北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题及答案评分标准

北京市2019届高考考前提分冲刺卷(四)文科数学试题本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则z 1z 2等于( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i2.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°3．如下图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )4．已知点P 是曲线y ＝sin x ＋ln x 上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，则下列一定成立的为( )A ．k <－1B ．k <0C ．k <1D ．k ≥1 5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.23 B ．1 C.43 D.836.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n的取值范围为( ) A ．[1,2)B ．233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (1，e)D.⎣⎡⎭⎫32，e8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(2,0)．过F 2作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若使|AB |＝b 2的直线l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京大学附属中学2019年高三下文科数学练习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{|320}A x x =∈+>R ,2{|230}B x x x =∈-->R ,则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2.若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩,是奇函数,则1()2f -=（A）（B（C ）29-（D ）293.已知平面向量,a b 满足||3,||2a b ==,a 与b 的夹角为120,若(+)a mb a ⊥,则实数m 的值为（A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）34.若某多面体的三视图（单位:cm ）如图所示,则此多面体的体积是（A ）378cm（B ）323cm（C ）356cm（D ）312cm5.若复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则下列结论错误的是（A ）z 1·z 2是实数 （B ）z 1z 2是纯虚数（C ）||z 41＝2||z 22（D ）z 21＋z 22＝4i6.若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎦⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是 （A ）(1，＋∞) （B ）⎝⎛⎭⎫0，13∪(1，＋∞) （C ）⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞)（D ）(0,1)∪()4，＋∞7. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为 （A ）2 （B ）4 （C）（D）8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.抛物线24x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为______.10.圆心为(1,0),且与直线1y x =+相切的圆的方程是______.11.已知实数,x y 满足1010,1x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个,则m 的值为______.12.在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55,则sin θ=______,tan2θ=______.13.已知点(,0),(,0)(0)A a B a a ->，若圆22(2)(2)2x y -+-=上存在点C 使得90ACB ∠=°，则a 的最大为____.14.如果函数()f x 满足：对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 在下列函数：①()2f x x =②()+1f x x =③2()f x x =④()2x f x =⑤()ln f x x = 中所有“保等比数列函数”的序号为____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π=+>><ωϕωϕ的部分图象如图所示（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最小值.16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17．（本小题满分13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下： 理科：79,81,81,79,94,92,85,89. 文科：94,80,90,81,73,84,90,80.（Ⅰ）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（Ⅱ）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（Ⅲ）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为样本平均数)．18.（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线与x 轴相切，求的值； （Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．()ln f x x x a =-+a ∈R ()y f x =a ln2e a =()f x x ≤2()()=f x g x x(1,e)a19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G . （Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.20．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥ （Ⅰ）求证：//AB PCD 平面 （Ⅱ）求证：AD PCD ⊥平面（Ⅲ）若点M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9.(0,1) 10 .22(1)2x y -+= 11.1 12.45;247-13. 14.①③三．解答题15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）由图可得1,A =4233T ππ=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=时，1)(=x f ，可得sin()13π+ϕ=，||,.26ππϕ<∴ϕ=()sin()6f x x π∴=+.（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-1cos sin()26x x x π=-=-. 0,2663x x ππππ∴--≤≤≤≤. 当66x ππ-=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-. 16．（共13分）解：（Ⅰ）因为21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……………….2分所以11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……………….4分从而32n a n =-. ………………6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ………………8分 所以121,4.b q =⎧⎨=⎩………………10分 所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ………………11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==-. ………………13分（17）（共13分）解 (1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下： 理科同学成绩的平均数x 1＝18×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85， 方差是s 21＝18×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；文科同学成绩的平均数x2＝18×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84.方差是s 22＝18×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75；由于x 1>x 2，s 21<s 22，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A ，B ，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a ，b ，c ，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa ，ABb ，ABc ，Aab ，Aac ，Abc ，Bab ，Bac ，Bbc ，abc .其中全是文科组同学的情况只有1种是abc ，没有全是理科组同学的情况，记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M ，则P (M )＝1－110＝910.18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得， ……………… 1分 因为曲线与x 轴相切，所以此切线的斜率为0，……………… 2分 由，解得，又由曲线与x 轴相切，得， 解得.……………… 3分（Ⅱ）由题意，，令函数， ……………… 4分 求导，得， 由，解得， 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：11()1-'=-=xf x x x()y f x =()0'=f x 1=x ()y f x =(1)10f a =-+=1=a ()ln ln 2e f x x x =-+()()ln 2ln 2e F x f x x x x =-=-+112()2-'=-=xF x x x()0'=F x 12=x ()'F x ()F x所以函数在上单调递增，在上单调递减， ……………… 6分 故当时，，所以任给，，即. ……………… 7分 （Ⅲ）由题意，得， 求导，得， 因为，所以与的正负号相同.…… 8分 对求导，得， 由，解得. 当x 变化时，与的变化情况如下表所示：所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，所以；. ……………… 10分()F x 1(0,)21(,)2+∞12=x max 11()()ln 1ln 2022F x F ==-+=e (0,)∈+∞x ()()0F x f x x =-≤()f x x ≤22()ln ()-+==f x x x ag x x x 32ln 12()-+-'=x x ag x x(1,e)x ∈()g x '()2ln 12h x x x a =-+-()h x 22()1-'=-=x h x x x()0'=h x 2=x ()h x '()h x ()h x (1,2)(2,e)(1)22h a =-(e)e 12h a =--min ()(2)32ln 22h x h a ==--max ()(1)22h x h a ==-如果函数在区间上单调递增，则当时，. 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，即当函数在区间上单调递增时，； ○1………… 11分 如果函数在区间上单调递减，则当时，， 所以在区间上恒成立，即，解得，且当时，的解有有限个，所以当函数在区间上单调递减时，. ○2………… 12分 因为函数在区间上不是单调函数， 结合○1○2，可得，所以实数的取值范围是.……………… 13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.2()()=f xg x x(1,e)(1,e)x ∈()0≥'g x ()0h x ≥(1,e)min 0()(2)32ln 22h x h a ==--≥3ln 22≤-a 3ln 22=-a ()0g x '=()g x (1,)e 3ln 22≤-a 2()()=f xg x x (1,e)(1,e)x ∈()0≤'g x ()0h x ≤(1,e)max 0()(1)22h x h a ==-≤1≥a 1=a ()0g x '=()g x (1,)e 1≥a 2()()=f xg x x (1,e)3ln 212-<<a a 3ln 212-<<a由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+.由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)Ex k y x +-=. 由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+. ()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+ []121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中，121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 20．证明：（Ⅰ）因为AB CDCD⊂平面PCDAB⊄平面PCD所以AB平面PCD（Ⅱ）法一：因为平面ABCD⊥平面PCD平面ABCD平面PCD CD=AD⊥CD,AD⊂平面ABCD所以AD⊥平面PCD法二：在平面PCD中过点D作DH CD⊥，交PC于H 因为平面ABCD⊥平面PCD平面ABCD平面PCD CD=DH⊂平面PCD所以DH⊥平面ABCD因为AD⊂平面ABCD所以DH AD⊥又AD PC=⊥，PC DH H所以AD⊥平面PCD（Ⅲ）法一：假设存在棱BC 上点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C 即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法二：假设存在棱BC 上点F ，使得MFPC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点在同一个平面α中 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面ABCD ，且P ∈α 这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证。

5.数列 an 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行 1 项，排 a1 ；第二行 2 项，从作到右分 别排 a2 ， a3 ；第三行 3 项， 以此类推，设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，则满足 Sn 2000 的最小正 整数 n 的值为（ ）
A ．27
B． 26
C．21
D． 20
7.一空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和俯视图均为 边长
为 1 的腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是
A. 2 3
B. 2 3 2
C. 2 2
D. 2
31 2
8.已知函数 f ( x) 是定义在 R上的可导函数，对于任意的实数 x ，都有 f ( x) e2x ，当 x 0 时
f ( x) f (x) f (x) 0 ，若 ea f (2a 1) f (a 1) ，则实数 a 的取值范围是
A. 0, 2 3
B. 2 ,0 3
C. [0, )
D. ( ,0]
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9．已知向量 a 1, m ， b 3, 3 .若向量 a, b的夹角为 π,则实数 m 的值为
．
3
10．若在区间 [ 1,4] 上随机选取一个数 x ，则事件 x≥1发生的概率为 ____．
北京市人大附中 2019 年高考信息卷（四）
文科数学试题
注意事项： 1 ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用 2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3 ．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4 ．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （文科） 2019.04 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. C3. D4. D5.B6. B7. C8. B 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1 10. 6,11. 4812. (1,2)-（答案不唯一） 13.,22,[0,)+∞三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15.（共13分）解：（I ）因为522a a +=，2d =所以11252102a d a +=+=，所以14a =- 所以26n a n =-(II) 21()52m m a a mS m m +==- 又912a =，1524a =因为915,,m S a a 是等比数列，所以2915()m a S a =所以 2560m m --= 6,1m m ==- 因为*m ∈N ，所以6m =解：（Ⅰ）π(0)sin()cos014f a =+=12a += 所以1a =-（Ⅱ）()cos()cos 14f x x x π=--(2sin 2cos )cos 1x x x =+-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin2cos2x x =+π)4x =+由图象得0ππ242x += 所以0π8x = 函数()f x 的单调增区间为31(ππ,ππ)88k k -+，k ∈Z解：（I ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE 11A B于是DEABAB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF 所以AB平面DEF(II) 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥ 又AC BC ⊥1BCCC C =，1,BC CC ⊂平面11C BC B所以AC ⊥平面11C BC BEF ⊂平面11C BC B所以AC EF ⊥ 又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ 而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C =，1,AC CB ⊂平面1ACB所以EF ⊥平面1ACB又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF（Ⅲ） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅=解：(Ⅰ) 人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%， 则3()10P A =（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1234,,,a a a a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即12,a a从4个地区中任取2个地区共有6种情况，()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，()()()()()1213142324,,,,,,,,,a a a a a a a a a a则5()6P B =19．