【人教版】2020年中考数学同步复习 第四章 几何初步与三角形 第七节 相似三角形训练

[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第四章-图形的相似《相似三角形的性质及应用》知识讲相似三角形的性质及应用--知识讲解【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。

已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A.24mB.22mC.20mD.18m【答案】 A.【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则1.60.82DN DE ==,DN=14.4，又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6(m).∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24(m)，所以选A.【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度． 举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，∴，∴.∵AB∥EF，AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.∴m.2. 如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【答案与解析】解：过E 作EH⊥CD 交CD 于H 点，交AB 于点G ，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH 为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米， ∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH，∴EHEG CH AG， 解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米． 答：故树高DC 为5.2米．【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．类型二、相似三角形的性质3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）.A. 2：5B．14:25C．16:25 D. 4:21【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似. 【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,由△ADE∽△ACB得，S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形.举一反三【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴,BD AB BD BEBE CB AB CB==即,且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC S S⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2， ∴AC=6， ∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=.4. 如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=3，AA1=2，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，从而找出规律答案即可求出．【答案与解析】2（3）2014解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=3，AA1=2，∴A1B2=A1B1=3，∴A1A2=23，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，…∴An An+1=2（3）n，∴A2014A2015=2（3）2014，故答案为：2（3）2014．【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.举一反三：【变式】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，.,∽....(2)∵的周长与四边形的周长相等.,=6.,∽..,, .。

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正确运用相似三角形的“对应＂关系在证两个三角形相似时,和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边.这段注意含义深刻,不仅对学生初学相似三角形时提出了书写的要求,为今后证明两个三角形相似带来方便,而且对解决一类相似三角形中答案不唯一问题的解法，具有指导性意义，下面举例说明．例1 在△ABC中,AB=9,AC=１2，BC=1８,D为AC上一点,DC＝23AＣ,在AB上取一点Ｅ，得到△AＤE,若图中的两个三角形相似,则DE的长是______．简析:根据题设条件，两个三角形相似的对应性没有明确,具有结论的不确定性,因而应分两种情况解答此题.简解:①若D点的对应点为C点时,(ED∥BC)(图1）即△ＡED∽△AＢC,∴ＤE=６②若D点的对应点为B时，(∠ADＥ=∠B)（图2)即△ADE∽△AＢC∴ＤE＝8∴DE的长为8或6.例2 如图3,在两个直角三角形中,∠ABＣ=∠ＡＤC=90°,AC＝6，AD=2，试求ＡB的长,使得这两个直角三角形相似.简析:因为题设只要求两个直角三角形相似，并没有指明具体的对应关系．同样具有结论的不确定性,因此本题应分两种情况解答.简解:（1)当△ABC∽△ACD时∴AB=3.(2）当△ABＣ∽△CAD时例3 如图4,直角梯形ABCD中，AB＝７,ＡD=２，ＢC=3，如果边ＡB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以Ｐ、B、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P的个数是( ) A．1 Ｂ．2 C.3 D.４解：根据题设条件，三角形相似应考虑两种情况：①当△PAD∽△PBC时,设AP=x，则PB=７—ｘ，②当△PAD∽△CBP时,解得x1=1，x2＝6．因此，满足题设条件的点P有３个，所以应选C．评析:如果未注意到题目中以P、A、D为顶点的三角形与以Ｐ、B、C为顶点的三角形相似未限制顶点的对应关系这一点,就会片面考虑一种相似关系而被诱误．因此解答这类答案不唯一的试题,应注意相似三角形的对应关系，正确运用概念，养成从多角度看问题的习惯,才能防止错误.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

