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高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，故选.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离.2.某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知分析可设圆心为，半径为，则有或，解得，故选C.【考点】圆的标准方程以及弦长的基本知识.3.设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMR≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，∴|OM|≤2，即=≤4，解得，≤≤，故选A. 考点:直线与圆的位置关系4.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值5.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．6.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－3)2＝1C．(x－3)2＋(y－2)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.9.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为【考点】圆的标准方程.10.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.【答案】0或6【解析】圆的标准方程为：所以圆的圆心在，半径又直线与圆交于两点，且所以圆心到直线的距离所以，，整理得：解得：或所以答案应填：0或6.【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x-2）2+（y-1）2=1B．（x-2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y-1）2=1D．（x-3）2+（y-1）2=1【答案】A【解析】设圆心为,半径为,则=1,解得,所以,解得,故圆心坐标为(2,1),所以该圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=1，选A.12.若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为( ) A．-1<k<1B．1<k<C．1<k<2D．<k<2【答案】B【解析】圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.故选B．13.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.14.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.15.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．【答案】m＜或m＞1.【解析】由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.16.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．【答案】x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.17.如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．【答案】(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，【解析】设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则，整理得(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.18. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.19.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为()A．(x+1)2+y2=2B．(x-1)2+y2=2C．(x+1)2+y2=4D．(x-1)2+y2=4【答案】A【解析】直线x-y+1=0,令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.20.求圆心在抛物线x2＝4y上，且与直线x＋2y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．【答案】(x＋1)2＋＝【解析】设圆心坐标为，半径为r.根据已知得r＝＝ (t2＋2t＋2)＝ [(t＋1)2＋1]≥，当t＝－1时取等号，此时r最小为，圆心坐标为(－1，)，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋＝.21.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.当CQ⊥l122.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.23.已知半径为2，圆心在直线上的圆C.（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。
高考数学专题复习：圆及其方程一、单选题1．已知圆C 与x 轴相切，圆心在直线3y x =上，且被直线y x =截得的弦长为则圆C 的半径为（ ）A B ．C ．3D ．32．过点()2,1P 作圆22:(1)4M x y -+=的最短弦，延长该弦与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，则ABM 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．圆221:(3)(4)1C x y -+-=和圆222:16C x y +=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．外离4．直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关5．若圆22:2430C x y x y +-++=上存在两点关于直线260ax by ++=对称，则过圆C 外一点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A B ．2C ．3D ．46．圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．3D ．47．两圆1C ：221x y +=与2C ：()2234x y -+=的公切线条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若当[]2,2x ∈-时，不等式6kx ≥k 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．(),-∞⋃+∞D ．[]1,1-9．已知过点()2,2P 且与两坐标轴都有交点的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（ ） A ．3420x y+=- B ．4320x y --= C ．3420x y+=-或2x =D ．4320x y --=或2x =10．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=，过点()1,2P 的直线与圆相交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，则直线AB 方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．30x y ++=D ．30x y +-=11．圆C ：22(1)4x y -+=被直线1y kx =-截得的最短弦长为（ ）A ．B ．CD 12．已知圆22 : 68240C x y x y +--+=和两点(),0A t -，()(),00B t t >，若圆C 上总存在点P ，使得222PA PB AB +=，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[]6,8 B ．[]5,7 C ．[]4,6 D ．[]3,5二、填空题13．设A 为圆22(2)(2)1x y -+-=上一动点，则A 到直线50x y --=的最大距离为_______． 14．已知圆221:410C x y x +++=及圆222:2210C x y x y ++++=．则两圆的公共弦所在的直线方程为________.15．直线:10l x y +-=与圆22:4C x y +=交于A 、B 两点，则AB =________16．直线10kx y k -+-=与圆C ：()()22224x y -+-=相交于A ，B 两点．则ABC 面积的最大值为________． 三、解答题17．