数学：简单几何体及三视图、直观图

课时跟踪检测(四十二)简单几何体及三视图、直观图
1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(主视图、左视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()
A．②③④B．①②③
C．①③④D．①②④
2．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
3.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
4．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
5.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、
西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到
如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()
A．南B．北
C．下D．上
6.如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体
EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为
线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
7．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则下列图形：①长方形；②正方形；
③圆；④椭圆．不可能是其俯视图的序号为________．
8．(2013·徐州模拟)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，
它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积
是________．
9．(2012·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为________．
10．(2013·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．
11．(2013·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出左视图的面积．
12．(2012·安徽高考改编)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面
A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上一点．如果AB＝2，
AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．
1．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
()
2．(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则左视图的面积为()
A．2＋ 3 B．1＋ 3
C．2＋2 3 D．4＋ 3
3．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．
答案
课时跟踪检测(四十二)
A 级
1．选A ①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，主视图、左视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，主视图、左视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，主视图、左视图是相同的矩形．
2．选D 从俯视图看，只有B 和D 符合，从主视图看B 不符合，故D 正确． 3．选B 由直观图可知在△ABC 中，AC ⊥AB .
4．选A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
5．选B 如图所示．
6．选D 根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不是棱台．
7．解析：根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，该几何体的俯视图不可能是圆和正方形．
答案：②③
8．解析：设正三棱柱的底面边长为a ，利用体积为23，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3.
答案：2 3
9．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533
.
答案：53
3
10．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，
高OS ＝3，
侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，
OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，
∵OE ＝1
2BC ＝2，SO ＝3，
∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.
11．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中 VA ＝
42－⎝⎛⎭
⎫23×3
2×232
＝12＝23，
S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
12．解：设AA 1的长为h ，连接OC 1. 在Rt △OAE 中，AE ＝2，AO ＝2，
故OE 2＝(2)2＋(2)2＝4. 故Rt △EA 1C 1中， A 1E ＝h －2， A 1C 1＝22，
故EC 21＝(h －2)2＋(22)2
.
在Rt △OCC 1中，OC ＝2，CC 1＝h ，OC 21＝h 2＋(2)2. 因为OE ⊥EC 1，所以OE 2＋EC 21＝OC 21，
即4＋(h －2)2＋(22)2＝h 2＋(2)2， 解得h ＝32， 所以AA 1的长为3 2.
B 级
1．选C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.
2．选D 依题意得，该几何体的左视图的面积等于22＋1
2×2×3＝4＋ 3.
3．解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好
为几何体的已知棱，设长方体的对角线A1C＝7，则它的主视图投影长为A1B＝6，左视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋(6)2＝2·(7)2，即a2＋b2＝8，
又a＋b
2≤
a2＋b2
2，当且仅当“a＝b＝2”时等式成立．
∴a＋b≤4.即a＋b的最大值为4.。