江苏省苏北四市高三数学第一次质量检测试题 理(含解析)新人教A版

江苏省苏北四市2024届高三第一次调研测试物理试题一、单选题：本题共7小题，每小题4分，共28分 (共7题)第(1)题2022年9月国家原子能机构展示了近年来核技术在我国国民经济领域的重大应用成果。

其中医用同位素镥177的自主可控及批量生产入选。

该成果破解了多年来我国对其大量依赖进口的局面。

镥177的半衰期约为6.7d，衰变时会辐射射线。

其衰变方程为，下列说法正确的是（ ）A．该反应产生的新核比的比结合能小B．衰变时放出的X粒子的穿透性比γ射线强C．衰变时放出的X粒子来自于177内中子向质子的转化D．含有镥177的药物经过13.4d后，将有四分之一的镥177发生衰变第(2)题100年前，卢瑟福猜想在原子核内除质子外还存在着另一种粒子X，后来科学家用粒子轰击铍核证实了这一猜想，该核反应方程为：，则（）A．，，X是中子B．，，X是电子C．，，X是中子D．，，X是电子第(3)题2022年6月23日，东北首座核电站辽宁红沿河核电站全面投产，成为国内在运的最大核电站。

在该核电站的核反应堆中，中子轰击重核铀发生裂变反应，释放出大量核能。

已知一个裂变时能释放200MeV的能量，阿伏加德罗常数，则1kg的铀完全裂变释放的能量（ ）A．B．C．D．第(4)题下列说法正确的是（ ）A．漂浮在热菜汤表面上的油滴，从上面观察油滴呈球形，这是油滴呈各向同性的缘故B．密闭有空气的薄塑料瓶因升温而膨胀，此过程中外界对其做功C．氢原子的能级是不连续的，辐射出的光子能量也是不连续的D．γ射线是原子核衰变过程中受激发的电子从低能级向高能级跃迁时发出的第(5)题图示平面内固定两个等量异种点电荷，M、N两点关于两电荷的连线对称，M、P两点关于两电荷连线的中垂线对称。

下列说法正确的是（ ）A．M、P两点的电场强度相同B．N、P两点的电场强度相同C．N、P两点的电势相等D．电子在M点的电势能比在N点的大第(6)题2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则（）A．试验船的运行速度为B．地球的第一宇宙速度为C．地球的质量为D．地球表面的重力加速度为第(7)题如图所示，真空中A、B、C三点的连线构成一个边长的等边三角形，AD为BC连线的中垂线，D为BC连线中点。

2022-—2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题2023.01注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝A．M B．N C．P D．O2．已知i5＝a＋b i(a，b∈R)，则a＋b的值为A．－1B．0C．1D．23．设p：4x－3＜1；q：x－(2a＋1)＜0，若p是q的充分不必要条件，则A．a＞0B．a＞1C．a≥0D．a≥14．已知点Q在圆C：x2－4x＋y2＋3＝4上，点P在直线y＝x上，则PQ的最小值为A．2－1B．1C．2D．25．某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、客场交叉淘汰赛(每两队主、客场各赛1场)，决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．则全部赛程共需比赛的场数为A ．15B ．16C ．17D ．186．若f (x )＝sin(2x ＋π6)在区间[－t ，t ]上单调递增，则实数t 的取值范围为A ．[π6，π2]B ．(0，π3]C ．[π6，π3]D ．(0，π6]所以函数f (x )的单调递增区间为[－π3，π6]，则0＜t ≤π6，故答案选D ．7．足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为2，A ，B ，C 分别为正多边形的顶点，则→AB ·→AC ＝A ．(3＋3cos18°)a 2B ．(3＋cos18°)a 2C ．(3＋2cos18°)a 2D ．(33＋3cos18°)a 28．在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位通项分别写下了一个命题：甲：ln3＜3ln2：乙：lnπ＜πe ；丙：212＜12；丁：3eln2＞42．所写为真命题的是A．甲和乙B．甲和丙C．丙和丁D．甲和丁【答案】B【解析】法一：而8＞e，所以f(8)＜f(e)，故丁错；综上，答案选B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

