「精选」中考数学专题复习小练习专题13二次函数的应用-精选下载

二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．题型一利润问题..................................................................................................................................1题型二几何问题................................................................................................................................14题型三构造函数解决实际问题.. (21)题型一利润问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+ B ．2105607350y x x =-++ C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-2．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．(2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？3．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价．经市场调查，每月的销售量y(个)与每个篮球的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x606264y500480460销售量(1)求y与x之间的函数关系式；(不需求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？(3)物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w(元)，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？4．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？5．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不高于35元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？6．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？7．某公司去年推出一种节能产品，售价(y 元/个)与月销量(x 个)的函数关系如下表，成本为20(元/个)，同时每月还需支出固定广告费47500元.售价y （元/个）119118117116115…月销量x （个）100200300400500…(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出y 与x 之间的函数关系式；(2)若出售这种节能产品的月利润为(w 元)，请用含x 的代数式表示月利润w ，并求出当月销售量为5000个时的月利润；(3)该公司去年每个月都销售了5000个这种节能产品．从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了2500元，产品成本增加了m %，因此售价上调0.6%m 元，由此月销量减少0.4%m ．结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了3500元．求m 698.3≈768.7≈27616.6≈）8．某公司购进一批受环境影响较大的商品，该商品需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y （元/件）与保存的时间第x （天）之间的关系满足2217y x x =++，该商品售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间满足一次函数关系，其对应数据如下表所示．x （天） (1)2…p （元/件）…97105…(1)求商品的售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间的函数解析式；(2)求保存第几天时，该天此商品不赚也不亏；(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，并求此时每件商品的售价是多少？9．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进,A B 两种类型的头盔，已知购进3个A 类头盔和4个B 类头盔共需288元；购进6个A 类头盔和2个B 类头盔共需306元．(1),A B 两类头盔每个的进价各是多少元？(2)在销售中，该商场发现A 类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A 类头盔每个x 元（50100x ≤≤），y 表示该商家每月销售A 类头盔的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．10．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．(1)则y与x的函数关系式为：______，自变量x的取值范围是：______；(2)每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？a a>元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利(3)若在销售过程中每一件商品都有()0润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围：______．11．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？12．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n （株）与第x 天（x 为整数）满足关系式：50n x =-+，销售单价m （元/株）与x 之间的函数关系为1201202420102130x x m x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩（）（）(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y （元）关于第x （天）的函数关系式．(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?13．某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x 台电子产品的成本y （元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x 成正比例，人工成本（单位：元）与x 的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：x （单位：台）2040y （单位：元）21042216(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若某月平均每台电子产品的成本26元，求这个月共生产电子产品多少台？(3)若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x 的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q （单位：元），且有Q mx n =+（m 、n 均为常数），已知当2000x =台时，Q 为35元，且此时销售利润W （单位：元）有最大值，求m 、n 的值（提示：销售利润＝销售收入－成本费用）14．某文具店某种型号的计算器每个进价14元，售价22元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10个以上的，每多买一个，所买的全部计算器每个就降价0.1元，例如：某人买18个计算器，于是每个降价()0.118100.8⨯-=（元），因此所买的18个计算器都按每个21.2元的价格购买，但是每个计算器的最低售价为18元．(1)一次至少购买___________个计算器，才能以最低售价购买(2)写出该文具店一次销售()10x x >个时，所获利润y （元）与x （个）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当1050x <≤时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？15．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植．现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年．．种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．他计划今年．．多承租一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变．新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年．．新承租多少亩土地，才能使总收益为182400元？(2)该大户今年．．应新承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？16．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．17．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．18．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数．．；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；a>给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元()0于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．19．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=()()1000002010080002050tt t⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）20．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天12345销售价格p （元/只）23456销量q（只）7075808590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．题型二几何问题1．如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，点E ，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心，连接,OE OF ，点P 从点E 出发沿E O F --运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为s t ，连接,BP PQ ，BPQ V 的面积为2cm S ，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P '，设运动时间为ts ，MN P '与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，45A ∠=︒，90C ∠=︒，4cm AD =，3cm CD =．动点M ，N 同时从点A 出发，点M 2cm /s 的速度沿AB 向终点B 运动，点N 以2cm /s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点N 的运动时间为s t ，AMN 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 2cm /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC →向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ △的面积为()2cmy ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．5．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长4m AD =，宽1m =AB 的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m 的矩形水池EFGH （如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD 的边AD 加长长度DM 为()()m 0x x >，加长后水池1的总面积为()21my ，则1y 关于x 的函数解析式为：()140y x x =+>；设水池2的边EF 的长为()()m 06x x <<，面积为()22m y ，则2y 关于x 的函数解析式为：()22606y x x x =-+<<，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随EF 长度的增加而减小，则EF 长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________2m ；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的()m x 值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，()m x 的取值范围是_________；(4)在14x <<范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x 的值；(5)假设水池ABCD 的边AD 的长度为()m b ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积()23m y 关于()()m 0x x >的函数解析式为：()30y x b x =+>．若水池3与水池2的面积相等时，()m x 有唯一值，求b 的值．6．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．7．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为362m，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？8．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1mAE 的水池且需保证总种植面积为232m，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？9．如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P 的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PP P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P右侧）．10．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？题型三构造函数解决实际问题1．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．3B ．2C ．13D ．7米2．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为()A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-3．竖直上抛物体离地面的高度()h m 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时离地面的高度，()0/v m s 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ；那么当水位下降1m 后，水面的宽度为_________m.6．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．7．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是2520h t t =-+，当飞行时间t 为___________s 时，小球达到最高点．8．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．9．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．10．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为2112y x bx c =-++，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．11．如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时，水柱落点距O 点4m ．12．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是________米．13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y=________．。

专题13 二次函数的应用1．2017·德州随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；(2)求出水柱的最大高度．图Z13－12．2017·泰州怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？3．2017·潍坊工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将矩形铁皮的四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图Z13－2中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求出当长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长是多少．(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少？图Z13－24．2018·菏泽如图Z13－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式；(2)E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3)若P是直线AB下方的抛物线上的一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．图Z13－3详解详析1．解：(1)答案不唯一．如图所示，以喷水管与地面交点为原点，原点与任一水柱落地点所在直线为x 轴，喷水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －1)2＋h ， 将(0，2)和(3，0)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋h ＝2，4a ＋h ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，h ＝83， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23(x －1)2＋83，即y ＝－23x 2＋43x ＋2.(2)∵y ＝－23(x －1)2＋83，∴当x ＝1时，y 最大值＝83，即水柱的最大高度为83米．2．解：(1)设该店每天卖出A ，B 两种菜品分别为x 份、y 份．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋18y ＝1120，（20－14）x ＋（18－14）y ＝280，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝40.20＋40＝60(份)．答：该店每天卖出这两种菜品共60份．(2)设A 种菜品售价降低0.5a 元，则每天卖出(20＋a)份， 总利润为w 元．因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品每天卖出(40－a)份，每份售价提高0.5a 元．w ＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a) ＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a)＝(－0.5a 2－4a ＋120)＋(－0.5a 2＋16a ＋160)＝－a 2＋12a ＋280＝－(a －6)2＋316. 当a ＝6时，w 最大值＝316.答：这两种菜品一天的总利润最多是316元． 3．解：(1)如图所示．设裁掉的正方形的边长是x dm . 由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，即x 2－8x ＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6(舍去)．答：裁掉的正方形的边长是2 dm . (2)设裁掉的正方形的边长是x dm .∵长方体的底面长不大于底面宽的5倍， ∴10－2x ≤5(6－2x)，解得x ≤2.5， ∴0＜x ≤2.5.设总费用为w 元，由题意可知w ＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x 2－48x ＋120＝4(x －6)2－24. ∵函数图象的对称轴为直线x ＝6，开口向上， ∴当0＜x ≤2.5时，w 随x 的增大而减小， ∴当x ＝2.5时，w 有最小值，为25.答：当裁掉的正方形边长为2.5 dm 时，总费用最低，最低为25元．4．解：(1)把B(－5，0)和C(1，0)代入y ＝ax 2＋bx －5，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a －5b －5，0＝a ＋b －5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x －5. (2)∵A(0，－5)，AD ∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5， ∴点E 到直线AD 的距离为10.把y ＝－5代入y ＝x 2＋4x －5，得－5＝x 2＋4x －5，解得x 1＝－4，x 2＝0， ∴D(－4，－5)，∴AD ＝4， ∴S △EAD ＝12×4×10＝20.(3)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b 1， 把B(－5，0)和A(0，－5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋b 1＝0，b 1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b 1＝－5， ∴直线AB 的表达式为y ＝－x －5.设点P 的坐标为(m ，m 2＋4m －5)，其中－5<m<0.过点P 作PQ ∥y 轴，交直线AB 于点Q ，∴Q(m ，－m －5)． ∵P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，∴PQ ＝－m －5－(m 2＋4m －5)＝－m 2－5m. 设△ABP 的面积为S ，连接AP ，BP ，∴S ＝S △APQ ＋S △BPQ ＝12×(－m 2－5m)×(－m)＋12×(－m 2－5m)×(m ＋5)＝－52(m ＋52)2＋1258， ∴当m ＝－52时，S 最大，即当点P 的坐标为(－52，－354)时，△ABP 的面积最大，最大面积为1258.。

