八年级数学下册矩形知识点及同步练习(含答案)

18．2.1矩形第1课时矩形的性质1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD2．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )A．8 B．6 C．4 D．2 3．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10.求：(1)矩形较短边的长；(2)矩形较长边的长；(3)矩形的面积．6．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若∠A ＝20°，则∠BDC ＝( )A ．30°B ．40°C ．45°D ．60° 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，点D 是AB 的中点，则CD ＝ ．8．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝12，则HE 等于( )A ．24B ．12C ．6D ．8 9．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E.若OE ∶ED ＝1∶3.AE ＝3，则BD ＝( )A ．2 3B ．4 3C ．4D ．2 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是( )A ．1 B.74 C ．2 D.12511．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E ，F ，连接PB ，PD.若AE ＝2，PF ＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．10 B．12 C．16 D．18 12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积．13．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F 分别是AD，BC的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．第2课时 矩形的判定1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是 ．(写出一种情况即可)2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CE ∥AB ，且CE ＝12AB.求证：四边形CDBE 是矩形．3．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AC ＝BD.试添加一个条件 ，使四边形ABCD 为矩形．4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD.求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．6．下列命题正确的是( )A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形B ．四条边相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是矩形7．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为边AD ，AB ，BC ，CD 的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为 ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 ．10．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.12．如图，在△ABC中，点Q是边AC上一个动点，过点Q作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求QC的长；(2)连接AE，AF.问：当点Q在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案：18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质1．D 2．C 3． 8． 4．2.5_cm ．5．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB. 又∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形． ∴AB ＝OA ＝12AC ＝5，即矩形较短边的长为5.(2)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝5，AC ＝10， 则BC ＝AC 2－AB 2＝102－52＝5 3. 即矩形较长边的长是5 3.(3)矩形的面积S ＝AB·BC ＝5×53＝25 3. 6．B 7．3． 8．B 9．C 10．B 11．C12．解：∵BE 为ED 所折， ∴BE ＝ED.∵AD ＝9，设AE ＝x ，则ED ＝BE ＝9－x ，在Rt △ABE 中，AB ＝3，AE ＝x ，BE ＝9－x. ∴BE 2＝AE 2＋AB 2. ∴(9－x)2＝x 2＋32. ∴x ＝4. ∴AE ＝4.∴S △ABE ＝12AB·AE ＝12×3×4＝6.13．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠BFE ＋∠BEF ＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°.∴∠BEF ＝∠CFD. 在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD(ASA)． ∴BF ＝CD.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD. 在△ABM 和△CDN 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD ，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O. 在△AEO 和△CFO 中，⎩⎨⎧∠EOA ＝∠FOC ，∠EAO ＝∠FCO ，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)． ∴EO ＝FO ，AO ＝CO. ∴O 为EF ，AC 中点．∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.第2课时 矩形的判定1．答案不唯一，如：AD ＝BC 或AB ∥CD 等． 2．证明：∵AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴CD ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB.∴∠CDB ＝90°. ∵CE ＝12AB ，∴CE ＝BD. ∵CE ∥AB ，∴CE ∥BD.∴四边形CDBE 为平行四边形．又∵∠CDB ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形．3．答案不唯一，如：AB ∥CD4．证明：∵在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AC ＝2AO ，BD ＝2OD.∵OA ＝OD ，∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别是∠DAB ，∠ADC 的平分线，∴∠FAD ＝∠BAE ＝12∠DAB ， ∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC. ∴∠FAD ＋∠FDA ＝90°.∴∠AFD ＝90°.同理：∠BHC ＝∠HEF ＝90°.∴∠AFD ＝∠BHC ＝∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是矩形．6．A7．A8． 12．9．125． 10．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ＝BC.∴∠BAE ＝∠CFE ，∠ABE ＝∠FCE.∵E 为BC 的中点，∴EB ＝EC.∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF.又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AD ＝BC ，AD ＝AF ，∴BC ＝AF.∴四边形ABFC 是矩形．11．证明：(1)∵AB ∥DC ，FC ＝AB ，∴四边形ABCF 是平行四边形．又∵∠B ＝90°，∴四边形ABCF 是矩形．(2)∵四边形ABCF 是矩形，∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.∴∠DAF ＝90°－∠D ，∠CGF ＝90°－∠ECD.∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∴∠DAF ＝∠CGF.又∵∠EGA ＝∠CGF ，∴∠DAF ＝∠EGA.∴EA ＝EG.12．解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠QCE ＝∠BCE ，∠QCF ＝∠DCF.∵EF ∥BC ，∴∠QEC ＝∠BCE ，∠QFC ＝∠DCF.∴∠QEC ＝∠QCE ，∠QFC ＝∠QCF.∴QE ＝QC ，QF ＝QC.∴QE ＝QF.∵∠QCE ＋∠BCE ＋∠QCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠ECF ＝90°.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴QC ＝QE ＝12EF ＝5. (2)当点Q 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连接AE ，AF.当Q 为AC 的中点时，AQ ＝CQ ，∵EQ＝FQ，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．。

18.3矩形【知识点】1 矩形的定义：有一个角是____________的____________叫做矩形.2 矩形的性质：（1）矩形的四个角都是____________.（2）矩形的对角线____________.3 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于_________的一半.4 矩形的判定：（1）有一个角是____________________的平行四边形是矩形；（2）____________________的平行四边形是矩形；（3）____________________都是直角的四边形是矩形.【例题讲解】例1 如图，在矩形ABCD中，点E，点F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE＝AF，连接AE，DE，BF.（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AF＝1，AB＝2，AD=5，求证：AE平分∠DEB.例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，求CD的长.例3 如图，在ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形.【举一反三】1 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，四边形ACDF为矩形，试求出∠BCD的度数.2 如图，△ABC中，AB＝AC，AD，CE是高，连接DE.（1）求证：BC＝2DE；（2）若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数.3 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD. 求证：四边形ABCD是矩形.【知识操练】中位线定理1 如图18-16-8，矩形ABCD 的对角线AC ＝8 cm ，∠BOC ＝120°，则BC 的长为（ ） A.32cm B. 4 cm C.34cm D. 8 cm2 如图18-16-9，在矩形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O ，∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°3 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是（ ）A. 2B. 4C. 8D. 164 如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A. AB=BEB. BE ⊥DCC. ∠ADB=90°D. CE ⊥DE5 如图，要使平行四边形ABCD 成为矩形，需添加的条件是（ ）A. ∠1＝∠2B. ∠ABC ＝90°C. AC ⊥BDD. AB ＝BC6 如图18-17-6，在△ABC 中，AC 的中垂线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E. 若∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ） A.32 B. 22 C. 33 D. 237 如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E ，F 分别是BD ，DC 的中点，若AB ＝8，BC ＝6，则AE+EF 的长为____________.8 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，试添加一个条件：_________________________,使四边形ABCD 为矩形.9 如图18-16-12，四边形ABCD 为矩形，AE ⊥EG ，已知∠1＝25°，则∠2＝____________________10 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是__________________________________.11 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，AC ＝4，CD ＝3. 求直角边BC 的长.12 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P沿A→B→C→O运动，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为_________________________.13 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则矩形OABC的对角线AC长是________.14 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，OE交CD于点F. 求证：AD＝2EF.15 如图，AB丄AC于点A，BD丄CD于点D，O是BC的中点，若BC=6 cm，∠AOD=60°，求AD的长.16 如图，在矩形ABCD中，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）若AB＝4 cm，AD＝5 cm，当EF⊥BD时，求四边形ABFE的面积.17 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为点F，G. 求证：PF+PG=AB.18 如图，在☐ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形.19 在平面直角坐标系中，A（-2，-2），B（2，2），C（0，4），当点D的坐标为__________________时，四边形ABCD是矩形.20 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，若DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？20如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON=OB，再延长OC至点M，使CM=AN.求证:四边形NDMB为矩形．21 如图，☐ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE的位置，已知AO＝1，BO＝2，AB＝5. 求证：四边形OCED是矩形.22 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，连接AE,AF. （1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.。

