2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期4.7、相似三角形的性质课件5

课堂练习
例1 如图,AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为
1
E。当SR= BC时，求DE长.
3
2）∵SR⟂AD,BC⟂AD,∴RS∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC. ∴
1
2
∴AE= AD 则DE= ℎ
3
3
AE
AD
=
SR
BC
1
3
而SR= BC
∴ ∠=
∴

′′
=
∠′ ′ ′

′ ′
∴ △
B
D
∽△ ′ ′ ′
C
A’
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
B’
D’
C’
探索与思考
如图，已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC∽△A’B’C’的相似为k，点D,E在BC边
上，点D’,E’在B’C’边上
1
1
1∶3
1∶9
对应周长的比为__________，对应面积的比为_________.
课堂练习
1 把一个三角形变成和它相似的三角形，
25
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
10
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
1
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的__________。
B’
D’
C’
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是∠、∠‘的角平分线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？

归纳：相似三角形的周长比等于相似比。
BACK
归纳概括
1、相似三角形的对应高、对应中线、 对应角平分线的比等于相似比。 2、相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)以及周长 的比都等于相似比。
相似三角形的面积
有什么关系呢？
右图（1）（2）（3）分别是边 长为1、2、3的等边三角形，它 们都相似．
符号语言：∵ DE//BC
“A”型 A
∴ △ADE∽ △ABC
D
E
结
论 ∴
AD AE DE B
C
AB AC BC
∴ ∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延 长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
符号语言： ∵ DE//BC
“X”型 D
B′
与A′ D′有什么关系？
A D′ C′
(2)如右图两个相似三角形相似比 为k，则对应边上的高有什么关系 呢？__________
B DC
说说你判断的理由是什么？ _△__A__D__C__∽__△A′D′C′
归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。BACK
相似三角形对应边上的中线
有什么关系呢？
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' B
C B'
C'
相似三角形判定定理2：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似.
简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
符号语言：
A
A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'

自主解答：解：图 1 的加工方法合理． 设图 1 加工桌面长 x m， ∵FD∥BC，∴Rt△AFD∽Rt△ACB， ∴AF∶AC＝FD∶BC， 即(4－x)∶4＝x∶3， 12 解得 x＝ . 7
设图 2 加工桌面长 y m，如图过点 C 作 CM⊥AB，垂足是点 M，与 GF ∴CN∶CM＝GF∶AB， ∴(CM－y)∶CM＝y∶AB. y· CM ∴AB＝ . CM－y 由面积相等可求得 CM＝2.4，
• 知识点1 相似三角形重要线段的应用 • 【例 1】 现有一块直角三角形木板，它的两条 直角边分别为3 m和4 m．要把它加工成面积最 大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如 图1和图2所示．请运用所学知识说明谁的加工 方法符合要求．
• 思路点拨：根据相似三角形的性质，相似三角 形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比 等于相似比，求解即可．
2．若 CD 和 C′D′是它们的对应角平分线，△BDC 与△ B′D′C′的关系是
相似
， 理由是： 两角分别相等的两个三
CD BC 角形相似．所以 ＝ ＝ k . C′D′ B′C′
【思考】 若 CD 和 C′D′是它们的对应中线， △BDC 与△B′D′C′ 有怎样的关系？CD 与 C′D′的比是多少？
相似比＝ 面积比
【辨一辨】 1．相似三角形高的比等于相似比．( × ) 2．相似三角形对应角平分线的比等于相似比．( √ ) 3．相似三角形中线的比等于相似比．( × ) 4．两个相似三角形的相似比为 2，则它们的面积比为 4.(√ ) 5．相似三角形周长比等于相似比．( √ ) 6．两相似三角形的面积比等于周长比的平方．( √)
2018/5/28
识记基础
理解重难
1.相似三角形对应线段的比 重点：掌握相似三角形对应线段的 (对应高的比、对应角平分线 比(对应高的比、 对应角平分线的比、 的比、对应中线的比)等于相 对应中线的比)等于相似比． 似比． 难点：理解并掌握相似三角形周长