二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1 （2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c 的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．对应训练1．（2013•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2 （2013•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3思路分析：关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的两个交点的横坐标．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根．对应训练2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．-8 B．8C．±8 D．6考点四：二次函数综合性题目例4 （2013•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA= 12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设对应训练4．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．对应练习1．（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）2．（2013）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．4．（2013）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．5．（2013）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=243米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的136．（2013）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M 作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．7．（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．8．（2013）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+32与直线y=x交于点A，点B在直线y=12x+32上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．9．（2013）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，3）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．2（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•大庆）已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．-4 B．0 C．2 D．32．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2-4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0-x1）（x0-x2）＜03．（2013•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16 B．15 C．14 D．13二、填空题4．（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．5．（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．6．（2013•锦州）二次函数y=23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n-1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠A n-1B n A n=60°，菱形A n-1B n A n C n的周长为．三、解答题7．（2013•鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？8．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：价格x（元/个）…30 40 50 60 …销售量y（万个）… 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量9．（2013•达州）今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．（1）小华的问题解答：；（2）小明的问题解答：．10．（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=1590(02) 5130(26)x xx x+<≤⎧⎨-+<<⎩，若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2=100(02)5110(26)tt t<≤⎧⎨-+<<⎩。

专题13二次函数的应用的核心知识点精讲1.会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题．2.经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。

考点1：用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值考点2：用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的【题型1：用二次函数解决抛物线型问题】【典例1】（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？1．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．2．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．3．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD 的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．【题型2：用二次函数解决最优化问题】【典例2】（2023•丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？1．（2023•绵阳）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x （元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）2．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？3．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．【题型3：二次函数的综合应用】【典例3】（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．1．（2023•攀枝花）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点O，且顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求点P的坐标．2．（2023•自贡）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．一．选择题（共7小题）1．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米B．12米C．11米D．10米2．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③3．某超市销售某款商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+10x+125，则销售这款商品每天的最大利润为（）A．125元B．150元C．175元D．200元4．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度y的关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第9秒C．第10秒D．第11秒5．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（）A．y＝x（100﹣x）B．y＝x（100﹣6x）C．y＝（100﹣x）（15+x）D．y＝（100﹣6x）（15+x）6．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s7．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m二．填空题（共3小题）8．如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为xm，当x＝m时，养鸡场的面积最大．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为．三．解答题（共4小题）11．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？12．综合与实践问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．模型建立：（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．问题解决：（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．13．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该服装店销售这批秋衣日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标．1．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．8B．16C．32D．642．竖直上抛的小球的高度h（m）与运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，若小球在上抛后第3s与第7s时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）A．第4s B．第4.8s C．第4.9s D．第5.2s3．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3m．该运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使投中，该运动员应该跳得比刚才投篮时（）A．高0.8m B．高0.4m C．低0.8m D．低0.4m4．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．6.24米B．6.76米C．7米D．7.24米5．亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有150间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在100～200元之间（含100元，200元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（）A．100元B．75元C．50元D．25元6．飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位，秒）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，最后6秒滑行的距离为（）米．A．24B．36C．48D．547．如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墙BC 与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．18m2C．24m2D．m28．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的图象与函数y＝﹣x2+6x的图象交于y轴一点，则m ＝．9．如图1，有一块外边缘呈抛物线型的废材料，小成同学想废旧利用，从中截取一个矩形ABCD，使矩形的顶点A、B落在材料的底边MN上，C，D落在外边缘的抛物线上，小成同学量得MN＝6dm，抛物线顶点处到边MN的距离是9dm；于是，小成同学在图纸上，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x 轴，以1dm为1个单位建立平面直角坐标系，如图2所示．（1）请你帮小成求出该抛物线的解析式；（2）小成截下的矩形ABCD的周长能否等于20dm？若能，请求出矩形的边AB的长；若不能，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点．（1）求二次函数的表达式；的最大值；（2）如图1，连接PA，PC，AC，求S△P AC（3）如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，连接BC、BP，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．13．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）150160180月销售量y件14012080月销售利润w元420048004800注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）．（1）根据上述信息求：①y关于x的函数解析式；②当x是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？（2）由于某种原因，该商品的进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过165元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若月销售利润最大是4620元，求m值．1．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．22．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．4．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．5．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝m．6．（2023•沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝m时，羊圈的面积最大．7．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为．8．（2023•陕西）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC ＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′＝B′C′＝C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．9．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？10．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？11．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．12．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．。

专题13 二次函数的应用1．2018·安徽小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元．②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1(单位：元)，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W(单位：元)最大，最大总利润是多少？2．2018·衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图Z－13－1所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．图Z－13－13．2018·金华、丽水如图Z－13－2，抛物线y＝ax2＋bx(a<0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在该抛物线上．设A(t，0)，当t ＝2时，AD＝4.(1)求抛物线的函数解析式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直．线．GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．图Z－13－2中小学教案、试题、试卷精品资料详解详析1．解：(1)W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x ＋8000， W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950＝－2(x －414)2＋732818.∵x 取整数，∴由二次函数的性质知当x ＝10时，W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160(元)．2．解：(1)∵抛物线的顶点为(3，5)，∴设y ＝a(x －3)2＋5， 将(8，0)代入得a ＝－15，∴y＝－15(x －3)2＋5(或y ＝－15x 2＋65x ＋165)(0<x<8)．(2)当y ＝1.8时，即1.8＝－15x 2＋65x ＋165，解得x 1＝7，x 2＝－1(不合题意，舍去)． 答：王师傅必须站在离水池中心7米以内．(3)由y ＝－15(x －3)2＋5可得原抛物线与y 轴的交点为(0，165)．∵装饰物高度不变，∴新抛物线也经过点(0，165)．∵喷出水柱的形状不变，∴a＝－15.∵直径扩大到32米，∴新抛物线过点(16，0)． 设新抛物线为y 新＝－15x 2＋bx ＋c ，将(0，165)和(16，0)代入得b ＝3，c ＝165，∴y 新＝－15x 2＋3x ＋165，∴y 新＝－15(x －152)2＋28920，当x ＝152时，y 最大＝28920.答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．3．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝ax(x －10)． ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标是(2，4)． ∴4＝a×2×(2－10)，解得a ＝－14，∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋52x.(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB＝10－2t. 当x ＝t 时，y ＝－14t 2＋52t.∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t 2＋52t)]＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t－1)2＋412.∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值是412.(3)当t ＝2时，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)， ∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)．当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形面积平分； 当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形面积平分； 当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上，直线GH 过点P 时，必平分矩形ABCD 的面积． ∵AB∥CD，∴线段OD 平移后得到线段GH ， ∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P.中小学教案、试题、试卷精品资料在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ＝12OB ＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度．。

