随机变量分布列练习题二套

高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝．于是P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝，故选D．2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为pk＝p k(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p＝，∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝.∴p1＝p·(1－p)3＝4××()3＝，故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A．Y的取值为0,1,2,3B．P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y D．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确．易知C正确．对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300(3－Y)＝300Y－900.4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.【答案】（1）ξ的分布列为（2）3∶2∶1【解析】(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到：η有三种取值即1，，所以η的分布列为所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【答案】（1）0.5（2）0.8（3）ξ0123【解析】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·B＋A·B，P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D＝A·B，P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3)ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．【答案】（1）、、（2）X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝××＝.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝××＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，4P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)随机变量的分布列为：346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数；(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为：数学期望 .试题解析：(1)：设取出的小球中有相同编号的事件为，编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为：3，4，6 6分， 7分， 8分9分所以随机变量的分布列为：346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P( )＝1－P()P()P( )＝1－××＝.(2)由题意，得X的可能取值是，2，，3.因为P(X＝)＝P()＝，P(X＝2)＝P(A )＋P(B)＋P(C )＝，P(X＝)＝P(AB)＋P(A C)＋P( B C)＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝，所以X的分布列为：(3)由(2)知E(X)＝×＋2×＋×＋3×＝＝.10.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是．【答案】.【解析】由题意，则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为、，记.（Ⅰ）求取最大值的概率；（Ⅱ）求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）所以的分布列：数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方试题解析：（Ⅰ）当时，最大。

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。

概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。

本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。

练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。

解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。

解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。

因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。

练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。

解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。

第2章 随机变量及其分布（练习、复习题及答案）一、填空题：1.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=a /N ，(k =1,2,…,N)，则a = 1 .2.射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止,则射击次数ξ的分布列为 P(ξ=k )=p (1-p )k -1,k =1,2,….3.随机变量ξ服从参数为(2,p )的二项分布,随机变量η服从参数为(4,p )的二项分布,若P(ξ<1)=4/9,则P(η≥1)=_ 65/81_.4.离散型随机变量ξ的概率分布P(ξ=0)=0.2，P(ξ=1)=0.3，P(ξ=2)=0.5，则P(ξ≤1.5)=__0.5__.5.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=!k Ckλ,k =0,1,2,…(λ>0)，则C ＝ e -λ. *λλλλe =++++!3!2!11326.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=k a -λ,k =1,2,…，其中λ>1，则a ＝ λ-1 .7.一实习生用同一台机器接连独立地制造三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率3,2,1,11=+=i i p i ，以ξ表示三个零件中合格品的个数，则P{ξ=2}＝ 11/24 .8.随机变量ξ的分布函数为F(x ),则概率P(ξ≥a )用F(x )表示为__ 1-F(a )__. 9.随机变量ξ的分布函数为F(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥+--0 0 0)1(1x x ex x ,,,则P(ξ≤1)=_1-2e -1_. 10.随机变量ξ的概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-其他,), 0 2A(2x x ,则A=__1/4__.11.连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1, 110,0,0)(F 2x x x x x ,则ξ的概率密度f (x )=⎩⎨⎧<<其他, 1 10,2x x .12.连续型随机变量ξ的分布函数为)0(00,0B A )(F >⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-λλx x ex x ,, ，则常数A =_1 ,B =_-1;P{-1<ξ<1}= 1-e -λ.13.随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-0, 00,)1(1)(x x ex x F x ,则相应的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0, 00,)(x x xex f x .14.随机变量ξ在[1,4]上服从均匀分布,现在对进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于2的概率为_20/27_.15.随机变量ξ ~N(70,102)，则P(60<ξ<80)=_0.6826_.(已知Φ(1)=0.8413)16.随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(2<ξ<4)=0.3,则P(ξ<0)=_0.2_.17.随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，已知P(ξ<9)=0.975，P(ξ<2)=0.062，则P(ξ>6)=_0.3228_. 18.若ξ~N(0,1)，则η=ξ3的密度函数为+∞<<-∞--y e yy,231322132π.19.统考成绩服从正态分布N(70,102),在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),则不及格人数约为_19_.二、选择题1.在下列结果中，构成概率分布的是( D ).{}{}{}{}),,(D.P ),,,(C.P ),,(B.P ),,,(A.P 2 132 2 1 032 2 131 2 1 031============k k ξk k ξk k ξk k ξkkkk2.随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k )=b λk (k =1,2,…), b >0，则( C ). A.λ为任意正实数 B.λ=b +1 C.b+=11λ D.11-=b λ3.常数b =( B )时，),,( 2 1)1(=+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布.A.2B.1C.0.5D.34.设ξ是一个离散型随机变量，则( D )可以成为ξ的分布列.{}{}, , , n n en ξn n en ξx x x x x R p p p nn210!32 1!30.22.0 .303.0 .10 ,1 0 1 3354321======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---.D.P,,.C.P B.A.5.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪<1)的值为( B ).A.2[1-Φ(1)]B.2Φ(1)-1C.1-Φ(1)D.1-2Φ(1)6.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪>2)的值为( A ). A.2[1-Φ(2)] B.2Φ(2)-1 C.2-Φ(2) D.1-2Φ(2)7.设随机变量ξ的分布函数为F (x )，在下列概率中可表示为F (a +0) - F (a )的是( C ). A.P{ξ≤a } B. P{ξ>a } C. P{ξ=a } D. P{ξ≥a }8.下列函数可以作为某一随机变量ξ的密度函数的是( D ).⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎩⎨⎧∈=其他D. 其他C. 其他B.其他A., 0 ]2,0[,sin )(, 0 ]2,2[,sin )(, 0 ]23,0[,sin )( , 0 ],0[,sin )(πππππx x x f x x x f x x x f x x x f9.设ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 0 0)(1A )(4x x x x x f ,,，则A=( B ).A.3B.6C.2.5D.4 10.设随机变量ξ的密度函数为f (x )=)(21+∞<<-∞-x ex，则其分布函数的是( B ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---1, 1 10,2110, 21 )(0, 1 0,211)(0,2110, 21 )( 0, 0 0,21)(x x e x e x F x x e x F x e x e x F x x e x F x xx x xx D. C. B.A.11.设f (x )是一连续型随机变量ξ的密度函数，其表达式为分段函数，则当x ∈( A )时，f (x )=cos x ，其余f (x )=0.]47,23[],0[],2[]2,0[ππππππ D. C. B.A.12.设随机变量ξ服从[0，5]上的均匀分布，则关于t 的方程4t 2+4ξt+ξ+2=0有实根的概率是( B ).A.0.4B.0.6C.1D.1/313.设随机变量ξ~N(μ, 62)，η~ N(μ, 82)，记p 1=P{ξ≤μ-6}，p 2=P{η≥μ+8}，则( A ).A. p 1=p 2B. p 1>p 2C. p 1<p 2D. p 1≤p 2 三、解答题：1.下列表格是概率分布吗？为什么？(1) ξ 1 2 3 4 不是 (2) ξ -1 0 1 4 是 P 0.2 0.3 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 2.求常数C ,使下列函数成为概率分布:P(ξ=k )=Ck ,k =1,2,…, n ； )1(2+=n n C3.随机变量ξ~b (n , p )，已知P(ξ=1)=P(ξ=n -1)，试求 p 与P(ξ=2)的值.p =0.5，P(ξ=2)=122)1(21+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n C4.随机试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复地做两次。

《随机变量及其分布》同步练习题（二）（考试时间：90分钟，满分：150分）班级：_________ 姓名：___________ 座号：__________ 总分：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场人数是随机变量。

其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.42、随机变量X的概率分布如下：则c等于（）A. 0．1 B．0．2C．0．3 D．0．43、若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件是（）A．A与B B. A与B C. B与B D. A与B 4、甲、乙、丙三位同学解一道数学题,他们做对的概率都是0.6,则甲、乙、丙都做对的概率是( )A.0．63B.0.1×0．62C.0.6×3D.1-0．625、将一颗骰子连掷5次,恰好2次出现3点的概率为( )A.C5232)65()61( B.C5223)65()61( C.C5332)61()65( D.C5323)65()61(6、已知随机变量X～B(6,0.5),则D(2X+4)等于( )A.6B.4C.3D.97、某地区高二女生的体重ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N（50，25），若该地区共有高二女生2000人，则体重在50 k g～65 kg间的女生共有（）A.683人B.954人C.997人D.994人 8、设随机变量X ～B （n ，p ），且EX=4，DX=2，则（ ）A.n=10,p=0.4B. n=8,p=0.5C. n=20,p=0.2D. n=16,p=0.25 9、在10个球中有4个红球和6个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，则在第1次摸到红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）A.35 B. 25C. 21D. 10310、已知随机变量X 服从二项分布X ～B （6，0.5）,则P （X=2）等于（ ）A.1664 B. 1516 C. 1564D. 3511、已知随机变量ξ服从正态分布N ～（3，σ2），则P （ξ<3）=( )A.15 B. 14 C. 13 D. 1212、甲、乙两台自行车床生产同种标准，X 表示甲机床生产1000件产品中的次品数，Y 表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，据此判定（ ）A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13、一个二项随机变量X ～B （10,0.2），则EX=_____ 。