已知圆C 过点()()3153A B ,,,，圆心在直线y x =上. （1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系18．已知点()21A ，在圆22:860M x y x y m +--+=上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆N过点(1,P ，且与圆M 相切于点A ，求圆N 的标准方程．19．已知点P 在圆C ：()()222316x y +++=上运动，点()4,3Q ． （1）若点M 是线段PQ 的中点，求点M 的轨迹E 的方程；（2）过原点O 且不与y 轴重合的直线l 与曲线E 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，1211+x x 是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N 过点()()1,0,1,0-，且圆心N 在直线:10l x y +-=上；圆22:(3)(4)8M x y -+-=，（1）求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T ，S （不重合），满足2BS BT =？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知圆C 的方程：22240,x y x y m +--+=其中5m <. （1）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M N 、两点，且||MN =m 的值；（2）在（1）的条件下，是否存在直线1:20l x y c -+=，使得圆上有四点到直线l 若存在，求出c 的取值范围：若不存在，请说明理由.22．已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=． （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程； （3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．参考答案1．C【分析】设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，由圆心在直线上得3b a =，由圆与x 轴相切得r b =，再由弦长公式得一等式，联立可求得,,a b r ．【详解】设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，则3b a =，r b ==解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即圆C 的半径为3． 故选：C ． 2．B 【分析】先利用圆的性质确定最短弦所在直线的方程，再求得,A B 两点坐标，计算面积即得结果. 【详解】依题意，点()1,0M ，由圆的性质可知，过点()2,1P 且垂直PM 的直线l 截得的弦长最短. 而10121PM k -==-，所以直线l 的斜率为1，即方程为：()12y x -=--，即3y x =-+. 所以直线l 与x 轴、y 轴分别交于()()3,0,0,3A B ， 故ABM 底边2AM =，高3h =，即面积为12332⨯⨯=.故选：B. 3．C【分析】先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出12125C C r r ==+，故两圆外切.【详解】因为圆1C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，所以圆心()13,4C ，半径11r =， 因为圆2C 的方程为2216x y +=，所以圆心()20,0C ，半径24r =， 所以125C C ==.因为12125C C r r ==+，所以圆1C 和圆2C 外切. 故选：C. 4．A【分析】确定直线过定点()0,1，点在圆内，得到答案.【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交. 故选：A 5．D【分析】依题意可知动点(),A a b 在直线l ：30x y -+=上移动，当CA 与直线l 垂直时，CA 最小，从而切线长最小. 由点到直线距离公式求得CA 的最小值，进而可得结果. 【详解】圆C ：()()22122x y -+=+，圆心为()1,2C -，半径r =依题意知，直线260ax by ++=过圆心()1,2C -，所以30a b -+=，即动点(),A a b 在直线l ：30x y -+=上移动.所以，当CA 与直线l 垂直时，CA 最小，从而切线长最小，min CA ==4.故选：D.6．B【分析】将问题转化为圆心到直线的距离与半径差的问题求解即可.解：由题知圆221x y +=的圆心为()0,0，半径1r =， 所以圆心到直线34100x y --=的距离为2d =，所以圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为1d r -=. 故选：B 7．C 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，进而判断两圆的位置关系，即可知公切线条数. 【详解】由题意，圆1C 的圆心(0,0)，半径为1，而圆2C 的圆心为(3,0)，半径为2， ∴123C C =，故圆1C 、圆2C 外切. ∴它们公切线条数为3条. 故选：C 8．B 【分析】把原不等式转化为半圆弧上任意一点到l 的距离大于等于1，也就是原点O 到直线l 的距离大于等于3，利用点到直线的距离公式建立不等式，即可解出实数k 的取值范围. 【详解】1≥对[]2,2x ∀∈-恒成立.记直线l ： 6y kx =+，上半圆C ：()2204y x y +=≥，1≥表示半圆弧上任意一点到l 的距离大于等于1，也就是原点O 到直线l的距离大于等于3. 而原点O 到直线l3≥，解得：k ≤k的取值范围是⎡⎣.【点睛】距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 9．A 【分析】根据点斜式设出直线的方程，1=，解方程即可. 【详解】由于直线1l 过点()2,2P 且与两坐标轴都有交点，则直线1l 的斜率存在且不为零， 设直线1l 的方程为()22y k x -=-，即220kx y k -+-=， 圆()2211x y -+=的圆心坐标为()1,0，半径为1，1=，解得34k =，所以，直线1l 的方程为()3224y x -=-，即3420x y+=-. 故选：A . 10．D 【分析】由题意可知当ACB ∠最小时，则弦AB 最小，此时CP AB ⊥，从而可求出直线AB 的斜率，进而可求出直线AB 的方程 【详解】解：由题意可得圆心C 坐标为()3,4，由三角形的大边对大角可知，当ACB ∠最小时，则弦AB 最小，所以CP AB ⊥，421131CP AB k k -==⇒=--， 所以直线方程为2(1)30y x x y -=--⇒+-=， 故选：D.【分析】由于直线1y kx =-过定点(0,1)P -，所以由圆的性质可知当直线CP 与弦垂直时，弦长最短，从而利用弦、弦心距和半径的关系可求得答案 【详解】直线1y kx =-过定点(0,1)P -，圆心(1,0)C ，当直线CP 与弦垂直时，弦长最短，||CP =故选：B ． 12．C 【分析】将圆的方程化简为标准方程，设出点P 的坐标，运用向量垂直的坐标表示得出0AP BP ⋅=，即()()2223cos +4sin t θθ=++，再由正弦函数的性质可得选项. 【详解】由圆22 : 68240C x y x y +--+=得()()22341x y -+-=，又点P 在圆C 上，所以设()3cos ,4sin P θθ++，其中[)02，θπ∈，因为222PA PB AB +=，所以AP BP ⊥，所以0AP BP ⋅=， 又()()3cos +,4sin ,3cos ,4sin AP t BP t θθθθ=++=+-+， 所以()()2223cos +4sin 0AP BP t θθ⋅=+-+=，整理得 ()()2223cos +4sin t θθ=++()26+6cos +8sin 26+10sin +θθθβ==（其中3tan 4β=）， 因为[)02，θπ∈，所以()1sin +1θβ-≤≤， 所以21636t ≤≤，所以46t ≤≤， 故选：C.131+ 【分析】求出圆心C 到直线50x y --=的距离d ，进而可得结果.依题意可知圆心为()2,2C ，半径为1.则圆心C 到直线50x y --=的距离d =则A 点直线50x y --=的最大距离为12+.1. 14．x -y =0 【分析】当两圆相交时，将两圆方程相减可得公共弦的方程. 【详解】圆1C ：22410x y x +++= ① 圆2C ：222210x y x y ++++= ②①-②得公共弦的方程为：220x y -=，即0x y -=. 故答案为：0x y -=.15【分析】先求出圆心C 到直线的距离，即得解. 【详解】圆22:4C x y +=的圆心为原点，半径为2.由题得圆心C 到直线的距离为d =，所以AB =16．