c.探讨相似三角形在建筑、设计等领域的应用。
5.写作任务：结合本节课所学内容，撰写一篇关于相似三角形在实际生活中的应用的小论文，要求不少于500字，以提高学生的写作能力和几何应用意识。
注意事项：
1.作业布置要注意分层设计，使不同层次的学生都能得到适当的锻炼和提高；
2.鼓励学生独立思考，遇到问题时积极寻求解决方法，培养自主学习能力；
2.逻辑思维能力：运用相似三角形的性质和判定方法解决具体问题，培养学生的逻辑思维；
3.团队合作能力：分组讨论，共同探究相似三角形的性质和应用，培养学生的团队协作精神；
4.解决问题能力：将相似三角形的知识应用于解决实际生活中的问题，提高学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.积极主动：鼓励学生积极参与课堂讨论，主动探究相似三角形的性质和应用；
c.相似三角形在实际问题中如何应用？
2.汇报交流：各小组汇报讨论成果，分享解题思路和方法，教师进行点评和指导。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.判断两个三角形是否相似，并说明理由；
b.利用相似三角形的知识解决实际问题；
c.证明相似三角形的性质。
3.相似三角形的判定方法：讲解AA、SAS、SSS等判定方法，结合实例进行解释，使学生理解并掌握。
4.相似三角形的应用：介绍相似三角形在实际问题中的应用，如测量物体的高度、计算图形的面积等。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
a.相似三角形的性质有哪些？
b.如何判断两个三角形是否相似？
（2）终结性评价：通过课后作业、测试等形式，评价学生对相似三角形知识的掌握程度；

6.如图4-7-2,在平行四边形ABCD中,点E在CD上,若DE∶CE=1∶2,则 △CEF与△ABF的周长比为 ( )
A.1∶2
B.1∶3
图4-7-2 C.2∶3 D.4∶9
答案 C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,CD=AB.∴△CEF ∽△ABF,∵DE∶EC=1∶2,∴EC∶DC=CE∶AB=2∶3,∴C△CEF∶C△ABF= 2∶3.故选C.
4
与△DEF对应中线的比为 3 ,故选A.
4
,∴△ABC
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2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=
8,则△DEF中EF边上的中线DN=
.
答案 6
解析 由相似三角形对应线段的比等于相似比,得 A M = 4 ,∵AM=8,
DN 3
∴DN=6.
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(2)∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∠DEG=∠CBG,
∴△GED∽△GBC,∴ GE=D的=周长. D E 1
GBC的周长 B C 2
∵△ADE∽△ABC,∴ S =A D E
S ABC
=D
B
E C
2
=
1 2
.
2
1 4
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知识点三 相似多边形的性质
相似多边形 性质
边、角
S甲
4
S甲 4
29
答案 60;24
点拨 根据相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系列出比例式,
用比例的性质列方程解题.
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题型一 利用相似三角形的性质计算线段的长
例1 如图4-7-4所示,在△ABC中,E、F都是BC上的点, D、G分别是AB、AC上的点,四边形DEFG是矩形,AH是 BC边上的高,AH与DG相交于点K.若BC=12,矩形DEF的 面积与△ADG的面积相等,求DG的长.

DE ：EC =（
）B
A． 2 ： 5
B． 2 ： 3
C． 3 ： 5
D． 3 ： 2
【举一反三】4．如图，在Rt△ABC中，已知
∠ACB=90°，∠A=30°，CD丄AB从 于点
D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ A ）
A． 1 ： 2
B． 1 ： 3
C． 1 ：4
D． 1 ： 5
2． 相似三角形的判定方法
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似．
若DE//BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（简 称“平行定理”）．
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似（简称“三边定理”）．
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（简称 “夹角定理”）．
=…=
m （b+d+…n≠0）
n
⇔ a c m a ． b d n b
2． 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应 线段的比相等；
平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段的 比相等．
二、相似三角形
1.形状相同的图形叫做相似图形，相似多边 形的对应角相等，对应边的比相等．
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称 “两角定理”）．
3．相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应边成比例，对应角 相等．
（2）相似三角形的对应边的比叫做相似比， 一般用k表示．
（3）相似三角形的对应角平分线，对应中线， 对应高的比等于相似比，周长的比等于相 似比，面积的比等于相似比的平方．

