天津市近五年中考数学试卷知识点总结整理

2024年中考数学复习总结归纳____年的中考数学复习总结归纳，主要围绕中学数学的各个知识点展开，总结和归纳了相关的考点和解题方法，以便同学们在考试中能够更好地应对各种题型。

这里将主要对数与代数、函数与方程、几何与三角以及概率与统计这四个方面展开总结。

一、数与代数1. 数的四则运算数的四则运算是中学数学中的基础，包括加法、减法、乘法和除法。

在复习中要注意掌握整数、有理数和小数的四则运算性质和规则，同时也要熟练运用分配律、结合律和交换律等运算法则。

2. 方程与不等式方程和不等式是数与代数中的重要内容，包括一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程等。

在复习中要重点掌握各种方程和不等式的解法，包括通过变形、消元法、配方法等不同的解题思路。

3. 分式与比例分式是数与代数中的重要知识点，包括分数的加减乘除、分式的化简、比例的概念和性质等。

在复习中要掌握分式的运算方法，同时也要熟练应用在比例、相似形等相关题型中。

4. 数列与函数数列和函数是数与代数中的重要内容，包括等差数列、等比数列、函数的定义和性质等。

在复习中要熟悉数列和函数的基本概念和性质，同时也要能够灵活应用在各种题型中。

二、函数与方程1. 函数的概念与性质函数是数学中的一个重要概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质。

在复习中要掌握函数的定义和性质，能够正确分析函数的图像和性质。

2. 一次函数与二次函数一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型，包括一次函数的图像、斜率和截距的关系、二次函数的图像、顶点坐标、开口方向等。

在复习中要熟悉一次函数和二次函数的基本性质和图像特点，并能够应用在实际问题中。

3. 幂函数与指数函数幂函数和指数函数是数学中的重要函数类型，包括幂函数的图像、幂函数与指数函数的关系、指数函数的图像、指数函数的性质等。

在复习中要理解幂函数和指数函数的特点和性质，能够应用在解决实际问题中。

4. 对数函数与反比例函数对数函数和反比例函数是数学中的重要函数类型，包括对数函数的性质、反比例函数的性质、对数函数和指数函数的关系等。

中考数学知识点分析七年级（16%～17%）：上册较少1.有理数的概念（分类，数轴，倒数）2.有理数的计算（加，减，乘，除，科学计数法）3.整式（单项式，多项式，单项式的系数与次数，多项式的项数与次数）4.整式的加减（去（添）括号法则，合并同类项，多项式的升幂和降幂排列）5.什么是方程（等式性质1，等式性质2）6.方程的解与解方程（去分母，去括号，移项，系数化为一）7.一元一次方程（标准形式，解法的一般步骤，解应用题）列方程解应用题的常用数量关系公式：（1）行程问题（2）工程问题（3）顺水逆水问题（顺航和逆航）（4）商品利润问题（5）种植问题（6）球赛积分8.几何图形（分类,三视图，立体图形的平面展开图，点、线、面、体）9.直线、射线、线段（基本概念（联系和区别），性质）10.角（概念，表示法（三种），度量单位及换算，角的比较法，画一个角等于已知角，角的平分线，互余、互补，方向角）11.相交线（邻补角，对顶角）12.垂线（概念，特点，点到直线的距离）13.同位角、内错角、同旁内角14.平行线（平行概念，平行公理和推论，平行线概念，平行线的判定，平行线的性质）15.命题、定理（概念）16.平移（概念，性质）通常和几何图形结合出现在大题17.有序数对，坐标通常和几何图形结合出现在大题18.平面直角坐标系（概念，特点）19.象限（概念，特点）20.坐标方法的简单应用（用坐标表示地理位置的过程，用坐标表示平移）21.二元一次方程及方程组概念22.二元一次方程组的解法—消元23.不等式及其解集一般与图形结合出现在的第六大的小问24.不等式的基本性质25.实际问题与一元一次不等式（解一元一次不等式的一般方法）26.一元一次不等式组（概念，解集的确定方法，解法）通常大题第一道27.数据的收集、整理与描述统计部分通常是第二道大题28.数据处理的基本过程收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论。

29.全面调查，抽样调查，统计调查的优点，总体，个体，样本，样本容量，频数，频率，组数和组距30.表示数据的两种基本方法：一是统计表，二是统计图，常见统计图：（1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目；（2）扇形统计图：能清楚地表示出各部分与总量间的比重；（3）折线统计图：能反映事物变化的规律。

