全国高校自主招生数学模拟试卷五 新人教版.doc

一、单选题二、多选题1. 已知i是虚数单位，若是实数，则实数（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-12. 设，则直线与直线垂直的充分不必要条件是（ ）A．B．C ．或1D ．或3. 教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）A．甲学校没有女大学生的概率为B．甲学校至少有两名女大学生的概率为C．每所学校都有男大学生的概率为D ．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为4.已知，若，且均不相等，现有如下说法：①；②；③.则正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．6. 设为实数，若直线与直线平行，则值为（ ）A．B ．1C．D ．27. 不等式的解集为（ ）A．B．C．D．8. 已知数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）A．为等差数列，为等比数列B ．为等比数列，为等差数列C．为等差数列，为等比数列D．为等比数列，为等差数列9.设等差数列的前项和是，若，则（ ）A．B．C．D．10.已知函数(即，)则（ ）A ．当时，是偶函数B ．在区间上是增函数C ．设最小值为，则D ．方程可能有2个解2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（五）三、填空题四、解答题11. 甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A ．事件B与事件相互独立B．C．D．12.已知函数（）有两个不同的极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则曲线的切线斜率不小于B．函数的单调递减区间为C ．实数a的取值范围为D．若函数的所有极值之和小于，则实数a的取值范围为13. 已知正实数满足，的值为____________.14. 经过原点的直线交椭圆于P ，Q 两点，点P 在第一象限，若点P 关于x 轴的对称点称为M ，且，直线与椭圆交于点B ，且满足，则椭圆的离心率为_______．15. 在三棱锥中，底面与侧面均是边长为2的等边三角形，且，分别是，的中点，当三棱锥的体积最大时，______.16. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的.使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下9045岁以上总计200（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？（2）现从岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取人做进一步访谈，然后再从这人中随机抽取人填写调查问卷，则抽取的人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的概率为多少？附：，其中.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02417. 已知函数．(1)判断的单调性；(2)若，且存在唯一的，使得，求证：．18. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为（1）若,求点的坐标;（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.19. 2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩制成如下频率分布表．学校计划对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶．成绩分组频率0.080.260.420.180.06(1)试求众数及受奖励的分数线的估计值；(2)从受奖励的15名学生中按表中成绩分组利用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率．20. 国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；(3)现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．21. 已知函数.(1)求函数的单调递减区间;(2)求在上的解.。

一、高中数学国重五校联考自主招生模拟试卷模拟试卷（一）1、设,15,n N n +∈≥集合A ，B 都是{1,2,...,}I n =的真子集，A ,A B A B I =∅=I U ，证明：集合A 或B 中，必有两个不同的数，它们的和为完全平主数。

2、设2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两个根是1x 和2x ，且12210,x x x a>->.又若10t x <<，试比较()f t 与1x 的大小。

3、求函数2()max{|1|,|5|}f x x x =+-的最小值，并求出相应的x 值。

4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b ∈R ，有()()().f ab af b bf a =+（1）求(0)f ，(1)f 的值。

（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论。

（3）(2)(2)2,()n n f f u n N n-+==∈，求数列{}n u 的前n 项和.n S5、已知关于x 的方程222(1)(1),1ax a x a +=->，证明方程的正根比1小，负根比1-大。

6、设,a b 是两个正数，且a b <，当[,]x a b ∈时246y x x =-+的最小值为a ，最大值为b ，求,a b 的值。

7、求函数y =8、某生产队想筑一面积为144 m2的长方形围栏，围栏一边靠墙，现有铁丝网50 m，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？9、在正方形ABCD中，过一顶点D作对角线CA的平行线DE，若|CE|=|CA|，且CE交边DA于点F，求证：|AE|=|AF|.10、设△ABC的重心为H，外心为O，外接圆半径为R，|OH|=d，|BC|=a，|CA|=b，|AB|=c，求证：22222++=-9.a b c R d11、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长之比为3：1，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线:20-=的距离最小的圆的方程。

2021-2022年高中数学 专题五模拟试卷 新人教A 版版必修5一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，则的最小值是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2 Ｄ．32．在下列函数中，最小值为2是 （ ）Ａ．且 Ｂ．Ｃ． Ｄ．3．已知，且则的最大值是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．已知33log log 2,m n m n +=+则的最小值是( )Ａ. B.2 Ｃ. 6 D.5．函数的值域是 （ ）Ａ． Ｂ．Ｃ．或 Ｄ．6．已知且，则的最小值是 （ ）Ａ．9 Ｂ．8 Ｃ． Ｄ．67．设x >0,从不等式和，启发我们可推广为x +n +1,则括号内应填写的是( )A． B． C．2n D．8．若x，y是正数，则的最小值是（）A．3 B．C．4 D．9．已知非负实数a，b满足2a+3b=10，则最大值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．5 Ｄ．1010．若，则有（）Ａ．最小值1 Ｂ．最大值1Ｃ．最小值Ｄ．最大值11．已知，全集,P={，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12．若，且，则xy有（）Ａ．最大值64 Ｂ．最小值Ｃ．最小值Ｄ．最小值64二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.13．设22,2,=+=则与的大小关系是 .A xB x A B14．函数22=-<<的最大值是 .()(42)(0f x x x x15．已知x, y满足,则的最小值是 .16．已知,且,则的最大值为 .17．已知,则将按从小到大的顺序排列得.18．在函数①②，③，④中，以2为最小值的函数的序号是 .三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.19．(本小题满分12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＝7，c＋d＝5，求的最小值.20．(本小题满分12分)设试比较的大小，并证明你的结论.21．(本小题满分14分)今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确. 有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次结果的和的一半就是物体的真实质量. 这种说法对吗？请说明理由.22．(本小题满分14分)已知内接于单位圆，且.⑴求证内角C为定值⑵求面积的最大值.23．(本小题满分14分)在中，a ，b ，c 分别是内角A , B , C 的对边. 求证：1111cos cos cos 111.2A B C a b c a b c a b c⎛⎫++≤++<++ ⎪⎝⎭【选做题】已知a>0, b>0, 且a＋b＝1. 求证：(1)(2) 39489 9A41 驁 38596 96C4 雄33323 822B 舫 30197 75F5 痵$737788 939C 鎜27349 6AD5 櫕29751 7437 琷27518 6B7E 歾28327 6EA7 溧。

绝密 ★ 启用前2０17年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共2页,23题(含选考题）。

全卷满分15０分。

考试用时1２0分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.[2０17重庆一中]已知集合{}1,2,3A =，()(){}|120B x x x =∈+-<Z ,则()AC B =Z (）A.{}1,2,3B ．{}1,2ﻩＣ．{}2,3ﻩD.{}3【答案】C 【解析】由()(){}|120B x x x =∈+-<Z 得:{}10，=B ，则(){}2,3AC B =Z ，故选C ．2.[201７重庆联考］已知2iii a b +=+（a b ，是实数），其中i 是虚数单位,则ab =( ）A.－2ﻩB ．-1ﻩC ．1 D.3 【答案】A【解析】由题设可得2i i 1a b +=-，则12a b =-=，，故2ab =-，应选答案A ． 3.［2０１7长郡中学]在等差数列{}n a 中，912132a a =+，则数列{}n a 的前１1项和11S =( ）Ａ．2４ﻩＢ.48ﻩC ．66ﻩD.1３２【答案】Ｃ 【解析】设等差数列{}n a 公差为d ,则91121811a a d a a d=+=+，，所以有1118(11)32a d a d +=++,整理得,1656a d a +==，1111161111662a a S a +=⨯=⨯=，故选C.４.[201７枣庄模拟]已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =定义域为（ ) A.[]0,1 B ．[]0,2ﻩC ．[]1,2ﻩＤ．[]1,3【答案】Ａ【解析】由题意，得022820xx⎧⎨-⎩≤≤≥,解得01x≤≤,故选A．5.[2０１7衡阳八中］甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得０分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为２的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（) A．35ﻩＢ．45ﻩＣ.34ﻩD．14【答案】C【解析】设：“甲射击一次,击中目标”为事件A，“乙射击一次,击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B,则332(()()1()()1555P A P A P B p P B p==-===-，，，，依题意得:329(1)5520p p⨯-+⨯=，解得34p=,故选C.６.[20１7云师附中]秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示,若输入的012na a a a⋅⋅⋅，，，，分别为01n⋅⋅⋅，，，,若5n=，根据该算法计算当2x=时多项式的值，则输出的结果为(）Ａ．２4８B．２５8ﻩＣ．268ﻩD.2７８【答案】B【解析】该程序框图是计算多项式5432()5432f x x x x x x=++++，当2x=时,(2)258f =，故选Ｂ．7．[２01７雅礼中学］四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻,则不同排法的种数是( )A.７2ﻩB.９６ Ｃ.１44ﻩD.２４0 【答案】C【解析】先从4为男生中选2为捆绑在一起,和剩余的2为男生,插入到2为女生所形成的空隙中，所以共有223423144A A A =种不同的排法，故选C ．８．[20１７师大附中]已知点M N ，是抛物线24y x =上不同的两点,F 为抛物线的焦点,且满足2π3MFN ∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ,若22||MN d λ=⋅,则λ的最小值为( ） A ．3ﻩB.3ﻩC.13+ﻩＤ.4 【答案】A【解析】 设||m MF =,||n NF =则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得2d m n =+,222||MN m n mn =++,所以由题设可得22224()44()()m n mn mnm n m n λ++==-++, 因为2()4m n mn +≥，即241()mnm n +≤,所以413λ-=≥,应选答案A ．９．［201７湖南十三校］已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2f =，又函数()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示,若两个正数a b 、满足(2)2f a b +<，则22b a ++的取值范围是（ ）Ａ．2(2)3，ﻩﻩB ．2()(2)3-∞+∞，，C.(2)+∞，ﻩＤ．2()3-∞，【答案】A【解析】由导函数图象,可知函数在(0)+∞，上为单调增函数,∵(2)2f=,正数a b、满足(2)2f a b+<，∴22a bab+<⎧⎪>⎨⎪>⎩,又因为22ba++表示的是可行域中的点与(22)--，的连线的斜率．所以当(22)--，与(02)，相连时斜率最大，为2,当(22)--，与(10)，相连时斜率最小,为23，所以22ba++的取值范围是2(2)3，,故选A.1０.［2０1７南阳一中]如图所示，A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO的延长线与线段BA交于圆外的一点D，若OC OA OBλμ=+(λ∈R，μ∈R),则λμ+的取值范围是()A．(0,1) B.(1,)+∞ C.(),1-∞-Ｄ．()1,0-【答案】D【解析】∵OA OB OC==，OC OA OBλμ=+,∴()22OC OA OBλμ=+，展开得2221OA OBλμλμ++⋅=，∴222cos1AOBλμλμ++∠=，当60AOB∠=︒时,()2221λμλμλμλμ++=+-=即()211λμλμ+=+<,∴11λμ-<+<.当,OA OB趋近于射线OD时,由平行四边形法则可知OC OE OF OA OBλμ=+=+，此时0,0λμ<>且λμ>，∴0λμ+<，因此λμ+的取值范围是()1,0-，故选D ．１１．[2０17正定中学］如图，网格纸上小正方形的边长为１,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( ）A.8πﻩB ．25π2ﻩＣ．41π4ﻩＤ．12π【答案】Ｃ【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥S ABCD -,其中四边形ABCD 为矩形，平面SBC ⊥平面25ABCD AB CD BC AD SB =====，，球心O 在SC 中垂面1ABO 上，其中1O 为三角形SBC 外心.设1BO x=,则由11SO BO x==得22(2)1x x -+=，解得54x =，所以该多面体的外接球半径254111616R OB ==+=因此其表面积为241π4π4S R ==,故选Ｃ．12.［2017郑州一中]已知函数()ln f x x x x =+，若k ∈Z ，且(1)()k x f x -<对任意的1x >恒成立,则k 的最大值为( ) A ．2ﻩB.３ﻩＣ.4ﻩD.5 【答案】Ｂ【解析】因为()ln f x x x x =+,若k ∈Z ,且(1)()k x f x -<对任意的1x >恒成立,即(1)ln k x x x x -<+，因为1x >,即ln 1x x xk x +<-,对任意1x >恒成立,令ln ()1x x x g x x +=-，则2ln 2()(1)x x g x x --'=-, 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则11()10x h x x x -'=-=>，所以函数()h x 在(1)+∞，上单调递增. 因为(3)1ln30(4)22ln 20h h =-<=->，，所以方程()0h x =在(1)+∞，上存在唯一实根0x ，且满足0(34)x ∈，,当1x x <<时，()0h x <，即()0g x '<,当0x x >时，()0h x >,即()0g x '>，所以函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1)x ，上单调递减,在0()x +∞，上单调递增,因为x 是()0h x =的根，即00ln 20x x --=,所以[]000000min 00(1ln )(12)()()(34)11x x x x g x g x x x x ++-====∈--，所以min 0()k g x x <=，因为0(34)x ∈，,故整数k 的最大值为3，故选Ｂ.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