2 【分析】由题知直线10kx y k -+-=过点()1,1，且()1,1在圆内，进而设ACB θ∠=，,2πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】解：将直线10kx y k -+-=整理得()11y k x -=-，所以直线10kx y k -+-=过点()1,1， 因为()()2212124-+-<，所以()1,1在圆内，连接,AC BC ，则2AC BC ==，设ACB θ∠=，如图，因为CP =所以当直线10kx y k -+-=与CP 垂直时，θ取最小值2π， 所以在ABC 中，,2πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以1sin 2sin 22ABC S AC BC θθ==≤，当且仅当2πθ=.故答案为：217．（1）()()22334x y -+-=；（2）P 在圆C 内部. 【分析】(1)由给定条件设出圆心(),C a a 、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解(2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解. 【详解】（1）由题意设圆心为(),C a a ，半径为r ，则圆的标准方程为()222()x a y a r -+-=，由题意得()()222222(3)1(5)3a a ra a r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=； （2）由(1)知PC r =< P (2，4)在圆C 内.18．（1）()()22438x y -+-=；（2）()2212x y -+=. 【分析】(1)将点(2,1)A 代入圆M 的方程即可求出m 的值，再将一般方程化为标准方程即可； (2)设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(,)N a b ，根据,,M A N 三点共线，可先求出直线AM 的方程，将(,)N a b 代入可得1b a =-，再结合AN PN =，即()()()(2222211a b a b -+-=-+，即可求出,a b 的值，再求半径r ，从而可得圆N 的标准方程． 【详解】解：（1）将点(2,1)A 代入圆22:860M x y x y m +--+=，可得17m =， 所以圆22:86170M x y x y +--+=， 化为标准方程可得()()22438x y -+-=．（2）设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(,)N a b ，直线AM 的方程为123142y x --=--，即 1y x =-， 把(,)N a b 代入得1b a =-，又()()()(2222211a b a b -+-=-+，解得1a =，0b =， 所以r =故圆N 的标准方程为()2212x y -+=． 19．（1）()2214x y -+=；（2）1211+x x 是定值23-． 【分析】(1)根据给定条件探求出动点M 所满足的几何关系，再借助轨迹定义即可得解；(2)由题设条件设出直线l 的方程，联立直线l 与(1)中曲线E 的方程，消去y 得关于x 的一元二次方程，借助韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）圆C 的圆心()2,3C --，半径为4， 设CQ 的中点为N ，则()1,0N ， 依题意，122MN CP ==，所以点M 的轨迹是以N 为圆心，2为半径的圆， 即M 的轨迹E 的方程为()2214x y -+=；（2）因l 过原点O 且不与y 轴重合，则可设直线l 的方程为y kx =．由22(1)4y kx x y =⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得22(1)230k x x +--=， 依题意知1x ，2x 是上述关于x 的一元二次方程的两根，则12221x x k +=+，12231x x k -=+， 于是有2121212221121331x x k x x x x k +++===--+， 所以1211+x x 是定值23-. 20．（1）22(1)2x y +-=；圆M 与圆N 相外切；（2）存在；(7,8)B ． 【分析】（1）先确定两圆圆心和半径，再计算圆心距与半径和进行比较即得结果；（2）设直线MN 上是存在点(,1)B a a +满足题意，利用2BS BT =，及其与切线长和半径之间的关系得到22430BN BM =-，再利用距离公式代入计算解得参数a 值，经检验即得结果. 【详解】解：（1）由题意知，圆N 的圆心N 也在直线0x =上，联立10,0x y x +-=⎧⎨=⎩解得0,1x y ==， ∴圆心(0,1)N ，设()1,0A -，则半径为N r NA = 圆N 的标准方程为22(1)2x y +-=. 又∵圆M 的圆心()3,4M，半径M r =∴圆心距NM M N r r MN +， ∴圆M 与圆N 相外切；（2）∵(0,1),N (3,4),M 直线MN 的方程为10x y -+=， 设直线MN 上是存在点B 满足题意，设(,1)B a a +， 由2BS BT =可知，224BS BT =，即2224(8)BN BM -=-，所以22430BN BM =-， 即2222(11)4[(3)(14)]30a a a a ++-=-++--，整理得2870a a -+=，解得1a =或()71,2a B =∴或()7,8B ．当(1,2)B 时，点B 为圆N 与圆M 的公切点，此时T ，S ，B 重合，不符合题意． 当(7,8)B 时，满足2BS BT =. 综上，存在点(7,8)B ，满足2BS BT =.21．（1）4m =；（2）存在，42c <<【分析】（1）将圆的一般方程先转化为标准方程，得出圆C 的圆心坐标和半径，再算出圆心到直线的距离，在直角三角形中由边的关系列出方程组即可得出答案；（2）由（1）结论算出圆的半径，算出圆心到直线1l 的距离1d ，若圆上有四点到直线l 的距11d <. 【详解】解：（1）把圆C 的方程化为22(1)(2)5x y m -+-=-，∴圆心为(1,2)，半径r∴圆心(1,2)C 到直线:240l x y +-=的距离为d =，由于MN =1122MN =， 由2221()2r d MN =+，得222=+， 解得4m =.（2）假设存在直线1:20l x y c -+=，使得圆上有四点到直线1l由于圆心为1,2（），半径1r =，则圆心(1,2)C 到直线1:20l x y c -+=的距离为1d =，所以11d =<解得42c <<即存在直线1:20l x y c -+=，使得圆上有四点到直线1l c的取值范围为42c <<22．（1）证明见解析；（2）22210x y x y +--+=；（3）0x y -=或20x y +-=. 【分析】（1）求出圆心到直线得距离与半径比较即可得出结论； （2）结合几何性质得到等量关系，即可求出轨迹方程；（3）联立直线与圆的方程，结合韦达定理以及已知条件即可求出结果. 【详解】（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ()0,1C 到直线l 的距离为1d <=<，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点； （2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=， 设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=， 故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=; （3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB =，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+， 将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±， 所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.。
高考数学复习考点题型专题讲解题型：圆【高考题型二】：圆的方程。
【题型1】：圆的方程。
『解题策略』：⑴标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心(),a b ，半径r 。
⑵一般方程：220,x y Dx Ey F ++++=圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2r =。
1.(高考题)圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程为 ( ) A.22(2)1x y +-= B.22(2)1x y ++= C.22(1)(3)1x y -+-= D.22(3)1x y +-=【解析】：在y 轴上找一点到()1,2的距离为1，可知圆心为()0,2，选A 。
2.(2009年辽宁卷)已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为 ( )A.22(1)(1)2x y ++-=B.22(1)(1)2x y -++=C.22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++= 【解析】：设圆心为()a a -,，利用圆心到两条直线距离相等，选B 。
3.(2015年新课标全国卷I14)一个圆经过椭圆141622=+y x 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
