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数学建模--提高电梯运行效率关于如何提高写字楼电梯运行效率摘要：采用电梯三种使用模式分类，根据电梯运行位置列出电梯6种运行情况，设计出电梯运行参数，进而建立出电梯运行数学模式，进而改善目前写字楼中电梯运行存在的效率低下的问题。
目前写字楼电梯运行中，不同时点情况下电梯交通流量和载人量会有很大的变化。
在一座典型的办公写字楼里，早上上班高峰会是上行高峰客流，即大量的人从基层出发去各自不同的楼层，这时会在基层出现人量的等待客流：而到了中午又会是各楼层的人员集中去休息楼层就餐和休息；而下班时是从各个楼层的人流向基层，变成下行高峰客流。
针对上述问题，大多数物业公司作法基本上是，引入电梯群控系统，同时采用分单双层设置电梯联动停靠站模式和划分高低层设置电梯联动停靠站模式，这样可能会基本解决部分电梯运行效率问题，但从根本上无法实现电梯效率最大化。
结合写字楼电梯电梯使用情况，将电梯运行分为三种模式：1、上行模式（上班高峰），2、下行模式（下班高峰），3、正常模式。
在这三种电梯运行模式情况下建立相应数学模型，引入部分参数，进而从整体上以提高运行效率。
一、创建数学模型参数具体我们可设定如下数据和目前状态：设定：电梯每层运行时间为T y；一人进入电梯时间为T j；一人走出电梯时间为T c；电梯停靠时间为T k；电梯启动时间为T q；呼梯的所在楼层与人数以及要求到达的楼层为R（x、y、z）呼梯所在楼层为xi；同时呼梯人数为yi；要求到达楼层为zi；可使用电梯总数为s说明：1、每层设置呼梯装置包含到达楼层和乘梯人数输入工具，和显示乘梯提示；楼层n人数m2、同层呼梯按先后次序设置3、aT xi[ n、m（m1、m2、m3、…….）、p（p1、p2、p3、….）] ai代表电梯编号xi代表电梯所在楼层n 代表电梯额定乘梯人数m代表时点停靠站数，m1代表楼层，p 代表时点乘梯人数；p1代表楼层出梯人数，p= p1+p2+p3+….对应于各停靠层Xi＜m1＜m2＜m3……＜m i.，表示电梯上行Xi＞m1＞m2＞m3……＞mj，表示电梯下行二、创建数学模型对于电梯aiT xi[ n、m、p]、呼梯者R（X1、Y1、Z1），电梯来到时间分为6种情况：1、Xi≤Mi， Xi≥X1T=（Tk+ Tq）m+Tc*P+（maxMi-Xi）Ty+（maxMi-X1）Ty2、Xi≥Mi， Xi≥X1，且minMi≥X1T=（Tk+ Tq）m+Tc*P+（Xi- minMi）Ty+（minMi-X1）Ty3、Xi≥Mi， Xi≥X1，且minMi＜X1，[Mi]∈[M1，M2，……，Mi] ,Mi＜X1,Mi+1≥X1T=（Tk+ Tq）∑[Mi]+Tc*∑P[Mi]+（Xi- [Mi]）Ty+（[Mi] -X1）Ty 4、Xi≤Mi， maxMi≤X1T=（Tk+ Tq）m+Tc*P+（maxMi-Xi）Ty+（maxMi-X1）Ty5、Xi≥Mi， Xi≤X1T=（Tk+ Tq）m+Tc*P+（Xi- minMi）Ty+（X1-minMi）Ty6、Xi≤Mi， Xi≤X1，且maxMi≥X1，[Mi]∈[Mi，Mi+1，Mi+1……Mi+n] ,Mi≥X1,Mi-1＜X1T=（Tk+ Tq）∑M[Mi]+Tc*∑P[Mi]+（[Mi]-Xi）Ty+（X1 -[Mi]）Ty 具体状态如图A（一）、在下行模式情况下下当R（xi、y、z）、aiT xi[ n、m（m1、m2、m3、…….）、p（p1、p2、p3、….）]中，满足y＜n，表示该呼梯人对于所有电梯来讲，表示需下行XminT=min[bTx]bTx表示各电梯到达x楼层时间；具体状态如图一1、对于多个楼层同时呼梯，当x1＜x2 且x1＜z2，XminT2=min[（bTx2）s]XminT1=min[（bTx1）s-1，min T2+（Tc+Tj）Y2+Tk+Tq+（z2-x1）* T y]s-1表示减去在求得x2楼层使用电梯数量同时用y＜n进行检验具体状态如图二2、对于多个楼层同时呼梯，当x1＜x2且x1≥z2， z1≥x1XminT2=min[（bTx2）s]XminT1=min[（bTx2 ）s-1，min T2+（Tc+Tj）Yi+（Tk+Tq ）*2+（x1-z2）* T y]s-1表示减去在求得x1楼层使用电梯数量，同时用y＜n进行检验，具体状态如图三3、对于多个楼层同时呼梯，当x1＜x2且x1≥z2， z1≤x1XminT2=min[（bTx2）s]XminT1=min[（bTx2 ）s-1，min T2+Tj*Y2+Tk+Tq +（x2-x1）* T y] s-1表示减去在求得x1楼层使用电梯数量，同时用y＜n进行检验，具体状态如图四（二）、在上行模式情况下当R（xi、y、z）、T a[ n、m（m1、m2、m3、…….）