A． B．
C. D．
9. 展开式中， 项的系数是（）
A． B． C. D．
10.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）
A． B． C. D．
11.已知函数 是定义在 内的奇函数，且满足 ，若在区间 上， ，则 （）
A． B． C. D．
12.过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线 交抛物线于点 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（）
（1）求圆心 的轨迹 的方程；
（2）若点 是轨迹 上的一点，求证： 中， 的外角平分线与曲线 相切.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）求函数 的单调区间；
（2）求证： 时， .
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
A． B． C. D．
5.已知 为坐标原点，分别在双曲线 第一象限和第二象限的渐近线上取点 ，若 的正切值为 ，则双曲线离心率为（）
A． B． C. D．
6.若点 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C. D．
7.按下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 的取值范围为（）
A． B．
C. D．
8.将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 图象的一个对称中心是（）

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（五）
本试卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．2．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10 B ．3 C ．5D ．2 3．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．82B ．8C ．42D ．44．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( )A ．0B ．2πC ．πD ．32π 5．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6 6．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B ．33C ．32D 37．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 8．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74 B ．114 C ．94 D ．1349．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．1210．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若PA AB =，则球O 的表面积为（ ） A ．163π B ．94π C ．6πD ．9π 12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )A ．5B ．15CD ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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－n－3)． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(－1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x 轴上移动， 当∠MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为 ； y 解： 当∠MPN 最大时， ⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP 与 x N 轴交于 PQ，则线段 PQ 上的点 P使∠MPN 更大)．于是，延长 NM 交 M x 轴于 K(－3，0)，有 KM·KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1， 0)处⊙MNP 的半径小，从而点 P 的横坐标=1． O P K 三．解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 13．一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次， 如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关．问： ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？ 解：⑴ 设他能过 n 关，则第 n 关掷 n 次，至多得 6n 点， 由 6n>2n，知，n≤4．即最多能过 4 关． ⑵ 要求他第一关时掷 1 次的点数>2，第二关时掷 2 次的点数和>4，第三关时掷 3 次的 点数和>8． 4 2 第一关过关的概率=6=3；
5．设三位数 n=¯¯¯ abc ，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这 样的三位数 n 有( ) A．45 个 B．81 个 C．165 个 D．216 个 6．顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面 圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为 B，OH⊥PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的 中 点 ， 则 当 三 棱 锥 O － HPC 的 体 积 最 大 时 ， OB 的 长 为 ( ) 5 A． 3 2 5 B． 3 6 C． 3 2 6 D． 3