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角形相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
动改变；变动：～原定赛程｜修订版的内容有些～。 【变工】动老解放区和世纪年代初期曾经施行过的农业劳动互助的简单形式，是农民相互调剂劳动力的 方法，有人工换人工、牛工换牛工、人工换牛工等。 【变故】名意外发生的事情；灾难：不料他家竟然发生了～。 【变卦】∥动已定的事忽然改变（多含贬 义）：昨天说得好好的，今天； 语文加盟品牌 语文加盟品牌 ；怎么～了｜别人一说，他就变了卦。 【变化】动事物在形态上或本质上产 生新的状况：化学～｜～多端｜形势～得很快。 【变幻】动不规则地改变：风云～｜～莫测。 【变幻莫测】变化多端，难以揣测。 【变换】动事物的一种 形式或内容换成另一种：～位置｜～手法。 【变价】动①把实物按照时价折合（出卖）：～出售。②改变价格：～处理。 【变节】∥动改变自己的节操，在 敌人面前屈服：～分子｜～自首。 【变局】名变动的局势；非常的局面：采取紧急措施以应付～。 【变口】动北方曲艺表演中称运用各地方言为变口。 【变脸】∥动①翻脸：他一～，六亲不认｜两个人为了一点儿小事变了脸。②戏曲表演特技，表演时以快速的动作改变角色的脸色或面容。多用来表现人物 的极度恐惧、愤怒等。 【变量】名数值可以变化的量，如一天内的气温就是变量。 【变乱】①名战争或暴力行动所造成的混乱。②〈书〉动变更并使紊 乱：～祖制｜～成法。 【变卖】动出卖财产什物，换取现款：～家产。 【变盘】动指证券市场的整体行情走势发生变化。 【变频】动指改变交流电频 率：～空调。 【变迁】动情况或阶段的变化转移：陵谷～｜人事～｜时代～。 【变色】动①改变颜色：～镜｜这种墨水不易～◇风云～（比喻时局变化）。 ②改变脸色（多指发怒）：勃然～。 【变色镜】名镜片能随光线强弱而变色的眼镜。 【变色龙】名①脊椎动物，躯干稍扁，皮粗糙，四肢稍长，运动极慢。 舌长，可舔食虫类。表皮下有多种色素块，能随时变成不同的保护色。②比喻在政治上善于变化和伪装的人。 【变生肘腋】比喻事变发生在极近的地方。 【变声】动男女在青春期嗓音变粗变低。通常男子比女子显著。 【变数】名①表示变量的数，如＋＝ɑ，＝中，、都是变数。②可变的因素：事情在没有办 成之前，还会有新的～。 【变速器】名改变机床、汽车等机器运转速度或牵引力的装置，通常用的齿轮变速器由若干直径大小不同的齿轮组成，装在发动机 的主动轴和从动轴之间。 【变速运动】物体在单位时间内通过的距离不等的运动。 【变态】①动某些动物在个体发育过程中形态发生变化，如蚕变蛹，蛹变 蛾；蝌蚪变蛙等。②

k 若 BD= BC,B'D'= B'C',则 =____.
k =____.
������' ������' ������
k 若∠BAD= ∠BAC, =_____.
������ ������ ������������ ������ ������' ������'
������;,则
������
������
������������
������' ������'
1.回答“问题导引”中的问题.
∵AB=1.5,BC=2,∴AC=2.5. 如图,设正方形的边长为 x. ∵DE ∥AB,∴ =
������������ ������������ ������������ ������������
,即
������-������ ������
=
������
������. ������
,解得 x= (m).
������
������
2.阅读教材P 106“议一议”,回答下列问题:
如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k.
若∠BAD= ∠BAC,∠B'A'D'= ∠B'A'C',则
������ ������
������
������
������������ ������
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质 第1课时
1.知道相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系. 2.能运用相似三角形的性质解决实际问题.

C
A
B
CD
EB
C
A
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,则
有如下结论:
D
E
结论1: 平行于三角形一边直线截其它两边（或其延长
二、合作交流，探究新知 线）,所截得的三角形与原三角形相似;
如图: 在△ABC中, 如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
B
AC
B
C
结论2: 平行于三角形一边直线截其它两边（或其
相似三角形周长的比等于相似比.理由是:
二、合作交流，探究新知 如图,在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为 k.
AB AC BC k。 AB AC BC
AB AC BC k (等比)。 AB AC BC
（相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比） 即：相似三角形周长的比等于相似比.
三、运用新知
如图,如果△ABC∽△A′B′C′A,且B k。
AB
那么, SABC k 2。 SABC
这个结论在今后的学习中作用很大,若能理解运用,则受益非浅.
相似多边形的性质:
四、归纳小结 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，
对应中线的比，对应周长的比都等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
DE
EF
又∵AM, DN分别是△ABC和△DEF的中线.
B
C
M
BM BC AB BM EN EF DE EN
且∠B =∠E.
∴△AMB∽△DNE（两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似）
AM AB （相似三角形对应边成比例）
DN DE

又 ∴ ∠ = ∠ = °,
∴△ ∽ △ , ∴


=

.

