2014高考数学一轮复习冲刺训练提升：导数及其应用Word版含答案

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设曲线在点处的切线与直线垂直，则( )A ．2B ．C ．D ．【答案】D2．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( ) A ．012=+-y x B ．012=-+y x C ．022=-+y x D ．022=+-y x【答案】A 3．由曲线x y e =， x y e -=以及1x =所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 【答案】D4．已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>--+=)1(1)1(132)(3x ax x x x x x f 在点1=x处连续，则)]21([f f 的值为( )A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B5．已知函数()=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛'=4,sin cos 4ππf x x f x f 则( ) A ．2 B ．12-C ．1D ．0【答案】C 6．已知120201,cos 15sin 15M x dx N -==-⎰,则( )A ． M N <B ． M N >C ． M N =D ． 以上都有可能【答案】B7．曲线x x x f ln )(=的最小值为( )A ．1eB ．eC ． e -D ． 1e-【答案】D8．21()(2)3,()2f x f x x f ''=- 已知则＝( )A ．－12B ．－2C ．12D ．2【答案】B9．抛物线2(12)y x =-在点32x =处的切线方程为( )A ． y=0B ．8x －y －8=0C ．x=1D ．y=0或者8x －y －8=0【答案】B 10．曲线13-=x y在x=1处的切线方程为( )A ．22-=x yB ．33-=x yC ．1=yD ．1=x【答案】B 11．与直线的平行的抛物线的切线方程是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D12．曲线2y x =与直线y x =所围成的平面图形绕x 轴转一周得到旋转体的体积为( )A ．130π B ．115π C ．215π D ．16π 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．计算：2211x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰____________. 【答案】7ln 23- 14．函数y ＝f(x)在点P(5,f(5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f ′(5)＝____________ 【答案】215．过点A （0，2）与曲线相切的直线方程是 。

上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数321(02)3x y x x =-+<<图象上任意点处切线的斜率为k ，则k 的最小值是( ) A ． 1- B ． 0C ． 1D ．12【答案】A 2．曲线12-=x xy 在点（1，1）处的切线方程为( ) A ． 02=--y x B ． 02=-+y x C ． 054=-+y x D ． 054=--y x【答案】B3．曲线()ln f x x x =在点P （1，0）处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )A ．22111()()222x y +++=B ．22111()()222x y ++-=C ．22111()()222x y -++=D ．22111()()222x y -+-=【答案】C4．曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(-1,-4)或（1,0）D ．(-1,-4) 【答案】B5．设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则⎰2)(dx x f 的值为( )A ．43 B ．54 C ．65 D ．67 【答案】C6．设函数f ′（x ）=x 2+3x －4，则y=f （x+1）的单调递减区间为( )A ．（－4，1）B ．（－5，0）C ．（3,2-+∞）D ．（5,2-+∞）【答案】B7．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零【答案】D8．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( ) A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）【答案】B9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为 ( )A ．33B ．46C ．48D ．50【答案】C 10．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为( ) A ．( 1 , 0 )B ．( 2 , 8 )C ．( 1 , 0 )或(－1, －4)D ．( 2 , 8 )和或(－1, －4)【答案】C11．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( ) A ．4B ．14-C ．2D ．12-【答案】A12．曲线211y x =+在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．-9 B ．-3C ．9D ．15【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则n a =____________【答案】5)21(-n14．函数32x x y -=的单调增区间为 .【答案】2(0,)315．曲线y=3x 2与x 轴及直线x ＝1所围成的图形的面积为 ． 【答案】1 16．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。

导数的应用（二）一、选择题1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 A2．若函数y ＝f (x )可导，则“f ′(x )＝0有实根”是“f (x )有极值”的 ( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值， 所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0， 解得a ＜－3或a ＞6. 答案 B4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．－13B ．－15C ．10D ．15解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0, 1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案：A5．函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为( )．A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2解析 y ′＝e －x－x e －x＝－e －x(x －1)y ′与y 随x 变化情况如下：当x ＝0时，函数y 答案 A6．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2 C.ln22 D.－ln22解析 f ′(x )＝e x －a e －x，这个函数是奇函数，因为函数f (x )在0处有定义，所以f ′(0)＝0，故只能是a ＝1.此时f ′(x )＝e x －e －x ，设切点的横坐标是x 0，则e x 0－e －x 0＝32，即2(e x 0)2－3e x 0－2＝0，即(e x 0－2)(2e x 0＋1)＝0，只能是e x 0＝2，解得x 0＝ln2.正确选项为A. 答案 A7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析 若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则易得a ＝c .因选项A 、B 的函数为f (x )＝a (x ＋1)2，则[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝a (x ＋1)(x ＋3)e x ，∴x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，满足条件；选项C 中，对称轴x ＝－b2a＞0，且开口向下，∴a ＜0，b ＞0，∴f (－1)＝2a －b ＜0，也满足条件；选项D 中，对称轴x ＝－b2a＜－1，且开口向上，∴a ＞0，b＞2a ，∴f (－1)＝2a －b ＜0，与图矛盾，故答案选D. 答案 D 二、填空题8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________． 解析：由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，得x ＝0，或x ＝2. 又f (－2)＝－37，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (x )max ＝3，又f (x )≤a ，∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)9．函数f (x )＝x 2－2ln x 的最小值为________．解析 由f ′(x )＝2x －2x＝0，得x 2＝1.又x ＞0，所以x ＝1.因为0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，x＞1时f ′(x )＞0，所以当x ＝1时，f (x )取极小值(极小值唯一)也即最小值f (1)＝1. 答案 110．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围________． 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由已知条件Δ>0，即36a 2－36(a ＋2)>0， 解得a <－1，或a >2.答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)11．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析 (构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 4【点评】 本题考查了分类讨论思想构造函数，同时利用导数的知识来解决.12．已知函数f (x )的自变量取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[2，＋∞)，则m 的值为________．解析 g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x ≥2时，函数g (x )为增函数，因此g (x )的值域为[2＋m －ln2，＋∞)，因此2＋m －ln2＝2，故m ＝ln2. 答案 ln2 三、解答题13．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示．(1)求x 0的值； (2)求a ，b ，c 的值．解析 (1)由f ′(x )随x 变化的情况可知当x 0(2) f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a >0由已知条件x ＝1，x ＝2为方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0，的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，－2b 3a＝3，c 3a ＝2，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ： 3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解析：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4， ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5. ∴a ＝2，b ＝－4，c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，y 、y ′的取值及变化如下表：∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.15．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解析 (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19.所以，当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减， 在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4， 所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163.得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.16．设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k .问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．思路分析 先求导，通分后发现f ′(x )的符号与a 有关，应对a 进行分类，依据方程的判别式来分类．解析 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ＜－2时，Δ＞0，g (x )＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a ＞2时，Δ＞0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当0＜x ＜x 1时，f ′(x )＞0，当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0；当x ＞x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．(2)由(1)知，a ＞2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以，k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1，于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.由x 1x 2＝1得x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2＞1)．(*)再由(1)知，函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2＞1，所以x 2－1x 2－2ln x 2＞1－11－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .【点评】 本题充分体现了分类讨论思想.近几年新课标高考常考查含参数的导数问题，难度中等偏上，考生最容易失分的就是对参数的分类标准把握不准，导致分类不全等。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