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，经市场调查发现，日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80，当x＝50时，y＝100.（1）求y与x的函数解析式；（2）若该公司销售该原料日获利为w（元），销售单价为x（元），那么当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？2．已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量w（件）与售价x（元）的相关信息如下表（符合一次函数关系）：售价（元/件）100110120130…月销售量（件）200180160140…（1）销售该品牌床单每件的利润是元（用含x的式子表示）．（2）用含x的代数式表示月销量w．（3）设销售该品牌床单的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？3．某商场销售甲、乙两种产品，其中甲商品进价为20元．在销售过程中发现，甲商品每天的销售利润w1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：w1＝－x2＋bx－1260，当x＝30时，w1＝330；乙商品每天的销售利润w2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系w2＝－z2＋102z＋c，当z＝50时，w2＝440．其中x、z均为整数，并且销售单价均高于进价．（1）求b，c的值；（2）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的1.5倍，当两种商品每天获得的利润相同时，甲、乙两种商品销售单价分别为多少；（3）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的2倍，当这两种商品每天销售利润的和最大时，请直接写出此时甲的销售单价．4．某网店经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该商品每周的销售量(y件)与销售单价(x元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．（1）请求出y与x的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元，①写出w与x的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？5．某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？6．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；（2）请写出w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？7．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现.在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元.日销售量将减少20千克.（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多.8．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件;如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件。

2021年中考数学一轮复习过关训练汇编专题13 二次函数的应用一、选择题1．二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为x =1，下列结论中：①abc ＞0；②2a ＋b =0；③b 2－4ac ＞0；④a －b ＋c ＞0；⑤3a ＋c ＜0．正确的个数是( ) ．A ．2B ．3C ．4D ．52．二次函数2231y x x =++的图象与x 轴交点的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3．根据下列表格的对应值：判断方程212150x x +-=一个解的取值范围是（ ）A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x <<4．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，使1y ≥-成立的x 的取值范围是（）A ．1x ≥-B ．1x ≤-C ．13x -≤≤D ．1x ≤-或3x ≥5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣12，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④244b aca＜0；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题6．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，一边与这条边上的高之和为40cm，则这个三角形的最大面积是_______________cm²．7．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为_____．8．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则当y＞3时，x的取值范围是______．9．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB向右平移得到△O1A1B1，平移后的O1A1与抛物线交于点P，若点P将线段A1O1分成1：3两部分，则点P的坐标为_____．10．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），点E 是抛物线的顶点，碗底高1EF =cm ，碗底宽AB =，当瓷碗中装满面汤时，液面宽83CD =cm ，此时面汤最大深度6EG =cm ，将瓷碗绕点B 缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当30LABK =时停止，此时液面CH 到______cm ；碗内面汤的最大深度是______cm ．三、解答题11．已知二次函数2246y x x =-++．（1）求出该函数的顶点坐标，图象与x 轴的交点坐标，（2）当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？当x 在什么范围内时，0y >？12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A B 、两点（点A 在点B 左侧），交y 轴于C 点，顶点为D 点．其中(1,0),3A OC OB OA -==．（1）求该抛物线的表达式；（2）在抛物线上A 点左侧的部分上存在点P ，使得BAD PBA ∠=∠，直接写出点P 的坐标；（3）在x 轴是否存在点,E y 轴是否存在点F ，使得以A D E F 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．13．某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600元，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）设该种品牌玩具的销售单价为x 元，请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获利利润W 元；（2）在（1）的条件下，若商场获利了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元？（3）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获利的最大利润是多少元？14．如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<．（1）求OP OQ +的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．15．如图所示，动点A 、B 同时从原点O 出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A 沿x 轴正方向运动，动点B 沿y 轴正方向运动，以OA 、OB 为邻边建立正方形OACB ，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，假设A 、B 两点运动的时间为t 秒：（1）直接写出直线OC 的解析式；（2）当3t =秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D ，使得6BCD S =△？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；CP=，（4）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP=，2∠=︒，直接写出此时AP的长度．OPA135。

知识点01：二次函数的图象特征及性质 【高频考点精讲】关系式 一般式y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）顶点式k h x a y +-=2)(（a ≠0）开口方向 当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。

顶点坐标（ab2-，a b ac 442-）（h ，k ）对称轴直线x ＝ab2-直线x ＝h增减性a＞0x＜ab2-时，y随x增大而减小；x＞ab2-时，y随x增大而增大。

x＜h时，y随x增大而减小；x＞h时，y随x增大而增大。

a＜0x＜ab2-时，y随x增大而增大；x＞ab2-时，y随x增大而增大。

x＜h时，y随x增大而增大；x＞h时，y随x增大而减小。

最值a＞0当x＝ab2-时，abacy442-=最小值。

当x＝h时，ky=最小值。

a＜0当x＝ab2-时，abacy442-=最大值。

当x＝h时，ky=最大值。

知识点02：二次函数图象与系数的关系【高频考点精讲】1．a决定抛物线的开口方向及大小（1）a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下。

（2）|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

2．a、b共同决定抛物线对称轴的位置（1）当b＝0时，对称轴x＝ab2-＝0，对称轴为y轴。

（2）当a、b同号时，对称轴x＝ab2-＜0，对称轴在y轴左侧。

（3）当a、b异号时，对称轴x＝ab2-＞0，对称轴在y轴右侧。

3．c 决定抛物线与y 轴的交点位置 （1）当c ＝0时，抛物线过原点。

（2）当c ＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴。

（3）当c ＜0时，抛物线与y 轴交于负半轴。

4．ac b 42-决定抛物线与x 轴的交点位置（1）当ac b 42-＝0时，抛物线与x 轴有唯一交点。

（2）当ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有两个交点。

（3）当ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

5．特殊值（1）当x=1时，y=a+b+c ；当x=﹣1时，y=a-b+c ；当x=2时，y=4a+2b+c ；当x=﹣2时，y=4a-2b+c 。

中考数学专项复习之二次函数的应用训练1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点M （﹣2，92）和N （2，−72）两点，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）若点M 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点，求抛物线解析式及A 、B 、C 坐标； （2）在（1）的条件下，若点P 是A 、C 之间抛物线上一点，求四边形APCN 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）若B （m ，0），且1≤m ≤3，求a 的取值范围．2．某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x 天生产的电子产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系式：y ={20x(0≤x ≤10)10x +200(10＜x ≤30)． （1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；（2）设第x 天每件电子产品的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？3．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？4．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．（1）分别判断函数y=12x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y=2x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．5．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？6．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−110x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）（1）直接写出c＝；（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．7．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（m2/棵）0.410.4（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．8．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，﹣1）和（2，7）．（1）求二次函数解析式及对称轴；（2）若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．10．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB=43，点P为x轴下方的抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：s/m…912151821…h/m… 4.2 4.85 4.8 4.2…（1）假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，s＝m；（2）求h关于s的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．12．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，连接BC ，点E 是第四象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，EG ∥x 轴交直线BC 于点G ，求△EFG 面积的最大值；（3）如图2，点M 在线段OC 上（点M 不与点O 重合），点M 、N 关于原点对称，射线BN 、BM 分别与抛物线交于P 、Q 两点，连接P A 、QA ，若△BMN 的面积为S 1，四边形BP AQ 的面积为S 2，求S 1S 2的值．13．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +3交坐标轴于B 、C 两点，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点A （﹣1，0）．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ ∥CO ，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在∠DCP ＝∠DPC ，求出m 值；（3）在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．14．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m ，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．15．在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．（1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式；（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2+43x−2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AC的长度；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移√13个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．17．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？。

