幂的运算讲义-刘丹

幂的运算课件教学目标：1、能说出幂的运算的性质;2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据;3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的'正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数;4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。

教学重点：运用幂的运算性质进行计算教学难点：运用幂的运算性质进行证明规律教学方法：引导发现，合作交流，充分体现学生的主体地位一、系统梳理知识：幂的运算：1、同底数幂的乘法2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数幂的除法：(1)零指数幂(2)负整数指数幂请你用字母表示以上运算法则。

你认为本章的学习中应该注意哪些问题?二、例题精讲：例1 判断下列等式是否成立：①(-x)2=-x2，②(-x3)=-(-x)3，③(x-y)2=(y-x)2，④(x-y)3=(y-x)3，⑤x-a-b=x-(a+b)，⑥x+a-b=x-(b-a).解：③⑤⑥成立.例2 已知10m=4，10n=5，求103m+2n的值.解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25.所以103m+2n=103m×102n=64×25=1680例3 若x=2m+1，y=3+4m，则用x的代数式表示y为______.解：∵2m=x-1，∴y=3+4m=3+22m.=3+(2m)2=3+(x-1)2=x2-2x+4.例4设表示正整数n的个位数，例如<3>=3，<21>=1，<13×24>=2，则<210>=______.解 210=(24)222=1624，∴ <210>=<6×4>=4例5 1993+9319的个位数字是( )A.2B.4C.6D.8解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字.∵ 993=(92)469=81469.319=(34)433=81427.∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字.则 1993+9319的个位数字是6.三、随堂练习：1、已知a=355，b=444，c=533，则有 ( )A.aC.c2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于 ( )3、试比较355，444，533的大小.4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。

幂的运算、科学记数法幂，指乘方运算的结果。

把a n 看作乘方的结果，叫做“a 的n 次幂”或“a 的n 次方”。

在幂的形式中，若指数是整数的，则称为整数指数幂。

1）当指数n 是正整数时，a n 叫做正整数指数幂。

2）当指数n 是0，且n 不等于0时，a n 叫做零指数幂。

3）当指数n 是负整数，且a 不等于0时，a n 叫做负整数指数幂。

整数指数幂的运算法则：1.任何非零数的0次幂都等于1。

2.任何非零数的-n 次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。

3.同底数幂相乘，底数不变指数相加。

4.同底数幂相除，底数不变,指数相减。

5.幂的乘方，底数不变，指数相乘。

6.积的乘方，各个因式分别乘方。

7.分式乘方，分子分母各自乘方。

把一个绝对值大于10或者小于1的数记为a ×10n 的形式（其中1≤|a|＜10，n 是整数），这种记数法叫做科学记数法。

例：864000=8.64×105-1009874=-1.009874×10610.60万=1.06×1050.1=1×10-10.01=1×10-20.00001=1×10-50.00000001=1×10-80.000611=6.11×10-40.0006075=6.075×10－4-0.00105=-1.05×10-3-0.30990=-3.099×10－1-0.00607=-6.07×10－3=⨯-410141010001.0= =⨯-5101.251011.2⨯00001.01.2⨯=000021.0=7.2×10－5= 0.000072-1.5×10－4= -0.000151、用科学记数法表示下列各数，并保留3个有效数字。

（1）0.0003267（2）-0.0011（3）-8906902、写出原来的数，并指出精确到哪一位。

《幂的乘方》讲义一、引入同学们，在我们的数学世界中，幂的运算可是非常重要的一部分。

今天，我们要一起来深入学习幂的乘方。

想象一下，我们已经知道了幂的基本运算，比如同底数幂的乘法。

那幂的乘方又会给我们带来怎样的奇妙变化呢？二、幂的乘方的定义幂的乘方，简单来说，就是一个幂再进行乘方运算。

假设我们有一个幂a^m，现在对这个幂进行乘方，乘方的指数是n，那么幂的乘方的结果就是（a^m)＾n。

三、幂的乘方的运算法则那（a^m)＾n 到底等于什么呢？经过推导和总结，我们得到了幂的乘方的运算法则：（a^m)＾n ＝a^（m×n)也就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

为了更好地理解这个法则，我们来看几个例子。

例 1：计算（2^3)＾2首先，底数 2 不变，指数 3 和 2 相乘，得到 3×2 ＝ 6所以（2^3)＾2 ＝ 2^6 ＝ 64例 2：（a^4)＾3同样，底数 a 不变，指数 4×3 ＝ 12所以（a^4)＾3 ＝ a^12四、幂的乘方与同底数幂乘法的区别有的同学可能会把幂的乘方和同底数幂的乘法搞混，那我们来比较一下。