3.2导数的应用(一)考情分析高考中多以解答题的形式考查，利用导数研究函数单调性、单调区间和极值点、极值的方法，通常驻综合性较强，难度中档或以上. 基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若()f x '>0，则函数)(x f y =在这个区间内单调递增；若()f x '<0, 则函数)(x f y =在这个区间内单调递减.2.函数的导数与极值（1）极大值：如果在0x 附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，且()f x '=0，那么0()f x 是极大值；（2）极小值：如果在0x 附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，且()f x '=0，那么0()f x 是极小值； 注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．2.(1)f ′(x )＞0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 3.求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． 题型一 求曲线切线的方程【例1】►已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在x ＝2处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)f ′(x )＝3x 2－8x ＋5f ′(2)＝1，又f (2)＝－2∴曲线f (x )在x ＝2处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5则切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)点， 则x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2，或x 0＝1，因此经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 【变式1】 若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值． 解 设y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于P (x 0，y 0)则y 0＝kx 0，①y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，②又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，③ 由①②③得：(3x 20－6x 0＋2)x 0＝x 30－3x 20＋2x 0， 即(2x 0－3)x 20＝0.∴x 0＝0或x 0＝32，∴k ＝2或k ＝－14.题型二 函数的单调性与导数 【例2】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3，[3，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3时，f (x )单调递减．【变式2】 已知函数f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．解 f ′(x )＝e x－a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x－a ≥0， 即f (x )在R 上递增，若a >0，e x －a ≥0，∴e x≥a ，x ≥ln a . 因此f (x )的递增区间是[ln a ，＋∞)． (2)由f ′(x )＝e x－a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x在x ∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2<x <3，∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时f ′(x )＝e x －e 3在x ∈(－2,3)上，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,3)上为减函数， ∴a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上单调递减． 题型三 利用导数解决不等式问题【例3】►设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递减单调递增故f(x)f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即e x－x2＋2ax－1＞0，故e x＞x2－2ax＋1.【变式3】已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)e x(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.(1)解由已知条件f(x)＝0无解，即x2＋mx＋m＝0无实根，则Δ＝m2－4m<0，解得0<m<4，实数m的取值范围是(0,4)(2)证明当m＝0时，f(x)＝x2e x设g(x)＝e x－x－1，∴g′(x)＝e x－1，g(x)，g′(x)随x变化情况如下：由此可知对于x∈即e x －x －1≥0，因此x 2(e x－x －1)≥0，整理得x 2e x ≥x 3＋x 2，即f (x )≥x 3＋x 2.重难点突破【例4】►设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，求函数f (x )的单调增区间．解析： 因为f (x )＝x (e x－1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)·(x ＋1)． 令f ′(x )＞0，即(e x－1)(x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0. 所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．巩固提高1．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )． A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15解析 由已知y ′＝3x 2，则y ′|x ＝1＝3 切线方程为y －12＝3(x －1)， 即y ＝3x ＋9. 答案 C2．函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( )． A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1)，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析 函数的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x由f ′(x )≤0，解得0＜x ≤1. 答案 A3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )． A ．1 B. 2 C.22D. 3解析 由已知y ′＝2x －1x ，令2x －1x＝1，解得x ＝1.曲线y ＝x 2－ln x 在x ＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.两直线x－y＝0，x－y－2＝0之间的距离为d＝22＝ 2.答案 B4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为________．答案－3.3 m/s5．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递增区间是________．解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＞0解得x＜0，或x＞2.答案(－∞，0)，(2，＋∞)。

【答案】解法一：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省， 设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵BD=40,AC=50－ x ,∴BC= BD2 CD2 x2 402
又设总的水管费用为 y 元，依题意有： y =3 a (50－x)+5 a x 2 402 (0 x 50)
【答案】1
16． lim f (x0 x) f (x0 ) =
x0
【答案】 f (x0 )
x
三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高考取导数问题的热门题型■特级教师张全函数与导数作为高中数学的中心内容，经常与其余知识联合起来，形成层次丰富的各种综合题，常波及的问题：研究函数的性质 ( 如求单一区间、求极值、最值 ) 、研究函数的零点 ( 或方程的根 ) 、求参数的取值范围、不等式的证明或恒建立问题，运用导数解决实质问题是函数应用的延长，因为传统数学应用题的地点被概率统计解答题占有，所以极少出现独自考察函数应用题的问题，但联合其余知识综合考察用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有表现．试题种类齐备，中、高档难度，突出对四大数学思想方法的考察．热门一利用导数研究函数性质的综合问题利用导数研究函数的单一性、极值和最值均是高考命题的要点内容，在选择题、填空题和解答题中都有波及．主要有以下两种考察形式：(1)研究详细函数的单一性、极值或最值，常波及分类议论思想．(2)由函数的单一性、极值或最值，求解参数的值或取值范围．[ 典题 1] [2017 ·四川成都模拟] 已知对于x 的函数 f ( x)＝ln x＋ a( x－1)2( a∈R)．(1)求函数 f ( x)在点 P(1,0)处的切线方程；(2)若函数 f ( x)有极小值，试求 a 的取值范围；(3) 若在区间 [1 ，＋∞ ) 上，函数 f ( x)不出此刻直线y＝ x－1的上方，试求 a 的最大值．[ 解] (1)f1x－ 1)(x>0)，′()＝＋2 (x x a∴f′(1)＝1，又 f (1)＝0，∴f ( x)在点P(1,0)处的切线方程为y＝ x－1.2ax－ 2ax＋ 1(2) f′(x) ＝x( x>0) ，令 g( x)＝2ax2－2ax＋1( x>0)，①当 a＝0时， f ′(x)＝0无解， f ( x)无极小值；②当a<0时，g(0)＝ 1>0，∴g( x) ＝ 0 有两解x1，x2，且x1<0<x2；当 0<<2时，(x )>0 ，′( )>0 ，当>2 时，(x)<0 ，′( )<0 ，此时f(x) 无极小值．x x g fx x x g f x1③当 a>0时，∵ g(0)＝1>0， g( x)的对称轴为x＝2，要使函数 f ( x)有极小值，则>0，即 4a2－ 8a>0.∴a<0或 a>2，∴ a>2.此时 g( x)＝0有两正解 x3， x4，不如设 x3≤ x4，则当 x3<x<x4时， g( x)<0，f ′(x)<0.当 x>x4时， g( x)>0， f ′(x)>0，此时f ( x)有极小值f ( x4)．综上所述， a 的取值范围为(2，＋∞)．(3)由题意， f ( x)≤ x－1， x≥1，即 ln x＋a( x－ 1) 2≤x－1，x≥1.下边证明： ln x≤ x－1， x>0.记 h( x)＝ln x－( x－1)＝ln x－ x＋1，x>0，11－x则 h′(x)＝x－1＝x， x>0，当 0<x<1 时，h′(x)>0 ，当 x>1时， h′(x)<0，∴ h( x)≤ h(1)＝0，①即 ln x≤x－1，x>0.①当 a≤0时， f ( x)≤ln x≤ x－1；②当 >0 时，取x >1＋1，a a则 f ( x)＝ln x＋ a( x－1)( x－1)>ln1＋1＋ a 1＋1－1( x－1)>ln 1＋ x－1＝ x－1，与题a a意矛盾．故 a 的最大值为0.1．判断函数的单一性，求函数的单一区间、极值等问题，最后究结到判断 f ′(x)的符号问题上，而 f ′(x)＞0或 f ′(x)＜0，最后可转变为一个一元一次或一元二次不等式问题．若含参数，则含参数的二次不等式的解法经常波及到参数的议论问题，只需掌握好下边的四个“议论点”，全部便水到渠成．分类标准一：二次项系数能否为零，目的是议论不等式能否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是议论二次函数图象的张口方向；分类标准三：鉴别式的正负，目的是议论二次方程能否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小．2．若已知f (x) 的单一性，则转变为不等式′( ) ≥0或′( ) ≤0在单一区间上恒建立fx fx问题．[2017 ·山东济南模拟 2 － ax， a ∈R.] 已知函数 f ( x ) ＝ x e(1) 当 a ＝ 1 时，求函数 y ＝ f ( x ) 的图象在点 ( － 1，f ( － 1)) 处的切线方程；(2) 议论 f ( x ) 的单一性．解： (1) 因为当 ＝ 1 时， f ( x ) ＝ x 2 －x， ′()＝2x e － x－ x 2 － x ＝ (2 x － x 2－ x，e e )e afx所以 f ( － 1) ＝ e ， f ′( －1) ＝－ 3e.进而 y ＝ f ( x ) 的图象在点 ( － 1，f ( － 1))处的切线方程为y － e ＝－ 3e( x ＋ 1) ，即 y ＝－ 3e x－ 2e.(2) f ′(x ) ＝2x e －ax －ax 2e －ax ＝(2 x － ax 2)e －ax .①当 a ＝ 0 时，若 x ＜0，则 f ′(x ) ＜ 0，若 x ＞ 0，则 f ′(x ) ＞0.所以当 a ＝ 0 时，函数 f ( x ) 在区间 ( －∞， 0) 上为减函数，在区间 (0 ，＋∞ ) 上为增函数．2222②当 a ＞ 0 时，由 2x －ax ＜ 0，解得 x ＜ 0 或 x ＞ a ，由 2x －ax＞0，解得 0＜ x ＜ a . 2 0， 2 上为增函数．所以 f ( x ) 在区间 ( －∞， 0) 与 ，＋∞ 上为减函数，在 aa2222③当 a ＜ 0 时，由 2x －ax ＜ 0，解得 a ＜ x ＜0，由 2x －ax ＞ 0，解得 x ＜ a 或 x ＞ 0.所以，当 a ＜0 时，函数 f ( x ) 在区间 －∞， 2 ， (0 ，＋∞ ) 上为增函数，在区间 2， 0 上a a为减函数；综上所述，当 a ＝ 0 时， f ( x ) 在 ( －∞， 0) 上单一递减，在 (0 ，＋∞ ) 上单一递加；当 a ＞ 0 时， f ( x ) 在 ( －∞， 0) ，2上单一递减，在 0， 2上单一递加；，＋∞ aa22当 a ＜ 0 时， f ( x ) 在 a ， 0 上单一递减，在 －∞， a ， (0 ，＋∞ ) 上单一递加．热门二 利用导数研究函数的零点或曲线的交点问题此类试题一般以含参数的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热门，一般有两种考察形式：(1) 确立函数零点、图象交点及方程根的个数问题．(2) 应用函数零点、图象交点及方程解的存在状况，求参数的值或取值范围问题．[ 典题 2]已知函数f(x)＝x ln x＋( a－1) x( a∈R)．1(1) 求函数f ( x) 在区间e，e上的最小值；(2) 若对于x的方程f(x ) ＝23－3x2在区间1a的， 2 上有两个不相等的实数根，务实数x2取值范围．[ 解] (1)f ′( ) ＝ lnx＋ (x>0)．x a－a由 f ′(x)＝0得 x＝e .当 x∈(0，e－a)时， f ′(x)<0， f ( x)为减函数；当 x∈(e－a，＋∞)时， f ′(x)>0， f ( x)为增函数．－ a 11上为增函数， f ( x)min＝f 1a－2①当 e< ，即a>1 时，f ( x) 在，e＝e ；e e e1－a≤e，即－ 1≤a≤1时，f ( x)在1－ a上为减函数．在[e－a， e] 上为增函数，②当≤e， ee ef ( x)min＝ f (e－a)＝－e－a；－ a时， f ( x)在1上为减函数， f ( x)min＝ f (e)＝e a.③当 e>e，即a<－ 1， eea－2， >－1，综上所述， f ( x)min＝e－ e－a，－ 1≤ ≤1，ae a，a<－1.3212(2) 由题知x>0，方程f ( x) ＝ 2x－ 3x在2，2上有两个不相等的实数根，即方程2x－3x1－ln x－ ( a－ 1) ＝ 0 在， 2 上有两个不相等的实数根．2令 g( x)＝2x2－3x－ln x－( a－1)，则142－3x－ 1g′(x)＝4x－3－x＝x( x>0) ，令 g′(x)＝0，得 x1＝－1( 舍去 ) ，x2＝ 1，所以g( x) 在(0,1)上是减函数，在 (1 ，＋∞) 421上是增函数，所以，若方程2x－ 3x－ln x－( a－1)＝0在2，2上有两个不相等的实数根，只需方程 22－3x－ ln x－(－1)＝0在1， 1 和 (1,2]上各有一个实根即可，x a21g 2≥0，解得 0< ≤ln 2 ，于是g，a g，故 a 的取值范围是(0，ln 2]．利用导数议论方程的根 ( 函数零点 ) 主要有两种方法：一是运用导数判断函数的单一性，借助零点存在性定理判断；二是将函数零点问题转变为函数图象的交点问题，利用数形联合来解决．m设函数 f ( x)＝ln x＋x， m∈R.(1)当 m＝e(e为自然对数的底数)时，求 f ( x)的极小值；x(2)议论函数 g( x)＝ f ′(x)－3零点的个数．e解： (1) 由题设，当m＝e时， f ( x)＝ln x＋x，x－e定义域为 (0 ，＋∞ ) ，则f′(x) ＝x2，由 f ′(x)＝0，得 x＝e.∴当 x∈(0，e)时， f ′(x)＜0， f ( x)在(0，e)上单一递减；当 x∈(e，＋∞)时， f ′(x)＞0， f ( x)在(e，＋∞)上单一递加，e∴当 x＝e时， f ( x)获得极小值 f (e)＝ln e＋e＝2，∴f ( x)的极小值为 2.(2) 由题设 (x1m xx ＞0)，)＝′()－＝－2－( g x fx3x x3令 g( x)＝0，得 m＝－1x3＋ x( x＞0)．31 3设φ ( x) ＝－3x＋x( x＞0) ，则φ ′(x)＝－ x2＋1＝－( x－1)( x＋1)，当 x∈(0,1)时，φ ′(x)＞0，φ( x)在(0,1)上单一递加；当 x∈(1，＋∞)时，φ ′(x)＜0，φ( x)在(1，＋∞)上单一递减．∴x＝1是φ( x)的独一极值点，且是极大值点，所以x＝1也是φ( x)的最大值点．2∴φ ( x) 的最大值为φ(1)＝3.又φ (0) ＝ 0，联合y＝φ ( x) 的图象 ( 如图 ) 可得，2①当 m＞时，函数 g( x)无零点；2②当 m＝3时，函数 g( x)有且只有一个零点；2③当 0＜m＜3时，函数g( x)有两个零点；④当 m≤0时，函数 g( x)有且只有一个零点．2综上所述，当m＞3时，函数 g( x)无零点；2当 m＝3或 m≤0时，函数 g( x)有且只有一个零点；2当 0＜m＜3时，函数g( x) 有两个零点．热门三利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题是近几年高考热门，常波及不等式恒建立、证明不等式及大小比较问题．(1) 不等式恒建立问题一般考察三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间 A 上恒建立(存在性)，求参数的取值范围．(2)证明不等式一般是证明与函数相关的不等式在某个范围内建立．(3) 大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式、三角式结构，可转变为用导数研究其单一性或最值的函数问题．[ 考察角度一 ]不等式的证明及恒建立问题[ 典题 3] [2017 ·辽宁沈阳质量监测] 已知函数 f ( x)＝ a ln x( a＞0)，e为自然对数的底数．(1) 若过点A(2 ，f (2)) 的切线斜率为2，务实数 a 的值；1(2)当 x＞0时，求证： f ( x)≥ a 1－x；x1(3)a a a 的取值范围．若在区间 (1 ， e) 上 e － e x＜0恒建立，务实数a a(1)[ 解 ]∵f ′(x)＝x， f′(2) ＝2＝ 2，∴a＝4.1(2)[证明]令 g( x)＝a ln x－1＋x，1 1则 g′(x)＝a x－x2.令 g′(x)＞0，得 x＞1， g′(x)<0，得0<x<1，∴g( x)在(0,1)上单一递减，在(1，＋∞)上单一递加．∴g( x)的最小值为 g(1)＝0，1∴f ( x)≥ a 1－x.x1a a(3) [ 解 ]由题意可知e＜e x，x－1化简得a＜ln x，x－1又 x∈(1，e)，∴ a＞ln x.x－1令 h( x)＝ln x，11则 h′(x)＝ln x－x－x＝ln x－1＋x，x22x1由(2) 知，当x∈ (1 ，e) 时， ln x－1＋x＞0，∴h′(x)＞0，即 h( x)在(1，e)上单一递加，∴h( x)＜ h(e)＝e－1，∴ a≥e－1.故实数 a 的取值范围为[e－1，＋∞)．求解不等式恒建即刻参数的取值范围问题，一般常用分别参数的方法，可是假如分别参数后对应的函数不便于求解其最值，或许求解其函数最值繁琐时，可采纳直接结构函数的方法求解．[ 考察角度二 ]等价转变法破解双参数存在性问题a32[典题 4]设 f ( x)＝x＋x ln x，g( x)＝ x－ x －3.(1)假如存在 x， x∈ [0,2] ，使得g( x ) －g( x ) ≥M建立，求知足上述条件的最大整数M；1212s， t ∈1，都有 f ( s)≥ g( t )建立，务实数 a 的取值范围．(2) 假如对于随意的2， 2[ 解] (1)存在 x，x∈ [0,2]，使得 g( x )－g( x )≥ M建立，等价于[ g( x )－ g( x )]≥M.121212max由＝32，得′(＝2＝2由′(，解得2g( x)x －x－33x－2x3xx－.；g x)3g x)<00<x<32由 g′(x)>0，解得 x<0或 x> .3又 x∈[0,2]，所以 g( x)在区间220，3上单一递减，在区间3， 2 上单一递加，285g( x)max＝g(2)＝1， g( x)min＝ g 3＝－27.85 112所以 [ g( x1) －g( x2)] max＝g( x) max－g( x) min＝ 1＋27＝27≥M，则知足条件的最大整数M＝4.s ， t ∈1，都有 f ( s)≥ g( t )建立，等价于在区间1(2) 对于随意的2， 22， 2 上，函数f ( x)min≥ g( x)max.由①可知在区间1， 2 上，g( x) 的最大值为g(2) ＝ 1. 21a2在区间2， 2 上，f ( x) ＝x＋x ln x≥1恒建立等价于a≥x－x ln x恒建立．设 h( x)＝ x－x 2ln x，x∈1，则 h′(x)＝1－2x·ln x－ x，易知 h′(x)在区间1 2，22，2上是减函数，又 h′(1)＝0，所以当1<x<2时， h′(x)<0；1当2<x<1 时，h′(x)>0.21所以函数 h( x)＝ x－ x ln x 在区间2， 1上单调递加，在区间[1,2] 上单一递减，所以(x ) max＝ (1) ＝ 1，h h所以实数 a 的取值范围是[1，＋∞)．双参数不等式问题的求解方法一般采纳等价转变法．本例 (1)第①问是“存在性”问题，转变方法是：假如存在x1， x2∈[0,2]使得 g( x1)－g( x ) ≥M建立，则可转变为M≤[g( x ) －g( x )]，即求解使不等式M≤g( x)－ g( x)min建即刻212max max的的最大取值；第②问是“恒建立”问题，转变方法是：假如对于随意的x1，2∈1， 2 ，M x2都有 f ( x )≥ g( x )建立，则可转变为在区间1，2上， f ( x)min≥ g( x)，求解获得实数 a 的取12max2值范围．已知函数 f ( x)＝ a x＋ x2－ x ln a( a>0，a≠1)．(1)求函数 f ( x)在点(0， f (0))处的切线方程；(2)求函数 f ( x)的单一递加区间；(3) 若存在x，x∈ [ － 1,1]，使得 | f ( x )－ f ( x )|≥e－1(e是自然对数的底数) ，务实数a1212的取值范围．解： (1) 对f ( x) 求导，得f′(x) ＝a x ln a＋2x－ln a，可得 f ′(0)＝0.因为 f (0)＝1，所以函数 f ( x)在点(0， f (0))处的切线方程为 y＝1.(2) 由①知，f ′()＝x ln＋2－ lna＝2x＋ ( x－1)ln .x a a x a a因为当 a>0，a≠1时，总有 f ′(x)在R上是增函数，又 f ′(0)＝0，所以不等式 f ′(x)>0的解集为(0，＋∞)，故函数 f ( x)的单一递加区间为[0，＋∞)．(3)因为存在 x1， x2∈[－1,1]，使得| f ( x1)－ f ( x2)|≥e－1建立，而当 x∈[－1,1]时，| f ( x1)－ f ( x2)|≤ f ( x)max－ f ( x)min，所以只需 f ( x)max－f ( x)min≥e－1即可．对于 x∈[－1,1]， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表所示．x－ 1( － 1,0)0(0,1)1 f ′(x)－0＋()1极小值＋ 1－ ln fax a＋ 1＋ ln a a所以 f ( x ) min ＝ f (0) ＝ 1， f ( x ) max ＝max{ f ( －1) ， f(1)} ．11因为 f (1)－f ( － 1) ＝( a ＋ 1－ ln a ) － a ＋ 1＋ ln a ＝ a －a －2lna ，11 21 2令 g ( a ) ＝ a －a － 2lna ( a >0) ，因为 g ′(a ) ＝ 1＋ a 2－ a＝1－a ≥0，所以()＝1a 在a ∈(0 ，＋∞ ) 上是增函数，而 g (1) ＝0，－ － 2lng aaa故当 a >1 时， g ( a )>0 ，即 f (1)> f ( － 1) ；当 0<a <1 时， g ( a )<0 ，即 f (1)< f ( － 1) ．所以当 a >1 时， f (1) － f (0) ≥e － 1，即 a － ln a ≥e － 1，函数 y ＝ a －ln a 在 a ∈ (1 ，＋∞ ) 上是增函数，解得 a ≥e ；1当 0<a <1 时， f ( － 1) － f (0) ≥e － 1，即 a ＋ ln a ≥e － 1，1 1 函数 y ＝ a ＋ln a 在 a ∈ (0,1) 上是减函数，解得0<a ≤ e .综上可知，所务实数 a 的取值范围为10，e ∪ [e ，＋∞ ) ．提示 达成课时追踪检测 (十七)。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题单元测试含答案一、导数及其应用多选题1．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．2．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B 对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为14327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++=B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.7．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．8．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．10．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1151x ⎫--∈-⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y xx=--和12xxye-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x，2x和3x，4x分别是11m xx=--和12xxme-=-的两个根，即y m=与11y xx=--和12xxye-=-交点的横坐标.对于函数11y xx=--，定义域为{}0x x≠，21'10yx=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x=时，1y=-；对于函数12xxye-=-，11'xxye--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y→+∞→-，0x=时，2y=-，1x=时，1y=-；故作出函数11y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

