2019届河南省高考模拟试题精编(十一)理科数学(解析版)

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 1．（5分）若复数12()2aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．16 D ．16-2．（5分）已知集合{|34}M x x =-<„，2{|280}N x x x =--„，则( ) A ．M N R =U B ．{|34}M N x x =-<U „ C ．{|24}M N x x =-I 剟D ．{|24}M N x x =-<I „3．（5分）已知矩形ABCD 中，24BC AB ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足0MB MC u u u r u u u u rg …的概率是( ) A ．4π B ．44π- C ．2π D ．24π-4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[1-，1]上单调递增的是( ) A ．()|sin |f x x = B ．()e xf x lne x-=+ C ．1()()2x x f x e e -=-D ．2()(1)f x ln x x =+-5．（5分）在ABC ∆中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( )A ．1534B ．154 C ．2134 D ．3534 6．（5分）如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为( )A ．23B ．25C ．16D ．347．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y ++=上一点，则2||||MN MF +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．118．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,]36ππ-B ．7[,]412ππC ．[0，]3πD ．5[,]26ππ9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．2(32162165)π+B ．162(162165)π+C ．2(32322325)π+D ．162(163225)π+10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -中的底面为等腰直角三角形，AB AC ⊥，点M ，N 分别是边1AB ，1A C 上动点，若直线//MN 平面11BCC B ，点Q 为线段MN 的中点，则Q 点的轨迹为( )A ．双曲线的一支（一部分）B ．圆弧（一部分）C ．线段（去掉一个端点）D ．抛物线的一部分11．（5分）抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB∠=︒，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则|| || AB CD u uu ru u u r的最小值为()A．3B．1C．23D．212．（5分）已知函数23236,0()34,0x x xf xx x x⎧-+=⎨--+<⎩…，设{|(())0A x Z x f x a=∈-…，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为()A．31B．32C．33D．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知21()nxx+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x的系数为14．（5分）已知变量x，y满足240260x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„，则13yzx+=-的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春g长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春g长沙》与《清平乐g六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点(,)P x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=有下列判断：①函数()y f x=是偶函数；②对任意的x R∈，都有(2)(2)f x f x+=-③函数()y f x=在区间[2，3]上单调递减；④函数()y f x=的值域是[0，1]；⑤21()2f x dxπ+=⎰．其中判断正确的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{}n a 为等比数列，首项14a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=．()I 求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）令14nn n n c a b b +=+g ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分） 已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为15，点F 在PC 上移动．（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ． （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数()AQI ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．组数 分组 天数 第一组 [50，80) 3 第二组 [80，110) 4 第三组[110，140)4①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）设M 点为圆22:4C x y +=上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ．动点P 满足2PN =u u u r u u u r，动点P 的轨迹为E ．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线:l y kx m =+与曲线E 交于两点A ，(B A ，B 不是左右顶点），且满足||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．()I 当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且11x ≠时，总有21111(43)1alnx t x x x >+--成立，求t 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线221:(3)9C x y +-=，A 是曲线1C 上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，定点(4,0)M -，求MPQ ∆的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|32||22|()f x x a x a R =-+-∈． （Ⅰ）当12a =时，解不等式()6f x >； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立，求a 的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 【解答】解：Q 复数12(12)(2)22142(2)(2)55ai ai i a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a-+=，解得16a =． 故选：C ．【解答】解：Q 集合{|34}M x x =-<„，2{|280}{|24}N x x x x x =--=-剟?， {|34}M N x x ∴=-U 剟， {|24}M N x x =-<I „．故选：D ．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)B ，(4,0)C ，(0,2)A ，(4,2)D设(,)M x y ，则(,)MB x y =--u u u r ，(4,)MC x y =--u u u u r，由0MB MC u u u r u u u u rg …得：22(2)4x y -+…， 由几何概型可得：24184S p S ππ-==-=阴矩， 故选：B ．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()|sin |f x x =，为偶函数，不符合题意； 对于B ，()e x f x ln e x -=+，其定义域为(,)e e -，有()()e x e xf x ln ln f x e x e x+--==-=--+，为奇函数， 设21e x et e x x e-==-+++，在(,)e e -上为减函数，而y lnt =为增函数， 则()e xf x lne x-=+在(,)e e -上为减函数，不符合题意； 对于C ，1()()2x x f x e e -=-，有11()()()()22x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，为奇函数，且1()()02x x f x e e -'=+>，在R 上为增函数，符合题意；对于D，())f x ln x =，其定义域为R ，()))()f x ln x ln x f x -==-=-，为奇函数，设t x ==，y lnt =，t 在R 上为减函数，而y lnt =为增函数，则())f x ln x =在R 上为减函数，不符合题意； 故选：C ．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a ，则22222(4)(2)122013cos 2(4)(2)2121614a a a a a a a a a α+++-++===++++，解得3a =．Q 最小角α的余弦值为1314，∴sin α==∴11(4)(2)sin 3522ABC S a a α∆=⨯++=⨯=． 故选：A ．【解答】解：由题意及图，()(1)AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴2(1)5AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r ，又13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，故选：C ．【解答】解：由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为1(10F -，0)，2F ，(10，0)，由双曲线的定义可得211||2||6||MF a MF MF =+=+， 由圆22:(6)1E x y ++=可得(0,6)E -，半径1r =， 21||||6||||MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，可得1||||MN MF +取得最小值，且为1||6104EF =+=， 则则2||||MN MF +的最小值为6419+-=． 故选：B ．【解答】解：函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π， 则：T π=， 所以：2ω=将函数()f x 的图象向左平移6π后， 得到()sin(2)3g x x πθ=++是偶函数，故：()32k k Z ππθπ+=+∈，解得：()6k k Z πθπ=+∈，由于：22ππθ剟，所以：当0k =时6πθ=．则()sin(2)6f x x π=+，令：3222()262k x k k Z πππππ+++∈剟， 解得：2()63k x k k Z ππππ++∈剟， 当0k =时，单调递减区间为：2[,]63ππ，由于72[,][,]41263ππππ⊂，故选：B ．【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：18S =， 设中间的圆锥展开面的圆心角为n ，16π=， 解得：n =，所以圆锥的展开面的面积为S ==，所以：中间的圆锥的表面积为2168S π=+-， 同理得：下面的圆锥的表面积为316S π=+，所以总面积为：123(32S S S S π=++=+， 故选：A ． 【解答】解：如图当N 与C 重合，M 与1B 重合时，MN ⊂平面11BCC B ， MN 的中点为O ；当N 与1A 重合，M 与A 重合时，//MN 平面11BCC B ， MN 的中点为H ；一般情况，如平面//PQRK 平面11BCC B ，可得点M ，N ， 取MN 的中点D ，作DE KR ⊥于E ， NF KR ⊥于F ，易知，E 为KR 中点，且D 在OH 上， 故选：C ．【解答】解：设||AF a =，||BF b =， 由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||CD AQ BP a b ∴=+=+． 由余弦定理得，22222||2cos60AB a b ab a b ab =+-︒=+- 配方得，22||()3AB a b ab =+-， 又(ab Q „)2a b + 2， 222231()3()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+…得到1||()||2AB a b CD +=…．∴||1||AB CD u u u r u u u r …，即||||AB CD u u u r u u u r 的最小值为1． 故选：B ．【解答】解：0x A =∈Q ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出()f x 的图象如下图：当0x >时，()f x a …；当0x <时，()a f x …． 即y 轴左侧的图象在y a =下面，y 轴右侧的图象在y a =上面， f Q （3）39189=-⨯+=-，f （4）3162424=-⨯+=-，32(3)(3)3(3)44f -=---⨯-+=，32(4)(4)3(4)420f -=---⨯-+=， 平移y a =，由图可知：当249a -<-„时，{1A =，2，3}，符合题意； 0a =时，{1A =-，1，2}，符合题意；23a 剟时，{1A =，1-，2}-，符合题意； 420a <„时，{1A =-，2-，3}-，符合题意；∴整数a 的值为23-，22-，21-，20-，19-，18-，17-，16-，15-，14-，13-，12-，11-，10-，9-，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的 【解答】解：令1x =，可得21()n x x +的展开式的各项系数和为264n =，6n ∴=，故22611()()n x x x x+=+的展开式的通项公式为3616r r r T C x -+=g ，令363r -=，可得3r =，故展开式中3x 的系数为3620C =， 故答案为：20．【解答】解：由变量x ，y 满足240260x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„作出可行域如图：(2,3)A ，24060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得8(3B ，10)3， 13y z x +=-的几何意义为可行域内动点与定点(3,1)D -连线的斜率． 31423DA k +==--Q ，101313833DBk +==--． 13y z x +∴=-的取值范围是[13-，4]-． 故答案为：[13-，4]-．【解答】解：《沁园春g 长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g 六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共144C =（种)选法 第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共52452472A A A -=g （种)排法， 第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以222A =即可，即六场的排法有4722144⨯÷=（种) 故答案为：144．