普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题 人教版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的答案无效． 参考公式：球的表面积公式：24S R π=，其中R 是球的半径本试卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分：150分；时间：120分钟． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上； 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上．答在第Ⅰ卷上不得分．第Ⅰ卷（共60分)一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}2|213,|60M x x N x x x =+>=+-≤，则MN 等于( )A ．(3,2][1,2]--⋃B ．(3,2)(1,)--⋃+∞C ．[3,2)(1,2]--⋃D ．(,3)(1,2]-∞-⋃命题立意及解析：本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法及集合运算．{}1|1,|03M x x N x x ⎧⎫=<=<<⎨⎬⎩⎭，所以103MN x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．选C ．2．设2()3x f x x =-，则在下列区间中，使函数)(x f 有零点的区间是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,1-- D ．[]1,0-命题立意及解析：本题主要考查函数零点与方程根的关系及数形结合思想．先在同一坐标系水画出函数13x y =和22y x =的图象，通过观察排除A 和B ，然后利用勘根定理即可解决．选D ．3． 设过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦PQ ，则以PQ 为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）A ．相交B ． 相切C ．相离D ．以上答案均有可能命题立意及解析：本题主要考查抛物线定义及直线与圆位置关系的判定方法．由抛物线定义及梯形中位线定理可得．选B ．4．232007i i i i ++++的值是( )A ． 1B ．iC ．i -D ．1-命题立意及解析：本题主要考查复数的简单运算．由虚数单位i 的周期性或由等比数列知识即可解决．选D ．5．命题P ：将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位得到函数sin(2)3y x π=-的图象；命题Q ：函数sin()cos()63y x x ππ=+-的最小正周期是π．则复合命题“P 或Q ”“P 且Q ”“非P ”为真命题的个数是( )A ．0个B ． 1个C ．2个D ．3个命题立意及解析：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角恒等变换．易知命题P 假，命题Q 真，所以“P 或Q ”真，“P 且Q ”假，“非P ”真，故选C ． 6．长方体1AC 的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到1C 沿长方体的表面的最短距离为（ ）A ．13+B ．210+C ．32D ．23命题立意及解析：本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想．求表面上最短距离可把图形展成平面图形，即化折为直，易知答案为C ．7．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A '，连接AA '，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为（ ）A ．12 B ． 32C ．13D ．14 命题立意及解析：本题主要考查几何概型的概率问题．以A 为圆心，以圆的半径为半径画弧与圆交于两点，所求概率为这两点劣弧的长与圆周长的比值，易知为C ．8． 观察等式2020003sin 30cos 60sin 30cos604++=，2020003sin 20cos 50sin 20cos504++=和 2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=，由此得出以下推广命题不正确的是（ ） A ． 223sin cos sin cos 4αβαβ++=B ．20203sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-++-=C ．2020003sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-+++-+=D ．22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα++++=命题立意及解析：本题主要考查合情推理中的推广问题，由所给三个等式的规律可以看出选项A 不正确，应加条件βα0-=30才能成立． 9．已知随机变量ξ的分布列为下表所示：则ξ的标准差为（ ）A ．3．56B C ．3．2D ．命题立意及解析：本题主要考查了离散性随机变量及其分布列的相关知识．由题意，有0.40.11x ++=，所以0.5x =，0.40.3 2.5 3.2E ξ=++=，222.20.40.20.1D ξ=⨯+⨯21.80.5 3.56+⨯==B ．10．定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时单调递增，则（ ）A 15()(5)()32f f f <-< B 15()()(5)32f f f <<- C 51()()(5)23f f f <<- D 15(5)()()32f f f -<<命题立意及解析：本题主要考查函数性质的综合应用．此题包含单调性、奇偶性和周期性．由(2)()f x f x +=知函数是以2为周期的周期函数，又()y f x =是偶函数，所以51()()22f f =，(5)(5)(1)f f f -==，又函数在(0,1]x ∈时单调递增，所以11()()(1)32f f f <<，即15()()(5)32f f f <<-，故选B ． 11．“神六”飞天，举国欢庆．据科学计算，运载“神舟六号”飞船的“长征二号”系列火箭，在点火1分钟通过的路程为2km ，以后每分钟通过的路程增加2km ，在到达离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（ ） A ．10分钟 B ．13分钟 C ．15分钟 D ．20分钟命题立意及解析：本题主要考查数列应用问题，背景新颖，创新意识浓厚．由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列，设第n 分钟后通过的路程为n a ，则12,2a d ==，(22)2,2402n n n n a n S +===，解得15n =，选C ．则2008在第 行第 列（ ）A ．第 251 行第 3 列B ．第 250 行第 3 列C ．第 250 行第 4 列D ．第 251 行第 4 列 命题立意及解析：本题主要考查数列的基本知识，易知答案为B ．第Ⅱ卷 解答题(共90分) 必做题部分（共78分）二．填空题(每小题4分，共16分)13．若n 为正奇数，则111777n n n n n C C --+⋅++⋅被9除所得的余数为：命题立意及解析：本题主要考查二项式定理的应用．原式(17)1(91)1n n =+-=--01111999(1)(1)1929(1)7n n n n n n n n C C C M M ---=⋅-⋅++⋅⋅-+--=-=-+，其中M Z ∈，所以余数为7．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值是______．命题立意及解析：本题主要考查线性规划问题．22y x +的几何意义是可行域内的点到原点O 的距离的平方，易得22y x +的最小值是5．15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有命题立意及解析：本题主要考查排列的实际应用．当1和3之间是0时，有2323A A ⋅个，当1和3之间是2或4时，有21122222A A A A ⋅⋅⋅，所以共有28个． 16．在如下程序框图中，输入0()f x cosx =，则输出的是__________命题立意及解析：本题主要考查算法初步知识中的程序框图及读图能力和导数的计算问题，根据初始值和判断框中的条件有，102()()sin ,()cos f x f x x f x x '==-=-，3()sin f x x =，4()cos f x x =，可以看出()n f x 是以4为周期的函数，故20073()()sin f x f x x ==．17． (本题满分12分) 在△ABC 中，,,A B C 为三个内角,,a b c 为三条边，23ππ<<C 且.2sin sin 2sin CA Cb a b -=- （1）判断△ABC 的形状；（2）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围．命题立意及解析：本题主要考查正余弦定理及向量运算． （1）解：由C A Cb a b 2sin sin 2sin -=-及正弦定理有：C B 2sin sin = ∴2B C =或π=+C B 2若2B C =，且32C ππ<<，∴23B ππ<<，)(舍π>+C B ；∴2B C π+=，则A C =，∴ABC ∆为等腰三角形．（2）∵ ||2BA BC +=，∴222cos 4a c ac B ++⋅=，∴222cos ()a B a c a-==，而C B 2cos cos -=， ∴1cos 12B <<，∴2413a <<，∴2(,1)3BA BC ⋅∈． 18． (本题满分12分) 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ； （Ⅱ）求证：1EF B C ⊥； （Ⅲ）求三棱锥EFC B V -1的体积．命题立意及解析：本题主要考查空间线面位置关系的证明和体积的计算问题．证明：（Ⅰ）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面 CDBFE D 1C 1B 1AA 1CDBFED 1C 1B 1AA 1ABC D MNP（Ⅱ）1111111,B C ABB C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥（Ⅲ）11CF BDD B ⊥平面，∴1CF EFB ⊥平面，且CF BF ==112EF BD ==1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E +=，即190EFB ∠=∴11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆==⋅⋅=11132EF B F CF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯=． 注：本题还可以用向量法做．19．(本题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB|＝3米，|AD|＝2米， （I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （II ）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．（Ⅲ）若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．命题立意及解析：本题主要考查函数的应用、导数及均值不等式的应用等，考查学生分析问题和解决问题的能力．解：设AN 的长为x 米（x >2），∵|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32xx -∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232xx - （I ）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ，∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0∴8283x x <<> 或 ，即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞，，+ （II ）2233(2)12(2)12123(2)12222x x x y x x x x -+-+===-++---1223(2)12242x x ≥-•+=-当且仅当123(2),2x x -=-即x=4时，y ＝232x x -取得最小值．即S AMPN 取得最小值24（平方米）（Ⅲ）令y ＝232x x -，则y ′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ∴当x > 4，y ′> 0，即函数y ＝232x x -在（4，＋∞）上单调递增，∴函数y ＝232x x -在[6，＋∞]上也单调递增．∴当x ＝6时y ＝232x x -取得最小值，即S AMPN 取得最小值27（平方米）．20．(本题满分12分) 过抛物线22(y px p =>0)的对称轴上的定点(,0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于,A B 两点. （1）试证明,A B 两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N 是定直线:l x m =-上的任一点，试探索三条直线,,AN MN BN 的斜率之间的关系，并给出证明. 命题立意及解析：本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．（1）证明：设1122(,),(,)A x y B x y 有122y y pm ⋅=-，下证之： 设直线AB 的方程为:x ty m =+与22y px =联立得 22y px =x ty m =+消去x 得2220y pty pm --=，由韦达定理得 122y y pm ⋅=-． （2）解：三条直线,,AN MN BN 的斜率成等差数列，下证之：设点(,)N m n -，则直线AN 的斜率为11AN y n k x m -=+;直线BN 的斜率为22BN y nk x m-=+，1212222212122()2()2222AN BN y n y n p y n p y n k k y y y pm y pm m m p p----+=+=+++++122112221122121212()()2()2()y n y n y y n y y n p p y y y y y y y y y y -----=+=⋅--- 12121212()222()2n y y n n np p p y y y y y y pm m-=⋅=⋅=⋅=---又直线MN 的斜率为02MN n nk m m m-==---，∴2AN BN MN k k k +=，即直线,,AN MN BN 的斜率成等差数列．21．(本题满分14分) 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋．（1）问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论； （2）求n S 和n a ；（3）求证：22221231124n S S S S n+++⋅⋅⋅+<-． 命题立意及解析：本题主要考查递推数列、等差数列与不等式的综合应用，考查分类讨论思想，考查放缩的方法．解析：（1）由已知有2111==a S ，211=S ； 2≥n 时，112---=-=n n n n n S S S S a 所以2111=--n n S S ，即}1{nS 是以2为首项，公差为2 的等差数列． （2）由（1）得：n n S n22)1(21=⋅-+=，n S n 21= 当2≥n 时，12--=n n n S S a )1(21--=n n ．当1=n 时，211=a ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2()1(21)1(21n n n n a n（3）当1=n 时，141214121⨯-==S ，成立． 当2≥n 时，22222322214134124141n S S S S n ⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=+⋅⋅⋅+++＝)131211(41222n +⋅⋅⋅+++1111(141223(1)n n<+++⋅⋅⋅+⨯⨯- nn 4121)111(41-=-+=综上有22221231124n S S S S n+++⋅⋅⋅+<-．选做题部分（本题12分）22． 选做题(本题共有3小题，考生可从中任选一道做，多做只按从前到后的顺序给分，满分12分)（1）已知： 如图, AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过AC 的中点D, DE 切⊙O 于点D, 交BC 于点E ． ①求证： DE ⊥BC ； ②如果CD=4, CE=3, 求⊙O 的半径．证明： ①连结OD ． ∵DE 切⊙O 于点D ，∴DE ⊥OD, ∴∠ODE=900又∵AD=DC, AO=OB ，∴OD//BC∴∠DEC=∠ODE=900, ∴DE ⊥BC②连结BD ． ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=900∴BD ⊥AC, ∴∠BDC=900又∵DE ⊥BC, △RtCDB ∽△RtCED∴CE DC DC BC =, ∴BC=3163422==CE DC 又∵OD=21BC ，∴OD=3831621=⨯, 即⊙O 的半径为38．（2）求椭圆14922=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P ． 解：()3cos 2sin 10P P θθ设，，则到定点（，）的距离为： ()d θ===∴当时，取最小值cos )θθ=(35455d ． （3）设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++． 证法1：由已知条件和均值不等式有：321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m ++++= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++=)()()(31133123321221a a a a a a a a a a a a m m m9)2223(1=+++≥， 当且仅当3321ma a a ===时，等号成立． 证法2：由已知条件和柯西不等式有：321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m ++++=21m ≥9m=， 当且仅当3321ma a a ===时，等号成立．[参考答案]一．选择题答案：二、填空题答案： 13．7． 14．5． 15．π．16．sin x ．。