（共13分） 解：（Ⅰ）当6,0a x =>时，3215()6132f x x x x =-+-所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0,f x =得2x =，或3x =. 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)(Ⅱ)当0a <时，若0x <，则3215()132f x x x ax =---， 所以2'()5(5)f x x x a x x a =--=-- 因为0,0x a <<，所以'()0f x > 若0x >，则3215()132f x x x ax =-+-， 所以2'()5f x x x a =-+ 令'()0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x < 不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值20.（共13分）解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c = 又222b c a +=所以b c = ，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一： 设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m yk x + 1AM MP k k ⋅=-22112142m m m mm m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二： 设(,)m m M x y ， 因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上， 又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219()24x y ++=222219()24142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，m mx y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得222412M k x k -=+ ，2421Mk y k =+ 显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=24112MPkk k k k+=--+1k=- 得212k =，2k =±， 0M x =所以2M AM + （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由 221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+， 则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+， 令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my + 121122112232(3)2635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--， 直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+--12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+-- 令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==， 所以直线NQ 恒过定点(2,0). 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-4≤0}，则∁U（A∩B）=（）A. 或B. 或C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【详解】解：A={x|x＜-1}，B={x|x≤4}；∴A∩B={x|x＜-1}；∴∁U（A∩B）={x|x≥-1}．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2.若a=log3，b=log39.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】.故选：C．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．3.设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1”是“x2+y2≤2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的定义分析判断得解.【详解】解：|x|≤1且|y|≤1,所以,反之不成立，例如取x=0，y=．∴“|x|≤1且|y|≤1”是“x2+y2≤2”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质、充分必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．【详解】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴．∴a，故选：B．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．5.若直线是圆的一条对称轴，则的值为( )A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】分析：由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到的值.详解：圆的方程可化为，可得圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以，圆心在直线上，可得，即的值为，故选B.点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.6.执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得S=12，k=0执行循环体，k=2，S=10不满足条件S≤0，执行循环体，k=4，S=6不满足条件S≤0，执行循环体，k=6，S=0满足条件S≤0，退出循环，输出k的值为6．故选：D．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D. 【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．满足到直线AA1和CD的距离相等的点P（）A. 不存在B. 恰有1个C. 恰有2个D. 有无数个【答案】D【解析】【分析】以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，求出P到直线CD的距离，列方程得出P点轨迹，得出答案．【详解】解：以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），设P到AB的距离为y，到AA1的距离为x，∴P到直线CD的距离为，∴x=，即x2-y2=1（x≥1），∴P点轨迹为双曲线的右支的一部分，故选：D．【点睛】本题考查了空间距离的计算和立体几何中的轨迹问题，考查双曲线的标准方程，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则__________,__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据三角函数图象的伸缩变换求得函数的解析式，然后通过比较可得所求．【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，∴，∴．故答案为(1) ， (2) .【点睛】本题考查三角函数图象的变换，解题时要注意变换的类型，这是解题中容易出现错误的地方，一定要引起注意．10.已知点，，若点在线段上，则的最大值为____．【答案】【解析】已知点，，线段方程为：，故最大值为：.11.某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．【答案】16【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为，所以高三抽取的人数是12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．【详解】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如图所示：在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，该几何体为图中的四面体D1-A1BD，体积V=；故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图确定几何体的形状是解答的关键．13.已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质，可知在和x>1各有一个零点，进而求解.【详解】当时，，当时，，由函数恰有两个零点，可知在和x>1各有一个零点，可得：，解得故填：【点睛】本题考查了根据零点个数求函数的参数，涉及了指数函数的单调性，分段函数的应用；常用方法：①直接法，根据条件构建关于参数的不等式；②分离参数法，分离参数转化为求函数的值域问题；③数形结合法，画出图象，根据图象列式求解.14.设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：，①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．【答案】 (1). 0 (2). A=∁R B【解析】【分析】①由A⊆B．分x∉A和x∈A两种情况讨论；②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，分类讨论即可得出A，B的关系．详解】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1-n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．综上可得：m（1-n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A=∁R B．故答案为：0，A=∁R B．【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等差数列{a n}满足a1=1，a2+a4=10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解的通项公式；（Ⅱ）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列的前项和．【详解】（I）设的公差为，因为，所以．所以，解得．所以．（Ⅱ）由（I）知，，所以的前项和为==．【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.16.已知函数．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；（Ⅲ）求函数f（x）在上的取值范围．【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）直接求f（0）的值；（Ⅱ）由cos x≠0，解不等式求函数的定义域；（Ⅲ）先化简的=，再利用三角函数的图像和性质求函数f（x）在上的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）∵，∴；（Ⅱ）由cos x≠0，得，∴函数的定义域是；（Ⅲ）==sin x+cos x=，∵，即，∴＜＜，则＜sin（x+）≤1，∴．∴函数f（x）在上的取值范围为．【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.某日A，B，C三个城市18个销售点的小麦价格如表：（Ⅰ）求B市5个销售点小麦价格的中位数；（Ⅱ）甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A、B、C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．【答案】（Ⅰ）2500；（Ⅱ）；（Ⅲ）C，A，B.【解析】【分析】（Ⅰ）B市一共有5个销售点，按照价格从低到高排列，即可得出中位数；（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为，按照价格从低到高排列，列举得出基本事件的总数列，利用古典概型及其概率的公式，即可求解；（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列，即可得到结论.【详解】（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格分别为：2500，2500，2500，2450，2460按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500B市5个销售点小麦价格的中位数为2500.（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为B市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500C市一共有4个销售点，价格分别为：2580，2470，2540，2400按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580），一共有20组.其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组.所以，甲的费用比乙高的概率为：.（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B.【点睛】本题主要考查了中位数的概念，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法，列举出基本事件的总数，利用古典概型的概率公式计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；（Ⅱ）求证：BD⊥A1C；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE体积．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1【解析】【分析】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，先证明OE∥A1C，再证明A1C∥平面BDE；（Ⅱ）先证明BD⊥平面ACC1A1，再证明BD⊥A1C；（Ⅲ）由利用体积变换求三棱锥A-BDE 的体积．【详解】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，在△ACA1中，∵O，E分别为AC，AA1的中点，∴OE∥A1C，∵A1C⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE；（Ⅱ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴AA1⊥BD，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；（Ⅲ）解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，∴AE=，即三棱锥E-ABD的高为．由底面正方形的边长为2，得．∴．【点睛】本题主要考查空间几何元素平行垂直关系的证明，考查空间几何体的体积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-），单调递增区间为（-∞，-1），（-，+∞） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）当时，求出函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当时，令，得，，分三种情况①，②当，③当，讨论的单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）的定义域为R ，．当a=1时，f ′（0）=0，f （0）=0，所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y=0． （Ⅱ）f ′（x ）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）． （1）当a ≤0时，ae x -1＜0，所以当x ＞-1时，f ′（x ）＜0；当x ＜-1时，f ′（x ）＞0．所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）． （2）当a ＞0时，令f ′（x ）=0，得x 1=-1，x 2=-lna ． ①当-lna=-1，即a=e 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间； ②当-lna ＜-1，即a ＞e 时，当-lna ＜x ＜-1时，f ′（x ）＜0；当x ＜-lna 或x ＞-1时，f ′（x ）＞0．所以f （x ）的单调递减区间为（-lna ，-1），单调递增区间为（-∞，-lna ），（-1，+∞）； ③当-lna ＞-1，即0＜a ＜e 时，当-1＜x ＜-lna 时，f ′（x ）＜0；当x ＜-1或x ＞-lna 时，f ′（x ）＞0．所以f （x ）的单调递减区间为（-1，-lna ），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna ，∞）． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程20.已知点B （0，-2）和椭圆M ：．直线l ：y =kx +1与椭圆M 交于不同两点P ，Q ．（Ⅰ）求椭圆M 的离心率； （Ⅱ）若，求△PBQ 的面积；（Ⅲ）设直线PB与椭圆M的另一个交点为C，当C为PB中点时，求k的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）或【解析】【分析】（Ⅰ）直接求出a和c,求出离心率；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理求出，再求△PBQ的面积；（Ⅲ）设点C（x3，y3），由题得，再求出或，即得k的值.【详解】解：（Ⅰ）因为a2=4，b2=2，所以，所以离心率．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若，则直线l的方程为，由，得3x2+4x-4=0，解得，设A（0，1），则．（Ⅲ）设点C（x3，y3），因为P（x1，y1），B（0，-2），所以，又点P（x1，y1），C（x3，y3）都在椭圆上，所以，解得或，所以或．【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，考查三角形面积的计算，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。

北京市首都师范大学附属中学 2019 届高考
数学（文）模拟预测卷四
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上； 2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效； 3. 考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1. 设全集 U R ，集合 P x x(x 2) 0 ，Q x ln x 0 ，则图中阴影部分表示的集合为 （ BB ）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. 某校开展“爱我家乡”演讲比赛， 9 位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示 . 记分员在去 掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 91 ，复核员在复核 时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无 误，则数字 x 1. 10. 某班数学老师对周末学生做作业的时间进行了调查， 已知所有 学生做作业的时间都位于 2h ~ 12 h 之间，其频率分布直方图如图 所示。若该班共有学生 60 人，则周末做作业的时间在 6h ~ 8h 的 有 25 人 .
