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第一章 行列式1. 排列与逆序数(1)排列把n 个不同的元素排成一列， 就叫作这n 个元素的全排列，简称排列。
比如231645就是这6个元素的一个排列.注：不同的n 级排列共有n!个。
(2)逆序、逆序数、对换 ①在一个n 级排列n j j 1中，若一对数t s j j ,，大前小后，即t s j j >，则t s j j ,构成了一个逆序。
一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为)(1n j j τ。
如231645的逆序数为4，记作τ(231645)=4，τ(123) =0。
②排列n j j 1中，交换任两个数的位置，其余不变,则称对排列做了一次对换。
③逆序数为奇(偶)数的排列，称为奇(偶)排列。
注:对换一次改变排列的奇偶性.如r(123) =0,r(321) =3。
2. n 阶行列式的定义行列式是定义在方阵上的一种新的运算法则ni i i i i nj j j j j nnn n n n n n ij n n n n n a a a a a a a a a a a a a a D 1)(1)(212221212111121121)1()1()(ττ∑∑-=-==∆=⨯计算步骤;(1)取数相乘，来自不同行不同列(2)冠以符号，)(21)1(n j j j τ-(3)全部相加，n n nj j j j j n a a 1211)(!)1(τ∑-、注：(1)当n=1时，定义11111a a D ==(2)n D 是一个数值，是n!项的代数和(3)nn a a a ,,,2211 所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的nn a a a ,,,2211 称为主对角元。
另一条对角线称为行列式的副对角线。
3. 行列式的性质(1) 转置：行列式行与列互换，行列式的值不变（互换后的行列式叫做行列式的转置）nnn n n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212222111211212221212111=(2) 交换（反对称性质）：行列式的两行(或列)对换，行列式的值变号。
线性代数：矩阵⾏列式1、矩阵的⾏列式定义矩阵的⾏列式，determinate，是基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。
2、n维矩阵的⾏列式假设矩阵A为n维的⽅阵，定义Aij为从A中删除第i⾏、第j列之后剩下的n-1维⽅阵。
可以沿着A的第⼀⾏来求取⾏列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是⼀个递归的定义，包含n项，每⼀项的正负号等于（-1)的(i+j)次⽅。
实际上可以对A的任意⼀⾏、任意⼀列按上⾯的⽅法来求取⾏列式，可以挑选包含0⽐较多得⾏(列)。
3、矩阵标量乘法的⾏列式当矩阵的某⼀⾏（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次⽅ * det(A)。
4、矩阵⾏列式的⼀些规律1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)2)如果矩阵A有两⾏（列）相等则，det(A) = 03)如果矩阵A将两⾏交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)4)如果矩阵A进⾏⾏变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过⾏变换达到3)的效果，这个过程中会发⽣-1数乘某⾏。
5、上三⾓矩阵的⾏列式所谓上三⾓矩阵，就是对⾓线以下的位置全部为零（aij=0 if i>j）；上三⾓矩阵的⾏列式等于 a11*a22*...*ann；基于这个特性，可以通过⾏变换，把矩阵转换为上三⾓矩阵，再求⾏列式。
6、⾏列式与平⾏四边形⾯积两个⼆维向量v1，v2，可以作为平⾏四边形的临边来定义⼀个平⾏四边形。
两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平⾏四边形的⾯积 = det(A)的绝对值。
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数四阶行列式计算方法1 线性代数四阶行列式计算线性代数四阶行列式是解决线性代数复杂问题的一种重要技术，它可以用于表达复杂关系中各种变量之间的联系，是线性代数学习中基础知识之一。
行列式，顾名思义，就是一种用行和列表示的表格，其中各个元素间有特殊的计算公式，可以帮助解决线性代数复杂的问题。
四阶行列式计算就是结合四个相关变量，通过给出正确的计算公式，求出此四个变量之间的关系的技术。
2 计算步骤给出形如 \(A_{ij}\) (i,j=1,2,3,4) 的四阶行列式，需要先确定计算公式，计算步骤如下：（1）先确定行列式\(A_{ij}\) 第i行第j列所对应的因子，符号为\(a_{ij}\)；（2）根据四阶线性代数四阶行列式的展开式计算公式\(|A_{ij}| = \sum_{i=1}^{4}a_{ij}A_{i1,i2,i3,i4}\)，其中每行代表一个行列式子式 \(A_{i1,i2,i3,i4}\)；（3）计算每一个子式，再将符号\(a_{ij}\)乘以它所对应的子式，最后之后相加求得线性代数四阶行列式计算结果；（4）完成计算。
3 求解实例以求解线性代数四阶行列式\(A_{ij}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a _{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{4 2}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}\)为例，用上文提到的\(|A_{ij}| = \sum_{i=1}^{4}a_{ij}A_{i1,i2,i3,i4}\)的计算公式，结合该行列式的具体值，例如\(a_{11}=3, a_{12}=7, a_{13}=1,a_{14}=4,a_{21}=4, a_{22}=6, a_{23}=2, a_{24}=1, a_{31}=2,a_{32}=5, a_{33}=7, a_{34}=-3, a_{41}=5, a_{42}=1, a_{43}=3, a_{44}=2\)，可以得到下式，\(|A_{ij}| = 3\begin{vmatrix}6&2&1\\5&7&-3\\1&3&2\end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}4&1&4\\2&7&-3\\5&3&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}4&6&4\\2&5&-3\\5&1&2\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}4&6&2\\2&5&7\\5&1&3\end {vmatrix}\)由此可知，线性代数四阶行列式\(A_{ij}\)的值为\(|A_{ij}| = 108\)。
