1995 线调频小波变换——物理因素(译文)

1引言传统的Fourier分析适合于平稳信号处理，使用的是一种全局的变换。

它无法表达信号的时频局域性质，而这种性质恰好是非平稳信号本质特征。

为了分析和处理非平稳信号，人们基于时频分析提出短时Fourier变换和小波变换。

短时Fourier变换是一种加窗Fourier变换，使用固定大小的时频网格，时频网格在时频平面上的变化只限于时间平移和频率平移，因此只适用于分析具有固定不变带宽的非平稳信号。

小波变换的时频分析网格的变化除了时间平移外，还有时间和频率轴比例尺度的改变，使用长宽大小不一的长方形时频分析网格，因而只适用于分析具有固定比例带宽（恒Q）的非平稳信号。

然而，在实际应用中遇到的常常只是具有近似等宽或近似等Q的分析带宽的信号。

这类信号的分析需要使用形状比矩形更复杂的时频网格。

除了上面所述的时间平移、频率平移和时频拉伸外，还应考虑矩形网格的斜方向的拉伸与旋转变化。

线调频小波变换使用的时频分析网格除了时移、频移、尺度变化以外，最主要的是包含了时频网格在时频平面上的放置以及在倾斜方向上的尺度变化（拉伸）。

由于使用各种长方形和各种平行四边形的时频网格，所以线调频小波变换可以分析具有非固定不变带宽和非固定比例带宽（非恒Q）的非平稳信号。

线调频小波基包含了Fourier变换基函数、短时Fourier变换基函数及小波变换基函数，因而三种变换都是线调频小波变换特例。

在信号的线性变换中，基函数的选取至关重要。

为了有效地刻画信号的特征，将基函数取成与待分析信号的性态相类似的信号。

然而，无论Fourier变换、短时Fourier变换、小波变换还是线调频小波变换，均适合于处理频率成分随时间作线性变化的信号，而当信号的频率成分随时间作非线性变化时上述的变换就不适应。

多普勒小波变换采用经伸缩、时移和频移的加窗多普勒信号作为基函数，以逼近信号中的非线性时变结构成分。

由于多普勒小波函数涵盖了Fourier变换的基函、短时Fourier变换基函数、小波变换基函数和线调频小波变换的基函数，因而多普勒小波变换包含了前面所论及的四种变换，能Fourier变换和小波变换一般形式—线调频小波变换和多普勒小波变换胡国胜1，2陈一天2任震11（华南理工大学电力学院，广州510640）2（广东省科技干部学院，广州510640）E-mail：hugs-2000@摘要Fourier变换、窗口Fourier变换与小波变换在许多领域得到广泛的应用。

线性调频小波变换：物理因素Steve Mann 和Simon Haykin摘要我们考虑对于任意待分析信号的可参数化的线性调频函数族内积形式的多维参数空间。

采用平方调频函数（我们简称为q-调频），并引出可兼顾时间频率域和时间尺度域作为二维子空间的参数空间。

其包含了一个“时间-频率-尺度体”，因而囊括了短时傅里叶变换（作为在时间频率轴上的投影）和小波变换（时间尺度轴上的投影）。

另外，关于频率和尺度，变换空间内有两个额外的坐标轴：时间域切变（由和q-调频函数的卷积获得）和频率域切变（由和q-调频函数的乘积获得）。

信号在该多维空间内可以通过一个被我们称为“q-调频小波变换”，或称“线性调频小波变换”的新方法捕获。

这里提出的线性调频小波是小波的广义形式，两者通过时频平面上的二维仿射变换（平移、伸缩、旋转和剪切）联系起来，与之形成对照的是小波变换，通过时间域的一维仿射变换（平移、伸缩）相联系。