全国高校自主招生数学模拟试卷五一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 地方程x 2+4x cos θ+cos θ=0有重根，则θ地弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π122．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有地m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 地取值范围是( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0地解集为 A ．[2，3) B ．(2，3] C ．[2，4) D ．(2，4]4．设点O 在∆ABC 地内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，则∆ABC 地面积与∆AOC 地面积地比为( )A ．2B ．32C ．3D ．535．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样地三位数n 有( )A．45个B．81个C．165个D．216个6．顶点为P地圆锥地轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上地点，B是底面圆内地点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA地中点，则当三棱锥O－HPC地体积最大时，OB地长为( )A．53B．253C．63D．26 3二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长地区间上地图像与函数g(x)=a2+1地图像所围成地封闭图形地面积是；8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1地度数是；10．设p是给定地奇质数，正整数k使得k2－pk 也是一个正整数，则k=；11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则n∑i=01a i地值B1A1BCDAC1D1是 ；12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 地横坐标为 ；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现地点数地和大于2n，则算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？⑵ 他连过前三关地概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 地距离是该点到直线AB、AC距离地等比中项．⑴求点P地轨迹方程；⑵若直线L经过∆ABC地内心(设为D)，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L地斜率k地取值范围．15．已知α，β是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)地两个不等实根，函数f(x)=2x－tx2+1地定义域为[α，β]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则1g(tan u1)+1g(tan u2)+1g(tan u3)<364．全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 地方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ地弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12解：由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0， ∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ． 2．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有地m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b地取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62)C．(－233，233] D．[－233，233]解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．3．不等式log2x－1+12log12x3+2>0地解集为A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]解：令log2x=t≥1时，t－1>32t－2．t∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ．4．设点O 在∆ABC 地内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，则∆ABC 地面积与∆AOC 地面积地比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设∆AOC=S ，则∆OC 1D=3S ，∆OB 1D=∆OB 1C 1=3S ，∆AOB=∆OBD=1.5S ．∆OBC=0.5S ，⇒∆ABC=3S ．选C ．5．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样地三位数n 有( )1A．45个B．81个C．165个D．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取地值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C．6．顶点为P地圆锥地轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上地点，B是底面圆内地点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA地中点，则当三棱锥O－HPC地体积最大时，OB地长为( )A．53B．253C．63D．26 3解：AB⊥OB，⇒PB⊥AB，⇒AB⊥面POB，⇒面PAB ⊥面POB．OH⊥PB，⇒OH⊥面PAB，⇒OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，⇒PC⊥面OCH．⇒PC是三ABPOH C棱锥P－OCH地高．PC=OC=2．而∆OCH地面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2地直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263．又解：连线如图，由C为PA中点，故V O－PBC=12V B－AOP，而V O－PHC∶V O－PBC=PHPB=PO2PB2(PO2=PH·PB)．记PO=OA=22=R，∠AOB=α，则V P—AOB=16R3sinαcosα=112R3sin2α，V B－PCO=124R3sin2α．PO2 PB2=R2R2+R2cos2α=11+cos2α=23+cos2α．⇒V O－PHC =sin2α3+cos2α⨯112R3．∴令y=sin2α3+cos2α，y'=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cosα=33，∴OB=263，选D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长地区间上地图像与函数g(x)=a2+1地图像所围成地封闭图形地面积是；解：f (x )= a 2+1sin(ax +ϕ)，周期=2πa ，取长为2πa，宽为2a 2+1地矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2πaa 2+1．又解：∫ϕ1ϕ0a 2+1[1－sin(ax +ϕ)]dx=a 2+1a∫错误!(1－sin t )dt=2paa 2+1．8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ；解：令x=y=0，得，f (1)=1－1－0+2，⇒f (1)=2． 令y=1，得f (x +1)=2f (x )－2－x +2，即f (x +1)=2f (x )－x ．①又，f (yx +1)=f (y )f (x )－f (x )－y +2，令y=1代入，得f (x +1)=2f (x )－f (x )－1+2，即f (x +1)=f (x )+1．② 比较①、②得，f (x )=x +1．9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1地度数是 ；解：设AB=1，作A 1M ⊥BD 1，AN ⊥BD 1，则BN ·BD 1=AB 2，⇒BN=D 1M=NM=33．⇒A 1M=AN=63．∴ AA 12=A 1M 2+MN 2+NA 2－2A 1M ·NA cos θ，⇒12=23+23+13－2⨯23cos θ，⇒cos θ=12． ⇒θ=60︒．M NB 1A 1B C DAC 1D 110．设p是给定地奇质数，正整数k使得k2－pk 也是一个正整数，则k=；解：设k2－pk=n，则(k－p2)2－n2=p24，⇒(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，⇒k=14(p+1)2．11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则n∑i=01a i地值是；解：1a n+1=2a n+13，⇒令b n=1a n+13，得b0=23，b n=2b n－1，⇒b n=23⨯2n．即1a n=2n+1－13，⇒n∑i=01a i=13(2n+2－n－3)．12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P地横坐标为；解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上地点P'使∠MP'N 更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，⇒KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP地半径小，从而点P地横坐标=1．三．解答题(本题满分60分，每小题20分) 13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现地点数地和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵ 他连过前三关地概率是多少？解：⑴ 设他能过n 关，则第n 关掷n 次，至多得6n 点，由6n >2n，知，n ≤4．即最多能过4关． ⑵ 要求他第一关时掷1次地点数>2，第二关时掷2次地点数和>4，第三关时掷3次地点数和>8． 第一关过关地概率=46=23；第二关过关地基本事件有62种，不能过关地基本事件有为不等式x+y ≤4地正整数解地个数，有C 24个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关地概率=1－662=56；第三关地基本事件有63种，不能过关地基本事件为方程x +y +z ≤8地正整数解地总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档地方法为C 38=8⨯7⨯63⨯2⨯1=56种，不能过关地概率=5663=727，能过关地概率=2027；∴连过三关地概率=23⨯56⨯2027=100243．14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 地距离是该点到直线AB 、AC 距离地等比中项． ⑴ 求点P 地轨迹方程；⑵ 若直线L 经过∆ABC 地内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 地斜率k 地取值范围．解：⑴设点P地坐标为(x，y)，AB方程：x－1+3y4=1，⇒4x－3y+4=0，①BC方程：y=0，②AC方程：4x+3y－4=0，③∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，⇒25y2+16x2－(3y－4)2=0，⇒16x2+16y2+24y－16=0，⇒2x2+2y2+3y－2=0．或25y 2－16x 2+(3y －4)2=0，⇒16x 2－34y 2+24y －16=0，⇒8x 2－17y 2+12y －8=0．∴ 所求轨迹为圆：2x 2+2y 2+3y －2=0， ④或双曲线：8x2－17y 2+12y －8=0． ⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ ∆ABC 地内心D (0，12)：经过D 地直线为x=0或y=kx +12． ⑥(a ) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b ) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c ) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c ) k ≠0时，k ≠12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k 2)x 2－5kx －254=0．当8－17k 2=0或(5k )2－25(8－17k 2)=0，即得k=±23417与k=±22．∴ 所求k 值地取值范围为{0，±23417，±22}．15．已知α，β是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)地两个不等实根，函数f(x)=2x－tx2+1地定义域为[α，β]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则1g(tan u1)+1g(tan u2)+1g(tan u3)<364．解：⑴α+β=t，αβ=－14．故α<0，β>0．当x1，x2∈[α，β]时，∴ f '(x)=2(x2+1)－2x(2x－t)(x2+1)2=－2(x2－xt)+2(x2+1)2．而当x∈[α，β]时，x2－xt<0，于是f '(x)>0，即f(x)在[α，β]上单调增．∴g(t)=2β－tβ2+1－2α－tα2+1=(2β－t)(α2+1)－(2α－t)(β2+1)(α2+1)(β2+1)=(β－α)[t(α+β)－2αβ+2]α2β2+α2+β2+1=t2+1(t2+52)t2+2516=8t2+1(2t2+5)16t2+25⑵g(tan u)=8sec u(2sec2u+3)16sec2u+9=16+24cos2u16cos u+9cos3u≥16616+9cos2u，∴1g(tan u1)+1g(tan u2)+1g(tan u3)≤1166[16 3+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]=1166[75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]而13(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥(sin u1+sin u2+sin u33)2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．∴1g(tan u1)+1g(tan u2)+1g(tan u3)≤1166(75－3)=364．由于等号不能同时成立，故得证．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（五）第丨卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {l,2,3},B = {xwZI（x+l）（x—2）vO},则A\JB =A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {-1,0,1,2,3}2.复数© = cosx-/sinx,z2 =sinx-zcosx ,则|可・勺| =A. 1B. 2C. 3D. 43.设都是不等于1的正数，则“3" > 3" > 3 ”是“log。

