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离散数学考试试题（A 卷及答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R )⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q乙：⌝Q ∧P丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
离散数学考试试题（A、B卷及答案）离散数学考试试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取(Q->p)证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C再反用分配律( A∧(P?Q))∨C(A∧(P?Q))→C2) ?(P↑Q)??P↓?Q。
证明:?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。
二、分别用真值表法与公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式,并写出其相应的成真赋值与成假赋值(15分)。
主析取范式与析取范式的区别:主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明:公式法:因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))分配律(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P ∨R∨?R) (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)4M使(非P析取Q析取R)为0所赋真值,即100,二进制为4M∧6M∧50m∨1m∨2m∨3m∨7m所以,公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式,其相应的成真赋值为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
真值表法:0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0111111111111111111为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) -ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是_______________________________________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学考试试题(A、B卷及答案)离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔ (A∧(P↔Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔(⌝P∨⌝Q∨⌝A∨C)∧(⌝A∨P∨Q∨C)⇔((⌝P∨⌝Q∨⌝A)∧(⌝A∨P ∨Q))∨C反用分配律⇔⌝((P∧Q∧A)∨(A∧⌝P∧⌝Q))∨C⇔⌝(A∧((P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)))∨C再反用分配律⇔⌝( A∧(P↔Q))∨C⇔(A∧(P↔Q))→C⇔(⌝P∨Q∨R)∧(((⌝P∨Q)∧(⌝P∨R))∨(⌝Q∧⌝R))分配律⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝Q)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨R∨⌝Q)∧(⌝P∨R ∨⌝R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)⇔4M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制为4⇔0m∨1m∨2m∨3m∨7m所以，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R Q↔R P→(Q∨R)⌝P∨(Q↔R) (P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 111111111111111 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 11111111由真值表可知，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P ∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
三、推理证明题（10分）1）⌝P∨Q，⌝Q∨R，R→S P→S。
证明：(1)P附加前提(2)⌝P∨Q P(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）(4)⌝Q∨R P(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）(6)R→S P(7)S T(5)(6)，I（假言推理）(8)P→S CP2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x)(2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))(4)P(a)→Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)∃x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）证明：因为x∈(A∪B)－C⇔x∈(A∪B)－C⇔x∈(A∪B)∧x∉C⇔(x∈A∨x∈B)∧x∉C⇔(x∈A∧x∉C)∨(x∈B ∧x∉C)⇔x∈(A－C)∨x∈(B－C)⇔x∈(A－C)∪(B－C) 所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。
离散数学AB卷离散数学黄金AB卷A卷一、选择题：（30分）1、取个体域为整数集，给定下列公式（1）∀x∃y（x*y=0）（2）∀x∃y（x*y=1）（3）∃y∃x（x*y=2）（4）∀x∀y ∃z（x – y = z）（5）x – y = - y + x（6）∀x∀y（x *y = y）（7）∀x（x*y = x）（8）∃x∀y（x + y = 2y）在上面的公式中，真命题的为 A ，假命题的为B 。
A：①（1）、（3）、（4）、（6）；②（3）、（4）、（5）；③（1）、（3）、（4）、（5）；④（3）、（4）、（6）、（7）B：①（2）、（3）、（6）；②（2）、（6）、（8）；③（1）、（2）、（6）、（7）；④（2）、（6）、（8）、（7）2、设S1=｛1，2，…，8，9｝，S2=｛2，4，6，8｝，S3=｛1，3，5，7，9｝，S4=｛3，4，5｝，S5=｛3，5｝。
确定在以下条件下X可能与S1,…,S5中哪个集合相等。
（1）若X∩S5 = φ，则A ；（2）若X⊆S4但X∩S2 = φ，则B ；（3）若X⊆S1但X⊄S3，则C ；（4）若X - S3= φ，则D ；（5）若X⊆S3但X⊄S1，则E ；A、B、C、D、E：①X=S2或者S3；②X= S4或者S5；③X=S1，S2或者S4；④X与其中任何集合都不等；⑤X=S2；⑥X=S5；⑦X=S3或者S5；⑧X=S2或者S4；3、（1）设S=｛1，2｝，R为S上的二元关系，且xRy。
如果R=Is，则A ；如果R是数的小于等于关系，则B ；如果R=Es，则C 。
（2）设有序对< x+2，4 > 与有序对<5，2x+y >相等，则x=D ，y=E 。
A、B、C：①x与y可任意选择1或2；②x=1，y=1；③x=1，y=1或2；x=y=2；④x=2，y=2；⑤x=y=1或x=y=2；⑥x=1，y=2；⑦x=2，y=1；D 、E ：⑧3；⑨9；⑩ -24、设S=<1，2，3，4>，R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001，则（1）R 的关系表达式是A ；（2）domR=B ；ranR=C ；（3）R R 中有D 个有序对；（4）R-1的关系图中有E 个环。
离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。