【解答】解：当21x --剟，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， 当11x -剟时，P 的轨迹是以B 214圆， 当12x 剟时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆， 当34x 剟时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， ∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即(4)()f x f x +=，即(2)(2)f x f x +=-，故②正确； ③，函数()y f x =在区间[2，3]上单调递增， 故③错误；④，由图象可得()f x 的值域为[0，2]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知22201111()(2)11182422f x dx πππ=+⨯⨯+⨯=+⎰g ，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分 【解答】解：()I 数列{}n a 为等比数列，首项14a =，公比设为q ， 数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=， 即有212223log log log 12a a a ++=，2123log ()12a a a =，即31222a =， 即有216a =，4q =， 则4n n a =；（Ⅱ）22log log 4n n b a ==2n n =， 1411144(1)1n n n n n n c a b b n n n n +=+=+=-+++g ， 前n 项和11111(1)(4164)2231n n S n n =-+-+⋯+-+++⋯++ 14(14)1114n n -=-++-14413n n n +-=++． 【解答】证明：（Ⅰ）Q 四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点， AE PA ∴⊥，AE AD ⊥，PA AD A =Q I ，AE ∴⊥平面PAD ，Q 点F 在PC 上移动，AE ∴⊂平面AEF ，∴无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）直线EM 与平面PAD，点F 恰为PC 的中点时， 以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB =，AP x =，则E 0，0)，(0M ，1，)2x，1,)2xME =--u u u r ，平面PAD 的法向量(1n =r ，0，0)，|||cos ,|||||ME n ME n ME n ∴<>===u u u r ru u u r g r u u u r r g解得2x AP ==，C 1，0)，(0A ，0，0)，(0P ，0，2)，E 0，0)，1,1)2F ，AC =u u u r，AE =u u u r，1,1)2AF =u u u r ，设平面ACF 的法向量(n x =r，y ，)z ，则0102n AC y n AF y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r，0)， 设平面AEF 的法向量(m x =r，y ，)z ，则0102m AE m AF y z ⎧==⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取2y =，得(0m =r ，2，1)-， 设二面角C AF E --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ===r rg r r g ．∴二面角C AF E --．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则 742114521189x ⨯+⨯+=⨯，解得172x =；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天， 则该校周日去进行社会实践活动的概率为183305P ==； ②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3；计算318330204(0)1015C P X C ===，211812330459(1)1015C C P X C ===g ， 121812330297(2)1015C C P X C ===g ， 31233055(3)1015C P X C ===，X ∴的分布列为：X 0123 P2041015 4591015 2971015551015数学期望为2044592975512186()0123101510151015101510155E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)P x y ，0(M x ，0)y ， 则0(N x ，0)，∴0(,)PN x x y =--u u u r ，0(0,)MN y =-u u u u r，Q 2PN =u u u r u u u r ，0x x ∴=，0y y =， 代入圆的方程得，22443x y +=，即22143x y +=， 故动点P 的轨迹为E 的方程为：22143x y +=； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，(2,0)D -， Q ||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，DA DB ∴⊥，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+，⋯①1212()()y y kx m kx m ∴=++221212()k x x mk x x m =+++，⋯② 由DA DB ⊥得： 1212122y yx x ⨯=-++， 即1212122()4y y x x x x -=+++，⋯③由②③得：221212(1)(2)()40k x x mk x x m ++++++=，⋯④ 把①代入④并整理得：2271640m km k -+=， 得：(72)(2)0m k m k --=，即27m k =或2m k =， 故直线l 的方程为2()7y k x =+，或(2)y k x =+，当直线l 的方程为2()7y k x =+时，l 过定点2(,0)7-；当直线l 的方程为(2)y k x =+时，l 过定点(2,0)-，这与A ，B 不是左顶点矛盾． 故直线l 的方程为2()7y k x =+，过定点2(,0)7-．【解答】解：()()28aI f x x x'=-+，(0)x >，Q 当1x =时，()f x 取得极值，f ∴'（1）280a =-+=，解得6a =，此时，2()86f x x lnx =-+，62(1)(3)()28x x f x x x x--'=-+=， 令()0f x '>，解得：3x >或1x <，令()0f x '<，解得：13x <<， 故()f x 在(0,1)递增，在(1,3)递减，在(3,)+∞递增， 故1x =是极大值点；()II 当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，则2()280u x x x a =-+=在(0,)+∞上有两个不等正根． ∴6480(0)020a u a x =->⎧⎪=>⎨⎪=>⎩V ，08a ∴<<． 124x x ∴+=，122ax x =，120x x <<， 214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．∴21111(43)1alnx t x x x >+--成立，即1111112(4)(4)(1)1x x lnx t x x x ->-+-， 即11112(1)1x lnx t x x >+-，即11112(1)01x lnxt x x -+>-， 即211111(1)[2]01x t x lnx x x -+>-，且101x <<时，1101xx >-． 112x <<时，1101x x <-．即2(1)()2(02)t x h x lnx x x-=+<<． 222()tx x th x x ++'=(02)x <<，①0t =时，2()0h x x'=>．()h x ∴在(0,2)上为增函数，且h （1）0=，(1,2)x ∴∈时，()0h x >，不合题意舍去．②0t >时，()0h x '>．同①不合题意舍去． ③0t <时，()i △0„时，解得1t -„，()0h x '„，在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >． 12x <<时，()0h x <，∴2(1)[2]01x t x lnx x x-+>-成立． ()ii △0>时，10t -<<，()h x '分子中的二次函数对称轴11x t =->，开口向下，且函数值2(1)0t =+>，即1{a min t=-，2}，则(1,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数，h （1）0=，()0h x >，故舍去． 综上可得：t 的取值范围是1t -„． [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】1解：（Ⅰ）知曲线221:(3)9C x y +-=， 整理得：22699x y y +-+=， 转换为极坐标方程为：6sin ρθ=，A 是曲线1C 上的动点，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ． 所以得到的直角坐标方程为：22(3)9x y ++=， 转换为极坐标方程为：6cos ρθ=-． （Ⅱ）由于射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点， 则：15||6sin 36OQ πρ===，25||6cos6OP πρ=== 所以：1511||||sin 4332622MOP S OM OP π∆===g g g g g ，1511||||sin 42622MOQ S OM OQ π∆===g g g g g所以：3MPQ MOQ MOP S S S ∆∆∆=-=． [选修4-5：不等式选讲]21 / 21【解答】解：（Ⅰ）12a =时，|31||22|6x x -+->， 故131226x x x ⎧⎨-+->⎩…或11331226x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或1313226x x x ⎧⎪⎨⎪-+->⎩„， 解得：95x >或35x <-， 故不等式的解集是(-∞，39)(55-⋃，)+∞； （Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立， 则00|32|34x a x -+>恒成立， 故023x a …时，0624x a >+恒成立， 故26243a a ⨯>+，解得：2a >， 023x a <时，24a >，解得：2a >， 综上，(2,)a ∈+∞．。

数学科试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则=}032{2>--=x x x A }4,3,2{=B B A C R ⋂)(A ．B ．C ．D ．}3,2{}4,3,2{}2{φ2．已知是虚数单位，，则=i iz +=31z z ⋅A ．B ．C ．D ．510101513．执行如图所示的程序框图，若输入的点为，则输出的值为(1,1)P n A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，是边长为8的正方形，若，且为的中点，则ABCD 13DE EC =F BC EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数满足，则的最大值是y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x yx z 82⋅=A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ． 3228516++B ．32532+C ． 32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A ．B ．C ．D ． 10151103548．设是数列的前项和，且，，则=n S }{n a n 11-=a 11++⋅=n n n S S a 5a A ．B ．C ．D ． 301031-021201-9. 函数()1ln1xfx x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面,且，则四棱锥ABCD P -⊥PA ABCD 3=PA 的外接球体积最小值是ABCD P -A ．B ．C ．D ． π625π125π6251π2511. 已知抛物线,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB()220y px p =>为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．B ．．．1x =-x =x =x =12. 已知函数（），函数，直线分别与两函数交于x x x f ln )(2-=22≥x 21)(-=x x g t y =两点，则的最小值为B A ,AB A ．B ．C ．D ．211232二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设样本数据，，...，的方差是5，若（），则，1x 2x 2018x 13+=i i x y 2018,...,2,1=i 1y ，...，的方差是________2y 2018y 14. 已知函数（），若，则方程在的实x x x f ωωcos 3sin )(-=0>ω3=ω1)(-=x f ),0(π数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入 的方格内，33⨯使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方2n n n ⨯形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，n n n N )，则=_______315N =5N16.已知中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且，．ABC ∆a b c 1c =π3C =若，则的面积为sin sin()sin 2C A B B +-=ABC ∆三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分．17.(本小题满分12分)设数列是公差为的等差数列.}{n a d (Ⅰ) 推导数列的通项公式；}{n a (Ⅱ) 设，证明数列不是等比数列.0≠d }1{+n a 18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中的值；a (Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用表示随X 机抽取的2人中男生的人数，求的分布列和数学期望．X 19.(本小题满分12分)在直三棱柱中，，。

2019年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．23．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．若执行如图所示程序框图，则输出的s 值为（ ）A ．﹣2016B ．2016C ．﹣2017D ．20179．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有个零点．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．18．（12分）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为2π×32=18π圆锥的侧面积为π×3×5=15π所以所求的表面积为π+15π=33π故选D．【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”；B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D，a=0时，函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点；【解答】解：对于A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”，故错；对于B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，故错；对于D ，原命题的逆命题为：若函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，则a=﹣1“，∵a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，故错； 故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ， ∴→m =（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ）， ∵→→⊥n m ，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣2017 D．2017【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S 的结果与n的值的关系，由程序框图可得当n=2017时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2017，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣2015，n=2016满足条件n＜2017，执行循环体，s=2016，n=2017不满足条件n＜2017，退出循环，输出s的值为2016．