1. 引言大部分传统的信号处理理论都是基于正弦波的，借助于现代计算机和FFT算法的优势，频域信号处理大行其道。

不过，近些年的研究发现了频域方法的局限性。

尽管傅里叶变换可以完美重构多种信号，但还不足以对缺乏全局稳定性的信号提供有意义的解释。

比如，考虑由一段音乐构成的时间序列。

对其功率谱估计可以告诉我们存在哪些音符（每个频点附近能量的强弱），但不能获知这些音符在何时出现。

最近的大量研究围绕信号的时频分析展开，我们可以借此观察功率谱随时间的变化。

其中一类方法称作短时傅里叶变换（STFT），已经被广泛应用于语音、音乐和其他非平稳信号的分析中。

假设我们要进行STFT分析，但不能确定时窗的大小。

因而我们对信号s(t)做STFT时先采用相对较短的时窗，然后逐渐加宽，并计算不同时窗宽度值下相应的STFT。

将这些值一层层堆叠起来形成一个对应于信号s的数据体，是一个关于时间、频率和时窗宽度的函数（图1(a)）。

我们将其称为“时间-频率-尺度（TFS）变换”。

小波变换的原理小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

小波变换的原理传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。

在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。

小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。

小波变换的应用小波是多分辨率理论的分析基础。

而多分辨率理论与多种分辨率下的信号表示和分析有关，其优势很明显--某种分辨率下无法发现的特性在另一个分辨率下将很容易被发现。

从多分辨率的角度来审视小波变换，虽然解释小波变换的方式有很多，但这种方式能简化数学和物理的解释过程。

对于小波的应用很多，我学习的的方向主要是图像处理，所以这里用图像的应用来举例。

对于图像，要知道量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像越是清晰，图像的分辨率就高。

小波变换111040698 杨阳小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。

原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。

时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。

而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。

傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。

鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform）。

可以用于时频分析，但是窗口大小是固定的。

1984年法国的物理学家Jean Morlet和A. Grossman，在进行石油勘探的地震数据处理分析时，又提出了具有可变窗口的自适应时频分析方法——小波变换（wavelet transform）。