3 < log,3”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.在验证吸烟与是否患肺炎有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足则K，的一个可能值是P(K T>K)0. 50 0. 40 0. 25 0. 15 0. 10 0.05 0.025 0.010 0. 005 0.001JK 0. 455 0.708 1.323 2.072 2. 7O6 3.84 5.024 £・7. 879 10. 83635A. 6.635B. 5.024C. 7.897D. 3.8415.如图是一个由两个版圆锥和一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为左视图/ 2龙小兀,2龙，兀A. 6 + 一B・ 8 + — C. 4 + 一D. 4 + -3 3 3 36.己知A,B,C是直线/上不同的三点，点0E/直线.实数x满足关系式x2OA + 2xOB + OC = d9有下列结论：-OA OC>0；®OB'-OA•呢<0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点.其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D.46.A. B. C. D.7t 2兀 3兀 4龙 5龙7. cos — cos ——cos ——cos ——cos ——=11 11 11 11 11&已知函数 /(x) = sino¥ +JJcos0¥(e >—9 —上单调9则Q =16 2)A. 2B. 3 C 1 D. 59.在MBC 中，内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a 2-b 2= ^c,sin C = 2>/3 sin B ,则4 =A. 30B. 60 C ・ 45 D. 150'\+y<210.设满足< 2x-3y <9 ,则J 2 + y 2的最大值为x>0A. 4B. 9C. 10D. 12 11 •在棱长为1的长方体ABCD-AdCQ 中，E,F 分别是DD r AB 的中点，平面交 棱4D 于点P,则PE = A.逅B.迹6 312.已知双曲线C: — g = 1 （" > 0,b > 0）的左焦点为F,过点F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为比点P 在双曲线上，且FP = 3FH 9则双曲线的离心率为第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在[-1,1] ±随机地取一个实数k,则事件“直线y = kx 与圆（x - 5）2 + y 2 = 9相交”发生的概率为 _______________ •B.C. 1D. 0+ j = O,/(x)在区间B. 2亦C.学皿614.设"是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成"的3个数字按从小到大的排成的三位数记为/(d),按从大到小排成的三位数记为D(a),(例如a = 815,则7(815) = 158,D(815) = 851)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个"，则输出的结果心・15.已知实数兀)•满足x-y/x+I = y/y+3-y,则x +)、的最大值为为 ________________•16.若正数/满足a(2e-f)lni = l (e为自然对数的底数)，则实数"的取值范围为 _______________ •三、解答题：本大题共6小题，共70分•解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分12分)已知数列｛©｝的前〃项和为S,_,若®=1,且Sy”-'其中n已(1)求实数/的值和数列｛&｝的通项公式;(2)若数列｛$｝满足仇=log"“求数列、厂的前”项和7；・18・(本题满分12分)如图，在三棱锥P—ABCD中，AABC是等边三角形，D是AC的中点，PA = PC,二面角P-AC-B的大小为60・(1)求证：平面P3D丄平面PAC；(2)求AC与平面PAC所成角的正弦值.19・(本题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9, 18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为九心,…,人，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. cr=b/筛人& / /输出怡/(i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A为事件“编号为4,人的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率.20.(本题满分12分)2 2平面直角坐标系冲，过椭圆M :壬+君=1 (“>/,> 0)的右焦点的宜线x + y —= O交M于两点，P为43的中点，且OP的斜率为丄.2(1)求M的方程；(2)CD是M是的两点，若四边形ABCD的对角线CD丄求四边形ABCD面积的最大值.21・(本题满分12分)(1)讨论函数f(x) =—e x的单调性，并证明当x>0时，(x-2)e x+x+2>0i•i I 2(2)证明：当ae[0A)时，函数g⑴="一_¥一匕(％>0)有最小值，设g(x)的最小A值为/7(d),求函数/7(d)的值域.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（五）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，则A B ⋂的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个【答案】C 【解析】【分析】先通过集合的交集运算得出A B ⋂，即可根据集合内元素的个数得出子集个数.【详解】 集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，{}1,3A B ∴= ，则A B ⋂的子集共有224=个，故选：C.2.已知复数52i2iz =-，则z =（）A.1B.35C.355D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法、除法运算，以及模的定义求解.【详解】因为()()()542i 2i 2i 2i 2i 24i 24i 2i 2i i 2i 2i 2i 555z +-+======-+--⋅--+，所以255z ==，故选:D.3.在ABC 中，记AB m = ，AC n =u u ur r ，则()CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r （）A.m n- B.22m n+u r r C.22n m-r u r D.22m n-u r r 【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算和向量数量积的运算律可直接求得结果.【详解】()()()2222CB AB AC AB AC AB AC AB AC m n ⋅+=-⋅+=-=- .故选：D.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3.故选：A.5.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A.B.3311C.6D.66【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后用向量方法即可求解【详解】连接,AC BD 交于O ，由题意，以O 为原点，分别以OB →,OC →，OP →的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1可得AC BD ==，所以()()()()10,0,1,0,,0,,,,0,,22P A C D E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,1,22PA CE ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线PA 与CE 所成的角为θ，所以12332cos 11PA CE PA CEθ-⋅===⋅故选：B6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48【答案】A 【解析】【分析】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【详解】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶12351010()0.2,()0.4,()0.4252525P A P A P A ======，123(10.10.9,(10.20.8,()10.30|)|).7|P B A P B A P B A =-==-==-=，由全概率公式可得∶112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.90.40.80.40.70.78=⨯+⨯+⨯=.故选：A7.已知()1sinsin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭.若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,3 B.(][),03,-∞+∞ C.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.【详解】()1sin sin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭1cos sin sin22222x x x x =-+()1cos 1sin 222x x -=-+1sin cos 22x x =+ππcos sin sin cos 66x x=+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则问题转化为在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()20min132m m f x --≥⎡⎤⎣⎦因为0ππ6x ≤≤，所以0ππ7π366x ≤+≤，所以()0112f x -≤≤，所以221133022m m m m --≥-⇒-≥，解得：3m ≥或0m ≤即实数m 的取值范围为：(][),03,-∞+∞ ，故选：B.8.已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()e x f x x -=+，利用导函数可得ln ln ln a a b b c c -<-<-，再令()ln g x x x =-，利用导函数求()g x 单调性即可求解.【详解】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()exf x x -=+，则()e 1x f x -'=-+，因为当0x >时()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()124f f f <<，即ln ln ln a a b b c c -<-<-，令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，因为当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，又因为(),,1,a b c ∈+∞且()()()g a g b g c <<，所以a b c <<，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围[)0,50，[)50,100，[)100,200，[)200,300，[]300,500分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量的中位数是196.5D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】ABC 【解析】【分析】根据趋势图可判断出空气质量指数位于[)100,200的天数，知A 正确；由2日到5日空气质量指数依次下降知B 正确；由中位数的定义可计算知C 正确；根据方差与数据波动幅度之间的关系可知D 错误.【详解】对于A ，由空气质量指数趋势图可知：这14天中，空气质量指数位于[)100,200的天数有4,6,9,10,11日，则有5天空气质量指数为“轻度污染”，A 正确；对于B ，从2日到5日空气质量指数依次下降，则空气质量越来越好，B 正确；对于C ，将14天空气质量指数按照从小到大顺序排序，中位数为第7和第8个数的平均数，即179214196.52+=，C 正确；对于D ，若连续三天空气质量指数方差最小，则连续三天数据波动幅度最小，显然5日到7日数据波动幅度最大，则方差应为最大，D 错误.故选：ABC .10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若()2sin cos sin 2ααα-=，则角α可取的值用密位制表示可能是（）A.10—50B.2—50C.13—50D.42—50【答案】BD 【解析】【分析】通过三角恒等变换化简()2sin cos sin 2ααα-=，得出,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，再通过题意对选项一一化为弧度制，即可判断是否符合题意.【详解】()2sin cos sin 2ααα-=Q ，22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα∴-+=，22sin cos 1αα+= ，4sin cos 1αα∴=，即1sin 22α=，,12k k Z παπ∴=+∈或5,12k k Z παπ=+∈，对于选项A ：密位制10—50对应的角的弧度制为105072600020ππ⨯=，不符合题意，故选项A 错误；对于选项B ：密位制2—50对应的角的弧度制为2502600012ππ⨯=，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：密位制13—50对应的角的弧度制为135092600020ππ⨯=，不符合题意，故选项C 错误；对于选项D ：密位制42—50对应的角的弧度制为4250172600012ππ⨯=，符合题意，故选项D 正确；综上所述，选项BD 正确，故选：BD.11.已知点A ，B 分别是双曲线22:14x C y -=的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线CB.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得1212k k +=【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出c =，得到离心率；B 选项，求出焦点坐标和渐近线方程，得到焦点到渐近线的距离；C 选项，设(),P m n ，表达出12,22n n k k m m ==+-，结合2214m n -=求出1214k k =；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，由渐近线方程得到2mn >，结合2214m n -=得到1212m k k n +>=.【详解】A 选项，由题意得：2a =，1b =，故c ===故离心率为52c a =，A 正确；B 选项，双曲线C 的焦点为()，渐近线的方程为20y x ±=，故焦点到渐近线的距离为1d ==，B 正确；C 选项，由题意得：()()2,0,2,0A B -，设(),P m n ，则2214m n -=，2214m n -=，故12,22n n k k m m ==+-，21222224241414n n n k k m m m m m =⋅=-=--=+-，C 正确；D 选项，设(),P m n ，0,0m n >>，2214m n -=，2244m n -=，因为渐近线的方程为20y x ±=，故2m n >，即2mn >，使得2122221222222444n n mn n mn n mn mn m m k m m mnn k -++=+====--+->+，D 错误；故选：ABC12.已知()221f x x =+，()4g x x =-，若方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（）A.1-B.15C.35D.1【答案】BC 【解析】【分析】通过分类讨论去绝对值，得出()()24601a x a x ++-=>，()()24601a x a x -+-=<-，与()20441ax x x a ++=≤-，再根据根的数量确定a 的取值范围，即可对选项一一验证.【详解】当()()f x g x ≤时，即2214x x +≤-，解得1x ≤，当()()f x g x >时，即2214x x +>-，解得1x >，则当1x >时，()()()()f x g x f x g x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420g x ax a -+++=，即2460x ax a ++-=，此时若1x >则()()24601a x a x ++-=> ①，此时若1x <-则()()24601a x a x -+-=<- ②，当1x ≤时，()()()()f x g x g x f x -=-，此时方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=，即()2420f x ax a -+++=，即()24041ax a x x +=-+≤ ③，其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，原方程有四个不同的实数根，∴方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，对于方程()20441ax x x a ++=≤-有两个不同的实数根，可以等价为：2Δ640118540340a a a a a ⎧=+>⎪⎪-<<⎪⎨⎪-≤⎪-≤⎪⎩解得405a <≤，对于选项A ：405a <≤取不到1-，故选项A 错误；对于选项B ：当15a =时，方程①的根为26111>，方程②的根为2619-<-，符合题意，故选项B 正确；对于选项C ：当35a =时，方程①的根为18113>，方程②的根为1817-<-，符合题意，故选项C 正确；对于选项D ：405a <≤取不到1，故选项D 错误；综上所述，选项BC 正确，故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含4x 的项的系数为______.【答案】1458-【解析】【分析】利用赋值法，令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含4x 项的系数.【详解】令1x =，则13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为62642==n ，则6n =,其中通项()()66621661C 3C 31rrr rr rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令624r -=，则1r =，则()1154426C 311458T x x =⋅⋅-=-，故含4x 的项的系数为1458-.故答案为：1458-.14.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，则12V V 的值是______.【答案】23##2:3【解析】【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.【详解】设甲的高为1h ，乙的高为2h ，由题意可得122π22π3h h ⨯⨯=⨯⨯，所以1232h h =，所以()()211222π223π3h V V h ⨯⨯==⨯⨯，故答案为：2315.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30n S n+的最小值为__________．【答案】612【解析】【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得n S ，再应用基本不等式求得30n S n+的最小值.【详解】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列{}n a ，则2(1)151815222n n n S n n n -=+⨯=+∴30153011612222n S n n n +=++≥+=当且仅当1530=2n n，即2n =时，等号成立，∴30n S n +的最小值为612．故答案为：612.16.抛物线()2:20C y px p =>的焦点到直线10x y -+=的距离为528，点M 是C 上任意一点，点N 是圆()22:31D x y -+=上任意一点，则MN 的最小值是______.【答案】1112-【解析】【分析】根据焦点到直线的距离可构造方程求得p ，得到抛物线方程；由圆的方程可得圆心和半径；设()2,M t t ，利用两点间距离公式可表示出DM ，根据二次函数性质求得minDM；由圆的几何性质可知所求最小值为minDMr -.【详解】由抛物线方程得：焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，8=，解得：12p =，∴抛物线2:C y x =，设()2,M t t ；由圆的方程可知：圆心()3,0D ，半径1r =，DM ∴=则当252t =时，min112DM ==，min1111122MN r ∴=-=.故答案为：12-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin sin sin A B A B +-=)sin sin A C C -.（1）求角B 的大小；（2）若BC 边上的高为2b c -，求sin C .【答案】（1）π6B =（2）1sin 5C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角互化即可求解；（2）利用面积公式可得52b c =，再利用正弦定理边角互化即可求解.【小问1详解】由题意可得222sin sin sin sin A B A C C -=-，根据正弦定理可得222a b c -=-，所以222c a b ac+-=又根据余弦定理可得2223cos 22c a b B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π6B =.【小问2详解】因为11(2)sin 22ABC S a b c ac B =-= ，即52b c =，由正弦定理可得5sin sin 2B C =，所以21sin sin 55C B ==.18.设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5nn a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.【答案】（1）21n a n =-（2）16【解析】【分析】(1)根据,n n a S 的关系求出数列的首项公差即可求解；(2)根据定义分别写出数列{}n b 的前10项，求和即可.【小问1详解】设等差数列公差为d ，因为()*141n n n a S a n +=+∈N，所以当2n ≥时，1141n n n Sa a --=+，所以1114411n n n n n n a a S S a a -+--=+--，所以114n n n n n a a a a a +-=-，因为0n a >，所以1124n n a a d +--==，所以2d =，令1n =得1121141(2)1a a a a a =+=++整理得211210a a -+=解得11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得215n n b -⎡⎤=⎢⎣⎦，所以215n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的前10项和等于1357111315195555557559155⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦001112233316=+++++++++=.19.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频率0.080.240.360.200.12（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中竞赛成绩在[)50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[)50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）75.4（2）分布列见解析；期望()34E X =【解析】【分析】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在[)50,60的总人数，进而确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.【小问1详解】平均数为550.08650.24750.36850.20950.1275.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由题意知：样本中竞赛成绩在[)50,60的共有1000.088⨯=人，其中有男生2人，则X 所有可能的取值为0,1,2，()3638C 2050C 5614P X ∴====；()216238C C 30151C 5628P X ====；()126238C C 632C 5628P X ====；X ∴的分布列为X12P5141528328∴数学期望()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=.20.如图所示的几何体中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，四边形PDCE 为矩形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，F 为PA 的中点，N 为PC 与DE 的交点，PD =112AB AD CD ===.（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）若G 是线段CD 上一点，平面PBC 与平面EFG 所成角的余弦值为6，求DG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）49-.【解析】【分析】（1）连接AC ，证明//FN AC ，利用线面平行的判定定理即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为四边形PDCE 为矩形，则N 为PC 的中点，连接AC，在PAC △中，F ，N 分别为PA ，PC 的中点，则有//FN AC ，而直线FN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以//FN 平面ABCD ；【小问2详解】因为平面PDCE ⊥平面ABCD ，DP DC ⊥，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，DP ⊂平面PDCE ，所以DP ⊥平面ABCD ，又//AB CD ，AB AD ⊥，故DC AD ⊥，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则12(00(100),(110),(020),(02(0),,22,,,,,,,,P A B C E F ，设()0,,0G t ，[]0,2t ∈，所以(11,,,,(110)PB BC ==-，1222,,FE ⎛=- ⎪⎝⎭，(0,2GE t =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则0m PB x y m BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,m =，设平面EFG 的法向量为(),,n a b c =r ，则()12202220n FE a b nGE t b ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令b =，得)2n t =+-r，所以cos ,6m n n n m m ⋅==⋅，整理可得298110t t +-=，解得11549t -=或11549t =(舍去)，即DG 的长为49.21.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P，离心率为22，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，结合离心率及椭圆,,ab c 的关系列出方程即可得到结果；（2）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可.【小问1详解】设椭圆C 的焦距为2c ，则22c a =，所以a =因为222a b c =+，所以b c =，又OP FP ⋅=，,OP b FP a ==，所以ab =，即1c =所以1a b ==所以2212x y +=【小问2详解】当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，设直线1l 的方程为=1x -，此时直线2l 与x 轴重合，即AB MN ==，所以122AMBN S ==；当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F -的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =-，直线2l ：11x y k=--由22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=此时()224420k k ∆=++>，∴12222k y y k +=+，12212y y k -⋅=+则AB ==)()222122k k k k+=++.把上式中的k 换成1k -得：MN =则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=)())22221112122k k k k k k ++⋅⋅=++()()()222241212k k k +++令21k t +=，则1t >，且221k t +=+，22121k t +=-()()()22222241421212kt S t t kk +===+-++2411924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，()1t >，∴1629S ≤<，所以四边形AMBN 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()()()ln 21f x x m x m m =+-+-∈R .（1）当4m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在正整数m ，使得()0f x ≤恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.【答案】（1）函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）存在正整数3m =【解析】【分析】（1）当4m =时，对函数()f x 求导，令()0f x ¢>和()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调区间；（2）要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤恒成立，讨论2m ≤和m>2，求出()f x 的单调性，即可知要使()max 1ln02f x m m =-≤-，令()()()ln 22g m m m m =-+>，对()g m 求导，得出()g m 的单调性，即可得解.【小问1详解】当4m =时，函数()ln 23f x x x =--的定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，解得：102x <<；令()0f x '<，解得：12x >，所以函数()f x 的单调减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】()()ln 21f x x m x m =+-+-的定义域为()0,∞+，()()2112m x f x m x x-+=+'-=，若20m -≥，即2m ≤，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无最大值；若20m -<，即m>2，函数()f x 在10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,2m ∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭上单调递减.当12x m =-时，函数()f x 取得最大值，且()max 11ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，要使()0f x ≤恒成立，即()max 0f x ≤，所以1ln02m m -≤-，即()ln 20m m -+≥，令()()()ln 22g m m m m =-+>，()()1110222m g m m m m -=+=>>--'所以()g m 在()2,+∞上单调递增，当m 趋近于2时，()0g m <，()3ln130g =+>，所以存在最小正整数3m =，使得()()ln 20g m m m =-+>，即是使得()0f x ≤恒成立.。