x=4.
2.(2018·安徽第14题)详见专题六典例2
第四章
4.4 相似三角形
中考真题再现
名师考点精讲
即时微专题
-4-
3.(2019·安徽第23题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且 ∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:△PAB∽△PBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: ℎ12=h2·h3. 解:(1)在△ABP中,∠APB=135°,
3.黄金分割
把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的 比例中项 ,这样的
线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值
5-1 2
叫做黄金数.(其
近似值为0.618)
第四章
4.4 相似三角形
中考真题再现
名师考点精讲
即时微专题
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【拓展延伸】 黄金三角形:①顶角是 36°的等腰三角形(底等于腰的 52-1);②底角是 36°
∵AC=CB,∴△ADC≌△CPB,∴∠ADC=∠CPB=135°,
∴∠CDP=45°,∴△PDC为等腰直角三角形,∴CP=PD.
又∵AD=CP,∴PA=2PC.
第四章
4.4 相似三角形
中考真题再现
名师考点精讲
即时微专题
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(3)如图 2,过点 P 作边 AB,BC,CA 的垂线,垂足分别为 Q,R,S,则 PQ=h1,PR=h2,PS=h3.
PA=2PC.
方法二:∵∠APB=∠BPC=135°,∴∠APC=90°.
∵∠CAP<45°,∴∠ACP>45°,

2
又 B B'
结论：相似三角形对
A B E ∽ A 'B 'E '
AA1'2EE/11' /2021
A A'
B B
'
k
应(duìyìng)角的角平分 线的比等于相似比.
B′
EC
A′
C′
E′
第十一页，共二十六页。
相似(xiānɡ sì)三角形的性质
问题： 两个(liǎnɡ ɡè)相似三角形的周长比
第三页，共二十六页。
一个三角形有三条重要(zhòngyào)线段：
高_、_中__线__(zh_ōng_xià_n)、__角_平__分__线
如果两个三角形相似， 那么这些对应线段(xiànduàn)有什么关系呢？
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第四页，共二十六页。
探究
A
（1）
ABC∽ ABC
B
相似比为1 2
DC
A′
对应高的比
AD 1 2 A D __________ _
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B′
第五页，共二十六页。
D
C′
A
（2）
ABC∽ ABC
B
D
相似比为1 2
C A′
对应中线的比
AD 1 2 A D __________ _
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B′
第六页，共二十六页。
D
C′
ABC∽ ABC
相似比为1
第二十二页，共二十六页。
5.已知两个等边三角形的边长之比为2 ：3，且 它们(tā men)的面积之和为26cm2，则较小的等边三角
形的面积为多少？

第7课相似多边形及位似目标导航课程标准1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.知识精讲知识点01 相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的，对应边的．（2）相似多边形的周长比等于．（3）相似多边形的面积比等于．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.知识点02 位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.知识点02 黄金分割位似和黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即AB AP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫 ．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1∵ABAP AP PB = ∴11x x x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质： ．考法01 相似多边形【典例1】如图，矩形草坪长20m ，宽16m,沿草坪四周有2m 宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【即学即练1】如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=（ ） 能力拓展A B C D E F GHA. 2： 1B. ：1C. 3：D. 3：2【典例2】如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．A. 2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 2考法02 位似【典例3】利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【典例4】如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.A B C D E【即学即练2】在已知三角形内求作内接正方形．考法02 黄金分割【典例5】求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【即学即练3】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm分层提分题组A 基础过关练1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（）A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. 512-B.512+C.3D.2题组B 能力提升练8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___ ___.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12.图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.题组C 培优拔尖练15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。

《相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

的比等于相似比；
_平__方___．
2．相似三角形周长的比等于_相__似__比___，面积的比等于相似比的
注 意：运用相似三角形的上述性质时，一定要注意“对应”二字的作
用．
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归类探究
类型之一 相似三角形的性质 (1)已知△ABC∽△DEF，且相似比为 4∶3，若△ABC 中 BC 边上的中
第四章 图形(túxíng)的相似
4.7 相似(xiānɡ sì)三角形的性质
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
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学习指南
教学目标 掌握相似三角形中，对应线段比、周长比、面积比与相似比的关系．
第二页，共二十四页。
知识管理
定 理：1.相似三角形_对__应_(_d_u_ìy_ìn的g)高比、对应_角__平__分_线____的比、对应_中__线__(z_hōngxiàn
线 AM＝8，则△DEF 中 EF 边上的中线 DN＝__6__； (2)如果两个相似三角形对应角平分线的比是 2∶3，那么它们对应高的比是
_2_∶__3__. 【点悟】 相似三角形对应中线的比、对应的比、对应角平分线的比等于相似
比．
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如图，已知△ABC∽△DEF，BG，EH 分别是△ABC 和△DEF 的角平 分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm.求 EH 的长．
接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( B )
A．3∶4
B．9∶16
C．9∶1 D．3∶1
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4．已知△ABC∽△DEF，DABE＝23，△ABC 的周长是 12 cm，面积是 30 cm2. (1)求△DEF 的周长； (2)求△DEF 的面积． 解：(1)∵DABE＝23，∴△DEF 的周长＝12×32＝8(cm)． (2)∵DABE＝32，∴△DEF 的面积＝30×232＝1313(cm2)．