傅立叶变换傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分支——傅立叶分析。

原始的多媒体数据一般为时空信号，在时空上有最大分辨率，并可利用时空上的相关性进行数据压缩。

Fourier变换可将时空域中的多媒体信号映射到频率域来研究，即更符合人类感觉特征，也可以利用信号在频率域中的冗余进行数据压缩。

Fourier变换所得的频率信号，在频率域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

译文THE CONTINUOUS WA VELET TRANSFORMThe continuous wavelet transform was developed as an alternative approach to the short time Fourier transform to overcome the resolution problem. The wavelet analysis is done in a similar way to the STFT analysis, in the sense that the signal is multiplied with a function, {\it the wavelet}, similar to the window function in the STFT, and the transform is computed separately for different segments of the time-domain signal. However, there are two main differences between the STFT and the CWT:1. The Fourier transforms of the windowed signals are not taken, and therefore single peak will be seen corresponding to a sinusoid, i.e., negative frequencies are not computed.2. The width of the window is changed as the transform is computed for every single spectral component, which is probably the most significant characteristic of the wavelet transform.The continuous wavelet transform is defined as followsEquation 3.1As seen in the above equation , the transformed signal is a function of two variables, tau and s , the translation and scale parameters, respectively. psi(t) is the transforming function, and it is called the mother wavelet . The term mother wavelet gets its name due to two important properties of the wavelet analysis as explained below:The term wavelet means a small wave . The smallness refers to the condition that this (window) function is of finite length ( compactly supported). The wave refers to the condition that this function is oscillatory . The term mother implies that the functions with different region of support that are used in the transformation process are derived from one main function, or the mother wavelet. In other words, the mother wavelet is a prototype for generating the other window functions.The term translation is used in the same sense as it was used in the STFT; it is related to the location of the window, as the window is shifted through the signal. This term, obviously, corresponds to time information in the transform domain. However, we do not have a frequency parameter, as we had before for the STFT. Instead, we have scale parameter which is defined as $1/frequency$. The term frequency is reserved for the STFT. Scale is describedin more detail in the next section.The ScaleThe parameter scale in the wavelet analysis is similar to the scale used in maps. As in the case of maps, high scales correspond to a non-detailed global view (of the signal), and low scales correspond to a detailed view. Similarly, in terms of frequency, low frequencies (high scales) correspond to a global information of a signal (that usually spans the entire signal), whereas high frequencies (low scales) correspond to a detailed information of a hidden pattern in the signal (that usually lasts a relatively short time). Cosine signals corresponding to various scales are given as examples in the following figure .Figure 3.2Fortunately in practical applications, low scales (high frequencies) do not last for the entire duration of the signal, unlike those shown in the figure, but they usually appear from time to time as short bursts, or spikes. High scales (low frequencies) usually last for the entire duration of the signal.Scaling, as a mathematical operation, either dilates or compresses a signal. Larger scales correspond to dilated (or stretched out) signals and small scales correspond to compressed signals. All of the signals given in the figure are derived from the same cosine signal, i.e., they are dilated or compressed versions of the same function. In the above figure, s=0.05 is the smallest scale, and s=1 is the largest scale.In terms of mathematical functions, if f(t) is a given function f(st) corresponds to a contracted (compressed) version of f(t) if s > 1 and to an expanded (dilated) version of f(t) if s < 1 .However, in the definition of the wavelet transform, the scaling term is used in the denominator, and therefore, the opposite of the above statements holds, i.e., scales s > 1 dilates the signals whereas scales s < 1 , compresses the signal. This interpretation of scale will be used throughout this text.COMPUTATION OF THE CWTInterpretation of the above equation will be explained in this section. Let x(t) is the signal to be analyzed. The mother wavelet is chosen to serve as a prototype for all windows in the process. All the windows that are used are the dilated (or compressed) and shifted versions of the mother wavelet. There are a number of functions that are used for this purpose. The Morlet wavelet and the Mexican hat function are two candidates, and they are used for the wavelet analysis of the examples which are presented later in this chapter.Once the mother wavelet is chosen the computation starts with s=1 and the continuous wavelet transform is computed for all values of s , smaller and larger than ``1''. However, depending on the signal, a complete transform is usually not necessary. For all practical purposes, the signals are bandlimited, and therefore, computation of the transform for a limited interval of scales is usually adequate. In this study, some finite interval of values for s were used, as will be described later in this chapter.For convenience, the procedure will be started from scale s=1 and will continue for the increasing values of s , i.e., the analysis will start from high frequencies and proceed towards low frequencies. This first value of s will correspond to the most compressed wavelet. As the value of s is increased, the wavelet will dilate.The wavelet is placed at the beginning of the signal at the point which corresponds to time=0. The wavelet function at scale ``1'' is multiplied by the signal and then integrated over all times. The result of the integration is then multiplied by the constant number 1/sqrt{s} . This multiplication is for energy normalization purposes so that the transformed signal will have the same energy at every scale. The final result is the value of the transformation, i.e., the value of the continuous wavelet transform at time zero and scale s=1 . In other words, it is the value that corresponds to the point tau =0 , s=1 in the time-scale plane.The wavelet at scale s=1 is then shifted towards the right by tau amount to the locationt=tau , and the above equation is computed to get the transform value at t=tau , s=1 in the time-frequency plane.This procedure is repeated until the wavelet reaches the end of the signal. One row of points on the time-scale plane for the scale s=1 is now completed.Then, s is increased by a small value. Note that, this is a continuous transform, and therefore, both tau and s must be incremented continuously . However, if this transform needs to be computed by a computer, then both parameters are increased by a sufficiently small step size. This corresponds to sampling the time-scale plane.The above procedure is repeated for every value of s. Every computation for a given value of s fills the corresponding single row of the time-scale plane. When the process is completed for all desired values of s, the CWT of the signal has been calculated.The figures below illustrate the entire process step by step.Figure 3.3In Figure 3.3, the signal and the wavelet function are shown for four different values of tau . The signal is a truncated version of the signal shown in Figure 3.1. The scale value is 1 , corresponding to the lowest scale, or highest frequency. Note how compact it is (the blue window). It should be as narrow as the highest frequency component that exists in the signal. Four distinct locations of the wavelet function are shown in the figure at to=2 , to=40, to=90, and to=140 . At every location, it is multiplied by the signal. Obviously, the product is nonzero only where the signal falls in the region of support of the wavelet, and it is zero elsewhere. By shifting the wavelet in time, the signal is localized in time, and by changing thevalue of s , the signal is localized in scale (frequency).If the signal has a spectral component that corresponds to the current value of s (which is 1 in this case), the product of the wavelet with the signal at the location where this spectral component exists gives a relatively large value. If the spectral component that corresponds to the current value of s is not present in the signal, the product value will be relatively small, or zero. The signal in Figure 3.3 has spectral components comparable to the window's width at s=1 around t=100 ms.The continuous wavelet transform of the signal in Figure 3.3 will yield large values for low scales around time 100 ms, and small values elsewhere. For high scales, on the other hand, the continuous wavelet transform will give large values for almost the entire duration of the signal, since low frequencies exist at all times.Figure 3.4Figure 3.5Figures 3.4 and 3.5 illustrate the same process for the scales s=5 and s=20, respectively. Note how the window width changes with increasing scale (decreasing frequency). As the window width increases, the transform starts picking up the lower frequency components.As a result, for every scale and for every time (interval), one point of the time-scale plane is computed. The computations at one scale construct the rows of the time-scale plane, and the computations at different scales construct the columns of the time-scale plane.Now, let's take a look at an example, and see how the wavelet transform really looks like. Consider the non-stationary signal in Figure 3.6. This is similar to the example given for the STFT, except at different frequencies. As stated on the figure, the signal is composed of fourfrequency components at 30 Hz, 20 Hz, 10 Hz and 5 Hz.Figure 3.6Figure 3.7 is the continuous wavelet transform (CWT) of this signal. Note that the axes are translation and scale, not time and frequency. However, translation is strictly related to time, since it indicates where the mother wavelet is located. The translation of the mother wavelet can be thought of as the time elapsed since t=0 . The scale, however, has a whole different story. Remember that the scale parameter s in equation 3.1 is actually inverse of frequency. In other words, whatever we said about the properties of the wavelet transform regarding the frequency resolution, inverse of it will appear on the figures showing the WT of the time-domain signal.Figure 3.7Note that in Figure 3.7 that smaller scales correspond to higher frequencies, i.e.,frequency decreases as scale increases, therefore, that portion of the graph with scales around zero, actually correspond to highest frequencies in the analysis, and that with high scales correspond to lowest frequencies. Remember that the signal had 30 Hz (highest frequency) components first, and this appears at the lowest scale at a translations of 0 to 30. Then comes the 20 Hz component, second highest frequency, and so on. The 5 Hz component appears at the end of the translation axis (as expected), and at higher scales (lower frequencies) again as expected.Figure 3.8Now, recall these resolution properties: Unlike the STFT which has a constant resolution at all times and frequencies, the WT has a good time and poor frequency resolution at high frequencies, and good frequency and poor time resolution at low frequencies. Figure 3.8 shows the same WT in Figure 3.7 from another angle to better illustrate the resolution properties: In Figure 3.8, lower scales (higher frequencies) have better scale resolution (narrower in scale, which means that it is less ambiguous what the exact value of the scale) which correspond to poorer frequency resolution . Similarly, higher scales have scale frequency resolution (wider support in scale, which means it is more ambitious what the exact value of the scale is) , which correspond to better frequency resolution of lower frequencies.The axes in Figure 3.7 and 3.8 are normalized and should be evaluated accordingly. Roughly speaking the 100 points in the translation axis correspond to 1000 ms, and the 150 points on the scale axis correspond to a frequency band of 40 Hz (the numbers on the translation and scale axis do not correspond to seconds and Hz, respectively , they are just the number of samples in the computation).连续小波变换连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题。