第5章特殊平行四边形5.1 矩形(1)A练就好基础基础达标1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A)A．对角线相等B．对角相等C．对边相等 D．对角线互相平分224 cm，则这个矩形的一条较短边为( C)A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm3．若矩形的对角线长为4 cm，一条边长为2 cm，则此矩形的面积为( B)A．8 3 cm2 B．4 3 cm2C．2 3 cm2 D．8 cm24．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( C) A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC4题图5题图5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于点E，F.已知AB＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积是( A)A．3 B．4 C．6 D．126．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是__2.5__ cm.7．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE.若∠DCE∶∠ECB＝3∶1，则∠ACE＝__45°__.8题图8．如图所示，将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABC′D′的形状，并使其面积为长方形面积的22(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为__45__度．解：过点C′作AB的垂线，垂足是点，如图所示：∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABC′D′的形状，并使其面积为矩形木框的22，∴C′E＝22BC＝22BC′，∴BC′＝2C′E，∴∠C′BE＝∠D′AB＝45°.9．如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.(1)求证：∠ACD＝∠ABD.(2)若矩形ABCD的面积为120 cm2，周长为46 cm，求AC的长．解：(1)证明：在矩形ABCD中，易得∠DCB＝∠ABC＝90°，OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DCB－∠OCB＝∠ABC－∠OBC，∴∠ACD＝∠ABD.(2)在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝17.10．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若AB ＝1，∠AEB＝15°，求AD的长度．解：如图，连结AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD，∴∠E＝∠DAE.又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE.∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝2，∴AD＝BD2－AB2＝ 3.B更上一层楼能力提升11．如图所示，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( A)A．S1＝S2B．S1＞S2C．S1＜S2 D．3S1＝2S212．如图所示，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF长度的最小值是__2.4__．12题图13题图13．如图所示，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E .若∠CAE ＝15°，则∠BOE 的度数是__75°__．14．2018·威海矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连结AF ，取AF 的中点H ，连结GH .若BC ＝EF ＝2，CD ＝CE ＝1，求GH 的长．第14题图 第14题答图解：如图，延长GH 交AD 于点P ，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是矩形，∴∠ADC ＝∠ADG ＝∠CGF ＝90°，AD ＝BC ＝2，GF ＝CE ＝1，∴AD ∥GF ，∴∠GFH ＝∠PAH .又∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH .在△APH 和△FGH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∵∠PAH ＝∠GFH ，AH ＝FH ，∠AHP ＝∠FHG ，∴△APH ≌△FGH (ASA )，∴AP ＝GF ＝1，GH ＝PH ＝12PG ， ∴PD ＝AD －AP ＝1.∵CG ＝2，CD ＝1，∴DG ＝1，∴GH ＝12PG ＝12×PD 2＋DG 2＝22. 15．如图所示，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED . 求证：AE 平分∠BAD .证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD,∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED .又∵EF ＝ED ，∴△EBF ≌△DCE (AAS )．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB ，∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°.∴∠EAD ＝45°.∴∠BAE ＝∠EAD .∴AE 平分∠BAD .C 开拓新思路 拓展创新16．如图所示，四边形ABCD 是矩形，P 是矩形外一点，且PA ＝PB .(1)求证：PD ＝PC .(2)若△PAB 的面积为S 1，△PCD 的面积为2，则矩形的面积为________．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°.∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∴∠PAD ＝∠PBC .⎩⎪⎨⎪⎧在△APD 和△BPC 中，∵PA ＝PB ，∠PAD ＝∠PBC ，AD ＝BC ，∴△APD ≌△BPC (SAS )，∴PD ＝PC .(2)2(S 1－S 2)。

18.2.1矩形同步练习一．选择题1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D2．如图，矩形ABCD的长BC＝20cm，宽AB＝15cm，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AE、ED的长分别为（）A．15cm和5cm B．10cm和5cm C．9cm和6cm D．8cm和7cm3．取一张长方形纸片，过长方形的任意一个顶点将纸片折叠（只折一次），那么折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．不确定4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE ＝EO，则AD的长是（）A．6B．2C．3D．25．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连接BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED ＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC＝2，∠DAO＝30°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.210．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题11．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为．12．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F都在CD上，点P在AD上，连接PE，若EF＝PE，∠FBP＝∠ABP，2∠APB+∠DPE＝180°，则线段AP的长为．14．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，△CEF为等腰直角三角形，CE＝EF，∠CEF＝90°，∠BAD的平分线交CF于点H，连接BH．若BH＝，AF＝，则△ABH的面积为．15．如图，矩形ABCD，O为对角线交点，以AO，AB为邻边作平行四边形ABC1O，AC1交OB 于点O1；以AO1，AB为邻边作平行四边形ABC2O1…，若S矩形ABCD＝a，则＝．三．解答题16．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD ＝EF．17．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．参考答案一．选择题1．解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝20cm，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝15cm，∴DE＝AD﹣AE＝5cm，故选：A．3．解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD＝90°，∵AE是任意一条折痕，∴∠BAE+∠DAE＝90°，即折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是互余；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，故选：B．5．解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴MD长为5．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∴α+β+γ＝90°，∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∴2α+β＝90°，∴α+β+γ＝2α+β，∴α＝γ，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝，∴OF＝tan30°×BO＝1，∴CF＝1，故选：A．8．解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．故选：B．9．解：如图，设A′B′交AC于点E，tan∠DAC＝＝，设AA′＝x，A′D＝2﹣x，∵AD＝2，DC＝3，∴＝，∴A′E＝x，∵两个三角形重叠部分的面积是S＝AE×A′D＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，解当x＝1时，阴影部分的面积最大，AA′＝1，故选：A．10．解：①设AB＝a，则AD＝a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．∴在Rt△ABE中，AE＝a，∴AE＝BE．①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，∴DH＝AH＝a．∴DH＝DC．根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED＝∠CED 正确；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB．∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°．又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD．∠HEB＝∠FDH＝45°，又BE＝DH＝a，∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH＝HF，③正确；④由△BHE≌△HFD得到HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝，则CF＝a﹣（）＝2a﹣，∴，即CF＝DF，∴④错误；⑤BC＝a，CF＝2a﹣，HE＝，∴BC﹣CF＝2HE，∴⑤正确；综上所述，正确的是①②③⑤共4个．故选：B．二．填空题11．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4．故答案为：4．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△F AH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．13．解：分别延长PE、BF，交于点G，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∵2∠APB+∠DPE＝180°，∴∠APB＝∠GPB．在△P AB和△PGB中，，∴△P AB≌△PGB（ASA），∴PG＝P A，∠A＝∠G＝90°，在△DPG和△EFG中，，∴△DPE≌△GFE（AAS），∴DP＝DG，∴PE+GE＝DE+EF，即PG＝DF，∴PG＝DF＝P A，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，∴GF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣GF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP＝．故答案为：．14．解：如图，连接EH，延长AH交DC的延长线于N，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（SAS），∴AE＝CD，DE＝AF＝，∴AE＝CD＝AB，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠DAN＝∠N＝45°，∴AD＝DN，∴AF＝CN，在△AFH和△NCH中，，∴△AFH≌△NCH（AAS），∴FH＝HC，又∵∠ABC＝90°，∴BH＝FH＝HC＝，∴CF＝2，设BF＝x，则AB＝+x，∴AD＝2+x＝BC，∵CF2＝BF2+BC2，∴40＝x2+（2+x）2，∴x＝2，（负值舍去），∴BF＝2，BC＝4，∴BF＝2AF，∴S△AFH＝S△BFH，∵S△BFC＝×BF×BC＝×2×4＝8，∴S△BFH＝4，S△AFH＝2，∴S△ABH＝2+4＝6，故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABC1O是平行四边形，∴S△ABO＝S矩形ABCD，S△ABO＝S，∴S＝S矩形ABCD＝，同理可得：平行四边形ABC2O1的面积＝，平行四边形ABC3O2的面积＝，…∴平行四边形ABC2020O2019的面积＝．故答案为：．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EF＝BF+BE，∵BC＝CE+BE，BF＝CE，∴EF＝BC，∴AD＝EF．17．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．。

