB CD ∥15∠=∠AD BC ∥AB CD ∥4180ADC ∠+∠=︒AD BC ∥AB CD ∥,AB CD P ∥AB AB CD 、PHB ∠PGD ∠,E PGC ∠EH F EG FG ⊥P PHB PGD ∠+∠=∠2P E ∠=∠AHP PGC F ∠-∠=∠60F ∠=︒【解析】【分析】由角平分线的性质以及平行线的性质可求出，即可判断①；设交于点M ，交于点N ，根据平行的性质即有，再结合三角形外角的性质即可判断②；根据角平分线的性质有，再证即可得∠PGD =2∠EGD ，即可判断③；先证，根据，即有，再结合，即可判断④正确；【详解】∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，故①正确；设交于点M ，交于点N ，如图，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵平分，平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故③正确；90EGF ∠=︒PG AB GE AB PGD PMB ∠=∠2,2PHB EHB PGD EGD ∠=∠∠=∠,P PHB PGD E EHB EGD ∠+∠=∠∠+∠=∠，P F ∠=∠90E F ∠+∠=︒90P E ∠+∠=︒2P E ∠=∠GF PGC ∠EG PGD ∠1122PGF PGC PGE PGD ∠=∠∠=∠，180PGC PGD ∠+∠=︒90PGF PGE ∠+∠=︒EG FG ⊥PG AB GE AB AB CD PGD PMB ∠=∠P PHB PMB ∠+∠=∠P PHB PGD ∠+∠=∠HE PHB ∠EG PGD ∠2,2PHB EHB PGD EGD ∠=∠∠=∠AB CD ∥,ENB EGD PMB PGD ∠=∠∠=∠,P PHB PMB E EHB ENB ∠+∠=∠∠+∠=∠,P PHB PGD E EHB EGD ∠+∠=∠∠+∠=∠2,2PHB EHB PGD EGD ∠=∠∠=∠2P E ∠=∠∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以及直角三角形中两个锐角互余等知识，灵活运用平行线的性质和三角形的外角的性质是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分，请将答案填在答题卡相应的横线上）11. 很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为H 39的原生动物，它的最长直径也不过才0.0000003米．其中数据0.0000003用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．【详解】0.0000003用科学记数法表示为．故答案为：．12. 已知，，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的除法．根据逆用同底数幂的除法运算法则进行计算即可得到答案．【详解】解：∵，，AB CD ∥PMA PGC ∠=∠AHP PGC AHP PMH P ∠-∠=∠-∠=∠AHP PGC F ∠-∠=∠P F ∠=∠90FGE ∠=︒90E F ∠+∠=︒90P E ∠+∠=︒2P E ∠=∠30E ∠=︒260P F E ∠=∠=∠=︒7310-⨯10n a ⨯1<10a ≤7310-⨯7310-⨯2m a =3n a =m n a -=232m a =3n a =∴，故答案为：．13. 等腰三角形的两条边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是______．【答案】15【解析】【分析】分两种情况讨论，当3为底时和当3为腰时，再求和即可；本题主要考查等腰三角形的知识，熟练掌握构成三角形的定义是解题的关键．【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为：．②当3为腰时，其它两边为3和6，,不能构成三角形，故舍去，故答案为：15．14. 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验（油箱已加满），试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表：（小时）0123（升）80726456则与之间的关系式为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求函数关系式，根据行驶时间每增加1小时，油箱的余油量减少8升进行求解即可．【详解】解：观察表格可知，行驶时间每增加1小时，油箱的余油量减少8升，∴，故答案为：．15. 如图，，点在直线上，点在直线上，．若，则∠1的度数为2233m n m n a a a -=¸=¸=2336615++=336+= ∴A y t t y y t ()808010y t t =-≤≤()808010y t t =-≤≤()808010y t t =-≤≤a b ∥A b C a AB BC ⊥2140∠=︒【答案】##130度【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．过点B 作，则有，由平行线的性质可得，，再由，即可求解．【详解】解：过点B 作，如图，，，，，，，，，，．故答案为：．16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E 为线段的中点．如果点P 在线段上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为______厘米/秒时，能够使与以C 、P 、Q三点所构成的三角130︒BD a ∥BD b ∥2180CBD ∠+∠=︒1180ABD ∠+∠=︒90ABC ∠=︒BD a ∥2180CBD ∴∠+∠=︒2140∠=︒ 180240CBD ∴∠=︒-∠=︒AB BC ⊥ 90ABC ∴∠=︒9050ABD CBD ∴∠=︒-∠=︒a b BD b ∴∥1180ABD ∴∠+∠=︒1180130ABD ∴∠=︒-∠=︒130︒ABCD 12AB =8BC =14CD =B C ∠=∠AB BC CD BPE【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q 的运动速度．【详解】解：设点P 运动的时间为t 秒，则，，∵，∴①当，时，，此时，解得，∴，此时，点Q 的运动速度为厘米/秒；②当，时，，此时，，解得，∴点Q 的运动速度为厘米/秒；综上所述，点Q 的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C 、P 、Q 三点所构成的三角形全等．3923BP t =83CP t =-B C ∠=∠6BE CP ==BP CQ =BPE CQP ≅ 683t =-23t =2BP CQ ==2233÷=6BE CQ ==BP CP =BPE CPQ ≅ 383t t =-43t =49632÷=92BPE故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：（1）（2）（3）（4）（简便计算）【答案】（1）2 （2） （3）（4）1【解析】【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，整式的运算：（1）先进行负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可；（2）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可；（3）先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可；（4）利用平方差公式进行简算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式；【小问3详解】原式；【小问4详解】原式．18. 先化简，再求值：，其中．3921020241( 3.14)(1)2π-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(39)(68)x x ++()()x y z x y z +-++2202420252023-⨯2187872x x ++2222x xy y z ++-2112=+-=2218245472187872x x x x x =+++=++22222()2x y z x xy y z =+-=++-()()222202420241202412024202411=-+⨯-=-+=()()()222x y x y x y xy y ⎡⎤+---+÷⎣⎦x 1,y 2==-【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去小括号，然后合并同类项，接着根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．【详解】解：，当时，原式．19. 如图，已知，试说明：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行线的判定，邻补角求出的度数，进而得到，即可得证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴．20. 阅读并完成相应的任务：如图，小明站在堤岸凉亭A 点处，正对他的B 点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．2x y -4()()()222x y x y x y xy y⎡⎤+---+÷⎣⎦()2222222x y x xy y xy y ⎡⎤=---++÷⎣⎦()2222222x y x xy y xy y =--+-+÷()2422xy y y=-÷2x y =-x 1,y 2==-()2124=⨯--=1105275∠=︒∠=︒，a b ∥3∠13∠=∠275∠=︒31802105∠=︒-∠=︒1105∠=︒13∠=∠a b ∥AB课题测量凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处测量数据米，米，米问题解决：（1）任务一：根据测量步骤将测量方案示意图补充完整；（2）任务二：小明的解答如下，请你帮忙补充完整；米，米，，，在和中（③）（④）（）米【答案】（1）见详解；（2）①；②对顶角相等；③；④．【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意画出图形并进行全等三角形的证明是解题的关键．结合测量方案示意图，证明，再通过全等三角形的性质，推出的长度．【详解】（1）AC20AC=20CD=8DE=20AC=20CD=90A∠= 90D∠=AC DC∴=A D∠=∠ABCDEC()____A DAC DC⎧∠=∠⎪=⎨⎪⎩①②ABC DEC∴≌AB DE∴=AB∴=BCA ECD∠=∠ASA8ABC DEC≌△△AB（2）由题意可知，米，米，米，，，在和中（）（全等三角形对应边相等）米故答案为：①；②对顶角相等；③全等三角形对应边相等；④8．21. 完成下面推理填空：如图，点E ，F 分别在和上，与互余，于点．求证：．证明：（ ① ）② （ ③ ）（ ④ ）与互余（ ⑤ ）（ ⑥ ）【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行【解析】20AC =20CD =8DE =90A ∠= 90D ∠=AC DC ∴=A D∠=∠ABC DEC A D AC DCBCA ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（对顶角相等）ABC DEC ∴ ≌ASA AB DE ∴=8AB ∴=BCA ECD ∠=∠AB CD 1,2D ∠=∠∠C ∠AF CE ⊥G AB CD ∥AF CE ⊥ 90CGF ∴∠=︒1D ∠=∠ AF ∴∥4CGF ∴∠=∠234180∠+∠+∠=︒ 2390∴∠+∠=︒2∠ C ∠290C ∴∠+∠=︒3C ∴∠=∠AB CD ∴∥DE【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据平行线的性质和判定条件，垂直的定义结合已给推理过程进行证明即可．【详解】证明：（垂直的定义）（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同位角相等）与互余（同角的余角相等）（内错角相等，两直线平行）故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．22. 如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上．（1）过点E 向上作射线，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，在射线上截取，连接，若，试说明：．【答案】（1）见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】此题考查了过一个点作已知直线的平行线，全等三角形的性质和判定，（1）利用尺规作出即可；（2）首先根据题意画出图形，然后由得到，然后证明出，即可得到．【小问1详解】AF CE ⊥ 90CGF ∴∠=︒1D ∠=∠ AF DE ∴∥4CGF ∴∠=∠234180∠+∠+∠=︒ 2390∴∠+∠=︒2∠ C ∠290C ∴∠+∠=︒3C ∴∠=∠AB CD ∴∥DE EM EM AB ∥EM ED BA =FD BE CF =A EDF ∠=∠MEC B ∠=∠BE CF =BC EF =()SAS ABC DEF ≌A EDF ∠=∠如图所示，射线即为所求；【小问2详解】如图所示，∵∴，即∵，∴∴．23. 甲、乙两人从A 地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B 地，他们离出发地的距离s （单位：）和行驶时间t （单位：h ）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：（1）求乙的速度；（2）两人相遇时，离B 地的路程是多少千米？【答案】（1）乙的速度为（2）两人相遇时，离B 地的路程是10千米【解析】EM BE CF=BE EC FC EC +=+BC EF =ED BA =MEC B ∠=∠()SAS ABC DEF ≌A EDF ∠=∠km 40km/h 3【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．（1）根据乙在内骑行了即可得；（2）首先求出，设乙骑行了小时与甲相遇，根据相遇时，两人离出发地的距离相等建立方程，解方程求出的值，由此即可得．【小问1详解】解：乙速度为，答：乙的速度为．【小问2详解】解：甲停止前的速度为，甲停止一段时间后再次行走的速度为，则，设乙骑行了小时与甲相遇，则可列方程为，解得，则，答：两人相遇时，离B 地的路程是10千米．