小波变换【优秀资料】(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）5频域分析对于机械故障的诊断而言，时域分析所能提供的信息量是非常有限的。

时域分析往往只能粗略地回答机械设备是否有故障，有时也能得到故障严重程度的信息，但不能回答故障发生部位等信息，即只知其然不知所以然，故一般用作设备的简易诊断。

对于设备管理和维修人员来说，诊断出设备是否有故障，这只是解决问题的第一步，更重要的工作则在于确定是哪些零部件发生了故障，以便有针对性地采取措施。

因此，故障定位问题在设备故障诊断与检测研究中显得尤为重要。

对故障进行定位一种常用的方法就是进行信号的频域分析。

所谓频域分析，即是把以时间为横坐标的时域信号通过傅里叶变换分解为以频率为横坐标的频域信号。

从而求得关于原时域信号频率成分的幅值和相位信息的一种分析方法。

通过对各频率成分的分析，对照机器零部件运行时的特征频率，以便查找故障源。

频域分析方法已成为机械设备故障诊断的主要内容。

工程实际中，常用的频域分析方法主要有：幅度谱、功率谱、倒频谱、细化谱分析等。

1. 幅度谱分析所谓幅度谱分析，就是直接对采样所得的时域信号进行傅里叶变换，求得关于该时域信号的频率构成信息，其数学运算公式为2()()j ft X f x t e dt π∞--∞=⎰ 式中 ()x t ——时域信号（振动加速度、速度等一切以时间为自变量的函数） ()X f ——信号的幅度谱，是以频率为自变量的复值函数对于周期信号，经过傅里叶变换后得到的幅值谱是离散的，即构成信号的频率成分是基波及其各次谐波分量；而对于非周期信号，其幅值谱是连续谱，即信号连续地分布在一定的频率范围内。

