实验二 偏导数的计算及Matlab实现

matlab中求函数的导数MATLAB提供了几种不同的方法来计算函数的导数。

本文将介绍三种常用的方法：符号求导、数值求导和有限差分法。

1.符号求导符号求导是一种利用符号计算来找到函数导数的方法。

MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了符号计算的功能。

使用符号计算，可以求出任意复杂函数的导数。

以下是一个示例，展示了如何使用符号求导计算函数f(x)=x^2的导数：```matlabsyms xf=x^2;diff(f,x)```输出结果为：`2*x`符号求导的优点是可以得到一个精确的导数表达式，适用于数学函数和解析函数。

然而，计算符号导数可能需要大量的计算资源和时间，尤其是对于复杂的函数和高阶导数。

2.数值求导数值求导是一种使用数值方法计算函数导数的方法。

它基于函数在一些点的变化率来近似导数。

在MATLAB中，可以使用函数`diff`或`gradient`来进行数值求导。

以下是一个使用`diff`函数计算函数f(x) = x^2在x=1处的导数的示例：```matlabx=1;f=x^2;h=1e-6;%步长df = (f(x+h)-f(x))/h;```在数值求导中，步长h的选择对结果精度起着重要作用。

通常，较小的步长会导致较高的精度，但也会增加运算时间。

因此，需要在精度和效率之间找到一个平衡。

3.有限差分法有限差分法是一种数值计算方法，用于近似函数的导数。

它通过计算函数在邻近点上的差异来估计导数。

MATLAB中也有一些内置的函数用于计算导数，如`diff`, `gradient`和`diffusehess`等。

以下是一个使用`diff`函数计算函数f(x) = x^2在x=1处的导数的示例：```matlabx=1;f=x^2;h=1e-6;df = diff(f)/h;```有限差分法适用于函数没有解析表达式或难以求解的情况，它的运算速度相对符号求导和数值求导较快。

但是，有限差分法的精度受到步长h的约束，需要进行适当的调整以获得更精确的结果。

数学实验五 用Matlab 软件求多元函数的偏导数和极值一、多元函数的偏导数1．调用格式一：diff('多元函数','自变量',n)其中，n 为所求偏导数的阶数．例1 已知y x z 2cos 2=，求x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和22y z ∂∂． 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x')p2zpypx=diff(pzpx,'y')p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下：pzpx =2*x*cos(2*y)p2zpypx =-4*x*sin(2*y)p2zpy2 =-4*x^2*cos(2*y)即y x x z 2cos 2=∂∂，y x x y z 2sin 42−=∂∂∂，y x yz 2cos 4222−=∂∂． 2．调用格式二：syms x y z …diff(f,自变量,n)例2 已知)5sin(32z y x u +−=，求x u ∂∂、x y z u ∂∂∂∂3和33z u ∂∂． 解 在命令行中依次输入：syms x y zu=sin(x^2-y^3+5*z);ux=diff(u,x);uxy=diff(ux,y);uxyz=diff(uxy,z);uz3=diff(u,z,3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux =2*cos(x^2-y^3+5*z)*xuxyz =30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*xuz3 =-125*cos(x^2-y^3+5*z)即)5cos(232z y x x xu +−=∂∂，)5cos(303223z y x xy x y z u +−=∂∂∂∂， )5cos(1253233z y x zu +−−=∂∂． 二、隐函数的导数在Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple 中求隐函数导数的命令，调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')例3 求由多元方程xyz z y x =++222所确定的隐函数dxz ∂． 解 在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即 zxy yz x x z 22−−=∂∂． 三、多元函数的极（或最）值在Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab 函数．若要求多元函数u 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u −在该区域内的极（或最）小值．1．非线性无约束情形求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：[x,fval]=fminsearch(‘f ’,x0)f 是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量．例４ 求二元函数2331042),(y xy xy x y x f +−+=的最值点和最值．解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]);[Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]);fmax=-Fmin;Xmin,fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin =1.0016 0.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =2．非线性有约束情形非线性有约束优化问题的数学模型如下：式中，x,b,beq,lb 和ub 是向量，A 和Aeq 是矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量．f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon 参数计算非线性不等式约束c(x)<=0和非线性等式约束ceq(x)=0．例5 求表面积为6m 2的体积最大的长方体体积．解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,i=1,2,3．⑴ 建立函数文件fun1打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：function F=fun1(x) %函数文件必须是function 开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存．⑵ 建立非线性约束函数文件yceqfunction [c,ceq]=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=[];保存方法同上，自动取名为yceq ，再击保存．⑶ 编制主程序：打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=[3;3;3]; %给长宽高一个初值A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[0,0,0];ub=[];[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq'); %函数要加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下：xmax =1.00001.00001.0000Vmax =ubx lb beqx Aeq bx A x ceq x c x f Min ≤≤≤⋅≤⋅=≤0)(0)()(四、上机实验1．用help命令查看函数diff，fminsearch和fmincon等的用法．2．上机验证上面各例．3．作相关小节练习中多元函数的偏导数，极（或最）值．。