品价格随着产量变化而有所变化， 经过一段时间的产销， 得到了 x ， y 的一组统计数据如下表：
日产量 x 日销售额 y
12 3 4 5 5 12 16 19 21
（Ⅰ）请判断 y? b?x a?与 y? d?ln x c?中，哪个模型更适合刻画 x ， y 之间的关系？可从函数增
长趋势方面给出简单的理由；
11. 已知实数 x, y 满足不等式组
x 3y 1 0 x y 3 0 ，则 x 2 y 1 的最小值是 -5. x 2y 6 0
12．体积为 36 的球 O 被平面 所截，球心 O 到平面 的距离为 2 ，则平面

2019年北京市中国人民大学附属中学高三下实验班模拟训练卷文科数学试题2019.3.25注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}xy y A 2==，，则=⋂B AA ．B ．C ．D ． 2．已知数列{}n a 为等差数列，且π21371=++a a a ，则=7tan aA ．BC ．D ．3.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ ”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形边长为多少步？ ”现向此三角形内投一粒豆子，则豆子落在这个内接正方形内的概率是（ ） A ．90289 B ．120289 C. 180289 D ．2402894．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数y x z 23+-=的最小值为A ．B ．C ．D ． 5．林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图， 下列描述正确的是A ．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 甲 乙⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+=011x x x B 1,1（-）），（10），（∞+111,∞⋃+∞（-，-）（）8624高度，且甲种树苗比乙种树长的整齐. 9 1 0 4 0 B ．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 9 5 3 1 0 2 6 7 高度，但乙种树苗比甲种树长的整齐. 1 2 3 7 3 0C ．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均 4 4 6 6 7 高度，且乙种树苗比甲种树长的整齐.D ．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树长的整齐.5. 在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是正方形1111D C B A 的中心，则异面直线1AD 与BO 所成角为A. 90B. 60C. 45D. 30 6. 如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F , 一条渐近线方程为x y 2=, 那么经过双曲线焦点且垂直于x 轴的弦的长度为A.34B. 32C. 2D. 17. 若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是A.38B.332C.2D.258.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（ ）A ．乙丑年B ．丙寅年 C.丁卯年 D ．戊辰年第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．主视图侧视图俯视图9．函数)18(log )(3+=xx f 的值域为 .10．设实数y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00821223y x y x y x ，则y x z 43+=的最大值为 .11．写出下列命题中所有真命题的序号 .①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r 越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心),(y x ；③线性回归方程102.0ˆ+=x y，则当样本数据中10=x 时，必有相应的12=y ；④回归分析中，相关指数2R 的值越大说明残差平方和越小. 12．数列}{n a 中，211=a ，)(0))(1(*11N n na a a na n n n n n ∈=-+⋅+++，设数列}2{+n a n 的前n 项和为n S ，则=n S .13.当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储.计算机中的进制则是一个非常微小的开关,用“开“来表示1,“关“来表示O.则将十进制下的数168转成二进制下的数是 ．14.已知函数()f x 为定义城为R 的偶函数，且满足13-22f x f x +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]10x ∈-，时 ()f x x =-.若函数()()412x F x f x x+=+-在区间[]9,10-上的所有零点之和为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足0cos cos )2(=+-C b B a c . （Ⅰ） 求角B 的大小；（Ⅱ） 若72,12==⋅b ，求a ，c 的值.（其中c a <）16.数列{}n a 的前n 项和为n S , 且21=a , n n S a =+1(+∈N n ). （Ⅰ） 证明：数列{}n S 为等比数列，并求n S ； （Ⅱ） 若n n a b 2lg =, 求数列{}n b 的前n 项和n T .17.矩形ABCD 中，22==AD AB ，P 为线段DC 中点，将ADP ∆沿AP 折起，使得平面⊥ADP平面ABCP .（Ⅰ）求证：BP AD ； （Ⅱ）求点P 到平面ADB 的距离.18.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下.（Ⅰ）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（Ⅱ） 若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：①从B 类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？ABCP D PDA BC附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点⎛ ⎝⎭． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点()2,0M 的直线交椭圆C 于,A B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA OB tOP +=，其中2t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，求AB 的取值范围．20．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(Ⅰ)当0≤k 时，求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．2019年北京市中国人民大学附属中学高三下实验班模拟训练卷文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9. ),0(+∞ 10. 18 11. （2）（4） 12.)2)(1(4)3(+++n n n n 13. 1010100014. 5三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（1）3π=B ； （2）6,4==b a .16.（1）nn S 2=； （2）2lg 2⋅n ..17.（Ⅰ）因为2,2,2===AB BP AP ，有222AB BP AP =+，所以AP BP ⊥由已知平面⊥ADP 平面ABCP ,平面⋂ADP 平面AP ABCP =,所以⊥BP 平面ADP ⊂AD 平面ADP ,所以AD BP ⊥（Ⅱ）（法一）由第一问AD BP ⊥，已知AD DP ⊥，P BP DP =⋂,所以⊥AD 平面DBP所以平面⊥ADB 平面DBP ,因为平面⋂ADB 平面BD DBP =，在平面DBP 内做BD PH ⊥于H ，则⊥PH 平面ADB ，在BPD Rt ∆中，解得36=PH ，所以P 到平面ADB 的距离为36. （法二）由已知平面⊥ADP 平面ABCP ,平面⋂ADP 平面AP ABCP =，过D 做⊥DO AP 于O ,所以⊥DO 平面ABP ,三棱锥ABP 的高为22，23,1==∆∆ADB ABP S S ,由于ABP D ADB P V V --=,解得36=h ，所以P 到平面ADB 的距离为36. 18.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以打分超过85分的概率为6293=.②2224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”.19.解：(Ⅰ)∴椭圆方程2212x y +=．(Ⅱ)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为()2y k x =-，()2222128820k x k x k +-+-=，∴()28120k ∆=->，得212k <， 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y由OA OB tOP +=代入椭圆方程得2221612k t k =+，2t <<得21142k <<，∴212AB k ==+，令2112u k =+，则12,23u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴0,3AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．21. 解： (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x )＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减，故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，得x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增．故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点．当k >1时，当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数(四)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}()()10,23U x U R A xB x xC A A B x +⎧⎫==≤=≤⋂⋃=⎨⎬-⎩⎭，集合，则 A ．[){}2,13--⋃B ．[)2,1--C ．[)2,3--D ．[)1,2-2．已知复数z 满足12i i z -=-(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为 A ．15i - B ．35i - C ．15- D ．35- 3．某单位组织全体员工共300人听取了习总书记作的“党的十九大报告”之后，从中抽取15人分别到A ，B ，C 三个部门进行“谈感想，定目标”的经验交流．现将300人随机编号为1，2，3，…，300，分组后在第一组中采用简单随机抽样的方法抽得的号码是8号，抽到的15人中号码落入区间[1，150]去A 区，号码落入区间[151，250]去B 区，号码落入区间[251，300]去C 区，则到B 区去的人数为A ． 2B ．4C ．5D ．84．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点1F 且斜率为1的直线l 交椭圆于点A ，B ，若212AF F F ⊥，则椭圆的离心率为A ．12B 1C ．2D ．125．下列不等式中，恒成立的是①,,;a b c d a c b d >>+>+若则 ②,0,ln ln ;a b c a c b c ><+>+若则 ③22,;ac bc a b ><若则④0,;a b a b a b >>-<+若则 A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④ 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足()()sin 2cos sin cos 2sin cos 1A B C C A A -++-0=，则角A 的值为A ．6πB ．56πC ．566ππ或 D ．233ππ或 7．若αβ，是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是①,//,m m αββα⊥⊥若则；②//,//,//m n m n ββ若则；③,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂若，则；④,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥若则．A ．①②B ．①④C ．②④D ．①③④8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为14-，则①处应填入的条件为A ．7?n ≥B ．6?n ≥C ．5?n ≥D ．4?n ≥9．已知函数()222sin cos f x x x x x =-+，则函数()f x 的一条对称轴方程为 A ．512x π=B ．3x π=C ．12x π= D ．3x π=-10．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3π+ B ．38π+ C. 28π+ D．2π+11．设实数,x y 满足不等式组()()2230,5260,21345,x y x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤-+-⎨⎪+-≥⎩则的取值范围为A ．5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．36,1029⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,1029⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2,,k n n S m m k Z n N +*=+∈∈，且()24132a a a a +=+，若关于k 的不等式2n n nS a n N S *≤∈对恒成立，则k 的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为，，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.3.若向量，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选：D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数g（x）的对称轴，然后求出ω的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．【详解】由2x kπ得x，即函数f（x）的对称轴为x，由ωx kπ得x，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，x，即0≤x，则函数f（x）在[0，π]上的递增区间是[0，]，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和ω是解决本题的关键．6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A. 或；B. 或；C. 或；D. 或；【答案】D【解析】【分析】先确定单调递减，则转化为在的最小值大于等于f(2)即可.【详解】由题函数单调递减，所以在;则在的最小值大于等于f(2)=1；令t= ，则t≥2在恒成立，即-2≥0恒成立，令g(x)=-2,其对称轴x=,∴或综上解得或故选:D.【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数-2≥0恒成立是本题关键，是难题.7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为1．故选：C．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题二、填空题共6小题。

2019年北京市中国人民大学附属中学高三下实验班模拟训练卷文科数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，，，．故选：B．求出集合A，再求解不等式化简集合B，然后由交集运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.已知数列为等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：数列为等差数列，，，即．则．故选：A．由，利用等差数列的性质可得：，再利用三角函数求值即可得出．本题考查了等差数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．3.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意，直角三角形两直角边长分别为5步和12步，面积为30，设内接正方形边长为x，则，解得，所以正方形的面积为，向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是，故选：C．利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出内接正方形边长，然后分别求出三角形和正方形的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求本题考查直角三角形内切圆的有关知识，以及几何概型的概率公式，属于中档题．4.设x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 4B.C.D.【答案】C【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z最小；由，解得，此时，的最小值为．故选：C．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．5.为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲乙甲乙故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10高考应该会有有关内容数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．6.在正方体中，O是正方的中心，则异面直线与BO所成角为A. B. C.D.【答案】D【解析】解：在正方体中，O是正方的中心，，是异面直线与BO所成角或所成角的补角，设正方体中棱长为2，则，，，．异面直线与BO所成角为．故选：D．推导出，从而是异面直线与BO所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线与BO所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】解：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，，解得，．