参考答案一、填空题1． 2． 3． 4． 5．750 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题 15．（1）在中，由，得为锐角，所以，所以，………………………………………………………………2分所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形中,由，所以sinB B ==， ……8分 由sin sin()sin cos cos sin C A B A B AB =+=+…………………………10分由正弦定理,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）取的中点，连结因为分别是的中点，所以且在直三棱柱 中，，，又因为是 的中点，所以 且. ……………………2分 所以四边形是平行四边形， 所以， ……………………4分 而平面，平面， 所以平面. ……6分（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又因为平面，所以平面平面，…………………8分 又因为，所以，平面平面，，所以平面，…………………………………10分 又因为平面，所以，即，连结， 因为在平行四边形中，，所以，又因为， 且，平面，所以平面，………………………12分 而平面，所以.…………14分17．（1）设交于点，过作，垂足为，在中，，，…2分在中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅ ， ……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S θθθθ=π=π-,…………8分设3(),(01)f x x x x =-<< 则，由得：， 当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在时取得极大值，也是最大值；所以当时，侧面积取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===． 答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分18．（1）由题意知：221,2191,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………………………………………2分解之得： 所以椭圆方程为． ……………………………4分 （2）若，由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得，解得（舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设，则，直线的方程为，代入椭圆方程，得2220000(156)815240x x y x x x ---+=， 因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…………………12分又在直线上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，点坐标为，， ……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在，使得．…………16分19．（1）函数的定义域为． 当时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=，……………………………………………2分 所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，函数取得极小值为，无极大值．………………4分（2）设函数上点与函数上点处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-， 故211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-， …6分所以，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--，得222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ……………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=， 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分 代入可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-， 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对恒成立， 所以在区间上单调递增，又，所以当时，即当时, ……………12分又当时，222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--，14分因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同． 又由得：，所以单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，， 所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分 20．（1）若，则(),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-， 所以， ……………………………………………………………2分 又由，，得，，即，所以，故数列是等比数列．…………………………………………4分 （2）若是等比数列，设其公比为（ ），当时，，即，得， ① 当时，，即123323a a a a a ++=+λμ，得 ， ② 当时，，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯，得 ， ③-②⨯，得 ，解得．代入①式，得．…………………………………………………………………8分 此时()，所以，是公比为1的等比数列，故． ……………………………………………………………………10分（3）若，由，得， 又，解得．…………………………………………………12分由，， ，，代入得，所以，，成等差数列，由，得：，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-， 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=，所以21(1)20n n n na n a a ++---=，相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+=， 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=，所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分 因为，所以，即数列是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．连结，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以． …………………………………………………5分 又△∽△，所以，即，∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分 B ．因为411041230123-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦M BA ， ………………………………………5分 所以13110101255-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M ． ………………………………………………………10分C.把直线方程化为普通方程为． ……………………………3分将圆22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为，即． ………………………………………………………………6分圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.……………………10分D ．因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c da b c d++++++++++++++2≥， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．……10分22．（1）因为，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以，， ………………………………………2分记直线和所成角为，则11cos|cos,|4α-⨯=<>==AC BE，所以直线和所成角的余弦值为．………………………………………4分（2）设平面的法向量为，因为，，则111130,120,2FB yFC x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩mm取，得．…………………………6分设平面的一个法向量为，因为，，则221210,220,CB xCC z⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩nn取得：．………………………8分cos,∴<>=m n根据图形可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．…………10分23．（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，所以圆的半径为，点，则直线的方程为，即，………………………………………………………………2分n=，又，所以，即，所以的方程为．………………………………………………4分（2）设，，，由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，由，所以121AQt ykt-==+，221BQt ykt-==-+所以，，……………………………………………………6分所以33151|23|2(0)2222tAB t t t t tt t=+-+=++>．……………………………………8分令，，则42222511251()6222t tf t tt t+-'=+-=，由得，由得，所以在区间单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值，此时．……………………………………………………………10分。

江苏省苏北四市2021—2021 学年度高三第一次调研考试数学试题考前须知考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题〔第 1 题——第14 题〕、解答题〔第 15 题——第20 题〕。

