chpp12 数学物理方法
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物理学中的数学方法与技巧
物理学中的数学方法与技巧物理学作为自然科学的一门重要学科，探索了自然界中各种物质和现象的本质规律。
而数学在物理学中被广泛运用，成为研究和描述物理现象的不可或缺的工具。
本文将介绍物理学中常用的数学方法与技巧，包括微分与积分、线性代数、矢量运算以及微分方程等。
一、微分与积分微分与积分是物理学中最基础的数学方法之一。
微分被用于描述物理量的变化率，积分被用于求解曲线下的面积或物理量的累积值。
在物理学中，微分方程是一个经常出现的问题，通过微积分的方法可以求解物理问题。
例如，在运动学中，利用微分可以计算速度和加速度等物理量与时间的关系。
而在力学中，物体的运动规律可以通过牛顿第二定律的微分形式得到。
二、线性代数线性代数是解决矩阵和向量问题的数学工具，它在物理学中有着广泛的应用。
线性代数的概念和方法可以帮助我们描述和解决许多复杂的物理系统。
例如，在量子力学中，波函数可以用一个复数的向量表示，在这个向量空间中，线性代数的方法可以用来描述和计算量子态之间的演化过程。
而在经典力学中，矢量运算和矩阵变换被广泛应用于力的合成、力矩和刚体运动等问题的求解。
三、矢量运算在物理学中，矢量是一个具有大小和方向的量，它广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量。
矢量运算是对矢量进行各种运算的方法。
例如，在电磁学中，用矢量表示电场和磁场，通过矢量运算可以求解电磁场的分布和相互作用。
在力学中，矢量运算可以用来求解力的合成和分解，进而解决各种复杂的物理问题。
四、微分方程微分方程是研究物理学中很重要的一个数学工具。
它描述了物理量与其变化率之间的关系，并用于求解和解释一些物理现象。
例如，在光学中，通过波动方程可以描述光的传播和衍射现象。
在热学中，热传导方程可以描述材料中温度的分布和变化。
在核物理学中，薛定谔方程可以解释原子和分子的能级结构和电子行为。
总结：数学方法在物理学中的应用是不可忽视的，微分与积分、线性代数、矢量运算以及微分方程等是物理学中常用的数学工具。
物理学中的数学方法
物理学中的数学方法物理学作为一门探索自然规律的科学，离不开数学的应用。
数学方法在物理学中被广泛使用，为研究物理现象提供了重要的分析工具和解决问题的途径。
本文将介绍物理学中常用的数学方法，包括微分方程、矩阵与线性代数、概率统计以及变分法等。
一、微分方程微分方程是物理学中最基本的数学方法之一。
物理学中的很多自然现象都可以通过微分方程描述。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程描述的是未知函数与其导数之间的关系，常见的物理学中常微分方程有牛顿第二定律、放射性衰变等。
通过求解常微分方程，可以获得系统的解析解或数值解，进而预测物理现象的演化趋势。
偏微分方程描述的是未知函数与其偏导数之间的关系，适用于描述空间和时间相关性较强的物理现象，如传热、波动等。
常见的偏微分方程有热传导方程、波动方程、泊松方程等。
通过求解偏微分方程，可以得到物理系统的解析解或数值解，从而得到系统的稳定状态或演化过程。
二、矩阵与线性代数矩阵与线性代数是物理学中另一个重要的数学方法。
矩阵的概念和运算规则为物理学中的向量、矢量运算提供了基础。
矩阵在量子力学、电磁学和振动力学等领域中得到了广泛应用。
线性代数是矩阵理论和方法的进一步推广，涉及到向量空间、线性变换和特征值等概念。
矩阵的特征值和特征向量在量子力学中有着重要的物理意义，可以确定量子态的性质和演化。
三、概率统计概率统计是物理学中用来处理随机性现象的一种数学方法。
概率统计可以分为两个部分：概率论和数理统计。
概率论研究的是随机事件的概率和随机变量的分布规律，提供了处理随机性现象的基本框架。
概率论在量子力学和统计物理中得到了广泛应用，为解释量子力学的随机性提供了理论基础。
数理统计研究的是根据样本数据对总体进行推断和判断的方法和理论。
在物理学中，数理统计可以用来分析实验数据，从而得到物理量的估计和误差范围。
四、变分法变分法是一种基于极值原理的数学方法，在理论物理学中有着广泛应用。
数学物理方法知识点
数学物理方法知识点数学物理方法是物理学中的重要工具，它涉及到了许多数学概念和方法的应用。
在物理学的研究中，数学物理方法可以帮助我们更好地理解物理现象，推导物理定律，解决物理问题。
本文将介绍一些数学物理方法的知识点，希望能够对读者有所帮助。
1. 微积分。
微积分是数学物理方法中的基础，它包括了微分和积分两个部分。
微分可以帮助我们求出函数的导数，从而得到函数的变化率；而积分可以帮助我们求出函数的不定积分和定积分，用来计算曲线下的面积、求解定积分方程等。
在物理学中，微积分常常被用来描述物理量的变化、计算物理量之间的关系等。
2. 线性代数。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它在物理学中有着广泛的应用。
在量子力学中，线性代数被用来描述量子态和算符的性质；在电磁学中，线性代数被用来描述电场和磁场的分布和变化。
因此，掌握线性代数的知识对于理解物理学中的许多问题至关重要。
3. 偏微分方程。
偏微分方程是描述多变量函数之间关系的数学方程，它在物理学中有着广泛的应用。
在热传导、波动方程、量子力学等领域，偏微分方程被用来描述物理系统的演化规律和性质。
因此，掌握偏微分方程的求解方法对于理解物理学中的许多现象至关重要。
4. 变分法。
变分法是一种数学工具，它在物理学中被用来寻找能量最小值或者最优路径。
在经典力学、量子力学、场论等领域，变分法被广泛应用。
通过变分法，我们可以得到物理系统的运动方程、稳定性条件等重要结果。
5. 特殊函数。
特殊函数是一类在物理学中经常出现的函数，如贝塞尔函数、勒让德多项式、超几何函数等。
这些特殊函数在解决物理问题时起着重要的作用，它们有着独特的性质和应用。
掌握特殊函数的性质和求解方法对于理解物理学中的许多问题至关重要。
总结：数学物理方法是物理学中不可或缺的工具，它涉及到了许多数学概念和方法的应用。
微积分、线性代数、偏微分方程、变分法、特殊函数等知识点在物理学中有着广泛的应用，掌握这些知识对于理解物理学中的许多问题至关重要。
数学物理方法归纳总结
数学物理方法归纳总结在数学和物理领域，人们经常使用各种数学方法来解决复杂的问题。