【解析】：4252322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 。
4.(2016年新课标全国卷II4)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=aA.34- B.34- D.2【解析】：选A 。
5.(高考题)已知圆C 经过A ()1,5，B ()3,1两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 。
【解析】：22(2)10x y -+=。
6.(高考题)已知R a ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。
【解析】：()4,2--，5。
7.(2018年天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点()()()0,21,10,0，，的圆的方程为 。
高考数学复习考点题型归类解析专题39圆与方程一、关键能力1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二、教学建议1．处理解决几何问题时，主要表现在两个方面：（1）根据曲线的性质，建立与之等价的方程；（2）根据方程的代数特征洞察并揭示曲线的性质．要重视坐标法，体会用坐标法研究平面几何问题的解析思想．2．帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．学会借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，感受“数”与“形”的对应和统一，不断地体会“数形结合”的思想方法．三、自主梳理1.圆的方程：（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．（2）圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F ．2．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 （1）圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.（2）有关弦长问题的2种求法3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)|r－r|＜d(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．四、高频考点+重点题型考点一、圆的方程、轨迹方程例1-1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为．【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．例1-2．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A 的上方），且|AB|＝2．（Ⅰ）求圆C的标准方程；【解答】解：（1）由题意，圆的半径为√1+1=√2，圆心坐标为（1，√2），∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√2）2＝2；例1-3．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得：|PM||PN|=12，又M（1，0），N（4，0），∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，化简得：x 2+y 2＝4，则动点P 轨迹W 方程为x 2+y 2＝4；例1-4.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．例1-5.设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.例1-6.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.例1-7．若AB =2，AC =√2BC ，则S △ABC 的最大值． 【解答】解：设BC ＝x ，则AC =√2x ，根据面积公式得S △ABC =12AB •BC sin B =12×2x ×√1−cos 2B ， 又根据余弦定理得cos B =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =4+x 2−(√2x)24x=4−x 24x，代入上式得： S △ABC ＝x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216，由三角形三边关系有：{√2x +x ＞2x +2＞√2x，解得：2√2−2＜x ＜2√2+2．所以当x ＝2√3时，x 2﹣12＝0，此时S △ABC 取得最大值√12816=√8=2√2． 故答案为：2√2例1-8.(多选)设有一组圆C ：(x －1)2＋(y －k )2＝k 4(k ∈N *)，下列四个命题正确的是( ) A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点 答案 ABD解析对于A，存在k，使圆与x轴相切⇔k＝k2(k∈N*)有正整数解⇔k＝1，故A正确；对于B，因为圆心(1，k)恒在直线x＝1上，故B正确；对于C，当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D，将(0,0)代入得1＋k2＝k4，即1＝k2(k2－1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．考点二. 直线与圆的位置关系例2-1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d=√a2+b21＝r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．例2-2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]．【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0 ∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2k−4k|√k2+1≤1，解得−√33≤k≤√33∴直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]故答案为[−√33，√33]例2-3．若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为( )A．(－∞，2)B.(2，＋∞)C．(－∞，－6)D．(－6，＋∞)解析：选C ∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.例2-4．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1B.2C．3D．4解析：选C 由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．题型三切线问题例3-1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求切线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）根据题意，分析易得切线斜率存在，则设切线的斜率为k，又由切线过点P（2，﹣1），则切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径r=√2，=√2，则有√1+k2解可得k＝7或k＝﹣1，则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；（2）根据题意，圆心C到P的距离d=√(2−1)2+(2+1)2=√10，则切线长为√(√10)2−(√2)2=√8=2√2，（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．例3-2．直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【解答】解：设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部， 且点A 与圆心O 之间的距离为OA =√10， 圆的半径为r =√2， ∴sin θ=√2√10， ∴cos θ=√2√10，tan θ=12，∴tan2θ=11−14=43，故答案为：43．例3-3．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[−12，12]C ．[−√2，√2]D ．[−√22，√22] 【解答】解：由题意画出图形如图：点M （x 0，1），要使圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N ，使得∠OMN ＝45°， 而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值， 此时MN ＝1，图中只有M ′到M ″之间的区域满足MN ＝1， ∴x 0的取值范围是[﹣1，1]． 