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•=••=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案为．【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为C n2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=5．【考点】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，当c=3时，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；则c=5．故答案为：5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有3个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x的值，推出结果．【解答】解：函数y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，当f（x）＞0时，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，则log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．当f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，则log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函数的零点3个．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•平顶山一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2可求得a1=2；当n≥2时，a n=3a n﹣1，从而可知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a n和S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n=3n﹣1，从而可得b n=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3a n﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，∴2S n﹣2S n﹣1=3a n﹣3a n﹣1，∴2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n=2•3n﹣1，S n==3n﹣1，（Ⅱ）∵a n=2•3n﹣1，S n=3n﹣1，∴b n=log3（S n+1）=log33n=n，∴b2n=2n，∴T n=2+4+6+…+2n==n2+n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．18．（12分）（2017•平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k 2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关． （Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分） 所以视力在4.8以上的人数为人． (Ⅱ)，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB ⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C ﹣PD﹣B的余弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）又∵△PAB为等边三角形，∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，∴AF⊥平面BPC．…又DE∥AF．∴DE⊥平面BPC，又DE⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面BPC．…（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分）由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴，∴在△PDE中，．…（10分）又，∴，∴．…（12分）（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）．，，．…（8分）设平面PDC和面PBC的法向量分别为，，由，得，令y=﹣1得；由，得，令a=1得．…（10分）∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•平顶山一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2化为普通方程，再转化为参数方程即可．（Ⅱ）设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令，则，利用三角函数的有界限求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的普通方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅱ）方法一：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，所以d取最小值时，|MQ|最小．令，则，当时，d最小．∴点M的坐标为．（Ⅱ）方法二：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，∴d取最小值时，|MQ|最小．∴，M是过圆心垂直于l的直线与圆（靠近直线l端）的交点．由，得或（舍去）．∴点M的坐标为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•平顶山一模）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：或或…（3分）解得：x＜﹣2或x＞3，所以解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．…（Ⅱ）因为|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，…（7分）所以f（x）≥3，当x≤﹣1时等号成立．所以f（x）min=3．又，故．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}, B＝{2, 3}, 则A∪B＝（）A．{﹣1, 0, 1, 2, 3}B．{1, 2, 3}C．[﹣1, 2]D．[﹣1, 3]2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位, a∈R）, 则|a+z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）在区间[﹣1, 1]内随机取两个实数x, y, 则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π7．（5分）已知双曲线C：（a＞0, b＞0）, 过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P, 交双曲线C右支于点Q, 若＝, 则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V, 求其直径d的一个近似公式, 人们还用过一些类似的近似公式, 根据π＝3.14159…判断, 下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x, y满足约束条件, 则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）如图, 设A、B是半径为2的圆O上的两个动点, 点C为AO中点, 则的取值范围是（）A．[﹣1, 3]B．[1, 3]C．[﹣3, ﹣1]D．[﹣3, 1] 11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）, 则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球, BC＝3, , 点E在线段BD上, 且BD＝6BE, 过点E作球O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分, 满分20分, 将答案填在答题纸上）13．（5分）已知, 则＝．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2, 且, 令b n＝log3（a n+1）, 则的前2019项的和S2019＝．15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为．16．（5分）若函数在（0, +∞）上仅有一个零点, 则a＝．三、解答题（本大题共5小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图, D是直角△ABC斜边BC上一点, AC＝．（1）若∠CAD＝30°, 求角B的大小；（2）若BD＝2DC, 且AD＝2, 求CD的长．18．（12分）如图, 已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形, P A⊥底面ABCD, ED∥P A, 且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°, 求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．19．（12分）已知椭圆C中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2, 椭圆C另一个焦点是F1, 且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点, 求△F2PQ的内切圆面积的最大值．20．（12分）为了引导居民合理用电, 国家决定实行合理的阶梯电价, 居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0, 210]（210, 400]（400, +∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况, 得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元, 第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元, 第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元, 试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户, 求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电, 现从全市中依次抽取10户, 若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大, 求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时, f（x）≥0恒成立, 求实数a的取值范围；（3）求证：e．请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为（α为参数）, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点, 当|CD|取最大值时, 求四边形ACBD 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时, 解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3, 4], 求m的取值范围．2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}, B＝{2, 3}, 则A∪B＝（）A．{﹣1, 0, 1, 2, 3}B．{1, 2, 3}C．[﹣1, 2]D．[﹣1, 3]【解答】解：A＝{x∈N*|﹣1≤x≤2}＝{1, 2}, B＝{2, 3}；∴A∪B＝{1, 2, 3}．故选：B．2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位, a∈R）, 则|a+z|＝（）A．B．C．2D．【解答】解：由（1+i）z＝a﹣i, 得,∵复数z为纯虚数,∴, 解得a＝1．∴z＝﹣i,则|a+z|＝|1﹣i|＝．故选：A．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝（x≠0）是奇函数, 排除C, D．当x＝时, y＝＜0．排除B,故选：A．4．（5分）在区间[﹣1, 1]内随机取两个实数x, y, 则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得, 的区域为边长为2的正方形, 面积为4,满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分, 面积为2+＝∴满足y≥x2﹣1的概率是＝．故选：D．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类, 第一类, 有3名被录用, 有＝24种, 第二类, 4名都被录用, 则有一家录用两名, 有＝36,根据分类计数原理, 共有24+36＝60（种）故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由三视图可得, 直观图为圆锥的与圆柱的组合体,由图中数据可得几何体的体积为＝,故选：A．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0, b＞0）, 过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P, 交双曲线C右支于点Q, 若＝, 则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝【解答】解：∵过双曲线C：（a＞0, b＞0）, 左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线, 切点为P,∴丨OP丨＝a,设双曲线的右焦点为F′,∵P为线段FQ的中点,∴|QF′|＝2a, |QF|＝2b,由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a,∴b＝2a．∴双曲线C：（a＞0, b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0,即2ax±ay＝0,∴2x±y＝0．故选：B．8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V, 求其直径d的一个近似公式, 人们还用过一些类似的近似公式, 根据π＝3.14159…判断, 下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．【解答】解：由V＝π（）3, 解得d＝,选项A代入得π＝＝3.1；选项B代入得π＝＝3；选项C代入得π＝＝3.2；选项D代入得π＝＝3.142857由于D的值最接近π的真实值故选：D．9．（5分）已知实数x, y满足约束条件, 则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界）,把,看作点（x, y）和C（5, 0）之间的斜率,记为k, 由可行域可知A（2, 2）, B（2, ﹣4）,则﹣≤k≤．故选：A．10．（5分）如图, 设A、B是半径为2的圆O上的两个动点, 点C为AO中点, 则的取值范围是（）A．[﹣1, 3]B．[1, 3]C．[﹣3, ﹣1]D．[﹣3, 1]【解答】解：如图所示,可得O（0, 0）, A（﹣2, 0）, C（﹣1, 0）, 设B（2cosθ, 2sinθ）．θ∈[0, 2π）．＝（1, 0）•（2cosθ+1, 2sinθ）＝2cosθ+1∈[﹣1, 3]．故选：A．11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）, 则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【解答】解：构造函数g（x）＝,则g′（x）＝＝（f′（x）cos x+f（x）sin x）, ∵对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0,∴g′（x）＞0, 即函数g（x）在x∈（﹣, ）单调递增,则g（﹣）＜g（﹣）, 即,∴, 即f（﹣）＜f（﹣）, 故A正确．g（0）＜g（）, 即,∴f（0）＜2f（）,故选：A．12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球, BC＝3, , 点E在线段BD上, 且BD＝6BE, 过点E作球O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 设△BDC的中心为O1, 球O的半径为R,连接O1D, OD, O1E, OE,则O1D＝3sin60°×＝, AO1＝＝＝3,在Rt△OO1D中, R2＝3+（3﹣R）2, 解得R＝2,∵BD＝6BE, ∴DE＝2.5,在△DEO1中, O1E＝＝,∴OE＝＝＝,过点E作圆O的截面, 当截面与OE垂直时, 截面的面积最小,此时截面圆的半径为＝, 最小面积为π,当截面过球心时, 截面面积最大, 最大面积为4π．故选：A．二、填空题（每题5分, 满分20分, 将答案填在答题纸上）13．（5分）已知, 则＝．【解答】解：∵, 则＝＝2, ∴解得：tanα＝,∴＝＝＝．故答案为：．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2, 且, 令b n＝log3（a n+1）, 则的前2019项的和S2019＝．【解答】解：数列{a n}首项a1＝2, 且,则：a n+1+1＝3（a n+1）,即：（常数）,所以：数列{a n+1}是以a1+1＝3为首项, 3为公比的等比数列,故：,令b n＝log3（a n+1）＝,故：＝＝．所以：S n＝b1+b2+…+b n,＝,＝,＝．所以：,故答案为：15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为﹣21．【解答】解：多项式（3x+2y）2（x﹣y）7＝（9x2+12xy+4y2）（x﹣y）7,设（x﹣y）7的通项公式为T r+1＝x7﹣r（﹣y）r,令r＝4, 则T5＝＝35x3y4,令r＝3, 则T4＝＝﹣35x4y3,令r＝2, 则T3＝x5（﹣y）2＝21x5y2．∴多项式（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4项的系数为：35×9﹣35×12+21×4＝﹣21．故答案为：﹣21．16．（5分）若函数在（0, +∞）上仅有一个零点, 则a＝5ln2﹣4．【解答】解：函数f（x）的零点满足e x+a﹣x3+2x2＝0, 即a＝ln（x3﹣2x2）﹣x,则原问题等价于函数y＝a与函数g（x）＝ln（x3﹣2x2）﹣x有且只有一个交点．注意到函数g（x）的定义域为（2, +∞）, 且,在区间（2, 4）上, g’（x）＞0, g（x）单调递增,在区间（4, +∞）上, g’（x）＜0, g（x）单调递减,则函数g（x）的最大值为g（4）＝5ln2﹣4,据此可得, 实数a的值为5ln2﹣4．故答案为：5ln2﹣4．三、解答题（本大题共5小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图, D是直角△ABC斜边BC上一点, AC＝．（1）若∠CAD＝30°, 求角B的大小；（2）若BD＝2DC, 且AD＝2, 求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中, 根据正弦定理, 有．∵,∴．又,∴,∴,∴；（2）设DC＝x, 则,∴．在△ABD中, AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B,即,得．故．18．（12分）如图, 已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形, P A⊥底面ABCD, ED∥P A, 且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°, 求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）连接BD, 交AC于点O, 设PC中点为F,连接OF, EF, ∵O, F分别为AC, PC的中点,∴OF∥P A, 且OF＝P A,∵DE∥P A, 且, ∴OF∥DE, 且OF＝DE．…（1分）∴四边形OFED为平行四边形, ∴OD∥EF, 即BD∥EF．…（2分）∵P A⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD, ∴P A⊥BD．∵ABCD是菱形, ∴BD⊥AC．∵P A∩AC＝A, ∴BD⊥平面P AC．…（4分）∵BD∥EF, ∴EF⊥平面P AC．…（5分）∵FE⊂平面PCE, ∴平面P AC⊥平面PCE．…（6分）解：（2）解法1：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,∴∠PCA＝45°, ∴AC＝P A＝2．…（7分）∴AC＝AB, 故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M, 连接AM, 则AM⊥BC．以A为原点, AM, AD, AP分别为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）．则P（0, 0, 2）, C（）, E（0, 2, 1）, D（0, 2, 0）, ＝（）, ＝（﹣, 1, 1）, ＝（0, 0, 1）．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝{x1, y1, z1},则, 即令y1＝1, 则, ∴＝（）．…（10分）设平面CDE的法向量为＝（x2, y2, z2）,则, 即令x2＝1, 则, ∴＝（1,）．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ, 由于θ为钝角,∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为﹣．…（12分）解法2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°, 且P A⊥平面ABCD,所以∠PCA＝45°, 所以AC＝P A＝2．…（7分）因为AB＝BC＝2, 所以△ABC为等边三角形．因为P A⊥平面ABCD, 由（1）知P A∥OF,所以OF⊥平面ABCD．因为OB⊂平面ABCD, OC⊂平面ABCD, 所以OF⊥OB且OF⊥OC．在菱形ABCD中, OB⊥OC．以点O为原点, OB, OC, OF分别为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）．则,则．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝（x1, y1, z1）,则即令y1＝1, 则, 则法向量n＝（0, 1, 1）．…（10分）设平面CDE的法向量为m＝（x2, y2, z2）,则即令x2＝1, 则则法向量．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ, 由于θ为钝角,则．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为．…（12分）19．（12分）已知椭圆C中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2, 椭圆C另一个焦点是F1, 且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点, 求△F2PQ的内切圆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,可知焦点在x轴上且M点坐标（c, ）．F1（﹣c, 0）, F2（c, 0）．∵,∴, ∴c＝1．设椭圆C方程：M点坐标（1, ）代入椭圆C方程得,∵c＝﹣1,∴a＝2, b＝．∴椭圆C方程为（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点,则△F2PQ的周长为4a＝8, 则＝•4a•r（r为三角形内切圆半径）,要使△F2PQ的内切圆面积最大, 即使△F2PQ的面积最大,∵F2F1为定长, △F2PQ的面积为•2|y1﹣y2|, （y1, y2分别为P, Q的纵坐标）, 可设直线l的方程为x＝my﹣1, 代入椭圆方程可得（4+3m2）y2﹣6my﹣9＝0,y1+y2＝, y1y2＝﹣,|y1﹣y2|2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝＝,显然m＝0上式取得最大值,∴当且仅当直线L过（﹣1, 0）, 与x轴垂直时△F2PQ的面积最大．此时P（﹣1, ）, Q（﹣1, ﹣）∴|F2P|＝|F2Q|＝, |PQ|＝3．设△F2PQ的内切圆半径为r, 则∴r＝, 其面积S＝．20．（12分）为了引导居民合理用电, 国家决定实行合理的阶梯电价, 居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0, 210]（210, 400]（400, +∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况, 得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元, 第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元, 第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元, 试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户, 求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电, 现从全市中依次抽取10户, 若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大, 求k的值．【解答】解：（1）210×0.5+（400﹣210）×0.6+（410﹣400）×0.8＝227元…（2分）（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ, 可知第二阶梯电量的用户有3户, 则ξ可取0, 1, 2, 3故ξ的分布列是ξ0123p所以…（7分）（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯, 满足X∽B（10, ）,可知（k＝0, 1, 2, 3…, 10）, 解得, k∈N*所以当k＝6时, 概率最大, 所以k＝6…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时, f（x）≥0恒成立, 求实数a的取值范围；（3）求证：e．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+a+,f′（0）＝2+a, 又f（0）＝0,∴f（x）在x＝0处的切线方程为：y＝（a+2）x；（2）若x≥0时, 则f′（x）＝e x+a+, ,在[0, +∞）上单调递增, f″（x）≥f″（0）＝0．则f′（x）在[0, +∞）上单调递增, f′（x）≥f′（0）＝a+2,①当a+2≥0, 即a≥﹣2时, f′（x）≥0, 则f（x）在[0, +∞）上单调递增此时f′（x）≥f（0）＝0, 满足题意②若a＜﹣2, 由f′（x）在[0, +∞）上单调递增由于f′（0）＝2+a＜0, x→+∞时, f′（x）＞0．故∃x0∈（0, +∞）, 使得f′（x0）＝0．则当0＜x＜x0时, f′（x）＜f′（x0）＝0．∴函数f（x）在（0, x0）上单调递减．∴f（x0）＜f（0）＝0, 不恒成立．舍去综上所述, 实数a的取值范围是[﹣2, +∞）．（3）证明：由（1）知, 当a＝﹣2时, f′（x）＝e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0, +∞）上单调递增．则f（）＞f（0）, 即e﹣1+ln（）﹣1＞0．∴ln．∴,即e请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为（α为参数）, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点, 当|CD|取最大值时, 求四边形ACBD 的面积．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数）, 消去参数化为：x2+（y﹣1）2＝1．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 即ρ2＝4ρcosθ, 化为普通方程：x2+y2＝4x．上述两个方程相减可得：2x﹣y＝0．则直线AB的斜率为2．（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时, 线段CD取得最大值, 此时|CD|＝3+＝+3．|AB|＝2＝．直线C1•C2的方程为：y＝﹣x+1, 可得C1•C2⊥AB．∴当|CD|取最大值时, 四边形ACBD的面积S＝|AB|•|CD|＝××（3+）＝2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时, 解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3, 4], 求m的取值范围．【解答】解：（1）当时, f（x）＝﹣2x﹣1+（x﹣1）＝﹣x﹣2,由f（x）≥2解得x≤﹣4, 综合得x≤﹣4；当时, f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x,由f（x）≥2解得, 综合得；当x≥1时, f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2,由f（x）≥2解得x≥0, 综合得x≥1．所以f（x）≥2的解集是．（2）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|的解集包含[3, 4],∴当x∈[3, 4]时, |2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立原式可变为2x+1﹣|x﹣m|≥x﹣3, 即|x﹣m|≤x+4,∴﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4即﹣4≤m≤2x+4在x∈[3, 4]上恒成立,显然当x＝3时, 2x+4取得最小值10,即m的取值范围是[﹣4, 10]．。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{}{}21,0,1,5,N |20M x x x =-=--≥，则R M C N =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,5D ．{}1,1- 【答案】A 【解析】试题分析：{}2N |20(1,2)R C x x x =--<=-，所以R M C N ={}0,1，选A.考点：集合运算【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解. 2.设i 是虚数单位，若复数()621ia a R i ++∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】.-a bi3.在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“4d =”是“123,,a a a 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由123,,a a a 成等比数列得22213(2)2(22)04a a a d d d d =⇒+=+⇒==或，所以“4d =”是“123,,a a a 成等比数列”的充分不必要条件，选A. 考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4.已知抛物线2:4C y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（ ）A ．3B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 5.若输入16,1,0,1a A S n ====，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 【答案】D 【解析】考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6.已知将函数()()tan 2103f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位之后与()f x 的图象重合，则ω=（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．8 【答案】B 【解析】考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z).7.6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（ ）A ．60B ．96C ．48D ．72 【答案】C 【解析】试题分析：先把乙和丙，丁和戊看作两个整体，四个人进行排列：332A ,再考虑乙和丙，丁和戊排法得322322248A A A ,选C. 考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．82π+B ．102π+C ．62π+D ．122π+ 【答案】A 【解析】【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 9.已知()1145279722,,,log 979xxf x a b c --⎛⎫⎛⎫=-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a << 【答案】B 【解析】试题分析：()22xxf x -=-为单调递增函数，而11144527997,log 09779a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f b f a <<，选B.考点：比较大小10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD 和AB 的中点，平面1B EF 交棱AD 于点P ，则PE =（ ）A B C D 【答案】D 【解析】试题分析：过点1C 作11//C G B F ，交CD 于点G ，过点E 作1//HQ C G ，交11CD C D 、于点H Q 、，连接HF 交AD 于点P ，1//B HQ F ，所以1QHFB 共面，则114HD D Q ==，由PDHPAF ∆∆可得12,,3AP AF PD PE PD HD =====选D.考点：线面关系11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4321228a a a a +--=，则542a a +的最小值为（ ）A ．12B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】考点：数列性质，利用导数求最值【方法点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．12.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】考点：函数零点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b满足22,4a b a b ==-=,a b 的夹角为_____________． 【答案】23π 【解析】试题分析：22427168281a b a b a b a b -=⇒+-⋅=⇒⋅=-，所以12cos ,,23||||a b a b a b a b π⋅<>==-⇒<>=⋅。