这些数学方法不仅能够帮助我们理解自然界的规律，还可以应用于各种实际情况中。
本文将对数学物理方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1.微积分方法微积分是数学中的一门重要学科，它包括微分和积分两个方面。
微积分方法在物理学中的应用非常广泛。
例如，在研究物体的运动过程中，我们可以使用微积分方法求解物体的速度、加速度等相关问题。
微积分方法还可以用于求解曲线的斜率、曲率等问题，进一步帮助我们理解物理现象。
2.矢量分析方法矢量分析方法主要应用于描述和分析空间中的物理量。
在物理问题中，许多物理量都是有方向和大小的，通过使用矢量分析方法，我们可以更好地理解其性质和变化规律。
例如，通过计算力的合成与分解，可以求解力的平衡问题；利用矢量叉乘可以得到磁场强度的方向等。
3.微分方程方法微分方程是数学中的一种重要方程形式，它描述了变量之间的关系随时间、空间或其他独立变量的变化情况。
微分方程方法在物理学中应用广泛，常用于描述动力学、电磁场、波动等问题。
通过建立适当的微分方程模型，我们可以求解各种物理现象的演化过程。
4.矩阵方法矩阵方法是一种通过线性代数的理论和技巧来处理物理问题的数学方法。
在量子力学中，矩阵方法广泛应用于描述和计算粒子的能量、波函数、自旋等性质。
矩阵方法可以简化复杂的计算过程，帮助人们更好地理解量子力学中的各种现象。
5.概率统计方法概率统计方法是数学中研究随机事件规律和数据分析的一种数学方法。
在物理学中，概率统计方法可以用于解释微观粒子运动的不确定性、描述热力学系统的行为等。
概率统计方法可以帮助我们预测和分析物理现象中的随机因素，并进行相应的量化处理。
6.变分法变分法是一种用于求解最值问题的数学方法。
在物理学中，变分法常用于描述系统的最小作用量原理以及拉格朗日力学中的运动方程。
通过对物理量的变分求解，我们可以得到系统的稳定状态、系统的能量变化等重要信息。
数学物理方法周明儒
数学物理方法周明儒
周明儒，是中国数学物理学家，1969年生于中国浙江省绍兴市。
他毕业于浙江大学数学系，并在该校获得博士学位。
他目前是美国马里兰大学物理系的哈德逊教授。
周明儒的研究领域主要是数学物理和量子场论。
他在这些领域的研究涉及到数学家的点集拓扑学、庞加莱群的量子场论、超对称代数的表示论等方面。
他提出了一种新的模和自由场的相关数学模型，称为"周模"。
周明儒的一些重要成果包括发现了数学物理和量子场论之间的联系，提出了用拓扑方法来研究物理系统的新思路，并在代数几何和数学物理领域发表了多篇著名论文。
他还是国际数学物理学会的成员，并在该组织的研讨会上发表过许多演讲。
周明儒在数学物理领域的研究成果使他在国际学术界获得了广泛的认可和赞誉。
他的工作为解决一些物理学和数学领域的难题提供了新的思路和方法，并对数学物理学的发展产生了重要影响。
《数学物理方法概论》课件
与工程领域的交叉研究，将为解决实际工程问题提供更加精准和高效的算 法和模型。
与经济、金融等领域的交叉研究，将为各行业的决策和预测提供更加科学 和可靠的支持。
05 案例分析
弦振动方程的求解与分析
弦振动方程的建立
基于物理背景，通过拉格朗日方程和哈密顿 原理推导弦振动方程。
弦振动方程的求解
利用分离变量法、积分变换法等数学技巧求 解弦振动方程。
02 数学物理方程的建立与求 解
微分方程的建立
总结词
描述微分方程的建立过程
详细描述
微分方程是描述物理现象变化规律的重要工具。在建立微分方程时，需要先对物理现象进行观察和抽 象，找出影响现象的关键因素，并建立相应的数学模型。然后通过数学推导，将模型转化为微分方程 的形式。
偏微分方程的建立
总结词
描述偏微分方程的建立过程
投资组合优化
数学物理方法在投资组合优化领域用于确定最 优投资组合。
金融衍生品定价
数学物理方法在金融衍生品定价领域用于确定衍生品价格和制定交易策略。
04 数学物理方法的展望与挑 战
数学物理方法的未来发展方向
数学物理方法将进一步与计算机科学、人工智 能等新兴领域结合，发展出更加智能化的算法 和模型。
、解释和预测自然现象。
抽象性
使用数学语言描述物理现象，需要一定的 抽象思维。
跨学科性
融合数学和物理学知识，提供多角度分析 问题的视角。
应用广泛性
适用于各种物理领域，如力学、电磁学、 热学等。
数学物理方法的重要性
理论意义
促进数学和物理学的发展，加深对自然现象本质的认 识。
实践意义
为解决实际问题提供有效工具，如工程设计、实验数 据分析等。
与经济、金融等领域的交叉研究，将为各行业的决策和预测提供更加科学 和可靠的支持。
05 案例分析
弦振动方程的求解与分析
弦振动方程的建立
基于物理背景，通过拉格朗日方程和哈密顿 原理推导弦振动方程。
弦振动方程的求解
利用分离变量法、积分变换法等数学技巧求 解弦振动方程。
02 数学物理方程的建立与求 解
微分方程的建立
总结词
描述微分方程的建立过程
详细描述
微分方程是描述物理现象变化规律的重要工具。在建立微分方程时，需要先对物理现象进行观察和抽 象，找出影响现象的关键因素，并建立相应的数学模型。然后通过数学推导，将模型转化为微分方程 的形式。
偏微分方程的建立
总结词
描述偏微分方程的建立过程
投资组合优化
数学物理方法在投资组合优化领域用于确定最 优投资组合。
金融衍生品定价
数学物理方法在金融衍生品定价领域用于确定衍生品价格和制定交易策略。
04 数学物理方法的展望与挑 战
数学物理方法的未来发展方向
数学物理方法将进一步与计算机科学、人工智 能等新兴领域结合，发展出更加智能化的算法 和模型。
、解释和预测自然现象。
抽象性
使用数学语言描述物理现象，需要一定的 抽象思维。
跨学科性
融合数学和物理学知识，提供多角度分析 问题的视角。
应用广泛性
适用于各种物理领域，如力学、电磁学、 热学等。
数学物理方法的重要性
理论意义
促进数学和物理学的发展，加深对自然现象本质的认 识。
实践意义
为解决实际问题提供有效工具，如工程设计、实验数 据分析等。
数学物理方法 经典
数学物理方法经典
数学物理方法是指应用数学的理论和技巧来解决物理问题的方法。
经典数学物理方法是指在经典物理理论框架下使用数学的方法来分析和解决物理问题。
经典数学物理方法涵盖了多个数学分支，包括微积分、线性代数、微分方程等。
其中微积分是应用最广泛的数学工具之一，它可以用来描述物体的运动、力的作用等，提供了求导、积分、微分方程等方法来解决物理问题。
线性代数则用于描述物体在空间中的位置、方向等，通过矩阵和向量的运算来推导和求解物理问题。