同底数幂的乘法法则是：a^m × a^n ＝ a^（m ＋ n)而幂的乘方法则是：（a^m)＾n ＝ a^（m×n)可以看出，同底数幂的乘法是指数相加，幂的乘方是指数相乘。

五、幂的乘方的逆运算既然有正运算，那自然也有逆运算。

如果我们知道 a^（m×n)，要把它还原成幂的乘方的形式，那就是（a^m)＾n 或者（a^n)＾m例如：已知 3^6，我们可以写成（3^2)＾3 或者（3^3)＾2六、幂的乘方在实际计算中的应用在进行复杂的数学运算时，幂的乘方经常能帮助我们简化计算。

比如计算：（2×4^2)＾3先计算 4^2 ＝ 16原式就变成了（2×16)＾3 ＝ 32^3再运用幂的乘方法则，32^3 ＝（2^5)＾3 ＝ 2^15七、幂的乘方在代数中的应用在代数运算中，幂的乘方也经常出现。

泛 美 教 育 个 性 化 教 学 专 用 教 案学生姓名：科目：数学 七年级备课时间： 年 月 日 讲次：第 讲授课教师：章老师授课时间： 年 月 日 至上课后，学生签字： 年 月 日教学类型： ■强化基础型 □引导思路型 □错题讲析型 ■督导训练型 ■效率提升型 □单元测评型 □综合测评型 □应试指导型 □专题总结型 □其它：第一讲：幂的运算教学目标： 1. 学会应用同底数幂的乘法； 2. 学会应用同底数幂的除法； 3. 掌握幂的乘方； 4.理解积的乘方。

教学重难点：1. 学会应用同底数幂的乘法；2. 学会应用同底数幂的除法；3. 掌握幂的乘方。

教学内容 ：一、同底数幂的乘法（重点）1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n ma a a+=⋅(m 、n 是正整数)2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.【典型例题】1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ）A ．22015B ．22007C ．－2D ．－220082．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数．4．（一题多变题）（1）已知x m=3，x n=5，求x m+n． （2）一变：已知x m=3，x n=5，求x 2m+n；（3）二变：已知x m=3，x n=15，求x n．二、同底数幂的除法（重点）1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减.公式表示为：()0,m n m n a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且. 2、零指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1.用公式表示为：()010a a =≠.3、负整数指数幂的意义任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，用公式表示为()10,n n a a n a-=≠是正整数4、绝对值小于1的数的科学计数法 对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成10n a ⨯的形式，其中110,a n ≤<是负整数.注意点：(1) 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了；(2) ()0,a m n m n ≠>、是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉.（3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1.【典型例题】 一、选择1．在下列运算中，正确的是（ ）A ．a 2÷a=a 2B ．（－a ）6÷a 2=（－a ）3=－a 3C ．a 2÷a 2=a 2－2=0 D ．（－a ）3÷a 2=－a2．在下列运算中，错误的是（ ） A ．a 2m÷a m÷a 3=a m －3B ．a m+n ÷b n =amC ．（－a 2）3÷（－a 3）2=－1D ．a m+2÷a 3=am －1二、填空题1．（－x 2）3÷（－x ）3=_____． 2．[（y 2）n ] 3÷[（y 3）n ] 2=______． 3．104÷03÷102=_______． 4．（π－3.14）0=_____．三、解答1．（一题多解题）计算：（a －b ）6÷（b －a ）3． 2．（巧题妙解题）计算：2－1+2－2+2－3+…+2－2008．3、已知a m=6，a n=2，求a 2m －3n的值．4．（科外交叉题）某种植物的花粉的直径约为3.5×10－5米，用小数把它表示出来．三、幂的乘方（重点）幂的乘方，底数不变，指数相乘.公式表示为：()()nm mn a a m n =、都是正整数.注意点：（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.【典型例题】1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（ ）A ．0B ．2a 10C ．-2a 10D ．2a 72．下列各式成立的是（ ）A ．（a 3）x =（a x ）3B ．（a n ）3=a n+3C ．（a+b ）3=a 2+b 2D ．（-a ）m =-a m3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．已知x2+3x+5的值为7，那么3x2+9x-2的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．66.计算：（1）233342)(a a a a a +⋅+⋅ （2）22442)()(2a a a ⋅+⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。