图5. 1幅值谱2. 功率谱分析功率谱是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述，包括自功率谱和互功率谱，其中自功率谱与幅度谱提供的信息量相同，但在相同条件下，自功率谱比幅值谱更为清晰，可由幅度谱计算得到。

由帕斯维尔定理可以推知，信号的幅度谱与自功率谱之间有如下的对应关系2()()X f S f T= 其离散化采样的计算公式为2()()N X f S f N= 式中 N ——采样长度图5. 2 功率谱3. 倒频谱分析如果一实测信号()y t 是由两个分量()x t 和()s t 叠加而成的，即()()()y t x t s t =+为了将两个分量区分开，针对()x t 和()s t 的不同构成情况有不同的方法：(a )当两个分量分别集中在不同的频段时，则可用频域分析的线性滤波.(b )当所要提取的分量以一定的形状做周期性重复，而另一个分量是随时间变化的噪声时，则可用时域分析中的信号平均法。

综合基于中国GB 50011-2001设计规范谐小波频谱的加速度谱的人工合成和历史记录摘要：一个通常的用来人工合成和修改加速度记录数据并且满足中国抗震设计规范GB 50011-2001的方法。

特别是，依赖蒙特卡洛分析峰值因子派生的频率和我国设计规范GB50011-20001结合产生的参数化功率谱（EPS）。

这种方法注重于将EPS和数学相结合去阐述频率设计谱。

进一步而言，一个一对一的关系式建立在EPS对强烈时变的参数控制和有效的强地震持时。

随后，一个高效的自回归平移（ARMA）过滤技术被用来合成人工整体非稳态加速度谱，可以很好地和设计规范谱相吻合。

此外，将人工信号和08年汶川地震的加速度数据通过小波迭代得到的谐波跟GB50011-2001的设计谱是非常吻合。

通过零相位的高通滤波来实现人造谱和实际加速度图谱的基线矫正。

关键词：设计谱中国抗震准则人造加速度谱功率进化谱峰值因素加速度图谱小波分析介绍：在过去的很多年，弹性反应谱的概念被证明是一个很好的用来描述地震对结构的危险性的工具。

在当今的抗震设计准则中，弹性设计的重要意义是诱发地震荷载的平滑分析定义。

此外，由于框架抗震设计，允许结构受到一定程度的破坏。

基于这样的目的，减少非弹性设计谱的纵坐标可以用来解释普通建筑物的非弹性/滞后响应的刚度分布。

通过这种方法，建筑物可以通过静态和动态阵型的适当组合的线性响应谱很方便地设计出来。

这些分析的最大的价值是用来用于设计的全过程。

特别值得关注的是，在解决具体的需要抗震设计的特殊结构，考虑时间演变对结构作用变得非常的关键。

这种结构的例子包括重要的一些社区的基础设施，能够保证在大地震中正常运行；不规则的建筑结构；配备有震动控制和隔震装置的建筑物；二级敏感住房；地形斜坡和其他的一些岩土工程。

在这些情况下抗震规范需要进行动态的时程分析。

在这些分析的背景下，输入地震作用就相当于地面的加速度时间历程，能够反映预期的强地震动的振幅，频率和持续时间的特征内容。

基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。

小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。

具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。

4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。

傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。

在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。

定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。

可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。

尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。

但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。

1.小波变换的概念小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

有人把小波变换称为“数学显微镜”。

2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？有几种定义小波(或者小波族)的方法:缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。

在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。

高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。

例如Daubechies和Symlet 小波。

缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。

小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。

这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。

缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。

对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。

例如Meyer小波。

小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。

例如墨西哥帽小波。

3.小波变换分类小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。

两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。

DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。

所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。

4.小波变换的优点从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)(2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性(3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)另:1) 低熵性变化后的熵很低;2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性3) 去相关性域更利于去噪;4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。

1 小波变换简要回顾小波变换是调和分析（包括函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等）这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶；小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破。