中考数学复习----《矩形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

2.利用平行四边形判定：①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

专项练习题1、（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符合题意；D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．2、（2022•恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4sD．当CD＝PM时，t＝4s或6s【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，∵AD＝10cm，BC＝8cm，∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10﹣t＝t，解得t＝5，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形，DP＝CM，即t＝8﹣t，解得t＝4，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即8﹣t＝t，解得t＝4，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝10﹣t+，又∵BM＝t，∴10﹣t+＝t，解得t＝6，综上，当CD＝PM时，t＝4s或6s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．3、（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D．∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．4、（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．5、（2022•怀化）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．故选：D．6、（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠A ＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A ＝90°（答案不唯一）．7、（多选）．（2022•潍坊）利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题错误的是（ ）A ．若ab ＝0，则a ＝0B ．对角线相等的四边形是矩形C ．函数y ＝x2的图像是中心对称图形 D ．六边形的外角和大于五边形的外角和【分析】由等式的性质、矩形的判定、反比例函数的图像以及多边形的外角和分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，故选项A 符合题意；B 、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B 符合题意；C 、函数y ＝的图像是中心对称图形，故选项C 不符合题意；D 、六边形的外角和＝五边形的外角和＝360°，故选项D 符合题意；故选：ABD ．。

八年级数学《矩形》同步练习随堂演练一、填空题1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：BA＝．2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD= cm.3．如图矩形ABCD中，E是CD的中点，且AE⊥EB，若S EAB＝8cm2，则AD＝，AB＝ .4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长为，对角线的长 .5．在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是 .6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，如图，且四边形AFDE为矩形，若EF＝5，矩形AFDE的面积为12，则AC= .7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE交AB于点F，则AF= ．8．如图，宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点C′位置，BC′交AD于G，再折叠一次使点D与点A重合．得折痕EN，EN交AD于点M，则点ME的长为 .二、选择题1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cmC．4cm和11cm D．7cm和8cm2．下列四边形中，不是矩形的是（）A．三个角都是直角的四边形B．四个角都相等的四边形C．一组对边平行且对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形3．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠ADE ：∠EDC ＝3：2，则∠BDE 的度数（ ）A ．18°B ．36°C ．54°D ．72°4．已知矩形ABCD 对角线相交于O ，且AB ：BC=1：2，AC ＝3cm ，则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．（6+23）cmB ．5518cmC ．（6+556）cmD ．12cm5．矩形具有的特征而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）A ．对角线相等B ．对边相等C ．对角相等D ．对角线互相平分6．矩形的两条对角线与各边围成的三角形中，共有多少对全等的三角形（ ）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对7．矩形的对角线所成的角是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）A ．57．5°B ．32．5°C ．57．5°，33．5°D ．57．5°，32．5°8．下面真命题的个数是（ ）（1）矩形是轴对称图形，又是中心对称图形（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（3）两条对角线相等的四边形是矩形（4）有两个角相等的平行四边形是矩形（5）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个三、判断题1．两条对角线互相垂直并且相等的四边形是矩形（ ）2．两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形（ ）3．矩形是轴对称图形，而且有四条对称轴（ ）四、解答题1．已知，如图在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AD=DC=BD ，DF ，DE 分别是∠ADC ，∠BDC 的平分线．求证：四边形DECF 是矩形．2．已知：如图AC 、BD 的交点O 是四边形ABCD 的对称中心，且∠A ＝90°．求证：四边形ABCD 是矩形．3．已知：如图△ABC中，CE⊥AD于点E，BD⊥AD于点D，M是BC的中点．求证：ME=MD.4．已知：如图，矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE＝15°.求∠COD与∠COE的度数．5．如图：多边形ABCDEFGH相邻两边都互相垂直，若要求出其周长，那么最少要知道多少条边的长度？参考答案一、填空题1．1：2 2．12 3．8cm m 32 4．5，105．15° 6．7 7．10 8．127 二、选择题1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C三、判断题1．× 2．× 3．×四、解答题1．证明：因为AD ＝CD ＝DB ，所以∠DCA ＝∠A ，∠BCD ＝∠B所以∠ACB=∠DCA+∠BCD ＝∠A+∠B又因为∠ACB+∠A+∠B ＝180°所以2∠ACB ＝180°，即∠ACB ＝90°因为DF 平分∠ADC ，DE 平分∠BDC又AD ＝CD ＝DB所以DE ⊥BC ，DF ⊥AC所以∠DEC ＝∠DFC ＝90°所以四边形DECF 是矩形点拨：要判断DECF 是矩形，除了根据定义判断外，还可用有三个角是直角的四边形，或者对角线相等的平行四边形．由题设AD ＝CD ＝BD 知△ADC ，△BDC 都是等腰三角形．又DF ，DE 是角平分线，所以DF ⊥AC ，DE ⊥BC.2．证明：因为四边形ABCD 是关于O 的中心对称图形，则相对的顶点是关于O 点的对称点，所以OA ＝OC ，OB ＝OD ，即AC ，BD 互相平分于点O ，所以四边形ABCD 是平行四边形．又因为∠A ＝90°,所以四边形ABCD 是矩形．点拨：由O 是对称中心，易知OA ＝OC ，OB ＝OD ，可得四边形为平行四边形，根据定义，只要有一个角为90°，即可．3．证法一：延长DM 交CE 于点N ，延长EM 交BD 延长线于点H ，连结HN.因为CE ⊥AD ，BD ⊥AD ，所以CE ∥BD ，所以∠NCM ＝∠DBM,又∵CM ＝BM ，∠CMN=∠BMD ，所以△CMN ≌△BMD ，所以NM ＝DM ，同理可证EM ＝HM.所以四边形EDHN 是平行四边形，又因为CE ≌AD ，所以EDHN 是矩形．所以EH ＝DN 所以ME ＝MD ．证法二：延长DM 交CE 于点N ，同证法一△CMN ≌△BMD ，所以NM ＝MD ，即M 为DN 的中点，所以ME ＝MD点拨：注意到CE ⊥AD ，BD ⊥AD ，提示构造矩形EDNH ，使它的对角线交于点M 来证． 另若延长DM 交CE 于点N ，则构成直角三角形，可设想到利用直角三角形斜边上的中线性质来证．4．解：因为DE 平分∠ADC ，所以∠ADE ＝45°,所以∠ADB ＝∠ADE-∠ODE ＝45°-15°＝30°．所以∠ODC ＝∠ADC-∠ADB ＝90°-30°＝60°.因为ABCD 为矩形，所以△OCD 为等腰三角形．所以∠COD ＝180°-2∠ODC ＝60°,所以△OCD 是等边三角形．所以OC ＝CD ．又在Rt △ECD 中∠EDC ＝45°,所以CE ＝CD ．所以OC ＝CE ．又因为ABCD 是矩形，所以∠OCE ＝∠ADB ＝30°．所以△CEO 中，∠COE=21（180°-∠OCE ）＝21（180°-30°）＝75°．点拨：由于ABCD 为矩形，求∠COD 的度数，只要先求出∠CDO 或∠DCO 的度数，由图及题设条件可知．由于DE 平分∠ADC ，∠BDE=15°，可求出∠ADB ＝30°，从而可求出∠ODC ＝60°，故∠DOC ＝60°显然△COD 是等边三角形，△CED 是等腰直角三角形，从而可知△CEO 中CE ＝CO,∠OCE ＝30°,则∠COE=21（180°-∠OCE ）＝21（180°-30°）＝75°． 5．解：至少需要知道三条边的长度．。