2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考全真模拟测试（五）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U={1,2,3,4,5,6}，M={1,4}，P={2,3}，则集合(∁U M)∩(∁U P)=（）A．{1,2,3,4,5,6}B．{2,3,5,6}C．{1,4,5,6}D．{5,6}2．不论m为何值，直线(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点A．(−1,−2)B．(1,−2)C．(−1,2)D．(1,2)3．设p：关于x的方程4x−2x+1−a=0有解；q：函数f(x)=log2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，已知底面边长为a 的正四棱锥P −ABCD 的侧棱长为2a,若截面PAC 的面积为8√7,则正四棱锥P −ABCD 的体积等于（ ）A ．12√14B ．32√143C ．32√78D ．10835．已知函数f(x)=x 3+ax 2的图象在x =1处的切线的斜率为7，则函数f (−2x )的最大值为（ ） A ．1627B ．3227C ．2716D ．27326．函数y =cos(1+x 2)的导数是（ ） A ．2xsin(1+x 2)B ．−sin(1+x 2)C ．−2xsin(1+x 2)D ．2cos(1+x 2)7．设F 1(−c,0),F 2(c,0)是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的角平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ|的长为 A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化8．已知α、β、γ、δ为锐角，在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosδ，sinδcosα四个值中，大于12的个数的最大值记为m ，小于14的个数的最大值记为n ，则m +n 等于（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成年份序号x（2013年作为第一年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是（）A．销售额y与年份序号x正相关B．销售额y与年份序号x线性关系不显著C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D．根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为2680.54亿元10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．D1D⊥AFB．A1G⊥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为√1010D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 11．已知数列{an }是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{an 2}是等比数列 B ．若a 3=2，a 7=32，则a 5=±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{an }是递增数列D ．若数列{an }的前n 和S n =3n−1+r ，则r =﹣112．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A (2,3)，B (4,−3)，点P 在直线AB 上，且|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则P 的坐标为(165,−35). B ．已知O 是△ABC 的外接圆圆心，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，|AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=R ，R 为圆的半径，则BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 在BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为√32R . C ．若c ⊥(a −b ⃑ )，且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ . D ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则P 是△ABC 的垂心. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．复数z 满足z(2−3i)=18−i ，则|z |=__________． 14．9910被1000整除的余数为________.15．已知点A ，B ，C 在函数f (x )=√3sin (ωx +π3)(ω>0)的图象上，如图，若AB ⊥BC ，则ω=______.16．已知函数的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝____________四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知菱形ABCD中,∠DAB=60∘，E是边BC上一点，线段DE交AC与点F.（1）若ΔDCE的面积为√32，DE=√3，求菱形的边长AB.（2）若CFDF =85，求cos∠DFC.18．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p，58p，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0；(2)若以p0作为p的值，⊥求每一个互助组合做对题的概率；⊥现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当X=90时，P(X)取得最大值，求相应的n和E(X).19．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AC=AB=BC=√3AA1=√3A1C，且O为AC的中点.(1)求证：A1O⊥平面ABC；(2)求二面角C−A1B−C1的余弦值.20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，焦距为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上两点，O为坐标原点，k OA⋅k OB=−12，点D在线段AB上，且AD⃑⃑⃑⃑⃑ =1 3AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，连接OD并延长交椭圆C于E，试问|OE||OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.21．黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩(满分150)，抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下:甲:92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,142,141乙:102,105,113,114,116,117,125,125,127,128,128,131,131,135,136,138,139,142,145,150（1）根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好?（2）将同学乙的成绩分成[100,110),[120，130)[130,140)[140,150)，完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图;分组频数频率[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)合计201（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率.22．已知函数f(x)=ax−lnx+1有两个不同的零点x1,x2(x1<x2).（1）求实数a的取值范围；（2）记f(x)的极值点为x0，求证：1x1+1x2>2ef(x0).\2022年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟测试（五）数学答案1．D∁U M={2,3,5,6}，∁UP={1,4,5,6}，(∁UM)∩(∁UP)={5,6}.故选：D.2．B∵(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点，∴(2x+y)m+(−x+2y+5)=0恒过定点，由{2x+y=0,−x+2y+5=0,解得{x=1,y=−2,即直线(2m−1)x+(m+2)y+5=0恒过定点(1,−2).3．B因为方程4x−2x+1−a=0有解,即方程a=(2x)2−2⋅2x有解，令t=2x>0，则y=t2−2t=(t−1)2−1∈[−1,+∞)，即a∈[−1,+∞)；因为函数f(x)=log2(x+a−1)在区间(0,+∞)上恒为正值，所以x+a−1>1在区间(0,+∞)上恒成立，即a>−x+2在区间(0,+∞)上恒成立，解得a≥2，所以p是q的必要不充分条件，4．B解：连接BD，交AC于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD且O是AC中点，AC=√a2+a2=√2a，PO=√PC2−(AC2)2=√(2a)2−(√22a)2=√142a，∵截面PAC的面积为8√7，∴S△PAC＝12×√2a×√142a=8√7，解得a=4，∴正四棱锥P−ABCD的体积为：V P−ABCD＝13×S正方形ABCD×PO=13×a2×√142a=√146a3=√146×43=32√143.故选：B．5．B⊥f′(x)=3x2+2ax，⊥f′(1)=3+2a=7，则a=2，⊥f′(x)=x(3x+4)，当x <−43时，f ′(x)>0；当−43<x <0时，f ′(x)<0. 故f(x)在(−∞,0)上的最大值为f(−43)=3227. ⊥−2x <0，⊥f(−2x )的最大值为3227. 故选B. 6．C因为函数y =cos(1+x 2)所以y′=−sin(1+x 2)(1+x 2)′=−2xsin(1+x 2) 7．A依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ⊥PQ 是⊥F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ⊥PQ 是TF 1的中垂线，⊥|PF 1|＝|PT |， ⊥P 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1上一点， ⊥|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ⊥|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ⊥|OQ |＝a ． 故选A ．8．B解：因为α、β、γ、δ为锐角， 则sinαcosβ≤sin 2α+cos 2β2，当且仅当sinα=cosβ时取等号，同理sinαcosβ+ sinβcosγ+ sinγcosδ+ sinδcosα≤2，0<sinαcosβ sinβcosγ sinγcosδ sinδcosα=116sin2α⋅sin2β⋅sin2δ⋅sin2γ≤116， 故不可能有4个数都大于12，所以最多三个数大于12，所以m =3，例如α=45°,β=44°,γ=30°,δ=60°，故最多有4个数均小于14，所以n =4，例如α=β=γ=δ=80°， 所以m +n =7. 9．ACD根据图象可知，散点从左下到右上分布， 销售额y 与年份序号x 呈正相关关系，故A 正确；因为相关系数0.936>0.75，靠近1，销售额y 与年份序号x 线性相关显著，B 错误. 根据三次函数回归曲线的相关指数0.999>0.936，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，C 正确；由三次多项式函数y =0.07x 3+29.31x 2−33.09x +10.44， 当x =10时，y ≈2680.54亿元，D 正确； 10．BCDA 选项，由DD 1//CC 1，即CC 1与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G’连接AG’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，所以GG ′=BB 1=AA 1，而AA 1//GG ′，即A 1G//AG ′；又因为面ABB 1A 1 ∩面AEF =AG ，且A 1G ⊄面AEF ，A 1G ⊂面ABB 1A 1，所以A 1G ⊥平面AEF ，故正确.C选项，取B1C1中点H，连接GH，由题意知GH与EF平行且相等，所以异面直线A1G与EF 所成角的平面角为∠A1GH，若正方体棱长为2，则有GH=√2,A1G=A1H=√5，即在△A1GH中有cos∠A1GH=√1010，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为ℎ1、ℎ2，则由V A−GEF=13⋅AB⋅S GEF=V G−AEF=13⋅ℎ1⋅S AEF且V A−CEF=13⋅AB⋅S CEF=V C−AEF=13⋅ℎ2⋅S AEF，知ℎ1ℎ2=S GEFS CEF=2，故正确.11．AC解：由数列{an }是等比数列，设公比为q ，知：在A 中，⊥a n 2=a 12q2n−2， ⊥a n+12a n2=a 12q 2n a 12q 2n−2=q 2是常数，⊥数列{an 2}是等比数列，故A 正确；在B 中，若a 3=2，a 7=32，则a 5=√2×32=8，故B 错误；在C 中，若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，可得1<q <q 2，解得q >1， 且{a n }中各项为正数，所以a n+1−a n =a n (q −1)>0，此时数列{an }是递增数列； 当a 1<0时，可得1>q >q 2，解得0<q <1，此时{a n }中各项为负数， 所以a n+1−a n =a n (q −1)>0，此时数列{an }是递增数列，综上所述，C 正确； 在D 中，若数列{an }的前n 和Sn =3n ﹣1+r ，则a 1=S 1=1+r ，a 2=S 2﹣S 1=(3+r )﹣(1+r )=2，a 3=S 3﹣S 2=(9+r )﹣(3+r )=6，⊥a 1，a 2，a 3成等比数列，⊥a 22=a 1a 3，⊥4=6(1+r )，解得r =﹣13，故D 错误. 12．BD在直线AB 上满足|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ |的点P 有两个，一个在线段AB 上，一个在线段AB 的延长线上，A 错；如图，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ．则ABOC 是平行四边形，又|AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=R ，而|OB |=|OC |=R ， 所以ABOC 是菱形，且∠ABO =π3，|BE |=√32R ，BA⃑⃑⃑⃑⃑ 在BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 上的投影为|BE |= √32R ，B 正确；如，a =(2,1),b ⃑ =(1,2)，c =(1,1)，满足c ⊥(a −b ⃑ )，但a ≠b⃑ ，C 错； PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇒PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即PB ⊥CA ，同理PC ⊥AB,PA ⊥BC ，所以P 是△ABC 的垂心，D 正确； 故选：BD ． 13．5.分析：先求复数z ，再求|z |. 详解：由题得z =18−i2−3i =(18−i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=39+52i 13=3+4i,所以|z|=√32+42=5.故答案为5.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数z =a +bi(a,b ∈R)的共轭复数z =a −bi, |z|=√a 2+b 2. 14．19910=(100−1)10=(1−100)10=1−C 101×100+C 102×1002−⋯+10010，展开式中从第二项开始都是1000的倍数，因此它除以1000后余数为1． 15．π2设AC 的中点为D ，连接BD ，∵AB⊥BC，∴BD=AD，且AB=BD，∴ΔABD是等边三角形，并且ΔABD的高是√3,∴AD=2，即AC=2AD=4，∴T=4，即2πω=4，解得：ω=π2.故答案为：π216．±2试题分析：求导函数可得y′=3（x+1）（x-1），令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1；⊥函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减，⊥函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值．⊥函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，⊥极大值等于0或极小值等于0．⊥1-3+c=0或-1+3+c=0，⊥c=-2或2．17．（1）在ΔDCE中，设CD=x，CE=y(x>y)，则S=12xysin60∘=√32，⊥xy=2，由余弦定理可得，DE2=x2+y2−2xycos60∘，⊥x2+y2=5，解得x=2，y=1，所以菱形的边长AB为2.（2）在ΔDCF中，由题意知,∠DCF=30∘，由正弦定理可得，CFsin∠CDF =DFsin30∘，⊥sin∠CDF=CFDF sin30∘=45，⊥E 是边BC 上一点，所以∠CDE ≤∠CDB =60∘， ⊥cos∠CDF =35，因为∠DFC =π−(∠CDF +30∘),所以cos∠DFC =cos [π−(∠CDF +30∘)]=−cos (∠CDF +30∘), 由两角和的余弦公式可得，cos (∠CDF +30∘)=cos∠CDFcos30∘−sin∠CDFsin30∘=35×√32−45×12=3√3−410，所以cos∠DFC = 4−3√310即为所求. 18 (1)由题可知f (p )=C 54p 4(1−p )=5p 4(1−p )，f ′(p )=5p 3(4−5p )，令f ′(p )=0，得p =45， 当p ∈(0,45)时，f ′(p )>0，f (p )在(0,45)上单调递增； 当p ∈(45,1)时，f ′(p )<0，f (p )在(45,1)上单调递减. 所以f (p )的最大值点p 0=45 (2)⊥记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题， 则P(B)=45，P (C )=45⋅58=12， P (A )=1−P (B̅)P (C )=1−15⋅12=0.9. ⊥由题意知随机变量X ∼B (n,0.9)，P (X =k )=C n k ×0.9k ×0.1n−k (k =0,1,2,⋅⋅⋅,n )因为P (X =90)最大，所以{C n 90×0.990×0.1n−90≥C n 91×0.991×0.1n−91C n 90×0.990×0.1n−90≥C n 89×0.989×0.1n−89，解得99≤n ≤9019，因为n 是整数，所以n =99或n =100， 当n =99时，E (X )=np =99×0.9=89.1； 当n =100时，E (X )=np =100×0.9=90 19． (1)证明：⊥AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点，⊥A 1O ⊥AC ，又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，侧面AA 1C 1C ∩底面ABC =AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ⊥A 1O ⊥平面ABC . (2)解：如图，连接OB ，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.因为边长呈比例关系，不妨设AA 1=2.由已知可得A(0,−√3,0)，A 1(0,0,1)，B (3,0,0)，C(0,√3,0)，C 1(0,2√3,1) ⊥BC →=(−3,√3,0)，A 1B →=(3,0,−1)，A 1C 1→=(0,2√3,0).设平面CA 1B 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1).则有{m →⋅BC →=0m →⋅A 1B →=0⇒{−3x 1+√3y 1=03x 1−z 1=0 取x 1=1，则y 1=√3，z 1=3，⊥m →=(1,√3,3)为平面CA 1B 的一个法向量. 设平面A 1BC 1的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则有{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1B →=0⇒{2√3y 2=03x 2−z 2=0y 2=0，令x 2=1，则z 2=3，⊥n →=(1,0,3)为平面A 1BC 1的一个法向量， ⊥cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|√13⋅√10√13013.⊥所求二面角的余弦值为√13013.20．解：（1）由已知得e =c a=√22且2c =2，所以a =√2，c =1.所以椭圆方程为x 22+y 2=1.（2）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (x 3,y 4)， 由AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得{x 3=2x 1+x23y 3=2y 1+y 23 ， 设|OE ||OD |=λ，则结合题意可知OE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以E (λx 3,λy 3). 将点E (λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1.即1λ2=x 322+y 32=(2x 1+x 23)22+(2y 1+y 23)2. 变形，得1λ2=49(x 122+y 12)+49(x 1x 22+y 1y 1)+19(x 222+y 22)(*) 又因为A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−12，所以{ x 122+y 12=1x 222+y 22=1k OA ⋅k OB=y 1x 1⋅y 2x 2=−12，代入(*)式解得λ=3√55. 所以|OE ||OD |是定值，为λ=3√55. 21．（1）甲的中位数是117+1212=119，乙的中位数是128+1282=128，乙的成绩更好（2）乙频率分布直方图如下图所示：分组频数频率[100,110)20.1[110,120)40.2[120,130)50.25[130,140)60.3[140,150)30.15合计201（3）甲乙两位同学的不低于140分的成绩共5个，甲两个成绩记作A1、A2,乙3个成绩记作B1、B2、B3（其中B3表示150分），任意选出2个成绩所有的取法为(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共10种取法其中两个成绩不是同一个人的且没有满分的是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)共4种取法，∴取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率：410=25. 22．解：（1）由f(x)=a x −lnx +1得f′(x)=−a x 2−1x =−a+x x 2(x >0)，⊥函数f(x)=ax −lnx +1有两个不同的零点x 1，x 2， ⊥f(x)在(0,+∞)上不单调， ⊥a <0，令f′(x)>0得0<x <−a ，f′(x)<0得x >−a ， 故f(x)在(0,−a )上单调递增，在(−a,+∞)上单调递减， 则f(x)的极大值为f (−a )=−ln (−a )>0， ⊥0<−a <1，⊥−1<a <0.⊥x →0+时f(x)<0，x →+∞时f(x)<0， ⊥a 的取值范围是−1<a <0. （2）由（1）知f (x 0)=−ln (−a )，⊥f (x 1)=f (x 2)，⊥a x 1−lnx 1+1=ax 2−lnx 2+1，⊥a =lnx 1−lnx 21x 1−1x 2=ln1x 2−ln 1x 11x 1−1x 2.令1x 1=t 1，1x 2=t 2，则a =lnt 2−lnt 1t 1−t 2，且1x 1+1x 22=t 1+t 22， 要证1x 1+1x 2>2ef (x 0)，只需证t 1+t 22>e(−ln(−a)).下面先证明t 1+t 22>t 1−t2lnt 1−lnt 2，这只要证明ln t 1t 2<2(t1t 2−1)t 1t 2+1，设0<t1t 2=m <1，所以只要证明lnm −2(m−1)m+1<0，设g(m)=lnm −2(m−1)m+1，则g′(m)=1m −4(m+1)2=(m−1)2m(m+1)2≥0，所以g (m )递增， 则g (m )<g (1)=0成立.于是得到t 1+t 22>t 1−t 2lnt 1−lnt 2=−1a，因此只要证明−1a ≥−eln(−a)(−1<a <0)，构造函数ℎ(a)=−1a +eln(−a)， 则ℎ′(a)=1a 2+ea =1+ea a 2，故ℎ(a )在(−1,−1e )上递减，在(−1e ,0)上递增，则ℎ(a)≥ℎ(−1e )=0，即−1a ≥−eln(−a)成立.。