本卷总分值160 分，考试时间为120 分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

参考公式：样本数据 x1, x2 ,, x n的方差 s21n(xix)2，其中 x 1 n x i．n i1n i1一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1．假设复数z11i ， z224i ，其中 i 是虚数单位，那么复数z1 z2的虚部是．2．集合 A( ,0] ， B{1,3,a} ，假设 A B，那么实数 a 的取值范围是．3．假设函数 f ( x)2m 为奇函数，那么实数m．开始2x14．假设抛物线的焦点坐标为(2,0) ，那么抛物线的标准方程S0,n1是．5．从某项综合能力测试中抽取10 人的成绩，统计如n ≤12N下表，那么这10 人成绩的方差为．Y输出 S 分数54321S S n人数31132结束n n26．如图是一个算法的流程图，那么最后输出的S〔第 6 题图〕．7．直线 l1： ax 3 y10 ， l 2： 2 x (a1)y10 ，假设 l1∥ l 2，那么实数 a 的值是．8．一个质地均匀的正四面体〔侧棱长与底面边长相等的正三棱锥〕玩具的四个面上分别标有1， 2， 3， 4 这四个数字．假设连续两次抛掷这个玩具，那么两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是．π 3，π，那么 cos．9． cos()( , π)45210．函数 y f ( x)及其导函数 y f ( x) 的图象如下图，那么曲线 y f ( x) 在点 P 处的切线方程是．yy f (x)yf ( x)1OP(2,0)x〔第 10 题图〕11．在△ ABC 中，点 M 满足 MAMBMC0 ，假设 ABAC mAM 0 ，那么实数 m 的值为．12．设 m ， n 是两条不同的直线， ，，是三个不同的平面，给出以下命题：①假设 m ， ，那么 m ； ②假设 m// ， m ，那么 ；③假设 ， ，那么 ；④假设 m ， n ， m//n ，那么 // ．上面命题中，真命题 的序号是〔写出所有真命题的序号〕 ．．．．13．假设关于 x 的不等式 (2 x 1)2 ≤ ax 2 的解集中的整数恰有2 个，那么实数 a 的取值范围是．14．数列{ a n } ， { b n } 满足 a 11 ， a 22 ， b 1 2 ，且对任意的正整数i , j , k , l ，当12021i j kl 时，都有 a ib ja kb l ，那么 (a ib i ) 的值是．2021 i 1二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定位置 内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值 14 分〕如图，在△ ABC 中，AB3，AC6 ， BC7 ，AD是BAC 平分线．（ 1〕求证： DC 2BD ；〔 2〕求 AB DC 的值．ABDC〔第 15 题图〕16．〔本小题总分值14 分〕如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB PD ，且E，F分别是BC， CD 的中点．求证：（1〕EF ∥平面PBD；（2〕平面PEF⊥平面 PAC ．PAFBE C〔第 16 题图〕17．〔本小题总分值14 分〕在各项均为正数的等比数列{ a n } 中， a22a1 3 ，且 3a2， a4， 5a3成等差数列．〔 1〕求数列 { a n } 的通项公式；〔 2〕设 b n log3 a n，求数列a n b n的前n项和S n．18．〔本小题总分值16 分〕椭圆 E：x2y21的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆 C 的圆心，圆84C 恰好经过坐标原点O，设 G 是圆 C 上任意一点．〔 1〕求圆 C 的方程；〔 2〕假设直线 FG 与直线l交于点 T，且 G 为线段 FT 的中点，求直线FG 被圆 C 所截得的弦长；〔 3〕在平面上是否存在一点P，使得GF 1 ？假设存在，求出点P坐标；假设不存在，GP 2请说明理由．19．〔本小题总分值16 分〕如图 1，OA， OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤．为观光旅游需要，拟过栈桥 CD 上某点M分别修建与OA，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以 MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图 2 所示的直角坐标系，测得CD 的方程是 x 2 y 20(0 x 20) ，曲线 EF 的方程是 xy 200( x 0) ，设点M的坐标为 (s, t) ．〔题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度〕〔 1〕求三角形观光平台MGK 面积的最小值；〔 2〕假设要使 MGK 的面积不小于320 平方米，求t 的范围．图 1图220．〔本小题总分值16 分〕函数 f ( x)e x ax 1〔 aR ，且 a 为常数〕．〔 1〕求函数 f ( x) 的单调区间；〔 2〕当 a 0 时，假设方程 f (x)0〔 3〕假设对所有x ≥ 0 都有 f ( x) ≥只有一解，求 a 的值；f ( x) ，求 a 的取值范围．数学Ⅱ 〔附加题〕21．【选做题】此题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．A ．选修 4-1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， AB 是⊙O的直径，弦 BD 、CA的延长线相交于点E， EF 垂直 BA 的延长线于点 F．求证：E〔 1〕AED AFD ；D·FBA O〔 2〕 AB 2 BE BD AE AC ．B ．选修 4-2：矩阵与变换 〔本小题总分值10 分〕求曲 线 2x 22 xy 10 在矩 阵 MN 对应的变 换作用下得 到的曲线方 程，其中1 0 1M2 ， N．1 1C ．选修 4-4：坐标系与参数方程 〔本小题总分值 10 分〕 以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．直线l 的极坐标方程为cos2 sin 0 ，曲线C 的参数方程为x 4cos , AB 的长．y2sin ( 为参数 ) ，又直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求线段D．选修 4-5：不等式选讲〔本小题总分值10 分〕假设存在实数 x使3x 614 x a 成立，求常数a的取值范围．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 4 ，AD 3 ， AA1 2 ，E，F分别是棱 AB ，BC 上的点，且EB FB 1．〔 1〕求异面直线 EC1与 FD1所成角的余弦值；〔〕试在面 A1B1C1D1上确定一点G ，使DG 平面D1EF．2D1C1GB1A1D CFA E B〔第 22 题图〕23．〔本小题总分值10 分〕设二项展开式C n( 3 1)2 n 1 ( n N *)的整数局部为A n，小数局部为B n．（1〕计算C1B1, C2B2的值；（2〕求C n B n．参考答案一、填空题．． a 0．．y 28x1 223 -14126． 367． -38．35．5429．1010． x y 2 0 11． -312．②13．9 , 25 14． 20214 9二、解答 15．〔 1〕在ABD 中，由正弦定理得16．〔 1〕因 E ， F 分 是 BC ， CD 的中点，所以 EF//BD ， ⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 EF平面 PBD ，所以 EF//平面 PBD 。

苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测（徐州市、淮安市、连云港、宿迁市）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则AB =___________．2．已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =___________． 3．若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是___________． 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为___________．5．函数()f x =___________．6．某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为___________．7．若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值___________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为___________．10．已知函数2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为___________．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为___________．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为___________．13．如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为___________．14．设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为___________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC ．（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos A =．（1）若5a =，c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.17．（本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V ．（1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k ． （1）用k 表示椭圆C 的离心率； （2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率．19．（本小题满分16分）已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列． （1）求实数k 的值；（2）设4,1,n n n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值.第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值．23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．答案：{12}x x -<<解析：由题意直接求解即可得A B ={12}x x -<<2．答案：2i -解析：24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3．答案：45解析：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4．答案：20 5．答案：[4,+)∞解析：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6．答案：12解析：22222222212..A P A A A ==7．答案：4解析：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8．答案：14解析：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为3(,2，代入22y px =得：14p =9．答案：135解析：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10．答案：211．答案：22(2)8x y ++=解析：圆M 中，令x ＝0，y ＝m ＝2或612．答案：3解析：由题意得：T ＝4，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13．答案：47解析：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 2222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+⋅⋅+-⋅247=≥14．答案：34解析：（解法1）(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=.（解法2）由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b += 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点， 所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB 平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，2202255b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由cos A =及0A <<π得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )42C A B A A A π=π-+=-+=-- 又因为0C <<π，所以sin C =从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）在SAO △中，4SO ==， …………………………2分ABC △由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分 所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak =+-12，故2222b a b k -=．所以椭圆C的离心率e =………………………………4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2ax c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a x a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=，所以)2-2222222223k a b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分 因为0=⋅，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅ka b k ab c ac a k k a b ab k a c a ， 即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（本小题满分16分）解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax xf x x -+'=存在两个不相等的零点．所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x ax'=+． ①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a ∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x -+'=+-=，设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减； 当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12nn a -=，所以4n nn n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数, 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324mm m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m m m mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分 B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+===，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113(222x y y z z x +++++111([(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥，当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x +++++的最小值为3．…………………………………10分 第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C 以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒， 所以1(0 1C ，，所以1( 2 1 AC =-，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1sin |cos ,|AC α=<>==n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，n n n n n n 所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。