微分方程是数学物理中最重要的工具之一，它描述了物理量随时间和空间变化的关系，可以作为模型的基础来解决各种物理问题。
经典数学物理方法在解决一些基本的物理问题，如平抛运动、受迫振动、电场中的电荷分布等方面非常有效。
它们可以通过数学的形式化和推导来得到精确的解析解，从而提供了对物理现象的深入理解和预测能力。
然而，在一些更加复杂和抽象的物理问题中，经典数学物理方法可能会遇到困难。
这时，需要借助更高级的数学和物理工具，如量子力学、场论、复变函数等来解决。
但经典数学物理方法仍然是学习和理解这些高级理论的重要基础。
高中物理张展博十二通解
高中物理张展博十二通解物理作为一门自然科学，是研究物质的运动和相互关系的学科。
而高中物理作为物理学的入门课程，主要是为了培养学生的科学思维和解决问题的能力。
在学习过程中，我们接触到了许多物理定律和公式，其中张展博十二通解是高中物理中的重要内容之一。
张展博十二通解，即张展博解法的十二个基本问题。
这十二个问题涵盖了高中物理中常见的物理问题类型，通过解答这些问题，可以帮助我们更好地理解和应用物理知识。
第一个问题是“求物体在匀变速直线运动中的位移和速度”。
在这个问题中，我们需要知道物体的初速度、加速度和运动时间，通过运用位移公式和速度公式，可以求得物体在匀变速直线运动中的位移和速度。
第二个问题是“求物体在自由落体运动中的位移和速度”。
自由落体运动是指物体在重力作用下自由下落的运动，其加速度恒定为重力加速度g。
通过运用自由落体运动的位移公式和速度公式，可以求得物体在自由落体运动中的位移和速度。
第三个问题是“求物体在竖直上抛运动中的位移和速度”。
竖直上抛运动是指物体沿竖直方向抛出后上升再下落的运动。
通过利用竖直上抛运动的位移公式和速度公式，可以求得物体在竖直上抛运动中的位移和速度。
第四个问题是“求物体在水平抛体运动中的位移和速度”。
水平抛体运动是指物体在水平方向抛出后的运动，竖直方向上受重力作用而运动。
通过利用水平抛体运动的位移公式和速度公式，可以求得物体在水平抛体运动中的位移和速度。
第五个问题是“求物体在平抛运动中的位移和速度”。
平抛运动是指物体在一定角度上抛后的运动，既有水平方向上的运动，也有竖直方向上的运动。
通过利用平抛运动的位移公式和速度公式，可以求得物体在平抛运动中的位移和速度。
第六个问题是“求物体在圆周运动中的位移和速度”。
圆周运动是指物体在圆轨道上做的运动，如绕圆轨道做匀速运动、圆周运动等。
通过利用圆周运动的位移公式和速度公式，可以求得物体在圆周运动中的位移和速度。
第七个问题是“求物体在简谐振动中的位移和速度”。
数学物理方法
数学物理方法数学物理方法是一门研究数学在物理学中应用的学科，它是物理学和数学的交叉领域，是理论物理学的重要组成部分。
数学物理方法的研究对象是物理学中的各种问题，包括经典力学、电磁学、热力学、量子力学等。
数学物理方法的应用范围非常广泛，涉及到许多领域，如天体物理学、凝聚态物理学、粒子物理学等。
数学物理方法主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具的应用。
其中，微分方程是数学物理方法中最为重要的工具之一。
微分方程描述了自然界中许多现象的规律，如运动、波动、扩散等。
在物理学中，许多基本定律和方程都可以用微分方程来描述，因此微分方程在数学物理方法中具有非常重要的地位。
另一个重要的数学工具是变分法，它是研究变分问题的数学方法。
在物理学中，很多问题可以用最小作用量原理来描述，而最小作用量原理可以通过变分法来求解。
变分法在经典力学、场论、量子力学等领域都有重要的应用。
群论是研究代数结构的一个分支，它在物理学中也有广泛的应用。
群论可以用来描述对称性，而对称性是物理学中一个非常重要的概念。
在粒子物理学中，群论被用来描述基本粒子的性质和相互作用；在固体物理学中，群论被用来描述晶体结构的对称性。
复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在物理学中也有重要的应用。
复变函数可以用来描述电磁场、量子力学中的波函数等物理现象。
在量子力学中，复变函数的概念是非常重要的，它可以用来描述微观粒子的运动状态。
总的来说，数学物理方法是物理学中不可或缺的一部分，它为物理学家提供了丰富的数学工具和方法，帮助他们理解和解决物理学中的各种问题。
数学物理方法的研究不仅推动了物理学的发展，也促进了数学的发展。
随着现代物理学的不断发展，数学物理方法的重要性将会变得越来越突出，它将继续发挥着重要的作用。
经典数学物理方法
经典数学物理方法
经典数学物理方法是指在数学和物理学交叉领域中使用的一些经典的数学方法和技巧。
这些方法包括微积分、线性代数、微分方程、复变函数、概率论和统计学等。
这些方法在物理学领域中被广泛应用，用于解决各种物理问题，从经典力学到量子力学，从电磁学到热力学等等。
一些经典数学物理方法包括：
1. 微积分：微积分是研究变化的数学分支，包括微分和积分。
在物理学中，微积分被用来描述运动、力学、能量和动量等概念。
2. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，在物理学中被用来描述多维空间中的运动、波动和量子力学中的态。
3. 微分方程：微分方程是研究函数和其导数之间关系的方程，被广泛应用于描述物理系统的演化和动力学。
4. 复变函数：复变函数是研究包含复数的函数的数学分支，被用来描述电磁波的传播和量子力学中的波函数等现象。
5. 概率论和统计学：概率论和统计学被应用于描述微观粒子行为的概率分布、热力学系统中的热力学性质和量子力学中的量子态等现象。
这些经典数学物理方法为解决物理问题提供了强大的数学工具和框架，对于理解自然界的运行机制和发展新的物理理论都起着至关重要的作用。
数学物理方法
数学物理方法
在许多科学领域，特别是数学和物理学中，有许多强大的方法和技巧可用于解决各种问题。
这些方法通常以数学为基础，并被广泛应用于理论和实践中。
一种常用的数学方法是微积分。
微积分是研究函数及其性质的数学分支，广泛应用于物理学中。
通过求导和积分，我们可以得到函数的斜率、最大值、最小值以及曲线下的面积等重要信息。
另一个重要的数学工具是线性代数。
线性代数研究向量空间和线性变换的性质。
在物理学中，线性代数常用于描述物理系统的变换和相对关系。
概率论和统计学也是数学物理中经常使用的方法。
通过概率论，我们可以描述随机事件的发生概率，并对其进行建模和预测。