天津中考数学必考知识点
天津中考数学必考知识点包括以下几个方面：
1.有理数：有理数及其分类、数轴、相反数、绝对值、倒数等概念。

2.代数式：单项式、多项式、整式等基本概念，以及整式的加减法
运算。

3.方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本概
念，以及解一元一次方程和不等式的方法。

4.函数：函数的概念、一次函数、反比例函数、正比例函数等基本
概念，以及函数的图象和性质。

5.三角形：三角形的基本性质、全等三角形、相似三角形等基本概
念，以及解三角形的方法。

6.四边形：四边形的基本性质、平行四边形、矩形、菱形、梯形等
基本概念，以及四边形的面积计算。

7.圆：圆的基本性质、圆的周长和面积等基本概念，以及圆的有关
计算。

8.概率初步知识：概率的概念、概率的计算方法等基本概念。

需要注意的是，以上知识点只是其中的一部分，具体考试范围和难度可能会根据年份和地区有所不同，建议考生仔细阅读考试大纲，了解考试的具体要求和难度。

天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类一．估算无理数的大小（共1小题）1．（2022•天津）估计的值在（ ）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间二．分式的加减法（共1小题）2．（2022•天津）计算+的结果是（ ）A．1B．C．a+2D．三．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）3．（2022•天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3 4．（2021•天津）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）5．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3 6．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；③a+b+c＞7．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3五．二次函数的应用（共1小题）7．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3六．等腰三角形的性质（共1小题）8．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）七．勾股定理（共1小题）9．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）A．9B．8C．7D．6八．平行四边形的性质（共1小题）10．（2021•天津）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）A．（﹣4，1）B．（4，﹣2）C．（4，1）D．（2，1）九．旋转的性质（共3小题）11．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD 12．（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC 13．（2021•天津）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD一十．特殊角的三角函数值（共1小题）14．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．一十一．简单组合体的三视图（共1小题）15．（2023•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A．B．C．D．天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．估算无理数的大小（共1小题）1．（2022•天津）估计的值在（ ）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【答案】C【解答】解：∵25＜29＜36，∴5＜＜6，即5和6之间，故选：C．二．分式的加减法（共1小题）2．（2022•天津）计算+的结果是（ ）A．1B．C．a+2D．【答案】A【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．三．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）3．（2022•天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3【答案】B【解答】解：点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，∴x1＝＝4，x2＝＝﹣8，x3＝＝2．∴x2＜x3＜x1，故选：B．4．（2021•天津）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【答案】B【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵﹣5＜0，0＜1＜5，∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，∴y2＜y3＜y1．故选：B．四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）5．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．6．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；③a+b+c＞7．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，∴a＝b﹣2，∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．∴4a﹣2b+1＞1，∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，∴a＝b﹣2＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＝b﹣2，c＝1，∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，∵b＞4，∴Δ＞0，∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；③∵a＝b﹣2，c＝1，∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，∵b＞4，∴2b﹣1＞7，∴a+b+c＞7．故③正确；故选：D．五．二次函数的应用（共1小题）7．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m，当AB＝6时，＝6，解得x＝28，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x•＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：y＝x•＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，∵﹣＜0，20＜26，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．故③正确．∴正确的有2个，故选：C．六．等腰三角形的性质（共1小题）8．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【答案】D【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．七．勾股定理（共1小题）9．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）A．9B．8C．7D．6【答案】D【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故选：D．八．平行四边形的性质（共1小题）10．（2021•天津）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）A．（﹣4，1）B．（4，﹣2）C．（4，1）D．（2，1）【答案】C【解答】解：∵B，C的坐标分别是（﹣2，﹣2），（2，﹣2），∴BC＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，∵点A的坐标为（0，1），∴点D的坐标为（4，1），故选：C．九．旋转的性质（共3小题）11．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD【答案】A【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠AOB＝∠DOE，∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，故选：A．12．（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC【答案】C【解答】解：A、∵AB＝AC，∴AB＞AM，由旋转的性质可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；故选：C．13．（2021•天津）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD【答案】D【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠BAD＝60°＝∠ADC，∴AB∥CD，故选：D．一十．特殊角的三角函数值（共1小题）14．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【答案】B【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．一十一．简单组合体的三视图（共1小题）15．（2023•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解答】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．故选：C ．。

一、代数与函数1.整式与单位-整式的概念及整式的相加、相减、相乘的性质-单位之间的换算及问题的解法2.平方根与次方运算-平方根的概念及平方根的性质、计算方法-次方运算的概念及次方运算的性质、运算规则3.算式与方程-解一元一次方程及利用一元一次方程解决实际问题-利用公式解三元一次方程组-利用一元一次方程和二元一次方程解决实际问题4.平面直角坐标系与图形的性质-平面直角坐标系及点、线、面在直角坐标系中的表示与性质-图形鉴别的方法与判断的准则5.函数的概念与函数初步-函数的相关概念及函数的定义域和值域-函数的特殊符号表示及函数的图象和它的性质-判断函数的奇偶性及分析函数的图象以及根据函数图象解决实际问题二、几何与变换1.角与三角形-角的概念、度量、画角及其性质-三角形的分类、构造、性质及判定方法-利用二等分线、垂直线、平行线解决问题2.相似与全等三角形-两角相等与两角和相等定理-相似三角形和全等三角形的判定方法及性质-利用相似和全等解决实际问题3.平行线与比例-平行线间的夹角与同位角-平行线分线段成一比例定理与其逆定理-平行线两组垂直定理及证明4.圆与圆的性质-圆的定义与常见性质-弧与正弦、余弦、切线的关系-圆内接四边形、圆外接四边形的性质5.图形的认识-平行四边形的性质及应用-正方形、菱形、矩形的性质及应用-圆锥、圆柱、圆台、球的性质及应用三、数据分析与统计1.数据的收集、整理与展示-数据的搜集及样本调查和普查的区别-统计表与统计图的制作及图像的分析2.数据的分析与统计-表、图的读取与分析-频数、频率的概念与计算-数据的中心和离散程度3.概率的初步认识-随机事件及其四种关系-频率与概率的关系-使用列举、画图等方法估算概率四、解决问题的方法与过程1.数学问题解决方法与策略-分析问题、设立数学模型-选择合适的解决方法-验证答案、评价解决方法的合理性2.数据的整理、分析及统计-整理数据的方法与技巧-利用统计图、统计表分析数据以上是天津九年级数学的知识点总结，希望能帮助你更好地复习和掌握数学知识。

近五年中考数学试卷分析⼀、考点对⽐⼆、试卷分析数学中考主要考察学⽣对基本⽅法、基本知识、基本技能的考查，因此较少偏、怪、难的题⽬，⼤多数题⽬都来源于课本或者课本⽴体的改编，解法都能从课本上找到影⼦。

因此解题的关键就是要回归课本，掌握典型例题、课后习题的规律及解法，这样考试时才能得⼼应⼿，沉着应对。

把2015-2019这五年的中考数学试卷进⾏分析我们可得到以下结论：1、试卷满分都是150分，考试时间120分钟;2、题型的分布都是总共25道题，其中选择题10道(30分)，填空题6道(18分)，解答题9道(102分);3、试卷难度不⼤，基础题占有122分(82%)，有难度拔⾼题占有28分(18%);4、代数部分考查分数⼤概是80～90分（），⼏何部分考查分数60～70分%);5、知识点的考查⽐较有规律，常规题型的变化不⼤三、题型探究1、代数部分（1）函数函数部分是代数部分的重点内容，也是难点内容，考查的对象主要是：⼀次函数、反⽐例函数、⼆次函数。

考查重点在于以下⼏点：函数解析式的求法，难度较低，熟悉待定系数法等⽅法即可;三种函数图像的基本性质的应⽤，难度中等;函数的实际应⽤，常出现在试卷难度最⼤的代数综合题、代⼏综合题中，分值在20-40分不等。

（2015）14.某⽔库的⽔位在5⼩时内持续上涨，初始的⽔位⾼度为6⽶，⽔位以每⼩时⽶的速度匀速上升，则⽔库的⽔位⾼度y ⽶与时间x ⼩时0≤x≤5的函数关系式为 . （2016?⼴州）⼀司机驾驶汽车从甲地去⼄地，他以平均80千⽶/⼩时的速度⽤了4个⼩时到达⼄地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v 千⽶/⼩时与时间t ⼩时的函数关系是（）A ．v=320tB ．v=C ．v=20tD ．v=（2016）若⼀次函数y=ax+b 的图象经过第⼀、⼆、四象限，则下列不等式中总是成⽴的是（） A ．ab ＞0B ．a ﹣b ＞0C ．a 2+b ＞0 D ．a+b ＞0（2017）关于的⼀元⼆次⽅程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A.B.C. D.（2019）若点),1(1y A -，),2(2y B ，),3(3y C 在反⽐例函数xy 6=的图像上，则321,,y y y 的⼤⼩关系是（）（A ）123y y y << （B ）312y y y << （C ）231y y y << （D ）321y y y << （2）不等式与⽅程不等式与⽅程的复习，要以基础为主，不要只研究难题，要注重过程以及⽅法的总结。