故选：A ．例3-4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是（ ） A ．[2√73，2√2）B ．[2√143，2√2）C ．[2√53，2√3）D ．[2√33，2√5） 【解答】解：设AC ＝x ，则x ≥3，由PC ⊥AP 可知AP =√AC 2−PC 2=√x 2−2， ∵AC 垂直平分PQ ， ∴PQ ＝2PC⋅AP AC=2•√2⋅√x 2−2x=2√2•√1−2x 2．∴当x ＝3时，PQ 取得最小值2√2•√1−29=2√143． 又√1−2x 2＜1， ∴PQ ＜2√2． ∴2√143≤PQ ＜2√2．故选：B ．例3-5．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d＝3∴|PA|＝|PB|=√d2−r2=2√2|PA|r=2√2∴s PACB=2×12故答案为：2√2考点四直线与圆相交的弦长问题例4-1．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．√2B．√2C．√6D．2√62【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2 ＝2，表示以C （﹣2，2）为圆心、半径等于√2的圆．由题意可得，直线l ：kx +y +4＝0经过圆C 的圆心（﹣2，2）， 故有﹣2k +2+4＝0，∴k ＝3，点A （0，3）． 直线m ：y ＝x +3，圆心到直线的距离d =√2=√2，∴直线m 被圆C 所截得的弦长为2√2−12=√6． 故选：C ．例4-2．直线y ＝kx +3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4相交于M ，N 两点，若MN ＜2√3，则k 的取值范围是．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y ＝kx +3的距离为d ，则d =√k 2+12，由于(MN 2)2=4﹣d 2，且MN ＜2√3，求得 d ≥1，∴1≤d ＜2，即√k 2+1∈[1，2），由d ≥1求得k ≤−34，k ≥0，由d ＜2 求得 −3−2√65＜d ＜−3+2√65， 即k 的取值范围是{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}， 故答案为：{k |−3−2√65＜k ≤−34，或0≤k ＜−3+2√65}． 例4-3．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（ ） A ．2√5B ．4√5C ．6√3D ．8√3【解答】解：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25的圆心坐标为C （1，2），半径为5． 由直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，得m （2x +y ﹣7）+x +y ﹣4＝0， 联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1．∴直线l 过定点P （3，1），点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时|PC|=√(1−3)2+(2−1)2=√5．∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√52−(√5)2=4√5．故选：B．例4-4．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为5．【解答】解：如图连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA＝OC＝2 OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝OM2＝3．•|AC|（|BM|+|MD|），四边形ABCD的面积为：s=12从而：s=1|AC|⋅|BD|=2√(4−d12)(4−d22)≤8−(d12+d22)=5，2当且仅当d12＝d22时取等号，故答案为：5．考点五、直线与圆的交点问题例5-1.在平面直角坐标系中，已知圆:，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，线段的中点为。
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 在直角坐标系中，圆C的方程为x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知圆O的半径为r，圆心坐标为（a，b），则圆O的标准方程为：A. (x - a)² + (y - b)² = r²B. (x - a)² - (y - b)² = r²C. (x + a)² + (y + b)² = r²D. (x + a)² - (y + b)² = r²3. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 4相切，则k和b的关系为：A. k² + b² = 4B. k² + b² = 1C. k² + b² = 16D. k² + b² = 04. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x - 1)² + (y + 2)² = 9，则圆C的圆心坐标为：A. (1, -2)B. (1, 2)C. (-1, -2)D. (-1, 2)5. 已知圆C的方程为x² + y² - 6x + 4y + 12 = 0，圆C关于直线y = x的对称圆方程为：A. x² + y² - 6y + 4x + 12 = 0B. x² + y² + 6y - 4x + 12 = 0C. x² + y² + 6x - 4y + 12 = 0D. x² + y² - 6x - 4y + 12 = 06. 圆O的半径为r，圆心坐标为（0，0），若圆上任意一点P的坐标为（x，y），则|OP|的最大值为：A. rB. r + 1C. r - 1D. 2r7. 若圆C的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 1，则圆C上的点到直线3x + 4y - 5 = 0的距离的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 圆O的方程为x² + y² = 4，直线l的方程为y = mx + c，若圆O与直线l相切，则m和c的关系为：A. m² + c² = 4B. m² + c² = 1C. m² + c² = 16D. m² + c² = 09. 圆C的方程为(x - 3)² + (y + 1)² = 25，若直线y = kx + b与圆C相交，则k和b的关系为：A. k² + b² = 25B. k² + b² = 1C. k² + b² = 9D. k² + b² = 1610. 若圆C的方程为x² + y² - 8x + 6y + 12 = 0，则圆C关于原点O的对称圆方程为：A. x² + y² - 8x - 6y + 12 = 0B. x² + y² + 8x - 6y + 12 = 0C. x² + y² - 8x + 6y - 12 = 0D. x² + y² + 8x + 6y - 12 = 0二、填空题（每小题5分，共50分）1. 圆C的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 1，圆心坐标为________，半径为________。
高考数学圆的方程与性质选择题1. 请根据圆的标准方程 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，判断圆心坐标和半径。
2. 圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 是一个什么圆？3. 已知一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 16，请问这个圆的半径是多少？4. 如果一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 1，那么这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？5. 已知一个圆的方程是 (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4，请判断这个圆是否是圆心在原点的圆。
6. 请根据圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，判断这个圆的圆心坐标和半径。
7. 已知一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？8. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0 是否是一个标准圆的方程。
9. 如果一个圆的方程是 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？10. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。
11. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。
12. 已知一个圆的方程是 x^2 + y^2 = 4，请问这个圆的圆心坐标和半径分别是什么？13. 请判断圆的方程 x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0 是否是一个标准圆的方程。
14. 如果一个圆的方程是 (x-3)^2 + (y+2)^2 = 1，请问这个圆的半径是多少？15. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的圆心坐标和半径。
16. 已知一个圆的方程是 (x+2)^2 + (y-3)^2 = 1，请判断这个圆的圆心坐标和半径。
17. 请根据圆的方程 (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4，判断这个圆的半径。
高考数学圆的知识点高考数学圆的知识点1数学圆的知识点1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
圆--⊙半径—r弧--⌒直径—d扇形弧长/圆锥母线—l周长—C面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个)1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。
高考数学圆公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]第二十四章圆圆的有关性质圆知能演练提升能力提升1.下列说法错误的是()A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆弧是等弧2.如图,在△ABC中,AB为☉O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为()°°°°3.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→AA⏜ →BO的路径运动一周.设OP为s,运动时间为t,则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是()5.如图,A,B是☉O上两点,若四边形ACBO是平行四边形,☉O的半径为r,则点A 与点B之间的距离为.?6.如图,O2是☉O1上的一点,以O2为圆心,O1O2为半径作☉O2,与☉O1交于点A,B,则∠AO1B的度数为.?(第5题图)(第6题图)7.如图,一根2 m长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.8.如图,AB,AC为☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C,求证:CE=BF.★9.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系10.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=1∠AOE.3创新应用★11.如图①,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.如图②,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8.点A',B'分别是点A,B 关于☉O的反演点,求A'B'的长.图①图②知能演练·提升能力提升AB,不管木杆如何滑动,连接OP,因为OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=12它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.当点P从点O向点A运动时,OP逐渐增大,当点P从点A向点B运动时,OP不变,当点P从点B向点O运动时,OP逐渐减小,故能大致地刻画s与t之间关系的是选项C中的图象.√3连接AB.∵OA=OB,∴?ACBO是菱形.∴AB与CO互相垂直且平分.A)2=√3r.∴AB=2√A2-(12°连接AO2,BO2,由题意知☉O1与☉O2是等圆,所以△AO1O2与△BO1O2都为等边三角形.所以∠AO1O2=∠BO1O2=60°,即∠AO1B=120°.7.分析根据题意,羊的活动区域应是以O为圆心,以2 m为半径的半圆及其内部.解如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).8.证明∵OB,OC是☉O的半径,∴OB=OC.又∠B=∠C,∠BOE=∠COF,∴△EOB≌△FOC(ASA).∴OE=OF.∴CE=BF.9.解连接OM,OD,OA,根据矩形的对角线相等,得BC=OA,EF=OD,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.10.分析因为∠AOE是△COE的一个外角,且与∠C不相邻,所以∠AOE=∠C+∠E.∠AOE,即∠AOE=3∠C,所以只要证得∠E=2∠C即可.现在要证明∠C=13又由于OE为半径,而连接OD后OD也是半径,故OE=OD,所以∠ODE=∠E,从而可证结论成立.证明如图,连接OD.因为CD=OA=OD,所以∠C=∠COD.又OD=OE,所以∠OED=∠ODE.所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=1∠AOE.3创新应用11.解因为☉O的半径为4,点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,点B在☉O 上,OA=8,所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知,OB'=4,所以点B的反演点B'与B重合.设OA交☉O于点M,连接B'M,因为∠BOA=60°,OM=OB',所以△OB'M为等边三角形,又OA'=A'M=2,所以A'B'⊥OM,所以在Rt△OB'A'中,根据勾股定理,得OB'2=OA'2+A'B'2,即16=4+A'B'2,解得A'B'=2√3.。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知圆O的半径为2，圆心为点（1，3），则点（4，5）在圆O上的切线斜率为：A. 1B. -1C. 2D. -22. 圆（x-3）²+（y+2）²=1的圆心坐标为：A. （3，-2）B. （-3，2）C. （-3，-2）D. （3，2）3. 下列关于圆的方程中，表示圆的标准方程是：A. x²+y²=5B. (x-1)²+(y+2)²=4C. x²+y²+2x-4y=0D. x²+y²-2x+4y=04. 在平面直角坐标系中，若点P（2，3）在圆x²+y²=25上，则点P到圆心的距离为：A. 5B. 10C. 15D. 205. 已知圆C：x²+y²=4，圆D：x²+y²=1，则两圆的公切线共有：A. 2条B. 4条C. 6条D. 8条6. 在平面直角坐标系中，若点A（2，3）在圆x²+y²=9上，则点A到圆心的距离为：A. 3B. 6C. 9D. 127. 已知圆O的方程为x²+y²=r²，若圆O过点P（2，0），则r的值为：A. 2B. 4C. 6D. 88. 在平面直角坐标系中，若圆x²+y²=4的圆心在直线y=x上，则圆心的坐标为：A. （2，2）B. （-2，-2）C. （2，-2）D. （-2，2）9. 已知圆O的方程为x²+y²=16，若圆O的切线斜率为k，则k的取值范围是：A. k≤4B. k≤2C. k≥4D. k≥210. 在平面直角坐标系中，若圆x²+y²=1的圆心在直线y=3上，则圆心的坐标为：A. （0，3）B. （1，3）C. （-1，3）D. （0，-3）二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
一、圆的方程的三种形式 (1)圆的标准方程： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，方程表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆． (2)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ①当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为 (－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点 (－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形． (3)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径的两端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 二、点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径r .若点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； 若点M (x 0，y 0)在圆外， 则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2； 若点M (x 0，y 0)在圆内， 则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.