18.2.1矩形同步习题一．选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．对边相等D．对角线相等2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（）A．5B．C．D．3．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．15cm2D．48cm24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE．求AE的长（）A．B．3C．D．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，AB＝6，∠ACB＝30°则MN的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图所示，矩形ABCD中，BC＝2AB，E为BC上的一点，且AE＝AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是边BC的中点，AO＝，AD＝4，则OE的长为（）A．1B．C．2D．8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2B．4.5C．5.2D．5.59．如图，长方形ABCD中，F是BC上（不与B、C重合）的任意一点，图中面积相等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对10．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为．12．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为AB，OA的中点．若MN＝2，CD＝4，则∠ACB的度数为．13．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．14．如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝4，BC＝7．则图中阴影部分的面积为．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于F，则PE+PF的值为_____．三．解答题16．如图，在矩形ABCD中，点F是BC边上一点，DE⊥AF于E，且DE＝DC，求证：△ABF ≌△DEA．17．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若点F是BC的中点，求AE的长．18．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．（1）求BC的长；（2）求证：CE⊥EF．参考答案一．选择题1．解：A、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；故选：D．2．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D．3．解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，∴斜边＝2×6＝12（cm），∴面积＝×12×4＝24（cm2）．故选：B．4．解：∵DE＝3BE，∴BD＝4BE，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝DO＝BD＝2BE，∴BE＝EO，又∵AE⊥BO，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝30°，又∵AE⊥BD，∴AE＝AD＝3，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴BO＝AB＝6，∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN＝BO＝3，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠ADC＝90°，∵BC＝2AB，AE＝AD，∴AE＝2AB，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，AC＝2AO＝2，∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝2，∵E是边BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE＝CD＝1，故选：A．8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝S矩形ABCD，∴S△ABD＝S△AFD＝S矩形ABCD，S△ABF＝S△BFD，∴S△ADF＝S△BCD，S△ABE＝S△DEF，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，∵∠BOC＝120°＝∠AOD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，当OP⊥AD时，OP有最小值，∴OP＝OD＝3，故选：A．二．填空题11．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴∠DAB＝90°，DB＝AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵∠OAD＝55°，∴∠ODA＝∠OAD＝55°，∴∠OBA＝90°﹣∠ADB＝90°﹣55°＝35°，故答案为：35°．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵M，N分别为AB，OA的中点，∴BO＝2MN＝4，∴AO＝BO＝AB＝4，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，故答案为：30°．13．解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，OA＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB，由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，∴∠OBD＝∠AOB，∴BE＝OE，在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，∴OE＝BE＝，在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4﹣＝，由OE•DF＝OD•DE得וDF＝×2×，∴DF＝，在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（）2＝，∴OF＝，∴点D的坐标为（，﹣），故答案为：（，﹣）．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝7，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2＝AB，∴S△EAB+S△ECD＝AD•h1+BC•h2＝AD（h1+h2）＝AD•AB＝矩形ABCD的面积＝×7×4＝14；故答案为：14．15．解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝14S矩形ABCD＝14×6×8＝12，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝22226810 AB AD+=+=，∴AO＝OD＝5，∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF＝12，∴5PE+5PF＝24，PE+PF＝24 5，故答案为：24 5．三．解答题16．证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥CF，又∵DE＝DC，DE⊥AF，∴DF平分∠CFE，∴∠CFD＝∠DFE，∵CB∥AD，∴∠CFD＝∠ADF，∠AFB＝∠DAE，∴∠DF A＝∠ADF，∴AF＝AD，在△ABF和△DEA中，，∴△ABF≌△DEA（ASA）．17．解：（1）△DEF是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，∴∠BFE＝∠DEF，∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2，∵点F是BC的中点，∴FC＝＝1，Rt△DCF中，∠C＝90°，∴DF＝，∴DE＝DF＝，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣．18．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，∵AF＝2，∴BF＝1，∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，∴BC＝＝＝，∴BC的长是；（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝，∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，∴根据勾股定理得，EF＝＝，∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，∴根据勾股定理得，EC＝＝，∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3，∴CE2+EF2＝CF2，∴△CEF是直角三角形，∴CE⊥EF．。

初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。

2021年人教版八年级数学下册《矩形》同步基础练习卷一、选择题1.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分2.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠25.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC6.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角7.有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．其中，正确的个数是（）A．2个 B．3个C．4个 D．5个8.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直9.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠一次，则图中全等三角形有（）A.2对B. 3对C. 4对D.5对10.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A.1B.2C.3D.411.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD等于（）A.5B.6C.7D.812.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形周长为16，则AE长是( )A.3B.4C.5D.7二、填空题13.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).14.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在C/、D/的位置上，EC′交AD于G，已知∠EFG=56°，那么∠BEG= .15.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E,∠DAE=3∠EAB，则∠ACD的度数为．16.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为．17.如图，△ABC中，若∠ACB=90°，∠B=55°，D是AB的中点，则∠ACD= °．18.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是_____三、解答题19.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.20.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若2OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE.(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的结论．22.如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F。