一、选择题1. （2019山东省潍坊市，12，3分）抛物线y =x 2＋bx +3的对称轴为直线x =1．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．2≤t ＜11 B ．t ≥2 C ．6＜t ＜11 D ．2≤t ＜6 【答案】A【思路分析】根据对称轴为直线x =1，求出b 的值，画出抛物线y =x 2＋bx +3（－1＜x ＜4）的图象，如果该图象与直线y =t 有交点，则题目所给的一元二次方程有实数根，利用图象可得t 的取值范围． 【解题过程】由题意得：12b-=，b =－2，抛物线解析式为y =x 2－2x +3，当－1＜x ＜4时，其图象如图所示：从图象可以看出当2≤t ＜11时，抛物线y =x 2－2x +3与直线y =t 有交点，故关于x 的一元二次方程x 2＋bx +3－t =0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是2≤t ＜11，故选择A ．方法二：把y =x 2－2x +3－t （－1＜x ＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x 轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t ＜11，故选择A ．【知识点】二次函数与一元二次方程，数形结合法2. （2019山东淄博，11，4分）将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y ＝2有两个交点，则a 的取值范围是 （ ） A.3a ＞ B.3a ＜ C.5a ＞ D.5a ＜ 【答案】D.【思路分析】先把二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的平移规律表示出平移后的二次函数解析式，与y ＝2联立成一元二次方程，根据两函数有两个交点，则△＞0,列出不等式求出a 的范围.【解题过程】∵224(2)(4)y x x a x a =-+=-+-，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为2(1)(3)y x a =-+-，令22(1)(3)x a =-+-，即2240x x a -+-=，由⊿44(4)0a =--＞，得5a ＜.【知识点】二次函数图象的平移规律，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根的判别式3. （2019浙江湖州，10，3）已知a ，b是非零实数，a b >，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1＝ax 2＋bx 与一次函数y 2＝ax ＋b 的大致图象不可能．．．是（ ）【答案】D ．【解析】由2y ax b y ax bx =+⎧⎨=+⎩，解得111x y a b =⎧⎨=+⎩，220b x a y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，a ＋b )和(－ba，0)．对于D 选项，从直线过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0．∵a b >，∴a ＋b ＜0．从而(1，a ＋b )在第四象限，因此D 选项不正确，故选D ．【知识点】一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；方程组 4. （2019四川省乐山市，10，3）如图，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）A ．3B ．241C ．27D ．4第10题图【答案】COyxy xOO xyyOxA ．B ．C ．D ．第10题答图【思路分析】连接PB ，根据中位线定理知PB =2QO ，QO 的最大值即求PB 的最大值，而圆外一点B 到圆上一点P 距离最大时，PB 过圆心C ，故可利用勾股定理求BC ，从而求得PB ，再求OQ . 【解题过程】连接PB ，令4412-=x y =0，得x =4±，故A （-4，），（4，0），∴O 是AB 的中点，又Q 是线段PA 的中点，∴OQ =12PB ，点B 是圆C 外一点，当PB 过圆心C 时，PB 最大，OQ 也最大，此时OC =3，OB =4，由勾股定理可得BC =5， PB =BC +PC =5+2=7，OQ =12PB =72，故选C.【知识点】中位线定理；点与圆的关系；勾股定理5. （2019江苏连云港，7，3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中120C ∠=︒．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )A ．218mB ．2183mC ．2243mD 2453 【答案】C【解析】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD AE x ==，90DCE CEB ∠=∠=︒， 则30BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒，12BC x =-， 在Rt CBE ∆中，∵90CEB ∠=︒，∴11622BE BC x ==-，∴3363AD CE BE ===，116622AB AE BE x x x =+=+-=+， ∴梯形S ABCD 面积1()2CD AB CE =+113(6)(63)22x x =++- 23333183x x =++ 2334)243x =-+∴当4x =时，243S =最大．即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为23m ， 故选C ．【知识点】梯形的性质；矩形的性质；含30︒角的直角三角形的性质；勾股定理；二次函数的最值.二、填空题1. （2019山东省潍坊市，17，3分）如图，直线y =x +1与抛物线y =x 2－4x ＋5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点．当△P AB 的周长最小时，S △P AB=．【答案】125【思路分析】先求出A 、B 两点坐标，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 交y 轴于点P ，求出直线A ′B 的解析式，从而可求出△P AB 的面积．【解题过程】解方程组2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩，得：1112x y =⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩． ∴A （1，2） B （4，5）作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 交y 轴于点P ．则A ′（－1， 2）.设直线A ′B 解析式为y =kx +b ， 则245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：3,5135 kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线A′B：31355y x=+．∴当△P AB的周长最小时，点P的坐标为（0，135）．设直线AB与y轴的交点为C，则C（0，1）∴S△P AB=S△PCB－S△PCA=113113(1)4(1)12525⨯-⨯-⨯-⨯=125【知识点】二次函数与一次函数综合，几何最短问题，三角形面积的计算2. （2019四川省乐山市，15，3）如图，点P是双曲线C：xy4=（0>x）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：221-=xy于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ 面积的最大值是▲ .第15题图【答案】3【解析】∵点P是双曲线C：xy4=（0>x）上的一点，∴可设点P坐标为（m，4m），∵P Q⊥x轴，Q在221-=xy图像上，∴Q坐标为（m，122m-），PQ=4m-(122m-)，∴△POQ面积=12×m×[4m-(122m-]=()21234m--+，当m=2时，△POQ面积的最大值为3.【知识点】一次函数图像；反比例函数图像；三角形面积；二次函数最值3. （2019江苏省无锡市，18，2）如图，在ABC ∆中，AB =AC =5，BC =45，D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .第18题图【答案】8【思路分析】本题考查了有关正方形中动态三角形面积的最值问题. 过D 作DG ⊥BC 于G ，过A 作AN ⊥BC 于N ，过E 作EH ⊥HG 于H ，延长ED 交BC 于M ，设DG =HE =x ，借助等腰三角形性质、勾股定理、相似三角形性质与判定求或用x 的代数式表示相关线段长度，最后通过求面积函数值的二次函数最值来解决问题.第18题答图【解题过程】过D 作DG ⊥BC 于G ，过A 作AN ⊥BC 于N ，过E 作EH ⊥HG 于H ，延长ED 交BC 于M .易证△EHD ≌△DGC ，可设DG =HE =x ，∵AB =AC =5，BC =45，AN ⊥BC ，∴BN =12BC 5AN 225AB BN -∵G ⊥BC ，AN ⊥BC ，∴DG ∥AN ，∴2BG BNDG AN==，∴BG =2x ，CG =HD 52x ；易证△HED ∽△GMD ，于是HE HD GM GD =，452x x GM -=即MG 2452x =- ，所以S △BDE = 12BM ×HD =12×（2x 2452x -）×（5- 2x ）=25452x x -+=254582x ⎛-+ ⎝⎭，当x 45时，S △BDE 的最大值为8. 来解决问题.【知识点】等腰三角形性质；勾股定理；相似三角形性质与判定；二次函数的最值；数形结合思想4. (2019浙江台州,15题,5分)如图,直线l 1∥l 2∥l 3,A,B,C 分别为直线l 1,l 2,l 3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC 交直线l 2于点D.设直线l 1,l 2之间的距离为m,直线l 2,l 3之间的距离为n,若∠ABC ＝90°,BD ＝4,且23m n =,则m+n 的最大值为________.第16题图【答案】253【思路分析】作垂线,构造相似,得到比例式,把m+n 用x 表示, 通过求二次函数的最值求得m+n 的最值.【解题过程】过点B 作BE ⊥l 1于点E,作BF ⊥l 3于点F,过点A 作AN ⊥l 2于点N,过点C 作CM ⊥l 2于点M,设AE ＝x,CF ＝y,则BN ＝x,BM ＝y,∵BD ＝4,∴DM ＝y －4,DN ＝4－x,∵∠ABC ＝90°,且∠AEB ＝∠BFC ＝90°,∠CMD＝∠AND ＝90°,易得△AEB ∽△BFC,△CMD ∽△AND,∴AE BE BF CF =,即x m n y =,mn ＝xy,∴AN DN CM DM=,即42=43m x n y -=-,∴y ＝10－32x ,∵2=3m n ,∴n ＝32m,m+n ＝52m,∵mn ＝xy ＝x(10－32x )＝－32x 2+10x ＝32m 2,当x ＝103时,mn 取得最大值为503,∴32m 2＝503,∴m 最大＝103,∴m+n ＝52m ＝253.第16题答图【知识点】相似三角形,二次函数最值5. （2019四川省凉山市，24，5）如图，正方形ABCD 中，AB =12, AE =41AB ，点P 在BC 上运动 （不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 ▲ .