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：故选：A．依题意可求得c，根据和渐线方程，联立求得a和b，进而根据通径求得答案．本题主要考查了双曲线的简单性质双曲线的性质和公式较多，且复杂平时应加强记忆和训练．8.若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】解：几何体为不规则放置的四棱锥，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，几何体的体积：．故选：A．作出几何体的直观图，将四棱锥分解成棱柱与两个小三棱锥计算体积．本题考查了棱锥的结构特征，三视图与体积计算，属于中档题．9.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称，把千支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉戌、亥等十二个符号叫地支如：公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年则公元2047年农历为A. 乙丑年B. 丙寅年C. 丁卯年D. 戊辰年【答案】C【解析】解：从1986开始算起，公元2047年为第61个数，天干表10个为一个周期，地支表12个数为一个周期，则公元2047年对应的天干为卯，地支为卯，故应为丁卯年，故选：C．由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1986年的天干和地支分别为首项，到公元2047年经过了61年，即可求出答案本题考查了等差数列在实际生活中的应用，及推理与证明，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.函数的值域为______．【答案】【解析】解：；；；的值域为．故答案为：．根据即可得出，从而可求出，即得出的值域．考查函数值域的概念及求法，指数函数的值域，对数函数的单调性．11.设实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】18示的平面区域，让如图：作直线，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大由可得，此时．故答案为：18．先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义．12.写出下列命题中所有真命题的序号______．两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；回归直线一定经过样本点的中心；线性回归方程，则当样本数据中时，必有相应的；回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小．【答案】【解析】解：对于，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，错误；对于，回归直线一定经过样本点的中心，正确；对于，线性回归方程，当样本数据中时，则，样本数据时，预测，错误；对于，回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和越小，正确．综上，正确的命题是．故答案为：．根据题意，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．本题考查了统计知识的应用问题，是基础题．13.数列中，，，设数列的前n项和为，则______．【答案】【解析】解：，，，数列是等差数列，首项为2，公差为1．，，，数列的前n项和为．，，可得：，利用等差数列的通项公式可得，可得，利用裂项求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示则将十进制下的数168转成二进制的数是______．【答案】10101000【解析】解：；．故答案为：．用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，再将依次所得的余数倒序排列即可．本题考查了十进制与二进制的转化问题，熟练掌握“除k取余法”是解题的关键，属于基础题．15.已知函数为定义域为R的偶函数，且满足，当时若函数在区间上的所有零点之和为______．【答案】5【解析】解：是偶函数，，的周期为，作出的函数图象如图所示：由图象可知的图象关于点对称．令可得，令，显然的函数图象关于点对称．作出在上的函数图象如图所示：由图象可知与在上有5个交点，根据对称性可知在上也有5个交点，在上的所有零点之和为．故答案为：5．作出与的函数图象，根据图象的对称性得出结论．本题考查了函数图象变换与函数零点个数判断，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16.在，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．Ⅰ求角B的大小；Ⅱ若，，求a，c的值其中【答案】解：Ⅰ已知等式，利用正弦定理化简得：，整理得：，即，，，则；由，得：，又由知，，由余弦定理得：，将及代入得：，，，由知a、c是一元二次方程的两个根，解此方程，并由得：，．【解析】Ⅰ已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出B的度数；根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式，记作，把B的度数代入求出ac的值，记作，然后利用余弦定理表示出，把b，ac及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相应的值代入，开方求出的值，由可知a与c为一个一元二次方程的两个解，求出方程的解，根据c大于a，可得出a与c的值．此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键同时注意完全平方公式的灵活运用．17.数列的前n项和为，且，Ⅰ证明：数列为等比数列，并求；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ证明：，，，即为，可得数列为首项为2，公比为2的等比数列，则；Ⅱ，即，，，则前n项和．【解析】Ⅰ运用数列的递推式：，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；Ⅱ由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式和等差数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.矩形ABCD中，，P为线段DC中点，将沿AP折起，使得平面平面ABCP．Ⅰ求证：；Ⅱ求点P到平面ADB的距离．【答案】证明：Ⅰ，则有，，满足，，平面平面ABCP，平面平面．平面ADP，平面ADP，．解：Ⅱ以P为原点，PA、PB为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，0，，0，，，0，，则0，，，0，，设平面ABD的法向量y，，则，取，得1，，点P到平面ADB的距离．【解析】Ⅰ推导出，从而平面ADP，由此能证明．Ⅱ以P为原点，PA、PB为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面ADB的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图1．求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；若将用电量在区间内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图如图2：从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：，．【答案】解：，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以平均用电量为．类用户共9人，打分超过分的有6人，所以打分超过分的概率为．，所以没有的把握认为“满意度与用电量高低有关”．【解析】根据各组矩形面积和即累积频率和为1，可得x值，进而利用加权平均数公式，可估计这50户用户的平均用电量；计算B类用户数，及打分超过分的户数，进而可得其打分超过85分的概率；根据已知得到列联表，由独立性检验计算公式计算的值，结合独立性检验的意义可得答案；独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题具体步骤：采集样本数据由计算的值统计推断，当时，有的把握说事件A与B有关；当时，有的把握说事件A与B有关；当时，认为事件A与B是无关的．20.已知椭圆C：的焦距为2，且过点Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ依题意，有，解得，，椭圆方程，Ⅱ由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得，，得，设，，，，，由得，代入椭圆方程得，由得，，令，则，，令，其对称轴为，在单调递增，，故的取值范围为【解析】Ⅰ依题意，有，解得即可，由此可求椭圆C的方程；Ⅱ设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式以及向量的坐标运算，即可求得结论．本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，求圆的标准方程得方法，直线和椭圆的位置关系，两个向量的数量积的运算，属于难题．21.设函数为常数，是自然对数的底数．Ⅰ当时，求函数的单调区间；Ⅱ若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围．【答案】解：Ⅰ的定义域为，，当时，，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，的单调递减区间为，单调递增区间为．Ⅱ由Ⅰ知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，．，当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，函数的最小值为函数在内存在两个极值点当且仅当解得：综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为【解析】Ⅰ求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；Ⅱ函数在内存在两个极值点，等价于它的导函数在内有两个不同的零点．本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想是一道导数的综合应用题属于中档题．。

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为，，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.3.若向量，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选：D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数g（x）的对称轴，然后求出ω的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．【详解】由2x kπ得x，即函数f（x）的对称轴为x，由ωx kπ得x，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，x，即0≤x，则函数f（x）在[0，π]上的递增区间是[0，]，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和ω是解决本题的关键．6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A. 或；B. 或；C. 或；D. 或；【答案】D【解析】【分析】先确定单调递减，则转化为在的最小值大于等于f(2)即可.【详解】由题函数单调递减，所以在;则在的最小值大于等于f(2)=1；令t= ，则t≥2在恒成立，即-2≥0恒成立，令g(x)=-2,其对称轴x=,∴或综上解得或故选:D.【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数-2≥0恒成立是本题关键，是难题.7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为1．故选：C．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题二、填空题共6小题。

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为，，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.3.若向量，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选：D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数g（x）的对称轴，然后求出ω的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．【详解】由2x kπ得x，即函数f（x）的对称轴为x，由ωx kπ得x，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，x，即0≤x，则函数f（x）在[0，π]上的递增区间是[0，]，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和ω是解决本题的关键．6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A. 或；B. 或；C. 或；D. 或；【答案】D【解析】【分析】先确定单调递减，则转化为在的最小值大于等于f(2)即可.【详解】由题函数单调递减，所以在;则在的最小值大于等于f(2)=1；令t= ，则t≥2在恒成立，即-2≥0恒成立，令g(x)=-2,其对称轴x=,∴或综上解得或故选:D.【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数-2≥0恒成立是本题关键，是难题.7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为1．故选：C．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题二、填空题共6小题。

１６．已知函数f(x)＝x２＋２ax,g(x)＝４a２lnx＋b,设两曲线y＝f(x),y＝g(x)有 公 共 点 P,
且在 P 点处的切线相同,当a∈(０,＋∞)时,实数b 的最大值是 ．
三 、解 答 题 :本 大 题 共 ６ 小 题 ,共 ７０ 分 ．解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ．
y＝１ ７×(３．４＋３．８＋４．１＋４．９＋５．３＋５．７＋６．４)＝４．８ …………………………… ２分
７
∑(ti －t)２ ＝９＋４＋１＋０＋１＋４＋９＝２８ …………………………………… ３分
i＝１ ７
∑(ti －t)(yi －y)
i＝１
＝ (－３)× (－１．４)＋ (－２)× (－１)＋ (－１)× (－０．７)＋０×０．１＋１×０．５＋２×０．９
年 份 代 号t
１
２
３
４
５
６
７
户均家庭教育投入y ３．４ ３．８ ４．１ ４．９ ５．３ ５．７ ６．４
(１)求y 关于t 的线性回归方程; (２)利用(１)中的 回 归 方 程,分 析 ２０１２ 年 至 ２０１８ 年 该 地 区 户 均 家 庭 教 育 投 入 的 变 化 情
况 ,并 预 测 ２０１９ 年 该 地 区 户 均 家 庭 教 育 投 入 是 多 少 ．
(１)求椭圆 T 的标准方程;
(２)已知直线l１:y＝kx＋m,直线l２:y＝２(kx＋m)(０＜m＜１)．设l１ 与椭圆 T 交于 M 、N
两 点 ,l２
与圆 C:x２＋y２＝a２
交于
P、Q
两 点 ,求S△MON S△POQ
的值．
２１．(本 小 题 满 分 １２ 分 )已 知 函 数 f(x)＝e２x－３ － (２x－３)２．

2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．MN U =D ．()UM N ⊆【答案】A【解析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2．已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．1122i -+ B ．1122i -- C ．1122i + D ．1122i - 【答案】B【解析】先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z . 【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.3．某种最新智能手机市场价为每台6000元，若一次采购数量x 达到某数值，还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的513000y =元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为（ ）A ．80B ．85C ．90D ．100【答案】C【解析】根据程序框图得出y 关于x 的函数解析式，再分情况解方程得出x 的值即可. 【详解】由程序框图可知：6000,8060000.95,8012060000.85,120x x y x x x x ≤⎧⎪=⨯<≤⎨⎪⨯>⎩，（1）若80x ≤，令6000513000x =，解得85.5x =，舍去； （2）若80120x <≤，令60000.95513000x ⨯=，解得90x =； （3）若120x >，令60000.85513000x ⨯=，解得100.6x ≈，舍去. 综上，90x =. 故选：C. 【点睛】本题考查应用程序框图解决实际问题，解决程序框图题应注意三个方面，一是搞清判断框内的条件是计数变量还是累计变量表示；二是注意判断框的条件是否含等号；三是准确利用赋值语句与变量间的关系把握程序框图的整体功能.考查计算能力，属于中等题. 4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的x 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】若输入1x =，则0S =，1k =，12k k =+=，211213S ==-，112x =+=，2542S ≥不成立，3k =，21111113313824S =+=+=-，3x =，2542S ≥不成立， 4k =，11121241540S =+=，4x =，2542S ≥不成立，5k =，21117402430S =+=，5x =，2542S ≥不成立， 6k =，17125 6303542S x ，=+==，2542S ≥成立，输出6x =故选：B ． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用程序框图进行模拟运算是解决本题的关键． 5．已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（ ）A ．2B 5C 6D ．2【答案】D【解析】根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长． 【详解】根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图所示；则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为22 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题．6．已知0a >且1a ≠，函数32232,0()1,0x x x x f x a x ⎧++≤=⎨+>⎩在[2,2]-上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(1,2] B ．