高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题（附答案）第二课时离散型随机变量的分布列2一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()A.1 0 1P 141214B.0 1 2P －143412C.0 1 2P 152535D.－1 0 1P 141412[答案] D[解析] 本题考查分布列的概念与性质．即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n，i＝1nP(i)＝1.A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140，C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651.2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(＝0) B．P(2)C．P(＝1) D．P(＝2)[答案] C[解析] 即取出白球个数为1的概率．3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝()A.316B.14C.116D.516[答案] A[解析] P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为()A.23B.34C.45D.56[答案] D[解析] c12＋c23＋c34＋c45＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45c＝1.c＝54.P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2)＝54112＋123＝56.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④[答案] B[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．(2019东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝()A.19B.16C.13D.14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a ＝1，62a＝1，即a＝3，P(＝2)＝1a＝13.7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A.1120B.724C.710D.37[答案] B[解析] P＝C37C03C310＝724.8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()A.15B.14C.25D.35[答案] C[解析] P＝2A44A55＝25.二、填空题9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：0 1 2P[答案] 15 35 1510．随机变量的分布列为：0 1 2 3 4 5P 192157458451529则为奇数的概率为________．[答案] 81511．(2019常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案] 5612．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________.[答案] 12[解析] 依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18.P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12.三、解答题13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列．[解析] 可能取的值为0、1、2、...、10.由题意知P(＝m) ＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、...、10)，的分布列为0 1 ... k (10)P C010C1040C1050C110C940C1050… Ck10C10－k40C1050… C1010C040C105014.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X)35；(3)求P110＜X＜710.[分析] 分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或110710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．[解析] (1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115. (2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25＝1－115＋215＝45.(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.15．(2009福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意可能的取值为2,3,4,5，P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量的概率分布为：2 3 4 5P 13021531081516.(2019福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设＝m2，求的分布列．[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．(1)由x2－x－60得－23，即S＝{x|－23}．由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16.故的分布列为：0 1 4 9P 161313。

随机变量分布列：26．设0a b <≤，随机变量X 的分布列是则()EX 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭27．已知实数a ，b ，c 成等差数列，随机变量X 的分布列是：当a 增大时（ ） A ．()E X 增大 B ．()E X 减小C ．()E X 先增大后减小D ．()E X 先减小后增大28．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ）A ．23 B ．59C ．29D ．3429．下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值是（ ）A ．6B ．12 C ．9D ．1230．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．23631．设随机变量X 的概率分布列为则()31P X -==（ ）A ．712B ．16C ．14D ．51232．设a ，b ，()0,1c ∈.随机变量ξ的分布列如图所示.则（ ）A ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ<B ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ>C ．()()E E ξξ>，()()D D ξξ<D ．()()E Eξξ>，()()D D ξξ>33．设10a <<，则随机变量ξ的分布列为：设()y E ξξ=-，则当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内增大时：（ ）A ．()E ξ递减，()2E y 递增B ．()E ξ递减，()2E y递减C ．()E ξ递增，()2E y先递减再递增D ．()E ξ递减，()2E y先递增再递减34．已知离散型随机变量X 的分布列为：若()2E X =，则()31D X -=（ ）． A ．3B ．9C ．12D ．3635．随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（ ）A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增26．C【来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试数学试题27．B【来源】专题16 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）28．A【来源】2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题29．C【来源】专题10.5 离散型随机变量及其分布列（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》30．C【来源】2019届浙江省高三下学期4月高考模拟测试数学试题31．D【来源】专题10.5 离散型随机变量及其分布列（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》32．A【来源】专题16 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）33．B【来源】浙江省超级全能生2020届高三下学期3月联考数学试题（C卷）34．D【来源】浙江省超级全能生2019-2020学年高三上学期9月联考数学试题（B卷）35．B【来源】浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟数学试题。

专题11.5 离散型随机变量的分布列1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．【答案】答案见解析．【分析】根据已知数据列表格．【详解】用X 表示获利，则X 的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：X1000500－500P0.40.20.42．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，求a 的值．X 123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和为1计算．【详解】由题意0.30.51a ++=，解得0.2a =3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设1,,0,,X ⎧=⎨⎩出现正面出现反面写出X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】X 的值分别为0，1，求出概率后得分布列．【详解】抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，X 0=或1，1(0)(1)2P X P X ====，分布列如下：练基础X1P12124．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.【答案】答案见解析【分析】根据概率之和为1可求出.【详解】由题意及分布列满足的条件知P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝3P (ξ＝1)＋P (ξ＝1)＝1，所以()114P ξ==，故()314P ξ==.所以ξ的分布列为ξ01P34145．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k 的值．ξ12…n Pk2k…2n －1·k【答案】121nk =-【分析】根据离散型随机变量ξ的概率性质即可求解参数．【详解】因为1＝k ＋2k ＋…＋2n －1k ＝k (1＋2＋…＋2n －1)＝k ·1212n--＝(2n －1)k ，所以121nk =-．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．ξ45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常数a 的值；（2）求(6)P ξ>．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和为1计算；（2）计算(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=即可 ．（1）由题意0.030.050.070.080.260.231a ++++++=，解得0.28a =；（2）(6)P ξ>=(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=＝0.080.260.280.230.85+++=．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X 表示取得的白球数，求X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】确定X 的可能值，计算出概率后得分布列．【详解】X 的所有可能值是0，1．42(0)105P X ===，63(1)105P X ===，所以X 的分布列如下：X01P25358．（2021·全国·高二课时练习）已知X 服从参数为0.3的两点分布．（1）求()0P X =；（2）若21Y X =+，写出Y 的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案见解析．【分析】（1）根据二项分布的概念求解；（2）求出Y 的可能值，写出分布列即可．（1）(0)10.30.7P X ==-=．（2）X 0=时，1Y =，1X =时，3Y =，所以Y 的分布列为：Y13P0.70.39．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X 的分布列，并说明理由：（1）X 1-0123P0.20.20.20.20.3（2）X 012345P0.10.2-0.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由见解析．（2）不是，理由见解析．【分析】（1）根据分布列中所有概率和为1说明；（2）由概率的范围说明．（1）由于0.20.20.20.20.3 1.11++++=>，因此此表格不是随机变量X 的分布列（2）表格中事件1X =的概率是0.2-，这是不可能的，概率在[0,1]范围内．因此此表格不是随机变量的分布列．10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X 的分布列为X 01234P0.20.10.10.3m求：（1）21Y X =+的分布列；（2）()39P Y <≤的值．【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性质解出m ，然后按步骤写出分布列即可；（2）根据（1）中的分布列可计算出答案.【详解】由分布列的性质知，0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m =．（1）由题意可知，()()21100.2P X P X +====，()()21310.1P X P X +====，()()21520.1P X P X +====，()()21730.3P X P X +====，()()21940.3P X P X +====，所以21Y X =+的分布列为：21Y X =+13579P0.20.10.10.30.3（2）()()()()395790.10.30.30.7P Y P Y P Y P Y <≤==+=+==++=.1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）．A ．P (ξ＝0)＝411B ．P (ξ＝111C ．P (ξ＝1)＝611D ．P (ξ＝122【答案】ABC【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ.【详解】由题设，ξ的可能取值为0，1．若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P (ξ＝0)＝232128C C ＝411，若两条棱平行，它们的距离为16对，∴P (ξ＝2126C ＝111，故P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ)＝1－411－111＝611，练提升ξ分布列如下：故选：ABC2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123P 14a14b则a2＋b2的最小值为________．【答案】1 8【分析】首先根据分布列的性质得到12a b+=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】由分布列的性质，知11144a b+++=，即12a b+=.因为()222128a ba b++≥=，当且仅当14a b==时取等号.所以22a b+的最小值为1 8 .故答案为：1 83．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.【答案】X123P38916116【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．由题意知X 的可能取值为1，2，3()3433=148A P X ==； ()223439=2416C A P X ==；()1431=3416A P X ==故答案为：X 123P389161164.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；【答案】(1)见解析.【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.20.40.45.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X ．（1）说明1X =表示的是什么事件，并求出(1)P X =；（2）求X 的分布列．【答案】（1）事件见解析，1(1)2P X ==；（2）分布列见解析．X ()2162000.290P X +===()363000.490P X ===()25745000.490P X ++===X X200300500P（1）根据X表示的意义确定事件，并计算概率．（2）X的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）1X=表示正面向上的次数为1的事件，1221 (1)22CP X===．（2）X的可能值为0，1，2，则221(0)24CP X===，2221(2)24CP X===，X的分布列如下：X012P 1412146．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．【答案】答案见详解.【分析】X的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出相应的概率，由此能求出耗用的子弹数X的分布列.【详解】根据题意1,2,3,4,5X=，()10.9P X==，()20.10.90.09P X==⨯=，()30.10.10.90.009P X==⨯⨯=，()40.10.10.10.90.0009P X==⨯⨯⨯=，()50.10.10.10.10.10.10.10.10.10.90.0001P X==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.∴X的分布列为：X12345P0.90.090.0090.00090.0001 7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.【答案】（1）310；（2）答案见解析.【分析】（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【详解】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则()()()153 202010P C P A P B=+=+=；（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝51 204=；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝1953 2020204++=，故X的分布列为：X23P 14348．（2021·全国·高二课时练习）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，随机地取出一个.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为X，求X的分布列.【答案】（1）331；（2）答案见解析.【分析】（1）计算基本事件总数和满足条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式即得解；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）记“所取出的非空子集中所有元素之和为10”为事件A .基本事件总数1234555555C C C C C 31n =++++=，事件A 包含的基本事件有{}1,4,5，{}2,3,5，{}1,2,3,4，共3个，故()331P A =.（2）依题意，X 的所有可能取值为1，2，3，4，5.()151131C 53P X ===，()2510231C 13P X ===，()3510331C 13P X ===，()454131C 53P X ===，()555131C 13P X ===.故X 的分布列为X12345P531103110315311319．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X ．（1）写出X 的分布列；（2）求(5)P X <；（3）求“点数和大于9”的概率．【答案】（1）答案见解析（2）16（3）16．【分析】（1）X 的可能值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，分别计算出概率后可得分布列；（2）由(2)(3)(4)P X P X P X =+=+=可得；（3）由(10)(11)(12)P X P X P X =+=+=可得．（1）由题意X 的可能值依次为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得1(2)(12)36P X P X ====，21(3)(11)3618P X P X =====，31(4)(10)3612P X P X =====，41(5)(9)369P X P X =====，5(6)(8)36P X P X ====，61(7)366P X ===，X 的分布列如下：X23456789101112P136118112195361653619112118136（2）1111231(5)(2)(3)(4)361812366P X P X P X P X ++<==+=+==++==；（3）1111(9)(10)(11)(12)1218366P X P X P X P X >==+=+==++=．10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：老师评分11109分数所占比例141214将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分X 的分布列．【答案】（1）18；（2）分布列见解析.【分析】（1）记A 表示事件：" 该同学这个解答题需要仲裁 " ，设—评、二评所打分数分别为 , ,x y 由题设知事件A 的所有可能情况有：119x y =⎧⎨=⎩ 或 911x y =⎧⎨=⎩由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）随机事件X 的可能取值为9 , 9 . 5 , 10 , 10 . 5 , 11 , 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列.【详解】（1）设事件A 表示“该同学这个题目需要仲裁”，一评、二评所打分数分别为x ，y ，由题意知事件A 的所有可能情况有119x y =⎧⎨=⎩或911x y =⎧⎨=⎩，∴()1191111191144448x x P A P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧=+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭．（2）随机事件X 的取值范围为{}9,9.5,10,10.5,11，设仲裁所打分数为z ，则()911911111111391199444444443299x x x P X P P y P y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==+=+==⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()910111119.510942244x x P X P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧==+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()101111010224x P X P y ⎛⎫=⎧===⨯= ⎨⎪=⎩⎝⎭，()911101110.511911101010x x x x P X P P P y P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫⎛⎫==⎧⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==++=+= ⎨⎪ ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭11111111115244244244216=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()11911111111113119111144444444321111x x x P X P P P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪⎪ ⎪⎪==++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=== ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）45.【分析】（1）首先求随机变量0,1,2ξ=，再利用古典概型求概率；（2）根据（1）的结果求概率.【详解】（1）由条件可知0,1,2ξ=，()2326105C P C ξ===，()113326315C C P C ξ===，()2326125C P C ξ===，所以ξ的分布列，如下表，ξ12P153515（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率14155P =-=.2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B 10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且．所以，，．所以X 的分布列为X 012P0.240.520.24（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得．400.4100=93141()0.4,()0.63025P C P D ++====(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====(1)()P X P CD CD == ()()(()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=(0)((()0.24P X P CD P C P D ====33011()C 4060P E ==答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=C k4⋅C 3−k3C 37（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X 0123P13512351835435（ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67．所以，事件A 发生的概率为67．4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含的频率.（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.【答案】（I ）(II)X 的分布列为X 01234P 【解析】因此X 的分布列为X 01234P5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.1B 5.1814252110215211421425211021521142（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3. （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y 的值小于60的有15人，所以从概率为.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标的值大于1.7的有2人：A 和C.所以的所有可能取值为0,1,2..所以的分布列为0126．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.ξξ150.350=x ξ21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========ξξP 16231631213141X X 222111()()48P A P B +=X，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111323424P X ==⨯⨯=X XP14112414124X ()1111113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=Y Z ()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=1148。