24. 若x 满足，求的值．解：设，则，则请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若满足，则的值为；（2）若满足，求的值；（3）已知正方形的边长为x ，E ，F 分别是、上的点，且，长方形的面积是15，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．的 1.5h 20km ()()2.520881h a =--÷=x x ()()402020.5km/h 3÷-=40km/h 3()80.516km/h ÷=()1628km/h ÷=()()2.520881h a =--÷=x ()40880.53x x =+-34x =40403202010334x -=-⨯=()()944x x --=()()2249x x -+-9,4x a x b -=-=()()944x x ab --==945a b x x +=-+-=()()()22222294252417x x a b a b ab ∴-+-=+=+-=-⨯=x ()()722x x --=()()2272x x -+-n ()()222021202334n n -+-=()240442n -ABCD AD DC 1,3AE CF ==EMFD MF DF【答案】（1）21 （2）64（3）16【解析】【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、整体代入求值等，读懂题意，找准条件与所求代数式的练习，利用完全平方公式变形，整体代入求值即可得到答案．（1）设，，根据材料中的方法，求出和与差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案；（2）设，，根据材料中的方法，求出和与差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案；由，代值求解即可得到答案；（3）根据题意，得到正方形边长，数形结合得到，设，，利用材料中的方法，求出，代值求解即可得到答案．【小问1详解】解：设，，则，，；故答案：21；【小问2详解】解：，，设，，则，，，即，解得，为7x a -=2x b -=2023n a -=2021n b -=()()()()222404422404420212023n n n n ⎡⎤-=-=-+-⎣⎦()42S x =-影3x a -=1x b -=()228x -=7x a -=2x b -=()()722ab x x =--=()()725a b x x +=-+-=()()()22222272252221x x a b a b ab ∴-+-=+=+-=-⨯=()()222021202334n n -+-= ()()222023202134n n ∴-+-=2023n a -=2021n b -=()()()()2023202120212023ab n n n n =--=---()()202320212a b n n +=-+-=()()()22222202320212n n a b a b ab ∴-+-=+=+-23422ab =-2342152ab --==；，；【小问3详解】解：根据题意可知正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为不为负值，，即，，长方形的面积是15，，设，，则，，，即，负值舍去；，阴影部分的面积是．25. 如图，在中，，动点是线段上一点，连接，以为边向右作，使得，连接与交点为．（1）若，则 ， ；（2）点D 在线段上运动的过程中，试说明：是的角平分线．∴()()2021202315n n --=()()()()222404422404420212023n n n n ⎡⎤-=-=-+-⎣⎦ ∴()()22224044223421564n b a a b ab -=-=+-=+⨯=GFDH 3x -MFRN 1x - GFDH 3x -30x ∴->3x >()()()221342MFRN GFDH S S S x x x ∴=-=---=-影正方形正方形 EMFD ∴()()1315EMFD S x x =--=长方形3x a -=1x b -=()()3115ab x x =---=-()()312a b x x +=-+-=()()()()()2222231244241564x x x a b a b ab ⎡⎤∴-+-=-=-+=+-=+⨯=⎣⎦()228x -=()4216S x ∴=-=影∴16ABC AB AC =D BC AD AD ADE V ,AD AE DAE BAC α=∠=∠=CE DE DE ，，AC M 40α=︒DCA ∠=ACE ∠=BC CM DCE △（3）点在线段上运动的过程中，若是的中线时，如图所示，依照题意补全图形，并说明此时是的高．【答案】（1）； （2）见解析 （3）画图见解析，说明见解析【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理：（1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再证明，即可得到，（2）根据等边对等角和全等三角形的性质可得，是的角平分线；（3）根据三角形中线的定义和全等三角形的性质得到，根据（2）的结论结合三线合一定理即可得到是的高．【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，故答案：；；【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴是的角平分线；【小问3详解】解：补全图形如下：为D BC AD ABC CM DCE △70︒70︒70DCA B ==︒∠∠()SAS ABD ACE ≌70ACE B ==︒∠∠ACE ACB ∠=∠CM DCE △CD CE =CM DCE △40AB AC BAC ==︒，∠180702BACDCA B ︒-===︒∠∠∠DAE BAC α∠=∠=BAD CAE ∠=∠AD AE =AB AC =()SAS ABD ACE ≌70ACE B ==︒∠∠70︒70︒AB AC =B ACB ∠=∠ABD ACE ≌△△ACE B ∠=∠ACE ACB ∠=∠CM DCE △∵是的中线，∴，∵，∴，∴，∵是的角平分线，∴是的高．AD ABC BD CD =ABD ACE ≌△△BD CE =CD CE =CM DCE △CM DCE △。

2023-2024学年北京市海淀区第二十中学七年级下学期期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.4的算术平方根是()A.2B.C.4D.3.下列图形中，是由如图所示图形平移得到的是()A. B. C. D.4.方程组的解是()A.无解B.无数组解C.D.5.下列命题是真命题的是()A.同位角相等B.内错角相等C.同旁内角互补D.邻补角互补6.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分，如果，那么的度数是()A. B. C. D.7.如图，点E ，B ，C ，D 在同一条直线上，，，则的度数是()A. B. C. D.8.将点向上平移3个单位长度，则对应点B 的坐标为()A.B.C.D.9.如图，在这四个无理数中，被墨迹如图所示覆盖住的无理数是()A.B. C. D.10.如图，边长为的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，且点A 表示的数为1，若点E 在数轴上，点E在点A 的右侧且，则点E 所表示的数为()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.如图，直线AB ，CD 相交于点如果，那么的度数是__________12.已知是方程的解，则m 的值为__________.13.直角坐标平面内的点到x 轴的距离为__________.14.比较大小：5__________填“>、<、或=”15.若，则__________.16.如图，棋盘中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点__________.17.如图，正方形ABFE和正方形EFCD边长均为a米，分别以点为圆心，正方形边长为半径画弧，阴影部分的面积为__________用含a的代数式表示18.如图，点，点，点，点，，按照这样的规律下去，点的坐标为__________，点的坐标为__________.三、解答题：本题共9小题，共72分。