理科数学 2019年高考模拟试卷理科数学考试时间____分钟题型单项选择题填空题简答题总分得分单项选择题本大题共8小题每题____分共____分。

1.已知会集A={x||x|<2}B={–2012}则AB=A. {01}B. {–101}C. {–2012}D. {–1012}2.在复平面内复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.执行以下列图的程序框图输出的s值为A.B.C.D.4.“十二平均律”是通用的音律系统明朝朱载堉最早用数学方法计算出半音比率为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份依次获取十三个单音从第二个单音起每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f则第八个单音的频率为A.B.C.D. 5.某四棱锥的三视图以下列图在此四棱锥的侧面中直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 46.设a b均为单位向量则“”是“a⊥b”的A. 充分而不用要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不用要条件7.在平面直角坐标系中记d为点P cosθsinθ到直线的距离当θm变化时d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 48.设会集则A. 对任意实数aB. 对任意实数a21C. 当且仅当a<0时21D. 当且仅当时21填空题本大题共6小题每题____分共____分。

9.设是等差数列且a1=3a2+a5=36则的通项公式为__________10.在极坐标系中直线与圆相切则a=__________11.设函数f x=若对任意的实数x都建立则ω的最小值为__________12.若x y满足x+1≤y≤2x则2y−x的最小值是__________13.能说明“若f x>f0对任意的x∈02都建立则f x在02上是增函数”为假命题的一个函数是__________14.已知椭圆双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的极点则椭圆M的离心率为__________双曲线N的离心率为__________简答题综合题本大题共6小题每题____分共____分。

2019届豫名校大联考高三模拟数学（理）试题一、单选题 1．已知复数z 满足53=i 1zz -+，则z =（ ）A ．135B C D 【答案】B【解析】化简复数z ，根据模长公式计算即可 【详解】 由531zi z -=+得53z zi i -=+，,解得()()()()535743335i i i i z i i i ----===+-+，则有，||5z ==故选：B 【点睛】本题考查模长公式，属于简单题2．已知集合{}220A x x x =--<，{}1B x x m =-<<，A B A =I ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,2-C ．[)2,+∞D ．(]1,2-【答案】C【解析】可求出{}|12A x x =<<，而根据A B A =I 即可得出A B ⊆，从而得出2m ≥，即得出 m 的范围【详解】{}|12A x x =-<<，A B A ⋂=Q ，A B ∴⊆，2m ∴≥，m ∴的取值范围为[2,)+∞，故选：C. 【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题3．已知正项数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且12a =，21a =，348a a +=，5617a a +=，则78a a +=（ ）A ．33B ．34C ．38D ．35【答案】C【解析】设正项数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求和． 【详解】正项数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列， 且12a =，21a =，348a a +=，5617a a +=， 可得2282217d q d q ++=⎧⎨++=⎩， 解得3d q ==， 则37823292738a a d q +=++=++=；故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 4．如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．这15天日平均温度的极差为15℃B ．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C ．由折线图能预测16日温度要低于19℃D ．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数 【答案】B【解析】利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解． 【详解】由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：在A 中，这15天日平均温度的极差为：381919℃℃℃-=，故A 错误； 在B 中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故B 正确； 在C 中，由折线图无法预测16日温度要是否低于19℃，故C 错误；在D 中，由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数，故D 错误． 故选B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题． 5．函数cos sin 24πy x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．98 B ．0C ．78D ．1716【答案】A【解析】利用三角函数恒等变换的应用可求2()2cos ()144y cos x x ππ=+-++， 令cos()4t x π=+，[]1,1t ∈-，可2291212()84y t t t =-+=--，然后利用二次函数 的性质可求最大值 【详解】cos()sin 24y x x π=++Q cos()sin (2)422x x πππ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦cos()cos(2)42x x ππ=+-+2cos()2cos ()144x x ππ=+-++令cos()4t x π=+，则[]1,1t ∈-，可得：2291212()84y t t t =-+=--， 则当14t =时，2291212()84y t t t =-+=--的最大值为98故选：A【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，难点在于利用二次函数的性质求最大值6．已知函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≤时，()()3ln 1f x x x =-+-，设()()0.20.2a f-=，()5log 2b f =-，()0.53c f -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】根据题意，由()()f x f x -=可得函数()f x 为偶函数，则()()55log 2log 2?f f -=，据此结合函数的解析式分析可得()f x 在[0,)+∞上为增函数，结合函数的单调性可得0.500.2551log 2log 31(0.2)(0.2)2--<=<=<=<，然后即可得出答案 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数， 故()()55log 2log 2?f f -=,当0x ≤时，3()ln(1)f x x x =-+-, 分析易得()f x 为减函数，则()f x 在[0,)+∞上为增函数，又由0.500.2551log 2log 31(0.2)(0.2)2--<=<=<=<， 则有b c a <<， 故选：B 【点睛】本题考查比较大小问题，难点在于利用偶函数的性质判断出()f x 在[0,)+∞上为增函数，然后利用函数的单调性进行判断即可7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．3C ．3262D ．9【答案】B【解析】把几何体放到正方体中更容易得到原几何图形，然后再求其体积 【详解】解：根据三视图知，该几何体为四面体A BCD -根据网格长度32,3,33BD GC BC CD ====，2AG = 连结面对角线GC ，在平面ACHG 内作AE GC ⊥于E ，AE BC ⊥AE ⊥平面GBC ，即AE ⊥平面DBCAE 为三棱锥A DBC -的高1122AGC S AE GC AG GH =⨯⨯=⨯⨯V232AG GH AE GC ⨯===11123323332A DBC DBC V AE S -∆=⨯⨯=⨯⨯=故选：B 【点睛】考查由三视图得到原几何体的能力以及求三角形的面积和三棱锥体积的方法，中档题. 8．已知抛物线C ：()220x py p =>，过点10,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，若直线AB 经过抛物线C 的焦点，则抛物线C 的方程为（ ） A ．28x y =B ．24x y =C ．22x y =D ．2x y =【答案】C【解析】设切点()()1122,,,A x y B x y ，xy p'=，表示出两条切线，()()111122,x x y y x x y y x x p p -=--=-，代入点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出直线AB 方程，再代入焦点即可. 【详解】解：由22(0)x py p =>得22x y p= 所以xy p'=，设切点()()1122,,,A x y B x y 过()()1122,,,A x y B x y 的切线方程分别为：()()121122,x x y y x x y y x x p p-=--=- 整理得()()1122,p y y xx p y y xx +=+=且都过10,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭所以121==2y y AB 的方程1y=2，过焦点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭1p =，则抛物线C 的方程为：22x y = 故选：C 【点睛】考查过一点的抛物线切线的求法以及抛物线的求法，中档题.9．河南新高考方案即将实施，两名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中各选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则这两名同学所选科目恰有一门相同的概率为（ ） A ．320B ．310C ．920D ．940【答案】C【解析】基本事件总数3366400n C C ==g, 这两名同学所选科目恰有一门相同包含的基本事件个数 133362180m C C C ==g g ，由此能求出这两名同学所选科目恰有一门相同的概率 【详解】两名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中各选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，基本事件总数3366400n C C ==g ， 这两名同学所选科目恰有一门相同包含的基本事件个数133362180m C C C ==gg ， 所以，这两名同学所选科目恰有一门相同的概率为180940020m p n ===故选：C 【点睛】本题考查古典概型，属于简单题10．已知函数()2log 1f x x =+的定义域为[]1,2，()()()22g x fx f x m =++，若存在实数a ，b ，(){}c y y g x ∈=，使得a b c +<，则实数m 的取值范围是（ ） A ．74m <-B ．2m <C ．3m <D ．14m <【答案】D【解析】由已知求得函数定义域，得到函数()g x 的解析式，然后化简()()()22g x f x f x m =++，得22222()()()()42g x x f x m log x log x m ++=+++，最后换元后利用配方法求得函数最值求解 【详解】()f x 的定义域为[] 1,2，由21212x x ⎧⎨⎩剟剟，解得1x剟22()()()g x f x f x m ∴=++的定义域为⎡⎣，222222222()()()(1log )1()42g x x f x m x log x m log x log x m ++=++++=+++，令2log x t =，x ⎡∈⎣Q ，10,2t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则22()42(2)2h t t t m t m =+++=++-,当10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为()h t 增函数 ,min ()(0)2h t h m ==+，max 117()()24h t h m ==+， Q 存在实数(){} , , |a b c y y g x ∈=, 使得a b c +<，()()min max 2h t h t ∴<即17424m m +<+，解得14m <故选：D 【点睛】本题考查不等式的有解问题，化简得22222()()()()42g x x f x m log x log x m ++=+++①，第一个难点在于通过令2log x t =，把①换元为22()42(2)2h t t t m t m =+++=++-第二个难点在于通过换元把题目的条件转化成()()min max 2h t h t <式子来进行求解，属于难题11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，双曲线()222210,0x y m n m n-=>>的一条渐近线与椭圆交于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率157e =，则双曲线的离心率2e =（ ） A ．257B ．75C ．43D ．2524【答案】A【解析】设出双曲线的渐近线方程,联立椭圆方程可得P 的坐标，再由12PF PF ⊥， OP c =,由两点的距离公式可得a,b,c,m,n 的关系,再由椭圆的离心率和a,b,c 的关系,可得m,，n 的方程，即可得到所求双曲线的离心率 【详解】双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>的一条渐近线设为n y x m =,联立椭圆方程可得22222222a b m x b m a n =+，22222222a b n y b m a n=+，由12 PF PF ⊥, 可得 OP c =,则有222222222222222a b m a b n c b m a n b m a n+=++①， 由157e =, 即57c a =,设 7a t =,5c t =,()0b t =>，代入①可得 724n m =,则双曲线的离心率为257m ==，故选：A 【点睛】本题考查了椭圆以及双曲线的离心率问题，难点在于利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的关系得出 OP c =，利用该条件即可利用勾股关系得出离心率，属于中档题 12．