统计学则通过收集和分析数据来推断总体的特征和规律。
在物理学中，还有许多其他的数学工具和技术被广泛应用。
例如，微分方程用于描述自然界中的变化和运动；复数分析在电磁学和量子力学等领域中发挥重要作用；变分法用于求解极值问题等等。
总的来说，数学和物理学密不可分，数学提供了解决问题的工具和框架，而物理学为数学提供了实际应用的背景和意义。
通过运用数学方法，我们可以更深入地理解物理现象并解决各种科学问题。
数学物理方法梁昆淼
数学物理方法梁昆淼
数学物理方法是一门研究数学在物理学中的应用的学科，它涉及了许多数学工
具和技巧在解决物理问题中的应用。
在物理学中，数学物理方法被广泛应用于描述和解释自然现象，从微观粒子到宇宙尺度的各种现象都可以用数学物理方法来描述和解释。
梁昆淼教授作为数学物理方法的专家，他在这一领域有着丰富的研究经验和深厚的理论功底，为我们提供了许多宝贵的学习资源和指导。
在数学物理方法中，最常用的数学工具包括微积分、线性代数、复变函数、常
微分方程、偏微分方程等。
这些数学工具在物理学中的应用非常广泛，例如微积分可以用来描述物体的运动和变化，线性代数可以用来描述量子力学中的态矢和算符，复变函数可以用来描述电磁场的分布，常微分方程和偏微分方程可以用来描述物理系统的演化和行为等等。
梁昆淼教授在这些数学工具的应用方面有着丰富的经验，他的研究成果为我们理解和应用这些数学工具提供了很多帮助。
除了基本的数学工具之外，数学物理方法还涉及了许多高级的数学理论和技巧，如泛函分析、群论、微分几何、复流形等。
这些数学理论和技巧在物理学中的应用往往需要更深入的数学功底和理论基础，梁昆淼教授在这些方面也有着很深的造诣，他的研究成果为我们理解和应用这些高级数学理论和技巧提供了很多启发和指导。
总的来说，数学物理方法是物理学中不可或缺的一部分，它为我们理解和解释
自然现象提供了强大的数学工具和技巧。
梁昆淼教授作为数学物理方法的专家，他的研究成果为我们理解和应用数学物理方法提供了很多帮助和指导。
希望我们可以借助梁昆淼教授的研究成果，更好地掌握和应用数学物理方法，为推动物理学的发展做出更大的贡献。
数学物理方法 柯朗
数学物理方法柯朗
数学物理方法，也称作柯朗方法，是一种使用数学工具来解决物理问题的方法。
这种方法由英国数学家威廉·柯朗在20世纪初期提出，并在物理学界广受欢迎。
柯朗方法的基本思想是，通过使用数学方法来描述物理现象，并利用这些数学模型来解决物理问题。
例如，在力学领域，可以使用微积分的工具来描述运动轨迹，并利用能量守恒定律来求解动能和势能的变化。
在电磁学领域，可以使用微积分的工具来描述电场和磁场的分布，并利用电磁感应定律来求解电流和电动势的变化。
柯朗方法的优点在于，它可以提供精确的数学描述，使得物理问题的解决更加精确。
此外，柯朗方法还可以帮助人们理解物理现象的本质，从而为进一步的研究和应用奠定基础。
不过，柯朗方法也有一定的局限性。
首先，它只适用于那些可以用数学描述的物理现象，对于一些抽象、复杂的物理现象可能难以应用。
其次，柯朗方法在求解复杂物理问题时，可能需要使用高级数学工具，对于那些不熟悉数学的人来说可能会有一定的难度。
因此，在使用柯朗方法时，需要有较好的数学基础。
尽管如此，柯朗方法仍然是物理学研究的重要工具之一。
它在解决各种物理问题中发挥着不可替代的作用，并且在不断发展和完善的过程中，将为人类的科学研究和技术进步做出更大的贡献。
经典数学物理方法
经典数学物理方法
1. 微积分
微积分是数学中最基本和最重要的工具之一，它对物理学的发展发挥了重要作用。
微积分是研究函数的变化和变化率的数学工具，可用于解决许多物理问题，如速度、加速度、力、功等等。
2. 线性代数
线性代数研究矩阵的性质、向量空间和线性变换等问题，是解决许多物理问题的有力工具。
线性代数在量子力学、统计力学、电磁学和其他领域中发挥了至关重要的作用。
3. 微分方程
微分方程是解决许多物理问题的重要工具。
微分方程是描述物理系统演化的数学工具，如动力学、热力学、流体力学和电动力学等。
4. 计算机模拟
现代计算机模拟技术可以用于解决许多复杂的物理问题，如流体动力学、量子力学等。
计算机模拟技术可以通过数值方法解决微分方程和概率问题。
这种技术可
以用于验证和验证理论模型，预测物理系统的行为。
5. 群论
群论是研究代数系统的数学分支，尤其是通过群变换描述对称性的数学分支。
在物理学中，群论被广泛应用于描述物理系统的对称性，如粒子物理、场论、凝聚态物理等。
6. 变分法
变分法是一种数学方法，可用于寻找函数的自然极值，以及求解微分方程的特解。
这种技术已被广泛应用于物理学中，如量子力学、天体物理学等。
变分法被认为是数学物理方法中最重要的方法之一。
7. 傅里叶分析
傅里叶分析是一种数学工具，可将任何复杂的周期函数分解成若干简单的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶分析在物理学和工程学中应用广泛，用于分析振动、波动、信号等。
数学物理方法课件 第七章
第二篇数学物理方程第七章 数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。
一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。
这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。
在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类 ——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。
当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。
因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。
这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。
——P135⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
数学物理方法 考研教材
数学物理方法考研教材
数学物理方法是一门重要的数学课程，广泛应用于物理、工程和科学等领域。
在考研中，数学物理方法也是很多专业必考的内容之一。