初中代数考点总结 20XX 年天津中考复习资料 第一章节:必考知识点 一.三角函数:(1)考点:①特殊角的三角函数值的记忆(选择题的第一题) ②穿插在三角形中的勾股定理中,求角或边(2)中考模拟演练: 1. cos30°=2. 2sin60°=3.tan60°=4. cot30°=5.cot45°=6.cot60°=7.sin30°+cos30°=8.sin60°+cos60°=9.tan45°+cot45°=二.二次根式:(1)考点:①给一个含有未知数的关于二次根式的多项式,求出未知数的取值范围,然后求另一个代数式的值 ②给出未知数的值,化简一个含有二次根式的多项式，注意花间结果的有理化③穿插在不等式的求解集以及其他题中(2)中考模拟演练：1.若12+=x ，则xx 1+的值为（ ） 2.已知x1x x －的值等于__________。

精编3．|65-|＝（ ）4. 已知2=a ，则代数式a a aa a -+-2的值等于（ ）5． 下面四个数中，最大的是（ ）A ．35-B ．sin88°C ．tan46°D ．215- 6、如果0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。

7、如果12-a 和a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a8、x 是2)9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ）A. 3B. 7C.3，7D. 1，7 9、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(22+=+，则这个三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形10、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,1222++++为正整数，则此三角形是________三角形。

天津九年级数学知识点一、代数与函数1. 一元二次方程- 定义与性质：形如ax²+bx+c=0（其中a≠0）的方程称为一元二次方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

- 求解方法：配方法、公式法、因式分解法等。

2. 幂与指数- 幂的定义：a的n次幂，记作aⁿ（n为自然数），表示n个a 的乘积。

- 幂的运算法则：幂之间的乘法与幂，幂与数的乘法，幂与幂之间的乘法等。

- 指数函数：y=aˣ（其中a为常数）称为指数函数。

3. 根与系数间关系- 定义：以未知数为指数的数称为根，如平方根、三次方根等。

- 根与系数的关系：二次根与系数的关系，三次根与系数的关系等。

二、几何与图形1. 直线与角- 直线的特征：无限延伸，没有弯曲。

- 角的定义：由两条射线共同起点组成的图形，射线称为角的边，共同起点称为角的顶点。

- 角的分类：锐角、直角、钝角等。

2. 三角形- 定义：三条边组成的图形。

- 三角形的分类：按边长分类（等边三角形、等腰三角形、普通三角形），按角度分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。

3. 四边形与多边形- 四边形的分类：平行四边形、矩形、正方形、菱形等。

- 多边形的特征：由多条边和多个角组成的图形。

- 多边形的分类：三角形、四边形、五边形、六边形等。

三、概率与统计1. 概率- 定义：根据事件出现的可能性大小来判断事件发生的可能性，用0到1之间的一个数表示。

- 加法原理：若两个事件A和B是互斥事件，则它们发生的概率之和等于事件A或事件B发生的概率。

- 乘法原理：若两个事件A和B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

2. 统计- 数据的收集和整理：调查、实验等方法收集数据，通过表格、图表等形式整理和展示数据。

- 数据的分析和解读：利用统计方法对数据进行分析，得出结论并解读数据。

四、函数与图像1. 函数的定义与性质- 函数的定义：对应关系中，每一个自变量只有唯一的因变量与之对应。

天津学大教育信息咨询有限公司
TIANJIN XUEDA EDUCATION INFORMATION CONSULTING CO.,LTD 关注成长每一天
共 1 页 1 天津市中考必考知识点与题型
一、填空和选择题
1、特殊三角函数值（3分）
2、科学计数法与有效数字（3分）
3、轴对称和中心对称图形（3分）
4、三视图（3分）
5、频率与方差（3分）
6、无理数比较大小或估数（3分）
7、函数的图像（3分）
8、概率或平均数，众数，中位数（3分）
9、分式意义、值为零、计算（3分）
10、圆（圆周角圆心角，位置关系，垂径定理，切线性质定理）（6分）
11、一次函数或二次函数求解析式及应用（3分）
其他考点：数对（个）数（全等或相似三角形，平行四边形）、用对角线判断四边形或顺次连接、正多边形和圆、开放性试题（3分）。

二、解答题
第19题：解不等式组或方程组（6分）
第20题：一次函数或反函数求解析式（8分）
第21题：求平均数，众数，中位数或概率的计算题（8分）
第22题：圆的求值题（垂径定理或切线性质定理）（8分）
第23题：三角函数解直角三角形（8分）
第24题：一元二次方程的应用题（8分）
第25题：考查是旋转、相似、全等、三角形、四边形、圆、函数等相结合，相对而言比较难。

（10分）
第26题：近几年都是二次函数与相似结合到一起。

（10分）。

天津中考知识点总结一、语文知识点总结 1. 字词辨析：在语文考试中，经常会涉及字词辨析，要能够准确理解和使用常见词语的意思和用法。

2.阅读理解：阅读理解是语文考试中的重要环节，要能够准确理解文章的主旨、细节和逻辑关系，并能够运用阅读策略解答问题。

3.作文写作：作文是考察学生语言表达和思维能力的重要方式，要能够准确理解作文题目要求，合理组织文章结构，运用丰富的词汇和句式进行表达。

二、数学知识点总结 1. 整数与有理数：整数与有理数是数学中的基础概念，要能够准确理解整数和有理数的性质，并能够进行加减乘除等运算。

2.几何图形：几何图形是数学中的重要内容，要能够准确识别和绘制各种几何图形，并能够运用几何定理进行证明与计算。

3.数据分析：数据分析是数学中的重要内容，要能够准确收集和整理数据，并能够进行数据的统计和分析，得出合理的结论。

三、英语知识点总结 1. 词汇理解：英语考试中，词汇理解是一个重要的考察点，要能够准确理解常见单词和短语的意思和用法。

2.语法运用：英语语法是英语考试中的重要环节，要能够准确运用常见的语法规则，进行句子的构建和改写。

3.阅读理解：阅读理解是英语考试中的重要环节，要能够准确理解文章的主旨、细节和逻辑关系，并能够运用阅读策略解答问题。

四、综合素质评价 1. 学习态度：要有积极主动的学习态度，勤奋用心地学习各科知识，提高学习效果。

2.学习方法：要学会科学的学习方法，灵活运用各种学习策略，提高学习效率。

3.综合素质：要注重培养综合素质，包括学科知识、动手能力、实践能力、创新意识等方面的发展。

以上是天津中考的一些重要知识点总结，希望同学们认真复习，并采用有效的学习方法，取得好成绩。

加油！。

一、考点对比二、试卷分析数学中考主要考察学生对基本方法、基本知识、基本技能的考查，因此较少偏、怪、难的题目，大多数题目都来源于课本或者课本立体的改编，解法都能从课本上找到影子。

因此解题的关键就是要回归课本，掌握典型例题、课后习题的规律及解法，这样考试时才能得心应手，沉着应对。

把2015-2019这五年的中考数学试卷进行分析我们可得到以下结论：1、试卷满分都是150分，考试时间120分钟;2、题型的分布都是总共25道题，其中选择题10道(30分)，填空题6道(18分)，解答题9道(102分);3、试卷难度不大，基础题占有122分(82%)，有难度拔高题占有28分(18%);4、代数部分考查分数大概是80～90分（56.5），几何部分考查分数60～70分(43.5%);5、知识点的考查比较有规律，常规题型的变化不大三、题型探究1、代数部分（1）函数函数部分是代数部分的重点内容，也是难点内容，考查的对象主要是：一次函数、反比例函数、二次函数。

考查重点在于以下几点：函数解析式的求法，难度较低，熟悉待定系数法等方法即可;三种函数图像的基本性质的应用，难度中等;函数的实际应用，常出现在试卷难度最大的代数综合题、代几综合题中，分值在20-40分不等。

（2015）14.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时0≤x≤5的函数关系式为 .（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v=C．v=20t D．v=（2016）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0（2017）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D.（2019）若点),1(1y A -，),2(2y B ，),3(3y C 在反比例函数xy 6=的图像上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）（A ）123y y y << （B ）312y y y << （C ）231y y y << （D ）321y y y << （2）不等式与方程不等式与方程的复习，要以基础为主，不要只研究难题，要注重过程以及方法的总结。

04解答题基础题知识点分类-天津市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编一．解一元一次不等式组（共3小题）1．（2022•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 ；（Ⅱ）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．2．（2021•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 ；（Ⅱ）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．3．（2020•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 ；（Ⅱ）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．二．一次函数的应用（共3小题）4．（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min 后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min585087112离学生公寓的距离/km0.5 1.6 （Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为 km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为 km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 min．（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．5．（2021•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h 到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学校的时间/h0.10.50.813离学校的距离/km2 12 （Ⅱ）填空：①书店到陈列馆的距离为 km；②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 h．（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．6．（2019•天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/kg3050150…甲批发店花费/元 300 …乙批发店花费/元 350 …（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；（Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．三．切线的性质（共3小题）7．（2022•天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．8．（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．9．（2019•天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2022•天津）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC 的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．11．（2019•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．五．条形统计图（共4小题）12．（2022•天津）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．13．（2021•天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为 ，图①中m的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．14．（2020•天津）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为 ，图①中m的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．15．（2019•天津）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中m的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．参考答案与试题解析一．解一元一次不等式组（共3小题）1．（2022•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得　x≥﹣1　；（Ⅱ）解不等式②，得　x≤2　；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣1≤x≤2　．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2，故答案为：x≥﹣1，x≤2，﹣1≤x≤2．2．（2021•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得　x≥﹣1　；（Ⅱ）解不等式②，得　x≤3　；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣1≤x≤3　．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤3．故答案为：x≥﹣1，x≤3，﹣1≤x≤3．3．（2020•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得　x≤1　；（Ⅱ）解不等式②，得　x≥﹣3　；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣3≤x≤1　．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1．故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．二．一次函数的应用（共3小题）4．（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min 后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min585087112离学生公寓的距离/km0.5　0.8 1.2 1.6　2　（Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为　0.8　km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为　0.25　km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为　10或116　min．（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到达离学生公寓1.2km的阅览室，∴离开学生公寓的时间为8min，离学生公寓的距离是×8＝0.8（km），由图象可知：离开学生公寓的时间为50min，离学生公寓的距离是1.2km，离开学生公寓的时间为112min，离学生公寓的距离是2km，故答案为：0.8，1.2，2；（Ⅱ）①阅览室到超市的距离为2﹣1.2＝0.8（km），故答案为：0.8；②小琪从超市返回学生公寓的速度为＝0.25（km/min），故答案为：0.25；③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为＝10（min）；当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为112+＝116（min），故答案为：10或116；（Ⅲ）当0≤x≤12时，y＝0.1x；当12＜x≤82时，y＝1.2；当82＜x≤92时，y＝1.2+（x﹣82）＝0.08x﹣5.36，∴y＝．5．（2021•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h 到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学校的时间/h0.10.50.813离学校的距离/km2　10 12　12　20　（Ⅱ）填空：①书店到陈列馆的距离为　8　km；②李华在陈列馆参观学习的时间为　3　h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为　28　km/h；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为　或　h．（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：当x＝0.5时，y＝10；当x＝0.8时，y＝12；当x＝3时，y ＝20；故答案为：10；12；20；（Ⅱ）由题意得：①书店到陈列馆的距离为：（20﹣12）＝8（km）；②李华在陈列馆参观学习的时间为：（4.5﹣1.5）＝3（h）；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为：（20﹣6）÷（5﹣4.5）＝28（km/h）；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为：4÷（2÷0.6）＝（h）或5+（6﹣4）÷[6÷（5.5﹣5）]＝（h），故答案为：①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）当0≤x≤0.6时，y＝20x；当0.6＜x≤1时，y＝12；当1＜x≤1.5时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得，∴y＝16x﹣4，综上所述，y＝．6．（2019•天津）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/kg3050150…甲批发店花费/元　180　300　900　…乙批发店花费/元　210　350　850　…（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；（Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为　100　kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的　乙　批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的　甲　批发店购买数量多．【解答】解：（Ⅰ）甲批发店：6×30＝180元，6×150＝900元；乙批发店：7×30＝210元，7×50+5（150﹣50）＝850元．故依次填写：180 900 210 850．（Ⅱ）y1＝6x（x＞0）当0＜x≤50时，y2＝7x（0＜x≤50）当x＞50时，y2＝7×50+5（x﹣50）＝5x+100 （x＞50）因此y1，y2与x的函数解析式为：y1＝6x（x＞0）；y2＝7x（0＜x≤50）y2＝5x+100 （x＞50）（Ⅲ）①当y1＝y2时，有：6x＝7x，解得x＝0，不合题意，舍去；当y1＝y2时，也有：6x＝5x+100，解得x＝100，故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．②当x＝120时，y1＝6×120＝720元，y2＝5×120+100＝700元，∵720＞700∴乙批发店花费少．故乙批发店花费少．③当y＝360时，即：6x＝360和5x+100＝360；解得x＝60和x＝52，∵60＞52∴甲批发店购买数量多．故甲批发店购买的数量多．三．切线的性质（共3小题）7．（2022•天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵C为的中点，∴＝，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴AC＝AB•cos∠CAB＝3；（Ⅱ）∵DF是⊙O的切线，∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，∴四边形FCED为矩形，∴FD＝EC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，则BC＝＝4，∵OD⊥BC，∴EC＝BC＝2，∴FD＝2．8．（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣42°）＝69°，∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，∵∠D＝∠BAC＝42°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；（Ⅱ）如图②，连接OD，∴∠ACD＝∠BAC＝42°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，∴∠COD＝2∠CAD＝54°，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．9．（2019•天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°；（Ⅱ）连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAE＝∠BCE＝40°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2022•天津）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC 的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．【解答】解：设AP＝x米，在Rt△APB中，∠APB＝35°，∴AB＝AP•tan35°≈0.7x（米），∵BC＝32米，∴AB＝AB+BC＝（32+0.7x）米，在Rt△APC中，∠APC＝42°，∴tan42°＝＝≈0.9，∴x＝160，经检验：x＝160是原方程的根，∴AB＝0.7x＝112（米），∴这座山AB的高度约为112米．11．（2019•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【解答】解：在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，则AD＝≈CD，在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴CD＝CD+30，解得，CD＝45，答：这座灯塔的高度CD约为45m．五．条形统计图（共4小题）12．（2022•天津）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为　40　，图①中m的值为　10　；（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：13÷32.5%＝40（人），m%＝×100%＝10%，即m＝10；故答案为：40，10；（Ⅱ）这组项数数据的平均数是：×（1×13+2×18+3×5+4×4）＝2（项）；∵2出现了18次，出现的次数最多，∴众数是2项；把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，则中位数是＝2（项）．13．（2021•天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为　50　，图①中m的值为　20　；（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为：8÷16%＝50（个）；m%＝×100%＝20%，即m＝20；故答案为：50，20；（Ⅱ）这组月均用水量数据的平均数是：＝5.9（t），∵6出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是6t；将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，∴这组数据的中位数是6t．14．（2020•天津）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为　25　，图①中m的值为　24　；（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．【解答】解：（Ⅰ）本次抽取的麦苗有：2÷8%＝25（株），m%＝1﹣8%﹣12%﹣16%﹣40%＝24%，故答案为：25，24；（Ⅱ）平均数是：＝＝15.6（cm），众数是16cm，中位数是16cm，即统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数分别是15.6cm、16cm、16cm．15．（2019•天津）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为　40　，图①中m的值为　25　；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，m%＝＝25%，故答案为：40，25；（Ⅱ）平均数是：＝1.5h，众数是1.5h，中位数是1.5h；（Ⅲ）800×＝720（人），答：估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．。

中考数学总复习资料代数部分第一章:实数基础知识点：一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征。

2、无理数:初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1．101０0100010０001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念１、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

(1)实数a 的相反数是 －a ； (２)a 和b 互为相反数⇔a+b ＝０2、倒数:（1）实数a(a ≠0）的倒数是a1;(2)a 和ｂ 互为倒数⇔1=ab ；(3)注意０没有倒数3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况:⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根(1)平方根，算术平方根：设ａ≥０，称a ±叫a 的平方根，a 叫ａ的算术平方根。

(2）正数的平方根有两个，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根:3a 叫实数ａ的立方根。

(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

05解答题中档题知识点分类-天津市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编一．解一元一次不等式组（共2小题）1．（2019•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 ；（Ⅱ）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．2．（2018•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（I）解不等式①，得 ；（l1）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．二．一次函数的应用（共2小题）3．（2020•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：25202330离开宿舍的时间/min0.2 0.7 离宿舍的距离/km（Ⅱ）填空：①食堂到图书馆的距离为 km；②小亮从食堂到图书馆的速度为 km/min；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min；④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为 min．（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．4．（2018•天津）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．（Ⅰ）根据题意，填写下表：游泳次数101520 (x)150175 … 方式一的总费用（元）90135 … 方式二的总费用（元）（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（Ⅲ）当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．三．二次函数综合题（共1小题）5．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．四．切线的性质（共1小题）6．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E 的大小．五．解直角三角形的应用（共1小题）7．（2020•天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC ＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．六．条形统计图（共1小题）8．（2018•天津）某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（I）图①中m的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？参考答案与试题解析一．解一元一次不等式组（共2小题）1．（2019•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得　x≥﹣2　；（Ⅱ）解不等式②，得　x≤1　；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣2≤x≤1　．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．2．（2018•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（I）解不等式①，得　x≥﹣2　；（l1）解不等式②，得　x≤1　；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣2≤x≤1　．【解答】解：（I ）解不等式①，得x ≥﹣2；（l 1）解不等式②，得x ≤1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x ≤1．故答案为：x ≥﹣2，x ≤1，﹣2≤x ≤1．二．一次函数的应用（共2小题）3．（2020•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km ，图书馆离宿舍1km ．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min 到食堂；在食堂停留16min 吃早餐后，匀速走了5min 到图书馆；在图书馆停留30min 借书后，匀速走了10min 返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm 与离开宿舍的时间xmin 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开宿舍的时间/min 25202330离宿舍的距离/km0.2　0.5　0.7　0.7　　1　（Ⅱ）填空：①食堂到图书馆的距离为 0.3　km ；②小亮从食堂到图书馆的速度为　0.06　km/min；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为　0.1　km/min；④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为　6或62　min．（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．【解答】解：（Ⅰ）由图象可得，在前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），故当x＝5时，离宿舍的距离为0.1×5＝0.5（km），在7≤x≤23时，距离不变，都是0.7km，故当x＝23时，离宿舍的距离为0.7km，在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，故当x＝30时，离宿舍的距离为1km，故答案为：0.5，0.7，1；（Ⅱ）由图象可得，①食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km），故答案为：0.3；②小亮从食堂到图书馆的速度为：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min），故答案为：0.06；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），故答案为：0.1；④当0≤x≤7时，小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min），当58≤x≤68时，小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），故答案为：6或62；（Ⅲ）由图象可得，当0≤x≤7时，y＝0.1x；当7＜x≤23时，y＝0.7；当23＜x≤28时，设y＝kx+b，，得，即当23＜x≤28时，y＝0.06x﹣0.68；由上可得，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式是y＝．4．（2018•天津）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．（Ⅰ）根据题意，填写下表：游泳次数101520 (x)150175　200　…　100+5x　方式一的总费用（元）90135　180 (9x)方式二的总费用（元）（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（Ⅲ）当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．【解答】解：（I）当x＝20时，方式一的总费用为：100+20×5＝200，方式二的费用为：20×9＝180，当游泳次数为x时，方式一费用为：100+5x，方式二的费用为：9x，故答案为：200，100+5x，180，9x；（II）方式一，令100+5x＝270，解得：x＝34，方式二、令9x＝270，解得：x＝30；∵34＞30，∴选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多；（III）令100+5x＜9x，得x＞25，令100+5x＝9x，得x＝25，令100+5x＞9x，得x＜25，∴当20＜x＜25时，小明选择方式二的付费方式，当x＝25时，小明选择两种付费方式一样，但x＞25时，小明选择方式一的付费方式．三．二次函数综合题（共1小题）5．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，由点A（4，0），得OA＝4，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴OH＝BH＝OA＝＝2，∴点B的坐标为（2，2）；（Ⅱ）①由点E（﹣，0），得OE＝，由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴∠BOA＝∠BAO＝45°，∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，∴∠FOE'＝∠OFE'，∴FE'＝OE'＝t﹣，∴S△FOE'＝OE'•FE'＝（t﹣）2，∴S＝S△OAB﹣S△FOE'＝，即S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；②a．当4＜t≤时，由①知S＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+4，∴当t＝4时，S有最大值为，当t＝时，S有最小值为，∴此时≤S＜；b．当＜t≤4时，如图2，令O'C'与AB交于点M，D'E'与DB交于点N，∴S＝S△OAB﹣S△OE'N﹣S△O'AM＝4﹣（t﹣）2﹣（4﹣t）2＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+，此时，当t＝时，S有最大值为，当t＝4时，S有最小值为，∴≤S≤；c．当≤t≤时，如图3，令O'C'与AB交于点M，此时点D'位于第二象限，∴S＝S△OAB﹣S△O'AM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，此时，当t＝时，S有最小值为，当t＝时，S有最大值为，∴≤S≤；综上，S的取值范围为≤S≤；∴S的取值范围为≤S≤．四．切线的性质（共1小题）6．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E 的大小．【解答】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；（2）连接OD，如图②所示：∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．五．解直角三角形的应用（共1小题）7．（2020•天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC ＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∵∠ACB＝45°，∴AD＝CD，设AB＝xm，在Rt△ADB中，∵sin∠ABC＝，∴AD＝AB•sin58°≈0.85x，又∵cos∠ABC＝，∴BD＝AB•cos58°≈0.53x，又∵BC＝221m，即CD+BD＝221m，∴0.85x+0.53x＝221，解得，x≈160（m），答：AB的长约为160m．六．条形统计图（共1小题）8．（2018•天津）某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（I）图①中m的值为　28　；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？【解答】解：（I）图①中m的值为100﹣（32+8+10+22）＝28，故答案为：28；（II）这组数据的平均数为＝1.52（kg），众数为1.8kg，中位数为＝1.5（kg）；（III）估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有2500×＝200只．。

天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km 1.2②填空：张强从体育场到文具店的速度为 km/min；③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）二．二次函数综合题（共4小题）2．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．3．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当时，求点M的坐标；（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y 轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．三．四边形综合题（共2小题）6．（2023•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．（1）填空：如图①，点C的坐标为 ，点G的坐标为 ；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 （请直接写出两个不同的值即可）．四．切线的性质（共1小题）8．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB 所对的优弧上一点．（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）9．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．（1）求DE的长；（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．七．条形统计图（共1小题）11．（2023•天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为 ，图①中m的值为 ；（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km 1.2②填空：张强从体育场到文具店的速度为　0.06　km/min；③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）【答案】（1）①0.12，1.2；0.6；②0.06；③y关于x的函数解析式为y＝；（2）离宿舍的距离是0.3km．【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10＝0.12（km/min），∴当张强离开宿舍1min时，张强离宿舍的距离为0.12×1＝0.12（km）；当张强离开宿舍20min时，张强离宿舍的距离为1.2km；当张强离开宿60舍min时，张强离宿舍的距离为0.6km；张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km0.12 1.2 1.20.6故答案为：0.12，1.2；0.6；②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为＝0.06（km/h），故答案为：0.06；③当50＜x≤60时，y＝0.6；张强从文具店到宿舍时的速度为＝0.03（km/h），∴当60＜x≤80时，y＝2.4﹣0.03x；综上，y关于x的函数解析式为y＝；（2）根据题意，当张强离开体育场15min时，张强到达文具店并停留了5min，设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，则0.06x＝0.03（x﹣5）+0.6，解得x＝15，∴1.2﹣0.06×15＝0.3（km），∴离宿舍的距离是0.3km．二．二次函数综合题（共4小题）2．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）（2，2）；（Ⅱ）①S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；②≤S≤．【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，由点A（4，0），得OA＝4，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴OH＝BH＝OA＝＝2，∴点B的坐标为（2，2）；（Ⅱ）①由点E（﹣，0），得OE＝，由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，∵BO＝BA，∠OBA＝90°，∴∠BOA＝∠BAO＝45°，∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，∴∠FOE'＝∠OFE'，∴FE '＝OE '＝t ﹣，∴S △FOE '＝OE '•FE '＝（t ﹣）2，∴S ＝S △OAB ﹣S △FOE '＝，即S ＝﹣t 2+t ﹣（4≤t ＜）；②a ．当4＜t ≤时，由①知S ＝﹣t 2+t ﹣＝﹣（t ﹣）2+4，∴当t ＝4时，S 有最大值为，当t ＝时，S 有最小值为，∴此时≤S ＜；b ．当＜t ≤4时，如图2，令O 'C '与AB 交于点M ，D 'E '与DB 交于点N ，∴S ＝S △OAB ﹣S △OE 'N ﹣S △O 'AM ＝4﹣（t ﹣）2﹣（4﹣t ）2＝﹣t 2+t ﹣＝﹣（t﹣）2+，此时，当t ＝时，S 有最大值为，当t ＝4时，S 有最小值为，∴≤S ≤；c ．当≤t ≤时，如图3，令O 'C '与AB 交于点M ，此时点D '位于第二象限，∴S ＝S △OAB ﹣S △O 'AM ＝4﹣（4﹣t ）2＝﹣t 2+4t ﹣4＝﹣（t ﹣4）2+4，此时，当t ＝时，S 有最小值为，当t ＝时，S 有最大值为，∴≤S ≤；综上，S 的取值范围为≤S ≤；∴S 的取值范围为≤S ≤．3．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①求点P和点A的坐标；②当时，求点M的坐标；（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．【答案】（1）①P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．②点M的坐标为（﹣2，3）．（2）点M的坐标为（﹣）．【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0）．答：P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC，∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，∴在Rt△AEF中，EF＝AE，∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，∴F（m，m+3），∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴，∴﹣m2﹣3m＝2，解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），∴M（﹣2，3）．答：点M的坐标为（﹣2，3）．（2）∵点A（﹣c，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，∴﹣c2﹣bc+c＝0，得b＝1﹣c，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中．∴顶点P的坐标为（），对称轴为直线l：x＝．如图，过点M作MQ⊥l于点Q，则，∵MP∥AC，∴∠PMQ＝45°，∴MQ＝QP，∴，即（c+2m）2＝1，解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），同②，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，则点E（m，0），点F（m，﹣m﹣1），点M（m，m2﹣1），∴，∴，即2m2+m﹣10＝0，解得（舍去），∴点M的坐标为（﹣）．答：点M的坐标为（﹣）．4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y 轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【答案】（Ⅰ）①顶点P的坐标为（1，﹣4）；②点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）点E（，0），点F（0，﹣）．【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又3b＝2c，b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a．∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），∵直线x＝2与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．∴点E（，0），点F（0，﹣）．5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．【答案】（Ⅰ）（1，﹣2）；（Ⅱ）y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；（Ⅲ）点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故点D（1，﹣a﹣1），由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，解得a＝或，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，解得a＝（舍去）或﹣，则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，﹣），由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，则m+3＝，即点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．三．四边形综合题（共2小题）6．（2023•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．（1）填空：如图①，点C的坐标为　（，2）　，点G的坐标为　（﹣，）　；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）（，2），（﹣，）；（2）①＜t≤，②．【解答】（1）解：四边形EFGH是矩形，且E（0，）．F（﹣，）（0，），∴EF＝GH＝，EH＝FG＝1，∴G（﹣，）；连接AC，BD，交于一点H，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，且A（，0），B（0，1），D（2，1），AB＝AD＝，AC⊥BD，CM＝AM＝OB＝1，BM﹣MD＝OA＝，∴AC＝2，∴C（，2），故答案为（，2），（﹣，）；（2）解：①∵点E（0，），点F（﹣，），点H（0，），∴矩形EFGH中，EF∥x轴，E'H'⊥x轴，EF＝，EH＝1，∴矩形E'F'G'H'中，E'F'∥x轴，E'H'⊥x轴，E'F'＝，E'H'＝1，由点A（，0），点B（0，1），得OA＝，OB＝1，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，得∠ABO＝60°，在Rt△BME中，由EM＝EB×tan60°，EB＝1﹣＝，得EM＝，∴S△BME＝EB×EM＝，同理，得S△BNH＝，∵EE'＝t，得S矩形EE'H'H＝EE'×EH＝t，又S＝S矩形EE'H'H﹣S△BME﹣S△BNH，∴S＝t﹣，当EE'＝EM＝时，则矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为△BE'H'，∴t的取值范围是＜t≤，②由①及题意可知当≤t时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，当时，矩E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是减小的，∴当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：此时面积S最大，最大值为S＝1×＝；当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：由（1）可知B、D之间的水平距离为2，则有点D到G'F'的距离为，由①可知：∠D＝∠B＝60°，∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，∴该等边三角形的边长为2×，∴此时面积S最小，最小值为，综上所述：当时，则．7．（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是　3或　（请直接写出两个不同的值即可）．【答案】（Ⅰ）60°，（，）；（Ⅱ）EO′＝3t﹣6（2＜t＜3）；（Ⅲ）3或（答案不唯一）．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点O′作O′H⊥OA于点H．在Rt△POQ中，∠OPQ＝30°，∴∠PQO＝60°，由翻折的性质可知QO＝QO′＝1，∠PQO＝∠PQO′＝60°，∴∠O′QH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴QH＝QO′•cos60°＝，O′H＝QH＝，∴OH＝OQ+QH＝，∴O′（，）；（Ⅱ）如图②中，∵A（3，0），∴OA＝3，∵OQ＝t，∴AQ＝3﹣t．∵∠EQA＝60°，∴QE＝2QA＝6﹣2t，∵OQ′＝OQ＝t，∴EO′＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6（2＜t＜3）；（Ⅲ）如图③中，当点Q与A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．在Rt△PGF中，PG＝OA＝3，∠PFG＝60°，∴PF＝＝2，∵∠OPA＝∠APF＝∠PAF＝30°，∴FP＝FA＝2，∴S△APF＝•AF•PG＝××3＝3，观察图象可知当3≤t＜2时，重叠部分的面积是定值3，∴满足条件的t的值可以为3或（答案不唯一）．故答案为：3或．四．切线的性质（共1小题）8．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB 所对的优弧上一点．（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．【答案】（1）120°，30°；（2）．【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵∠CEB＝∠BOC，∴∠CEB＝30°；（2）如图，连接OE，∵半径OC⊥AB，∵＝，∴∠CEB＝∠AOC＝30°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠B＝75°，∴∠DFC＝∠EFB＝75°，∠DCF＝90°﹣∠DFC＝15°，∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC＝15°，∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，∵GE切圆于E，∴∠OEG＝90°，∴tan∠EOG＝＝，∵OE＝OA＝3，∴EG＝．五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）9．（2023•天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．（1）求DE的长；（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．【答案】（1）DE的长为3m；（2）①线段EA的长为（3+h）m；②塔AB的高度约为11m【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝3（m），∴DE的长为3m；（2）①由题意得：BA⊥EA，在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，∴CE＝DE＝3（m），在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，∴AC＝＝h（m），∴AE＝EC+AC＝（3+h）m，∴线段EA的长为（3+h）m；②过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，∵AB＝hm，∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3+h）m，∴h﹣3＝0.5（3+h），解得：h＝3+6≈11，∴AB＝11m，∴塔AB的高度约为11m．六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【答案】168海里．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．七．条形统计图（共1小题）11．（2023•天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为　40　，图①中m的值为　15　；（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．【答案】（1）40；15；（2）14；15；14．【解答】解：（1）a＝5+6+13+16＝40；∵m%＝100%﹣12.5%﹣40%﹣32.5%＝15%，∴m＝15．故答案为：40；15；（2）平均数为＝；∵15岁的学生最多，∴众数为15；∵一共调查了40名学生，12岁的有5人，13岁的6人，∴中位数为14．。

天津中考数学主要考点提示
概率问题的计算，感受统计与概率在实际生活中的应用，考查了关于统计量的意义与概率的基本计算的统计思想。

复习时应该注意到，新课程以来教材突出了以实际问题为背景的例题，习题。

以生活中常见的问题为背景设置试题，更加贴近学生的实际，充满生活气息，让学生倍感亲切，同时，提升了学生用数学的意识。

2019年全卷10个题联系实际问题，共45分，考查了应用数学知识解决实际问题的内容。

一方面，以实际问题为背景，考查学生对数学基本概念的理解。

2019年第（2）题，借助分形图，考查学生对"中心对称图形"概念的理解；2019年第（7）题，题目给出"由4个三视图"，在判定它的"实物图"的过程中，考查学生对三视图概念的理解和空间观念；2019年第（9）题，以"电信公司给顾客提供两种上网收费方式"为背景，考查学生对函数概念的理解。

另一方面，通过解决实际问题，考查学生应用数学知识，解决问题的能力。

2019年第（23）题，应用解直角三角形的知识，解决测量"海河两岸美景望海楼与船的距离"问题；2019年第（24）题，是通过列二次函数解析式，建立实际问题中的数量关系，进而应用二次函数的知识，求出最大销售额。

解决此类问题的关键，需要分析实际问题中的数量关系，建立适当的数学模型，将实际问题抽象为数学问题。

天津市数学中考近四年考点列表如下。

03填空题知识点分类-天津市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编一．合并同类项（共2小题）1．（2021•天津）计算4a+2a﹣a的结果等于 ．2．（2020•天津）计算x+7x﹣5x的结果等于 ．二．同底数幂的乘法（共2小题）3．（2022•天津）计算m•m7的结果等于 ．4．（2019•天津）计算x5•x的结果等于 ．三．单项式乘单项式（共1小题）5．（2018•天津）计算2x4•x3的结果等于 ．四．二次根式的混合运算（共5小题）6．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．7．（2021•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．8．（2020•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．9．（2019•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．10．（2018•天津）计算（+）（﹣）的结果等于 ．五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）11．（2022•天津）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 （写出一个即可）．六．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）12．（2019•天津）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为 ．七．一次函数图象与几何变换（共3小题）13．（2021•天津）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．14．（2020•天津）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 ．15．（2018•天津）将直线y＝x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．八．含30度角的直角三角形（共1小题）16．（2018•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．九．平行四边形的性质（共1小题）17．（2020•天津）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．一十．菱形的性质（共1小题）18．（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F 为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．一十一．正方形的性质（共1小题）19．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ．一十二．圆周角定理（共1小题）20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于 ；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．一十三．作图—复杂作图（共3小题）21．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF 的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于 ；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．22．（2020•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB＝．（Ⅰ）线段AC的长等于 ．（Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．23．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（Ⅰ）线段AB的长等于 ；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC ＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．一十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题）24．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为 ．一十五．作图-旋转变换（共1小题）25．（2018•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（Ⅰ）∠ACB的大小为 （度）；（Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明） ．一十六．概率公式（共5小题）26．（2022•天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．27．（2021•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．28．（2020•天津）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．29．（2019•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．30．（2018•天津）不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．参考答案与试题解析一．合并同类项（共2小题）1．（2021•天津）计算4a+2a﹣a的结果等于　5a　．【解答】解：4a+2a﹣a＝（4+2﹣1）a＝5a．故答案为：5a．2．（2020•天津）计算x+7x﹣5x的结果等于　3x　．【解答】解：x+7x﹣5x＝（1+7﹣5）x＝3x．故答案为：3x．二．同底数幂的乘法（共2小题）3．（2022•天津）计算m•m7的结果等于　m8　．【解答】解：m•m7＝m8．故答案为：m8．4．（2019•天津）计算x5•x的结果等于　x6　．【解答】解：x5•x＝x6．故答案为：x6三．单项式乘单项式（共1小题）5．（2018•天津）计算2x4•x3的结果等于　2x7　．【解答】解：2x4•x3＝2x7．故答案为：2x7．四．二次根式的混合运算（共5小题）6．（2022•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于　18　．【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．7．（2021•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于　9　．【解答】解：原式＝（）2﹣1＝10﹣1＝9．故答案为9．8．（2020•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于　6　．【解答】解：原式＝（）2﹣12＝7﹣1＝6．故答案是：6．9．（2019•天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于　2　．【解答】解：原式＝3﹣1＝2．故答案为2．10．（2018•天津）计算（+）（﹣）的结果等于　3　．【解答】解：（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝6﹣3＝3，故答案为：3．五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）11．（2022•天津）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是　1　（写出一个即可）．【解答】解：∵一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，∴b＞0，可取b＝1，故答案为：1．六．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）12．（2019•天津）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为　（，0）　．【解答】解：根据题意，知，当直线y＝2x﹣1与x轴相交时，y＝0，∴2x﹣1＝0，解得，x＝；∴直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标是（，0）；故答案是：（，0）．七．一次函数图象与几何变换（共3小题）13．（2021•天津）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为　y＝﹣6x﹣2　．【解答】解：将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣6x﹣2，故答案为：y＝﹣6x﹣2．14．（2020•天津）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为　y＝﹣2x+1　．【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝﹣2x+1．故答案为y＝﹣2x+1．15．（2018•天津）将直线y＝x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为　y＝x+2　．【解答】解：将直线y＝x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝x+2．故答案为：y＝x+2．八．含30度角的直角三角形（共1小题）16．（2018•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．【解答】解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝．故答案为：．九．平行四边形的性质（共1小题）17．（2020•天津）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC+CF＝5，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，延长CG交BE于点H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝3，∴CG＝CH＝，故答案为：．一十．菱形的性质（共1小题）18．（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F 为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．【解答】解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中点，FH∥CD，∴H是DE的中点，∴FH是△CDE的中位线，∴FH＝CD＝1，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠DAB＝60°，Rt△CBM中，∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝1，CM＝＝，∴BE＝BM，∵F是CE的中点，∴FB是△CEM的中位线，∴BF＝CM＝，FB∥CM，∴∠EBF＝∠M＝90°，Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝＝＝，∴GF＝AF＝．故答案为：．一十一．正方形的性质（共1小题）19．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ．【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G为EF的中点，∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直线OE解析式为y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案为：．一十二．圆周角定理（共1小题）20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于 ；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC 于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P 即为所求　．【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．故答案为：．（Ⅱ）如图，点P即为所求．故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求．一十三．作图—复杂作图（共3小题）21．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF 的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于 ；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）　连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求　．【解答】解：（Ⅰ）EF＝＝．故答案为：；（Ⅱ）如图，点M，N即为所求．步骤：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O 于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．故答案为：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM 交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求22．（2020•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB＝．（Ⅰ）线段AC的长等于 ．（Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求　．【解答】解：（Ⅰ）线段AC的长等于＝；（Ⅱ）如图，∵点A，C是2×3网格的格点，∴取2×3网格的格点M，N，M′，N′，连接MN，M′N′，即将AC平移至MN和M′N′，′∴MN∥AC∥M′N′，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵MN∥AC∥M′N，∴BD⊥MN，BD⊥M′N′，∴BD＝B′D，∴点B、点B′关于AC对称，∴BP＝B′P，∴BP+PQ＝B′P+PQ＝B′Q最短．23．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（Ⅰ）线段AB的长等于 ；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC ＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB　．【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，故答案为：；（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB 与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，故答案为：取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB 与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．一十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题）24．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为 ．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，∴12×5＝13AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，故答案为：．一十五．作图-旋转变换（共1小题）25．（2018•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（Ⅰ）∠ACB的大小为　90　（度）；（Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）　如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求　．【解答】解：（1）由网格图可知，AC＝，BC＝，AB＝，∵AC2+BC2＝AB2，∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形．∴∠ACB＝90°，故答案为：90°．（Ⅱ）作图过程如下：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求．证明：连CF．∵AC，CF为正方形网格对角线，∴A、C、F共线，∴AF＝5＝AB，由图形可知：GC＝，CF＝2，∵AC＝，BC＝，∴△ACB∽△GCF，∴∠GFC＝∠B，∵AF＝5＝AB，∴当BC边绕点A逆时针旋转∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上．由作图可知T为AB中点，∴∠TCA＝∠TAC，∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°，∴CP′⊥GF，此时，CP′最短，故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC 延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求．一十六．概率公式（共5小题）26．（2022•天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，故答案为：．27．（2021•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．【解答】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．28．（2020•天津）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．【解答】解：∵袋子中装有8个小球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．故答案为：．29．（2019•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率＝．故答案为．30．（2018•天津）不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．【解答】解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，∴摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．。