江苏省苏北四市2022届高三数学上学期第一次质量检测（期末）试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =_____.答案：{12}x x -<< 解：由题意直接求解即可得AB ={12}x x -<<2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_____. 答案：2i -解: 24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3.若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是_____. 答案：45解：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____. 答案：205.函数2()log 2f x x =-的定义域为_____. 答案：[4,+)∞解：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6.某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______. 答案：12解：22222222212..A P A A A ==7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______. 答案：4解：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为______. 答案：14解：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为33(,)22±，代入22y px =得：14p =9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_____. 答案：135解：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10.已知函数3sin 2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为_____. 答案：3π211.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为______.答案：22(2)8x y ++=12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为_____. 答案：3解：由题意得：4T = ，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13.如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为____.答案：47解：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 222222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC c b AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+++⋅⋅+-⋅2222247(45)(3)b c b c b =≥--+14.设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为______.答案：34方法一：(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b ≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=. 方法二：由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈ 所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b += 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC . （1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AM ⊂平面PAB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5cos A =. （1）若5a =，25c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.解：（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，252022525b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分（2）由5cos 5A =及0A <<π得，22525sin 1cos 1()55A A =-=-=，…8分 所以210cos cos(())cos()(cos sin )4210C A B A A A π=π-+=-+=--=， 又因为0C <<π，所以2210310sin 1cos 1()1010C C =-=-=， 从而310sin 10tan 3cos 1010C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分17. （本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V . （1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值.解：（1）在SAO △中，2222534SO SA AO =--=， …………………………2分由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R=，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率；（2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率.（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+-12，故2222b a b k -=． 所以椭圆C 的离心率222111b e ak =-=+4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=， 所以)2-2222222223ka b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分 因为0=⋅OQ OP ，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅k a b kab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(ba c ab b b a b a a --=--， 所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19. （本小题满分16分）已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由.解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x-+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a-=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x-+'=+-=， 设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增，所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列.（1）求实数k 的值；（2）设4,1,n n n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项.解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=，所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444mm =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分 则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324mm m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,m t m Sb t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m mm m m m SS m m m m +---+==+--+--++， 设231244m mm m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2022度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分（第22题）BACxyzB 1 A 1C 1 B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为23cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l的距离最小，并求出最小值.解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分在曲线C 上取点()23cos 2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离 ()()4sin 12124sin 23cos 2sin 1233222d ϕϕϕϕππ+--++-===，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值42，…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值. 解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分 2111(222)9222x y y z z x x y y z z x⋅++⋅++⋅+=+++≥， 当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . ……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(0 1 3)C ，，，所以1( 2 1 3)AC =-，，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α， 则1|3|6sin |cos ,|221AC α=<>==⨯n ，即直线1AC 与平面11AA B B 64．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 3C -，，，所以()10 2 0CC =，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 30 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取13x =，10y =，11z =，即13 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 3BC =，，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 30x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取()20 3 1=-，，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 71cos cos 31314θ⋅-=-<>=-==⋅+⋅+，n n n n n n所以二面角1B AC C --7．…………………………………10分23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nk k k n k a x =-∑的值.解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k kk n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分 当2n ≥时，0021()()C ()()33n nkk n k k k n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。