2023-2024学年北京市东城区文汇中学七年级下学期期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.4的平方根是()A.2B.C.D.3.若，则下列不等式中正确的是()A. B. C. D.4.如图，点O在直线AB上，若，则的大小为()A. B. C. D.5.如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是()A. B.C. D.6.若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为()A.1B.2C.3D.47.下列条件：①，②，③，其中能判断的是()A.①②③B.①③C.②③D.①8.我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托一托按照5尺计算”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为()A. B. C. D.9.小云同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形OABC，小球P从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球P第2024次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是()A. B. C. D.10.定义一种运算：，则不等式的解集是()A.或B.C.或D.或二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河l向村庄P引水，图中有四种方案，其中沿线段PC路线开挖的水渠长最短，理由是__________.12.要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是__________一个即可13.如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点在A的右侧，则点E表示的数为__________.14.如果关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是__________.15.围棋起源于中国，它蕴含着中华文化的丰富内涵，是中国文化与文明的体现．如图，围棋盘放在某个平面直角坐标系内，黑棋①的坐标为，白棋④的坐标为，则白棋②的坐标为__________.16.如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，若AB边的长为5米，则图中空白区域的面积为__________平方米．17.若经过点与点的直线平行于x轴，且，则N点的坐标是__________.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，得到正方形及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为，，则__________，__________，__________.若正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标为__________.三、解答题：本题共10小题，共80分。

北师大实验中学2023—2024学年度第二学期初一年级数学期中考试试卷试卷说明：1.本试卷考试时间为100分钟，总分数为120分．2.本试卷共8页，四道大题，31道小题．3.请将答案都写在答题纸上．4.一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效．5.注意保持卷面整洁，书写工整．A 卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1. 5的平方根是（）A. 25B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查平方根的定义，关键在于牢记定义，注意平方根与算术平方根的区别．根据平方根定义求出即可．解：5的平方根是故选：C ．2. 在平面直角坐标系中，点在第（）象限．A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】D【解析】【分析】本题考查判断点所在的象限．熟练掌握象限内点的符号特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，是解题的关键．根据象限内点的符号特征，进行判断即可．解：∵，∴点在第四象限，故选D ．()2,4-(),++(),-+(),--(),+-20,40>-<()2,4A -3. 下列命题中，错误的是（）A. 若，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质判断即可．解：对于A 选项，若，则，正确，不符合题意；对于B 选项，若且，则，正确，不符合题意；对于C 选项，若且，则，正确，不符合题意；对于D 选项，当，，，则，错误，符合题意；故选D ．4. 如图，直线直线，与相等的角是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，由，得到，又因为，所以，掌握平行线的性质是解题的关键．解：∵，∴，∵，∴，故选：A ．5. 北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如图，侧向跑道a b >a c b c->-a b >0c ≠22ac bc >a b >0c <ac bc<a b >22a b >a b >a c b c ->-a b >0c ≠22ac bc >a b >0c <ac bc <1a =-2b =-a b >22a b <a ∥b 1∠3∠5∠7∠8∠a b ∥21∠=∠23∠∠=31∠=∠a b ∥21∠=∠23∠∠=31∠=∠AB在点O 的南偏东的方向上，则点A 在点B 的（）的方向上．A. 南偏东B. 南偏西C. 北偏西D. 北偏东【答案】C【解析】【分析】本题考查方位角的定义，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．根据方位角的定义解答即可．解：在点O 的南偏东的方向上，点A 在点B 的北偏西的方向上，故选C ．6. 若是关于、的方程组的解，则有序数对是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，把代入原方程组，得到关于、的方程组，解方程组即可．