解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。
则根据题意应有：A→C⊕D，⌝(B ∧C)，C→⌝D必须同时成立。
因此(A→C⊕D)∧⌝(B∧C)∧(C→⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧(⌝B∨⌝C)∧(⌝C∨⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧((⌝B∧⌝C)∨(⌝B∧⌝D)∨⌝C∨(⌝C∧⌝D))⇔(⌝A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧⌝B∧⌝D)∨(⌝A∧⌝C)∨(⌝A∧⌝C∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝C∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝C∧⌝D)⇔F∨F∨(⌝A∧⌝C)∨F∨F∨(C∧⌝ D∧⌝B)∨F∨F∨(⌝C∧D∧⌝B)∨F∨(⌝C∧D)∨F⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D∧⌝B)∨(⌝C∧D)⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D)⇔T故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。
解：论域：所有人的集合。
S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：∀x(S(x)∧W(x))，∃x Y(x)∃x(S(x)∧Y(x))下面给出证明：(1)∃x Y(x) P(2)Y(c) T(1)，ES(3)∀x(S(x)∧W(x)) P(4)S( c)∧W( c) T(3)，US(5)S( c) T(4)，I(6)S( c)∧Y(c) T(2)(5)，I(7)∃x S((x)∧Y(x)) T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A⊂B⇒⌝(B⊂A)。
离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤0，则x≤1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤1，则x≤0答案：B3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A5. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A6. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C7. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A9. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A10. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______。
答案：{1,2,3,4}2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是：若x≤1，则x≤0。
离散数学试题（A卷答案）一、（10分）求(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))的主析取范式解：(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))⇔⌝(⌝( P∨Q))∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q)∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨⌝Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨(R∧⌝R))∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨⌝R)∧(P∨Q∨R)⇔M∧1M⇔m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m2二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。
则根据题意应有：甲：⌝P∧Q乙：⌝Q∧P丙：⌝Q∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )⊆'R 。
一、填空题1设集合A，B，其中A＝{1,2,3}, B= {1，2｝, 则A — B＝｛3} ；ρ(A）—ρ(B)＝{3｝,{1,3}，｛2,3}，｛1，2,3｝｝.2n。
2。
设有限集合A，｜A｜= n，则｜ρ(A×A)｜= 23。
设集合A = {a, b}，B = ｛1, 2｝，则从A到B的所有映射是α1= ｛(a，1），（b,1)}，α2= ｛（a,2)，(b，2)},α3= {(a，1), （b,2)｝，α4= {(a，2），(b，1)｝，其中双射的是α3, α4 。
4. 已知命题公式G＝⌝（P→Q)∧R，则G的主析取范式是（P∧⌝Q∧R)5。
设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3。
6设A、B为两个集合，A= {1,2,4}, B = {3，4｝, 则从A⋂B＝｛4} ; A⋃B＝｛1，2，3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性，对称性传递性。
8. 设命题公式G＝⌝(P→（Q∧R））,则使公式G为真的解释有（1, 0, 0), （1, 0，1），（1，1，0)9。
设集合A＝｛1,2，3，4｝，A上的关系R1 = ｛（1,4）,（2，3),(3,2）}, R2 = {（2，1）,（3,2），(4,3）｝，则R1•R2 ={(1,3)，（2，2)，(3,1)} ，R2•R1 = ｛（2，4)，（3,3)，（4，2）｝_R12 =｛（2，2),(3,3).10。
设有限集A, B,|A| = m，｜B｜= n，则｜|ρ（A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x ｜-1≤x≤1, x∈R}, B = ｛x ｜0≤x 〈2，x∈R}，则A—B = -1〈=x〈0 , B-A = {x ｜ 1 〈x < 2，x∈R｝,A∩B =｛x ｜0≤x≤1, x∈R｝, 。
离散数学考试试题(A 卷及答案）一、证明题（10分） 1) (P ∧Q ∧AC )∧(A P ∨Q ∨C ) (A ∧(P Q ))C 。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p ）证明: (P ∧Q ∧A C )∧(A P ∨Q ∨C )(P ∨Q ∨A ∨C )∧(A ∨P ∨Q ∨C )((P ∨Q ∨A )∧(A ∨P ∨Q ))∨C 反用分配律 ((P ∧Q ∧A )∨(A ∧P ∧Q ))∨C( A ∧((P ∧Q )∨(P ∧Q )))∨C 再反用分配律( A ∧(PQ ))∨C(A ∧(P Q ))C2)(P Q)PQ 。
证明：(P Q)((P ∧Q))(P ∨Q))PQ 。
二、分别用真值表法和公式法求(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由 析取范式经等值演算法算得。
证明：公式法：因为(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))(P ∨Q ∨R )∧(P ∨(Q ∧R )∨(Q ∧R ))(P ∨Q ∨R )∧(((P ∨Q )∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )∧(P ∨R ∨Q )∧(P∨R ∨R )(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨R )4M ∧5M ∧6M 使（非P 析取Q 析取R ）为0所赋真值，即100，二进制为40m ∨1m ∨2m ∨3m ∨7m所以，公式(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R Q R P(Q ∨R)P∨(Q R)(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))0 0 0 0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 11111111111111111111111为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