、p（p1、p2、p3、….）]中，满足y＜n，zi≥xi表示该呼梯人对于所有电梯来讲，表示上行，对于电梯优先满足SminT=min[bTx]bTx表示各电梯到达x楼层时间；具体状态如图五1、对于多个楼层同时呼梯，在x1＜z1时，当x1＜x2 且z1＜x2，SminT1=min[（bTx1）s]SminT2=min[（bTx1）s-1，min T1+（Tc+Tj）Y1+Tk+Tq+（x2- z1）* T y]s-1表示减去在求得x2楼层使用电梯数量同时用y＜n进行检验具体状态如图六2、对于多个楼层同时呼梯，在x1＜z1时，当x1≤x2且z1≥x2，x2≥z2SminT1=min[（bTx1）s]SminT2=min[（bTx2 ）s-1，min T1+（Tc+Tj）Y1+（Tk+Tq）*2+（z1-x2）* T y]s-1表示减去在求得x1楼层使用电梯数量，同时用y＜n进行检验，具体状态如图七3、对于多个楼层同时呼梯，在x1＜z1时，当x1≤x2且z1≥x2，x2＜z2SminT1=min[（bTx1）s]SminT2=min[（bTx2 ）s-1，min T1+Tj*Y1+Tk+Tq+（x2-x1）* T y] s-1表示减去在求得x1楼层使用电梯数量，同时用y＜n进行检验，具体状态如图八（三）、在正常模式情况下正常模式情况下，取值在上行与下行模式各自情况下，求和最小值，即SminT1+ SminT2与XminT1+ XminT2比较三、模型存在缺陷该数学模型情况下，可能会存在下面两种不经济情况；1、在xi+6层处有R（xi+6、yi、zi）呼梯，运用上述模型得出aiT xi[ n、m、p]电梯到达时间最小，当运行至xi+2层，xi+5层有人呼梯，在此时点下该模型重新计算，但在考虑aiT xi[ n、m、p]电梯时，可能会加上到达xi+6后，程序完成时间，这样情况下可能会有aiT xi[ n、m、p]电梯上行运行无效率。
电梯系统的数学模型问题【摘要】本问题是电梯系统问题，可转化为动态规划问题。
我们首先建立了一个电梯运行时间的简单模型，将实际问题转化为了一个数学问题。
在电梯环形时间模型中，我们把电梯的运动抽象地看成电梯做圆周运动，并给出了时间间隔（指电梯相继同方向通过同一个站的间隔的时间）的定义，由于电梯实际停的站数S 和电梯实际运行经过的楼层数H 是随机变量，故在本模型中，我们主要的问题是求解这两个变量的平均值(),()E S E H 。
我们用电梯把所有人运送到各自所需楼层所需的运送时间的长短作为衡量电梯运送能力的指标。
本文中只考虑早晨上课高峰时间的情况，对实际问题建立了两种模型，第一个模型是只有一组电梯服务的情况，即两部电梯同时服务整栋楼。
求解过程较为简单。
第二个模型是将电梯分组，电梯分组有这些参数：所分的组数；每一组服务哪些楼；每一组的电梯数。
这个模型运用“极大—极小”准则求解，当楼层非常高时，运用动态规划求解，得到一个递推算法：1212min{max{(2,1),(,)}}F x M x M -，(,)k F i j 表示服务范围为,1,,i i j +楼的第k 组电梯的运送时间，()n M k 为由前面的n 组电梯服务2,3,,k 的极大—极小运送时间。
由于本题中只给出了两部电梯，故这两种模型不会有太大区别。
但当楼层很高，电梯数较多时，分组服务的效率会更高。
本文对一个实际例子进行了计算验证 ,所得结果与实际情况比较吻合这个模型可以为电梯制造厂提供一个有用的实用模型，并可以为高层建筑的建设起到一定作用。
【关键词】：电梯系统 环形时间 电梯分组一、问题重述我校科技楼北楼有两台电梯。