第24题图【思路分析】根据正方形形的性质得到∠B ＝∠C ＝90°，根据余角的性质得到∠BEP =∠CPQ ，根据相似三角形的性质得到CQ =4)6(912+--x ，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解题过程】在正方形ABCD 中，∵AB =12, AE =41AB =3，∴BC =AB =12，BE =9，设BP =x ，则CP =12-x .∵PQ⊥EP ，∴∠EPQ =∠B =∠C =90°，∴∠BEP +∠BPE =∠CPQ +∠BPE =90°，∴∠BEP =∠CPQ ，∴△EBP ∽△PCQ ，∴BE PC BP CQ =，∴912x x CQ -=，整理得CQ =4)6(912+--x ，∴当x =6时，CQ 取得最大值为4.故答案为4. 【知识点】相似三角形的性质；正方形的性质；二次函数的最值6. （2019四川广安，15，3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米)与水平距离x （米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米． 【答案】10【解析】解：当0y =时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =（舍去），10x =． 故答案为：10．【知识点】二次函数的应用三、解答题1. (2019浙江台州,23题,12分)已知函数y ＝x 2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(－2,4) (1)求b,c 满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b 的值变化时,求n 关于m 的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限,当－5≤x ≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b 的值.【思路分析】(1)将点的坐标代入化简可得;(2)将(1)中所得关系代入,可得n 和m 的关系式;(3)根据对称轴进行分类讨论,得到关于b 的方程,解方程,进行取舍后得到b 的值.【解题过程】(1)将点(－2,4)代入y ＝x 2+bx+c,得4＝(－2)2－2b+c,∴c ＝2b,∴b,c 满足的关系式是c ＝2b.(2)把c ＝2b 代入y ＝x 2+bx+c,得y ＝x 2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),n ＝m 2+bm+2b,且m ＝－2b,即b ＝－2m,∴n ＝－m 2－4m.∴n 关于m 的函数解析式为n ＝－m 2－4m.(3)由(2)的结论,画出函数y ＝x 2+bx+c 和函数y ＝－x 2－4x 的图象.∵函数y ＝x 2+bx+c 的图象不经过第三象限,∴－4≤－2b ≤0.①当－4≤－2b ≤－2,即4≤b ≤8时,如图1所示,x ＝1时,函数取到最大值y ＝1+3b,x ＝－2b时,函数取到最小值y ＝284b b -,∴(1+3b)－284b b -＝16,即b 2+4b －60＝0,∴b 1＝6,b 2＝－10(舍去);②当－2<－2b ≤0,即＝≤b<4时,如图2所示,x ＝－5时,函数取到最大值y ＝25－3b,x ＝－2b 时,函数取到最小值y ＝284b b -,∴(25－3b)－284b b -＝16,即b 2－20b+36＝0,∴b 1＝2,b 2＝18(舍去);综上所述,b 的值为2或6.第23题答图【知识点】二次函数的图象和性质,一元二次方程2. （2019·浙江湖州，19，6）已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点． （1）求c 的取值范围；（2）若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A (2，m )和点B (3，n )，试比较m 和n 的大小，并说明理由． 【思路分析】（1）根据抛物线与x 轴有两个不同的交点，得到一元二次方程2x 2－4x ＋c ＝0有两个不相等的实数根，从而其根的判别式为正数，列不等式解之；（2）先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的增减性锁定答案． 【解题过程】（1）∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点，∴方程2x 2－4x ＋c ＝0有两个不相等的实数根． ∴△＝(－4)2－4×2×c ＞0． ∴c ＜2即为所求．（2）∵抛物线的对称轴为x ＝422--⨯＝1，而a ＝2＞0， ∴在抛物线对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大． ∵2＜3， ∴m ＜n ．【知识点】一元二次方程根的判别式；二次函数的图像与性质3. （2019四川省凉山市，25，8）已知二次函数y =x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且221211x x +=1，求a 的值．【思路分析】根据抛物线与x 轴的交点得出x 1+x 2与x 1x 2，再将222111x x +用x 1+x 2与x 1x 2表示，最后列方程求a 的值并检验是否符合题意.【解题过程】解：对于抛物线y =x 2+x +a ，令y =0，∴x 2+x +a =0,∵抛物线与x 轴交于点A （x 1，0），（x 2，0），∴x 1+x 2=-1，x 1x 2=a ，∵222111x x +=22212221x x x x +=1，∴x 12+x 22=x 12x 22，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2==x 12x 22，代入x 1+x 2=-1，x 1x 2=a ，有：1-2a =a 2，解得a =-1 2±，∵方程有两个实数根，则△=1-4a ＞0，解得a ＜41，∴a =-1-2. 【知识点】抛物线与x 轴的交点问题；根与系数的关系；一元二次方程的解法；根的判别式．4. (2019四川巴中,24,8分) 如图,一次函数y 1＝k 1x+b(k 1,b 为常数,k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝2k x(k 2≠0,x>0)的图象交于点A(m,8)与点B(4,2).①求一次函数与反比例函数的解析式; ②根据图像说明,当x 为何值时,k 1x+b －2k x<0.第24题图【思路分析】①利用点B 坐标可求出反比例函数的解析式,进而求出点A 坐标,即可求出一次函数的解析式;②由图象的关系可得不等式的解集.【解题过程】①因为点B(4,2)在反比例函数图象上,2＝24k ,所以k2＝8,所以反比例函数解析式为y 2＝8x (x>0),当y＝8时,8＝8x,所以x ＝1,所以点A 坐标为(1,8),将A(1,8),B(4,2)代入y 1＝k 1x+b,可得118=24k b k b ,所以1=210k b ,一次函数解析式为y 1＝－2x+10;②k 1x+b －2k x <0,即k 1x+b<2kx,即y 1<y 2,因为A(1,8),B(4,2),由图象可知x 的取值范围为:0<x<1,或x>4.【知识点】待定系数法求解析式,求点坐标,函数与不等式的关系5. （2019广东广州，25，14分）已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点． （1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的图象交于点P ，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围． 【思路分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m ＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值． （2）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G 1的顶点式，进而得到抛物线G 1顶点坐标（m +1，﹣m ﹣3），即x ＝m +1，y ＝﹣m ﹣3，x +y ＝﹣2即消去m ，得到y 与x 的函数关系式．再由m ＞0，即求得x 的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点B （2，﹣4），函数H 图象恒过点A （2，﹣3），由图象可知两图象交点P 应在点A 、B 之间，即点P 纵坐标在A 、B 纵坐标之间．法二：联立函数H 解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x 表示m 的式子．由x 与m 的范围讨论x 的具体范围，即求得函数H 对应的交点P 纵坐标的范围．【解题过程】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣3【知识点】二次函数的最值；二次函数的平移；二次函数与一次函数的关系6.（2019湖北宜昌，24，12分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．【思路分析】（1）求出正方形边长，数形结合求出k的范围；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，分m＝﹣1，m＞﹣1和m＜﹣1分别讨论Q点符合条件的坐标；②点B（﹣2，﹣2）代入双曲线，可求k＝4，N（4，1），由顶点P（m，n）在边BC上，求n＝﹣2，进而求出E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），由BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，，可求a（m﹣1），所以；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，求出F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2）进而确定0＜a，y M；同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），解得0＜a，y M．【解题过程】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1），∴；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a，∴﹣2＜9a﹣2，∴y M，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a，∴﹣2＜9a﹣2，∴y M，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；【知识点】二次函数图象及其性质；反比例函数及其应用；矩形菱形正方形7.（2019浙江湖州，24，12）如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC 3D是BC的中点．（1）求OC的长及点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝23OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在的直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出．．．．点G的运动路径的长．【思路分析】（1）Rt△AOC中，由正切三角函数，可求OC的长；再由矩形的性质及线段中点的定义锁定点D的坐标．（2）①由翻折可知DB＝DB'＝DC，从而∠DCA＝∠DB C'＝30°．通过解直角三角形得到F A＝FB＝32，在Rt△AEF中，AE＝AF•tan∠AFE 3332，从而求得点E的坐标．②按一找点G的运动起点与终点，从而找到点G的路径，二求该路径的长即可锁定答案．如答图2和答图3，表示动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动时的起点、与终点的位置，G点的路径是一条线段．