2] C ．(0,1)[2,)+∞ D ．(0,1)(1,2)【答案】A【解析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增[2,0]-和(0,2]上的最大值，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：当0x ≤时，32()232f x x x =++，2'()666(1)f x x x x x =+=+，由'()0f x >得0x >（舍）或21x -≤<-，此时()f x 为增函数， 由'()0f x <得10x -<≤，此时()f x 为减函数， 则当1x =-时，()f x 取得极大值，极大值为(1)3f -=， 当2x =-时，()f x 取得最小值，最小值为(2)2f -=-， ∵()f x 在[2,2]-上的最大值为3，∴当02x <≤时，函数()1x f x a =+的最大值不能超过3即可，当1a >时，()f x 为增函数，则当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值为2(2)13f a =+≤，即22a ≤，得12a <≤当01a <<时，()f x 为减函数，则0()1112f x a <+=+=，此时满足条件．综上实数a 的取值范围是01a <<或1a <≤故选A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键． 7．函数()cos(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象向右平移6π个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为( ) A ．,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出ϕ的值，结合函数的单调性进行求解即可． 【详解】函数()cos(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象向右平移6π个单位长度， 得到cos 2cos 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所得图象关于原点对称， 则32k ππϕπ-=+，得56k πϕπ=+，k Z ∈， ∵||2πφ<，∴当1k =-时，6πϕ=-，则()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由2226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，51212x ππ-≤≤， 即312x ππ-≤≤，即()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．8．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =，2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π 【答案】B【解析】由已知证明平面SAB ⊥平面ABCD ，由正弦定理求出三角形SAB 外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】解：由四边形ABCD 为矩形，得AB AD ⊥，又SA AD ⊥，且SA AB A ⋂=，∴AD ⊥平面SAB ， 则平面SAB ⊥平面ABCD ，设三角形SAB 的外心为G ，则23322sin 2sin1203AB GA ASB ====∠︒. 过G 作GO ⊥底面SAB ，且1GO =，则22215OS =+=即四棱锥外接球的半径为5．∴四棱锥外接球的表面积为24(5)20S ππ=⨯=. 故选B ．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题9．设变量x 、y 满足约束条件656053400,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则目标函数44y z x +=-的取值范围为________. 【答案】(][),11,-∞-+∞【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断求解即可. 【详解】变量x 、y 满足约束条件656053400,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩的可行域如图：目标函数44y z x +=-的几何意义的可行域内的点(),x y 与点()4,4D -连线的斜率， 可得4041484DA y z k x ++=≥==--或4041404DO y z k x ++=≤==---. 则目标函数44y z x +=-的取值范围为(][),11,-∞-+∞.故答案为：(][),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13515a a a ++=，416S =，则4a =________. 【答案】7【解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，由此能求出结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由13515a a a ++=，416S =，可得113615434162a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得11a =，2d =，故41327a =+⨯=， 故答案为：7. 【点睛】本题考查等差数列中相关项的求解，解题的关键就是结合题意得出关于首项和公差的方程组，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.11．若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【答案】12【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用两角差的正切公式求得所求代数式的值. 【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan 3θ=，所以，tan 11tan 41tan 2πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 故答案为：12. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.12．己知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=，PQ 的中点为()00,M x y ，且0017y x ≤-≤，则y x 的取值范围是____． 【答案】2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】先求出M 的轨迹方程，结合0017y x ≤-≤可求. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122210,230x y x y +-=++=，两式相加可得12122()20x x y y ++++=,由于PQ 的中点为()00,M x y ,所以00210x y ++=.设00y t x =，则00y tx =代入上式可得0112x t=-+. 因为0017y x ≤-≤，所以11(1)()712t t ≤--≤+，解之得205t -≤≤.故填2[,0]5-. 【点睛】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径.13．椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为()1,0F ，左顶点为A ，线段AF 的中点为B ，圆F 过点B ，且与C 交于,D E ， BDE 是等腰直角三角形，则圆F 的标准方程是____________【答案】()22914x y -+=【解析】设A （﹣a ，0），求得AF 的中点B 的坐标，可得圆F 的半径和方程，设D （m ，n ），（m ＞0，n ＞0），E （m ，﹣n ），由△BDE 为等腰直角三角形，可得m ，n 的关系，将D 的坐标代入圆的方程，解方程可得m ＝1，求出n ，代入椭圆方程，解方程可得a ＝2，即可得到圆F 的方程． 【详解】如图设A （﹣a ，0），可得a ＞1，c ＝1，b 2＝a 2﹣1， 线段AF 的中点为B （1a2-，0）， 圆F 的圆心为F （1，0），半径r ＝|BF|1a2+=， 设D （m ，n ），（m ＞0，n ＞0），E （m ，﹣n ）， 由△BDE 为等腰直角三角形，可得k BD ＝1，即n 01a m 2-=--1，即n ＝m 1a 2--， 由D 在圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝（1a 2+）2上，可得（m ﹣1）2+（m 1a 2--）2＝（1a 2+）2，化简可得（m ﹣1）（2m ﹣1+a ）＝0， 解得m ＝1或m 1a2-=（舍去）， 则n 1a2+=， 将D （1，1a2+）代入椭圆方程，可得222(1a)14a a 1++=-1， 化简可得a ＝2或23（舍去），则圆F 的标准方程为（x ﹣1）2+y 294=，故答案为：（x ﹣1）2+y 294=．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，以及圆的方程的求法，考查等腰直角三角形的性质，注意运用点满足圆的方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(],0e -【解析】根据条件进行转化，求出函数()y f x =的解析式，求函数()y f x =的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可. 【详解】()()()23x f x e x f x -'=+-，()()()23x f x f x e x -'∴+=+，即()()()23xf x f x e x ⎡⎤'+=+⎣⎦，即()()23x f x e x '⎡⎤=+⎣⎦，即()23x f x e x x c =++，即()23xx x cf x e ++=，()01f =，()0001f c ∴=++=，即1c =，则()231xx x f x e ++=，则()()()()2232x x fx e x f x e x x --'=+-=-+-， 由()0f x '>得21x -<<，此时函数()y f x =为增函数， 由()0f x '<得1x >或2x <-，此时函数()y f x =为减函数， 即当2x =-时，函数()y f x =取得极小值()22f e -=-，()1f e -=-，()33f e -=，且当1x >时，()0f x >，由图象知，要使不等式()f x m <的解集中恰有两个整数， 则满足()10f m -<≤，即0e m -<≤，即实数m 的取值范围是(],0e -， 故答案为：(],0e -.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及利用导数研究极值与单调性问题，根据条件求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于难题.三、解答题15．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<.【答案】（1）()42n a n n N*=+∈（2）详见解析【解析】（1）根据等差数列前n 项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，解方程组求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式，由此求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的表达式，利用裂项求和法求得n T 的的表达式，进而根据单调性等知识求得n T 的取值范围. 【详解】解：(1)解：因为数列{}n a 是等差数列， 所以()11n a a n d +-=，()112n n n S na d -=+依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎨=⎩ 即()()()1211151070621a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得16a =，4d =.所以数列{}n a 的通项公式为()42n a n n N*=+∈.(2)证明：由(1)可得224n S n n =+.所以()21112422n S n n n n ==++111()42n n =-+. 所以123111111n n n T S S S S S -=+++++=11111111143424435⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111141142n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11113111142128412n n n n ⎛⎫⎛⎫+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <. 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列，所以116n T T ≥=，所以1368n T ≤<. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项和前n 项和基本量的计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题.16．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足cos 230cos 2C c bA a++=. (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若ABC ∆外接圆半径为3,b c +=求ABC ∆的面积.【答案】（1）2cos 3A =-（2【解析】（1）由cos 230cos 2C c bA a++=及正弦定理得2sin cos 2cos sin 3cos sin 0A C A C A B ++=从而()2sin 3cos sin 0A C A B ++= ,利用诱导公式结合sin 0B >,可求出cos A 的值；（Ⅱ）由正弦定理得2sin a R A ==，再由余弦定理及b c +=得6bc =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）由cos 230cos 2C c b A a++=及正弦定理得 2sin cos 2cos sin 3cos sin 0A C A C A B ++=从而()2sin 3cos sin 0A C A B ++= 即2sin 3cos sin 0B A B += 又ABC ∆中sin 0B >, ∴2cos 3A =-.（Ⅱ）ABC ∆外接圆半径为3,sin 3A =,由正弦定理得2sin a R A ==再由余弦定理()()22222cos 21cos a b c bc A b c A bc =+-=+-+,及b c +=得6bc =∴ABC ∆的面积11sin 6223S bc A ==⨯⨯=【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.17．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，BB 1＝，点E 、F 、M 分别为C 1D 1，A 1D 1，B 1C 1的中点，过点M 的平面α与平面DEF 平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由） （2）在图2中，求证：D 1B ⊥平面DEF ． 【答案】（1）52）见解析【解析】（1）取A 1 B 1中点为N,连接N 与M ，则几何图形为ACMN,再求其面积． （2）建系，利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直． 【详解】（1）设N 为A 1B 1的中点，连结MN ，AN 、AC 、CM ， 则四边形MNAC 为所作图形．由题意知MN ∥A 1C 1（或∥EF ），四边形MNAC 为梯形， 且MN 12=AC ＝2， 过M 作MP ⊥AC 于点P ， 可得MC 84=+=3PC 22-==AC MN得MP 2210=-=MC QC∴梯形MNAC 的面积12=⨯（2+2）10⨯=5． 证明：（2）示例一：在长方体中ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， 设D 1B 1交EF 于Q ，连接DQ ，则Q 为EF 的中点并且为D 1B 1的四等点，如图， D 1Q 14=⨯22= 由DE ＝DF 得DQ ⊥EF ，又EF ⊥BB 1， ∴EF ⊥平面BB 1D 1D ，∴EF ⊥D 1B ， 11112D Q D D D D DB ==，∴∠D 1QD ＝∠BD 1D ， ∴∠QD 1B +∠D 1QD ＝∠DD 1B +∠BD 1Q ＝90°， ∴DQ ⊥D 1B ，∴D 1B ⊥平面DEF ．示例二：设D 1B 1交EF 于Q ，连接DQ ，则Q 为EF 的中点，且为D1B1的四等分点，D1Q1 4 =⨯422=，由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，由11112D Q D DD D DB==，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，得∠QDD1＝∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD＝∠QDB+∠QDD1＝90°，∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF＝Q，∴D1B⊥平面DEF．；【点睛】标准几何体内，证明垂直，直接利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直．18．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将(0.9),(1.3),(1.8),(2.5)A kg B kg C kg D kg 四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg ，求他支付的快递费为45元的概率.【答案】(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2) 该公司平均每天的利润有1000元．(3)35. 【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式1ni ii x x p ==∑即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6， 所以每天包裹数量的平均数为()150615062503035012450626060⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 设中位数为x ，易知()200,300x ∈，则()0.00110020.0052000.5x ⨯⨯+⨯-=，解得x =260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为260531001000⨯-⨯=(元)， 所以该公司平均每天的利润有1000元．（3）设四件礼物分为二个包裹E 、F ，因为礼物A 、C 、D 共重0.9 1.8 2.5 5.2++=（千克），礼物B 、C 、D 共重1.3 1.8 2.5 5.6++=（千克），都超过5千克，故E 和F 的重量数分别有1.8 4.7和，2.5 4.0和，2.2 4.3和，2.7 3.8和，3.1 3.4和共5种， 对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元） 故所求概率为35. 