MATLAB导数的计算1.符号求导法符号求导是使用MATLAB中的符号计算工具箱进行求导的一种方法。

首先，需要定义符号变量，然后再使用diff函数对符号表达式进行求导。

例如，假设要求函数f(x) = x^2的导数，可以按照以下步骤进行：```matlabsyms xf=x^2;df = diff(f, x);disp(df);```上述代码中，首先使用syms命令定义了一个符号变量x，然后定义了函数f(x) = x^2，最后使用diff函数对f进行求导，并将结果保存在df变量中。

最后，使用disp函数输出导数df的值。

2.数值求导法数值求导是一种通过计算函数在其中一点的左右两个邻近点的函数值来估计导数的方法。

在MATLAB中，可以使用diff函数来实现数值求导。

例如，假设要计算函数f(x) = x^2在x = 1处的导数，可以按照以下步骤进行：```matlabx=1;h=0.001;df = (f(x+h)-f(x-h))/(2*h);disp(df);```上述代码中，首先定义了要计算导数的点x = 1，然后定义了一个小的步长h，在此示例中，h的值为0.001、然后通过定义一个匿名函数f来表示要计算的函数f(x)，最后使用数值求导公式计算导数df的近似值，并使用disp函数输出导数的值。

3.数值微分法数值微分是使用数值方法估计离散数据集的导数。

在MATLAB中，可以使用gradient函数来实现数值微分。

例如，假设有一组数据点(x, y)，要计算y关于x的导数，可以按照以下步骤进行：```matlabx=[1,2,3,4,5];y=[1,4,9,16,25];dy = gradient(y, x);disp(dy);```上述代码中，首先定义了一组数据点x和y，然后使用gradient函数对y关于x进行数值微分，并将结果保存在dy变量中。

最后，使用disp函数输出导数的值。

4.使用符号求导的数值计算方法在MATLAB中，还可以将符号计算与数值计算相结合，使用符号求导的结果计算数值导数。

matlab求函数在指定点的数值导数在数学和科学计算中，函数的导数是指函数在给定点上的变化率。

求函数在指定点的数值导数是让我们能够快速而准确地计算函数的变化率，从而帮助我们分析函数的性质和优化问题。

在MATLAB中，我们可以使用符号计算工具箱来求解函数在指定点的数值导数。

首先，我们需要确保已经安装了符号计算工具箱。

如果没有安装，可以在MATLAB的主界面上选择“添加-Ons”并进行安装。

安装完成后，我们可以使用符号计算工具箱中的函数`diff`来求函数的导数。

在MATLAB中，我们首先需要定义函数和变量。

假设我们要求函数f(x)在指定点x=a处的导数。

我们可以通过以下步骤来实现：1. 定义函数f(x)：在MATLAB中，我们可以使用`syms`命令定义一个符号变量。

例如，如果我们要定义一个函数f(x)=x^2+3x+2，我们可以这样写：```matlabsyms x;f(x) = x^2 + 3*x + 2;```2. 求导数：使用`diff`函数来计算函数的导数。

通过指定第二个参数为变量x，并将其设置为指定点a，我们可以计算函数在该点的导数。

例如，我们要求f(x)在x=a处的导数，可以这样写：```matlaba = 1; % 指定的点adf = diff(f, x);df_a = subs(df, x, a);```这样，我们就求得了函数f(x)在x=a处的导数df_a。

现在让我们来看一个具体的例子。

假设我们要求函数f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数。

我们可以按照上述步骤在MATLAB中实现：```matlabsyms x;f(x) = sin(x);a = pi/4; % 指定的点adf = diff(f, x);df_a = subs(df, x, a);```运行以上代码后，MATLAB会计算出f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数df_a。

MATLAB还提供了其他一些函数来处理更复杂的导数计算，例如高阶导数、偏导数和隐式函数的导数。

实验三 导数及应用实验目的1. 深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义。

掌握MATLAB 求导数与高阶导数的方法。

深入理解和掌握求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数的方法。

2. 掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。

掌握用MATLAB 求方程的根和求函数的极值的方法。

实验内容● 求导数的命令为：diff ，常用格式为 >> syms x>> diff('f(x)',x)diff(f,x)给出f 关于x 的导数，而表达式f 中的其它字母看作常量。