以下是一些常用的数学物理方法考研教材：
1. 《数学物理方法》（第五版）梁昆淼著，高等教育出版社出版。
2. 《数学物理方法》（第二版）程守洙、江之永著，高等教育出版社出版。
3. 《数学物理方程》王竹溪、郭敦仁著，北京大学出版社出版。
4. 《复变函数论》（第二版）梁晋昌、陈仲英著，高等教育出版社出版。
这些教材都包含了数学物理方法的各个方面，如复变函数、积分方程、微分方程、特殊函数等等，适合考研生系统学习。
此外，根据考试大纲和考试内容，考生还需要针对性地学习一些其他教材和参考书。
数学物理方法总结
数学物理方法总结数学物理方法在物理学领域中扮演着非常重要的角色，它不仅仅是物理学家的工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
数学物理方法的应用涉及到了许多领域，包括经典力学、电磁学、热力学、量子力学等。
本文将对数学物理方法进行总结，以便对这些方法有一个全面的了解。
首先，我们来谈谈在经典力学中的数学物理方法。
在经典力学中，微积分和微分方程是非常重要的工具。
微积分通过对函数的积分和导数运算，可以描述物体的运动和力学系统的行为。
而微分方程则可以用来描述物体的运动规律，比如牛顿第二定律就可以用微分方程来描述。
此外，拉格朗日力学和哈密顿力学也是经典力学中重要的数学物理方法，它们可以通过变分原理和哈密顿原理来描述物体的运动。
其次，我们来看看在电磁学中的数学物理方法。
在电磁学中，矢量分析和电磁场方程是非常重要的数学工具。
矢量分析可以用来描述电场和磁场的分布和性质，而电磁场方程则可以用来描述电磁场的行为，比如麦克斯韦方程组可以描述电磁波的传播。
此外，复数和调和函数也是电磁学中常用的数学工具，它们可以简化电磁场的计算过程。
再者，我们来讨论一下在热力学中的数学物理方法。
在热力学中，统计物理和热力学定律是非常重要的数学物理方法。
统计物理可以用来描述大量粒子系统的性质，比如玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布可以用来描述气体中粒子的分布。
而热力学定律则可以用来描述热量和功的转化，比如热力学第一定律可以用来描述热力学系统的能量守恒。
最后，我们来看看在量子力学中的数学物理方法。
在量子力学中，线性代数和波动方程是非常重要的数学工具。
线性代数可以用来描述量子态的性质，比如态矢量和算符可以用来描述量子系统的性质。
而波动方程则可以用来描述波函数的行为，比如薛定谔方程可以用来描述量子系统的演化。
综上所述，数学物理方法在物理学中扮演着非常重要的角色，它们不仅仅是工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
通过对数学物理方法的总结，我们可以更好地理解物理学中的各种现象和规律，为我们的科研工作提供更加丰富的思路和方法。
数学物理方法希尔伯特
数学物理方法希尔伯特一、数学逻辑的奠基者希尔伯特在数学逻辑的发展方面起到了奠基者的作用。
他提出了一套形式化的数学逻辑系统，被称为希尔伯特的公理化方法。
这个方法将数学建立在一组严格的公理上，通过逻辑推理来推导出数学定理。
希尔伯特的公理化方法为数学的严谨性和一致性提供了坚实的基础，对整个数学体系的发展起到了重要的推动作用。
二、希尔伯特的证明论希尔伯特在数学基础领域的另一个重要贡献是他对证明论的研究。
他提出了希尔伯特的证明论，旨在研究数学证明的结构和方法。
希尔伯特认为，数学证明应该是一个完全形式化的过程，可以通过一系列逻辑推理步骤来展示。
他的证明论研究了证明的形式系统和证明的正确性，为数学证明的理论奠定了基础。
三、希尔伯特空间在物理学中，希尔伯特空间是以希尔伯特命名的。
希尔伯特空间是一种完备的内积空间，它是量子力学中描述物理系统的基本数学结构。
希尔伯特空间的引入使得量子力学可以进行数学上的严格推导，成为现代物理学的重要基础。
希尔伯特空间的概念不仅在量子力学中发挥重要作用，也在其他领域如信号处理、图像处理等方面有广泛的应用。
四、希尔伯特曲线希尔伯特曲线是一种具有非常奇特性质的连续曲线。
这条曲线是通过一种递归的构造方法得到的，具有无限长度但却完全填满单位正方形。
希尔伯特曲线的研究对于理解连续性和收敛性等数学概念有重要意义，也在计算机图形学和数据压缩等领域有实际应用。
五、希尔伯特问题希尔伯特问题是指数学家大卫·希尔伯特在1900年提出的23个未解决的数学问题。
这些问题涉及数论、代数、几何和分析等各个数学领域，对于推动数学的发展起到了巨大的激励作用。
虽然目前有一些问题已经被解决，但仍有一些问题至今仍未解决，成为数学家们努力攻克的难题。
希尔伯特作为一位杰出的数学家和物理学家，对数学和物理学的发展做出了重要贡献。
他的数学逻辑和证明论研究为数学的严谨性提供了基础，希尔伯特空间和希尔伯特曲线在物理学和计算机科学中有广泛应用。
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x=l
k u0 E
12.3
稳定问题
波动方程包含对时间的二次偏导数, 热传导或扩散方程则包含对时间的一次偏导数, 它们都是描写连续介质 的物理状态随时间的变化. 当介质达到稳恒的物理状态, 即物理状态不随时间改变时, 稳恒的物理状态满足的 偏微分方程不包含时间变量. 此即稳定问题. 例如, 物体温度达到稳定, 不随时间变化时 u(x, y, z, t) = u(x, y, z ) 则 −κ∇2 u = f ∇2 u = − 为 Poisson 方程. 特别地, 如果 f = 0 ∇2 u = 0 (11) 为 Laplace 方程. 相同的方程, 出现在波动方程的稳定问题中. 例如静电场的电势 u(x, y, z ) 不随时间改变, 满足 Poisson 方 程 ρ ∇2 u = −
u
u + du
x
x + dx
Solution 取杆长方向为 x 轴方向, 杆上各点均用其平衡位置的 x 坐标标记. 在时刻 t, x 点偏离平衡位置的 位移为 u(x, t). 在杆上隔离出一小段 (x, x + dx). 设 P (x, t) 为 x 点在 t 时刻, 单位面积所收到的弹性力 (应 力), 则 ∂2u P (x + dx, t)S − P (x, t)S = dm 2 ∂t 2
ω 为频率. 则 v (x, y, z ) 满足 Helmholtz 方程 ∇2 v (x, y, z ) + k 2 v (x, y, z ) = 0 k=
ω a
(12)
为波数.