江苏省苏北四市2021届高三数学上学期第一次质量检测（期末）试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =_____.答案：{12}x x -<< 解：由题意直接求解即可得AB ={12}x x -<<2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_____. 答案：2i -解: 24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3.若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是_____. 答案：45解：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____. 答案：205.函数2()log 2f x x =-的定义域为_____. 答案：[4,+)∞解：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6.某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______. 答案：12解：22222222212..A P A A A ==7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______. 答案：4解：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px=上，则实数p 的值为______. 答案：14解：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为33(,)2±，代入22y px =得：14p =9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_____. 答案：135解：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10.已知函数3sin 2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为_____.答案：3π 11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为______.答案：22(2)8x y ++=12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为_____.答案：3解：由题意得：4T = ，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13.如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为____.答案：47解：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 222222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC c b AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+++⋅⋅+-⋅2222247(45)(3)b c b c b =≥--+14.设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为______. 答案：34方法一：(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b ≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=. 方法二：由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈ 所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b += 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AM ⊂平面PAB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5cos A =. （1）若5a =，25c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.解：（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，2202255b+-⨯=，即2450b b--=，…………………………4分解得5b=或1b=-（舍），所以5b=．………………………………………6分（2）由cos A=及0A<<π得，sin A===，…8分所以cos cos(())cos()sin)4C A B A A Aπ=π-+=-+=-=又因为0C<<π，所以sin C===，从而sintan3cosCCC===，………………………………………………12分所以222tan233tan21tan134CCC⨯===---．………………………………………14分17. （本小题满分14分）如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO，记圆锥1OO的体积为V.（1）将V表示成r的函数；（2）求V 得最大值.解：（1）在SAO △中，2222534SO SA AO =--， …………………………2分由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R=，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率；（2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率.（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+-12，故2222b a b k -=． 所以椭圆C 的离心率222111b e ak =-=+4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=， 所以)2-2222222223k a b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分 因为0=⋅，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅ka b kab c ac a k k a b ab k a c a ， 即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19. （本小题满分16分）已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；（3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由.解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x-+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a-=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x-+'=+-=， 设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列. （1）求实数k 的值；（2）设4,1,n n n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221mm S S -恰好为数列{}n b 中的项.解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,m t m Sb t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m m m m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m m m m m m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m mm m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<； 当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2021-2022度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+===，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值. 解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥， 当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值；（第22题）BACxyzB 1 A 1C 1 （2）求二面角1B AC C --的余弦值.解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . ……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(0 1 3)C ，，，所以1( 2 1 3)AC =-，，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α， 则1|3|6sin |cos ,|221AC α=<>=⨯n ，即直线1AC 与平面11AA B B 6．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 3C -，，，所以()10 2 0CC =，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 30 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取13x =，10y =，11z =，即13 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 3BC =，，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 30x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取()20 3 1=-，，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 71cos cos 31314θ⋅-=-<>=-==⋅+⋅+，n n n n n n所以二面角1B AC C --7．…………………………………10分23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nk k k n k a x =-∑的值.解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k kk na x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分 当2n ≥时，0021()()C ()()33n nkk n k k k n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。

徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =_____. 答案：{12}x x -<<解：由题意直接求解即可得A B ={12}x x -<<2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_____. 答案：2i -解: 24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3.若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是_____. 答案：45解：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____. 答案：205.函数()f x =_____. 答案：[4,+)∞ 解：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6.某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______. 答案：12解：22222222212..A P A A A ==7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______. 答案：4解：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为______.答案：14解：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为3(,2，代入22y px =得：14p = 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_____. 答案：135解：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10.已知函数2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为_____.答案：211.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为______. 答案：22(2)8x y ++=12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为_____.答案：3解：由题意得：4T = ，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13.如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为____.答案：47解：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 2222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+⋅⋅+-⋅247=≥14.设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为______. 答案：34方法一：(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b ≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=. 方法二：由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈ 所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b +=二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分 又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ，所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos A =. （1）若5a =，c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.解：（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，220225b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由cos A =及0A <<π得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )4C A B A A A π=π-+=-+=-=又因为0C <<π，所以sin C =，从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分ABC △17. （本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V . （1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值.解：（1）在SAO △中，4SO ===， …………………………2分 由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分 所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增；当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减． 所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =． 答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .（1）用k 表示椭圆C 的离心率； （2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率.（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+-12，故2222b a b k -=． 所以椭圆C的离心率e ==4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=，所以)2-2222222223k a b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分因为0=⋅，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅ka b kab c ac a k k a b ab k a c a ， 即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分 由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--， 所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19. （本小题满分16分） 已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由.解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分 （2）因为21ln ()ax x f x x-+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x '=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a=-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分 （3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x-+'=+-=， 设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列. （1）求实数k 的值； （2）设4,1,n nn n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221mm S S -恰好为数列{}n b 中的项. 解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分 （2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分 则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,m t m Sb t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m m m mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分 在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+==，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值. 解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++111([(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥， 当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =， AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B - 不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(0 1 C ，，所以1( 2 1 AC =-，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1sin |cos ,|AC α=<>==n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，，所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，n n n n n n所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nk k k n k a x =-∑的值.解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k na x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nkk n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。