【解题过程】（1）在Rt△AOC中，由tan∠OAC 3OCOA，OA＝3，得OC＝OA•tan∠OAC＝333∵四边形OABC是矩形，点D为BC的中点，∴D(323．图1 图2第24题图yxDC BAOFEPMyxDCBAO（2）①如答图1，易知∠OAC ＝∠ACB ＝30°．而由折叠可知DB ＝DB '＝DC ，从而∠DCA ＝∠DB C '＝30°． ∴∠BDF ＝∠B DF '＝30°． ∴∠DFB ＝∠AFE ＝60°．Rt △DBF 中，易求BF ＝3． ∴AF ＝AB －BF ＝3．Rt △AEF 中，AE ＝AF •tan ∠AFE ＝3×3＝32．∴OE ＝92，E (92，0)． 综上，BF 的长为32，点E 的坐标为E (92，0)．②3．【知识点】矩形性质；解直角三角形；翻折（轴对称）；等腰三角形；等边三角形；二次函数；动态问题；数形结合思想；探究性问题；压轴题；原创题8. （2019天津市，24，10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A(6，0),点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO=30°，矩形CODE 的顶点D,E,C 分别在OA,AB,OB 上，OD=2.（1）如图①，求点E 的坐标；（2）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C’O’D’E’,点C,O,D,E 的对应点分别为C’,O’,D’,E’,设OO’=t,矩形C’O’D’E’与△ABO 重叠部分的面积为S第24题答图3M P GFEDC B AOyx第24题答图2GFEP MD C BAOyx第24题答图1①如图②，当矩形C’O’D’E’与△ABO 重叠部分为五边形时，C’E’,E’D’分别与AB 相交于点M,F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②当353S ≤≤时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）【思路分析】(1)由题意知OA=6，OD=2，∴AD=4，由矩形CODE 得DE ∥BO ，∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°AD=43E 的坐标为（2，43（2）①由平移得，O’C’=D’E’=43，ME’=OO’=t ，根据E’D’∥BO ，得∠E’FM=∠OBA=30°,Rt △M E’F 中，3t ，S △ME’F =2113''322ME FE t t t ==；S 矩形C’O’D’E’=''''43283C O O D ==S=S 矩形C’O’D’E’-S △ME’F =23+83t 的取值范围是0<t<2； ②当S=3时，23t +832-=3，此时t=142>，所以重叠部分不是五边形；当S=53时，23t +832-=53此时62>，所以重叠部分不是五边形；当2<t<4时，重叠部分是四边形如图③所示，当4<t<6时，重叠部分是三角形如图④所示. 当2<t<4时,11('')''(3(6)3(4))23(102t)22S MO FD O D t t =+=-+-=- 当4<t<6时,2113''(6t)3(6)(6)222S O A O M t t ==--=- 所以，当33(102t)=3S =-t=4.5,不在2<t<4范围内； 当S=53时3(102t)=53S =-t=2.5；当323)=3S t -t=6-2 综上所述，t 的取值范围是2.5≤t≤6-2【解题过程】(1)∵A （6,0），∴OA=6，∵OD=2,∴AD=4，由矩形CODE 得DE ∥BO ， ∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°AD=43 所以点E 的坐标为（2，43(2)①由平移得，O’C’=D’E’=43，ME’=OO’=t ，根据E’D’∥BO ，得∠E’FM=∠OBA=30°,Rt △ME’F 中，E’F=3t ，S △ME’F =2113''3222ME FE tt t==；S 矩形C’O’D’E’=''''43283C O O D ==S=S 矩形C’O’D’E’-S △ME’F =23+83t 的取值范围是0<t<2；②2.5≤t≤6-2【知识点】分类讨论；二次函数；多边形的面积9. （2019四川攀枝花，23，12分）已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，其图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0,3）． （1）求b ，c 的值；（2）直线l 与x 轴交于点P ．①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E 、F ，点C 关于直线x ＝1的对称点为D ，求四边形CEDF 面积的最大值；②如图2，若直线l 与线段BC 相交于点Q ，当△PCQ ∽△CAP 时，求直线l 的表达式．xy BF EADCO PxyQB ACOP【思路分析】（1）由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，得－2b-＝1，解得b ＝2，把点C （0,3）代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 得c ＝3．（2）①由题意先求得点D ，A ，B 的坐标， AC l 的解析式，设F (e , －e 2＋2e ＋3)，则E (e , －e ＋3) ，进而得EF ＝－e 2＋3e ，因为CD ⊥EF ，所以S 四边形CEDF ＝12CD ·EF ，利用二次函数的顶点式求出最大值； ②根据相似三角形的性质得l ∥AC ，∠ACP ＝∠BCO ．作PH ⊥AC 于点H ，设P (m ,0)，根据tan ∠ACP ＝13，得关于m 的方程33m m -+＝13，解之可得点P 的坐标，进而得直线l 的表达式．【解题过程】解：（1）由题可知123bc ⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，，解得23.b c =⎧⎨=⎩，（2）①由题意可知D （2，3），CD ⊥EF ，∴CD ＝2．由（1）可知A (3,0)，B (－1,0) ∴AC l ：y ＝－x ＋3设F (e , －e 2＋2e ＋3)，则E (e , －e ＋3) ∴EF ＝－e 2＋3e∴S 四边形CEDF ＝12CD ·EF ＝－e 2＋3e ＝－（e －32）2＋94.∴当e ＝32时，四边形CEDF 的面积最大，最大值为94.②由（1）可知∠OAC ＝∠OCA ＝45°， 由△PCQ ∽△CAP 可得∠QPC ＝∠PCA ∴l ∥AC ．由△PCQ ∽△CAP 可得∠QCP ＝∠OAC ＝45°， ∴∠QCP ＝∠OCA ，∴∠ACP ＝∠BCO ，由B （－1，0），C （0，3），可得tan ∠BCO ＝13，∴tan ∠ACP ＝13，作PH ⊥AC 于点H ，设P (m ,0)，则AP ＝3－m.∴PH ＝AH－m )，CH(3＋m ))m -PH CH ＝tan ∠ACP ＝13， 即33m m -+＝13，解得m ＝32 ． ∴P (32,0)，∴l ：y ＝－x ＋32．xy HQ B AC OP【知识点】二次函数的性质；一次函数的表达式；相似三角形的性质；锐角三角函数； 分式方程，10. （2019四川省眉山市，26，11分）如图1，在正方形ABCD 中，AE 平分∠CBA 交BC 于点E ，过点C 作CF ⊥AE ，交AE 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：BE =BF ．；（2）如图2，连接BG 、BD ，求证：BG 平分∠DBF ； （3）如图3，连接DG 交AC 于点M ，求AEDM的值．【思路分析】（1）根据抛物线的交点式直接写出抛物线解析式即可，将解析式配方，得到顶点式，可得顶点坐标；（2）设点P 的坐标为（a ，241620999a a --+），用含a 的式子表示出PE 的长，进而用含a 的式子表示出矩形PEFG 的周长，再利用二次函数的最大值求解即可；（3）根据题意，证得△AMN ∽△BDM ，易得AB=6，AD=DB=5，根据△DMN 为等腰三角形有三种可能：①MN=DM ，利用△AMN ≌△BDM ，易得AN 的值；②DN=MN ，利用△DAM ∽△BAD 的性质，可得AN 的值；③DN=DM ，不成立.【解题过程】解：（1）抛物线的解析式为：y=()()4519x x -+-=241620999x x --+.配方得：y=()24249x -++，∴顶点D 的坐标为（-2，4）.（2）设点P 的坐标为（a ，241620999a a --+），则PE=241620999a a --+，PG=2（-2-a ）=-4-2a ，∴矩形PEFG的周长=2（PE+PG ）=2（24162042999a a a --+--）=286832999a a ---=28172259418a ⎛⎫-++⎪⎝⎭，∵89-＜0，∴当a=174-时，矩形PEFG 的周长最大，此时点P 的横坐标为174-. （3）存在.∵DA=DB ，∴∠DAB=∠DBA.∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA ，又∵∠DMN=∠DBA ，∴∠AMN=∠MDB ，∴△AMN ∽△BDM ，∴AN AMMB DB=,易求得AB=6，AD=DB=5. △DMN 为等腰三角形有三种可能：①当MN=DM 时，则△AMN ≌△BDM ，∴AM=BD=5，∴AN=MB=1；②当DN=MN 时，则∠ADM=∠DMN=∠DBA ，又∵∠DAM=∠BAD ，∴△DAM ∽△BAD ，∴AD 2=AM ⋅AB ，∴AM=256，∴BM=6-256=116，∵AN AMMB DB=，∴61156AN=，∴AN=5536.③DN=DM不成立.∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB=∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN=DM.综上所述，存在点M满足要求，此时AN的长为1或5536. 【知识点】待定系数法求抛物线解析式，抛物线的顶点式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，分类讨论思想11. （2019四川省乐山市，26，12）如图，已知抛物线)6)(2(-+=xxay与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan23=∠CAB.设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N.（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，)0,(nQ为x轴上一点，且PCPQ⊥.①当点P在线段MN(含端点)上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段．．CQ向上平移t个单位长度，使得线段．．CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围.第26题图【思路分析】（1）令y=0解方程求得AB坐标，再利用三角函数求C的坐标从而求得a的值；（2）①先求抛物线的对称轴与顶点，再设P点坐标为)2(m，（其中40≤≤m）利用勾股定理列方程求m、n 的关系式，并配方求最值得出n的范围；②由△PCQ面积的不同列式列方程求点P到线段CQ距离；③找出界点点求t的值从而得到t的范围.