单独考试招生考试数学卷（满分120分，考试时间90分钟）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．某班级英语兴趣小组有5名男生和5名女生，现要从中选4名学生参加英语演讲比赛，要求男生、女生都有，则不同的选法有（）（A）210种（B）200种（C）120种（D）100种2．已知全集=I {∈x x |R}，集合=A {x x |≤1或x ≥3}，集合=B {1|+<<k x k x ，∈k R}，且∅=B A C I )(，则实数k 的取值范围是（）（A）0<k 或3>k （B）32<<k （C）30<<k （D）31<<-k 3．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则)]41([f f 的值是（）（A）9（B）91（C）－9（D）－914．设函数1)(22+++-=x x n x x x f （∈x R，且21-≠n x ，∈x N*），)(x f 的最小值为n a ，最大值为n b ，记)1)(1(n n n b a c --=，则数列}{n c （）（A）是公差不为0的等差数列（B）是公比不为1的等比数列（C）是常数列（D）不是等差数列，也不是等比数列5、方程43)22(log =x 的解为（）A .4=x B .2=x C .2=x D .21=x 6.在等比数列{}n a 中，若243,27a a ==，则5a =()A.81-B.81C.81或81-D.3或3-7.抛掷一枚骰子，落地后面朝上的点数为偶数的概率等于()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.88.已知角β终边上一点(4,3)P -，则cos β=()A.35- B.45 C.34- D.549.已知两点(2,5),(4,1)M N --，则直线MN 的斜率k =()A.1B.1-C.12D.12-10.函数2sin cos 2y x x =+的最小值和最小正周期分别为()A.1和2πB.0和2πC.1和πD.0和π二、填空题：（本题共2小题，每小题10分，共20分．）1.若04x <<，则当且仅当x =______时，(4)x x -的最大值为______2、从8位女生和5位男生中，选3位女生和2位男生参加学校舞蹈队，共有_______种不同选法.三、解答题：（本题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1.已知函数f(x)＝x2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数。

