试题点评与答卷分析 含答案17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（理科） （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.解析：（1）由131m m a a +=+得1113().22m m a a ++=+ 又113a 22+=，所以，{12m a + } 是首项为32，公比为3的等比数列。
12m a +=32m，因此{n a }的通项公式为m a =312m -；（2）由（1）知1m a =231m -，因为当n ≥1时，31m -≥123,m -⨯所以，1113123m m -≤-⨯ 于是，11211111133m m a a a -+++≤+++ =313(1)232m -<所以，1211132m a a a +++< 。
17.（文科）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（Ⅰ）求C 和BD ； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.解析：（1）由题设及余弦定理得①2BD =2BC +2CD -2BC-CDcosC=13-12cosC ②2BD =2AB +2DA -2AB ∙DAcosA=5+4cosC 由①②得cosC =12,故 C=60°，（2）四边形ABCD 的面积S=12AB×DAsinA+12BC×CDsinC=(12⨯1⨯2+12⨯3⨯2)sin60°=18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，三棱锥E-ACD 的体积. （理科） 解析：（1）连结BD 交AC 于点O,连结EO因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为的PD 的中点，所以EO PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC（2）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂直如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系，则A —xyz,则则E(0,2,12),AE12) 设B(m,0,0)(m ＞0)，则C （0），设n(x,y,z)为平面ACE 的法向量，则{1100n AC n AE ∙=∙= ，即012mx y z =+= 可取1n =（m，又2n =（1,0,0）为平面DAE 的法向量，由题设12cos(,)n n =12=12，解得m=32 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12，三棱锥E-ACD 的体积为 V=13⨯12⨯⨯32⨯12=8（18）（文科）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设1,AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积V =A 到平面PBC 的距离. 解析：（1） 设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E为PD 的中点，所EO//PB ，EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC（2） V=16PA ×AB ×AD=6AB ，由V=4，可得AB=32作AH ⊥PB 交PB 于H由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥PBC 。
