奥林匹克数学的技巧(上)

竞赛专题讲座－几个重要定理《定理1》正弦定理△ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故即；同理可得当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A.当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。

《定理2》余弦定理△ABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA；（*）b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA；（**）c=acosB+bcosA.证明简介余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有=（bcosA-c2）+(bsinθ)2即a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。

《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。

在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则证法简介（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：（Ⅱ）也可以利用面积关系证明同理 ④ ⑤③×④×⑤得《定理5》塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。

证法简介（Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则EACEBD BC =代入已知式：1=⋅⋅FB AF BD BC DC BD 于是 CBDCFB AF =， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF（Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得1='⋅⋅B F AF EA CE DC BD 而已知1=⋅⋅FB AFEA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FBAF AFB F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+' AF F A =' 即F '即F ，可见命题成立《定理6》斯特瓦尔特定理在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，则证明简介：在△ABD 和△ABC 中，由余弦定理，得《定理7》托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆BD AC AD BC CD AB •=•+•的充要条件是共圆ABCD《定理7》、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。

二十、染色问题（一）1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?(a) (b)4.一个8⨯8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1“骨牌” (形如 )62个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8. ,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置B 出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否从位置B 出发,用6步跳到位置A ?为什么?12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只车从位置A 出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B .证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.13.8⨯8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2⨯2的正方形和9个4⨯1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选 、三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A 格上的数字是多少?并说明理由.表 1表 2二十、染色问题（一）(答案）第[1]道题答案：把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29⨯31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.第[2]道题答案：将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.第[3]道题答案：图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.第[4]道题答案：不能.原因是每一个2⨯1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.第[5]道题答案：中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3⨯3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.第[6]道题答案：设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.(1)若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2)若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA、DB、DC三条线段，其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA、DB是红色的,则三角形DAB为第二个同色三角形(图1).(图1)②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.(图2)第[7]道题答案：甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.第[8]道题答案：将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.第[9]道题答案：不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.第[10]道题答案：与B点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.第[11]道题答案：不能.因为A、B两点异色,从B到A所跳的步数是一个奇数.第[12]道题答案：“车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A、B两点异色,故从A到B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.第[13]道题答案：如图对8⨯8的棋盘染色,则每一个4⨯1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2⨯2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2⨯2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.第[14]道题答案：如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A )-32,于是(31+A )-32=32,故A =33.+1 +1 +1 +1-1-1-1 -1+1 +1 +1 +1 +1 +1-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1+1 +1 +1 +1+1 +1-1-1-1 -1-1 -1。

数学奥林匹克专题讲座第17讲数学方法选讲（上）有的同学在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

例1两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。

条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。

谁放入了最后一枚硬币谁获胜。

问：先放的人有没有必定取胜的策略？分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。

然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。

例2线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。

这时，图中共有1997条互不重叠的线段。

问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。

然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。

由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。

解：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段仅有1条，是一个奇数。

将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加2条（相邻的两个点同为红色），或者减少2条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。

第十二章 圆第一节 圆的基本问题【知识点拨】1、不在同一直线上的三点可以确定一个圆。

2、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性。

这是圆最基本最重要的性质，是证明垂径定理的有力工具。

3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这弦对的两条弧。

实际上，一直线只要满足（1）经过圆心、（2）垂直于弦、（3）平分弦、（4）平分弦所对的弧中的一条、（5）平分弦所对弧中的另一条；在这五条中，只要有两条是正确的，则其他三条必然成立。

4、如图，它是关于垂径定理及其推论的基本图形，一定要很好掌握。

【赛题精选】例1、已知⊙O 的半径为5cm ，它的两条弦长是方程048142=+-x x 的两个根。

求这两条平行弦间的距离。

【说明】（1）要注意定理的条件及选择；（2）关于垂径定理及推论的基本图形要记清；（3）要能考虑到图中的两条平行弦相对于圆心有两种可能的位置关系。

例2、如图，⊙O 是锐角△ABC 的外接圆，H 是两条高的交点，OG ⊥BC 于G 。

求证：AH ＝2OG 。

例3、⊙O 的半径为2，其内一点P 到圆心的距离为1，过点P 的弦与劣弧组成一弓形，求此弓形面积的最小值。

【说明】圆的旋转对称性是圆的最基本的性质，要善于抓住这一性质处理相关问题。

例4、在△ABC 中，AC ＝24，BC ＝10，AB ＝26，则它的内切圆半径为（ ） A 、2.6 B 、4 C 、13、 D 、8【说明】（1）此法对求任何三角形的内切圆的半径均适用；（2）另本题还可用切线长定理求解。

例5、如图，⊙O1、⊙O2交于点A、B，过A的直线分别交⊙O2、⊙O3于M、N，C为MN的中点，P为O1O2的中点。

求证：PA＝PC。

【说明】本例主要用垂径定理证明，如按下图作两圆的直径AE、AF，延长AP交EF于G也可证明。

【针对训练】第二节和圆有关的角【知识点拨】和圆有关的角有五种：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。

圆周角是五种角的核心。

新课标小学数学奥林匹克辅导及练习列简易方程解应用题（一）(含答案)重点、难点：在解答一些数量关系比较复杂的应用题时，我们可以用列简易方程的方法来求出答案.列方程解应用题的一般步骤是：（1）根据题意设题中某一个未知数为；（有时候还需要用含有的式子表示其它的未知数）x x（2）找出题中的等量关系，并根据等量关系列出方程（3）解方程（4）检验并写出答案在这个过程中，认真分析数量关系，找出题中的等量关系是解题的关键【典型例题】例1. 看图找出数量关系，列方程. 故事书： 50本 130本科技书：x 本分析解答：等量关系故事书＋科技书本数＝130本方程：50130+=x例2.一辆车平均每小时行驶千米，6小时行驶了360千米.求速度是多少千米？ 分析解答：等量关系速度×时间＝路程方程6360x =x=÷3606x=60答：速度是60千米.例3. 某班有男生30人，比女生的2倍少10人，这个班有女生多少人？分析解答：这道题求女生人数，所以我们设女生有人.从题中可以知道女生的2倍减去10人，正好等于男生人数.也就是：女生人数×2－10＝男生人数可以这样解答：解：设女生有人.x-=21030x=240402x=÷x=20答：女生有20人.例4. 小明和哥哥的年龄和是23岁，哥哥比小明大5岁，问小明和哥哥各多少岁？分析解答：在这道题中，小明和哥哥的年龄都是未知数.我们可以设小明有岁，则哥哥有岁.小明和哥哥的年龄和是23岁，等量关系式就是：小明年龄＋哥哥年龄＝23岁.x+5解：设小明有岁，哥哥有岁x()++=()523x xx+=2523x=218x=959514x+=+=答：小明有9岁，哥哥有14岁.想一想：如果设哥哥有岁，小明就怎样表示？怎样列方程解答？x【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.某班46名同学去划船，一共乘坐10只船，大船坐6人，小船坐4人，全部坐满.问大船和小船各几只？2. 甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？3. 幼儿园小朋友分糖，每人分5块就多出13块，每人分6块就还少7块，请问有多少小朋友，有多少块糖？4. 甲贮水池存水40吨，乙贮水池存水66吨，每分钟从乙池中抽出2吨水放入甲池，多少分钟后，两个贮水池存水同样多？5. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天共采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天有雨？【试题答案】1.某班46名同学去划船，一共乘坐10只船，大船坐6人，小船坐4人，全部坐满.问大船和小船各几只？大船3只，小船7只2. 甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？运6天3. 幼儿园小朋友分糖，每人分5块就多出13块，每人分6块就还少7块，请问有多少小朋友，有多少块糖？20个小朋友，113块糖4. 甲贮水池存水40吨，乙贮水池存水66吨，每分钟从乙池中抽出2吨水放入甲池，多少分钟后，两个贮水池存水同样多？6.5分钟5. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天共采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天有雨？雨天有6天。

《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版因式分解技巧》一、引言在学习数学的过程中，因式分解是一个非常重要且基础的概念。

它不仅在解题的过程中起着关键性作用，而且对于扎实的数学基础和逻辑思维能力的培养也具有重要意义。

而《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中关于因式分解的技巧更是为我们提供了宝贵的学习资源和指导，帮助我们更好地掌握这一重要知识点。

二、从简到繁，由浅入深的因式分解技巧1. 提取公因式在因式分解的过程中，首先要掌握的就是提取公因式的技巧。

这是因式分解的基础，也是解题过程中最常见的一种方法。

在《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中，通过大量的例题和解析，深入浅出地阐述了提取公因式的原理和方法，从而让我们更好地掌握这一技巧。

2. 分解因式除了提取公因式外，分解因式也是因式分解过程中的重要步骤。

《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中提供了丰富多样的分解因式的题目，并给出了详细的解题思路和方法，帮助我们更好地理解和掌握这一技巧。

3. 特殊方法与技巧除了基础的提取公因式和分解因式外，《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》还介绍了一些特殊的因式分解方法和技巧，如差的平方公式、完全平方公式等。

这些特殊的方法和技巧，往往能在解题过程中起到意想不到的作用，因此对于我们来说也至关重要。

4. 延伸拓展《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中不仅仅停留在基础的因式分解技巧上，还对其进行了更深远的延伸拓展。

更复杂的多项式的分解、高次方程的因式分解等。

这些内容的介绍和讲解，对于我们更深入地理解因式分解技巧以及应用它们解决实际问题都具有重要意义。

三、个人观点和理解在学习《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》中关于因式分解的技巧时，我深刻地体会到了因式分解在数学学习中的重要性。

它不仅是解题的利器，更是培养我们逻辑思维和分析问题能力的重要途径。

而《数学奥林匹克小丛书初中卷第三版》所提供的丰富多样的例题和详细解析，让我受益匪浅。

在未来的学习中，我也会进一步加强对因式分解技巧的掌握，努力提高解题能力和数学素养。

奥林匹克数学的技巧（中篇）2-7-8 配对配对的形式是多样的，有数字的凑整配对或共轭配对，有解析式的对称配对对或整体配对，有子集与其补集的配对，也有集合间象与原象的配对。

凡此种种，都体现了数学和谐美的追求与力量，小高斯求和（1+2+…+99+100）首创了配对，163IMO -也用到了配对。

例2-143 求5020305[]503n n=∑之值。

解 作配对处理 502251251011305305305(503)304503[]([][])30425176304503503503503n n n n n n ===-⨯=+==⨯=∑∑∑ 例2-144 求和 122k nn n n n n a C C kC nC =+++++…… 1(1)()0n n n k nn n n n n a nC n C n k C C --=+-++-++…… 相加 012()2n n n n n n a n C C C n =+++•… 得 12n n a n -=•解二 设集合{}1,2,,S n =…，注意到 ,,1,2,,kn A S A kkC A k n ⊂===∑…有n A Sa A ⊂=∑为了求得A SA ⊂∑把每一A S ⊂，让它与补集A 配对，共有12n -对，且每对中均有A A n += 于是12n n A Sa A n n n n -⊂==++=•∑…这两种解法形式上虽有不同，但本质上是完全一样的，还有一个解法见例2-149。

例2-145 设12,,,n x x x …是给定的实数，证明存有实数x 使得{}{}{}1212n n x x x x x x --+-++-≤… 这里的{}y 表示y 的小数部分。

证明 有 {}{}1,0,y Zy y y Z ⎧∈⎪+-=⎨∈⎪⎩ 知{}{}1y y +-≤下面利用这个配对式的结论。

设{}{}{}112i i i n f x x x x x x =-+-++-{}{}2111(1)()12ni i j j i n i i j ni j nn n f x x x x C =≤≤≤≤≤≤-=-+-≤==∑∑∑据抽屉原理①知，必存有(1)k k n ≤≤，使2112k n n f C n -≤=取k x x =，由上式得{}{}{}1212n n x x x x x x --+-++-≤… 2-7-9 特殊化特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。

小学奥林匹克数学辅导-----------容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A ＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。

例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，⋯｝是一个具体有无限多个元素的集合。

例2 C=｛在1，2，3，⋯，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，⋯，99｝是一个具有有限多个元素的集合。

集合通常用大写的英文字母A、B、C、⋯表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符|A| 、| B| |C|、⋯表示。

记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。

例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。

记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。

下面再举例介绍补集的概念。

例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。

补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。

奥林匹克数学竞赛答题技巧方法国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。

有哪些答题技巧，下面是为你整理的奥林匹克数学竞赛答题技巧，一起来看看吧。

奥林匹克数学竞赛答题技巧(一)1、对照法如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。

根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。

这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。

例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少?对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。

例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。

这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。

只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。

2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。

它体现的是由一般到特殊的演绎思维。

公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。

但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

例3：计算59×37+12×59+5959×37+12×59+59=59×(37+12+1)…………运用乘法分配律=59×50…………运用加法计算法则=(60-1)×50…………运用数的组成规则=60×50-1×50…………运用乘法分配律=3000-50…………运用乘法计算法则=2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。