1从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段。

（1）孤立应用时期（1985年以前）（2）国际性研究热潮和统一构造时期（1986—1992）（3）全面应用时期（1992—）23（1）孤立应用时期1910年Harr 提出Harr 正交基1938年Paley-Littlewood 的按二进制频率成分分组1965年Calderon 的再生核公式1981年对Harr 系的改进1984/5年A Grossmann ，J Morlet展开的伸缩平移系按一个函数ψ{}Zk j j j kb x a a ∈−−−,2/)(ψ4（2）国际性研究热潮和统一构造时期1986年Meyer 构造出了具有一定衰减性质的光滑函数1988年I Daubechies)(x ψ{}构成使得Z k j k j x ∈,,)(ψ的规范正交基)(2R L Communication on Pure and Applied Math.，1988, 41:909~996Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets 1989年S Mallat 1991年C K Chui ，J Z Wang 1992年I Daubechies 《Ten Lectures on Wavelets 》（3）全面应用时期1992年，《IEEE Transaction on Information Theory 》1993年，《Applied and Computational Harmonic Analysis》1993年，《IEEE Transaction on Signal Processing 》网络、软件、图书…52 小波变换与傅里叶变换1809年，J. Fourier（法）给出Fourier离散变换其想法是：用简单的函数表示复杂的周期函数1822年，——《热的解析理论》，提出Fourier变换1946年，D.Gabor引入窗口Fourier变换1965年，Cooley-Tukey（美）提出快速Fourier变换67D ．Gabor 变换或称为窗口傅里叶变换是Gaussian 函数，称为“窗口函数”.定义为的中的任何函数或信号FT t f R L )()(2∫−=Rt i dt e t f f ωω)()(ˆ∫−−=R t i a f dte b t g tf b G ωω)()(),(a t a e a tg 4/221)(−=π其中小波变换的定义∫∗−=R f dt ab t t f a b a W ))(1),(ψ>=<ψ,f。