三、在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D.(x －1)2＋(y －1)2＝2 【解析】圆的半径r ＝2211 ＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案D 【拓展练习】1.(2016·浙江文10)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________. 【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.(2015·江苏文10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________. 【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量．(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D 、E 、F 的值即可． 【例2】(2015·广东深圳模拟11)圆心在直线要点 梳 理 用圆的标准方程直接求圆方程 待定系数法求圆方程 考点剖析第51讲 圆的标准方程和一般方程x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________． 【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 【拓展练习】3.圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。
高考数学专题复习圆的题型分类汇总（1）圆的定义：动点到定点距离等于定长的点的集合或轨迹，叫做圆点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.（2）圆的方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E ); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点；Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，圆锥曲线C 为抛物线或双曲线．当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个． 当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．（4）．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·Δ|a |.一、圆的一般或标准方程1、已知R a ∈,方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.2、若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．12m <B ．2m <C ．12m ≤D ．2m ≤3、已知圆的方程22290x y ax +++=圆心坐标为()5,0,则它的半径为( )A. 3?B.C. 5D. 44、圆()222224121600x y ax ay a a +-++=<的周长等于( )A. aB. a -C. 22a πD. a二、圆上点到直线的距离1、已知点(2,0),(0,2)A B ，点M 是圆22220x y x y +++=上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最小值为（ ）A ．2BC ．2D ． 2、已知点()()5,0,1,3A B ---,若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点,M N ,使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为5,则r 的取值范围是( )A. (B. (1,5)C. ()2,5D. (3.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是______；最长弦所在直线的方程为______.三、直线与圆的位置关系1、若直线:1l ax by +=与圆22:1C x y +=有两个不同交点,则点(),P a b 与圆C 的位置关系是__________(点在圆内、圆上或圆外)2、过点)引直线l 与曲线y =,A B 两点, O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于__________.3、已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点,且AC BC ⊥,则实数a 的值为__________.4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A.(3，2)B.(3，3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 6.直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A.(3，2)B.(3，3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 7.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离D.不确定 8.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A.1B.5C.4 2D.3＋2 2四、求圆或与圆有关直线的方程1、已知直线240x y +-=和坐标轴交于A 、B 两点, O 为原点,则经过,,O A B 三点的圆的方程为__________.2、若(2,1)P -为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 结论：1、线段AB 为直径的圆的方程，A （x 1,y 1）B(x 2,y 2),(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=02、过圆上任一点（x 0,y 0）的切线方程：xx 0+yy 0=r 2五、圆的切线方程1、以点(2,1)-为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程是( )A ．22(2)(1)3x y -++=B ．22(2)(1)3x y ++-=C ．22(2)(1)9x y -++=D ．22(2)(1)9x y ++-= 2、以为()1,1A -圆心且与直线20x y +-=相切的圆的方程为( )A. ()()221+1=4x y -+B. ()()221+1=2x y -+C. ()()22+1-1=4x y +D. ()()22+1-1=2x y +。
高考数学排列组合难点之——圆排列一、问题提出【例1】5个小朋友站成一圈，一共有多少种不同的站法？A. 120B. 60C. 30D. 24分析：（1）实验感知（2）与线排列对比为了更方便地说明这个问题，我们先将5个小朋友编为1~5号。
然后让他们按顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列。
之后分别以1、2、3、4、5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234。
这就是说，这个圆排列对应了5个排列。
因此，要求圆排列数，只需要求出排列数再除以5就可以了，即这些小朋友一共有55A /5=44A =24种不同的站法，选择D 。
（3）总结将人数扩展到n ，我们就有：n 个人站成一圈，一共有nA n n =11--n n A 种不同地站法。
下面我们来看国考真题：【例2】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。
问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少?（ ）A. 在1‰到5‰之间B. 在5‰到1％之间C. 超过1％D. 不超过1‰【解析】很明显这就是一个圆排列问题。
如果10个人围一圈随便坐，那正好是10个人的圆排列问题，一共有99A 种坐法。
现在要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组，然后让这5组人围坐成一圈，于是有44A 种坐法，再考虑到组内两人还有个顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有5442⨯A 种坐法。
所以所求概率为995442A A ⨯=9452≈2‰，选择A 。
以上是圆排列问题在一般情况下的解法，但应该注意到还有一个特殊情况，即：如果站圈的物体不是人，而是某种可翻转的物体（如珍珠，无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要再多一倍。