第13讲 几何初步、相交线与平行线
第14讲 三角形与全等三角形 第15讲 等腰三角形 第16讲 直角三角形 第17讲 图形的相似 第18讲 锐角三角函数
第13讲
几何初步、相交线与 平行线
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 点和线
1．下列说法错误的是 ( D ) A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．经过一点，有且只有一条直线
第13讲┃ 几何初步、相交线与平行线
考点2
角
1．点 P 在∠MAN 内部，现在四个等式：①∠PAM＝∠ NAP； 1 1 ②∠PAN＝ ∠ MAN；③∠MAP＝ ∠MAN；④∠MAN＝ 2 2 2∠ MAP，其中能表示 AP 是角平分线的等式有 ( D ) A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D．4 个
第13讲┃ 几何初步、相交线与平行线
变式题 如图 13－ 7，直线 AB， CD 相交于点 O， OE 平分∠ AOD，若∠ BOD＝ 100°，则∠ AOE＝ ________ 40° ．
第13讲┃ 几何初步、相交线与平行线
考点3 相交线与对顶角 1. 如图 13－ 1，已知直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分 ∠ EOC，∠ EOC＝ 110°，则∠BOD 的度数是 ( D ) A．25° B．35° C． 45° D． 55°
第13讲┃ 几何初步、相交线与平行线
2．如图 13－ 2，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥ AB， 48° 垂足为 O，如果∠ EOD＝ 42°，则∠ AOC＝ _____.
第13讲┃ 几何初步、相交线与平行线
50 2．若∠ α＝ 40°，则∠ α 的余角是________ °，∠α 的补 140 角是 ________ °.

图形的相似复习与练习知识点1：比例线段的有关概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即____________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例 项． 知识点2：比例性质 ①比例式转化为乘积式⇔=dc b a ____________ ②乘积式转化为比例式：若ad=bc ⇔____________；____________；____________；③等比性质⇒≠++===)0( n d b k n m d c b a ____________ ，成立的前提条件是 ____________ 若没有告诉0≠++ n d b 应分____________和____________的情况讨论知识点3：平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段____________，字母表示：如图：l 1∥l 2∥l 3．则 ____________；____________；____________②推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________字母表示：知识点4：相似多边形①相似多边形的性质：相似多边形的对应角________对应边的比_________几何语言：②相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形相似几何语言：知识点5：黄金分割（一）黄金分割的定义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_________，那么称线段被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的_________，_________、_________叫黄金比，比值约等于_________. 一条线段有_______个黄金分割点，较长线段长等于_________AB ，较短线段长等于_________AB ，知识点6：相似三角形相似三角形的判定①________对应相等的两个三角形相似.简记为“________”；②______________的两三角形相似. 简记为“________”；③______________的两三角形相似. 简记为“________”．相似三角形的性质①相似三角形的________相等, ________成比例；②相似三角形对应高的比、对应________的比和对应___________的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于____________；面积的比等于____________．知道相似比求面积比，相等于把相似比_______，知道面积比求相似比，相等于把面积比_______，常见相似基本模型：________～________ ________～________ ________～________比例：______=______=______ 比例：______=______=______ 比例：______=______=_____________～________比例：______=______=______连接AE ，当点C 满足__________时，由__________可证△ABC ～ △ACE ～ △CDE射影定理 由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________．知识点7：图形的位似（1）定义：如果两个多边形相似，而且_____的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_____，这时的相似比又称为_____。