【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题. 19．已知函数1()ln 1x f x a x e -=-+，其中a R ∈.（1）若1x =是函数()f x 的导函数的零点，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()0f x ≤对[1,)x ∀∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）(,1]-∞【解析】（1）对函数f （x ）求导数，利用x ＝1是函数f （x ）导函数的零点求出a 的值，再判断f （x ）的单调性与单调区间；（2）求函数f （x ）的导数，讨论①a ≤0时f ′（x ）＜0在x ∈[1，+∞）上恒成立，得出f （x ）≤f （1）＝0，符合题意；②a ＞0时，f ′（x ）是x ∈[1，+∞）上的单调减函数，利用f ′（1）＝a ﹣1，讨论a ≤1时，f （x ）≤f （1）＝0，满足题意；a ＞1时，易知存在x 0∈[1，+∞），使得f ′（x 0）＝0，且f （x 0）＞f （1）＝0，不符合题意；由此求出a 的取值范围． 【详解】（1）函数()1ln 1x f x a x e-=-+，其中0x >；∴()1'x a f x e x-=-， 又1x =是函数()f x 的导函数的零点，∴()0'10f a e =-=，解得1a =， ∴()1ln 1x f x x e-=-+，∴()11'x f x e x-=-，且在()0,+∞上是单调减函数，()'10f =，∴()0,1x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）()1'x a f x e x-=-，[)1,x ∈+∞； ①0a ≤时，()'0f x <在[)1,x ∈+∞上恒成立，则()f x 是单调递减函数，且()()10110f x f ≤=-+=，∴()0f x ≤恒成立，符合题意；②当0a >时，()'f x 是[)1,x ∈+∞上的单调减函数，且()'11f a =-； 若10a -≤，即1a ≤，()'0f x ≤则()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递减，且()()10f x f ≤=，满足题意；若10a ->，即1a >，则易知存在[)01,x ∈+∞，使得()0'0f x =， ∴()f x 在()01,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，∴()1,x ∈∞时，存在()()010f x f >=，则()0f x ≤不恒成立，不符合题意； 综上可知，实数a 的取值范围是(],1-∞． 【点睛】本题考查了函数的单调性与导数的综合应用问题，也考查了分类讨论思想与不等式恒成立问题，是综合题．20．从抛物线236y x =上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足2PM MQ = (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线)1(x my m R =+∈与轨迹c 交于A B ，两点，T 为C 上异于A B ，的任意一点，直线AT ，BT 分别与直线1x =-交于D E ，两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) 24y x = (2)见解析【解析】（1）利用相关点法，设设(),M x y ，()00,P x y ，则点Q 的坐标为()0,0x ，由2PM MQ =，从而得到00,3.x x y y =⎧⎨=⎩，即()2336y x =．化简求得结果；（2）设出点A,B 的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到2440y my --=，根据韦达定理得到1y +2y =4m ，1y 2y =4-，设点200,4y T y ⎛⎫⎪⎝⎭，写出直线AT 的方程，进而求得点D 的坐标，同理求得点E 的坐标，如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点(),0N n ，则满足•0ND NE =，利用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，则点Q 的坐标为()0,0x ． 因为2PM MQ =，所以()()000,2,x x y y x x y --=--，即00,3.x x y y =⎧⎨=⎩ ， 因为点P 在抛物线236y x =上，所以20036y x =，即()2336y x =．所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．（2）解法1：设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得1y + 2y =4m ，1y 2y =4-．设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点(),0N n ，则满足•0ND NE =．因为010*******•1,?1,y y y y ND NE n n y y y y ⎛⎫⎛⎫--=---- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()2212001220012124161++y y y y y y n y y y y y y -++=+++． 所以()2200200416161++044y my n y my --+=+-． 即()2140n +-=，解得1n =或3n =-．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．解法2：直线1x =与曲线C 的交点坐标为()1,2A '，()1,2B '-，若取()0,0T '，则A T ''，B T ''与直线1x =-的交点坐标为()1,2D '--，()1,2E '-， 所以以D E ''为直径的圆的方程为()2214x y ++=．该圆与x 轴的交点坐标为()1,0和()3,0-．所以符合题意的定点只能是()11,0N 或()23,0N -．设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得12124,4y y m y y +==- 设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-． 所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭． 令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． 同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． 若点()11,0N 满足要求，则满足11•0N D N E =．因为010*********•2,?2,y y y y N D N E y y y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()212001220012124164+y y y y y y y y y y y y -++=+++ 20020041616=4+044y my y my --+=+-． 所以点()11,0N 满足题意．同理可证点()23,0N -也满足题意．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相交的综合题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与抛物线相交，以某条线段为直径的圆过定点的问题，向量数量积坐标公式，属于较难题目.。

2019年高三文科数学高考模拟卷文科数学（4）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21iz =+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}11A x x =->，{}1,0,2,3B =-，则()UA B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,2C ．{}1,3-D ．{}1,0,1,2,3-3．已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则m =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．2-4．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要 条件是（） A ．01m <<B ．1m <C ．41m -<<D ．31m -<<5．改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化．随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建．北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7500元增长到2017年的40000元．1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示：1998年北京市城镇居民消费结构2017年北京市城镇居民消费结构，则下列叙述中不正确．．．的 是（）A ．2017年北京市城镇居民食品支出占比．．同1998年相比大幅度降低B ．2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少C ．2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比．．同1998年相比提高约60% D ．2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍 6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π48+， 则r =（ ）A ．2B ．4C ．1D ．37．将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A ．πcos 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos y x =D ．sin4y x =8．下面框图的功能是求满足111135111n ⨯⨯⨯⨯>的最小正整数n ，则空白处应填入的是（ ）A ．输出2i +B ．输出iC ．输出1i -D ．输出2i -9．若sin π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则in 2πs 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D ．1310．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，2AC BC ==，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向ABC △内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．π8B ．π4C ．18π-D ．14π-11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，其中，双曲线半焦距为c ，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截得的弦长为223ae （e 为双曲线C 的离心率），则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y =C ．32y x =±D ．y = 12．函数()f x 的定义域为R ，且()()3f x f x =-，当20x -≤<时，()()21f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，则()()()()1232018f f f f ++++=（ ） A ．671 B ．673C ．1343D ．1345第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a b >2sin b A =，则B =______．14已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）．①若l m ∥，则αβ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥； ③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则m α⊥，15．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’； 丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_____．16．对于三次函数()()32,,,,0f x ax bx cx d a b c d a =+++∈≠R 有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”．若点()1,3-是函数()()325,g x x ax bx a b =-+-∈R 的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在数列{}n a 、{}n b 中，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，12n n a a +=+，()12352121n n n b b n b a ++++=⋅+，n ∈*N ．（1）求n a 和n S ；（2）若n k ≥时，8n n b S ≥恒成立，求整数k 的最小值．18．（12分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况， 随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．（1）从III 型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为________； （2）从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；（3）汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化．假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论）19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒， 点M 在线段PC 上，且2PM MC =，O 为AD 的中点． （1）若PA PD =，求证AD PB ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，且2AB =，求三棱锥P OBM -的体积．20．（12分）已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ 上的中线长为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．21．（12分）已知函数()()ln f x x a x =+，()22a g x x x =+（0a ≤且a 为常数）． （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意1x ≥都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ．（1）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；（2）设过点31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l '交曲线1C 于A ，B 两点，且AB 的中点为P ，求直线l '的斜率．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设()f x x a x a =++-，当12a =时，不等式()2f x <的解集为M ；当14a =时，不等式()1f x <的解集为P ． （1）求M ，P ；（2）证明：当m M ∈，n P ∈时，212m n mn +<+．文科数学答案（4）一、选择题． 1．【答案】D 【解析】因为()()()21i 21i 1+i 1i 1i z -===-+-，在复平面内对应的点为()1,1-，故选D ． 2．【答案】B【解析】由题意{}{}1102A x x x x x =->=<>或，所以{}02UA x x =≤≤，所以(){}0,2UA B =，故选B ．3．【答案】B【解析】由题意，()3,2m -=+a b ，()-⊥a b b ，()()6220m ∴-⋅=-+=a b b ，解得1m =．故选B ．4．【答案】A【解析】圆22210x y x +--=的圆心为()1,0 因为直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点， 所以直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=相交，因此，圆心到直线的距离d =<，所以12m +<，解得31m -<<，求其充分条件即是求其子集，根据选项易得，只有A 符合，故选A ． 5．【答案】B【解析】由1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比图，知：在A 中，2017年北京市城镇居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低，故A 正确； 在B 中，2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%400004400⨯=元， 1998年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14%75001050⨯=元，故2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比明显增加，故B 错误； 在C 中，2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比同1998年相比提高约60%，故C 正确； 在D 中，2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍，故D 正确．故选B ． 6．【答案】A【解析】由题意，直观图为14圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为()21111π3433424π484332r r r r r ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，2r ∴=．故选A ．7．【答案】A【解析】先将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，得2πsin 2sin 26π3π3y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得2πsin sin cos 32π6π6πy x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A ． 8．【答案】D【解析】根据程序框图得到循环是：1M =，3i =； 13M =⨯，5i =； 135M =⨯⨯，7i =； 1357M =⨯⨯⨯，9i =；；()1352M n =⨯⨯-，i n =之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是2i -．