第二章 随机变量及其分布(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p 1的值为( )A ．0B ．215C ．115D ．1解析：由分布列的性质得15＋23＋p 1＝1，得p 1＝215.答案：B2．某校举行安全知识测试，约有2 000人参加，其测试成绩ξ～N (80，σ2)(σ>0，试卷满分100分)，统计结果显示P (ξ≤65)＝0.3，则此次安全知识测试成绩达到优秀(不低于95分)的学生人数约为( )A ．200B ．300C ．400D ．600解析：由正态分布密度曲线的对称性，可得P (ξ≥95)＝P (ξ≤65)＝0.3，所以测试成绩达到优秀的学生人数约为0.3×2 000＝600，故选D.答案：D3．某射手射击所得的环数X 的分布列如下，如果命中8( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6解析：P ＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.25＋0.05＝0.6. 答案：D4．已知随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3P0.20.5m若随机变量η＝3X －1，则E (η)为( ) A ．4.2 B ．18.9C ．5.3D ．随m 变化而变化解析：因为0.2＋0.5＋m ＝1，所以m ＝0.3，所以E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.又η＝3X －1，所以E (η)＝3E (X )－1＝3×2.1－1＝5.3.答案：C5．设整数m 是从不等式x 2－2x －8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m ，则ξ的数学期望E (ξ)＝( )A ．1B ．5C.147D.167解析：由x 2－2x －8≤0得，－2≤x ≤4，∴S ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∴ξ的分布列为ξ －2 －1 0 1 2 3 4 P17171717171717∴E (ξ)＝－27－17＋0＋17＋27＋37＋47＝1，故选A.答案：A6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用M 表示事件“点P 恰好取自曲线y ＝x 2与直线y ＝1及y 轴所围成的曲边梯形内”，N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P (N |M )等于( )A.14B.15 C.16D.17解析：曲线y ＝x 2与直线y ＝1及y 轴所围成的曲边梯形的面积S M ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪x －⎭⎪⎫13x 310＝1－13＝23， 直线y ＝x 与曲线y ＝x 2围成的阴影部分的面积S N ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝12－13＝16， ∴P (M )＝S MS 正方形OABC ＝23，P (MN )＝S N S 正方形OABC ＝16，∴P (N |M )＝P (MN )P (M )＝1623＝14，故选A.答案：A7．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，若μ＝4，σ＝1，则P (5<X <6)＝( )A ．0.135 9B ．0.135 8C ．0.271 8D ．0.271 6解析：P (5<X <6)＝12[P (2<X <6)－P (3<X <5)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.答案：A8．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知得E (ξ)＝6，D(ξ)＝2.4，所以E (η)＝8－E (ξ)＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B9．口袋中有n 个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为X ，若P (X ＝2)＝730，则下列结论错误的是( )A ．n ＝7B ．P (X ＝3)＝7120C ．E (X )＝118D ．D (X )＝12解析：由P (X ＝2)＝730，得C 13C 1n C 1n ＋3C 1n ＋2＝730，即3n (n ＋3)(n ＋2)＝730，整理得90n ＝7(n ＋2)(n＋3)，解得n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝67舍去.X 的所有可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝C 17C 110＝710，P (X ＝3)＝C 13C 12C 17C 110C 19C 18＝7120，P (X ＝4)＝C 13C 12C 11C 17C 110C 19C 18C 17＝1120，所以E (X )＝1×710＋2×730＋3×7120＋4×1120＝118，D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1182×710＋⎝⎛⎭⎪⎫2－1182×730＋⎝⎛⎭⎪⎫3－1182×7120＋⎝⎛⎭⎪⎫4－1182×1120＝77192.答案：D10．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，其正态分布密度曲线为函数ƒ(x )的图象，且⎠⎛02ƒ(x )d x ＝13，则P (x >4)＝( )A.16B.14 C.13D.12解析：∵X ～N (2，σ2)，∴ƒ(x )的图象关于x ＝2对称，由⎠⎛02ƒ(x )d x ＝13得P (0<X ≤2)＝13，P (X >4)＝12－P (0<X ≤2)＝12－13＝16，故选A. 答案：A11．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击6次，有3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )A ．C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126B ．A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126C ．C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫126解析：先排3次未命中结果只有一种，产生四个空位，选两个空位插入2次连续命中和1次命中，所以3次命中且恰有2次连续命中的概率为A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126，故选B.答案：B12．(2019·某某浙南名校联盟期末)已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c >0.若X 的方差D (X )≤3对所有a ∈(0，1－b )都成立，则( )A ．0<b ≤13B ．0<b ≤23C.13≤b <1D.23≤b <1 解析：由X 的分布列可得X 的期望为E (X )＝－a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1， 所以X 的方差D (X )＝(－1＋a －c )2a ＋(a －c )2b ＋(1＋a －c )2c＝(a －c )2(a ＋b ＋c )－2(a －c )2＋a ＋c ＝－(a －c )2＋a ＋c＝－(2a －1＋b )2＋1－b ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－b 22＋1－b ， 因为a ∈(0,1－b )，所以当且仅当a ＝1－b2时，D (X )取最大值1－b .又D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，所以只需1－b ≤13，解得b ≥23，所以23≤b <1.故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·某某一中高二期末)已知有一匀速转动的圆盘，其中心有一个固定的小目标M ，甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m 处的地方向圆盘中心抛掷小圆环，他们抛掷的小圆环能套上小目标M 的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M 被套上的概率为________．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上；乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上；甲、乙抛掷的小圆环都套上，所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：2514．若A ＝{1,2,3，－1，－2}，且a∈A，b∈A，c∈A，则a ，b ，c 这三数中恰有两个正数一个负数的概率为________．解析：P ＝C 23×32×253＝54125. 答案：5412515．若A ，B ，C 相互独立，且P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (A )＝________，P (B )＝________，P (C )＝________.解析：设P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝16，(1－y )z ＝18，xy (1－z )＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝14，y ＝12，x ＝13.答案：13121416．有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分，已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为13.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P (ξ＝9)＝________，E (η)＝________(用数字作答)．解析：P (ξ＝9)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝29.依题意，ξ的可能取值为7,8,9,10，η＝4ξ.P (ξ＝7)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝827， P (ξ＝8)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49，P (ξ＝9)＝29， P (ξ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，∴E (ξ)＝7×827＋8×49＋9×29＋10×127＝8，E (η)＝E (4ξ)＝4E (ξ)＝32.答案：2932三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝1,2,3,4,5)．求：(1)E (ξ＋2)2；(2)D (2ξ－1)．解：(1)∵E (ξ)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝3，E (ξ2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11，E (ξ＋2)2＝E (ξ2＋4ξ＋4)＝E (ξ2)＋4E (ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.(2)D (ξ)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝2，D (2ξ－1)＝22×D (ξ)＝8.18．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和样本方差s 2；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 分布服从N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2，若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知X ～B (100,0.682 7)，所以E (X )＝100×0.682 7＝68.27.19．(12分)(2019·某某省部分重点中学高三起点考试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x )、推理能力(指标y )、建模能力(指标z )的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w ＝x ＋y ＋z 的值评定学生的数学核心素养，若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：的概率；(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)9A 4，A 7，A 10；数学核心素养为一级的学生是A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8.记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A ，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 23＋C 22C 24＋C 25＝416＝14.(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8， 非一级的学生为余下的4人， ∴X 的可能值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×130＋1×310＋2×2＋3×6＝5.20．(12分)(2019·某某市高三联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：购买基金：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值X 围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，∴q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B ∪A B ∪AB ，且A ，B 独立．由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，∴P (C )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB ) ＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p . ∵P (C )＝12＋12p >45，∴p >35.又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，∴p ≤23.∴p 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23. (3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×8＝4.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， ∴随机变量Y 的分布列为则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×6＝6.∵E (X )>E (Y )，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．21．(12分)(2019·某某省五校协作体测试)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为17，第二轮检测不合格的概率为18，第三轮检测合格的概率为89，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列和数学期望．解：(1)记A i (i ＝1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A 为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．由题设知P (A 1)＝1－17＝67，P (A 2)＝1－18＝78， P (A 3)＝89，所以P (A )＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－67×78×89＝13.(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X ，则X 的所有可能取值为1 600,1 000,400，－200，－800，且P (X ＝1 600)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1681，P (X ＝1 000)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝3281， P (X ＝400)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481， P (X ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881， P (X ＝－800)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. 故X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝1 600×81＋1 000×81＋400×81－200×81－800×181＝800.22．(12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X . ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×2＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003. 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。