因此，这时求圆排列，需要用正常情况下的圆排列数再除以2，即一共有211--n n A 种不同地串法。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系2.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以，可设圆心为.因为圆与轴相切，所以，半径，又因为圆截轴所得弦长为所以，.解得，故所求圆的方程为.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系.3.（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．【答案】（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．【解析】（1）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（2）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．4.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D6.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．【答案】（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b ＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．8. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.9.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A．(x-)2+y2=5B．(x+)2+y2=5C．(x-5)2+y2=5D．(x+5)2+y2=5【答案】B【解析】设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-2)2=2【解析】【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心一定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.解:∵圆A:(x-6)2+(y-6) 2=18,∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,显然所求圆B的直径2r2=2,即r2=,又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.11.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A．(x-2)2+(y+1)2=1B．(x-2)2+(y+1)2=4 C．(x+4)2+(y-2)2=4D．(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】设圆上任一点为Q(x0,y),PQ的中点为M(x,y),则解得又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.12.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.13.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，当CQ⊥l时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.114.过点引直线与曲线相交于两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于．【答案】－【解析】由得：；表示圆心在原点，半径的圆位于轴下方的部分（含端点）；如下图：直线的方程为：，即，所以，当，即，整理得：又因为，所以，.故答案填：【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、数形结合.15.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
第二十四章圆
24.1圆的有关性质
24.1.1圆
知能演练提升
能力提升
1.下列说法错误的是()
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆弧是等弧
2.如图,在△ABC中,AB为☉O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为()
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
3.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM 方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()
⏜→BO的路径运动一周.设OP为s,运动时间4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→AB
为t,则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是()
5.如图,A,B是☉O上两点,若四边形ACBO是平行四边形,☉O的半径为r,则点A与点B之间的距离
为.
6.如图,O2是☉O1上的一点,以O2为圆心,O1O2为半径作☉O2,与☉O1交于点A,B,则∠AO1B的度数
为.
(第5题图)
(第6题图)
7.如图,一根2 m长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.
8.
如图,AB,AC为☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C,求证:CE=BF.
★9.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系?
10.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=1
∠
3
AOE.
创新应用
★11.如图①,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.
如图②,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8.点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,求A'B'的长.
图①
图②
知能演练·提升
能力提升
1.B
2.C
3.D连接OP,因为OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=1
AB,不管木杆如何滑动,它的长度不
2
变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.
4.C当点P从点O向点A运动时,OP逐渐增大,当点P从点A向点B运动时,OP不变,当点P从点B向点O运动时,OP逐渐减小,故能大致地刻画s与t之间关系的是选项C中的图象.
5.√3r连接AB.∵OA=OB,
∴▱ACBO是菱形.
∴AB与CO互相垂直且平分.
∴AB=2√r2-(1
2r)
2
=√3r.
6.120°连接AO2,BO2,由题意知☉O1与☉O2是等圆,所以△AO1O2与△BO1O2都为等边三角形.
所以∠AO1O2=∠BO1O2=60°,即∠AO1B=120°.
7.分析根据题意,羊的活动区域应是以O为圆心,以2 m为半径的半圆及其内部.
解如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).
8.证明∵OB,OC是☉O的半径,
∴OB=OC.
又∠B=∠C,∠BOE=∠COF,
∴△EOB≌△FOC(ASA).
∴OE=OF.∴CE=BF.
9.解连接OM,OD,OA,根据矩形的对角线相等,得BC=OA,EF=OD,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.
10.分析因为∠AOE是△COE的一个外角,且与∠C不相邻,
所以∠AOE=∠C+∠E.
∠AOE,即∠AOE=3∠C,所以只要证得∠E=2∠C即可.
现在要证明∠C=1
3
又由于OE为半径,而连接OD后OD也是半径,故OE=OD,所以∠ODE=∠E,从而可证结论成立.
证明如图,连接OD.
因为CD=OA=OD,
所以∠C=∠COD.
又OD=OE,
所以∠OED=∠ODE.
∠AOE.
所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=1
3
创新应用
11.解因为☉O的半径为4,点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,点B在☉O上,OA=8,所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知,OB'=4,所以点B的反演点B'与B重合.设OA交☉O于点M,连接B'M,因为∠BOA=60°,OM=OB',所以△OB'M为等边三角形,又OA'=A'M=2,所以A'B'⊥OM,所以在Rt△OB'A'中,根据勾股定理,得OB'2=OA'2+A'B'2,即16=4+A'B'2,解得A'B'=2√3.。