故答案为D ． 9．【答案】D【解析】由题意，根据诱导公式可得sin 2cos 2cos 2626ππ3ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又由余弦的倍角公式，可得221cos 212sin 12π6π33αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ．10．【答案】D【解析】由题意，题目符合几何概型，ABC △中，90C ∠=︒，2AC BC ==，所以三角形为直角三角形，面积为122AC BC ⨯⨯=，阴影部分的面积为：三角形面积12-圆面积π22=-， 所以点落在阴影部分的概率为π4π2212-=-，故选D ． 11．【答案】B 【解析】抛物线24y cx =的准线x c =-，它正好经过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，∴准线被双曲线C 截得的弦长为22b a，22223b ae a ∴=，22222223c b a c a b a∴=⋅==+，222b a ∴=，b a ∴=， ∴则双曲线C的渐近线方程为2y =，故选B ． 12．【答案】D【解析】∵()()3f x f x =-，∴()()3f x f x +=，∴函数()f x 是周期为3的周期函数． 又当20x -≤<时，()()21f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+， ∴()()()()()()1232101012f f f f f f ++=-+-+=++=， ∴()()()()()()()()()123201867212320172018f f f f f f f f f ++++=⨯++++⎡⎤⎣⎦()()672212134411345f f =⨯++=+=，故选D ．二、填空题． 13．【答案】π4【解析2sin sin A A B =，且在三角形中，故sin 0A ≠，所以sin B =， a b >，sin sin A B ∴>，B ∴∠为锐角，π4B ∴=，故答案为π4． 14．【答案】③【解析】①如图所示，设c αβ=，l c ∥，m c ∥满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设αβ∥，l β'⊂，l l '∥，l m '⊥，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确； ③由面面垂直的判定定理，若l β⊥，则αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，n αβ=，由面面垂直的性质定理知，m n ⊥时，m α⊥，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为③． 15．【答案】甲【解析】由四人的预测可得下表：①若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意 ②若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意 ③若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意 ④若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，故答案为甲．16．【答案】178【解析】()232g x x ax b -'=+，()62g x x a ''=-，则3a =，又()13g =-，得4b =，所以()22sin 2cos sin 2sin 2h x x x x x =+=-+， 令sin x t =，则[]1,1t ∈-，即求222y t t =++-，[]1,1t ∈-时的最大值， 当14t =时，y 有最大值178，故答案为178．三、解答题．17．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）整数k 的最小值是11． 【解析】（1）因为12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列， 又11a =，所以21n a n =-，从而()21212n n n S n +-==．（2）因为21n a n =-，所以()()123357212211n n b b b n b n ++++=⋅-+，当2n ≥时，()()()123135*********n n n b b b n b n b n -+++-++=⋅-+①()()11231357212231n n b b b n b n --+++-=⋅-+②①-②可得()()121221n n n b n -+=⋅+，()2n ≥，即12n n b -=，而11b =也满足，故12n n b -=．令8n n b S ≥，则1228n n -≥，即422n n -≥，因为1042210-<，1142211->，依据指数增长性质，整数k 的最小值是11． 18．【答案】（1）0.4；（2）111320；（3）增加IV 型号汽车的满意率，减少II 型号汽车的满意率．【解析】（1）由表格可知满意的为0.6，所以不满意的为0.4．（2）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=， 样本中满意的客户人数是2500.51000.32000.67000.33500.21253012021070555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=，所以样本中客户的满意率为5551111600320=．所以从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率为111320． （3）增加IV 型号汽车的满意率，减少II 型号汽车的满意率． 19．【答案】（1）见解析；（2）23． 【解析】（1）PA PD =，AO OD =，PO AD ∴⊥， 又底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，BO AD ∴⊥，PO BO O =，AD ∴⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，AD PB ∴⊥． （2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO AD ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，2AD AB ==，PO ∴=，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，由（1）BO AD ⊥，11222OBC S BC OB ∴=⨯⨯=⨯△，2PM MC =，22212123333333P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----∴====⨯⨯=⨯=△．20．【答案】（1）2212x y +=；（2）220x y -+=或220x y ++=．【解析】（1）由题意得IOJ △，所以IJ = 设椭圆C 的半焦距为c，则222c aa b c ===⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ． 联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k x k x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()* 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k -=+． 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=， 整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭． 化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 21．【答案】（1）e1-；（2）2a ≤-．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 当0a =时，()f x 的导数()1ln f x x ='+．令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10ex <<．从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．所以，当1e x =时，()f x 取得最小值e1-．（2）令()()()()()2ln 12a F x f x g x x a x x x x =-=+--≥， 那么，对于任意1x ≥都有()()f x g x ≥，只须()0F x ≥即可， ()ln aF x x ax x'=+-，且()10F '=， 记()()()ln 1aG x F x x ax x x==+-≥'，()21a G x a x x =--'，由已知0a ≤，所以对于任意1x ≥，都有()210aG x a x x-'=->恒成立，又因为()()110G F ='=，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增， 所以()()min 112aF x F ==--，由102a--≥，解得2a ≤-，所以，当2a ≤-时，对任意1x ≥都有()()f x g x ≥成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0，π4⎫⎪⎭；（2）1-．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为()2211x y -+=， 直线l 的普通方程为y x =，联立方程()2211x y y x -+==⎧⎪⎨⎪⎩，解得00x y ==⎧⎨⎩或11x y ==⎧⎨⎩，所以，直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0，π4⎫⎪⎭．（2）依题意，设直线l '的参数方程为3cos 21sin 2x t y t αα=⎧⎪=+⎨+⎪⎪⎪⎩（α为倾斜角，t 为参数），代入()2211x y -+=，整理得()21cos sin 02t t αα++-=． 因为AB 的中点为P ，则120t t +=．所以cos sin 0αα+=，即tan 1α=-．直线l '的斜率为1-．23．【答案】（1）{}11M x x =-<<，1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）当12a =时，()12,211111,222212,2x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 结合图象知，不等式()2f x <的解集{}11M x x =-<<，同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）证明：∵m M ∈，n P ∈，∴11m -<<，1122n -<<，21m <，241n <， ()()()()222222222124411140m n mn m n m n m n +-+=+--=--<，∴()()22212m n mn +<+，即212m n mn +<+．。

2019北京市人大附中高三模拟预测卷四数 学（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x |x +1＜0}，B ={x |x -4≤0}，则∁U （A ∩B ）=（ ）A. {x|x ≤−1或x >4}B. {x|x ≥−1或x <4}C. {x|x ≥−1}D. {x|x >4} 2. 若a =log 312，b =log 39.1，c =20.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a <b <c B. b <a <c C. a <c <b D. c <a <b 3. 设x ，y ∈R ，则“|x |≤1且|y |≤1“是“x 2+y 2≤2“的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 设不等式组{x ≥1x +y ≥32x +y ≤5表示的平面区域为D ．若直线ax -y =0上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. [12,2]B. [12,3]C. [1,2]D. [2,3] 5. 若直线x +y +a =0是圆x 2+y 2-2y =0的一条对称轴，则a 的值为（ ） A. 1 B. −1 C. 2 D. −2 6. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 67. 某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁8. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，BC =1，点P 在侧面A 1ABB 1上．满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ） A. 不存在 B. 恰有1个 C. 恰有2个 D. 有无数个 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 将函数f(x)=sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）=sin （ωx +φ）的图象，则ω=______，φ=______．10. 已知点A （2，0），B （0，1），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则xy 的最大值为______．11. 某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．13. 已知函数f(x)={a +2x ，x ≤112x +a ，x ＞1，其中a ∈R ．如果函数f （x ）恰有两个零点，那么a 的取值范围是______．14. 设A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义：m ={1,x ∈A,0,x∉A,n ={1,x ∈B 0,x∉B①若A ⊆B ．则对任意x ∈R ，m （1-n ）=______；②若对任意x ∈R ，m +n =1，则A ，B 的关系为______． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2+a 4=10．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n +2a n ，求数列{b n }的前n 项和．16. 已知函数f(x)=sin2x+cos2x+12cosx． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅲ）求函数f （x ）在(0，π2)上的取值范围．17. 某日A ，B ，C 三个城市18个销售点的小麦价格如表：销售点序号所属城市小麦价格（元/吨）销售点序号所属城市小麦价格（元/吨）1 A2420 10 B25002 C2580 11 A24603 C2470 12 A24604 C2540 13 A25005 A2430 14 B25006 C2400 15 B24507 A2440 16 B24608 B2500 17 A24609 A2440 18 A2540（Ⅱ）甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．18.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；（Ⅱ）求证：BD⊥A1C；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．x2−x，a∈R．19.已知函数f(x)=axe x−12（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f （x ）的单调区间．已知点B （0，-2）和椭圆M ：x 24+y 22=1．直线l ：y =kx +1与椭圆M 交于不同两点P ，Q ．（Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）若k =12，求△PBQ 的面积；（Ⅲ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值．2019北京市人大附中高三模拟预测卷四数学（文）参考答案1.【答案】C【解析】解：A={x|x＜-1}，B={x|x≤4}；∴A∩B={x|x＜-1}；∴∁U（A∩B）={x|x≥-1}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2.【答案】C【解析】解：∵a=log3＜log31=0，b=log39.1＞log39=2，1=20＜c=20.8＜21=2，∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．故选：C．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】A【解析】解：“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=．∴“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．故选：A．“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=．即可判断出结论．本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴，．∴a，故选：B．由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】B【解析】解：圆x2+y2-2y=0化为x2+（y-1）2=1，圆心坐标为（0，1），∵直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，∴0+1+a=0，即a=-1．故选：B．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程求解．本题考查直线与圆的位置关系的应用，理解题意是关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得S=12，k=0执行循环体，k=2，S=10不满足条件S≤0，执行循环体，k=4，S=6不满足条件S≤0，执行循环体，k=6，S=0满足条件S≤0，退出循环，输出k的值为6．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：（1）若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；（2）若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；（3）若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；（4）若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意．故选：D．分别假设获得一等奖的团队是甲、乙、丙、丁，分析四位同学的预测结果，能求出正确结果．本题考查学生的逻辑推理能力，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】D【解析】解：以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），设P到AB的距离为y，到AA1的距离为x，∴P到直线CD的距离为，∴x=，即x2-y2=1（x≥1），∴P点轨迹为双曲线的右支的一部分，故选：D．设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，求出P到直线CD的距离，列方程得出P点轨迹，得出答案．