高效测试14：导数的应用(二)一、选择题1．函数f(x)＝x33＋x2－3x －4在[0,2]上最小值是( )A ．－173 B ．－103B C ．－4 D ．－643a 解析：f′(x)＝x2＋2x －3，f′(x)＝0，x ∈[0,2]只有x ＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103.可知最小值为－173.答案： A2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m 是常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．－11解析：由f′(x)＝0⇒x ＝0或2.∴f(0)＝m ，f(2)＝－8＋m ，f(－2)＝－40＋m ，∴m ＝3，f(－2)＝－37. 答案：A3．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6 B ．8 C ．10 D ．12解析：设小正方形边长为x ，铁盒体积为y. y ＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋2304x.y′＝12x2－384x ＋2304＝12(x －8)(x －24)．∵48－2x ＞0，∴0＜x ＜24.x (0,8) 8 (8,24) y′ ＋ 0－ y↗极大值8192↘∴x ＝8时，ymax ＝8192. 答案：B4．(2013·潍坊期末)函数f(x)＝ex －x(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1解析：因为f(x)＝ex －x ，所以f′(x)＝ex －1.令f′(x)＝0，得x ＝0.且当x ＞0时，f′(x)＝ex －1＞0，x ＜0时，f′(x)＝ex －1＜0，即函数在x ＝0处取得极小值，f(0)＝1，又f(－1)＝1e ＋1，f(1)＝e －1，综合比较得函数f(x)＝ex －1在区间[－1,1]上的最大值是e －1.故选D.答案：D5．函数f(x)＝12ex(sinx ＋cosx)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，e π22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，e π22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，e π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，e π2解析：f′(x)＝12ex(sinx ＋cosx)＋12ex(cosx －sinx)＝excosx ，0≤x≤π2时，f′(x)≥0，∴f(x)是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数．∴f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f(x)的最小值为f(0)＝12.∴f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2.答案：A6．(2013·潍坊质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c 在定义域x ∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：①f(x)是奇函数；②若f(x)在[s ，t]内递减，则|t －s|的最大值为4；③若f(x)的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝0；④若对∀x ∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，则k 的最大值为2.其中正确命题的个数为( )A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意得函数过原点，则c ＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax ＋b.则必有⎩⎪⎨⎪⎧f′1＝3＋2a ＋b ＝－1，f′－1＝3－2a ＋b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－4.所以f(x)＝x 3－4x.令f′(x)＝3x2－4＝0得x ＝±233.则函数在[－2,2]上的最小值是负数． 由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B. 答案：B 二、填空题7．若f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a 的取值范围为__________．解析：由f′(x)＝6x2－12x ＝0，得x ＝0，或x ＝2. 又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5， ∴f(x)max ＝3.又f(x)≤a，∴a≥3. 答案：[3，＋∞)8．(2013·湖州调研)设函数f(x)＝ax3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a 的值为__________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立．当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a≥4.当x ＜0，即x ∈[－1,0]时，同理，a≤3x2－1x3.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上，可知a ＝4.答案：49．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是__________．解析：如图，设AD ＝x(0＜x ＜1)，则DE ＝AE ＝x ， ∴梯形的周长为x ＋2(1－x)＋1＝3－x.又S △ADE ＝34x2， ∴梯形的面积为34－34x2.∴s ＝433×x2－6x ＋91－x2(0＜x ＜1)．∴s′＝－833×3x －1x －31－x22.令s′＝0得x ＝13或3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s′＜0，s 递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s′＞0，s 递增；故当x ＝13时，s 的最小值是3233. 答案：3233三、解答题10．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b ，是否存在实数a 、b ，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．解析：显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax ＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝4(舍去)． (1)当a ＞0时，如下表：x (－1,0) 0 (0,2) f′(x) ＋ 0 － f(x)↗最大值↘∴当x ＝0时，又f(－1)＝－7a ＋3＞f(2)＝－16a ＋3， ∴最小值f(2)＝－16a ＋3＝－29，a ＝2. (2)当a ＜0时，如下表：x (－1,0) 0 (0,2) f′(x) － 0 ＋ f(x)↘最小值↗∴当x ＝0时，f(x)取得最小值，∴b ＝－29. 又f(－1)＝－7a －29＜f(2)＝－16a －29， ∴最大值f(2)＝－16a －29＝3，a ＝－2.综上，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.11．某商场销售某种商品的经验表明：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：(1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而，f ′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x) ＋ 0 － f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝.所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．12．设f(x)＝ln x ，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g(1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g(a)－g(x)＜1a对任意x ＞0成立．解析：(1)由题设知f(x)＝lnx ，g(x)＝lnx ＋1x，∴g′(x)＝x －1x2，令g′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，因此，x ＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.(2)g(1x)＝－lnx ＋x ，设h(x)＝g(x)－g(1x )＝2lnx －x ＋1x ，则h′(x)＝－x －12x2， 当x ＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g(1x)；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)＜0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x ＜1时，h(x)＞h(1)＝0， 即g(x)＞g(1x)；当x ＞1时，h(x)＜h(1)＝0， 即g(x)＜g(1x)．(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)－g(x)＜1a ，对任意x ＞0成立⇔g(a)－1＜1a，即lna ＜1，从而得0＜a ＜e.。

第三章 导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算突破点(一) 导数的运算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式 原函数 sin x cos x a x (a >0) e x log a x (a >0，且a ≠1)ln x 导函数cos x－sin_xa x ln_ae x1x ln a1x4.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”已知函数的解析式求导数本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算；2.导数的几何意义.[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e ； (5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1.[解] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2 ＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(5)y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2] (1)(2016·济宁二模)已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一](2017·东北四市联考)已知y ＝ 2 017，则y ′＝( ) A.12 2 017B ．－12 2 017C.2 0172 017D ．0解析：选D 因为常数的导数为0，又y ＝ 2 017是常数函数，所以y ′＝0. 2.[考点二](2016·大同二模)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3.[考点二](2017·湖北重点中学月考)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.故选C.4.[考点二]在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096.答案：4 0965.[考点一]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x； (4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .突破点(二) 导数的几何意义基础联通 抓主干知识的“源”与“流”函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求切线方程[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程(高考常考类型)，则点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程，则切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．[提醒] “过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． [答案] (1,1)求参数的值[例3] 直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝xD ．y ＝－2x解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2.[考点三]曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3.[考点二]在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x +1上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝1，故点M 的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f (x )＝a x ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f (x )＝a xln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a xln x ＋a xx.又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案：35.[考点二]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)6.[考点一]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2016·全国甲卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1.根据题意，有⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－14．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析：选C∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．2．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析：选C∵y＝sin x＋e x，∴y′＝cos x＋e x，∴y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 3．(2016·安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题可知f ″(x 0)＝0，即4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.4．(2016·贵阳一模)曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b 的值为( )A ．－12eB ．－2e C.2e D.12e解析：选D y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e，∴a b ＝12e ，故选D.5．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a e x 图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)．f ′(x )＝－1a e x ，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.答案：e 2[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C 由题可知，f (π)＝－1π，f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π. 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 3．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1 B.2 C.22D. 3 解析：选B 由题可得，y ′＝2x －1x .因为y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以由2x －1x ＝1，得x ＝1，则P 点坐标为(1,1)，所以曲线在点P 处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝2，即点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为 2. 4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 5．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：选B ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x (e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x (e －x ＋1)2－cos(－x )＝0，∴f (2 017)＋f (－2 017)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.二、填空题7．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(2)，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意得f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，则f ′(2)＝4＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x .答案：f (x )＝x 2－8x8．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)10.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)解析：(1)依题意，f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2， 故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ，h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1) 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.第二节导数与函数的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.突破点(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时，f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)与0的大小关系来确定函数f(x)的单调性图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判断可导函数f(x)在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性[例1]已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a2a时，f′(x)<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧]导数法证明或讨论函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)得出结论：当f ′(x )>0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，求函数f (x )的单调区间．[解] 对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x2－1x ，由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.所以f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)． [方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点二]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，所以f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.2.[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.3.[考点二]函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．4.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0， 即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 5.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24， 令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；(3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．[解](1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f(x)＝x3－ax－1，所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a＝3.应用结论“函数f(x)在(a，b)上单调递增⇔f′(x)≥0恒成立；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇔f′(x)≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0.[易错提醒]比较大小或解不等式[例2](1)若0<x1<x2<1，则()A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e x x 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C.(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax ，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－(2x 2＋4x )或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1<x <2，则－16<g (x )<－6，∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.2.[考点二](2016·南昌三模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若在△ABC 中，角C 是钝角，则( ) A ．f (sin A )>f (cos B ) B ．f (sin A )<f (cos B ) C ．f (sin A )>f (sin B ) D ．f (sin A )<f (sin B )解析：选A ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，又A 、B 都是锐角，且A ＋B <π2，∴0<A <π2－B <π2，∴sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，故f (sin A )>f (cos B )，故选A.3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案：(－3，－1)∪(1,3)4.[考点一]已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意可得f ′(x )≥0在x ∈R 上恒成立，所以Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝4(m 2－6m ＋8)≤0，解得2≤m ≤4.答案：[2,4]5.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则f (x )<3x －15的解集即为g (x )<0的解集．又g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以g (x )<g (4)，故x >4.所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x . 因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D.2．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．3.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．4．若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．解析：∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )<f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1<1－x <x 2－1<1，解得1<x <2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3 C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x>0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x ) 极大值 极小值此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x. ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9， 即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373.所以－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9. 第三节。

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为________. 解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18＝6(x 2－2x －3) ＝6(x －3)(x ＋1)，由f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1； 由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜3，故函数f (x )在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61. 答案 －612.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值点. 答案 03.(2015·泰州调研)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则b 的取值范围是________.解析 由f (x )＝x 3－3bx ＋3b ，得f ′(x )＝3x 2－3b .由已知可得f ′(x )＝3x 2－3b 在(0，1)上与x 轴有交点，且满足⎩⎨⎧f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，即⎩⎨⎧b ＞0，3－3b ＞0.∴0＜b ＜1.∴b 的取值范围是(0，1). 答案 (0，1)4.(2015·扬州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则 ⎩⎨⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －75.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0. ∴a ＞6或a ＜－3.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)6.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________.解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)7.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案 328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在x ＝0处有极大值1，在x ＝2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为________，________，________，________.解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，则⎩⎨⎧f （2）＝0，f ′（2）＝0，f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，d ＝1，c ＝0，解得a ＝14，b ＝－34，c ＝0，d ＝1.答案 14 34 0 1 二、解答题9.(2016·徐州一检)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，函数f (x )＝ax －1＋ln x 在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值.解 由题意f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a .∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，∴0＜－1a ＜e ，由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜－1a，由f ′(x )＜0，解得－1a ＜x ＜e.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e .∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.10.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0).(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞). f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0， 当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间为(－r ，r ).(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减.因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案 －1312.(2016·南通调研)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析 若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数 a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，10313.(2015·太原二模)已知f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )是函数f (x )的导函数，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(－1)＝f ′(a )＝0，∴当a ＜－1时，x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；a ＜x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.当－1＜a ＜0时，x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极大值，符合题意.当a ＞0时，x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＞a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.∴实数a 的取值范围是(－1，0). 答案 (－1，0)14.(2015·南京、盐城调研)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x ＋ln x －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，x ∈(0，＋∞).因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14. 又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0. (2)因为f (x )＝ax ＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，x ∈(0，＋∞). 令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值. ②若0＜a ＜e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0， 函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时， f ′(x )＞0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值a e.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a e.。