【解题过程】解：（1）根据题意得：)0,2(-A,)0,6(B，在AOCRt∆中，23tan==∠AOCOCAO,且2=OA,得3=CO，备用图)3,0(C ∴,将C 点坐标代入)6)(2(-+=x x a y 得：41-=a ，故抛物线解析式为：)6)(2(41-+-=x x y ； （2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：2=x ，顶点M ()4,2， 设P 点坐标为)2(m ，（其中40≤≤m ），则222)3(2-+=m PC ，222)2(-+=n m PQ ，2223n CQ +=，PC PQ ⊥,∴在PCQ Rt ∆中，由勾股定理得：222CQ PQ PC =+,即2222223)2()3(2n n m m +=-++-+，整理得：)43(212+-=m m n 87)23(212+-=m （40≤≤m ），∴当23=m 时，n 取得最小值为87；当4=m 时，n 取得最大值为4，所以，487≤≤n ； ②由①知：当n 取最大值4时，4=m ，∴ )4,2(P ，)0,4(Q ，则5=PC ,52=PQ ,5=CQ ， 设点P 到线段CQ 距离为h ，由PQ PC h CQ S PCQ ⋅=⋅=∆2121， 得：2=⋅=CQPQPC h ，故点P 到线段CQ 距离为2；③由②可知：当n 取最大值4时，)0,4(Q ， ∴线段CQ 的解析式为：343+-=x y ， 设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：t x y ++-=343， 当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点， 此时对应的点'Q 的纵坐标为：3)64)(24(41=-+-， 将)3,4('Q 代入t x y ++-=343得：3=t ，① ② ③第26题答图当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-+-=tx y x x y 343)6)(2(41 ，得：t x x x ++-=-+-343)6)(2(41，化简得：0472=+-t x x ， 由01649=-=∆t ，得1649=t ，∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，16493<≤t . 【知识点】二次函数的图像与性质；三角函数；一次函数；根的判别式；形结合思想12.（2019山东省潍坊市，25，13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，4），△ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ，且⊙M 经过O ，A ，C 三点． （1）求圆心M 的坐标；（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF =45时，求点P 的坐标．【思路分析】（1）先求出点C 的坐标，根据M 为AC 的中点求得坐标；（2）先证明Rt △AOC ∽Rt △DOA ，求出OD 的长，从而求出点D 的坐标，利用待定系数法求AD 的解析式；（3）利用顶点式求出抛物线的解析式，过点P 作PH ⊥EF ，垂足为H ，设出点P 的坐标，根据Rt △EHP ∽Rt △DOA ，得到EH ODPE AD=，求出EH 与PE 的关系式，即可求解． 【解题过程】（1）∵AC 是△ABO 的中线 ∴点C 的坐标为（0，2） ∵∠AOC =90°∴线段AC 是⊙M 的直径 ∴点M 为线段AC 的中点 ∴圆心M 的坐标为（2，1） （2）∵AD 与⊙M 相切于点A ∴AC ⊥AD∴Rt △AOC ∽Rt △DOA ∴12OC OA OA OD == ∵OA =4， ∴OD =8∴点D 的坐标为（0，－8）设直线AD 的函数表达式为y =kx +b 可得：048k bb=+⎧⎨-=⎩∴k =2，b =－8∴直线AD 的函数表达式为：y =2x －8（3）设抛物线2(2)1y a x =-+，且过点（0，4） ∴4=a (0－2)2+1 ∴34a =所以，抛物线的关系式为：23344y x x =-+ 设点P （m ，23344m m -+），则点E （m ，2m －8） ∴235124PE m m =-+ 过点P 作PH ⊥EF ，垂足为H在Rt △DOA 中，224845AD +=∵PE ∥y 轴∴Rt △EHP ∽Rt △DOA ∴45EH OD PE AD == ∴23(512)45EH m m =-+ ∵45EF =∴2325(512)45m m =-+ 化简，得：2320280m m -+= 解之，得：m 1=2，m 2=143. 所以点P 为（2，1）或（143，193） 【知识点】二次函数综合，圆的基本性质，一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质13. (2019山东泰安,24题,13分) 若二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A(3,0)、B(0,－2),且过点C(2,－2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P 为抛物线上第一象限内的点,且S △PBA ＝4,求点P 的坐标;(3)在抛物线上(AB 下方)是否存在点M,使∠ABO ＝∠ABM ？若存在,求出点M 到y 轴的距离;若不存在,请说明理由.(第24题) (第24题备用图)【思路分析】(1)利用待定系数法,将三点坐标代入解析式,可求得a,b,c 的值;(2)连接PO,将△ABP 转化为容易求的图形面积,通过割补表示出面积,进而解方程,得到点P 的坐标;(3)作MD ∥y 轴,得到等腰三角形DBM,利用两点间距离公式,得到MD,MB 的表达式,通过解方程MD ＝MB,得到M 的坐标.【解题过程】(1)∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点(0,－2),∴c ＝－2,又∵抛物线过点(3,0)(2,－2)∴93204222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩,解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴抛物线的表达式为224233y x x =--; (2)连接PO,设点P(224,233m m m --),则S △PAB ＝S △POA +S △AOB －S △POB ＝2124113(2)32223322m m m ⨯⋅--+⨯⨯-⨯＝23m m -,由题意得:m 2－3m ＝4,∴m＝4,或m ＝－1(舍去),∴224233m m --＝103,∴点P 的坐标为(4,103).(3)设直线AB 的表达式为y ＝kx+n,∵直线AB 过点A(3,0),B(0,－2),∴3k+n ＝0,n ＝－2,解之,得:k ＝23,n ＝－2,∴直线AB 的表达式为:y ＝23x －2,设存在点M 满足题意,点M 的坐标为(t,224233t t --).过点M 作ME ⊥y 轴,垂足为E,作MD ⊥x 轴交于AB 于点D,则D 的坐标为(t,23t －2),MD ＝2223t t -+,BE ＝|224+33t t -|.又MD ∥y 轴,∴∠ABO＝∠MDB,又∵∠ABO ＝∠ABM,∴∠MDB ＝∠ABM,∴MD ＝MB,∴MB ＝2223t t -+.在Rt △BEM 中,2224+33t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+t 2＝22223t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,解之,得:t ＝118,∴点M 到y 轴的距离为118.第24题答图【知识点】二次函数解析式,割补法求三角形面积,解一元二次方程,求点的坐标,等腰三角形的性质,坐标运算14. （2019江苏省无锡市，27，10）已知二次函数42-+=bx ax y （a ＞0）的图像与x 轴交于A 、B 两点，（A 在B 左侧，且OA ＜OB ），与y 轴交于点C . （1）求C 点坐标，并判断b 的正负性；（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC 交于点D ，已知DC ∶CA =1∶2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC .①若△BCE 的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD 为锐角三角形，请直接写出OA 的取值范围.xyOxyO第27题图【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用.(1)令y =0求点C 的坐标，借助对称轴方程判断b 的符号；（2）①过点 D 作 DM ⊥y 轴于M ，先利用相似求得DM 与AO 的关系，再设DM =m ，求得 D 、B 的坐标与OE 的长，从而求得m 的值，最后将A 、B 坐标代入求解析式；②先用m 的表达式求出B 、C 、D 的坐标，再利用勾股定理求CB 2 、CD 2 、DB 2，最后借助“两边的平方和大于第三边平方，第三边所对角为锐角”求出m 的范围从而得到OA 的范围. 【解题过程】解：（1）令 x =0，则 y =-4，∴C （0，-4），∵ OA ＜OB ，∴对称轴在 y 轴右侧，即2ba->0，∵a ＞0，∴b ＜0； （2）①过点 D 作 DM ⊥y 轴于M ，则DM ∥AO ，∴12DC DM MC CA OA CO ===， ∴ DM =12AO ，设 A （-2m ，0）(m ＞0)，则 AO =2m ，DM =m .∵OC =4，∴CM =2，∴D （m ，-6），B （4m ，0），设对称轴交x 轴于N ，则DN ∥y 轴，∴ △DNB ∽△EOB ，∴DN BN OE OB =，∴OE =8，S △BEF = 12×4×4m =8，∴ m =1，∴A （-2，0），B （4，0）， 设 y = a (x + 2)(x - 4)，即 y = ax 2-2ax - 8a ，令 x =0，则 y =-8a ，∴C （0，-8a ），∴-8a =-4，a =12，∴ y = 12x 2- x -4.②易知：B （4m ，0），C （0，-4），D （m ，-6），由勾股定理得 CB 2 =16m 2 +16，CD 2 = m 2 +4，DB 2 = 9m 2 + 36. ∵9m 2 +36+16m 2 +16> m 2 +4，∴CB 2 + DB 2＞CD 2，∴∠CB D 为锐角，故同时考虑一下两种情况： 1°当∠CDB 为锐角时，CD 2 + DB 2＞CB 2，m 2 +4 + 9m 2 +36＞16m 2 +16 ，解得 -2＜m ＜2， 2°当∠BCD 为锐角时，CD 2 +CB 2＞DB 2， m 2 +4 +16m 2 +16＞ 9m 2 +36，解得 m ＞2或m ＜-2（舍）， 综上：2 ＜m ＜2 ，∴22＜2m ＜4，∴ 22＜OA ＜4.第27题答图【知识点】二次函数图像与性质；勾股定理；相似三角形判定与性质；锐角三角形的判定；数形结合思想15.（2019湖南省岳阳市，24，10分）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为－4，点B 的纵坐标为－2．（点A 在点B 的左侧） （1）求点A 、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点O 逆时针转90°得到△A ′OB ′，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A ′、B ′两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A ′恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A ′M ，求△OA ′M 的面积；（3）如图2，延长OB ′交抛物线F 2于点C ，连接A ′C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA ′C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．。