人教版初中数学八年级下册18.2.2 矩形的判定同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（　）A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A、四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，故选项A符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，，，，，选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；C、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；D、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．【答案】C【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接EC，∵矩形ABCD，，，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，∵，∴∠AOE=∠COE=90°，∵OE=OE，∴△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，在Rt△DEC中，，∴，∴x=5，∴AE=5，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OE BD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（）A．1B．C．D．【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，，最后根据线段和差即可得．【详解】解：四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，平行四边形是矩形，，，，，设，则，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），，，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（ ）A．48B．24C．32D．12【答案】D【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【详解】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF BD，且EF=BD=3．同理求得EH AC GF，且EH=GF=AC=4，又∵AC⊥BD，∴EF GH，FG HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，∴，且，且，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，∴，即，∵，，∴，故选：A．【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出．7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（）A．2B．2.4C．2.5D．2.6【答案】B【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．【详解】连接CM，∵ME AC，MF BC，∴MEC=MFC=90°,∵C=90°，∴四边形ECFM是矩形，∴EF=CM，当CM AB时，CM最短，如下图：当CM AB，，∴，∵在Rt ABC中，=，∴，∴CM=2.4，∴CM的最小值是2.4，∴EF=CM=2.4，∴EF的最小值是2.4．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况．二、填空题：8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可．【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．故答案是三个角是直角的四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．【答案】【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．【详解】解：如图，连接，分别为的中点，，，四边形为平行四边形，要使平行四边形为矩形，则，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．【答案】矩形【分析】首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【详解】解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，∵∠APQ+∠BPQ＝180°，∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，∵AB∥CD，∴∠APQ＝∠PQD，∵QN平分∠PQD，∴∠PQN＝∠PQD，∴∠MPQ＝∠NQP，∴PM∥QN，同理QM∥PN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵∠NPM＝90°，∴四边形PMQN是矩形．故答案为：矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23° ，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44° ．故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．【详解】如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中，∴△ADP≌△CDE，∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，∴DP2=36，∴DP=6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．三、解答题：14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．【详解】（1）证明：∵、，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．(1)求证：四边形是矩形．(2)若是的平分线．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证得；（2）根据勾股定理求出长，可证得，即可得出答案．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，即，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，，是的平分线，，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．如图，在四边形中，AD BC，．对角线交于点平分交于点，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，=，求△的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证；（2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．（1）证明：，，∵，，∴四边形是矩形．（2）解：在中，，，由（1）已证：四边形是矩形，，平分，，，，，则的面积为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)10°【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵于点E，于点F，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四边形ABCD是矩形；（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：，于点，于点，四边形是矩形，，，与互相平分，点是的中点，，当时，最小∵，，，故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（）A．28B．26C．22D．18【答案】A【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．【详解】解：，，是的中点，，在和中，，，，，，，四边形的周长，当最小时，即时四边形的周长有最小值，，，，四边形为矩形，，四边形的周长最小值为，故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，∴∠BAO＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，又∵AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③错误；∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴，故⑤正确；【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．二、填空题：4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.【答案】【分析】过点M作MH BC交CP于H，根据平行线的性质可得∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，利用勾股定理列式求出AP，然后可得PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．【详解】解：如图，过点M作MH BC交CP于H，则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在和中，，∴（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH＋FH＝CP，∵在平行四边形ABCD中，AD＝10，，∴BC＝AD＝10，平行四边形ABCD是矩形，∴BP＝BC＝10，在Rt中，AP＝，∴PD＝AD−AP＝10−6＝4，∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，∴在Rt中，CP＝，∴EF＝CP＝，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q 也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．【答案】2.4s或4s或7.2s【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q 由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q 再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论．【详解】解：根据已知可知：点Q由在点Q第一次到达点B过程中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，若，则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），在点Q由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在点Q再由过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），在点Q再由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），t=4（t-9），解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．故答案为：2.4s或4s或7.2s；【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．三、解答题：6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形．(2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键．7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．(1)求AB与CE之间的距离；(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；(3)当时，求t的值．【答案】(1)2.4(2)t为时，四边形PBCF为平行四边形(3)【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；（3）根据已知条件判定，即可得出，进而得到四边形为平行四边形，依据，即可得到四边形为矩形．再根据勾股定理即可得到的长，进而得出．（1）解：在中，，，．如图，过作于，则由，得．，与之间的距离为2.4．（2），当时，四边形是平行四边形．为的中点，为的中点．．（3），，．为的中点，，．，四边形为平行四边形．，．．四边形为矩形．．在中，，，．．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．。