等电梯的人给出要上下的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。
然而，电梯经常出现十分拥挤的状况，特别在上下课的时候，要等很长的时间，所以埋怨声很多。
你能否为电梯设计一个调度方案，减少大家的等待时间，减少师生的不满。
二、基本假设1.两部电梯的运送时间相等，即两台电梯的服务量相等2.高峰期时，所有人均在一楼等待。
电梯调度方案问题摘要：本文是一个控制分析问题，通过对各种控制方法进行分析评价，得出优化的电梯调度方案。
针对具体问题，我们将电梯的运行时间作为目标函数, 在早晚高峰模式下对电梯群控的各部电梯进行分配，分别建立“跳跃式模型”和“连续型分阶段模型”，对每种模型，我们给出不同的电梯调度方案，通过对不同调度方案的分析、比较和优化，筛选出比较满意的调度方案。
结合实际情况，我们考虑到生活中存在的具体约束，并增加新的评价指标，完善模型，达到快速效应乘客需求、节能和提高电梯利用率的目的。
关键词：优化调度跳跃式模型连续型分阶段模型1.问题的提出与分析背景分析：随着社会的发展，高楼大厦不断兴建，电梯已经成为生产与生活中不可缺少的机电设备。
现阶段人们不断追求生活质量，对电梯运行的快速性、舒适性等都提出了更高的要求，如何让电梯更好的发挥其作用已成为备受关注的问题。
如何合理地调控使用现有电梯,提高电梯的服务效率,尽量减少人流的乘梯等待时间和乘梯时间,是电梯管理中的一个首要任务。
在电梯管理中，关于上班高峰期的电梯优化调度问题也一直是大家关心的焦点。
我们考虑商业中心某写字楼早晚高峰时期电梯合理调度的数学建模问题。
已知条件及要求：商业中心某写字楼共有22层地上建筑楼层和2层地下停车场，其内设有6部电梯。
工作日里，每天早晚高峰时期电梯非常拥挤，乘客等待电梯的时间很长，降低了电梯的服务质量。
该写字楼各层办公人数分布如下：楼层人数分布501001502002503003500510152025楼层人数系列1现要求考虑下列问题：（1）分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的电梯调度模型的优劣。
（2）针对具体的简化情况建立数学模型，给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较分析。
（3）实际情况，将所建立的数学模型进一步实际化，用于解决现实的电梯调度问题。
问题分析：1、考虑到电梯的快速性和舒适性以及乘客的舒适度和满意度要求，评价调度方案优劣除了将减少侯梯时间作为评价指标外,还应考虑减少乘梯时间、减少乘客的长侯梯率以及减少电梯的能耗作为多目标的评价体系[1],即在保证乘客和侯梯者都满意的前提下, 提高电梯的运输效率和服务质量，有效地控制电能消耗。
综合演训楼电梯调度问题张天一、问题重述：综合演训楼有十一层地上建筑楼层和一层地下停车场，共有12部电梯，每部电梯最大载重是13个正常成人的体重总和。
电梯的使用安排不合理，每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。
请针对高峰期的电梯调度问题建立数学模型，制定一个合理的电梯调度优化方案。
二、基本假设：（1）上班高峰时期的办公人员全部为从最底楼上行的乘客，下班时乘客都是下到最底层。
（均不考虑其他性质的乘客）（2）不考虑地下一层，即电梯在一至十一层间运行。
（3）假设优化电梯调度模型后乘客一定按照所设计的方案乘坐相应的电梯，而不选择其他的电梯。
（4）电梯无任何故障始终按预定的调度运行。
（5）乘客进入电梯后，电梯门随即关闭，不考虑人为因素的等待情况。
（6）进入电梯的乘客不存在个体的差异，并且进入的乘客不超过额定得承载人数。
三、问题分析：由于本问题要求是缓解上下班高峰期的电梯拥堵情况，如果我们能够减少电梯往返一次所用的总时间，便能减少其他办公人员等待电梯的时间，所以所建立的评价指标首先应该考虑的是各电梯往返一次所用的总时间。
其次每一楼层的情况都不一样，我们还要以所有办公人员都到达其所在楼层的时间为评价指标。
综合这两个评价指标可以很好的评价各个调度方案的优劣。
我们可以通过限制电梯的停靠楼层，使相同楼层办公人员相对集中的乘坐某一部或多部电梯，进而减少停靠次数，减少平均停留总时间；同时通过限制电梯停靠楼层，减少电梯在楼层间的平均运行总时间。
根据题中条件，本模型有电梯容量和楼层平均办公人数两个约束：由于是上班高峰期，为了满足基本要求，使每个人都能层电梯到达办公楼层，需限制能够运载到某一层的总人数大于或等于该层平均办公人数。
解决本问题还需要统计得出在每层楼之间电梯的平均运行时间、最底层平均停留时间、其他各层若停留的平均停留时间，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
假设在一个时间点到达底层需要乘电梯的各楼层的人数与各楼层的总人数成比例，建立非线性规划方程进行求解。
电梯调度问题摘要在现代化的今天，高楼林立，电梯的功用举足轻重。
但在一些商用写字楼的上下班高峰期时，电梯经常出现拥挤的现象，这给公司和员工都造成了不便。
本文根据尽量减少电梯停靠次数，并结合实际情况，建立合理的电梯调度方案，解决某写字楼的电梯拥挤现象。
针对问题一，通过对题目的分析得知，乘客的上下班时间比较接近，到达电梯的时间也相差无几，因此，能否用最快的时间将乘客运送完毕是判断电梯调度方案是否最优的重要标准。
此外还考虑乘客的心理感受和电梯的维护保养，故将乘客的平均乘梯时间、电梯的平均运行时间（周期）、电梯的平均停靠次数也纳入指标评价体系当中，并由此建立指标评价体系模型。
针对问题二，由于下班高峰期时乘客到达电梯的时间几乎相同，也就是电梯在一个楼层就可以满载，然后直接下楼，不在其它楼层停留（最后不满载而在其它楼层停留的情况单独考虑）。
因此可以算出一台电梯将该楼层所有乘客运送完毕所需要的时间，将这21组时间进行排列组合分成6组，使每组时间和近似相等，得到的排列就是最优的电梯调度方案。
针对问题三，实际上每一次上下班时，电梯在一次送运的20人中一般不会只有该电梯所负责的某一楼层的员工，针对问题三我们转化为在电梯的一个往返周期内可以有多个楼层员工。
关键字：电梯调度、优化、电梯分层控制、概率1 问题重述电梯是高层建筑中不可缺少的垂直交通运输工具，给人们的出行带来很多方便。
但电梯拥挤，等待时间过长也给人们带来很多烦恼。
我们根据某写字楼的实际情况设计合理的电梯调度方案。
已知商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。
该写字楼各层办公人数如下表：且假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
由以上信息考虑下列问题：（1）分析确定合理的评价指标体系，用以评价该楼是电梯调度方案的优劣。
电梯调度问题优化模型摘要在现代社会，电梯成为高层建筑必不可少的交通工具，每值上下班高峰期时，不合理的电梯调度，会增加乘梯人的等待时间，造成人员聚集拥堵。
因此，合适的电梯调度方案能够缓解上下班人流高峰期电梯的运输压力，减少乘梯人不必要的等待时间。
对于问题一，我们在考虑到在减少乘客等待时间和乘坐时间的条件下的满意度会提高的实际情况下，选择以“最短的运送时间”和“最短的等待时间”为评价指标。
对于问题二，我们从生活实际出发，分别建立“跳跃式模型”和“连续型分阶段模型”。
针对每种模型，我们会给出不同的电梯调度方案，通过对比给出最优调度方案。
对于问题三，在第二问中，我们假设电梯是在乘客在等待条件下进行的运送，而实际中乘客到达时间可看作“泊松分布”。
我们对此模型进一步优化，以期得到更合实际的电梯调度方案。
最后，我们对所得方案进行评价并推广。
关键词：电梯调度连续型分阶段模型跳跃式模型泊松分布一、问题重述1.1 问题背景商用写字楼在早上8:20到9:00这段时间内，上班的人陆续到达，底层等电梯地方人山人海，常常碰到再过几分钟就要迟到但电梯迟迟不来的情况，候梯人焦急万分，抱怨不断。
本文就上班高峰期时段电梯运行情况建立数学模型，对于所设想出的方案进行研究比较，以找出较为合理的调度方案。
1.2 已知条件（1）各层楼办公人数各不相同，具体人数见下表（1）：（2）有6部电梯，电梯容量均为20人。
（3）每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
1.3 待解决问题第一问：在既定条件下，根据实际情况给出若干合理的模型评价指标。