普通高等学校数学招生全国统一考试5数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21sin cos βαβαβα-++=[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）满足条件{}{}3,2,11= M 的集合M 的个数是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80°，sin80°），B （cos20°，sin20°），则|AB |的值是 （A ）21（B ）22 （C ）23 （D ）1（3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是 （A ）y =cos 2x（B ）y =2|sin x |正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'＝台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式 334R V π＝球其中R 表示球的半径（C ）xy cos )31(= （D ）y =－cot x（4）64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则 （A ）V 甲>V 乙且S 甲>S 乙 （B ）V 甲<V 乙且S 甲<S 乙 （C ）V 甲=V 乙且S 甲>S 乙（D ）V 甲=V 乙且S 甲=S 乙（5）已知某曲线的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕtan sec y x （ϕ为参数）．若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 （A ）ρ =1（B ）ρcos2θ =1 （C ）ρ2sin2θ =1 （D ）ρ2cos2θ =1（6）给定四条曲线：①,2522=+y x ②,14922=+y x ③,1422=+y x ④.1422=+y x 其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①②④ （D ）①③④（7）已知z 1，z 2∈C 且| z 1|=1．若z 1＋z 2=2i ，则| z 1－z 2|的最大值是（A ）6 （B ）5（C ）4（D ）3（8）若11cot 21cot =+-θθ，则θθ2sin 12cos +的值为 （A ）3 （B ）－3 （C ）－2 （D ）－21（9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（A ）4448412C C C 种（B ）34448412C C C 种 （C ）3348412P C C 种 （D ）334448412P C C C 种（10）设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”．那么，甲是乙的 （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件（D ）既非充分又非必要条件（11）已知f （x ）是定义在（－3，3）上的奇函数，当0<x <3时，f （x ）的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x <0的解集是（A ）)3,2()1,0()2,3(ππ --（B ）)3,2()1,0()1,2(ππ--（C ）)3,1()1,0()1,3( -- （D ）)3,1()1,0()2,3( π--（12）如图所示，fi （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（A ）f 1（x ），f 3（x ）（B ）f 2（x ） （C ）f 2（x ），f 3（x ） （D ）f 4（x ）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）)52arcsin(-，)43arccos(-，45arctan -从小到大的顺序是_____________________．（14）等差数列｛a n ｝中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_____________．（15）关于直角AOB 在定平面α 内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________（注：把你认为是正确判断的序号都填上）．（16）已知P 是直线3x ＋4y ＋8=0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为____________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）解不等式212<--x x ．（18）（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a >c ，b >d ，两底面间的距离为h ．（Ⅰ）求侧面ABB 1 A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估=S 中截面·h 来计算．已知它的体积公式是 6hV =（S 上底面＋4S 中截面＋S 下底面） 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）（19）（本小题满分12分）数列｛x n ｝由下列条件确定：)(21,011nn n x ax x a x +=>=+，n ∈N ． （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ≥； （Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x ；（Ⅲ）若数列｛x n ｝的极限存在，且大于零，求n n x lim∞→的值．（20）（本小题满分12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： 用计算机求n 个不同的数v 1，v 2，…，v n 的和∑=++++=ni n iv v v v v1321 ．计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法．比如n =2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：（Ⅰ）当n =4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？ 把你设计的方法填入下表（Ⅱ）当n =128时，要使所有机器都得到∑=ni iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）（21）（本小题满分12分）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G ，F ，H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（22）（本小题满分14分）已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （a · b ）=af （b ）＋bf （a ） （Ⅰ）求f （0），f （1）的值；（Ⅱ）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若nf u f n n )2(,2)2(-==（n ∈N ），，求数列｛u n ｝的前n 项的和S n ．普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）D （3）B （4）C （5）D （6）D （7）C （8）A （9）A（10）C（11）B（12）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）)43arccos()52arcsin()45arctan(-<-<-（14）4（15）①②③④⑤（16）22三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）本小题考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力．满分12分．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->--<--⇔212212x x x x因为⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥+≥-⇔+<-⇔<--2)2(1202012212212x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧>++≥⇔052212x x x 21≥⇔x又⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔->--2)2(1202012212x x x x x x 或⎩⎨⎧<-≥-02012x x⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥⇔05622x x x 或 221<≤x⎩⎨⎧<<≥⇔512x x 或 221<≤x 52<≤⇔x 或221<≤x 521<≤⇔x 所以，原不等式组52152121<≤⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥⇔x x x 因此，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521x x（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G ．∵ 平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∠A 1B 1C 1= 90°∴ AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P ．∴ ∠B 1PG 为所求二面角的平面角．过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H ．由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形．∴ )(21d b PG -=， 又B 1G =h ， ∴ )(2t a n 1d b d b hPG B >-=∠，∴db h PG B -=∠2arctan1,即所求二面角的大小为db h-2arctan． （Ⅱ）证明：∵ AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ， 又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线， ∴ AB ∥面CDEF ．∵ EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴ AB ∥EF ．∵ AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外， ∴ EF ∥面ABCD ． （Ⅲ）V 估<V ． 证明：∵ a >c ，b >d ， ∴ h d b c a d b c a ab cd h V V 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++=-估 []))((3))((22212d b c a d b c a ab cd h++-++++= 0))((12>--=d b c a h∴ V 估<V ．（19）本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由x 1=a >0，及)(211nn n x ax x +=+，可归纳证明x n >0（没有证明过程不扣分）． 从而有a x ax x a x x nn n n n =⋅≥+=+)(211（n ∈N ）， 所以，当n ≥2时，a x n ≥成立．（Ⅱ）证法一：当n ≥2时，因为0>≥a x n ，)(211nn n x ax x +=+ 所以 021)(2121≤-⋅=-+=-+nnn n n n n x x a x x a x x x ， 故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1成立．证法二：当n ≥2时，因为0>≥a x n ，)(211nn n x ax x +=+， 所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n nn x x x x a x x x ax x x ， 故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1成立．（Ⅲ）解：记A x n n =∞→lim ，则A x n n =+∞→1lim，且A >0．由 )(211nn n x ax x +=+， 得)(21lim lim1lim nn n n n n x ax x ∞→∞→+∞→+=，即 )(21AaA A +=． 由 A >0，解得a A =， 故a x n n =∞→lim ．（20）本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：当n =4时，只用2个单位时间即可完成计算． 方法之一如下：（Ⅱ）解：当n =128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算．（21）本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得 重心)3,31(c b G +，外心)2,21(22c b c b F -+，垂心),(2c b b b H -． 当21=b 时，G ，F ，H 三点的横坐标均为21，故三点共线； 当21≠b 时，设G ，H 所在直线的斜率为k GH ，，F ，G 所在直线的斜率为k FG ． 因为 )21(33313222b c b b c b b c b b c k GH--+=-+--=，)21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG--+=-+-+-=，所以 FG GH k k =，G ，F ，H ，三点共线． 综上可得，G ，F ，H 三点共线．（Ⅱ）解：若FH ∥OB ，由0)21(3322=--+=b c b b c k FH，得)21,0(0)(322≠≠=+-b c c b b配方得 43)21(322=+-c b ，即1)23()21()21(2222=+-c b ．即 )0,21(1)23()21()21(2222≠≠=+-y x y x ．所以，顶点C 的轨迹是中心在)0,21(，长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），)23,21(，)23,21(-，四点．（22）本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：f (0)=f （0·0）=0·f （0）＋0·f （0）=0． 因为 f (1)=f （1·1）=1·f （1）＋1·f （1） 所以 f (1)=0．（Ⅱ）f （x ）是奇函数．证明：因为 f （1）=f 〔21）（-〕=－f （－1）－f （－1）=0， 所以 ，f （－1）=0f （－x ）=f （－1·x ）=－f （x ）＋xf （－1）=－f （x ）， 因此，f （x ）为奇函数．（Ⅲ）解法一：由f （a 2）=af （a ）＋af （a ）=2af （a ），f （a 3）=a 2f （a ）＋af （a 2）=2a 2f （a ），猜测f （a n ）=na n －1f （a ）．下面用数学归纳法证明：1°．当n =1时，f （a 1）=1·a 0·f （a ），公式成立； 2°．假设当n =k 时，f （a k ）=ka k －1f （a ）成立，那么当n =k ＋1时，f （a k ＋1）=a k f （a ）＋af （a k ）= a k f （a ）＋ka k f （a ）=（k ＋1）a k f （a ），公式仍成立．由上两步可知，对任意n ∈N ，f （a n ）=na n －1f （a ）成立．所以 )21()21()2(1f n f u n n n ⋅==--．因为 f （2）=2，0)2(21)21(2)212()1(=+=⋅=f f f f ， 所以 21)2(41)21(-=-=f f ， 1)21()21(-⋅-=n n u （n ∈N ），因此 1)21(211)21(121-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n n n S （n ∈N ）． 解法二： 当ab ≠0时，aa fb b f ab b a f )()()(+=⋅ 令xx f x f )()(=，则g （a ·b ）=g （a ）＋g （b ）， 故g （a n ）=ng （a ），所以 f （a n ）=a n ·g （a n ）=na n g （a ）=na n －1f （a ）．所以 )21()21()2(1f n f u n n n ⋅==--．（以下同解法一）。