解题关键是明确方程解的概念，熟练的解二元一次方程组．】解：把代入方程得：，解得：，故选：A ．7. 下列说法中，正确的是（）A. 同旁内角相等，两直线平行B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离C.如果两个角互补，那么这两个角互为邻补角70︒70︒70︒70︒70︒AB 70︒∴70︒11x y =⎧⎨=-⎩x y 221ax by bx ay +=-⎧⎨-=⎩(),a b ()1,1-()1,1-()2,2-()2,2-11x y =⎧⎨=-⎩a b 11x y =⎧⎨=-⎩221a b b a -=-⎧⎨+=⎩11a b =-⎧⎨=⎩D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】B【解析】【分析】本题考查平行公理，点到直线的距离，邻补角的定义，平行线的判定，熟练掌握有关定理是解题的关键．根据平行公理，点到直线的距离，邻补角的定义，平行线的判定逐一分析即可．解：A 、同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，不符合题意；B 、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，符合题意；C 、如果两个角互补，那么这两个角互为邻补角，错误，不符合题意；D 、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；故选：B ．8. 不等式组的解集为，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式组的解集“大大取大”的原则确定a 的取值范围解：由题意可得故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键．9. 某种商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售．设商店在标价的基础上打x 折出售商品，那么x 满足的条件是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键．根据题意列出不等式即可．2x x a>⎧⎨>⎩2x >a 2a >2a <2a ≤2a ≥2a ≤5%7505005%10x ⋅⨯≥()75050015%10x ⋅⨯+≥7505005%10x ⋅⨯≤()75050015%10x ⋅⨯+≤解：根据题意可得：，故选B ．10. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q 的坐标为，则称点Q 为点P 的“单向2倍点”．例如：点的“单向2倍点”为.如图，正方形四个顶点分别为、、、，则正方形的边上及内部所有点的“单向2倍点”组成的图形是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查新定义单向2倍点，理解单向2倍点的定义是解题的关键．根据单向2倍点的定义分别找出正方形四个顶点的单向2倍点即可得出答案．解：正方形四个顶点分别为、、、，()75050015%10x ⋅⨯+≥(),P x y ()()()()2,,,2,x y x y x y x y ⎧≥⎪⎨<⎪⎩()3,5-()3,10-ABCD ()1,1A ()1,1B -()1,1C --()1,1D -ABCD ABCD ABCD ()1,1A ()1,1B -()1,1C --()1,1D -的单向2倍点为，的单向2倍点为，的单向2倍点为，的单向2倍点为，故正方形的边上及内部所有点的“单向2倍点”组成的图形为：故选C ．二、填空题（本大题共10道小题，每小题2分，共20分）11. 写出一个2到3之间的无理数______．【解析】无理数是无限不循环小数，本题答案不唯一，只要在2到3.故答案为（答案不唯一，符合要求即可）.12.，则_______．【答案】【解析】【分析】本题考查算术平方根的非负性，结合已知条件求得的值是解题的关键．根据算术平方根的非负性确定的值，再将其代入中计算即可．，，解得：，则，故答案为：．13. 能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____．【答案】 ①. ； ②. ．()1,1A ∴()2,1()1,1B -()2,1-()1,1C --()2,1--()1,1D -()2,1-ABCD 0+=a b +=1-,a b ,a b a b +0=30,20a b ∴+=-=3,2a b =-=321a b +=-+=-1-a b >a b >=a b =1-0【解析】【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键．解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以，当，时，有，但，∴，是假命题的反例，故答案为：；．14. 图中用五角星标记了北京师范大学附属实验中学本校、国际部、初二校区、初三校区的旗杆的位置．如果初二校区旗杆的坐标为，国际部旗杆的坐标为，那么初三校区旗杆的坐标是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了坐标确定位置，确定出坐标原点的位置是解题的关键．根据初二校区旗杆的坐标为，国际部旗杆的坐标为，建立平面直角坐标系，然后找出初三校区旗杆的坐标即可．解：根据初二校区旗杆的坐标为，国际部旗杆的坐标为，建立平面直角坐标系，如图所示：的a b <a b >a b >a b >a b <a b >1a =0b =a b >a b <1a =0b =1-0()4,9-()0,14-()11,16-()4,9-()0,14-()4,9-()0,14-由图可得初三校区旗杆的坐标为，故答案为：．15.________．【答案】【解析】【分析】本题考查了当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的值．解：，．故答案为：．16. 在平面直角坐标系中，点在x 轴上，则m 的值为____．【答案】2【解析】【分析】根据平面直角坐标系中的点在x 轴的特点纵坐标为0来求解．解：∵点在x 轴上，∴，()11,16-()11,16- 3.606≈11.40≈≈36.063.606≈36.06=≈36.06()3,2A m m +-()3,2A m m +-20m -=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了在坐标上点的坐标特征，理解点在坐标轴上的坐标特征是解答关键．17. 如图，已知OA ⊥OB ，，BOC =40°，OD 平分AOC ，则BOD =________．【答案】25°【解析】【分析】根据题意：因为OD 平分∠AOC ，可以先求∠AOC ，再求∠COD ，利用角和差关系求∠BOD 的度数．解：∵OA ⊥OB ，∠BOC =40°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =130°，∵OD 平分∠AOC ，∴∠AOD =∠AOC ÷2=65°，∴∠BOD =∠AOB -∠AOD =25°．故答案为：25°．【点睛】本题主要考查了垂线和角平分线的定义，难度较小．18. 光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生改变．如图，两束平行的光线从烧杯底部斜射入水面，然后折射到空气中，由于折射率相同，射入空气后的两束光线也平行．