即相似三角形对应高的比等于相似比.
教师讲评
知识点 2：相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系
如图， ∵△ ∽ △ , ∴ ∠ = ∠, ∠ = ∠.
∵AM,DN分别是 ∠, ∠的平分线，
4.三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？
全等三角形的对应高，对应中线、对应角平分线相等
大家思考一下相似三角形又有哪些性质？
自主探究
1.请同学们阅读课本 106-107页，109-110页内容.
2.请同学们阅读课本，动手量一量相似三角形中对应线段的长，
并计算它们的比.
3.请同学们在完成上面任务后思考以下问题：
C.40
D.80
例2：已知两个相似三角形的周长比为 2：3，它们的面积之差为40，那
104
么它们的面积之和为_________
例 3：如图，在△ABC中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，
A
则
:
= _____
∆
∆
A.1：4
B.2：3
C.1：3
D.1：2
例 4: 如图,已知 AD 为△ABC 的角平分线,DE∥AB 交 AC 于点 E,
C
E
B
D
A
思考： 1. 什么样的两个三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k”表示。
2.当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？
这两个三角形全等
3.全等三角形有哪些性质？

知识点一
知识点二
知识点一 相似三角形的性质定理(1) 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比. 名师解读 (1)相似三角形对应线段的比都等于相似比. (2)对应高、对应角平分线、对应中线是指相似三角形对应边上 的高、对应内角的平分线、对应边上的中线.
知识点一
知识点二
例1 如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射 到桌面后在地面上形成(圆形)的示意图.已知桌面直径为1.2 m,桌 面离地面1 m.若灯泡离地面3 m,则地面上阴影部分的面积为( ) A.0.36π m2 B.0.81π m2 C.2π m2 D.3.24π m2 解析:桌面离地面1 m.若灯泡离地面3 m,则灯泡离桌面是2 m,桌 面与阴影是相似图形,相似比是2∶3,两个图形的半径的比就是相似 比,设阴影部分的直径是x m,则1.2∶x=2∶3,解得x=1.8,因而地面上 阴影部分的面积为0.81π m2. 答案:B
分析:根据“两角相等的两个三角形相似”证明△ADE∽△BCE, 因为AE∶EB=1∶2,所以S△ADE∶S△CBE=1∶4,从而求出S△BCE.利用 △CEF∽△CDA,求得EF∶AD=2∶3,再利用△AEF与△ADE等底等 高求出△AEF的面积.
知识点一
知识点二
解:∵DA∥BC,∴△ADE∽△BCE. ∴S△ADE∶S△BCE=AE2∶BE2. 又∵AE∶BE=1∶2,∴S△ADE∶S△BCE=1∶4, ∵S△ADE=1,∴S△BCE=4. ∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC. ∴EF∶BC=AE∶AB. ∵AE∶EB=1∶2, ∴EF∶BC=AE∶AB=1∶3. 又∵△ADE∽△BCE, ∴AD∶BC=1∶2,BC=2AD.∴EF∶AD=2∶3. ∵AD∥EF,∴△ADE与△AEF等高. ∴S△AEF∶S△ADE=EF∶AD=2∶3.

3的等边三角形，它们都相似．
2:1 （2）与（1）的相似(xiānɡ sì)比＝________________， 2:1 （2）与（1）的周长比＝________________;
（3）与（1）的相似(xiānɡ3s:ì)1比＝________________， （3）与（1）的周长比＝__3__:_1___________.
4.7相似(xiānɡ sì)三角形 的性质
第一页，共25页。
相似(xiānɡ sì)三角 形的识别
问：相似(xiānɡ sì)三角形的识别方法有哪些？
证二组对应 (duìyìng)角相等
证三组对应边成 比例
第二页，共25页。
证二组对应边成比例， 且夹角相等
相似(xiānɡ sì)三角形的特征
问：你知道相似(xiānɡ sì)三角形的特征是什么吗？ 如右图，△A B C ∽△A′B′C′
第二十二页，共25页。
课堂练习
4、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48，求：△ADE的面 积。
解：因为(yīn wèi)DE∥BC 所以(suǒyǐ)∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB
所以(suǒyǐ)△A DE ∽△ABC
又因为BD=3AD
可得相似比k=AD:AB=1:2
AB上，EC=2AE，则S △ADE：S △AB1C/的9比为______
S △ADE：S四边形DBCE的比为_____1_/8
A
D
E
B
C
2、如图， △ABC中，DE⁄⁄FG⁄⁄BC，AD=DF=FB，则
Ｓ△ADE:Ｓ四边形DFGE:Ｓ四边形FBCG=____
第二十页，共25页。
课堂练习
1、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如果 (rúguǒ)边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为