因此如果表达式是多元函数，则给出的是偏导数。

>> diff('f(x)',x,n) 给出f 关于x 的n 阶导数或者偏导数。

● 多项式方程00111=+++--a x a xa x a n n n n 求根命令是：roots具体格式：roots (c)● 求一般方程0)(=x f 近似根的命令，一般形式为：⑴ 建立函数：f=inline('表达 式 ')⑵ 求函数零点：c=fzero(f, [a, b]) % 求函数f(x) 在区间[a, b] 内的零点c ； c=fzero(f, x0) % 求函数f(x) 在x0 附近的零点c ； fsolve 非线性方程求解fzero 标量非线性方程求解● 求非线性函数f(x) 的极小值，求一元函数极小值命令是 fminbnd,常用格式为： x=fminbnd(fun,x1,x2);[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2);[x,fav1,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2);其中：x=fminbnd(fun,x1,x2) 是求(x1,x2)上fun 函数的最小值x 。

[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2)返回解x 处目标函数的值。

Matlab中求导数的命令1. 简介求导数是数学中一项重要的运算，它用于确定函数在某一点的变化率。

在科学计算和数据分析中，求导数也是一项常见的操作。

Matlab作为一种强大的数值计算和可视化工具，提供了多种用于求导数的命令和函数。

本文将介绍Matlab中常用的求导数命令，以及如何使用它们进行求导数操作。

2. diff函数：求导数在Matlab中，diff函数是常用的求导数命令。

它可以计算一个函数的符号导数、数值导数和复合函数的导数。

diff函数的语法如下：dy = diff(y)dy = diff(y,n)dy = diff(y,x)dy = diff(y,x,n)其中，y表示输入的函数，x表示自变量，n表示求导的阶数。

下面我们将分别介绍这几种用法。

2.1. 符号导数符号导数是指根据函数的解析表达式，求得其导数的表达式。

符号导数不需要数值计算，可以保持高精度。

示例1：求函数 y = x^2 的导数。

syms xy = x^2;dy = diff(y)上述代码中，通过syms函数声明了一个符号变量x，然后定义了函数y = x^2。

最后使用diff函数求y的导数，得到结果dy = 2*x。

2.2. 数值导数数值导数是指通过有限差分方法，利用离散的函数值来近似计算函数的导数。

数值导数适用于无法通过解析表达式求得导数的情况。

示例2：求函数 y = sin(x) 在 x = pi/4 处的导数。

x = pi/4;y = sin(x);dy = diff(y)上述代码中，直接将x赋值为pi/4，然后计算y = sin(x)在x = pi/4处的导数。

最后得到结果dy ≈ 0.7071。

2.3. 复合函数的导数复合函数是由两个或多个函数组成的函数。

在Matlab中，我们可以使用符号导数和chainrule函数来求解复合函数的导数。

示例3：求复合函数 y = sin(x^2) 的导数。

syms xy = sin(x^2);dy = diff(y)上述代码中，通过syms函数声明了一个符号变量x，然后定义了函数y =sin(x^2)。

Matlab偏导数运算
1. 什么是偏导数？
偏导数是多元函数求导的一种形式。

在数学中，如果一个函数有多个变量，则
可以对其中一个变量求偏导数，而将其他变量视为常数。

偏导数衡量了函数在
某个特定点上的变化率。

2. Matlab中的偏导数计算方法
在Matlab中，可以使用符号工具箱来计算偏导数。

符号工具箱允许我们将符
号表达式定义为符号变量，并进行符号运算，包括求导。

要计算一个函数的偏导数，首先需要定义符号变量。

通过使用syms命令来实现：syms x y
然后，可以定义函数并使用符号变量进行表达：
f = x^2 + 2*x*y + y^2;
要计算f关于x的偏导数，可以使用diff函数：
df_dx = diff(f, x);
类似地，要计算f关于y的偏导数，可以使用：
df_dy = diff(f, y);
3. 示例
让我们通过一个示例来说明如何在Matlab中计算偏导数。

假设我们有以下函数：
f = sin(x) + cos(y);
我们需要计算f关于x和y的偏导数。

syms x y
df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);
输出结果为：
df_dx = cos(x)
df_dy = -sin(y)
这样，我们就得到了f关于x和y的偏导数。

4. 总结
Matlab提供了符号工具箱来计算函数的偏导数。

通过定义符号变量，并使用diff函数，可以计算函数关于指定变量的偏导数。

这对于需要进行数学分析和优化的问题非常有用。