若，，则________°，________°．【答案】①. 45 ②. 58【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质、同位角以及同旁内角，解题的关键是：①能够找出一个角的同位角以及同旁内角；②熟悉各平行线的性质．根据平行线的性质即可求解．的∠∠∠145∠=︒2122∠=︒3∠=6∠=∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：45；58．19. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，且，则点的坐标为_______．【答案】或【解析】【分析】此题考查坐标与图形，在平面直角坐标系中与轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求点纵坐标；与轴平行，相当于点左右平移，可求点横坐标，掌握平面直角坐标系内点的坐标特定，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．解：轴，点纵坐标与点纵坐标相同，为1，，当点位于点右侧时，点的横坐标为；当点位于点的左侧时，点的横坐标为，点坐标为或．故答案为：或．20. 在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位的,145∠=︒AC BD ∥3145∠=∠=︒CD EF ∥25180+=︒∠∠518012258∠=︒-︒=︒CE DF ∥6558∠=∠=︒A ()2,1-AB x 3AB =B ()5,1-()1,1x B x A B AB x ∴B A 3AB = ∴B A B 231-+=B A B 235--=-B ∴()5,1-()1,1()5,1-()1,1置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为，第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，……，这个动点第2024次平移到_______．【答案】【解析】【分析】本题考查点的坐标规律问题，熟练找到点的坐标规律是解题的关键．根据题意找出点的坐标规律即可得出答案．解：第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，第四次平移到，第五次平移到，第六次平移到，第七次平移到，第八次平移到，第九次平移到，……，由此可得每三次得到一个循环，，第2024次平移到，故答案为：．三、解答题（本大题共50分，第21、22题各8分，第23题5分，第24题7分，第25、26题各4分，第27、28题各7分）21. （1；（2）解方程组：．【答案】（1）2）【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、立方根及绝对值，再进行实数的混合运算即可；（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．本题考查实数的混合运算、算术平方根、立方根、绝对值及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）解：原式；()0,0()1,0()1,1()1,1-()675,673-()1,0()1,1()1,1-()2,1-()2,0()2,2-()3,2-()3,1-()3,3-202436742÷= ∴()675,673-()675,673-3-243213x y x y +=⎧⎨-=⎩232x y =⎧⎨=-⎩)4343=-++2=+（2）解：，得：，解得，把代入①，得：，解得，∴原方程组的解为．22. （1）解不等式，并在数轴上表示解集；（2）求不等式组的整数解．【答案】（1），在数轴上表示解集见解析；（2）整数解为【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式及不等式组，在数轴上表示不等式的解集，不等式的整数解．（1）根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解，再在数轴上表示解集即可；（2）先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，进而可得整数解．（1）解：去分母，得，去括号，得，移项并合并同类项，得，系数化为1，得，该不等式的解集在数轴上表示为：（2）解：解不等式①得：，243213x y x y +=⎧⎨-=⎩①②2⨯+①②721x =3x =3x =234y ⨯+==2y -32x y =⎧⎨=-⎩131124x x -+->-()3434242x x x x +≤+⎧⎨-<+⎩1x <3,2,1,0,1x =---131124x x -+->-()()21314x x --+>-22314x x --->-1x ->-1x <()3434242x x x x +≤+⎧⎪⎨-<+⎪⎩①②1x ≤解不等式②得：，把不等式①和②的解集在数轴上表示为∴原不等式组的解集为．又∵整数，∴．23. 如图，点在的边上，按要求作图并回答问题：（1）过点作边的垂线；（2）过点作边的垂线段；（3）过点作的平行线交直线于点；（4）比较、、三条线段的长度，并用“＞”连接：__________，得此结论的依据是_____________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）；垂线段最短【解析】【分析】该题主要考查了-基本作图，垂线，平行线的判定，以及线段比较大小，解题的关键是理解题意．（1）根据题意作图即可；（2）根据题意作图即可；（3）根据题意作图即可；（4）根据垂线段最短判断即可；【小问1】如图，垂线即为所求；是103x >-1013x -<≤x 3,2,1,0,1x =---B MAN ∠AM B AM B AN BC A BC D AB BC AD AD AB BC >>【小问2】如图，线段即为所求；【小问3】如图，即为所求；【小问4】根据图象即可得出：；得此结论的依据是：垂线段最短．24. 已知：如图，，，平分，，，求的大小.解：，，．，，．又，，．平分，．【答案】；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行；；；BC AD AD AB BC >>AB CD AB EF ∥EG BED ∠45B ∠=︒30D ∠=︒GEF ∠AB EF ∥45B ∠=︒()45B ∴∠=∠=︒①②∥ AB CD AB EF ∥()∴③④30D ∠=︒ 30DEF D ∴∠=∠=︒BED BEF DEF ∴∠=∠+∠=︒⑤EG BED ∠12DEG BED ∴∠=∠=︒⑥GEF DEG DEF ∴∠=∠-∠=︒⑦BEF ①②EF CD ③④75⑤37.5⑥7.5⑦【解析】【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平行于同一直线的两直线平行得出，最后根据角平分线的定义和角的等量关系即可得出答案．解：，，（两直线平行，内错角相等），，，（平行于同一直线的两直线平行），又，，．平分，．．25. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点，，的对应点．（1）请在所给坐标系中画出三角形，点的坐标为_______；（2）若边上一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为_______；（用含、的式子表示）（3）三角形的面积是_______．