2.矩形的判断1.如图 , 在平行四边形 ABCD中, 对角线 AC和 BD订交于点 O,则下边条件能判断平行四边形ABCD是矩形的是 ( A )(A)AC=BD(B)AC⊥ BD(C)AO=CO(D)AB=AD2.已知平行四边形 ABCD,AC,BD是它的两条对角线 , 那么以下条件中 , 能判断这个平行四边形为矩形的是 ( C )(A) ∠ BAC=∠ DCA(B) ∠ BAC=∠ DAC(C) ∠ BAC=∠ ABD(D) ∠ BAC=∠ ADB3.如图 , 四边形 ABCD是平行四边形 , 对角线 AC与 BD订交于点 O,∠ 1=∠ 2. 若 AC=13,BC=12, 则四边形ABCD的面积是 ( D )(A)20 (B)30 (C)50 (D)604.在四边形 ABCD中 ,AC 和 BD的交点为 O,不可以判断四边形 ABCD为矩形的是 ( C )(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD(B)AO=CO,BO=DO,∠ A=90°(C) ∠ A=∠ C,∠ B+∠ C=180°(D)AB∥ CD,AB=CD,∠A=90°5.如图 , 四边形 ABCD是平行四边形 , 增添一个条件 : ∠ ABC=90° ( 或 AC=BD等) , 可使它成为矩形 .6.如图 , 在△ ABC中 ,AB=AC,将△ ABC绕点 C 旋转 180°获得△ FEC,连接 AE,BF. 当∠ ACB为60°时 , 四边形 ABFE为矩形 .7. 如图 , 在两条平行直线 a 和 b 上用直角曲尺画两条直线, 则组成的四边形ABCD为矩形 .8.学完矩形的判断后 , 小明和小丽想实质应用一下 ( 查验教室的门能否为矩形 ). 依据小明和小丽的对话 , 你以为小明和小丽谁正确 :小明 : “我用直尺量这个门的两条对角线, 发现它们的长度相等, 因此这个四边形门就是矩形. ”小丽 : “我用角尺量这个门的随意三个角, 发现它们都是直角. 因此这个四边形门就是矩形. ”解: 小明的不必定是矩形, 只依据对角线相等不可以判断四边形为矩形;由于对角线相等的平行四边形是矩形, 因此小明的说法错误;小丽的必定是矩形, 由于有三个角是直角的四边形是矩形.因此小丽的说法正确.9.(2018北京门头沟期末) 已知 , 如图 , 在?ABCD中, 过点 D作 DE⊥ AB于点 E, 点 F 在边 CD上,DF=BE, 连接 AF 和 BF.(1)求证 : 四边形 BFDE是矩形 ;(2)假如 CF=3,BF=4,DF=5, 求证 :AF 均分∠ DAB.证明 :(1)由于四边形ABCD是平行四边形 ,因此 DF∥ BE.由于 DF=BE,因此四边形BFDE是平行四边形 .由于 DE⊥ AB,因此∠ DEB=90°.因此四边形BFDE是矩形 .(2)由于四边形 BFDE是矩形 ,因此∠ BFD=∠ BFC=90° .因此 BC==5, 因此 AD=BC=5.由于 DF=5,因此 AD=DF.因此∠ DAF=∠ DFA.由于 AB∥ CD,因此∠ DFA=∠ FAB.因此∠ DAF=∠ FAB.因此 AF 均分∠ DAB.10.如图 , 在△ ABC中 , 点 O是边 AC上一个动点 , 过点 O作直线 EF∥ BC分别交∠ ACB,外角∠ ACD 的均分线于点E,F.(1)若 CE=8,CF=6, 求 OC的长 ;(2)连接 AE,AF. 问 : 当点 O在边 AC上运动到什么地点时 , 四边形 AECF是矩形 ?并说明原因 . 解:(1) 由于 EF 交∠ ACB的均分线于点 E, 交∠ ACB的外角均分线于点 F,所以∠ OCE=∠BCE,∠ OCF=∠ DCF,由于 EF∥ BC,因此∠ OEC=∠ BCE,∠OFC=∠ DCF,因此∠ OEC=∠ OCE,∠OFC=∠ OCF,因此 OE=OC,OF=OC,因此 OE=OF.由于∠ OCE+∠ BCE+∠OCF+∠ DCF=180° ,因此∠ ECF=90° ,在 Rt △ CEF中 ,由勾股定理得EF===10,因此 OC=OE=EF=5.(2)当点 O在边 AC上运动到 AC中点时 , 四边形 AECF是矩形 . 原因 :连接 AE,AF, 以下图 ,当 O为 AC的中点时 ,AO=CO,由于 EO=FO,因此四边形AECF是平行四边形 ,由于∠ ECF=90° ,因此平行四边形AECF是矩形 .11.( 拓展研究 )(2018 青岛 ) 已知 , 如图 , 平行四边形 ABCD的对角线 AC与 BD订交于点 E, 点 G 为AD的中点 , 连接 CG,CG的延伸线交 BA的延伸线于点 F, 连接 FD.(1)求证 :AB=AF;(2)若 AG=AB,∠ BCD=120° , 判断四边形 ACDF的形状 , 并证明你的结论 .(1)证明 : 由于四边形 ABCD是平行四边形 ,因此 BF∥ CD,AB=CD,因此∠ AFG=∠ DCG.由于 GA=GD,∠ AGF=∠ CGD,因此△ AGF≌△ DGC.因此 AF=CD.因此 AB=AF.(2)解 : 四边形 ACDF是矩形 .证明以下 :由于 AF=CD,AF∥ CD,因此四边形ACDF是平行四边形 .因此 AG=DG,FG=CG.由于四边形ABCD是平行四边形 ,因此∠ BAD=∠BCD=120° .因此∠ FAG=60° . 由于 AB=AF,AG=AB,因此 AG=AF.因此△ AFG是等边三角形.因此 AG=GF.因此 AG=DG=FG=CG所.以 AD=CF.因此四边形ACDF是矩形 .12.(方程思想)如图, 在直角梯形ABCD 中,∠B=90°, AD∥BC,AB=14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm, 点 E 由点 A 出发沿 AD方向向点 D 匀速运动 , 速度为 1 cm/s, 点 F 由点 C 出发沿 CB方向向点 B 匀速运动 , 速度为 2 cm/s, 假如动点 E,F 同时从 A,C 两点出发 , 连接EF, 若设运动的时间为 t s, 解答以下问题 :(1)当 t 何值时 , 梯形 AEFB的面积是 91 cm2?(2)当 t 何值时 , 四边形 AEFB是矩形 ?解:(1) 依据题意 , 得 AE=t cm,CF=2t cm,则 BF=(21-2t)cm. 由于 S 梯形AEFB=91,因此×(t+21-2t)× 14=91.因此t=8.因此当 t=8 时 , 梯形 AEFB的面积是91 cm2.(2) 依据题意 , 得 AE=t cm,CF=2t cm,则 BF=(21-2t)cm.由于 AE∥ BF, ∠ B=90° ,因此当 AE=BF时 , 四边形 AEFB是矩形 .因此 t=21-2t.因此t=7.因此当 t=7 时 , 四边形 AEFB是矩形 .。

矩形知识点归纳及典型例题解析（提高）1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．【答案与解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD －∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ ＝30°(2)∵四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB．∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．∴△PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD ∥BC ， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=， ∴ 222a b c +=．2、如图所示，矩形ABCD 中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE ＝15°，求∠BOE的度数．【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝12AC，BO＝12BD，AC＝BD．∴ AO＝BO．∵ AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°．∴ ∠AEB ＝90°－45°＝45°＝∠BAE ． ∴ BE ＝AB ．∵ ∠CAE ＝15°，∴ ∠BAO ＝60°．∴ △ABO 是等边三角形．∴ BO ＝AB ，∠ABO ＝60°．∴ BE ＝BO ，∠OBE ＝30°．∴ ∠BOE ＝18030752-=°°°． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、（2015•连云港二模）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形BCDE是矩形．【思路点拨】（1）利用SAS证得两个三角形全等即可；（2）要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形BCED是平行四边形，且对角线相等．【答案与解析】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAB=∠DAC，在△ABE和△ACD中∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACD，∴BE=CD，又DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，∴∠EBC=∠DCB∵四边形BCDE为平行四边形，∴EB∥DC，∴∠EBC+∠DCB=180°，∴∠EBC=∠DCB=90°，四边形BCDE是矩形．【总结升华】本题主要考查矩形的判定，证明对角线相等的平行四边形是矩形，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．举一反三：【变式】（2015春•邗江区期中）如图，四边形ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A O=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．【答案与解析】证明：连接EG、DG，∵ CE是高，∴ CE⊥AB．∵在Rt△CEB中，G是BC的中点，∴ EG＝12BC，同理DG＝12BC．∴ EG＝DG．又∵ F是ED的中点，∴ FG⊥DE．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题．举一反三：【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）例11】【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B 分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）1 D.52【答案】A；解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，AB＝1，∴OE＝AE＝12DE＝2222+=+=，AD AE112∴OD的最大值为：21+.。

《矩形的判定》练习题一、选择——基础知识运用1．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD．∠A=∠B=90°，AC=BD2．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直3．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．如果再增加条件AC=BD，此四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能4．有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．其中，正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对）二、解答——知识提高运用6．已知，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=12，BD=13．求证：平行四边形ABCD是矩形。