华桥大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．dx xe 11⎰的取值为( ) A ．1 B ．11-eC ．211e-D ．e【答案】A2．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为( ) A ．f ’(x 0) B ．2 f ’(x 0)C ．-2 f ’(x 0)D ．0【答案】B 3．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为( ) A ．3 B ．25 C ．2 D ．23 【答案】C4．定积分ln 2x e dx ⎰的值为( )A ．1-B ． 2eC ．2e 1-D ．1【答案】D5．已知f(3)=2,f ′(3)=－2,则3lim→x 3)(32--x x f x 的值为( )A ．－4B ．8C ．0D ．不存在【答案】B 6．曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3-，则点P 的坐标为( )A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．)49,23(D ．（49,23-）【答案】D7．若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=( ) A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】B8．设平面区域D 是由双曲线的两条渐近线和抛物线y 2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部）.若点（x ，y ) ∈ D ,则x + y 的最小值为( ) A ． -1 B ．0C ． 1D ．3【答案】B 9．已知曲线32114732y x x x =++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216sin 17α=，则此切线的方程为( )A ．470x y -+=或54606x y --= B ． 54606x y --= C ．470x y --=或54606x y --= D ．470x y --=【答案】C 10．设曲线11x y x +=-在点 (3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( ) A ．2 B ． 2- C ． 12- D ． 12【答案】B 11．设,sin 2x e yx -=则y '=( )A ．2cos xe x - B ．2sin xe x - C ．2sin xe xD ．2(sin cos )xex x -+【答案】D12．由曲线y=x ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( )A ．103B ．4C ．163D ．6【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知函数31()`(1)503f x x f x x =-++，则`(1)f =____________. 【答案】114．(sin cos )a x x dx π=+⎰则二项式6(展开式中含2x 项的系数是 . 【答案】192-15．已知直线ex y =与函数x e x f =)(的图象相切，则切点坐标为 。

导数及其应用导数的运算1. 几种常见的函数导数：①、c '= （c 为常数）； ②、n(x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ；⑤、x(a)'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .2. 求导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u注：① v u ,必须是可导函数. *3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'•'=' 或 '•'='x u x u y y一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义：0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率；函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=-1.（2009全国卷Ⅱ理）曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为( )A . 20x y --=B . 20x y +-=C .450x y +-=D . 450x y --= 2.【2012高考广东理12】曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ．变式一：3.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A ．4B ．14-C ．2D ．12- 4.【2009安徽卷理】已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A .21y x =-B .y x =C .32y x =-D .23y x =-+变式二：5.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.【2009陕西卷理】设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 .7.（2010辽宁理数）已知点P 在曲线y =41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A 、[0,4π) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ变式三：8.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )A .1B . 2C .－1D .－2 9.【2009江西卷文】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或710.（2010全国卷理数2）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =A 、64B 、32C 、16D 、8 11.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分） 设1()(0)xxf x ae b a ae =++>. （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值. 12. 【2009福建卷理】若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .二、求单调性或单调区间1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(x f y =在某个区间D 内可导，如果)(x f '＞0，则)(x f y =在区间D 上为增函数； 如果)(x f '＜0，则)(x f y =在区间D 上为减函数； 如果)(x f '=0恒成立，则)(x f y =在区间D 上为常数.2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(x f '＞0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的增区间；不等式)(x f '＜0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的减区间.1、函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( )A . )2,(-∞B .(0,3)C .(1,4)D . ),2(+∞2.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 3.（2009安徽理）（本小题12分） 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.4.【2009天津卷理】（本小题满分12分）已知函数22()(23)(),xf x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； (2)当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.三、求函数的极值与最值1、极值的判别方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，① 如果在0x 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，那么)(0x f 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件为0x 点两侧导数异号，而不是)(x f '=0. 2、最值的求法：求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1) 求 f (x ) 在区间 (a ，b ) 内的极值(极大值或极小值)；(2) 将 y = f (x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a )、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.【2012高考陕西理7】设函数()xf x xe =，则（ ）A . 1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C . 1x =-为()f x 的极大值点D . 1x =-为()f x 的极小值点[学 2.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.3.【2012高考重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.4.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值.（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 5．【2011·江苏高考·Ｔ17】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点，设)(cm x FB AE ==.（1）某广告商要求包装盒的侧面积S )(2cm 最大，试问x 应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V )(3cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.四、判断函数的零点1.（2010天津理数）函数f(x )=23xx +的零点所在的一个区间是 A .（－2，－1）； B .（－1,0）； C .（0,1）； D .（1,2） 2.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =( )A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点；B .在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点；C .在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点；D .在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.3.【2012高考全国卷理10】已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝A .－2或2 ；B .－9或3 ；C .－1或1；D .－3或14.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y = 的极值点. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．五、导数与图像1．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nm f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 A ．1,1m n == B ．1,2m n == C ．2,1m n == D ．3,1m n ==2.（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为六、导数与不等式利用导数求解（证明）不等式 主要方法是：将不等式()()t x g x ≥左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数()()()f x t x g x =-，通过对()f x 求导，根据()f x '的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明.1.（2011·江西高考理科·Ｔ4）若()224ln f x x x x =--，则()f x '＞0的解集为A ．()0,+∞B . ()()1,02,-⋃+∞C . ()2,+∞D . ()1,0-2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （－1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ， 则f （x ）＞2x ＋4的解集为A .（－1，1）B .（－1，＋∞）C .（－∞，－1）D .（－∞，＋∞）3.【2009江西卷理】（本小题满分12分）设函数()xe f x x=(1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 若0k >，求不等式()f '()(1)()0x k x f x +->的解集．o xoxb aoxo xb y4.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分.设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[10],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II)证明：()21102f x -≤≤-5.（2009全国卷Ⅱ理）(本题满分12分) 设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()21224In f x ->6.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f (x )=21x 2－ax ＋(a －1)ln x ，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--.7.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.8.【2012高考新课标理21】（本题满分12分）已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.9.【2012高考辽宁理21】（本小题满分12分) 设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++∈为常数，曲线()y f x =与直线32y x =在(0，0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6xf x x <+.10.【2012高考山东理22】(本小题满分13分) 已知函数ln ()xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.七、求参数范围1.（2009北京理）（本小题共13分）设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.2．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.3. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.4．（2011·北京高考理科·T18）(13分)已知函数2()()xkf x x k e=-.（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e≤，求k 的取值范围.5.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x =1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.6.（2011·浙江高考理科·Ｔ22）（本题满分14分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数．7.【2012高考浙江理22】(本小题满分14分) 已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+．(Ⅰ) 证明：当0≤x ≤1时，(ⅰ) 函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0；(Ⅱ) 若－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．8.【2012高考湖南理22】（本小题满分13分）已知函数()f x =axe x =-，其中a ≠0.(1) 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.(2) 在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ， 问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.9.【2012高考天津理20】(本题满分14分) 已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑=<+--ni n i 12)12ln(122（*N n ∈）.10.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=．（1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q ，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．导数及其应用__答案一、求曲线的切线（导数几何意义）1、B ；2、012=+-y x ；3、A ；4、A ；5、（－2，15）；6、－2；7、D ；8、B ；9、A ；10. A .11、【解析】（I ）设(1)xt e t =≥；则2222111a t y atb y a at at at -'=++⇒=-=， ①当1a ≥时， ()f x 的最小值为1a b a++.②当01a <<时， ()f x 的最小值为2b +. （II ）221,2a b e ==； 12、{}|0a a <. 二、求单调性或单调区间1、D ；2、(1,11)-；3、①当0a <<()f x 在(0,)+∞上是增函数.②当a =时，()f x 在(0,)+∞上也是增函数. ③当a >()f x 在和)+∞上单调递增， 在是上单调递减.4、（I ）3e ；（II ）（1）a 若＞32，函数的极大值为.3)2()2(2)(2aae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数函数的极小值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数（2）a 若＜32，则函数的极大值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在数函数的极小值为.3)2()2(2)(2aae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数三、求函数的极值与最值1、D ；2、2；3、（1）1a =-；（2）()f x 在1x =处取得极小值()13f =.4、（I ）2a =；（II ）当4x =时，函数()f x 取得最大值42.5、（1）当15=x 时，S 取得最大值.（2）当20=x 时取最大值，此时21=a h 四、判断函数的零点1、B ；2、D ；3、A ；4、（1）==3a b -0，；（2）()g x 的极值点是－2；（3）当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点.五、导数与图像1、m=1，n=2；2、A ；3、A .六、导数与不等式1、C ；2、B .3、 (1) ()f x 的单调增区间是[1,)+∞； 单调减区间是(,0)(0,1]-∞，.(2)当 01k <<时， 解集是1{1}x x k <<；当 1k =时，解集是∅；当 1k >时， 解集是1{1}x x k<<.4.(1)略；(2)由题意有()22223630f x x bx c '=++=．．．．．．．．．．．．①又()32222233f x x bx cx =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②由①、②消去b 可得()32221322cf x x x =-+．又2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈-，2110()2f x ∴-≤≤-.5、解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x ++'=+=>-++，令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-. 由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩，得102a <<⑴ 当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵ 当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数； ⑶ 当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-，则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴ 当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵ 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减.()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时，故()22122()4In f x h x -=>． 6、解析： (1)()f x 的定义域为(0,)+∞. ()f x'2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==2分 （i ）若11a -=，即2a =，则()f x '2'(1)()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞单调增加.(ii) 若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(iii) 若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(2) 考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+则211()(1)(1)11)a a g x x a x a x x--'=--+≥--=- 由于1<a <5，故()0g x '>，即g(x )在(4， ＋∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---·········12分7、（1）()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减.(2)3223'()(3)(36)[(6)].xx x f x x x ax b ex x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].xf x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==∴3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=- 故βα-==又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα->8、解：（1）()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+，且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥，得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln(0)F x x xx x =->；则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>则当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e 9、（1）b=－1，=0a（2）证：首先由均值不等式得：当>0x 时，)+11<+1+1=+2x x +12x再次记()()9=-+6xh x f xx ，则()()()()()22215454+654'=<-+14+1+6+6+6x h x x x x x x ()()()()32+6-216+1=4+1+6x x x x ， 令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，()()2'=3+6-216<0g x x因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，∴()'<0h x因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时， ()9<+6xf x x …12分 10、解：（Ⅰ）k=1；（Ⅱ）()f x 的增区间为（0，1）；减区间为（1，)+∞.（Ⅲ）21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=⋅--，先研究1ln x x x --，再研究1x x e+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=，当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 . ∴22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，∴()j x 在(0，)+∞单减，∴()(0)1j x j <=，即11x x e+<综①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+.七、求参数范围1、（Ⅰ）y x =；（Ⅱ）由()f x'()()'10kxf x kx e =+=，得()10x k k=-≠， 若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-，即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当11k-≥，即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-.2、（Ⅰ）当时，34=a 令0)(='x f ，则03842=+-x x .解得21,2321==x x ， 列表得∴21=x 是极小值点，22=x 是极大值点. （Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合222)1(21)(ax axax e x f x+-+='与条件a >0，知0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此.0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合a>0，知10≤<a .3、（Ⅰ）1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x =++，∴22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=. ① 设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x )递减.而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得21()01h x x >-； 当x ∈(1，＋∞)时，h(x ) < 0，可得211x - h （x ）>0从而当x >0，且x ≠1时，f （x ）－（1ln -x x ＋x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x ＋xk.② 设0< k<1.由于2(1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下， 且244(1)0k ∆=-->，对称轴x =111k >-.当x ∈(1，k -11)时，(k －1)(x 2 ＋1)＋2x >0， 故h '(x ）>0，而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h(x ) > 0，可得211x-h(x ) < 0，与题设矛盾. ③设k ≥1. ∵ x >0且x ≠1，∴此时2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0，而h （1）=0， 故当x ∈（1，＋∞）时，h （x ）>0，可得211x - h （x ）<0，与题设矛盾. 综合得，k 的取值范围为（－∞，0]4、 (Ⅰ)当k>0时，()f x 的单调增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞；单调减区间是(,)k k -.当0k <时，()f x 的单调减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞；单调增区间是(,)k k -.（Ⅱ）当0k >时，因为11(1)k kf k ee ++=>，∴不会有(0,)x ∀∈+∞，1()f x e≤. 当0k <时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e -=.∴1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤等价于241()k f k e e -=≤，解得102k -≤<. 故当(0,)x ∀∈+∞，1()f x e ≤时，k 的取值范围是1[,0)2-. 5、解（Ⅰ） 1.a =（Ⅱ）①当2a ≥时，()f x 的单调增区间为(0,).+∞②当02a <<时，()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 6、（Ⅰ）∴a e = 或3a e =.（Ⅱ） ①当01x <≤时，对于任意的实数a ，恒有2()04f x e ≤<成立， ②当13x e <≤，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤，解得33e a e -≤≤+ 由（Ⅰ）知'()()(2ln 1)af x x a x x =-+-，令 ()2ln 1ah x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且(3)2ln(3)12ln(3)13ah e e e e=+-≥+-=2(ln 30e ->. 又()h x 在（0，＋∞）内单调递增，∴函数()h x 在（0，＋∞）内有唯一零点，记此零点为0x ， 则013x e <<，01x a <<.从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x >；当0(,)x x a ∈时，'()0f x <；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >， 即()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增.∴要使2()4f x e ≤对](1,3x e ∈恒成立，只要 2200022()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f x x a x e f e e a e e ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩ 成立.000()2ln 10ah x x x =+-=，知0002ln a x x x =+ （3）将（3）代入（1）得232004ln 4x x e ≤，又01x >，注意到函数23ln x x 在[1，＋∞)内单调递增，故01x e <≤ 再由（3）以及函数2x ln x ＋x 在（1， ＋∞)内单调递增，可得13a e <≤. 由（2）解得，33ln(3)ln(3)e a e e e -≤≤+∴33ln(3)e a e e ≤≤ 综上，a 的取值范围为33ln(3)e a e e ≤≤.7、 (Ⅰ) (ⅰ)()2122f x ax b '=-．当b ≤0时，()2122f x ax b '=-＞0在0≤x ≤1上恒成立，此时()f x 的最大值为：()1423f a b a b a b =--+=-＝|2a －b |﹢a ；当b ＞0时，()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断，此时()f x 的最大值为：()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b af x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，＝|2a －b |﹢a ；综上所述：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) 要证()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0，即证()g x ＝－()f x ≤|2a －b |﹢a ． 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ，∵()342g x ax bx a b =-++-，∴令()212206bg x ax b x a'=-+=⇒=． 当b ≤0时，()2122g x ax b '=-+＜0在0≤x ≤1上恒成立，此时()g x 的最大值为：()03g a b a b =-<-＝|2a －b |﹢a ；当b ＜0时，()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断，()max max{()1}6bg x g g a=，（） 4max{2}36463662bb a b b a a bb a ba b ab a b a =--⎧≤-⎪=⎨>⎪-⎩，，，≤|2a －b |﹢a ；综上所述：函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a ．即()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ，且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比－(|2a －b |﹢a )要大．∵－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，∴|2a －b |﹢a ≤1． 取b 为纵轴，a 为横轴．则可行域为：21b a b a ≥⎧⎨-≤⎩和231b aa b <⎧⎨-≤⎩，目标函数为z ＝a ＋b ．作出可行域，由图易得：当目标函数为z ＝a ＋b 过P(1，2)时，有max 3z =． ∴所求a ＋b 的取值范围为：(]3-∞，．8、解：（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1axe x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,axf x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当 111ln 1a a a-≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--，则()1tF t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而21()21()10a x x ea x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- ∴1()0,x ϕ<2()0.x ϕ> 因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-. 故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 9、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-，得1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（Ⅱ）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥= …………（*） (1)1ln 200g k k =-+≥⇒>， 1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k g x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾 ②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*）， ∴实数k 的最小值为12（Ⅲ）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取2(1,2,3,,)21x i n i ==-：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑ 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121n i i i i n =-++-<-+-<--∑. 10、（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，即1a =m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x m f x x x x==++，设(),o o P x y ，则2002020202)()2(||x m x x y x PQ ++=-+=m m m m m x m x 2||2222222220220+=+≥++= 当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2 当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m （2）由()()120m y f x kx k x x=-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，若0m >，11k m >-，函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=， 即1)1(11---±=k k m x ； 若0m <，11k m <-，函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=， 即1)1(11---±=k k m x ； 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=， 11k m=-， 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11 综上，①当1k =时， 函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； ②当11k m >-(0m >)，或11k m <-（0m <）时，函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=k k m x ；③当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11.。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题(讲义及答案)附解析一、导数及其应用多选题1．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.2．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2mx f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.4．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪>⎪⎩，即00b b ⎧>⎪⎪>，即0b >>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.5．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．6．某同学对函数()sin e ex xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1xxx f x e e-=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e ex xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且 ()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误.【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。