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()()0,11,+∞UD ．(]{},01-∞U【答案】D【解析】()00f =, 可得0是函数()f x 的一个零点 .0x ≠时,可得:1x x e ax e-=,令1()x e g x x-=，()x a h x e =, 利用导数研究其函数单调性即可得出结论 【详解】(0)1100f =--=Q ,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e ax e -=,令1(),()x x e ag x h x x e -==,21()x x xe e g x x'-+=， 令()1x xu x xe e =-+, ()xu e x x '=可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=. ())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()x a h x e=， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去.综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃ 故选：D . 【点睛】本题的难点在于通过求导的方法判断出函数的图像以及利用数形结合进行求解，属于中档题二、填空题13．已知实数x ，y 满足220,210,20,x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则222x y y ++的取值范围为__________.【答案】4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作图，该几何意义是点()0,1P -与区域内的点的距离的平方减1，然后，根据所作的图进行求解即可 【详解】如图所示，是220,210,20,x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩…„„表示的平面区域，则22222(1)1z x y y x y =++=++-的几何意义：是点()0,1P -与区域内的点的距离的平方减1 ,从图上可看出，明显的点P 到点A 的距离是最远的，点P 到直线BC 的距离最短，由20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，求得点()0,2A ,222||0(21)9AP =++=，此时2228z x y y =++=点P 到直线BC ：210x y -+= 的距离的平方为：229514d ==+，22421595z x y y =++=-=，所以220,210,20,x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩…„„则222x y y ++的取值范围是4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为 :4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查是点距问题的规划问题，难点在于作图和根据理解所求问题的几何意义，进而求出取值范围14．已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r，PC PA PB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=__________．【答案】1-【解析】把PC PA PB λμ=+u u u r u u u r u u u r 和PD PC CD =+u u u r u u u r u u u r 代入到20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r中，令系数为零即可. 【详解】 解：如图：因为PD PC CD =+u u u r u u u r u u u r所以2220PA PB PD PA PB PC CD ++=+++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r又PC PA PB λμ=+u u u r u u u r u u u r()()23210PA PB λμ++-=u u u r u u u r r，由P 点的任意性，32302,21012λλμμ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，1λμ+=- 故答案为：1- 【点睛】考查向量的线性运算和平面向量基本定理的应用，基础题.15．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________．22【解析】先求出BC ，BG ，BF 的长度，在BFA V ，求出正四面体的高AF ，在Rt BFO V中，求BO ；Rt BFA V 中，求cos BAF ；EAO V 中，由余弦定理求EO 即可. 【详解】 解：正四面体的棱长12BC =，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为O ，F 为底面BCD 的中心，G 是边CD 中点，E 是半正多面体的一个顶点3263,33BG BC BF BG ====222212(43)46AF AB BF ∴=-=-=设OA OB R ==，64OF AF R R =-=在Rt OBF V 中，222OB BF OF =+，2248(46)R R =+，36R =Rt ABF V 中，646cos AF BAF AB ∠===EAO V 中，6cos cos EAO BAF ∠=∠=由余弦定理，(222222cos 6836283622OE AE AO AE AO EAO =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯=022E =22 22 【点睛】考查半正多面体的外接球的半径的求法，中档题.16．数列{}n a 中，112a =，()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110nn a n nλ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________. 【答案】289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由1()(1)(1)x n n n na a n N n na +=∈++，化简为1111(1)n n n a na +-=+，得出1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 求出1(1)n a n n =+，然后，对于不等式()24110n n a n nλ++-≥，对n 进行分类可得λ的取值范围. 【详解】解 : 由数列{} n a 满足112a =,1()(1)(1)x n n n na a n N n na +=∈++， 两边取倒数可得：1111(1)n nn a na +-=+，∴数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列, 公差为1, 首项为212(1)1n n n na ∴=+-=+，1(1)n a n n =+∴ 由241(1)0nn a n nλ++-…恒成立,得221414(1)(1)n n n n n n n λ---⋅--=+…, 当 n 为偶数时，(1)(4)4(5)n n n n n λ-++=-++…, 则9λ≥-，当n 为奇数时，45n n λ++„,则283λ„∴实数λ的取值范围为289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故答案为：289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题的难点在于通过对整式进行转换，得出数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，以及利用对n 进行分类讨论，进而利用参变分离进行求解，属于难题三、解答题17．在ABC V 中，2sin cos sin())C A A C A C +-+= （1）求角B 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，且3AD =，2BD =，求cos C 的值.【答案】（1）π3B =；（2.【解析】（1）化简得到sin B B +=πsin 32B ⎛⎫+=⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）正弦定理得sin sin sin AD BD BAD B BAD =⇒∠=∠，再利用 2πcos cos 3C BAC ⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭计算得到答案.【详解】解：（1）由题意知，2sin cos sin cos sin cos C A A C C A B +-+=即sin cos cos sin A C A C B ++=sin B B ⇒=ππ2sin sin 33B B ⎛⎫⎛⎫⇒+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又ππ4π,333B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π2ππ333B B +=⇒=.（2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin sin 3AD BD BAD B BAD =⇒∠=∠，cos 3BAD ∠=sin 23BAC ∠==，21cos 2133BAC ⎛∠=⨯-= ⎝⎭，所以2π11322261cos cos 323236C BAC -⎛⎫⎛⎫=-∠=-⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了正余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力和计算能力. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △为正三角形，CD CB =，120BCD ∠=︒，M 为线段PA 的中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若2AB PB PD ===，6PA =，求直线DM 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）26【解析】（1）利用中位线关系，得出MN //PB ，然后再根据题意证明BC //DN ，即可得出结论（2）先证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以O 为坐标原点，OA u u u r ，OB uuu r ，OP uuu r为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后计算出平面PAB 的法向量n r 和DM u u u u r，最后，利用公式求解sin cos ,DM n θ=u u u u r r求解即可【详解】（1）证明：取AB 的中点N ，连接MN ，DN ，则MN //PB . 又CD CB =，120BCD ∠=︒，所以30CBD ∠=︒，BC AB ⊥. 又AD AB ⊥，所以BC //DN .又MN DN N ⋂=，PB BC B ⋂=， 所以平面DMN //平面PBC . 又DM ⊂平面DMN ， 所以DM //平面PBC .（2）连接AC ，AC BD O =I ，则O 为BD 中点，BD AC ⊥，BD PO ⊥.又OA OP ==PA =PO AO ⊥. 又AO PO O =I ，所以PO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OA u u u r ，OB uuu r ，OP uuu r为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,1,0D -，)A，(P ，()0,1,0B，M ⎝⎭，DM =⎝⎭u u u u r，()AB =uuu r，(AP =uu u r .设平面PAB 的法向量(),,n x y z =r，00n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r则0,0y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得()n =r . 设直线DM 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,DM n θ+===u u u u r r. 故直线DM 与平面PAB. 【点睛】本题考查面面垂直问题和线面角的求解问题，难点在于合理建立空间坐标系，属于简单题19．微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞.微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：（1）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；（3）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取2人，其中每日走路不超过0.8万步的有X 人，超过1.2万步的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）作图见解析；（2）532（3）详见解析 【解析】（1）根据题目条件，直接作图即可；（2）设“至少2人步数多于1.2万步”为事件A ，然后根据题意求出()P A 即可； （3）根据题意列出分布列表即可求解 【详解】 （1）如图，（2）由题意知，步数多于1.2万步的频率为14，所以步数多于1.2万步的概率为14. 设“至少2人步数多于1.2万步”为事件A ，()23231315C 44432P A ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）由题意知，步数不超过0.8万步的概率为14，步数多于1.2万步的概率为14，步数在0.8万步和1.2万步之间的概率为12.当0X Y ==或1X Y ==，0ξ=，()21211130C 2448P ξ⎛⎫==+⋅⋅= ⎪⎝⎭， 当1X =，Y 0=或X 0=，1Y =，1ξ=，()121111C 2422P ξ==⋅⋅⨯=， 当2X =，Y 0=或X 0=，2Y =，2ξ=，()2P ξ=211248⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，则ξ的分布列为所以ξ的数学期望为()31130128284E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查描点画频率分布直方图以及求出分布列和数学期望的问题，难点在于作出分布列表，属于简单题20．已知长为3的线段AB 的两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上移动，2AM MB =u u u u r u u u r. （1）求点M 的轨迹G 的方程.（2）过()0,1Q 作互相垂直的两条直线分别与轨迹G 交于A ，B 和C ，D ，设AB 中点为R ，CD 中点为S ，试探究直线RS 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由.【答案】（1）2214y x +=（2）直线RS 过定点40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设(),M x y ，由2AM MB =u u u u r u u u r得()3,0A x ，30,2y B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用3AB =，即可求解.（2）若直线AB 斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程，求得R 的坐标，同理设CD 的方程为11y x k=-+，代入椭圆方程，求得S 的坐标，然后可得直线RS 的直线方程，化简后即可求出RS 过定点.【详解】解：（1）设(),M x y ，由2AM MB =u u u u r u u u r得()3,0A x ，30,2y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3AB ==，整理得点M 的轨迹G 的方程为2214y x +=.（2）若直线AB 斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为1y kx =+，与椭圆方程2214y x +=联立得()224230k x kx ++-=，显然>0∆，设A ，B 坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，AB 中点R 坐标为()00,x y ， 则120224x x k x k +-==+，002414y kx k=+=+， 即224,44k R k k -⎛⎫⎪++⎝⎭. 