05
说教法与学法
说教法与学法
1. 教法： a. 示范引导法：通过具体的例子引导学生理解类似三角形的性质。 b. 探究式教学法：组织学生进行探究活动，培养他们的几何思维和 推理能力。 c. 合作学习法：通过小组合作学习，促进学生之间的交流和合作。 2. 学法：
a. 主动学习法：学生在教师的引导下，积极主动地参与学习。 b. 合作学习法：学生通过小组合作学习，共同解决问题，培养团 队合作能力。
谢谢
说教学反思
说教学反思
本节课通过引导学生进行探究活动，培养了他们的 几何思维和推理能力。学生在小组合作学习中积极 参与，相互讨论和交流，提高了团队合作能力。然 而，在证明和推导方面，部分学生仍存在困难，需 要进一步加强指点和训练。在今后的教学中，我将 更加重视培养学生的证明能力，提供更多的实例和 练习，帮助学生更好地掌握类似三角形的性质。
06
说教学过程
新课导入
教师可以用一个生活实例引入类似三角形的概念， 例如：两个人站在不同的地方视察一棵树，他们的 视角不同，但是他们视察到的树的形状是类似的。 然后，教师提出问题：“你们知道什么是类似三角 形吗？类似三角形有哪些性质呢？”
概念讲授
教师通过板书展示类似三角形的定义：“如果两个 三角形的对应角相等，对应边成比例，那么它们是 类似三角形。”然后，教师解释对应角相等和对应 边成比例的概念，并举例说明。例如，教师可以画 两个类似三角形ABC和DEF，指出它们的对应角相 等（∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F）和对应 边成比例（AB/DE = BC/EF = AC/DF）。
03 目标：
a何 探. 学 究培科 精养的 神学兴 。生趣对和几 b作. 意培识养和学团生队的合合 作能力。

面积比等 于相似比
的平方
感悟新知
知2－练
例 2 如果两个相似三角形的相似比是3 ∶2，它们的周长 差为8，那么较大的三角形的周长为______. 解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比” 列方程求解.
感悟新知
解：设较大的三角形的周长为x，则较小 的三角形的周长为x－8. ∵这两个相似三角形的相似比为3 ∶ 2， ∴这两个三角形的周长比为3 ∶ 2. ∴x－x 8=32，解得x =24. ∴较大三角形的周长为24 . 答案：24
两个三角形高(或底)的比相混淆.
如下表：
感悟新知
图形 周 长 比
面 积 比
推理
A′ABB′＋＋BB′CC＋′＋AAC′C′=
(A′B ＋B′C ＋A′ C )·k A′B ＋B′C ＋A′C
=k
S△ ABC S△ A′ B′C′
=12B12′BCC′ ··AA论
周长比等 于相似比
∴AA′DD′=AA′BB′ =k
感悟新知
图形
对应 中线 的比
AM，A′M′分别为 △ ABC 和△ A′B′C′对应边上的 中线
知1－讲
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，
∴∠ B=∠ B′，AA′BB′=BB′CC′ . 对应 ∵AM，A′M′分别是边BC， 中线
B′C′上的中线，∴
感悟新知
知1－讲
图形
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△
对应
A′B′C′，∴∠ B=∠ B′. 高的
对应
∵ AD ⊥ BC，A′D′⊥ 比等
高的
B′C′，∴∠ ADB= 于相
比 AD，A′D′分别为△ ∠A′D′B′=90° .∴△ 似比

（1）△ASR 与△ABC 类似吗？为什么？
A
解：∵ 四边形 PQRS 是正方形，
S
E
R
∴ RS∥BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC.
B
P
D
图5
Q
C
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（2）求正方形 PQRS 的边长.
A
解：∵ △ASR∽△ABC，∴
S
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，
E
R
则 AE= (40–x) cm，
解得x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
B
P
D
图5
Q
C
当堂训练
两个类似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5
cm，求这两个三角形的类似比. 在这两个三角形的一组对应中
BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF与
A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
B′ D′ E′ F′
C
图2
C′
归纳小结
定理 类似三角形对应高的比，对应角平分线的比，
对应中线的比都等于类似比.
A
A′
B
F
D E
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
C
B′ F′ D′ E′
类似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.