5
12.4
边界条件与初始条件
初始条件 研究质点的性质时, 单由微分方程, 并不能求出质点性质随时间的变化— 即任何时刻质点的性质. 例如, 根据 Newton 定律并不能确定质点的运动— 它在任意时刻的位置和速度, 我们还需要知道质点的初始位置和 初始速度. 对于描述介质运动的偏微分方程, 同样需要给出介质的初始状态, 才能决定介质以后任意时刻的物理状态. 介质的初始状态即由初始条件给出. 对于波动方程, 它是关于时间的二阶偏微分方程, 所以应该给出介质初始时刻各点的位移 u|t=0 = φ(x, y, z ) 和初始时刻各点的速度, 即对时间的一阶偏导数 ∂u ∂t = ψ (x, y, z )
x 先看 dt 时间内沿 x 方向流入立方体的热量 [(qx )x − (qx )x+dx ]dy dz dt = = 对于均匀介质, k 为一常数 [(qx )x − (qx )x+dx ]dy dz dt = k 同理, dt 时间内沿 y 方向流入立方体的热量 k dt 时间内沿 z 方向流入立方体的热量 k ∂2u dxdy dz dt ∂y 2 ∂2u dxd ∂x − k
根据 Hooke 定律 P =E 所以 ∂u ∂x 如果 x = l 端是自由的, F (t) = 0, 则 ∂u ∂x 如果外力为弹簧提供的弹性力, =
x=l
∂u ∂x 1 F (t) E (14)
=0
x=l
(15)
F (t) = −k [u(l, t) − u0 ] u0 为端点的平衡位移, 则 k ∂u + u ∂x E 再举一个三维例子, 其边界为一闭合曲面. Example 12.6 Solution 热传导问题 第一种类型是边界上各点的温度已知 (由外界给定) u|Σ = φ(Σ, t) (17) =
12
数学物理方程和定解条件
数学物理方程通常指从物理学及其它学科中所产生的偏微分方程. 如果处理的问题可以当成质点, 则质点的物理性质(如质点的位置, 速度等)完全可以用数来表示, 质点的 物理性质随时间的变化则是时间的函数, 其变化的规律则为对时间的常微分方程 (如牛顿定律). 但实际的问 题常常是所谓介质, 它充满空间的每一个点. 我们用坐标 (如直角坐标 (x, y, z )) 来表示介质的每一个点, 则介 质的性质当然表示成为坐标的函数 (如温度 u(x, y, z )). 介质的性质随时间的变化则表为坐标和时间的函数 (如 u(x, y, z, t)), 其变化的规律就是偏微分方程.
x+dx
∂u ∂x
dy dz dt
x
dxdy dz dt
∂2u dxdy dz dt ∂x2
如果立方体内没有其它的热量来源或消耗, 则净流入的热量应等于立方体温度升高所需要的热量 k ∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z dxdy dz dt = dm · c · du
c 为比热. dm = ρdxdy dz , ρ 是介质的密度. 所以 k ∇2 udxdy dz dt = ρcdxdy dz du 令 κ= 则有热传导方程 ∂u − κ∇2 u = 0 ∂t κ 称为温度扩散率. 4 (8) k ρc
Solution 取弦的平衡位置为 x 轴, 且令一个端点为 x = 0, 另一个端点为 x = l. 设 u(x, t) 是坐标为 x 的弦 上一点在 t 时刻的横向位移. 在弦上隔离出一小段 dx. 这一小段弦在两个端点 x 及 x + dx 处受到张力作用分别为 T1 , T2 , 与水平方 向的夹角 θ1 , θ2 . 因为弦是完全柔软的, 故张力的方向沿着弦的方向. 列出运动方程 水平方向: T2 cos θ2 − T1 cos θ1 = 0 垂直方向: T2 sin θ2 − T1 sin θ1 = dm 在小振动条件下 θ∼0 cos θ ≈ 1 sin θ ≈ tan θ = 由 (1) T1 = T2 = T 代入 (2) T ∂u ∂x −
∂u ∂x
(3)
du2 + dx2 − dx 1+ ∂u ∂x
2
1 − 1 dx ≈ 2 ∂u ∂x
2
dx
的一级项 ds ≈ 0
因此按照 Hooke 定律, 长度不变, 则张力 T 不随时间变化. 所以在振动方程中, T 为常数, a 为常数. 弦的受迫横振动 如果弦在横向还受到外力作用, 设 f 为单位长度所受到的外力. u f dx T ( x + d x) u(x + dx) u(x) θ2 θ1 T (x) O 仿照前面推导 T 这时, 方程含有非齐次项 x x + dx x
x+dx
(1) ∂ u ∂t2
2
(2)
∂u ∂x
∂u ∂x
=T
x
∂2u ∂2u d x = ρ dx ∂x2 ∂t2
其中 dm = ρdx, ρ 为弦的线密度 (单位长度的质量). 定义 a= T ρ 1
得方程 ∂2u ∂2u − a2 2 = 0 2 ∂t ∂x T 与 x 无关. 在小振动时, 还可以证明张力 T 与 t 无关. 因为这一段弦的伸长为 ds = = 在小振动近似下, 准确到
k 为介质的导热率. 此即 Fourier 定律. 或写成矢量形式 q = −k ∇ u 热流密度矢量 q 与温度梯度 ∇u 成正比. 3 (7)
现推导热传导方程. 设想在介质中隔离出一个小立方体, 立方体的边长分别为 dx, dy , dz , 六条边分别与 坐标轴平行. z
dz dy dx y
dm = ρS dx, ρ 为杆的密度. 于是
∂P ∂2u S dx = ρ 2 S dx ∂x ∂t ∂P ∂2u =ρ 2 ∂x ∂t
小振动时, 根据 Hooke 定律, 应力 P 与应变 (单位长度的伸长) P =E E 为杆的 Young 模量. 可得杆的纵振动方程
2 ∂2u 2∂ u − a =0 ∂t2 ∂x2
12.2
传导和扩散
Example 12.3 (热传导方程) 设有一块连续介质, 如果温度不均匀, 在介质中有一定的温度差, 就一定会有 热量从高温部分传递到低温部分. 通过热量传递使各处温度趋于一致, 最终达到热平衡. Solution 取定一直角坐标系, 并用 u(x, y, z, t) 表示介质内坐标为 (x, y, z ) 的点在 t 时刻的温度. 实验表明, 单位时间内通过垂直于 x 方向单位面积的热量 qx 与温度在 x 方向的变化率 ∂u ∂x 成正比 qx = −k 同理 qy = −k ∂u ∂y ∂u q z = −k ∂z ∂u ∂x