同理可得，2224,1414k k S k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，()22222244411445144RSk k k k k k k k k k--++==+++. 直线RS 的方程为()222414454k k y x k k k -⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭， 整理得()241455k y x k-=+.当直线AB 斜率不存在或为0时，直线RS 即为y 轴，也过点40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上，直线RS 过定点40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题第一问利用代入法求轨迹方程，属于简单题；第二问考查韦达定理的运用，难点在于运算比较复杂，属于中档题. 21．已知函数()ln e f x x x =+，（1）若()f x ax ≥恒成立，求实数a 的最大值；（2）设函数()()12e21x F x f x x x -=--+，求证：()0F x >.【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】（1）根据()0,x ∈+∞，对不等式进行参变分离，得到ln ex x a x+≤， 令()ln ex x x xϕ+=，即()a x ϕ≤恒成立等价于()min a x ϕ≤⎡⎤⎣⎦，然后通过求导，得出()min x ϕ⎡⎤⎣⎦即可；（2）由（1）知，()2f x x ≥，只需证21212ex x x x -+-≥. 变形212120e x x x x -+--≥，令()21212e x x x g x x -+-=-，故只需证[]min ()0g x ≥即可， 通过求导得到()2121132e 32e ex x x x x g x ----+-'=-=， 注意到，还需要令()122e3x h x x -=+-进行二次求导，进而判断出()h x 的正负情况，然后，得到()g x 的单调性，进而得出[]min ()g x ，即可证明结论成立. 【详解】解：（1）由题意()0,x ∈+∞，原不等式可化为ln ex x a x+≤， 令()ln e x x x x ϕ+=，则()2ex x xϕ-'=， 由()0x ϕ'<得()x ϕ在()0,e 上单调递增减； 由()0x ϕ'>得()x ϕ在()e,+∞上单调递增.所以()()min e 2x ϕϕ==，所以2a ≤.（2）由（1）知，()2f x x ≥，只需证21212ex x x x -+-≥. 令()21212e x x x g x x -+-=-，则()2121132e 32e ex x x x x g x ----+-'=-=， 令()122e3x h x x -=+-，()12e 20x h x x -'=+>，()h x 在()0,∞+上单调递增，注意到()10h =，所以当()0,1x ∈，()0h x <，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞，()0h x >，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上单调递增. 所以()()min 10g x g ==，∴21212ex x x x -+-≥，当且仅当1x =时等号成立. 而()2f x x ≥，当且仅当e x =时等号成立.所以()21210ex x x f x -+-->，从而()0F x >. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，（1）题使用参变分离法，即可转化为函数求最值问题，通过求导找到函数的最值即可求解.（2）题使用最值分析法求解，难点在于找最值的过程中需要进行二次求导，通过二次求导确定原函数的单调性，即可求出所求函数最值，结论即可得证 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值．【答案】（1）22143x y +=； （2）43【解析】(1) 由22123sin ρθ=+得2223sin 12ρρθ+=，把222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式即可. (2) 将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22412x y +=中,得 1226cos 3sin t t αα-+=+，122903sin t t α-=<+，1212121211MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t ++-+===⋅，把1226cos 3sin t t αα-+=+， 122903sin t t α-=<+代入上式即可.【详解】解：（1）曲线22123sin ρθ=+，即2223sin 12ρρθ+=，由于222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以223412x y +=，即22143x y +=．（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22412x y +=中，得()223sin 6cos 90t t αα++-=，()2236cos 363sin 0αα∆=++>，设两根分别为1t ，2t ，则 1226cos 3sin t t αα-+=+，122903sin t t α-=<+， ∴1212121211MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t ++-+===⋅，12t t -===2123sin α=+．所以212122121143sin 933sin t t MA MB t t αα-++===+． 【点睛】考查把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线方程中t 的几何意义求与两根之和、之积有关的式子的值，中档题.23．已知函数()212f x x x =-+-． （1）解不等式()4f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭； （2）914【解析】（1）对()212f x x x =-+-分三种情况讨论去绝对值号，然后解不等式.（2）根据（1）先求出的m 值，用柯西不等式即可. 【详解】 解：（1）()133,21212=1,2233,2x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩当2x ≥时，334x -≥，解得73x ≥． 当122x <<时，14x +≥，解得x ∈∅． 当12x ≤时，334x -+≥，解得13x ≤-． 综上，原不等式的解集为1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭．（2）由（1）知，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴32m =．∴233a b c ++=． 由柯西不等式，有()()()222222212323a b c a b c ++++≥++，∴222914a b c ++≥． 当且仅当23b ca ==，即314a =，37b =，914c =时，等号成立．∴222a b c ++的最小值为914． 【点睛】考查有两个绝对值号的不等式的解法以及用柯西不等式证明不等式，中档题.。

河南省安阳市2019届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵，；∴．故选：A ．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于简单题目. 2.已知复数：，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，从而求出其所在的象限即可． 【详解】，故z 在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题． 3.已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A. 85B. 84C. 83D. 81【答案】A【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：．故选：A．【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知向量，，，则＝（）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】将两边平方可得．【详解】∵，∴，∴，∴故选：B．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．5.已知抛物线的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出M的坐标，得到p，然后求解|MF|．【详解】抛物线的焦点为，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于，两点，若，可得：，可得，所以，【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.设，，,则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c 大于1，从而得到结论．【详解】因为在上是为增函数，且，所以，即．，而．所以．故选：B．【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．7.的最小值为（）A. 18B. 16C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.在的展开式中，x的系数为（）A. 32B. ﹣40C. ﹣80D. 80【答案】C【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【详解】的展开式的通项为，令，得r＝1．∴x的系数为，故选：C．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列区间使函数单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可。

2019年河南高考理科数学真题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+ D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣3，2）B ．（2，3]C ．[﹣1，2）D ．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}＝[﹣1，3]， B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}＝（﹣∞，2）； ∴A ∩B ＝[﹣1，2）． 故选：C ．2．（5分）设复数z ＝1+i ，则5z +z 2＝（ ）A ．−52+i2B ．−52−i2C ．52+i2D ．52−i2【解答】解：∵z ＝1+i ，∴5z +z 2=51+i +(1+i)2=5(1−i)(1+i)(1−i)+2i=52−52i +2i =52−12i ． 故选：D ．3．（5分）cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（ ） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40° ＝cos70°sin50°+cos20°sin40° ＝cos70°sin50°+sin70°cos50° ＝sin （50°+70°） ＝sin120° =√32． 故选：D ．4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（ ）A ．1415B ．1315C ．29D ．79【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45（种）， 2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 32＝3（种）， 由对立事件的概率计算公式得P ＝1−345=1415． 故选：A ．5．（5分）已知函数f （x ）＝3ln （x +√x 2+1）+a （7x +7﹣x ），x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f（x ）为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a ＝0，则f （x ）＝3ln （x +√x 2+1），则f （﹣x ）+f （x ）＝3ln （﹣x +√x 2+1）+3ln （x +√x 2+1）＝3（ln （﹣x +√x 2+1）（x +√x 2+1） ＝3ln （x 2+1﹣x 2）＝3ln 1＝0，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数，即充分性成立， 若函数f （x ）是奇函数，则满足f （0）＝0，即f （0）＝0，即f （0）＝3ln 1+a （1+1）＝2a ＝0，则a ＝0，即必要性成立，则“a ＝0”是“函数f （x ）为奇函数”的充要条件， 故选：C ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ．64﹣2πB ．64+2πC ．80﹣2πD ．80+2π【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个14圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S ＝2×42+2×4×2+（2×42−12π×22）+14×2π×2×4＝80+2π． 故选：D ．7．（5分）若x ∈（e ﹣1，1），a ＝lnx ，b =(12)lnx ，c ＝e lnx ，则（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【解答】解：∵x ∈（e ﹣1，1） ∴a ＝lnx ＜ln 1＝0 即a ＜0考察幂函数f （t ）＝t lnx ∵lnx ＜0∴当t ＞0时，f （t ）是减函数 ∵12＜e∴b =(12)lnx ＞c =e lnx ＞0 所以有b ＞c ＞a 故选：A ．8．（5分）若将函数f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点（π2，0）对称，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是（ ） A ．−12B ．−√32C ．√22D ．12【解答】解：∵f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）＝2sin （2x +φ+π3），∴将函数f （x ）图象向左平移π4个单位后，得到函数解析式为：y ＝2sin[2（x +π4）+φ+π3]＝2cos （2x +φ+π3），∵函数的图象关于点（π2，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×π2+φ+π3）＝2cos （π+φ+π3）＝0，解得：π+φ+π3=k π+π2，k ∈Z ，解得：φ＝k π−5π6，k ∈Z ， ∵0＜φ＜π， ∴解得：φ=π6， ∴g （x ）＝cos （x +π6）， ∵x ∈[−π2，π6]，x +π6∈[−π3，π3]，∴cos （x +π6）∈[12，1]，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是12．故选：D ．9．（5分）已知变量x 、t 满足约束条件{x +2y ≥22x +y ≤44x −y ≥−1，则目标函数z ＝3x ﹣y 的最大值是（ ）A ．﹣4B ．−32C ．﹣1D ．6【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z ＝3x ﹣y 得y ＝3x ﹣z ， 显然直线过（2，0）时z 最大， z 的最大值是6， 故选：D ．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a−c b=cosC cosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．4√3B ．2√3C ．2D ．√3【解答】解：∵在△ABC 中2a−c b=cosC cosB，∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ， 约掉sin A 可得cos B =12，即B =π3，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =√34ac ≤4√3 故选：A ．11．（5分）抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=2√33|AB |， 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．