第二章 随机变量练习六()(),0,1,2,3,42i C X P X i i C ===1、设随机变量的分布列为，求的值2、在50件同类产品中有5件次品，从中任取5件，一次抽一件，不放回抽样，以X 表示5次抽取出的次品个数，求X 的分布列。

3、一个盒子中有5只同样大小的球，编号为1、2、3、4、5。

从中同时取出3只球，以X 表示取出球的最小号码，求X 的分布列。

4、掷一枚不均匀的硬币，设出现正面的概率为P(0<P<1),设X 为一直掷到正、反面都出现所需的投掷次数，求X 的分布列。

5、某地区有5个加油站，调查表明在任一时刻每个加油站被使用的概率为0.1，问在同一时刻。

（1） 恰有2个加油站被使用的概率是多少？（2） 至少有3个加油站被使用的概率是多少？（3） 至多有3个加油站被使用的概率是多少？练习七1、 设10件产品中有2件次品，每次抽取一件，不放回抽样，直到取到正品为止，设X 为抽取次数，求（1）X 的分布列；（2）X 的分布函数；（3）P{X=3.5},P{X>-2},P{1<X<3}.X ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩212(1-),1x 22、设随机变量的概率密度为f(x)=,求X 的分布函数F(x)x0,其他3、设连续型随机变量X 的分布函数为22,0()0,0x A Be x F x x -⎧⎪+≥=⎨⎪<⎩ 求（1）A,B;(2)随机变量X 的概率密度函数；（3）P X <<2(110,12),120X N ≤≤≤ 4、设随机变量求（1）P{X 105},P{100<X };(2)确定最小的x,使P{X>x}0.0510.05,0.0610.050.12μσ==±5、由某机器生产的螺栓的长度服从的正态分布，规定长度在内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率6、公共汽车门高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下设计的，设男子的身高X N(170,36),问应如何选择车门的高度？练习八1、 设随机变量X 的分布列为X -3 -1 0 1 222123X X =-+=-12试求（1）Y 的分布列；（2）Y 的分布列()()22ln X Y e Y X ==- 2、设随机变量X U(0,1),求1的密度；的密度()()2212Y X Y X =+= 3、设随机变量X N(0,1),求1的密度；的密度(),.x -∞<<+∞34、设随机变量X 的概率密度为f x 求Y=X 的概率密度.(),05,0,x e x X -⎧>=⎨⎩2、设随机变量的概率密度为f x 求Y=X 的概率密度其他。

一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2E ξ=，则()D ξ的最小值等于（ ）A ．0B ．2C ．1D ．122．设103p <<，随机变量ξ的分布列如下：当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，下列结论正确的是（ ） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小3．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%4．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D X 的最大值为（ ） A ．29B ．59C ．34D ．235．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ） A ．12B ．25C ．35D ．456．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．457．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则()|P B A =（ ）A ．34B ．13C ．23D ．128．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．67B ．2125C ．4950D ．不确定9．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，方差24s =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数、方差分别为（ ）A ．9,12B ．9,36C ．11,12D ．11,3610．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.611．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.912．已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（ ）（附()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23%C ．0.13%D ．1.3%二、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()130.3P X <≤=，则()5P X ≥=______.14．已知1 000名考生的某次成绩X 近似服从正态分布2(530,50)N ，则成绩在630分以上的考生人数约为_______．（注：正态总体2(,)N μσ）在区间(,),(2,2),(3,3)μσμσμσμσμσμσ-+-+-+内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）15．以下4个命题中，所有正确命题的序号是______.①已知复数()12iz i i +=-，则105z =；②若()727012731x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1234567127a a a a a a a ++++=++ ③一支运动队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则样本中男运动员有16人；④若离散型随机变量X 的方差为()3D X =，则()2112D X -=.16．驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)X 服从正态分布()2110,10N ,记(]90,110X ∈为事件(],80,100A X ∈为事件B ,则()|P B A __________.(结果用分数示)附：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=.17．设随机变量()()10,1,910XN P X a ≤<=，其中1419a dx x=⎰，则()11P X ≥=__________．18．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q ∈R ）：且X 的数学期望1()2E X =，那么X 的方差()D X =__________． 三、解答题19．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23. （1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第()2i i ≥个等级的概率为i P ，证明：{}1i i P P --为等比数列.20．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ（μ和2σ分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：21014.5≈）规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”．（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．21．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）22．2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（Ⅱ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X 为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数. 求X 的分布列及数学期望；(Ⅲ)假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a 吨. 当a 为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）23．已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望()E η和方差()D η.24．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A 类题和3道B 类题共8道题中任选3道作答.（1）求考生甲至少抽到2道B 类题的概率；（2）若答对A 类题每道计1分，答对B 类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A 类题，2道B 类题，且他答对每道A 类题的概率为23，答对每道B 类题的概率是12，各题答对与否相互独立，用X 表示考生乙的得分，求X 的分布列和数学期望.25．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：年龄 [)20,28 [)28,36 [)36,44 [)44,52 [)52,60接受的人数1461528 170.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？8人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据分布列的性质可得23a =，由()2E ξ=可得出62m n =-，再由二次函数的基本性质可求得()D ξ的最小值. 【详解】由分布列的性质可得23a =，()12233E m n ξ=+=，所以，26m n +=，则62m n =-，()()()()()()222221212224222203333D m n n n n ξ=-+-=-+-=-≥， 因此，()D ξ的最小值为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】根据方差公式得出211()64D p ξ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质，即可得出答案.【详解】122()01333E p p p ξ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222122()013333D p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯2212113964p p p ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D ξ∴减小 故选：A 【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的方差，涉及了二次函数性质的应用，属于中档题.3．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”． 依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ，得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495， 故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．D解析：D 【分析】分别运用等差数列的中项性质和概率的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值． 【详解】解：因为a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，∴13b =，23c a =-， ∴()823E X a =-，2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-则()()()22D XE XE X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当13a b c ===时取等号． 则()D X 的最大值为23. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差的求法，考查等差数列的中项性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．5．B解析：B 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===.【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局， 由独立事件的概率乘法公式得()12313944432P AB C =⋅⋅⋅=， 对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，()2392743232P A ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】利用古典概型概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可计算出结果． 【详解】事件:AB 前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得()232412A P AB A ==，由古典概型的概率公式得()34P A =，由条件概率公式得()()()142233P AB P B A P A ==⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．8．A解析：A直接利用条件概率公式计算出该事件的概率． 【详解】记事件A ：某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病， 记事件B ：某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病，则事件B |A ：某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病， 则B ⊂A ，AB ＝A ∩B ＝B ， P （A ）＝1﹣0.02＝0.98，P （B ）＝1﹣0.16＝0.84， 因此，P （B |A ）()()()()0.8460.987P AB P B P A P A ====， 故选A ． 【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝()()P AB P A ,求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝()()n AB n A .9．D解析：D 【解析】分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差. 详解：由题意结合平均数，方程的性质可知： 数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为：3211x +=，方差为22336s ⨯=.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.11．D解析：D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤．详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．12．C解析：C 【解析】分析：先求出u,σ,再根据(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,4,σ=3114.u σ∴+= 因为(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=，所以10.9974(114=0.00130.13%2P X ->==）. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.二、填空题13．02【分析】根据随机变量X 服从正态分布可知正态曲线的对称轴是利用对称性可得结果【详解】随机变量服X 从正态分布正态曲线的对称轴是故答案为：02【点睛】本题考查了正态分布考查了计算能力属于一般题目解析：0.2 【分析】根据随机变量X 服从正态分布2(3)，δN ，可知正态曲线的对称轴是3x =，利用对称性，可得结果. 【详解】随机变量服X 从正态分布2(3)，δN ，正态曲线的对称轴是3x =(35)(13)0.3≤<=<≤=P X P X ，(5)0.5(35)0.2>=-≤<=P X P X故答案为：0.2 【点睛】本题考查了正态分布，考查了计算能力，属于一般题目.14．23【分析】根据正态分布的对称性求得成绩在分以上的概率为进而可求得成绩在分以上的考生人数得到答案【详解】由题意某次成绩X 近似服从正态分布即所以在区间的概率为所以成绩在分以上的概率为则成绩在分以上的考解析：23 【分析】根据正态分布的对称性，求得成绩在630分以上的概率为0.023，进而可求得成绩在630分以上的考生人数，得到答案. 【详解】由题意，某次成绩X 近似服从正态分布2(530,50)N ，即530,50μσ==，所以在区间(430,630)的概率为0.954， 所以成绩在630分以上的概率为10.9540.0232-=， 则成绩在630分以上的考生人数约为10000.02323⨯=人． 【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，以及3σ原则的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．①③④【分析】根据复数的模的运算可知①正确；代入所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确【详解】①则①正确；②令则；令则②错误；③抽样比为：则男运动员应抽取解析：①③④ 【分析】根据复数的模的运算可知z z ==，①正确；代入0x =，1x =，所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确. 【详解】①()11212i i z i i i ++==-+，则111212i i z z i i ++=====++，①正确； ②令0x =，则()7011a =-=-；令1x =，则0123456772a a a a a a a a +++++=++1234567721129a a a a a a a ∴+++++=+=+，②错误；③抽样比为：28256427=+，则男运动员应抽取：256167⨯=人，③正确；④由方差的性质可知：()()2143412D X D X -==⨯=，④正确.本题正确结果：①③④ 【点睛】本题考查命题的真假性的判断，涉及到复数模长运算、二项式系数和、分层抽样、方差的性质等知识，属于中档题.16．【解析】分析：利用条件概率公式即可得出结论详解：由题意故答案为点睛：本题考查条件概率考查正态分布考查计算能力属于中档题解析：2795【解析】分析：利用条件概率公式，即可得出结论. 详解：由题意，()()()()()110.475,0.990.680.155,0.950.680.13522P A P B P AB ==-==-=， ()0.13527|0.47595P B A ∴==. 故答案为2795. 点睛：本题考查条件概率，考查正态分布，考查计算能力，属于中档题.17．【解析】分析：随机变量根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果详解：由题意所以因为随机变量所以曲线关于对称所以点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义其中利用正态分布曲线的对称性是解析：16【解析】分析：随机变量()10,1X N ~，根据曲线的对称性得到()()1190.5(910)P X P X P X ≥=≤=-≤<，根据概率的性质得到结果.详解：由题意114411991|3a ===，所以1(910)3P X ≤<=， 因为随机变量()10,1X N ~，所以曲线关于10x =对称， 所以()()11190.5(910)6P X P X P X ≥=≤=-≤<=. 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中利用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.18．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差2213113()1124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题19．（1）分布列答案见解析，数学期望：203；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先确定X 的所有可能取值5,6,7,8,9,10X =，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出1i P +与i P ，1i P -的关系式112133i i i P P P +-=+，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【详解】解：（1）依题意可得，5,6,7,8,9,10X =，55552232(5)33243P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4445212180(6)53333243P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32352180(7)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23252140833243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4152110933243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()50511103243P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 则X 的分布列如表所示.()56789102432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）处于第1i 个等级有两种情况： 由第i 等级到第1i等级，其概率为23i P ；由第1i -等级到第1i 等级，其概率为113i P -；所以112133i i i P P P +-=+，所以()1113i i i i P P P P +--=--，即1113i i i i P P P P +--=--. 所以数列{}1i i P P --为等比数列. 【点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找1i P +与i P ，1i P -的关系式，即：()1121233i i i P P P i +-=+≥，进而根据等比数列的定义证明. 20．（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【分析】（1）计算出()22P X μσμσ-<<+和()33P X μσμσ-<<+，结合已知条件判断可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有50、100、150、200，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，可得出随机变量Y 的分布列，进一步可求得随机变量Y 的数学期望值. 【详解】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>．∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：()5010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34， 这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 22．（Ⅰ）17；（Ⅱ）分布列见解析，67；(Ⅲ) 4.4a =. 【分析】（Ⅰ）这是一个古典概型，共有7个月，该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的只有8月份，然后代入公式求解.（Ⅱ）先得到6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月，则X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望.(Ⅲ)根据添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小求解. 【详解】（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A 由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨 所以1()7P A =. （Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月.X 的所有可能取值为0，1，2. 023427(0)62217C P X C C ==== 113427(1)124217C C P X C ⋅==== 203427(2)31217C P X C C ==== 所以X 的分布列为:()0127777E X =⨯+⨯+⨯=；(Ⅲ) 4.4a =当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．23．（1）分布列见解析；期望为74；（2）分布列见解析；3()2E η=，3()4D η=.【分析】（1）取到一个红球为止，取球次数ξ所有可能1、2、3、4，求对应次数的概率即可列分布列，求()E ξ；（2）取出后放回，每次取到红球的概率相同，相当于做了三次独立重复试验13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布概率公式和期望、方差公式即可求解. 【详解】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，每次取到红球的概率为3162=，可看作3次独立重复试验，所以13,2B η⎛⎫ ⎪⎝⎭， η的可能取值为0、1、2、3，303111(0)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1213113(1)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123113(2)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，333111(4)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=， 113()3224D η=⨯⨯=.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）24．（1）27；（2）分布列见解析；期望为83.【分析】（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B 类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可. 【详解】解：（1）设“考生甲至少抽到2道B 类题”为事件A ，则213353382()7C C C P A C +== （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，所以2211(0)113212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211(1)1326P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，122111(2)113226P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122111(3)13223P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 222211(4)1C 3212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2211(5)326P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以123456631263EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：离散型随机变量的分布列的计算，注意理解每个取值的含义，并借助排列组合的知识计算相应的概率.25．（1）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异；（2）分布列答案见解析，数学期望为32. 【分析】（1）列出22⨯列联表，然后代入公式计算2K ，然后与表格的数据比较大小即可判断；（2）根据分层抽样判断出44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，然后判断X 的可能取值，利用超几何分布计算概率即可. 【详解】解：（1）由题可得22⨯联表如下：∵22100(3554515)256.25 3.841505080204K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯.∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.（2）由题意可知，抽取的8人中44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，所以X 的可能取值有0，1，2.0262281(0),28C C P X C ===1126283(1),7C C P X C ===262815(2),28C P X C === 所以随机变量X 的分布列为：()012287282E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．26．（1）2227；（2）分布列见解析，21781. 【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率P ，则至少能参加一个给药周期的概率为1P -；（2）先计算出一个给药周期内至少出现3次F 症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量X 的可能取值，分别计算每一个X 值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M ，则M 的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现F 症状为事件A ，则一个给药周期也没有参加完的概率为()()212115333327P P AA P AAA ⎛⎫=+=+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为()522112727P M P =-=-=． （2）设事件B 为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状”， 则()343412113339P B C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则随机变量X 的取值为1,2,3．()3434121113339P X C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()818219981P X P B P B ==-⋅=⨯=⎡⎤⎣⎦，。

离散型随机变量的分布列专项测试题1．(2015 ·常熟二模)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)＝( )35A.2B．2 C.2D． 3思路分析：利用公式E(X) x1p1 x2 p2 x n p n求解即可。

小结：E(X) x为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机1p1 x2p2 x n p n变量取值的平均水平．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0 表示结果中没有正面向上，则E(ξ)＝( )1 1 3A.4B．2 C.4 D ．1思路分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币会出现四种等可能的结果：正正，正反，反正，反反，其中没有正面向上13的有一种结果所以概率为41，则有正面向上的概率为34，写出分布列利用公式求期望。

小结：正确理解随机变量表示的意义，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并求概率，熟练掌握期望公式。

3.(2015 浙·江联考)甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ为( )A ．1 B． 1.5 C．2 D．2.5思路分析：ξ可取0,1,2,3。

需注意ξ＝0 表示所选课程都不相同，为平均分组然后排序的问题。

另外ξ＝2 所包含的情况较多，可以用间接法。

小结：平均分组问题是排列组合的难点，经常与分布列综合考察，需要认真分析是否有顺序。

利用分布列的性质np i=1 可利用间接法求某一个概率。

i14.已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )A．6 和 2.4 B．2和 2.4C ．2和 5.6D ．6 和 5.6思路分析： 利用二项分布的性质， 若 ξ～ B(n ，p) ，则 E ξ=np,D ξ= np(1-p) ，由 8- 可得 E(η)＝E(8－ ξ),D(η)＝D(8－ξ)，利用公式 E(ax ＋b)＝aE(x)＋b(a ，b 为常数 )．D(ax ＋b)＝a 2D(x)(a ，b 为常数 )．小结： 已知随机变量 ξ的均值、方差，求 ξ的线性函数 η＝a ξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用 ξ的均值、方差 的性质求解；常用 公式 E （ax ＋b ）＝aE （x ）＋b （a ，b 为常数 ）．D （ax ＋b ）＝a 2D （x ）（a ，b 为常数 ）需熟记．5. 已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a ，b ，c ∈｛－3，－2，－ 1，0，1，2，3｝，在这 些抛物线中，记随机变量 X 为“ |a － b|的取值”，则 X 的数学期望 E （X ）为（ ）8 3 2 1 A.9 B.5 C.5 D.3思路分析： 对称轴在 y 轴的左侧即 a 与b 同号正负都有 3种选择，正确确定 X 的可能取值 0，1，2，并准确求其概 率。

第三章 多维随机变量及其分布测试题二一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<<b Y a X p （3）;____________________)0(=≤<a Y p （4）.____________________),(=<≥b Y a X p 2．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 ．3．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布)25,2(N 和)49,3(N ，求随机变量534+-=Y X Z 的分布密度函数为 ．4．设随机变量)2,1(=i X i 均服从如下分布：2,1,21)0(,41)1()1(======-=i X P X P X P i i i 且满足1)0(21==X X P ，则)(21X X P == ． 5．设Y X ,均服从正态分布),0(2σN ，且41)2,2(=-≤≤Y X P ，则=->>)2,2(Y X P ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323110~,323110~Y X 则下列各式成立的是（ ）．)(A Y X =； )(B 95)(==Y X p ； )(C 1)(==Y X p ； )(D 0)(==Y X p ． 2．设两个随机变量X 与Y 的联合分布如下则当)(),(=q p 时，随机变量X 与Y 独立．)(A ⎪⎭⎫⎝⎛151,51； )(B⎪⎭⎫⎝⎛51,151； )(C ⎪⎭⎫⎝⎛152,101；)(D ⎪⎭⎫ ⎝⎛101,152．3．设随机变量X 与Y 相互独立，且),(~1p n B X ，),(~2p n B Y ，则~Y X +（ ）． )(A )2,(21p n n B +； )(B ),(21p n n B +； )(C ),2(21p n n B +； )(D )2,2(21p n n B +． 4．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)2,1(N 和)1,1(N ，则（ ）． )(A }{210=≤+Y X p ； )(B }{211=≤+Y X p ； )(C }{210=≥-Y X p ； )(D }{211=≥-Y X p ． 5．设随机变量X ，Y 相互独立，且X ～2(3,)N σ，Y ～2(1,)N σ-，则下列式子中正确的（ ）．)(A 21)2(=-≤+Y X P ； )(B 21)2(=≤+Y X P ； )(C 21)2(=-≤-Y X P ； )(D 21)2(=≤-Y X P ．三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．） 1．一个商店每星期五进货, 以备星期六、日2天销售, 根据多周统计, 这2天销售件数21,X X 彼此独立, 且有如下表所示分布:求：二天销售总量这个随机变量的分布? 如果进货32件, 不够卖的概率是多少? 如果进货31件, 够卖的概率是多少?2．二维随机变量（Y X ,）的联合密度函数为：⎩⎨⎧<<=其它0),(x y ce y x f y，确定常数c ，并计算（Y X ,）的值落在矩形区域}{1,21:),(<<<-=y x y x D 内的概率． 3．假设二维随机变量X 与Y 的分布密度为： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,1031),(2y x xyx y x f ，求：（1）关于X 与Y 的边缘分布密度，并判断X 与Y 是否独立； （2）}1{≥+Y X p ．4．设随机变量X 和Y 相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布，记事件}{}{a Y B a X A >=≤=,，且97)(=B A p ，求常数a ． 5．旅客到达车站的时间X 均匀分布在早上7：55至8点，而火车在这段时间开出的时刻为Y ，且Y 具有密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它050),5(252)(y y y f ，求旅客能乘上火车的概率．6．一个电子仪器包含两个主要元件，分别以X 和Y 表示这两个元件的寿命（单位：小时），如果),(Y X 的联合分布函数为：⎩⎨⎧≥≥+--=+---其它00,0,1),()(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x 求两个元件的寿命均超过120小时的概率．7．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令X 、Y 分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（X ，Y ）的联合分布列 (袋中各球被取机会相同)． 8．设随机变量Z Y X ,,相互独立，均服从区间[0，1]上的均匀分布，求)(YZ X P ≥． 9．已知二维随机变量Y X ,的概率密度为：+∞<<∞-=-+-y x Ae y x f cy bxy ax ,,),(22问在什么条件下，Y X ,相互独立．10．雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点),(Y X 在屏幕上服从均匀分布，求： （1）Y X ,相互独立吗？为什么？ （2）)|0(X Y Y P >>； （3）)0),(max(>Y X P ； （4）)(2X Y P >．。