0
f κ
(10)
ρ 为电荷密度,
0
为真空介电常数. 若 ρ = 0, 则静电势满足 Laplace 方程 ∇2 u = 0
此外, 如果波动方程 ∂2u − a2 ∇2 u = 0 ∂t2 如果 u(x, y, z, t) 随时间周期地改变 u(x, y, z, t) = v (x, y, z )e−iωt
∂2u ∂2u dx + f dx = ρ 2 dx 2 ∂x ∂t
2 ∂2u f 2∂ u − a = 2 2 ∂t ∂x ρ
(4)
其中非齐次项
f ρ
是单位质量所受外力. 考虑一均匀细杆, 沿杆长方向作小振动. P (x, t)S P (x + dx, t)S
Example 12.2 (杆的纵振动)
同样, 如果介质内存在别种不均匀状况, 例如物质浓度的不均匀, 会发生分子的扩散. 扩散方程和热传导 方程有相同的形式. 此时κ 换成 D, 称为扩散率. 如果介质内有热量产生, 例如有化学反应发生或通有电流等等. 设单位时间内在单位体积内产生的热量为 F (x, y, z, t), 则应有 k ∇2 udxdy dz dt + F (x, y, z, t)dxdy dz dt = ρcdxdy dz du 这时的方程又是含有非齐次项 1 ∂u − κ∇2 u = F (x, y, z, t) ≡ f (x, y, z, t) ∂t ρc (9)
t=0
对 于 热 传 导 方 程, 由 于 方 程 中 只 出 现 对 t 的 一 阶 偏 导 数, 所 以 初 始 条 件 只 需 给 出 初 始 时 刻 各 点 温 度 u(x, y, z ) 的值 u|t=0 = φ(x, y, z ) 稳定问题与时间无关, 则没有初始条件. 边界条件 对于介质, 情况比质点还要复杂: 除了初始条件, 还需要有边界条件. 这是因为介质有内部和表面. 在推导 介质满足的数理方程时, 只考虑了介质内部的点. 介质表面的点与介质内部的点不同: 首先, 它只在一侧与介 质内其它点相互作用; 其次, 在另一侧与外界有相互作用. 因此介质表面所满足的方程与介质内部所满足的方 程不同, 应另外推导. 我们把介质表面各点满足的方程称为边界条件. 先以一维振动为例, 其边界由两端点组成. Example 12.4 Solution 弦的横振动 如果弦的两端 (由外界) 固定, 那么边界条件就是 u|x=0 = 0 u|x=l = 0
k u0 E
12.3
稳定问题
波动方程包含对时间的二次偏导数, 热传导或扩散方程则包含对时间的一次偏导数, 它们都是描写连续介质 的物理状态随时间的变化. 当介质达到稳恒的物理状态, 即物理状态不随时间改变时, 稳恒的物理状态满足的 偏微分方程不包含时间变量. 此即稳定问题. 例如, 物体温度达到稳定, 不随时间变化时 u(x, y, z, t) = u(x, y, z ) 则 −κ∇2 u = f ∇2 u = − 为 Poisson 方程. 特别地, 如果 f = 0 ∇2 u = 0 (11) 为 Laplace 方程. 相同的方程, 出现在波动方程的稳定问题中. 例如静电场的电势 u(x, y, z ) 不随时间改变, 满足 Poisson 方 程 ρ ∇2 u = −
u
u + du
x
x + dx
Solution 取杆长方向为 x 轴方向, 杆上各点均用其平衡位置的 x 坐标标记. 在时刻 t, x 点偏离平衡位置的 位移为 u(x, t). 在杆上隔离出一小段 (x, x + dx). 设 P (x, t) 为 x 点在 t 时刻, 单位面积所收到的弹性力 (应 力), 则 ∂2u P (x + dx, t)S − P (x, t)S = dm 2 ∂t 2
ω 为频率. 则 v (x, y, z ) 满足 Helmholtz 方程 ∇2 v (x, y, z ) + k 2 v (x, y, z ) = 0 k=
ω a
(12)
为波数.
5
12.4
边界条件与初始条件
初始条件 研究质点的性质时, 单由微分方程, 并不能求出质点性质随时间的变化— 即任何时刻质点的性质. 例如, 根据 Newton 定律并不能确定质点的运动— 它在任意时刻的位置和速度, 我们还需要知道质点的初始位置和 初始速度. 对于描述介质运动的偏微分方程, 同样需要给出介质的初始状态, 才能决定介质以后任意时刻的物理状态. 介质的初始状态即由初始条件给出. 对于波动方程, 它是关于时间的二阶偏微分方程, 所以应该给出介质初始时刻各点的位移 u|t=0 = φ(x, y, z ) 和初始时刻各点的速度, 即对时间的一阶偏导数 ∂u ∂t = ψ (x, y, z )
x 先看 dt 时间内沿 x 方向流入立方体的热量 [(qx )x − (qx )x+dx ]dy dz dt = = 对于均匀介质, k 为一常数 [(qx )x − (qx )x+dx ]dy dz dt = k 同理, dt 时间内沿 y 方向流入立方体的热量 k dt 时间内沿 z 方向流入立方体的热量 k ∂2u dxdy dz dt ∂y 2 ∂2u dxd ∂x − k
根据 Hooke 定律 P =E 所以 ∂u ∂x 如果 x = l 端是自由的, F (t) = 0, 则 ∂u ∂x 如果外力为弹簧提供的弹性力, =
x=l
∂u ∂x 1 F (t) E (14)
=0
x=l
(15)
F (t) = −k [u(l, t) − u0 ] u0 为端点的平衡位移, 则 k ∂u + u ∂x E 再举一个三维例子, 其边界为一闭合曲面. Example 12.6 Solution 热传导问题 第一种类型是边界上各点的温度已知 (由外界给定) u|Σ = φ(Σ, t) (17) =
12
数学物理方程和定解条件
数学物理方程通常指从物理学及其它学科中所产生的偏微分方程. 如果处理的问题可以当成质点, 则质点的物理性质(如质点的位置, 速度等)完全可以用数来表示, 质点的 物理性质随时间的变化则是时间的函数, 其变化的规律则为对时间的常微分方程 (如牛顿定律). 但实际的问 题常常是所谓介质, 它充满空间的每一个点. 我们用坐标 (如直角坐标 (x, y, z )) 来表示介质的每一个点, 则介 质的性质当然表示成为坐标的函数 (如温度 u(x, y, z )). 介质的性质随时间的变化则表为坐标和时间的函数 (如 u(x, y, z, t)), 其变化的规律就是偏微分方程.