第二问：请根据评级指标合理的建立电梯调度模型，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各个楼层的人流快速送到，并减少候梯时间。
第三问，对第二问中建立的数学模型进一步实际化，使其更好地用于解决现实的电梯调度问题。
电梯调度问题电梯调度问题摘要：本题为一个电梯调度的优化问题，在一栋特定的写字楼内，利用现有的电梯资源，如何使用电梯能提高它的最大运输量，在人流密度十分大的情况下，如何更快的疏通人流成为一个备受关注的问题。
为了评价一个电梯群系统的运作效率，及运载能力，在第一问中，我们用层次分析发，从效益、成本两大方面给出了六个分立的小指标，一同构成电梯群运载效率的指标体系。
对第二问，本文根据题目情况的特殊性，定义忙期作为目标函数，对该电梯调度问题建立非线性规划模型，最后用遗传算法对模型求解。
第三问中，本文将模型回归实际，分析假设对模型结果的影响，给出改进方案。
对于问题一，本文用评价方法中的层次分析法对电梯群系统的运作效率及运载能力进行分析。
经分析，本文最终确定平均候梯时间、最长候车时间、平均行程时间、平均运营人数（服务强度）、平均服务时间及停站次数这六个指标作为电梯调度的指标体系。
在这些评价指标的基础上，本文细化评价过程，给出完整的评价方案：首先，采用极差变换法对评价指标做无量纲化处理。
然后，采用综合评价法对模型进行评价。
在这个过程中，本文采用受人主观影响较小的夹角余弦法来确定权重系数。
对于第二问，本文建立非线性优化模型。
借鉴排队论的思想，本文定义忙期，构造了针对本题中特定情形的简单数学表达式，作为目标函数。
利用matlab软件，采用遗传算法对模型求解。
多次运行可得到多个结果，然后用第一问中的评价模型进行评价，最终选出较优方案。
最得到如下方案：第一个电梯可停层数为：1,2,3,4,5,6,7,10,14,15,16,19,20,22第二个电梯可停层数：1,4,5,7,10,13,16,18,19,20,21第三个电梯可停层数：1,2,3,4,6,8,10,11,12,15,16,20,22第四个电梯可停层数：1,2,3,4,7,10,11,17,18,19,21,22第五个电梯可停层数：1,2,4,7,8,9,17,18,19,20,21第六个电梯可停层数：1,4,5,6,7,8,9,11,13,18,19,20此方案平均忙期为：15.3分钟。
优化问题的数学模型在现代社会中，优化问题是数学领域中非常重要的一个研究方向。
优化问题的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实中的各种问题，例如最小化成本、最大化利润、最优化生产、最优化调度、最优化投资等。
本文将从优化问题的定义、数学模型及其应用等方面进行阐述和探讨。
一、优化问题的定义优化问题是指在给定的限制条件下，寻找能使某一目标函数取得最优值的决策变量的问题。
这个目标函数可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
优化问题的求解过程可以通过数学方法来实现，例如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
二、优化问题的数学模型优化问题的数学模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。
1. 目标函数目标函数是优化问题中的一个重要概念，它描述了我们想要优化的目标，可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
在数学模型中，目标函数通常表示为：$$max f(x)$$或$$min f(x)$$其中，$x$ 是决策变量，$f(x)$ 是关于 $x$ 的目标函数。
2. 约束条件约束条件是指限制决策变量的取值范围，使其满足一定的条件。
在数学模型中，约束条件通常表示为：$$g_i(x) leq b_i$$或$$g_i(x) geq b_i$$其中，$g_i(x)$ 是关于 $x$ 的约束条件，$b_i$ 是约束条件的上限或下限。
3. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，其取值范围受到约束条件的限制。