随机变量及分布训练一1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立．设 为该群体的 位成员中使用移动支付的人数，，，则A.B.C.D.2. 设，随机变量 的分布列是则当 在 增大时，（ ）A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小3. 已知甲盒中仅有 个球且为红球，乙盒中有 个红球和 个蓝球 个球放入甲盒中．放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为；，从乙盒中随机抽取放入 个球后，从甲盒中取 个球是红球的概率记为．则（ ）A.，B.，C.，D.，4. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机 取一个小正方体，记它的涂漆面数为 ，则 的均值A.B.C.D.5. 已知离散型随机变量 的分布列为则 的数学期望A.B.C.D.6. 已知 台机器中有 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 台故障机器为止．若检测一台机器 的费用为 元，则所需检测费的均值为（ ）A.B.C.D.7. 某班级有男生 人，女生 人，现选举 名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男 生当选的人数记为 ，则 的数学期望为（ ）A.B.C.D.8. 某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ）A.B.C.粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补种 D.9. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ．（2）现对一箱产品检验了 件，结果恰有 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品的检验费用为 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 元的赔偿费用． 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？10. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ， ， ．现采用分层抽样的方法从中抽取 人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 人中有 人睡眠不足， 人睡眠充足，现从这 人中随机抽取 人做进一步的身体检查．用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望； 设 为事件“抽取的 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 发生的概率．11. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （1）从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ ”表示第 类电影得到人们喜欢．“ ”表示第 类电影没有得到人们喜欢．写出方差 ， ， ， ，， 的大小关系．12. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 元，售价每瓶 元，未售出的酸奶 降价处理，以每瓶 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于 ，需求量为 瓶；如果最高气温位于区间，需求量为 瓶；如果最高气温低于 ，需求量为 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气 温数据，得下面的频数分布表：最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 （单位： 瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？13. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验 的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接 受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 名男志愿者 ， ， ， ， ， 和 名女志 愿者 ， ， ， ，从中随机抽取 人接受甲种心理暗示，另 人接受乙种心理暗示． （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率． （2）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望 ．14. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 ， 两种奶制品．生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获 利 元；生产 吨 产品需鲜牛奶 吨，使用设备 小时，获利 元．要求每天 产品的产量不超过产品产量的 倍，设备每天生产 ， 两种产品时间之和不超过 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单位：元）是一个随 机变量．（1）求 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 天中至少有 天的最大获利超过元的概率．15. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人 都猜对，则“星队”得 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结 果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （1）“星队”至少猜对 个成语的概率； （2）“星队”两轮得分之和为 的分布列和数学期望 ．随机变量及分布训练二16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 个红球、 个白 球的甲箱和装有 个红球、 个白球的乙箱中，各随机摸出 个球，在摸出的 个球中，若都是红球，则获 一等奖，若只有 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 次抽奖机会，记该顾客在 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望．17. 某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ， 只与道路通畅状况有关，对其容量为 的样本进行统 计，结果如下：（分钟） 频数（次）（1）求 的分布列与数学期望 ； （2）教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求教授从离开 老校区到返回老校区共用时间不超过 分钟的概率．18. 某市 、 两所中学的学生组队参加辩论赛， 中学推荐了 名男生、 名女生， 中学推荐了 名男 生、 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽 取 人，女生中随机抽取 人组成代表队． （1）求 中学至少有 名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的 名队员中随机抽取 人参赛，设 表示参赛的男生人数，求 的分布列和 数学期望．19. 已知 件次品和 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放 回，直到检测出 件次品或者检测出 件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用 元，设 表示直到检测出 件次品或者检测出 件正品时所需要的 检测费用（单位：元），求 的分布列和均值（数学期望）20. 某银行规定，一银行卡若在一天出现 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发 现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 个密码之一，小王决定从中 不重复地随机选择 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 ，求 的分布列和数学期望．21. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销 售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． Ⅰ 求在未来连续 天里，有连续 天的日销售量都不低于 个且另 天的日销售量低于 个的概率； Ⅱ 用 表示在未来 天里日销售量不低于 个的天数，求随机变量 的分布列，期望 及方差 ．22.有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位ABCD月薪/元6000700080009000获得相应职 0.40.30.20.1位概率乙公司职位A月薪/元5000获得相应职 0.4 位概率B 7000 0.3C 9000 0.2D 110000.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数 据分布：人员结构 选择意愿40 岁以上（含 40 岁以上（含 40 岁以下男性 40 岁以下女性 40 岁）男性 40 岁）女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 K2 的观测值为 k1＝5.5513，测得出“选择意愿 与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性 别变量哪一个关联性更大？P（K2≥k） k0.0500.0250.0100.0053.8415.0246.6357.87923.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种 生产方式的效率,选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式,第二组 工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工 人数填入下面的列联表:超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,P k00.050 3.8410.010 6.6350.001 10.828参考答案与试题解析2019 年 5 月 17 日高中数学一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ）1.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布【解析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，可看做是独立重复事件，满足，，可得，可得．即 ．因为，可得，解得或（舍去）．故选 ．2.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】求出随机变量 的分布列与方差，再讨论 的单调情况．【解答】解：设，随机变量 的分布列是； 方差是，∴时， 单调递增；时， 单调递减；∴先增大后减小．故选： ．3.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当 时，有可能从乙盒中 拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒； 时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能 是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出 ， 和 ， 进行比较即 可．【解答】解析：，，，所以；由已知 的取值为 、 ， 的取值为 、 、 ，所以，，． 故选4.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意可知： 所有可能取值为 ， ， ， ．① 个顶点处的 个小正方体涂有 面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 个，一共有个小正方体涂有 面，③每个表面去掉四条棱上的 个小正方形，还剩下 个小正方形，因此一共有个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下个部的小正方体的 个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及 的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知： 所有可能取值为 ， ， ， ．① 个顶点处的 个小正方体涂有 面，∴；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 个，一共有个小正方体涂有 面，∴；③每个表面去掉四条棱上的 个小正方形，还剩下 个小正方形，因此一共有个小正方体涂有一面，∴．④由以上可知：还剩下个部的小正方体的 个面都没有涂油漆，∴．故 的分布列为因此．故选 ．5.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】 利用数学期望的计算公式即可得出． 【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：．故选 ．6.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】设检测机器所需检测费为 ，则 的可能取值为 ， ， ，分别求出相应的概率，由此能求出所 需检测费的均值．【解答】设检测机器所需检测费为 ，则 的可能取值为 ， ， ， ，，，∴7. 【答案】 C 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【解析】 由题意知随机变量 的可能取值是 ， ， ， ， ，计算对应的概率值，求出 的数学期望值． 【解答】 由题意知，随机变量 的可能取值是 ， ， ， ， ，且，，，，； ∴ 的数学期望为．8.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布【解析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，即不发芽率为种子数 服从二项分布，即．又没发芽的补种 个，故补种的种子数记为分布的期望公式即可求出结果．，故没有发芽的 ，根据二项【解答】解：由题意可知播种了 粒，没有发芽的种子数 服从二项分布，即．而每粒需再补种 粒，补种的种子数记为故 ，则．故选 ．二、 解答题 （本题共计 13 小题 ，每题 10 分 ，共计 130 分 ）9.【答案】解：（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ，则，∴，令，得，当时，，当时，，∴的最大值点．由（1）知，令 表示余下的 件产品中的不合格品数，依题意知，即，∴．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为∵，∴ 应该对余下的产品进行检验．， 元，【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）求出 求出 的最大值点，则 ．由，令 表示余下的 件产品中的不合格品数，依题意知，即，能求出 ．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 元，的产品进行检验．【解答】解：（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ，则，，利用导数性质能，再由 ，从而应该对余下∴，令，得，当时，，当时，，∴的最大值点．由（1）知，令 表示余下的 件产品中的不合格品数，依题意知，即，∴．如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为∵，∴ 应该对余下的产品进行检验．， 元，10.【答案】解：（1）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ， ， ．人数比为： ， 从中抽取 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 ， ， 人．（2）若抽出的 人中有 人睡眠不足， 人睡眠充足，现从这 人中随机抽取 人做进一步的身体检查． 用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，随机变量 的取值为： ， ， ， ，， ，，，．所以随机变量的分布列为：随机变量 的数学期望；设 为事件“抽取的 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件 为：抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，事件 为抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，则：，且，，故．所以事件 发生的概率： ．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；（2）若 用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量 的分布列， 然后求解数学期望；利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：（1）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 ， ， ．人数比为： ， 从中抽取 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 ， ， 人．（2）若抽出的 人中有 人睡眠不足， 人睡眠充足，现从这 人中随机抽取 人做进一步的身体检查． 用 表示抽取的 人中睡眠不足的员工人数，随机变量 的取值为： ， ， ， ，， ，，，．所以随机变量的分布列为：随机变量 的数学期望；设 为事件“抽取的 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件 为：抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，事件 为抽取的 人中，睡眠充足的员工有 人，睡眠不足的员工有 人，则：，且，，故．所以事件 发生的概率： ．11.【答案】解：（1）设事件 表示“从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，∴ 从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：．（2）设事件 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，恰有 部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率：．（3）由题意知，定义随机变量如下： ，则 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：第二类电影：， ．第三类电影：， ．第四类电影：， ．第五类电影：， ．第六类电影：， ．， ．∴ 方差 ， ， ， ， ， 的大小关系为： ．【考点】 离散型随机变量的期望与方差 古典概型及其概率计算公式 【解析】 （1）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解． （2）设事件 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，恰有 部获得好评”，第四类获得好评 的有 部，第五类获得好评的有 部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计 恰有 部获得好评的概率．（3）由题意知，定义随机变量如下：，则 服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系．【解答】解：（1）设事件 表示“从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，∴ 从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：．（2）设事件 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，恰有 部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率：．（3）由题意知，定义随机变量如下： ，则 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：第二类电影：， ．第三类电影：， ．，． 第四类电影：第五类电影：， ．第六类电影：， ．， ．∴ 方差 ， ， ， ， ， 的大小关系为： ．12. 【答案】 解：（1）由题意知 的可能取值为 ， ， ，， ，， ∴ 的分布列为：（2）当时，，，当时，若，则，若，则，∴，∴，当时，若，则，若，则，∴当时，，若，则 ，∴，当时，，，∴．综上，当时， 最大值为 元．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由题意知 的可能取值为 ， ， ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列．（2）当时，，时，时，到当时， 最大值为 元．；当 ；当时， 时，；当 ．从而得【解答】解：（1）由题意知 的可能取值为 ， ， ， ，，， ∴ 的分布列为：（2）当时，，，当时，若，则，若，则，∴，∴，当时，若，则，若，则，∴当时，，若，则 ，∴，当时，，，∴．综上，当时， 最大值为 元．13.【答案】解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 ，则．（2） 的可能取值为： ， ， ， ， ，∴，，，，． ∴ 的分布列为的数学期望．【考点】 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】 （1）利用组合数公式计算概率； （2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望． 【解答】解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 ，则．（2） 的可能取值为： ， ， ， ， ，∴，，，，．∴ 的分布列为的数学期望．14.【答案】设每天 ， 两种产品的生产数量分别为 ， ，相应的获利为 ，则有，①如图 ，目标函数为： ＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，，．最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，，．．将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，四个顶点分别为，，，．将＝变形为：，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ＝在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝． 故最大获利 的分布列为：因此， ＝＝由 Ⅰ 知，一天最大获利超过元的概率 ＝＝由二项分布， 天中至少有 天最大获利超过 ．元的概率为：＝，【考点】简单线性规划离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）设每天 ， 两种产品的生产数量分别为 ， ，相应的获利为 ，列出可行域，目标函数，通过当 ＝ 时，当 ＝ 时，当 ＝ 时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到 的分布列．求出期望即 可． （2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．【解答】设每天 ， 两种产品的生产数量分别为 ， ，相应的获利为 ，则有，①如图 ，目标函数为： ＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，，．最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，三个顶点分别为，，．．将＝变形为，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ：在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝．当 ＝ 时，①表示的平面区域如图 ，四个顶点分别为，，，．将＝变形为：，当 ＝ ， ＝ 时，直线 ＝在 轴上的截距最大，最大获利 ＝ ＝＝． 故最大获利 的分布列为：因此， ＝＝由 Ⅰ 知，一天最大获利超过元的概率 ＝＝由二项分布， 天中至少有 天最大获利超过 ．元的概率为：＝，15.【答案】解：（1）“星队”至少猜对 个成语包含“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”三个基本事件，故概率，（2）“星队”两轮得分之和为 可能为： ， ， ， ， ， ，则，，，，故 的分布列如下图所示：∴ 数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 离散型随机变量及其分布列【解析】（1）“星队”至少猜对 个成语包含“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个， 乙猜对 个”三个基本事件，进而可得答案；（2）由已知可得：“星队”两轮得分之和为 可能为： ， ， ， ， ， ，进而得到 的分布列和数学期 望．【解答】解：（1）“星队”至少猜对 个成语包含“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”，“甲猜对 个，乙猜对 个”三个基本事件，故概率，（2）“星队”两轮得分之和为 可能为： ， ， ， ， ， ，则，，，，故 的分布列如下图所示：∴ 数学期望 16. 【答案】 解：（1）记事件，事件，事件，事件， 相互独立， ， 互斥， ， 互斥，且，，所以，．，事件，由题意，，，因为，，故所求概率为：（2）顾客抽奖 次可视为 次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖 次获一等奖的概率为： 所以．．于是，，，，． 故 的分布列为：．【考点】 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）记事件，事件，事件，事件， 相互独立， ， 互斥， ， 互斥，然后求出所求概率即可．，事件 ，利用（2）顾客抽奖 次可视为 次独立重复试验，判断 望． 【解答】．求出概率，得到 的分布列，然后求解期解：（1）记事件，事件，事件。