2014年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用12精品训练 理（含解析）新人教B 版[命题报告·教师用书独具]1．(2012年高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案：B2．(2012年高考陕西卷)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 解析：利用导数法求解．∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x.由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． ∴x ＝2为f (x )的极小值点． 答案：D3．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x ) >0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C4．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋b x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．正确选项为C.答案：C5．已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln|x | B ．f (x )＝x 2－ln|x | C ．f (x )＝|x |－2ln|x | D ．f (x )＝|x |－ln|x |解析：经分析知，函数正的极小值点的横坐标应小于1，对四个选项求导可知选B 项． 答案：B 二、填空题6．(2013年扬州检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由f ′(x )≥0，得m ≥－3x 2－2x ，令g (x )＝－3x 2－2x ，则g (x )＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13≤13.∴m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 7．(2013年济宁模拟)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b .当b ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )无极值． 当b >0时，令3x 2－6b ＝0得x ＝±2b .由函数f (x )在(0,1)内有极小值，可得0<2b <1， ∴0<b <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝ln x ＋1由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在 [t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或者t <3<t ＋1，得0<t <1或者2<t <3.答案：(0,1)∪(2,3) 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题易知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，f＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23和(1,2]． 11．(2013年兰州调研)已知实数a >0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32. (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求实数a 的值．解析：(1)f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a .令f ′(x )＝0，得3ax 2－8ax ＋4a ＝0. ∵a ≠0，∴3x 2－8x ＋4＝0，∴x ＝23或x ＝2.∵a >0，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23和(2，＋∞)；∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)∵当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝23时取得极大值，即a ·23⎝ ⎛⎭⎪⎫23－22＝32.∴a ＝27.12．(能力提升)已知函数f (x )＝1x＋a ln(x ＋1)．(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间和极值；(2)若f (x )在[2,4]上为单调函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)由x ≠0且x ＋1>0得函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝－1x 2＋2x ＋1＝2x 2－x －1x 2x ＋＝x －x ＋x 2x＋，由f ′(x )>0得－1<x <－12或x >1，由f ′(x )<0得－12<x <0或0<x <1，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12和(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和(0,1)． f (x )和f ′(x )随x 的变化情况如下表：由表知f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＝－2－2ln 2，极小值为f (1)＝1＋2ln 2.(2)f ′(x )＝ax 2－x －1x 2x ＋，若f (x )在区间[2,4]上为增函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≥0恒成立，即ax 2－x －1x 2x ＋≥0，则a ≥x ＋1x 2，当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≤34，所以a ≥34.若f (x )在区间[2,4]上为减函数，则当x ∈[2,4]时，f ′(x )≤0恒成立，即ax 2－x －1x 2x ＋≤0，则a ≤x ＋1x 2， 当x ∈[2,4]时，x ＋1x 2＝1x ＋1x 2≥516，所以a ≤516. 综上得a ≥34或a ≤516.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年长春模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，且满足x 1∈(－1,1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－11,3)D ．(－16，－8)解析：依题意得，f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－2＋a －＋b ＝1－a ＋b >0，f＝12＋a ＋b ＝1＋a ＋b <0，f ＝22＋2a ＋b ＝4＋2a ＋b <0，f＝42＋4a ＋b ＝16＋4a ＋b >0，如图，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，经验证得：当a ＝－5，b ＝4时，z ＝a ＋2b 取得最大值3；当a ＝－3，b ＝－4时，z ＝a ＋2b 取得最小值－11.于是z ＝a ＋2b 的取值范围是 (－11,3)，故选C.答案：C2．(2013年广州模拟)已知函数f (x )＝ln(2ax ＋1)＋x 33－x 2－2ax (a ∈R )．(1)若x ＝2为f (x )的极值点，求实数a 的值；(2)若y ＝f (x )在[3，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (3)当a ＝－12时，方程f (1－x )＝－x 33＋b x有实根，求实数b 的最大值．解析：(1)f ′(x )＝2a 2ax ＋1＋x 2－2x －2a ＝x [2ax 2＋－4a x －a 2＋2ax ＋1.因为x ＝2为f (x )的极值点，所以f ′(2)＝0， 即2a4a ＋1－2a ＝0，解得a ＝0. (2)因为函数f (x )在区间[3，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )＝x [2ax 2＋－4a x －a 2＋2ax ＋1≥0在区间[3，＋∞)上恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝x (x －2)≥0在[3，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[3，＋∞)上为增函数，故a ＝0符合题意．②当a ≠0时，由函数f (x )的定义域可知，必须有2ax ＋1>0对x ≥3恒成立，故只能a >0， 所以2ax 2＋(1－4a )x －(4a 2＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立． 令函数g (x )＝2ax 2＋(1－4a )x －(4a 2＋2)，其对称轴为x ＝1－14a，因为a >0，所以1－14a<1，要使g (x )≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，即g (3)＝－4a 2＋6a ＋1≥0，所以3－134≤a ≤3＋134.因为a >0，所以0<a ≤3＋134.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3＋134.(3)当a ＝－12时，方程f (1－x )＝－x 33＋b x可化为ln x －(1－x )2＋(1－x )＝b x.问题转化为b ＝x ln x －x (1－x )2＋x (1－x )＝x ln x ＋x 2－x 3在(0，＋∞)上有解，即求函数g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3的值域．因为函数g (x )＝x (ln x ＋x －x 2)，令函数h (x )＝ln x ＋x －x 2(x >0)， 则h ′(x )＝1x＋1－2x ＝x ＋－xx，所以当0<x <1时，h ′(x )>0，从而函数h (x )在(0,1)上为增函数，当x >1时，h ′(x )<0，从而函数h (x )在(1，＋∞)上为减函数，因此h (x )≤h (1)＝0.而x >0，所以b ＝x ·h (x )≤0， 因此当x ＝1时，b 取得最大值0.。