在数学模型中，决策变量通常表示为：$$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$$其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个决策变量的取值。
三、优化问题的应用优化问题的应用非常广泛，包括工业、经济、管理、军事等领域。
下面我们将以几个具体的例子来说明优化问题的应用。
1. 最小化成本在生产过程中，我们希望以最小的成本来生产产品。
这时，我们可以将生产成本作为目标函数，约束条件可以是生产量的限制、材料的限制等。
通过数学模型，我们可以求出最小化成本的生产方案，从而实现成本控制的目的。
电梯调度问题电梯调度问题摘要：本题为一个电梯调度的优化问题，在一栋特定的写字楼内，利用现有的电梯资源，如何使用电梯能提高它的最大运输量，在人流密度十分大的情况下，如何更快的疏通人流成为一个备受关注的问题。
为了评价一个电梯群系统的运作效率，及运载能力，在第一问中，我们用层次分析发，从效益、成本两大方面给出了六个分立的小指标，一同构成电梯群运载效率的指标体系。
对第二问，本文根据题目情况的特殊性，定义忙期作为目标函数，对该电梯调度问题建立非线性规划模型，最后用遗传算法对模型求解。
第三问中，本文将模型回归实际，分析假设对模型结果的影响，给出改进方案。
对于问题一，本文用评价方法中的层次分析法对电梯群系统的运作效率及运载能力进行分析。
经分析，本文最终确定平均候梯时间、最长候车时间、平均行程时间、平均运营人数（服务强度）、平均服务时间及停站次数这六个指标作为电梯调度的指标体系。
在这些评价指标的基础上，本文细化评价过程，给出完整的评价方案：首先，采用极差变换法对评价指标做无量纲化处理。
然后，采用综合评价法对模型进行评价。
在这个过程中，本文采用受人主观影响较小的夹角余弦法来确定权重系数。
对于第二问，本文建立非线性优化模型。
借鉴排队论的思想，本文定义忙期，构造了针对本题中特定情形的简单数学表达式，作为目标函数。
利用matlab软件，采用遗传算法对模型求解。
多次运行可得到多个结果，然后用第一问中的评价模型进行评价，最终选出较优方案。
最得到如下方案：第一个电梯可停层数为：1,2,3,4,5,6,7,10,14,15,16,19,20,22第二个电梯可停层数：1,4,5,7,10,13,16,18,19,20,21第三个电梯可停层数：1,2,3,4,6,8,10,11,12,15,16,20,22第四个电梯可停层数：1,2,3,4,7,10,11,17,18,19,21,22第五个电梯可停层数：1,2,4,7,8,9,17,18,19,20,21第六个电梯可停层数：1,4,5,6,7,8,9,11,13,18,19,20此方案平均忙期为：15.3分钟。
关于电梯系统优化问题的数学模型Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998关于电梯系统优化问题的数学模型摘要在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。
在当今社会，工作生活节奏愈发加快，因而电梯系统的运行效率对人们的生活的影响不可忽视。
目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，一般都使用单井道单轿厢或者单井道双轿厢两种模式的电梯，本文就结合这两种模式，根据实际情况将问题分为两种情况考虑，重点讨论了将电梯运行效率最大化的方法，建立了相关模型，并给出了相应的优化参数。
本文将电梯系统的优化分为高峰期和非高峰期两种时期进行讨论。
高峰期时通过对问题的分析，发现可以设置电梯区间以尽可能减少目标层较高的乘客占用目标层较低的乘客的电梯资源，根据这一思想，我们将其简化为排队问题来考虑，并据此建立了排队模型，通过实地统计数据以及C语言的编程，能够较好地解出模型，得到在高峰期时将一部分电梯区间的顶层设为第14层左右的优化方案。
非高峰期时通过对这一时期特点的分析，以每台电梯在无乘梯需求时自动停留的楼层为着眼点，采用枚举的方法编程求解，得到在非高峰期将电梯均匀分布在楼层中的优化方案。