x+dx
∂u ∂x
dy dz dt
x
dxdy dz dt
∂2u dxdy dz dt ∂x2
如果立方体内没有其它的热量来源或消耗, 则净流入的热量应等于立方体温度升高所需要的热量 k ∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z dxdy dz dt = dm · c · du
c 为比热. dm = ρdxdy dz , ρ 是介质的密度. 所以 k ∇2 udxdy dz dt = ρcdxdy dz du 令 κ= 则有热传导方程 ∂u − κ∇2 u = 0 ∂t κ 称为温度扩散率. 4 (8) k ρc
Solution 取弦的平衡位置为 x 轴, 且令一个端点为 x = 0, 另一个端点为 x = l. 设 u(x, t) 是坐标为 x 的弦 上一点在 t 时刻的横向位移. 在弦上隔离出一小段 dx. 这一小段弦在两个端点 x 及 x + dx 处受到张力作用分别为 T1 , T2 , 与水平方 向的夹角 θ1 , θ2 . 因为弦是完全柔软的, 故张力的方向沿着弦的方向. 列出运动方程 水平方向: T2 cos θ2 − T1 cos θ1 = 0 垂直方向: T2 sin θ2 − T1 sin θ1 = dm 在小振动条件下 θ∼0 cos θ ≈ 1 sin θ ≈ tan θ = 由 (1) T1 = T2 = T 代入 (2) T ∂u ∂x −
∂u ∂x
(3)
du2 + dx2 − dx 1+ ∂u ∂x
2
1 − 1 dx ≈ 2 ∂u ∂x
2
dx
的一级项 ds ≈ 0
因此按照 Hooke 定律, 长度不变, 则张力 T 不随时间变化. 所以在振动方程中, T 为常数, a 为常数. 弦的受迫横振动 如果弦在横向还受到外力作用, 设 f 为单位长度所受到的外力. u f dx T ( x + d x) u(x + dx) u(x) θ2 θ1 T (x) O 仿照前面推导 T 这时, 方程含有非齐次项 x x + dx x
x+dx
(1) ∂ u ∂t2
2
(2)
∂u ∂x
∂u ∂x
=T
x
∂2u ∂2u d x = ρ dx ∂x2 ∂t2
其中 dm = ρdx, ρ 为弦的线密度 (单位长度的质量). 定义 a= T ρ 1
得方程 ∂2u ∂2u − a2 2 = 0 2 ∂t ∂x T 与 x 无关. 在小振动时, 还可以证明张力 T 与 t 无关. 因为这一段弦的伸长为 ds = = 在小振动近似下, 准确到
k 为介质的导热率. 此即 Fourier 定律. 或写成矢量形式 q = −k ∇ u 热流密度矢量 q 与温度梯度 ∇u 成正比. 3 (7)
现推导热传导方程. 设想在介质中隔离出一个小立方体, 立方体的边长分别为 dx, dy , dz , 六条边分别与 坐标轴平行. z
dz dy dx y
dm = ρS dx, ρ 为杆的密度. 于是
∂P ∂2u S dx = ρ 2 S dx ∂x ∂t ∂P ∂2u =ρ 2 ∂x ∂t
小振动时, 根据 Hooke 定律, 应力 P 与应变 (单位长度的伸长) P =E E 为杆的 Young 模量. 可得杆的纵振动方程
2 ∂2u 2∂ u − a =0 ∂t2 ∂x2
12.2
传导和扩散
Example 12.3 (热传导方程) 设有一块连续介质, 如果温度不均匀, 在介质中有一定的温度差, 就一定会有 热量从高温部分传递到低温部分. 通过热量传递使各处温度趋于一致, 最终达到热平衡. Solution 取定一直角坐标系, 并用 u(x, y, z, t) 表示介质内坐标为 (x, y, z ) 的点在 t 时刻的温度. 实验表明, 单位时间内通过垂直于 x 方向单位面积的热量 qx 与温度在 x 方向的变化率 ∂u ∂x 成正比 qx = −k 同理 qy = −k ∂u ∂y ∂u q z = −k ∂z ∂u ∂x
0
f κ
(10)
ρ 为电荷密度,
0
为真空介电常数. 若 ρ = 0, 则静电势满足 Laplace 方程 ∇2 u = 0
此外, 如果波动方程 ∂2u − a2 ∇2 u = 0 ∂t2 如果 u(x, y, z, t) 随时间周期地改变 u(x, y, z, t) = v (x, y, z )e−iωt
∂2u ∂2u dx + f dx = ρ 2 dx 2 ∂x ∂t
2 ∂2u f 2∂ u − a = 2 2 ∂t ∂x ρ
(4)
其中非齐次项
f ρ
是单位质量所受外力. 考虑一均匀细杆, 沿杆长方向作小振动. P (x, t)S P (x + dx, t)S
Example 12.2 (杆的纵振动)
同样, 如果介质内存在别种不均匀状况, 例如物质浓度的不均匀, 会发生分子的扩散. 扩散方程和热传导 方程有相同的形式. 此时κ 换成 D, 称为扩散率. 如果介质内有热量产生, 例如有化学反应发生或通有电流等等. 设单位时间内在单位体积内产生的热量为 F (x, y, z, t), 则应有 k ∇2 udxdy dz dt + F (x, y, z, t)dxdy dz dt = ρcdxdy dz du 这时的方程又是含有非齐次项 1 ∂u − κ∇2 u = F (x, y, z, t) ≡ f (x, y, z, t) ∂t ρc (9)
t=0
对 于 热 传 导 方 程, 由 于 方 程 中 只 出 现 对 t 的 一 阶 偏 导 数, 所 以 初 始 条 件 只 需 给 出 初 始 时 刻 各 点 温 度 u(x, y, z ) 的值 u|t=0 = φ(x, y, z ) 稳定问题与时间无关, 则没有初始条件. 边界条件 对于介质, 情况比质点还要复杂: 除了初始条件, 还需要有边界条件. 这是因为介质有内部和表面. 在推导 介质满足的数理方程时, 只考虑了介质内部的点. 介质表面的点与介质内部的点不同: 首先, 它只在一侧与介 质内其它点相互作用; 其次, 在另一侧与外界有相互作用. 因此介质表面所满足的方程与介质内部所满足的方 程不同, 应另外推导. 我们把介质表面各点满足的方程称为边界条件. 先以一维振动为例, 其边界由两端点组成. Example 12.4 Solution 弦的横振动 如果弦的两端 (由外界) 固定, 那么边界条件就是 u|x=0 = 0 u|x=l = 0