2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第三章导数及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）文】已知定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．21y x =-B ．1y x =+C ．32y x =-D ．23y x =-+2、【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】设2()3x f x x e =，则(2)f '= A ．12e B ．12e 2 C ．24e D ．24e 2 3 ．（2013年高考浙江卷（文8））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是4．【贵州省遵义四中2013届高三第四月考文】曲线33y x x =-上切点为(2,2)P -的切线方程是（ ） （A ）916y x =-+ （B ）920y x =- （C ）2y =- （D ）916y x =-+或2y =- 5 ．（2013惠州4月模拟）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6 ．（广东中山市2013届高三上学期期末）函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数A DC B()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．（1，2）D ． (2,3)7、（广州市2013届高三上学期期末）已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦8 ．（2013年高考福建卷（文））设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ） A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀ B ．0x -是)(x f -的极小值点 C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点9．家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )10．（2013年高考课标Ⅱ卷（文11））已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、（2013安徽安庆三模） 三次函数32()f x x bx cx d =+++),,(R d c b ∈在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的取值范围是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-215,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-215, C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-215, D ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞-215,A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>12．【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（文）】已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．（2013年高考广东卷（文））若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.14、【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f .15. 【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）数学文】设)(x f 是定义在R上的奇函数，当0x <时，'()0f x >，且1()02f -=，则不等式()0f x <的解集为__________．16、函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分) 【北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学文】（本小题共13分）已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . （Ⅰ）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围.18．(本题满分12分) （2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.19．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r 是瓶子的半径，单位是cm ，已知每出售1 mL 饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小． 20．(本题满分12分).【贵州省遵义四中2013届高三第四月考文】设函数()()2()2ln 11f x x x =---． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（II ）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．22．(本题满分12分) （2013年高考陕西卷（文））已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点.(Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.参考答案1、【答案】B【解析】令0x =，解得(0)1f =. 对()f x 求导，得()f x 'x e =+2x −1+cosx ，令0x =，解得(0)1f '=，故切线方程为1y x =+.选B. 2、【答案】D【解析】函数的导数为2'()63xxf x xe x e =+，所以222222'(2)6232121224f e e e e e =⨯+⨯=+=，选D.3、【答案】B【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B 4、【答案】A【解析】导数2'33y x =-则切线斜率2332=9k =-⨯-，所以切线方程为(2)9(2)y x --=--，即切线为916y x =-+选A. 5、答案：A【解析】设00(,)P x y ，倾斜角为α，22y x '=+，则[]0tan 220,1k x α==+∈,解得011,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选A6、B7、B8、【答案】D【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确．211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴<由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 9、【答案】B解析 由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B. 10、【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

导数及其应用02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．工厂生产某种产品，交品率与日产量（万件）间的关系为（为常数，且），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元。

(1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； (2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=）【答案】（1）当时，当时，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系式为(2）由（1）知，当时，日盈利额为0。

当时，令得或（舍去）①当时，在区间上单调递增，p x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x xp ,320,61c 60<<c y x %100⨯产品总数次品数c x >32=p 02332331=⋅⋅-⋅⋅=∴x x y c x ≤<0xp -=61x x x x x x x y --⋅=⋅⋅--⋅⋅--=∴6292323613)611(2∴y x ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--=c x c x x x x y ,00,)6(2)29(32c x >c x ≤<0)6(2)29(32x x x y --= 222)6()9)(3(3)6()29()6)(49(23x x x x x x x x y ---=--+--÷='∴0='y 3=x9=x ∴30<<c y y ∴>',0 ]],0(c，此时②当时，在（0，3）上，，在（3，6）上综上，若，则当日产量为万件时，日盈利额最大；若，则当日产量为3万件时，日盈利额最大2．某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a ≤5 ）的税收。

设每件产品的售价为x 元(35≤x ≤41),根据市场调查,日销售量与(e 为自然对数的底数)成反比例。

已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。