45BEF B ∠=∠=︒EF CD AB EF ∥45B ∠=︒45BEF B ∴∠=∠=︒∥ AB CD AB EF ∥EF CD ∴ 30D ∠=︒ 30DEF D ∴∠=∠=︒75BED BEF DEF ∴∠=∠+∠=︒EG BED ∠137.52DEG BED ∴∠=∠=︒7.5GEF DEG DEF ∴∠=∠-∠=︒ABC ()5,1A -()1,5B -()1,1C --ABC A B C '''A 'B 'C 'A B C A B C '''C 'AB (),P x y P 'P 'x y ABC【答案】（1）画图见解析，（2）（3）12【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形：（1）根据所给的平移方式确定A 、B 、C 对应点的坐标，在坐标系中描出，再顺次连接即可；（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可；（3）根据三角形面积计算公式结合网格的特点进行求解即可．【小问1】解：如图所示，即为所求，∴点的坐标为；【小问2】解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，边上一点经过上述平移后的对应点为，∴点的坐标为，故答案为：；【小问3】解：．26. 已知：如图，，，．求证：．()45-，()5,4x y +-A B C '''、、A B C '''、、A B C '''、、A B C ''' C '()45-，ABC A B C '''AB (),P x y P 'P '()5,4x y +-()5,4x y +-164122ABC S =⨯⨯= AB CD 12∠=∠34∠∠=AD BE【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线的性质求出，求出，推出，根据平行线的判定推出即可．注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．证明：∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．27. 列方程（组）或不等式（组）解应用题：为了更好地治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台设备的价格、月处理污水量如下表：A 型型价格（万元/台）处理污水量（吨/月）240200经调查：购买一台A 型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台A 型设备比购买3台型设备少6万元．（1）求、的值；（2）如果每月要求处理流溪河两岸污水量不低于2040吨，并且市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该公司最省钱的设备购买方案．43BAF ∠=∠=∠DAC BAF ∠=∠3CAD ∠=∠AB CD 4BAE ∠=∠12∠=∠12CAE CAE ∠+∠=∠+∠BAE DAC ∠=∠4DAC ∠=∠34∠∠=3DAC ∠=∠AD BE B a b B B a b【答案】（1）（2）选择购买型设备1台、型设备9台最省钱【解析】【分析】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．（1）根据“购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；（2）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，可列不等式，再根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，列不等式，解不等式组即可由的值确定方案，然后进行比较，作出选择．【小问1】解：根据题意，得：，解得；【小问2】解：设公司购买型设备台.根据题意，得：，解得∴公司可购买型设备1台、型设备9台或型设备2台、型设备8台.∵型设备比型设备贵，∴型设备应尽量少购买，故选择购买型设备1台、型设备9台最省钱.28. 将两副三角板、按图1方式摆放，其中，，，、分别在直线、上，直线．（1）从图1的位置开始，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且．1210a b =⎧⎨=⎩A B A B A B x 2326a b b a -=⎧⎨-=⎩1210a b =⎧⎨=⎩A x ()()240200102040121010105x x x x ⎧+-≥⎪⎨+-≤⎪⎩512x ≤≤A B A B A B A A B ABC DEF 90EDF ACB ∠=∠=︒45E ∠=︒30BAC ∠=︒AB DF GH MN GH MN ABC DEF D 2︒0180t ≤≤①当边与边平行时，_______；②当边与边平行时，求所有满足条件的的值．（2）从图1的位置开始，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图3，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且．当与垂直时，______．【答案】（1）①15或105；②或172.5（2）165【解析】【分析】（1）①延长交于点P ，则，然后根据平行线的性质求出旋转角，然后计算时间即可；②延长交于点，过点作，则，然后根据平行线的性质求出旋转角，然后计算时间即可；（2）由旋转可得，，设于点P ，过P 点作，过点E 作，即可得到，计算得到，然后根据解题即可．【小问1】①解：延长交于点P ，则，当时，如图，则，∴；如图，，∴旋转角为，即旋转时间为；DF AC t =EF BC ABC A 1︒DEF D 2︒0180t ≤≤AC EF t =82.5t =AC MN 30APM BAC ∠=∠=︒BC MN P D DQ BC 60BPN ABP ∠=∠=︒180BAG t ∠=︒-︒3602MDF t ∠=︒-︒CA EF ⊥PQ GH ET MN PQ GH ET MN 4052240PET t QPF t ∠=︒-︒∠=︒-︒，PET QPF ∠=∠AC MN 30APM BAC ∠=∠=︒DF AC 30FDM APD ∠=∠=︒3015s 2t ==30FDM APD ∠=∠=︒18030210︒+︒=︒210105s 2t ==故答案为：或；②如图，延长交于点，过点作，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴旋转时间为；如图，由上题解答可得：，，∴∴旋转角度为，时间为；综上所述，当或时，边与边平行；【小问2】15105BC MN P D DQ BC GH MN 60BPN ABP ∠=∠=︒BC EF DH BC EF 180********MDQ BPN ∠=︒-∠=︒-︒=︒45QDF F ∠=∠=︒12045165MDF MDQ QDF ∠=∠+∠=︒+︒=︒16582.5s 2t ==60MDQ BPN ∠=∠=︒45QDF F ∠=∠=︒604515MDF MDQ QDF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，36015345︒-︒=︒345172.5s 2t ==82.5s t =172.5s t =EF BC如图，由旋转可得：，，∴，，设于点P ，过P 点作，过点E 作，∵，∴，∴，，∴∵，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想解决问题．