π3B ．3π4C ．5π6D ．2π3【解答】解：因为x 1+x 2+4=2√33|AB|，|AF |+|BF |＝x 1+x 2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|． 在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1． 又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2． 所以cos∠AFB ≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB 的最大值为2π3，故选：D ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f ′（x ）为其导函数，若f （x ）+（x ﹣1）f ′（x ）＝x 2（x ﹣2），且f （e 2）＝0，则不等式f （e x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（2，+∞）【解答】解：函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数， 令φ（x ）＝（x ﹣1）f （x ），则φ′（x ）＝（x ﹣1）•f '（x ）+f （x ）＝x 2（x ﹣2）， ∴当x ∈（1，2）时，φ（x ）是单调减函数，x ∈（2，+∞）时，函数是单调增函数， ∵f （e 2）＝0，∴φ（e 2）＝（e 2﹣1）f （e 2）＝0，又φ（1）＝φ（e 0）＝0， ∴不等式f （e x ）＜0的解集就是（e x ﹣1）f （e x ）＜0的解集， 即φ（e x ）＜0，∴e 0＜e x ＜e 2，∴0＜x ＜2， 故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量a →=（1，0），|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，若c →=a →+b ，d →=a →−b →，则c →在d →方向上的投影为 −√3 ．【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，a →，b →的夹角为60°； ∴a →⋅b →=1；∴d →2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2+4=3； ∴|d →|=√3，且c →⋅d →=a →2−b →2=1−4=−3； ∴c →在d →方向上的投影为：|c →|cos ＜c →，d →＞=|c →|⋅c →⋅d→|c →||d →|=−3√3=−√3． 故答案为：−√3．14．（5分）在(x −1x −1)4的展开式中，常数项为 ﹣5 ．【解答】解：(x −1x −1)4的展开式中的通项公式：T r +1=∁4r （﹣1）4﹣r (x −1x)r （r ＝0，1，2，3，4）．∵(x −1x )r 的通项公式：T k +1=∁r k x r−k (−1x )k =（﹣1）k ∁r k xr ﹣2k，令r ﹣2k ＝0，即r ＝2k ．r ＝0，k ＝0；r ＝2，k ＝1；r ＝4，k ＝2．∴常数项＝1−∁21×∁42+∁42×1＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（b ＞a ＞0），焦距为2c ，直线l 经过点（a ，0）和（0，b ），若（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为 √3 ．【解答】解：直线l 的方程为xa +y b=1，即为bx +ay ﹣ab ＝0，c 2＝a 2+b 2，（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ， 可得：√a 2+b 2=2√23c ，即有3ab =√2c 2，即9a 2b 2＝2c 4，即9a 2（c 2﹣a 2）＝2c 4， 9a 2c 2﹣9a 4﹣2c 4＝0，由于e =ca ，则2e 4﹣9e 2+9＝0， 解得，e 2＝3或e 2=32．由于0＜a ＜b ，即a 2＜b 2，即有c 2＞2a 2，即有e 2＞2， 则e =√3或e =√62舍去．故答案为：√3．16．（5分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得C 1在平面ABD 外，若C 1在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是 （1，√2） ．【解答】解：∵在等腰Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点， ∴AC ＝BC =√2，∠ACB ＝90°，将△ACD 沿直AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外， 且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH ＝x ， ∴AC 1＝AC =√2，CD ＝C 1D ∈（0，√2），∠AC 1D ＝90°， C 1H ⊥平面ABC ，∴AH ＜AC 1=√2，当CD =√2时，B 与D 重合，AH ＝1，当CD ＜√2时，AH ＞12AB ＝1， ∵D 为直角边BC 上的一点， ∴CD ∈（0，√2），∴AH 的取值范围是（1，√2）． 故答案为：（1，√2）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝r ，S n ＝a n +1−132(n ∈N ∗)． （Ⅰ）试确定r 的值，使{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，S 1=a 2−132，a 2=a 1+132， 当n ≥2时，S n−1=a n −132，与已知式作差得a n ＝a n +1﹣a n ，即a n +1＝2a n （n ≥2）， 欲使{a n }为等比数列，则a 2＝2a 1＝2r ， 又a 2=a 1+132，∴r =132， 故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−6；（Ⅱ）由（I ）知b n ＝n ﹣6，∴|b n |={6−n ，n ＜6n −6，n ≥6，若n ＜6，T n =−b 1−⋯−b n =11n−n 22， 若n ≥6，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =n 2−11n2+30，∴T n ={11n−n 22，n ＜6n 2−11n2+30，n ≥6． 18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；（i）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人，乙部门的员工中抽取：7×4832+48+32=3人，丙部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人．（Ⅱ）（i）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）=C43C73=435，P（X＝1）=C31C42C73=1835，P（X＝2）=C32C41C73=1235，P（X＝3）=C33C73=135，∴随机变量X的分布列为：X0123P43518351235135E（X）=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97，D（X）＝（0−97）2×435+（1−97）2×1835+（2−97）2×1235+（3−97）2×135=198343．（ii）抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数n=C73=35，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数m=C73−C33−C43=30，∴事件A 发生的概率P （A ）=m n =3035=67． 19．（12分）已知五边形ABECD 有一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD ，将梯形ABCD 沿着BC 折起，形成如图2所示的几何体，且AB ⊥平面BEC ． （1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF ∥=12AB ．∵DC =∥12AB ，：．CD ∥GF 且CD ＝GF ，：．四边形CFGD 为平行四边形， ：．CF ∥DG ．∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF ． ∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面ABE ， ∵CF ∥DG ， ∴DG ⊥平面ABE ，∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE ．以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A （0，﹣2.4），B （0，﹣2，0），D （0，2，2），E （2√3，0，0）， ∴ED →=（﹣2√3，2，2），EA →=（﹣2√3，﹣2，4），EB →=（﹣2√3，﹣2，0）， 设平面EAD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅ED →=0n →⋅EA →=0，即{−√3x +y +z =0−√3x −y +2z =0． 取z ＝2，得x =√3，y ＝1，则n →=（√3，1，2），设平面BDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0， 即{−√3x +y +z =0√3x +y =0，取x ＝1，得y =−√3，z ＝2√3，则m →=（1，−√3，2√3）．cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√64，又由图可知，二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角为锐角， 即二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值是√64．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|•|PF 2|的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线x 24−y 212=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P （﹣1，32），过点P 作两条直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切且分别交椭圆于M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值． 【解答】解：（Ⅰ）双曲线x 24−y 212=1的离心率为42=2，可得椭圆C 的离心率为12，设椭圆的半焦距为c ，∴a ＝2c ， ∵|PF 1|•|PF 2|≤（|PF 1|+|PF 2|2）2＝a 2，∴a 2＝4， ∴c ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3 ∴椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：显然两直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由于直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切，则有k 1＝﹣k 2， 直线l 1的方程为y −32=k 1（x +1）， 联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12，消去y ，得x 2（3+4k 12）+k 1（12+8k 1）x +（3+2k 1）2﹣12＝0， ∵P ，M 为直线与椭圆的交点，所以x 1﹣1=−k 1(12+8k 1)3+4k 12，同理，当l 2与椭圆相交时，x 2﹣1=k 1(12−8k 1)3+4k 12，∴x 1﹣x 2=−k 1(12+8k 1)3+4k 12−k 1(12−8k 1)3+4k 12=−24k 13+4k 12，而y 1﹣y 2＝k 1（x 1+x 2）+2k 1=12k 13+4k 12， ∴直线MN 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−12．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x −√x ． （Ⅰ）判断f(x)x的单调性；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的零点的个数；（Ⅲ）令g （x ）=2f(x)+√x +lnx ，若函数y ＝g （x ）在（0，1e）内有极值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x ）=f(x)x =x 2﹣1x（x ＞0）， 则φ'（x ）＝2x 12√x 0，∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝320，且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴φ（x ）在（1，2）内有零点，又f （x ）＝x 3﹣x −√x =x •φ（x ），显然x ＝0为f （x ）的一个零点， ∴f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g （x ）=ax 2+ax x 3−x +lnx ＝lnx +ax−1，则g '（x ）=1x −a (x−1)2=x 2−(2+a)x+1x(x−1)2， 设h （x ）＝x 2﹣（2+a ）x +1，则h （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2，且有一根在（0，1e）内，不妨设0＜x 1＜1e，由于x 1x 2＝1，即x 2＞e ， 由于h （0）＝1，故只需h （1e ）＜0即可，即1e 2−（2+a ）⋅1e +1＜0，解得a ＞e +1e−2，∴实数a 的取值范围是（e +1e−2，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点M （3，0），求△MAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ﹣ρ2sin 2θ＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴x 2+y 2﹣4x ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为（2，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）点B 的极坐标为（2√3，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|AB |＝|2﹣2√3|＝2√3−2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） M （3，0）点到射线θ=π6（ρ≥0）的距离为d ＝3sin π6=32，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB |d =12×(2√3−2)×32=3√3−32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（Ⅱ）当时x ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）|2x +2|﹣5≥|x ﹣1|等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1， 解得x ≤﹣8或x ∈∅或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）； （Ⅱ）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x ＝1|＝3|x +1|﹣5＝3x ﹣2＞0， 只需g （﹣1）＝﹣3﹣2＞0，不可能！当m ＞﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝|x ﹣m |+2x ﹣3={3x −m −3，x ≥m x +m −3，x ＜m ，要使函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，则g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1+m ﹣3＞0，可得m ＞4，当m ＜﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝3x ﹣m ﹣3＞0恒成立， 只需要g （x ）min ＝﹣3﹣m ﹣3＞0，可得m ＜﹣6，综上所述，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）．。