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专题22 随机变量的分布列、期望、方差A一：选择题（每小题5分，共60分）3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516答案 A解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.4．(2019·山西联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235B.1235C.335D.235答案 B解析 设随机变量X 表示取出次品的个数，X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，X 的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)＝( )A ．q 2＋12 B ．q 2－12 C ．1－ 2 D ．1＋2答案 C解析 由离散型随机变量分布列的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤1－2q ≤1，q 2≤1，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22，所以E (ξ)＝－1×12＋0×(1－2q )＋1×q 2＝q 2－12＝1－ 2.1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( )A.12 B ．1 C.1112 D.56答案 C解析 1－13×14＝1112，选C.5．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为( )A.1110B.155 C ．110 D ．55 答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1，∴55a ＝1，∴a ＝155.3．(2019·东北三省四市教研联合体高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫P ≥1516，则n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 A解析 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥1516，解得n ≥4.故选A.4．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681答案 B解析 P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，解得p ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫因0≤p ≤1，故p ＝53舍去. 故P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫234－C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1127. 5．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝( )A.12B.14C.16D.18 答案 A解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12.6．袋中有红、黄、蓝球各1个，从中有放回地每次任取1个，直到取到红球为止，则第4次首次取到红球的概率为( )A.980B.881C.382D.827 答案 B解析 前3次都取不到红球的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，第4次首次取到红球的概率为13，4个独立事件同时发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝881.(2)(2019·吉林长春质量检测三)若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为( )A.37B.45 C.67 D.1213答案 D解析 根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B ，则P (A )＝1－C 26C 28＝1－1528＝1328，P (AB )＝C 12C 16C 28＝1228，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1213.1．在射击中，甲命中目标的概率为12，乙命中目标的概率为13，丙命中目标的概率为14，现在3个人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )A.34B.23C.45D.710答案 A解析 记事件A 为甲命中目标，B 为乙命中目标，C 为丙命中目标．则目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－12×23×34＝34.3．(2019·湖北武汉调研)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为( )A.25 B.310C.15 D.110答案C解析一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为P＝110＋910×19＝15.故选C.4．(2020·大庆摸底)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18 B.14C.25 D.12答案B解析P(A)＝C 23＋C22 C25＝25，P(B)＝C22C25＝110，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝110，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝14.二：填空题（每小题5分，共20分）6．设随机变量X的概率分布列为答案512解析由13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋1 6＝5 12.13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________.答案 310解析 ξ的可能取值为0,1,2,3，所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝2790＝310. 14．数字1,2,3,4任意排成一排，若数字K 恰好出现在第K 个位置上，则称为一个巧合，若巧合个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________.答案 38解析 ξ＝0，表示没有巧合，有以下几种：所以P (ξ＝0)＝9A 44＝924＝38.15．(2019·大连模拟)一个袋子里有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取3个球恰好有2个球同色的概率为________．答案 5584解析 记A ＝{取出的3个球中恰好有2个白球}，B ＝{取出的3个球中恰好有2个黑球}，C ＝{取出的3个球中恰好有2个红球}，则P (A )＝C 22C 17C 39＝112，P (B )＝C 23C 16C 39＝314，P (C )＝C 24C 15C 39＝514.A ，B ，C 三个事件两两互斥，则P (取出的3个球中恰好有2个球同色)＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1 12＋314＋514＝5584.三：解答题（每小题12分，共72分）。

一、单选题1. 已知随机变量的分布列为，则（）A．B．C．D．2. 设随机变量的分布列如下表，则实数的值为（）X-1 0 1PA．B．C．D．3. 随机变量的概率分布列为，，其中是常数，则的值为（）A．B．C．D．4. 已知随机变量X的分布列如表所示，则（）X 1 2 3P a2a3aA．B．C．D．5. 已知为正数，随机变量的分布列为则（）A．B．C．D．6. 已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：X0 1 2 3 4 5P0.1 0.1 a0.3 0.2 0.1则等于（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7二、多选题7. 下列是离散型随机变量的是（）A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为B．某网站中某歌曲一天内被点击的次数为C．一天内的温度为D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分8. 下列变量中，是离散型随机变量的是（）．A．某机场明年5月1日运送乘客的数量B．某办公室一天中接到电话的次数C．某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数D．一瓶净含量为的果汁的容量三、填空题9. 设离散型随机变量X的概率分布列为：则P(X≤2)＝________.X 1 0 1 2 3P m10. 设随机变量ξ的概率分布列为，，则____.11. 已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ．12. 设随机变量X的概率分布列如下表所示：X0 1 2P a若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______四、解答题13. 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X；(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.14. 在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得分，取到黑球者得分，一人比另一人多分或取满次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设表示游戏结束时所进行的取球次数，求的分布列及数学期望．15. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列和数学期望．（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？16. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得分的概率；（2）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？。