B 卷四、填空题（本卷共20分，第29、30题每题6分，第31题8分）29. （1）关于的不等式有________个整数解；（2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为180BAG t ∠=︒-︒3602MDF t ∠=︒-︒()30180t 150CAG CAB BAG t ∠=∠-∠=︒-︒-︒=︒-︒()909036022270EDM MDF t t ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒CA EF ⊥PQ GH ET MN GH MN PQ GH ET MN 150CAG APQ t ∠=∠=︒-︒QPE PET ∠=∠2270TED EDM t ∠=∠=︒-︒，()1801804522704052PET FED TED t t ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒-︒，CA EF ⊥90CPF ∠=︒()9090150240QPF CPQ t t ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒QPE PET ∠=∠2404052t t ︒-︒=︒-︒165t =165x 23x -<<x 4223x k k x x k-<+⎧⎨<-⎩k k________；（3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有________组满足题意的和．【答案】①. 4 ②. 2 ③. 4【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式，不等式组的整数解问题，解一元一次方程，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）直接找出的范围内的整数即可；（2）先求出不等式组的解集为，满足题意得，解方程即可；（3）由题意得：，化简得到，由于和为常数，且为整数，分类讨论即可．（1）解：在的范围内整数为，∴有4个，故答案为：4．（2）解：由①得：；由②得：，则不等式组的解集为：，∵方程组恰有5个整数解，∴，解得：，故答案为：2．（3）解：由题意得：，化简得：，∵和为常数，且为整数，∴只有或，∴有，∴有4组满足题意的和，x ()33k x a k <<+k a k a 23x -<<352k x k <<+5236k k +-=()337a k k +-=7ak =k a 23x -<<1,012-,,4223x k k x x k -<+⎧⎨<-⎩①②52x k <+3x k >352k x k <<+5236k k +-=2k =()337a k k +-=7ak =k a 177⨯=()()177-⨯-=1177,,,7711a a a a k k k k ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-==-⎩⎩⎩⎩k a故答案为：4．30. 定义“[ ]”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数．例如：，．（1）请计算：_______，_______；（2）若和满足方程，则当时，请直接写出的取值范围：________；（3）在平面直角坐标系中，如果坐标为的点都在第一象限，且满足，则所有符合条件的点所构成图形面积为_______．【答案】 ①. 1 ②. ③. ④. 4【解析】【分析】本题考查了取整函数的定义，根据定义正确列出不等式是解题的关键．（1）根据取整函数的定义即可求解；（2）根据取整函数的定义即可求解；（3）根据取整函数的定义即可求解．解：（1）的最大整数，，故；∵表示不超过的最大整数，故，故答案为：；（2），，，，，，故答案为：．（3）∵的点都在第一象限，[]a a []1.22-=-[]3π==[]3.14-=m n [][]1m n +=1n =-m (),p q [][]3p q +=(),p q 4-12m ≤<1.414≈1=[ 3.14]- 3.14-[ 3.14]4-=-1;4-[][]1,1+==Q m n n 12<<Q 011∴<<[]0∴=n []1[]1∴=-=m n 12m ∴≤<12m ≤<(),p q∴，又∵，都是整数，或或或，则所有符合条件的点所构成图形如图所示，故所有符合条件的点所构成图形面积．故答案为：4．31. 平面直角坐标系中，从点分别向轴、轴作垂线，两条垂线分别与坐标轴交于点，，与一、三象限角平分线交于，，则记点的长度差为，例如．（1）请直接写出：_____，______；（2）若点的长度差，则______；0,0p q >>[][]3p q +=[][],p q ∴[][]03p q ⎧=⎪⎨=⎪⎩[][]12p q ⎧=⎪⎨=⎪⎩[][]21p q ⎧=⎪⎨=⎪⎩[][]30p q ⎧=⎪⎨=⎪⎩(),p q (),p q 144=⨯=(),x y x y 1X 1Y 2X 2Y (),x y ()1212,x y d X X YY =-()1,2121d =-=()2,3d =()2,1d -=()3,m ()3,4m d =m =（3）若整点的长度差，且，，则所有满足条件的整点共有_____个．【答案】（1）1，1（2）（3）36【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，两点之间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先证明出，再根据新定义即可求解；（2）根据新定义得到，分类讨论解方程即可；（3）分类讨论，根据，且，这些范围，列举出所有的情况即可．【小问1】解：如图，∵直线是第一、三象限角平分线，∴，∵点向轴作垂线，∴，∴，∴，∴，∴，同理，故答案为：1，1．【小问2】(),p q (),2p q d ≥4p ≤4q ≤7±121X O X X =34m -=(),2p q d ≥4p ≤4q ≤2OX 2145X OX ∠=︒(),x y x 2190X X O ∠=︒21904545OX X ∠=︒-︒=︒2121X OX OX X ∠=∠121X O X X =()2,3231d =-=()2,1211d -=-=解：由题意得：，则或解得或（舍），∴，故答案为：．【小问3】解：当点P 在第一象限及坐标轴时，则，由得：，∴满足题意得点有，共12个；当点P 在第二象限及坐标轴时，则，由得：，∴满足题意的点有共9个；当个点P 在第三象限及坐标轴时，则由得：，∴满足题意的点有，共9个；当个点P 在第四象限及坐标轴时，则由得：，∴满足题意的有：共6个，∴共计36个，故答案为：36．34m -=34m -=34m -=-7m =1m =-7m =±7±04,04p q ≤≤≤≤(),2p q d ≥2p q -≥()()()()()()2,0,3,0,4,0,3,14,1,4,2()()()()()()0,2,0,3,0,4,1,31,4,2,440,04p q -≤≤≤≤(),2p q d ≥2p q -≥()()()()()()()()()2,0,3,0,4,0,3,14,1,4,2,2,4,1,3,1,4---------40,40p q -≤≤-≤≤(),2p q d ≥2p q -≥()()()()()()()3,1,1,3,4,1,1,4,4,2,2,4,0,4-------------()()0,3,0,2--04,40p q ≤≤-≤≤(),2p q d ≥2p q -≥()()()()()()1,3,1,4,2,4,3,1,4,1,4,2--。