7．如图所示，在□ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形，求证：□ABCD是矩形。

8．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点，求证：四边形PQMN是矩形。

9．如图，□ABCD与□ABEF中，BC=BE，∠ABC=∠ABE，求证：四边形EFDC是矩形。

18.2.1 矩形同步测试题1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°2.如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是( )A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变3.如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD-DF4.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD折叠,得到△EBD,DE与BC 交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )A. B.2 C.3 D.36.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是( )A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD7.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为( )A.14B.16C.17D.189.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB边的中点,连接DE,CE.则下列结论中不一定正确的是( )A.ED∥BCB.ED⊥ACC.∠ACE=∠BCED.AE=CE10.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有( )①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.A.1个B.2个C.3个D.4个11.图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB 为直角三角时,AP= .12.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.13.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.14.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?并说明理由.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?15.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B 以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形?(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.参考答案1.【答案】D解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B 两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可以.故选D.2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°.∵AD=DE,∴BC=DE.在△BOC与△EOD中,∠BOC=∠DOE,∠C=∠EDO=90°,BC=DE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.在△AOD和△EOD中,AD=DE,∠ADO=∠EDO=90°,OD=OD,∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B解：当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.8.【答案】D 9.【答案】C10.【答案】C解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GEO=60°,从而判断出△OGE是等边三角形,判断出③正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出①正确,②错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出④正确.11.【答案】3或3或3解：当∠APB=90°时,分两种情况讨论.情况一:如图①,∵O为AB中点,∴PO=AB,AO=BO.∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠PBA=30°.∴AP=AB=3;情况二:如图②,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.∴△BOP为等边三角形.∴BP=AB=3.∴AP===3.当∠BAP=90°时,如图③,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴∠APO=30°,∴PO=2AO=6.∴AP===3.当∠ABP=90°时,如图④,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴PO=2BO=6.∴BP===3.∴AP===3.12.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD.∴BO=CO.∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,∴∠BEO=∠CFO=90°.又∵∠BOE=∠COF,∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.13.(1)证明:由折叠知AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°,∴∠ANF=90°,∠CME=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD∥BC.∴∠FAN=∠ECM,AM=CN.∴AM-MN=CN-MN,即AN=CM.在△ANF和△CME中,∴△ANF≌△CME(ASA).∴AF=CE.又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8.设CE=x,则EM=BE=8-x,CM=10-6=4. 在Rt△CEM中,(8-x)2+42=x2,解得x=5. ∴四边形AECF的面积为CE·AB=5×6=30.14.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.理由:∵△ABD,△BEC都是等边三角形,∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA, ∴∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE=AC,又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC,∴EF=BA=DA.∵DE=AF,DA=EF,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°,∵∠DAB=∠FAC=60°,∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.15.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,∴AQ=(6-t)cm.若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.(2)S四边形QAPC=S矩形ABCD-S△CDQ-S△BPC=12×6-×12t-×(12-2t)×6=72-6t-36+6t=36(cm2).结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.。

18.2.1矩形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１.有一个角是直角的平行四边形是矩形．２.对角线相等的平行四边形是矩形．３.有三个角是直角的四边形是矩形．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列叙述错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 矩形的对角线相等D. 对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A. AB=CDB. OA=OC，OB=ODC. AC⊥BDD. AB∥CD，AD=BC3．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对4．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）A. 5B. 52C. 6D. 625．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A. 15B. 20C. 35D. 406．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC 中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（）个A. 2B. 3C. 4D. 57．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是 ()A. 15B. 215C. 17D. 2178．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（）A. 40°B. 35°C. 20°D. 15°9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为( )A. 2-2B.-1 C.-1 D. 2-10．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是（）A. 150米B. 200米C. 300米D. 400米二、填空题11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5cm，则BD＝________．12．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________13．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=12FC，则四边形DBFE的面积为_______ cm2．14．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE//AB交AE 于E，则四边形ADCE的形状是___________.15．已知：如图，矩形ABCD中，E，F是CD的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH=_____．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．三、解答题17．如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积19．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．⑴求证：ΔABF≌ΔEDF；⑵将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，若AB=6，BC=8，求DG的长.21．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．（1）求证：△ABG≌△CDE；（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1．D【解析】A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意；D. 对角线相等的四边形是矩形，也可能是等腰梯形，也可能是一般四边形，故错误，符合题意，故选D.2．B【解析】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．故选B．点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．3．A【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．4．B【解析】过E作EG⊥CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，又∵EG ⊥CD ，∴∠EGD=90°，∴四边形AEGD 是矩形，∴AE=DG ，EG=AD ，∴EG=AD=BC=7，MG=DG −DM=3−2=1，∵EF ⊥FM ，∴△EFM 为直角三角形，∴在Rt △EGM 中,故选B.点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，过E 作EG ⊥CD 于G ，利用矩形的判定可得，四边形AEGD 是矩形，则AE=DG ，EG=AD ，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt △EMG 中，利用勾股定理可求EM ．5．C【解析】试题解析：连接EF ，由图可知AFE EBA S S =V V ，那么AFE AGE EBA AGE S S S S -=-V V V V ， 所以ABG EFG S S =V V ，同理， CDH EFH S S =V V ，则=152035EFG EFH S S S +=+=V V 阴影, 故本题应选C.6．B【解析】试题解析：由图可知， 12EH BC =，因为12AB BC = ,所以EH AB = ,故①正确；因为EH HC = ,所以HEC HCE ∠=∠ ,由于90HCE EBC ∠+∠=︒ ， 90EBC ABG ∠+∠=︒ ，所以ABG HCE ∠=∠ ,则ABG HEC ∠=∠ ,故②正确； 在△ABG 与△HEC 中， 45BAG DHC EHC ∠=∠=︒<∠ ，从而两三角形不全等，故③错误；过点A 作AM ⊥BG 于点M ，由图可知2ABG BGH S S =V V ，而12AMG ABG S S ≠V V ，即 AMG BGH S S ≠V V ，则GAD GHCE S S ≠V 四边形 ，故④错误；因为90F EGH ∠+∠=︒ ， 45EGH GBH ∠=∠+︒ ， GBH DAC ∠=∠，所以 45F DAC ∠+∠=︒ ，又因为45DAC CAF ∠+∠=︒ ，所以F CAF ∠=∠ ，则 CF BD =，故⑤正确.综上所述，正确的结论有3个，故选B.点睛：矩形的对角线相等且相互平分.7．A【解析】先根据折叠的性质得EA =EF ,BE =EF ,DF =AD =3,CF =CB =5,则AB =2EF ,DC =8,再作DH ⊥BC 于H ,因为AD ∥BC , ∠B =90°,则可判定四边形ABHD 为矩形,所以DH =AB =2EF ,HC =BC －AD =2,然后在Rt △DHC 中,利用勾股定理计算出DH =所以EF 8．C【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠AEB=55°，∠ABE=90°，∴∠BAE=90°−55°=35°，∴∠DAF=∠BAD−∠BAE−∠FAE=90°−35°−35°=20°，故答案为：20°，故选C.9．A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DEC=∠BCE.∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠BEC.∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°.∵∠ABE=45°，∴∠ABE=AEB=45°.∴AB=AE=2.∵由勾股定理得：BE==，∴BC=BE=.∴DE=AD-AE=BC-AB=-2故选：A.点睛：本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键.10．C【解析】试题分析：根据题意设小长方形的长为x，宽为y，则可知2（2x+3y）=700，且2y+x=2x，解得y=50，x=100，所以小长方形的周长为300米.故选：C.11．矩形 5cm【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形。

学科：数学教学内容：矩形学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB ＝4cm ，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解． 解∵ABCD 为矩形 ∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ， ∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ， 在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD≌△FBC．所以∠CFB=∠AFD，所以∠CFB+∠DFC＝90°，即BF⊥FD．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画 个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来．（4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？ 分析：本题主要考查矩形的性质和计算． 解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）absab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ． 中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE边上的高与AD的长相等．因此求BE的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。