华师大版备考2023中考数学二轮复习专题13 二次函数一一、单选题1．（2022九上·青田期中）抛物线y=2(x−3)2+2的顶点坐标是（）A．(−3，2)B．(3，2)C．(−3，−2)D．(3，−2)2．（2022九上·宁波期中）对于二次函数y=x2−4x−1的图象，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个交点C．抛物线的顶点坐标是（2，－5）D．当x≥2时，y随x的增大而减小3．（2022·泸县模拟）已知二次函数y=(x−ℎ)2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为10，则h的值为（）A．-2或4B．0或6C．1或3D．-2或6 4．（2022九上·舟山月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x ＝-2，图象经过（1，0），下列结论中，正确的一项（)A．c>0B．4ac−b2>0C．9a+c>3b D．5a>b 5．（2022九上·无为月考）将抛物线y=3x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y=3(x+2)2−4B．y=3(x−2)2−5C．y=3(x−2)2−4D．y=3(x+2)2−5 6．（2022九上·南岗月考）将抛物线y=x2经过下面的平移可得到抛物线y=(x+3)2+ 4的是（）A．向右平移3个单位，向下平移4个单位B．向右平移3个单位，向上平移4个单位C．向左平移3个单位，向下平移4个单位D．向左平移3个单位，向上平移4个单位7．（2022九上·拱墅期中）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜38．（2022九上·拱墅期中）若点A(−1，y1)，B(2，y2)，C(3.y3)在抛物线y=−x2+ 4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3<y2<y1B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y1<y 3<y29．（2022九上·齐齐哈尔月考）如图，已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②a+c<b；③4a+2b+c>0；④2a+b= 0．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③C．②③④D．③④10．（2022九上·温州期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形CDEF的边CD在x轴上，E，F在抛物线上，连结GA，GB，△ABG是正三角形，AB=2，则阴影部分的面积为（）A．√3−12B．3−√3C．2−√22D．2−√33二、填空题11．（2022九上·拱墅期中）用一段长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m，则这个养鸡场最大面积为m2.12．（2022九上·齐齐哈尔月考）将抛物线y=x2向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．13．（2022九上·慈溪期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=49x2+5的一部分，则杯口的口径AC为.14．（2022九上·莲都期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于.15．（2021九上·南宁期中）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为.16．（2022九上·慈溪期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为．三、解答题17．已知二次函数的图象顶点为P(−2，2)．且过点为A(0，−2)，求该抛物线的解析式．18．（2022九上·龙口期中）某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少?19．（2022九上·孝义期中）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米．现以OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．若保温墙AB到点O的距离OA=8米．请你求出保温墙AB 的高度．四、综合题20．（2022九上·南开期中）如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中AD≥AB（即长不小于宽），设矩形的宽AB的长为x米，矩形ABCD面积为y平方米．（1）若矩形ABCD的面积150平方米，求宽AB的长；（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD面积最大，并求出最大面积．答案解析部分1．【答案】B【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象【解析】【解答】解：抛物线y=2(x−3)2+2的顶点坐标是(3，2)，故答案为：B.【分析】抛物线y=a(x−ℎ)2+k（a≠0）顶点坐标为（h，k），据此解答即可. 2．【答案】D【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=x2−4x−1中，a＝1，则a＞0，∴抛物线开口向上，故此选项正确，不符合题意；B、当y＝0时，0=x2−4x−1，对于方程x2−4x−1=0来说，∵Δ=(−4)2−4×1×(−1)=20>0，∴方程x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=x2−4x−1的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不符合题意；C、∵y=x2−4x−1＝(x−2)2−5，∴抛物线的顶点坐标是（2，－5），故此选项正确，不符合题意；D、∵y=x2−4x−1＝(x−2)2−5，∴抛物线的对称轴是x＝2，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故此选项错误，符合题意.故答案为：D.【分析】由抛物线的二次项系数a=1＞0，可知函数图象开口向上，据此判断A；令抛物线解析式中的y=0求出对应一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值＞0可知方程有两个不相等的实数根，进而即可得出抛物线与x轴有两个不同的交点，据此判断B；将抛物线的解析式配成顶点式，可得其顶点坐标，据此判断C；由于抛物线的开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，据此可判断D.3．【答案】D【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-h）2+1，∴a=1＞0，抛物线的开口向上，∴当x＜h时y随x的增大而减小，当x＞h时y随x的增大而增大，当h＜1≤x≤3时，x=1时y的值最小为10，∴（1-h）2+1=10，解之：h1=-2，h2=4（舍去）；当＜1≤x≤3＜h时，当x=3时y的值最小为10，∴（3-h）2+1=10，解之：h1=6，h2=0（舍去）∴h的值为-2或6.故答案为：D【分析】利用函数解析式可知a＞0，抛物线的开口向上，当x＜h时y随x的增大而减小，当x＞h时y随x的增大而增大；再分情况讨论：当h＜1≤x≤3时，x=1时y的值最小为10，可得到关于h的方程，解方程求出符合题意的h的值；当＜1≤x≤3＜h时，当x=3时y的值最小为10，可得到关于h的方程，解方程求出符合题意的h的值；综上所述可得到h的值.4．【答案】D【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用【解析】【解答】解：如图，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝-2，图象经过（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-5，0），∴c＜0，故A不符合题意；∴b2-4ac＞0即4ac-b2＜0，故B不符合题意；当x=-3时y＜0∴9a-3b+c＜0即9a+c＜3b，故C不符合题意；∵−b2a=−2∴b=4a，∵图象开口向上，∴a＞0，∴a+b＞b即a+4a＞b，∴5a＞b，故D符合题意；故答案为：D【分析】利用已知条件画出图象，利用抛物线与y轴的交点位置，可对A作出判断；同时可求出抛物线与x轴的两一个交点坐标，可知b2-4ac＞0，可对B作出判断；利用图象可知当x=3时y＜0，可对C作出判断；利用抛物线的对称轴和开口方向，可知a ＞0，b=4a，利用不等式的性质，可对D作出判断.5．【答案】C【知识点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解：将抛物线y=3x2+1向右平移2个单位所得直线解析式为：y= 3(x−2)2+1；再向下平移5个单位为：y=3(x−2)2+1−5=3(x−2)2−4，故答案为：C．【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。