最后，我们对模型参数进行了灵敏度的分析，发现虽然模型对数据的依赖性较强，但最优方案不随参数的波动而变化，所以这个结果还是可信的。
本文提出的方案直观易行，且几乎不需额外的经济投入，可行性很强，具有较好的参考价值。
一问题重述在高层商务楼里，电梯承担着将人和货物运送到各个楼层的任务。
目前的高层商务楼等大多数高层建筑中，主要使用单轿厢和双轿厢两种电梯运行系统。
单轿厢电梯在向上运行时，只有满足了所有“上行请求”时才会开始满足“下行请求”，反之亦然；而对于双轿厢电梯，乘客在进入轿厢前就通过按钮面板选择了要停靠的楼层，系统迅速整合分析接收到的流量数据，并调度合适的轿箱来应接乘客。
现有一座商务楼，设计地上层数为28层，地下停车楼2层，每层的建筑面积为1500平方米，楼内有6个用于客梯的电梯井道。
电梯按照商务楼建筑面积15至20平方米每人的标准来设计。
第1层的楼层高为4.8米，其余层均为3.2米，设计电梯的平均运行速度1.6米/秒。
我们的任务是：1．建立一个合适的单轿箱客梯系统的运行方案，使尽可能地提高电梯系统的运行效率；2．分别在运行的高峰期与非高峰期，对双轿箱的电梯系统与单轿箱的电梯系统的运行效率等进行对比分析,评价两种方案的优劣性，估计双轿厢系统运行效率的提高率。
二基本假设1．电梯载客量为13人，且不超载。
13人载客量是国内最常见的一种电梯规格，并且为了乘梯安全，电梯不应超载。
2．电梯在每层停留的时间相等。
在假设1成立的前提下，电梯乘客可以迅速有序地离开电梯，电梯停留时间受离开人数的影响可以忽略不计。
3．乘客的到达形成泊松流。
4．商务楼工作人员均匀分布在地上2层到28层的每一层，即电梯乘客在每一层下电梯的概率相等。
5．在上班高峰期无人下电梯，在下班高峰期无人上电梯。
6．使用每层地下停车楼的人数相等。
三符号及名词说明输入层：有需要乘电梯的人流入的楼层。
目标层：乘客想要到达的楼层。
服务：在上班高峰期电梯由输入层出发到载完13个人回到输入层称为一次服务。
αk=(p,q)T：第k个电梯或电梯井道的运行区间，即被限制只能从p层运行到q层。
A =(α1,α2,α3,α4,α5,α6)：高峰期电梯系统运行的一种安排方案。
b k：第k个电梯在无乘梯需求是停留的楼层。
β=(b1,b2,…b m)T：m个电梯在非高峰期的一种运行方案，m=6或12。
f(A)：安排方案A下乘客等待时间的期望。
f(β) ：安排方案β下乘客等待时间的期望。
W(αk) ：乘坐第k个电梯的乘客等待时间的期望。
λ，Λ：乘客形成的泊松流的强度。
t(p,q)：电梯从p层运行到q层所用的时间t0：电梯在每层停留的时间。
t(αk) ：在高峰期第k个电梯完成一次服务所用的时间。
ω1：使用地下停车楼的人数比例。
ω2：不使用地下停车楼的人数比例。
N(αk) ：第k个电梯一次服务中所能运行到的最高层。
P(n) ：在上班高峰期电梯在一次服务中停留n次的概率。
四问题分析本题是对电梯系统的优化问题，优化的标准就是找到一种方案A使所有乘客等待时间的期望f(A)最小。
这里为了叙述方便，将地下1层、2层分别记为 -1层、-2层，地上1层、2层、…28层分别记为0层、1层、…27层。
我们发现，不管是单轿厢电梯系统，还是双轿厢电梯系统，在上班高峰期，0层、-1层和-2层为输入层，1层至27层为目标层，在下班高峰期，1层至27层为输入层，0层、-1层和-2层为目标层，也就是说，在高峰期，输入层和目标层分别有所集中；而在非高峰期，输入层和目标层都是随机分散的。
所以，为了合理优化电梯系统的效率，应把这两种时期分开考虑。
高峰期的分析上班高峰期的分析上班高峰期的输入层为0，-1，-2层，则电梯的初始位置只能集中分布在这三层。
目标层越大，电梯需要上升的高度就越高，一次服务的时间就会越多。
由于乘客想要到达的目标层是随机的，因而一次服务中只要有人的目标层较大，相应电梯的等待人群需要等待的时间就越多，而一些目标层较低的乘客同样需要等待这样的时间，可以理解为高目标层乘客占用了低目标层乘客的“资源”。
这就造成了等待时间的增加。
所以我们提出一种电梯区间的思想，即在上班高峰期将每个电梯所能运行的范围加以限制，同时令目标层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样目标层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待的时间就会有所降低，而目标层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。