苏北四市高三年级第一次模拟考试数学参考答案与评分标准（定稿）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．6； 2．3-； 3．143； 4．56； 5．7； 6； 7．2-；8．22； 9．18； 10．12； 11．2； 12．25 ； 13．(-∞； 14．3．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15．(1)因为⊥a b ，所以=0a b ， …………………………………………………………2分所以π2sin sin 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即5sin 02θθ=． …………………4分因为cos 0θ≠，所以tan 5θ=-． …………………………………………6分 (2)由a ∥b ，得π2sin sin 13θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………………………………8分即2ππ2sin cos2sin cos sin 133θθθ+=，即()11cos 2sin 2122θθ-+=， 整理得，π1sin 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ……………………………………………………11分 又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以ππ266θ-=，即π6θ=． …………………………………………………14分16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ． …………………………………………………2分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB . ………………………………………………4分又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，…………………………………………………………………6分 又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ．……………………………………………7分 （2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．…………………………………8分因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………10分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．……………………………………………………12分 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ．……………………………14分17．(1) 因为(3,4)A -，所以5OA ==，…………………………………1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，…………………………………3分 由4BD =，得(5,0)D ，…………………………………………………………… 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ………………………………………………5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．…………………………6分 （2)设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．…………………………………………7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，APCBD所以D 点的坐标为 (5+4,0)m ………………………………………………………8分 又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩……………………………………………10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，…………12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．…………………………………………14分 18．(1)如图，以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,4)．……………………………………………………………………………1分设边缘线AC 所在抛物线的方程为2y ax ，把(2,4)代入，得242a ，解得1a ，所以抛物线的方程为2y x ．…………………………………………………………3分因为2yx ，……………………………………………………………………………4分所以过2(,)P t t 的切线EF 方程为22y txt ．………………………………………5分 令0y，得(,0)2tE ；令2x，得2(2,4)F tt ，…………………………………7分所以21(2)(4)22tS t t =--，…………………………………………………………8分所以321(816)4S t t t =-+，定义域为(0,2]．………………………………………9分 (2)2134(31616)(4)()443S t t t t '=-+=--， (12)分由()0S t '>，得403t <<， 所以()S t '在4(0,)3上是增函数，在4(,2]3上是减函数，…………………………14分所以S 在(0,2]上有最大值464()327S =．又因为6417332727=-<，所以不存在点P ，．…………………………16分19．（1）因为211221n n n a a a a a λ+++=+==，，所以32121a a a λλ==+-+，同理，432231a a a λλ==+-+，543261a a a λλ==+-+， ……………………2分 又因为413a a λ-=，543a a λ-=，…………………………………………………3分 所以4154a a a a -=-，故1a ，4a ，5a 成等差数列．…………………………………………………………4分 （2） 由212n n n a a a λ+++=+，得211+n n n n a a a a λ+++-=-，…………………………5分（第18题）令1n n n b a a +=-，则1n n b b λ+-=，1210b a a =-=， 所以{}n b 是以0为首项，公差为λ的等差数列，所以1(1)(1)n b b n n λλ=+-=-，…………………………………………………6分 即1(1)n n a a n λ+-=-，所以212()(21)n n n n a a a a n λλ++-=-+=-， 所以2(21)22n na a n n c λ+--==． ………………………………………………………8分 35(21)122222n n n S c c c λλλλ-=+++=++++当0n S n λ==时，， ……………………………………………………………9分 当235(21)22(12)0222212n n n S λλλλλλλλ--≠=++++=-时，．………………10分（3）由（2）知1(1)n n a a n λ+-=-，用累加法可求得()(1)(2)1+22n n n a n λ--=≥，当1n =时也适合，所以()(1)(2)1+2n n n a n N λ*--=∈ ……………………12分假设存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列，则2111(1)(1)(1)t s p a a a +++-=--，即22(1)(1)(1)44t t s s p p ---=， ………14分 因为,,s t p 成等比数列，所以2t sp =， 所以2(1)(1)(1)t s p -=--，化简得2s p t +=，联立 2t sp =，得s t p ==． 这与题设矛盾．故不存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列．…16分20．（1）当2a =时，2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ……………………………………… 2分由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 4分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．……………………………………6分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． ……………………………………………………………………8分 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………10分 方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥．………………………………………… 6分 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．………………………8分 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈． 所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．……………………………………………… 10分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………………………… 13分令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥， ………………………………………………………15分所以21212()()1x x x x +++≥，因此1212x x +≥成立．………………………………………………………… 16分。