本题考查了空间距离的计算，属于中档题．9.【答案】12π3【解析】解：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（x+）的图象，故答案为：，直接利用正弦函数的图象的伸缩变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数的图象的伸缩变换．10.【答案】12【解析】解：A（2，0），B（0，1），可得AB的方程为+y=1，（0≤x≤2），由+y≥2，可得xy≤2•（+y）2=，当且仅当x=，y=时，取得最大值，故答案为：．求得线段AB的方程，由基本不等式，计算可得所求最大值．本题考查直线方程的求法和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】16【解析】解：某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400，通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是：40×=16．故答案为：16．利用分层抽样性质直接求解．本题考查高三中抽取的学生人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.【答案】16【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱锥，其直观图如图所示：在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中：该几何体为图中的四面体D1-A1BD，体积：V==；故答案为：．由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13.【答案】[−2，−12)【解析】解：x≤1时，y=a+2x∈（a，2+a]，x＞1时，y=+a∈（，+∞），两个函数都是增函数，函数f（x）恰有两个零点，可得：， 解得a ∈[-2，）． 故答案为：[-2，）．通过分段函数，利用指数函数以及一次函数，利用函数的值域，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的值域，分段函数的应用，考查计算能力． 14.【答案】0 A =∁R B 【解析】解：①∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m=0，m （1-n ）=0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m=n=1，m （1-n ）=0． 综上可得：m （1-n ）=0．②对任意x ∈R ，m+n=1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ，B 的关系为A=∁R B ． 故答案为：0，A=∁R B ．①由A ⊆B ．由x ∉A 时，m=0，可得m （1-n ）．x ∈A 时，必有x ∈B ，可得m=n=1．②对任意x ∈R ，m+n=1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，可得：x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ，即可得出A ，B 的关系．本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.【答案】（共13分）解：（I ）设{a n }的公差为d ， 因为a 2+a 4=2a 3=10，所以a 3=5． 所以a 3-a 1=2d =5-1=4． 解得d =2．所以a n =a 1+（n -1）d =1+（n -1）×2=2n -1．……………………………..（7分） （Ⅱ）由（I ）知，b n =2n −1+22n−1，所以{b n }的前n 项和为b 1+b 2+⋯+b n =[1+3+⋯+(2n −1)]+(21+23+⋯+22n−1) =[1+(2n−1)]×n2+2(1−4n )1−4=n 2+23(4n −1)．……………………..（13分） 【解析】（Ⅰ）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解{a n }的通项公式； （Ⅱ）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列{b n }的前n 项和． 本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查计算能力． 16.【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x+12cosx，∴f(0)=sin0+cos0+12cos0=1+12=1；（Ⅱ）由cos x ≠0，得x ≠π2+kπ，k ∈Z ， ∴函数的定义域是 {x|x ≠π2+kπ，k ∈Z}；（Ⅲ）f(x)=2⋅sinx⋅cosx+2⋅cos 2x−1+12⋅cosx=2⋅cosx(sinx+cosx)2⋅cosx =sin x +cos x =√2sin(x +π4)，∵x ∈(0，π2)，即 0＜x ＜π2，∴π4＜x +π4＜3π4， 则√22＜sin （x +π4）≤1，∴1＜√2sin(x +π6)≤√2．∴函数f （x ）在(0，π2)上的取值范围为(1，√2]． 【解析】（Ⅰ）在函数解析式中直接取x=0求解；（Ⅱ）由分母不为0求解三角不等式得答案；（Ⅲ）把f （x ）化简，再由x 的范围求得相位的范围，则函数f （x ）在上的取值范围可求．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的恒等变换应用，是中档题．17.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）B 市一共有5个销售点，价格分别为： 2500，2500，2500，2450，2460按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500B 市5个销售点小麦价格的中位数为2500．…………………（3分） （Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为AB 市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500C 市一共有4个销售点，价格分别为： 2580，2470，2540，2400按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580 甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400）， （2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）， （2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540）， （2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580）， 一共有20组．其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400）， （2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组．所以，甲的费用比乙高的概率为：P(A)=820=25．………………（10分）（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C ，A ，B ．………………（13分） 【解析】（Ⅰ）B 市一共有5个销售点，价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500，由此能求出B 市5个销售点小麦价格的中位数．（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为A ，B 市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500，C 市一共有4个销售点，价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有20组．其中满足甲的费用高于乙的有8组．由此利用列举法能求出甲的费用比乙高的概率． （Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C ，A ，B ．本题考查中位数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】（Ⅰ）证明：设AC ∩BD =O ，连接OE ，在△ACA 1中，∵O ，E 分别为AC ，AA 1 的中点，∴OE ∥A 1C ， ∵A 1C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴A 1C ∥平面BDE ；（Ⅱ）证明：∵侧棱AA 1⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴AA 1⊥BD ， ∵底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ， ∵AA 1∩AC =A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1， ∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥A 1C ；（Ⅲ）解：∵侧棱AA 1⊥底面ABCD 于A ，E 为棱DD 1 的中点，且AA 1=3，∴AE =32，即三棱锥E -ABD 的高为32．由底面正方形的边长为2，得S △ABD =12×2×2=2． ∴V A−BDE =V E−ABD =13S △ABD ⋅AE =13×2×32=1． 【解析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接OE ，由三角形中位线定理可得OE ∥A 1C ，再由线面平行的判定可得A 1C ∥平面BDE ； （Ⅱ）由侧棱AA 1⊥底面ABCD ，得AA 1⊥BD ，再由底面ABCD 为正方形，得AC ⊥BD ，结合线面垂直的判定可得BD ⊥平面ACC 1A 1，从而得到BD ⊥A 1C ；（Ⅲ）由侧棱AA 1⊥底面ABCD 于A ，E 为棱DD 1 的中点，且AA 1=3，可得三棱锥E-ABD 的高为，求出三角形ABD的面积，再由等积法求三棱锥A-BDE 的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为R ，f ′（x ）=ae x （x +1）-x -1=（x +1）（ae x -1）． 当a =1时，f ′（0）=0，f （0）=0，所以曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y =0．………………………..（5分）（Ⅱ）f ′（x ）=ae x （x +1）-x -1=（x +1）（ae x-1）． （1）当a ≤0时，ae x -1＜0，所以当x ＞-1时，f ′（x ）＜0；当x ＜-1时，f ′（x ）＞0．所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）． （2）当a ＞0时，令f ′（x ）=0，得x 1=-1，x 2=-ln a ． ①当-ln a =-1，即a =e 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间； ②当-ln a ＜-1，即a ＞e 时，当-ln a ＜x ＜-1时，f ′（x ）＜0；当x ＜-ln a 或x ＞-1时，f ′（x ）＞0．所以f （x ）的单调递减区间为（-ln a ，-1），单调递增区间为（-∞，-ln a ），（-1，+∞）； ③当-ln a ＞-1，即0＜a ＜e 时，当-1＜x ＜-ln a 时，f ′（x ）＜0；当x ＜-1或x ＞-ln a 时，f ′（x ）＞0． 所以f （x ）的单调递减区间为（-1，-ln a ），单调递增区间为（-∞，-1），（-ln a ，∞）．………………………………（12分） 【解析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数f （x ），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程； （II ）当a ＞0时，令f′（x ）=0，得x 1=-1，x 2=-lna ．分三种情况①-lna=-1，②当-lna ＜-1，③当-lna ＞-1，讨论f （x ）的单调区间．本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．20.【答案】解：（Ⅰ）因为a 2=4，b 2=2，所以a =2，b =√2，c =√2， 所以离心率e =ca =√22．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），若k =12，则直线l 的方程为y =12x +1， 由{x 24+y 22=1y =12x +1，得3x 2+4x -4=0，解得 x 1=−2，x 2=23，设A （0，1），则 S △PBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4． （Ⅲ）法一：设点C （x 3，y 3），因为P （x 1，y 1），B （0，-2），所以{x 3=x12y 3=−2+y 12，又点P （x 1，y 1），C （x 3，y 3）都在椭圆上，所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1，解得{x 1=√142y 1=−12或{x 1=−√142y 1=−12， 所以 k =−3√1414或k =3√1414．11 / 11 法二：设C （x 3，y 3），显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y =k 1x -2，由{x 24+y 22=1y =k 1x −2，得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0， 所以{ △=16(2k 12−1)＞0x 1+x 3=8k 12k 12+1x 1x 3=42k 12+1， 又x 3=12x 1，解得{x 1=−√142k 1=−3√1414或 {x 1=√142k 1=3√1414， 所以 {x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12， 所以 k =3√1414或k =−3√1414． 【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出a ，c ，然后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线l 的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积．（Ⅲ）法一：设点C （x 3，y 3），P （x 1，y 1），B （0，-2），结合椭圆方程求出P （x 1，y 1），然后求解斜率． 法二：设C （x 3，y 3），显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y=k 1x-2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P 的坐标，求解斜率即可．本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。

中国人民大学附属中学2019届高三4月月考数学（文）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.)A. B.C.【答案】A【分析】由集合的交集运算直接直接求出答案即可.【详解】解：因为故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.）A. B. C.【答案】C,通分得:,设,时,画出大致图象如下.又内唯一交点,又,也为公切点,为交点，3.( )A. B. C.【答案】D【分析】.故选：D【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示.4.如图,,( )A. B.C.【答案】B【分析】D处取得最大值，代入点D坐标求出最大值.【详解】解：在图中画出直线D处取得最大值因为点 2故选：B.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，属于基础题.5.,那么下列选项中能成立的是( )A. B.C. 且且【答案】A【分析】将选项BCD一一当做条件，都会得出与题中矛盾的结论，故选项BCD错误，选项A得不出矛盾，选项A正确.【详解】解：不符合题意，选项B错误；C且D错误. 故选：A.【点睛】本题考查了空间中线面平行与垂直关系的判定与性质，属于基础题.6.( )A. B. C.【答案】B【分析】先将圆化为标准式，写出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由垂径定理列方程解出即可.圆心到直线的距离，即故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长，属于基础题.7.某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为( )A. B. C.【答案】B【分析】先算出总人数中高二与高一学生人数之比，再由抽取的样本中高二与高一学生人数之比不变求出高二应抽取人数.【详解】解：在总人数中高二与高一学生人数之比为360：400=9:10所以在抽取的样本中高二与高一学生人数之比仍为360：400=9:10因为高一抽取了60人，所以高二应抽取54人故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.8.已知四边形ABCDPA⊥平面ABCD，QC∥PA，且异面直线QD与PA所成的角为30°，则四棱锥Q－ABCD外接球的表面积等于( )A.B.C.【答案】C【分析】先找到异面直线QD与PA所成的角为∠DQC=30°，求出QC长，再由QC⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以四棱锥Q－ABCD面积.【详解】解：因为QC∥PA，所以异面直线QD与PA所成的角为∠DQC=30°，因为四边形ABCD所以QC又因为PA⊥平面ABCD，QC∥PA，得QC⊥平面ABCD所以四棱锥Q－ABCD所以外接球的半径为所以四棱锥Q－ABCD外接球的表面积故选：C.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，空间几何体的外接球，将本题中四棱锥的外接球转化为长方体外接球可简化本题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.__________.【答案】【分析】全称命题否定，为特称命题，结论要否定.【点睛】本题考查全称命题的否定，只否定结论，全称量词变为存在量词.10.________.【答案】【分析】观察抛物线方程易得抛物线焦点在y轴正半轴，然后写出焦点即可.【详解】解：因为所以抛物线故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的方程与焦点，属于基础题.11.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．【答案】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知：这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是12..若对任意则称这个数列为“有限和数列”,试写出一个“有限和数列”________.【答案】.【分析】答案不唯一，列出出一个符合题意的数列即可.故答案为：.【点睛】本题考查了数列前n项和的概念，属于基础题.13.,范围__________。