小波变换基本原理.doc第五章小波变换基本原理问题①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度②小波发展史1910 Harr 小波80 年代初兴起Meyer—小波解析形式小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度构造？和小波函数—滤波器组实现90 年代初 Daubechies 正交小波变换90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换③小波变换与短时傅里叶变换比较a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件）④小波相关概念，数值实现算法多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造MRA 的滤波器实现⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的5.1连续小波变换一． CWT 与时频分析1t b1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dtaa2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别STFT小波变换基函数(t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b )a a时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频轴基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定征时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0附近b, 率 a适用情况渐变信号突变信号2 轴spectrogram scalogram结果复数实数3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7）二． WT 几个注意的问题1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原2.母小波(t ) 必须满足容许性条件2( w)C dww①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性②利用 C可推出反变换表达式S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b)dadbC a 2 a3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似）4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化）2 m , b n 2 m 1 ( t b)m(2m t n)a a,b (t )m,n (t ) 2 2a adm,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性S(t ) C W T(a, b)S(t b0 ) C WT(a,b b0 )6.用小波重构信号S(t)d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn中心问题：如何构建对偶框架?m, n如何构建正交小波？5.2 分段逼近学习目的—理解 MRA一．分段逼近的引入很显然采样率越高，T s越小，PAM逼近误差越小，采样率无误信号近似ADC 差T s 1t f s1.采样率增大的尺度体现11, 0 t 1(t)0,其它1 t 用平移的(t ) 版本对S(t)作近似逼近函数(t n) 2 ( 2t n)S(t) C0,n (t n) S(t) 2 C1, n (2t n)1 尺度 an n 2m一般式： S(t) 2 2 C m,n (2m t n) 尺度 a 2 m nm ,a 0, 逼近收敛于S( )m 0, a , 逼近0(t)2.两尺度函数间关系 1 张成 V0空间(t)(2t)(2t 1)1 ①张成空间满足 V0 V11 (2t)空间②两尺度空间差异在哪？张成 V13.表征细节的小波变换的引入121 (2t 1)(t )(2t)(t ) (t)2 (t ) 表细节发现(t) (t )(2t 1)2S( t)2 C1, n (2t n)nn 2m,2m 121, 2 m (2t 2m) C1, 2 m 1 (2t 2m 1) m m2 C1,2m(t m) (t m) (t m) (t m)2C1, 2m 12 m mmC1,2 nC1, 2 n 1(tC1,2 nC1, 2n 1(t n) n2n)2m nV1 V0 W0 4.推广m=-1 V 1尺度m=0V0m=1V0m=2V1 W0V1V2V1V1W0VV1V W 1W1WVmWm W 2 W 1 W0 2W1WV m Wm 3Wm 2 W m 1, mm , 逼近精度V lim V m W 2 W 1 W0 W1mm , 逼近精度V 0m2 2 (2m t n) 包含信息量决定形成最简单的 MRA 二．分段逼近与小波变换（哈尔小波）1.信号的尺度逼近与小波表示m尺度逼近 2 2C m,n ( 2m t n)S(t )n小波表示 S(t )d m,n 2 2 (2m t n)Harr 小波mn2.Harr 小波特性①同一尺度平移正交性：(t n) * (t n )dt( n n )同尺度 m 也满足m,n(t )m,n * (t) dt(n n )作变量替换即可证明②尺度，平移均正交(m m )m,n (t ), m , n (t )2 2(2m t n) * ( 2m t n ) dtm, m n ,nm信号在正交基函数上投影即为小波系数2 2 (2m t n) 形成正交基mS(t) * (2 m t n)dtd m ,n 2 2分段逼近的推广—MRA 一．多分辨率分析含义①由内空间 0 V m 1Vm 1组成②若 V 0 空间尺度函数 (t) 平移正交： (t ) * (t n) ( n) 则(t )为 V 0 空间尺度函数 ,任一函数 S(t)可用 (t) 表示S(t )C n (t n)nC n S(t) * (t n)dt③ S(t) V m 当且仅当 S( 2t) V m 1成立④ V m 交集为 0V mm⑤平方可积空间即为 V m 并集逼近lim V mL 2 (R)m问题： Harr 小波构成最简单 MRA如何构造选其它具体的 MRA 体系二．正交小波函数的系统构造1.两尺度方程引入①低通滤波器与尺度关系Harr 小波满足(t)(2t )(2t 1) 2 1 (2t ) 1(2t 1)22 h 01 1满足 ( t) 2 h 0 (n) (t n) 卷积关系2 22 n②频域反映令 h 0 (n)H 0 (w)(t)(w)( t2 ( 2w))2h 0 H 0 ( w) (w)2 (2w) 2H 0 (w) ( w)即 (2w) H 0 (w) ( w)③含义a. H 0 (0) 1, h 0 (n)为 LPFb ．