中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

练习题1．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）A．扇形B．平行四边形C．等边三角形D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．【解答】解：由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，故选：C．3．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE ＝AE＝5即可；②当P1E＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底边AP1即可．【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．4．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．5．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的1AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．中点，点F在对角线AC上，且AF＝4【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．6．（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性质得OC＝OD＝5，则OC＝OD＝CE＝DE，得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20，故答案为：20．7．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝°．【分析】利用矩形的性质可得∠DBC＝90°，从而利用平角定义求出∠ABC的度数，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形BDEC为矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，故答案为：110．8．（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为．【分析】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出＝24，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，∴BE2+CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，∴＝＝24，∵AD∥BC，∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，故答案为：48．9．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长＝＝8cm ，∴它的面积为8×6＝48cm 2．故答案为：48．10．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，且a ＞b ．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是 ；（2）若代数式a 2﹣2ab ﹣b 2的值为零，则PQMNABCD S S 矩形四边形的值是 ．【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；（2）先把b 当常数解方程：a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，a ＝b +b （负值舍），根据四个矩形的面积都是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．【解答】解：（1）由图可知：PQ ＝a ﹣b ，故答案为：a ﹣b ；（2）∵a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，∴a 2﹣b 2＝2ab ，（a ﹣b ）2＝2b 2，∴a ＝b +b （负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，∴EP ＝，EN ＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．11．（2022•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）A．27°B．53°C．57°D．63°【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．【解答】解：如图，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故选：D．12．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF ∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC＝5EF B．5OC＝2EF C．2OC＝3EF D．OC＝EF【分析】过点O作OH⊥BC于点H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC＝OH，即可得出结论．【解答】解：过点O作OH⊥BC于点H，∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，∴四边形ABFE是正方形，∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF，∵BF＝2CF，∴CH＝EF＝2OH，∴OC＝＝＝OH，即2OC＝EF，故选：A．13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为（ ）A ．25B ．512C ．13﹣23D ．13﹣2【分析】如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．证明∠AMD ＝90°，推出OM ＝AD ＝2，点M 的运动轨迹是以O 为圆心，2为半径的⊙O ．利用勾股定理求出OB ，可得结论．【解答】解：如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP +∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM +∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！人教版数学八年级下册《18.2.1矩形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．两组对边分别相等B ．两组对角分别相等C ．两条对角线互相平分D ．两条对角线相等2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）．①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，两条对角线交于点O ，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A ．∠ABC ＝∠BCDB ．∠ABC ＝∠ADC C ．AO ＝BOD ．AO ＝DO 4．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它斜边上的中线长为（）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，120,2Ð=°=AOB AD ，则矩形ABCD 的面积是（）A ．2B ．C ．D ．86．如图，折叠矩形ABCD ，使点D 落在点F 处，已知AB =8，BC =10，则EC 的长（）A ．5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm7．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 是边AD 上的一点，将AEB △沿BE 所在的直线折叠，使点A 落在BD 上的点G 处，则AE 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，3AB =，4BC =，过点O 作OM AC ^，交BC 于点M ，过点M 作MN BD ^，垂足为N ，则OM MN +的值为（）A ．245B ．165C ．125D ．65二、填空题9．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =，请你添加一个条件，使四边形ABCD 为矩形，你添加的条件是______________（填一个即可）.10．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若∠AOB ＝60°，BD ＝8，则AB 的长为___．11．如图，ABC 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上的中线，且12CD AB +=，则AB 的长为______．12．在矩形ABCD 中对角线AC ，BD 交于点O ，且120AOD Ð=°．若3AB =，则BC 长为_________．13．如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O 且AC =12，如果∠AOD =60°，则DC =__．14．在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线交直线AB 于点E ．若BC ＝4，AE ＝3，则BD 的长为_____．15．如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接DE 交对角线AC 于点F ，若2ADF DAC Ð=Ð，3BE =，CD =，则线段AC 的长为______．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上OA =5；OC =4．在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则D 坐标为_______．三、解答题17．如图，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，连接CE 、AF ，∠DCE =∠BAF ．试判断四边形AECF 的形状并加以证明．18．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD 边于点Q，且∠QP A＝∠PCB．求证：四边形ABCD是矩形．19．已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F．（1）求证：四边形ABDF是平行四边形．（2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形．20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，且BD=BE．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若∠DBC =30°，BO =6，求四边形ABED 的面积．21．如图，过ABC 边AC 的中点O ，作OE AC ^，交AB 于点E ，过点A 作AD BC ∥，与BO 的延长线交于点D ，连接CD ，CE ，若CE 平分ACB Ð，CE BO ^于点F ．（1）求证：OC BC =．（2）四边形ABCD 是矩形．22．（1）问题：如图1，P 是矩形ABCD 内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现22AP CP +与22BP DP +的数量关系为．（2）探究：如图2，P 是矩形ABCD 外任意一点，上面的结论是否成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，6CA =，8CB =，D 是ABC 内一点，且2CD =，90ADB Ð=°，求AB 的最小值．参考答案1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．OA OB=10．411．812．13．14．15．16．()0,2.517．解：四边形AECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴//DC AB ，∴∠DF A =∠BAF ，又∵∠DCE =∠BAF ，∴∠DCE =∠DF A∴//FA CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．18．证明：∵PQ CP ^，∴90QPC Ð=°，∴1809090QPA BPC Ð+Ð=°-°=°，∵QPA PCB Ð=Ð，∴90BPC PCB Ð+Ð=°，∴()18090B BPC PCB Ð=°-Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．19．解：（1）∵AD 是△ABC 的中线，E 是AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ．∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形．（2）∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF＝BD．∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AF平分∠MAC，∴∠MAF＝∠CAF．∵AF∥BC，∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形．20．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又∵点E在DC的延长线上，∴AB∥CE，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE，又BD=BE，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵在矩形ABCD中，∠DBC=30°，OA=OB，∴∠ABD=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB =BO =6，∴BD =2BO =2×6=12，又∵四边形ABEC 是平行四边形，∴CE =AB =6，∴DE =CD +CE =12，在Rt △ABC 中，BC==，∴四边形ABED 的面积=12（6+12）21．（1）解：∵CE 平分ACB Ð，∴OCE BCE Ð=Ð，∵BO CE ^，∴90ÐÐ==°CFO CFB ，在OCF △与BCF △中，OCE BCE CF CFCFO CFB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA OCF BCF △△≌，∴OC BC =．（2）解：∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =，∵AD BC ∥，∴DAO BCO Ð=Ð．ADO CBO Ð=Ð，在OAD △与OCB 中，DAO BCO OA OCADO CBO Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA OAD OCB △△≌，∴AD BC =，∵AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OE AC ^，∴90EOC Ð=°，在OCE △与BCE 中，CE CE OCE BEC OC BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS OCE BCE △△≌∴90ÐÐ==°EBC EOC ，∴四边形ABCD 是矩形．22．【解析】（1）如图，过点P 作MN 垂直于AD 、BC ，垂足分别为M 、N 90AMP BNP DMP CNP \Ð=Ð=Ð=Ð=°由勾股定理得，222AP AM MP =+，222BP BN NP =+，222DP DM MP =+，222CP CN NP=+又 四边形ABCD 为矩形\四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,AM BN DM CN\==\22AP MP -=22BP NP -，22DP MP -=22CP NP -\22AP CP +22BP DP =+；故答案为：22AP CP +22BP DP =+；（2）成立，理由如下：如图，过点P 作MN 垂直于AD 、BC ，垂足分别为M 、N 90AMP BNP DMP CNP \Ð=Ð=Ð=Ð=°由勾股定理得，222AP AM MP =+，222BP BN NP =+，222DP DM MP =+，222CP CN NP=+又 四边形ABCD 为矩形\四边形AMNB 、四边形DMNC 为矩形,AM BN DM CN\==\22AP MP -=22BP NP -，22DP MP -=22CP NP -\22AP CP +22BP DP =+，仍然成立；（3）如图，以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DEAB DE\=由题意得，22CD CE +22CA CB =+6CA =Q ，8CB =，2CD =2222268CE \+=+解得CE =当C 、D 、E 三点共线时，DE 最小，即AB 最小AB \的最小值DE =的最小值2=．。