三、推理证明题（10分）1）P∨Q，Q∨R，R S P S。
证明：(1)P附加前提(2)P∨Q P(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）(4)Q∨R P(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）(6)R S P(7)S T(5)(6)，I（假言推理）(8)P S CP2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明（1）xP(x)(2)P(a)(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))(4)P(a)Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）证明：因为x∈(A∪B)－C x∈(A∪B)－Cx∈(A∪B)∧x C(x∈A∨x∈B)∧x C(x∈A∧x C)∨(x∈B∧x C)x∈(A－C)∨x∈(B－C)x∈(A－C)∪(B－C)所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。
八、证明整数集I上的模m同余关系R={<x,y>|x y(mod m)}是等价关系。
其中，x y(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。
X(modm)=y(modm)证明：1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x x(mod m)，即xRx。
2）x,y∈I，若xRy，则x y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k ∈I，所以y x(mod m)，即yRx。
3）x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。
九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。
证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。
同理可推f-1g-1：C→A是双射。
因为<x,y>∈f-1g-1存在z（<x,z>∈g-1<z,y>∈f-1）存在z（<y,z>∈f<z,x>∈g）<y,x>∈gf<x,y>∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。
离散数学考试试题(B卷及答案）一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)T (代入)2) x y(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))证明：x y(P(x)Q(y))x y(P(x)∨Q(y))x(P(x)∨yQ(y))x P(x)∨yQ(y)x P(x)∨yQ(y)(xP(x)yQ(y))二、求命题公式(P Q)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(P Q)(P∨Q)(P Q)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1m0∨m2∨m3使之为真三、推理证明题（10分）1)(P(Q S))∧(R∨P)∧Q R S证明：(1)R(2)R∨P p(3)P T（1）（2）析取三段论(4)P(Q S) p(5)Q S T（3）（4）I假言推理(6)Q P(7)S T（5）（6）I假言推理(8)R S CP2) x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。
证明：(1)x(A(x)yB(y)) P(2)A(a)yB(y) T(1)ES(3)x(B(x)yC(y)) P(4)x(B(x)C(c)) T(3)ES(5)B(b)C(c) T(4）US(6)A(a)B(b) T(2)US(7)A(a)C(c) T(5)(6)I假言三段论(8)xA(x)C(c) T(7)UG(9)xA(x)yC(y) T(8)EG四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。
所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。
解：设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：P x A(x)，xA(x)Q Q P。
(1)P x A(x) P(2)P xA(x) T(1)E(3)xA(x)P T(2)E(4)xA(x)Q P(5)(xA(x)Q)∧(Q xA(x)) T(4)E(6)Q xA(x) T(5)I(7)Q P T(6)(3)I五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）证明：∵x A∩（B∪C） x A∧x（B∪C） x A∧（x B∨x C）（ x A ∧x B）∨（x A∧x C） x（A∩B）∨x A∩C x（A∩B）∪（A∩C）∴A ∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={<x1, y1>,<x2, y2>,<x3, y2>}，求其关系矩阵及关系图（10分）。
有就是1，没就是0七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图（15分）。
r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3><5,5>}（自反闭包）s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}（对称闭包）t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}（传递闭包）九、设f：A B，g：B C，h：C A，证明：如果h o g o f＝I A，f o h o g＝I B，g o f o h＝I C，则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1（10分）。
解因I A恒等函数，由h o g o f＝I A可得f是单射，h是满射；因I B恒等函数，由f o h o g ＝I B可得g是单射，f是满射；因I C恒等函数，由g o f o h＝I C可得h是单射，g是满射。
从而f、g、h均为双射。
由h o g o f＝I A，得f－1＝h o g；由f o h o g＝I B，得g－1＝f o h；由g o f o h＝I C，得h－1＝g o f。
五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问:(1) 有多少不同的由X到Y的关系?(2) 有多少不同的由X到Y的影射?(3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?（12分）<G,*>是个群，u∈G，定义G中的运算“”为a b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：<G, >也是个群。
证明：1）a,b∈G，a b=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。
2）a,b,c∈G，（a b）c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a（b c），运算是可结合的。
3）a∈G，设E为的单位元，则a E=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。
4）a∈G，a x=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则x a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。
所以<G, >也是个群。
六.。