根据 MRA ， ( w) H 0w w H 0 ( w( ) ( ) 2 k ) (0)22k 1c. (0) 12.QMF 的引入① (t) 的尺度正交关系的频域反映(t) * (tn)(n)(t n)e j n w (w)频域也正交1 ( w) * (w) e jnw dw (n)2n两边对 n 求和1 ( w) * (w) e inw dw 1 2n利用泊松求和公式f ( n)e jnwF (w 2n )nn（令 f (n) 1,则 F ( w)2 (w) ）有ejnw2( w 2n )nn1 e jnw( w2n )2n(w) * ( w)n( w 2n ) dw 12( w 2n ) dw 1(w)n即：(w 2n 21(w21)2k )nk② QMF 正交镜像滤波器组的导出利用两尺度关系(wk ) H 0 (w2k )1k22对 k 分奇偶讨论w2ww2nH 0 ( 2 2n ) ( 2 2n ) nH 0 ( 2 (2n1) ) ( 2(2n 1) )12222H 0 ( w)(w2n )H 0 (w)(w(2n 1) )12n2n2( w) 2(w2H 0H 0 )122H 0 ( w) 2H 0 (w2H 0 (w) H 0 * ( w) H 0 ( w )H 0 * (w 2) 1)③含义a.H 0 (0) 1 H 0 ( ) 1, H 0 (w ) 为H 0 (w)镜像b.功率互补条件—半带条件P( w) H 0 (w) H 0 * ( w)1H 0 (w2)H 0 (w) 223.正交小波滤波器满足的条件①频域关系根据( x), ( x k) 0 可推出H 0 (w)H 1 * (w) H 0 (w) H 1 * ( w) 0上式的解为 H 1 (w)e jw H 0 * (w)②时域关系令 h 1 ( n)H 1 ( w) h 0 ( n) H 0 (w) 根据 H (w)h( n)e jnwnh 0 ( n) H 0 * ( w)( 1)n h 0 ( n) H 0 * ( w) ( 1) n 1 h 0 (1 n) e jw H 0 * (w ) h 1 (n) ( 1) n h 0 (1 n) e jw H 0 * ( w)③易证 H 1 (w)也为 QMF④小波滤波器同样满足两尺度关系(t)2h 1 ( k) (2t k)k( w) H 1 ( w) ( w) H 1 ( w ) H 0 ( w)2 2 2 k 2 2k 4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示H 0 (w) H 1 ( w) H 0 ( w) H 0 ( w ) H 0 (w) H 1 * (W) H 1 ( w) H 1 ( w ) 5. m,n (t) 与 m ,n (t ) 的 MRA 解释m,n(t )W m正交补L2Wm,n(t )V mm 1S(t )d m,nm,n(t )mnd m, n S(t ) m,n * (t)dt1 0 0 1WmWm 1例：求 Harr 小波的频域尺度函数和小波函数1 1 h 11 1 h 0222 2wj w 2wjw解： ( w)H 0 ( e Cos( 22 k )2 k 1)ek 1k 1Sin( w2)w 2h 1 (n)e jnw1 (1 e jw ) jww ) H 1 (w) j e 2 Sin(n22ww w 4) 2(S i n(w) H 1 ( 2 ) ( 2 )(w) w4其频域幅值图如 Fig5–13 所示可发现其缺陷在于波纹太大（原因—时域紧支撑）例：理想 LPF 也构成正交小波1w H 0 ( w)2 0其它Sin2 (1 n)解： h 0 (n) IFT H 0 ( w)(1 n)Sinc( )函数 Sinc 小波三．有关小波函数的一些概念1.小波消失矩（vanishing moment ）满足m 1 (k )t k (t) dt0, k 0,1, N 1 则称 (t )具有 N 阶消失矩①母小波 (t ) 平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则(w) 频域衰减越快(t ) 越平滑②消失矩越大，小波振荡程度越高2.小波正则度（ regularity ）①定义：小波 (t) 的连续可导次数②正则度为 n 的小波(t) 具有（ n+1）阶消失矩（必要条件）1.根据 MRA 理论①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由h0 ( n) 决定②不关心其解析表达式2.MRA 理论离散小波的数值实现滤波器组5.4 小波变换与数字滤波器组一．时间离散小波变换的实现途径1.不能直接对定义式离散化实现mdm,n S(t), m, n (t) S(t ),2 2 (2m t n)令l kT (T采样周期)当 m 较小时，2m t n 不为整数2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现（ Mallat 算法）（根据尺度函数和小波函数）3.第二代小波变换： Swelden算法二． Mallat 算法1.两个近似假设① S(t)由某一尺度空间函数近似② C m,n由采样数据直接近似mC m,n 2 2S(t) * ( 2m t n)dt(t)( w)(t n) e (2m t n) e 由预测和更新滤波器进行交替提升实现n 1S(t ) C m0n m0n (t ) d k ,n kn (t) n k m0 njnw(w)jnw2m(2 m w) 2mm m2 2 e jn 2 m w (2 m w)1 mnC m,n2 2S( w) * (2 m w)e j 2m w dw 2当分辨率 m 足够高时* (2 m w) 0mC m,n221S( w)e j 2 m nw dw2mm2 2 S(2 m n) 22S(t ) t 2m n故可直接用样本数据取代2.Mallat 算法①分解算法a.推导m*m 1Cm 1,nS(t )1 , n(t )dt 2 2 n) dt 2m 1S(t )* ( 2mt2n)dt2m 1两尺度关系 2 2S(t ) 2 h 0 (i ) * ( 2m t (2n i)) dt imh 0 (i )S(t )2 2 * ( 2m t (2ni ))dti2 h 0 (i)S(t),m, 2n i(t)2 h 0 (i )C m, 2 n iiii 2n i2 h 0 (i 2n)C m ,ii同理 d m 1, n 2h 1 (i 2n)C m, iib.滤波器组实现（滑动内积 +下采样）Cm,nH 0 * (w) 2Cm 1,nh 0 ( n)H 1 * (w) 2dm 1,nh 1 ( n)②重构算法a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）C m,n2h0 (n 2i )C m 1,i h1 (n 2i )d m 1,ii ib.滤波器组实现（上采样 +滤波）dm 1, n2H 1 (w)S(i) Cm 1, n2H 0 (w)5.5小波变换的应用一．小波地位小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT二．信号检测方面应用发动机声音中的撞击声检测傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性Gabor 变换：仍需长窗去包含振荡波形小波变换：小波基可任意窄三．降噪应用1.适用场合经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合高斯类噪声和脉冲噪声宽带噪声小波去噪2.滤波效果①经典滤波：丢失波形尖锐处信息②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关）3.滤波手段①传统方法： Prony 参数建模法②小波降噪a. 信号系数阈值比较反变换输出小波变换分解重构b.可证明其统计最优性c.阈值比较（阈值 T 可基于信号标准差得出）硬阈值：比较 d m,n软阈值：考虑 d m,n符号，及其其它系数相关性4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小NI 信号处理工具箱。