在这种情况下，单轿厢电梯系统和双轿厢电梯系统的模型一致，考虑到这一过程符合排队过程的特点，可以将其简化为排队模型，并编程求得最优解。
下班高峰期的分析下班高峰期的输入层为1层至27层，目标层为0，-1，-2层，电梯的初始位置无法集中。
输入层越高，电梯需要运行到很低的目标层再回到输入层，经过的楼层数越多，所用的时间也就越多。
因而只要高输入层的乘客有乘梯需求，那么低输入层的乘客就会大大增加，可以理解为高输入层乘客占用了低输入层乘客的“资源”。
所以沿用中的思想，利用电梯区间将下班高峰期电梯的运行范围加以限制，同时令输入层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样输入层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待时间就会有所降低，而输入层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。
在这种情况下，单轿厢电梯系统每个输入层都符合排队过程的特点，可将其简化为排队模型；非高峰期的分析非高峰期的输入层和目标层都是随机分散的，且人流量小，因而不同于高峰期的分析。
对于每个单轿厢电梯和双轿厢电梯，其初始位置应在-2层至27层之间，在某一时刻，有人需乘电梯，则他在1层至27层的概率相等，只需简化为安排6个单轿厢电梯或者12个双轿厢电梯的初始位置，使乘客等待电梯的时间期望尽可能小即可。
这一模型可以通过编程完成。
五模型的建立与求解单轿厢电梯系统的求解上班高峰期单轿厢电梯系统的求解对于上班高峰期，每个输入层都要有一个区间从本层到27层的电梯以保证乘客能到达任何目标层，则α1=(0,27)T，α3=(−1,27)T，α5=(−2,27)T，同时令α2=(0,q1)T，α4=(−1,q2)T，α6=(−2,q3)T。
那么对于每个电梯及其乘客，都可以简化为如图模型【1】其中电梯为“服务机构”，且服务时间随机，乘客被送往目标层后可视为“顾客离开”，则这一模型与排队模型类似，但排队模型中服务机构是从等待的顾客中随机取其一进行服务【2】。
为了使模型与排队模型相符，这里把13个乘客看作一个“乘客集合”，则“乘客集合”输入的泊松流强度为λ13，此时模型符合排队模型，且符合M/G/1排队【3】，可用排队论公式求解。
对于输入层为0层的α2，t(α2)为电梯停留所用时间与电梯运行所用时间之和，电梯运行所用时间为2(2N(α2) +1)=4N(α2)+2，电梯停留所用时间为 n t 0P(n)，其中 n ∈[1,min{13,N(α2)}]，P(n)=Q (13,n )×A q 1n q 113，Q(13,n)为把13个人分为n 组的可能数。
则t(α2)=4N(α2) +2+ n t 0Q (13,n )×A q 1n q 113由排队论公式，乘第2个电梯的乘客等待时间的期望W(α2)=ρ2+λ2D(t(α2))2λ(1−ρ)，(ρ= λE(t(α2)))且W(α1)=W(α2)(q 1=27)。
对于输入层为0层，当q 1=0，乘坐2号电梯的概率为0，当q 1=27，乘坐2号电梯的概率为1/2，假设次概率服从线性关系，则乘坐2号电梯的概率为q154，那么乘坐1、2号电梯的乘客等待时间的期望为W(α1,α2) =q 154W(α2)+(1-q154)W(α1)=q 154λ2(E 2(t (α2))+D(t(α2)))2(1−λ2E(t(α2)))+(1-q154)λ1(E 2(t (α1))+D(t(α1)))2(1−λ1E(t(α1)))同时，记Λ为所有乘客到达的泊松强度，则乘1、2号电梯乘客的泊松强度为ω1Λ，故1、2号电梯“乘客集合”的泊松强度分别为λ1=(1-q 154)ω1Λ13， λ2=q 154ω1Λ13。
为了解出模型，我们需要t0，Λ和ω1三组参数。
对于t0，我们实地做了实验，统计记录下了一组电梯停留时间的数据，如图所示：我们发现，数据大致都集中在一条平行于x轴的直线上，对数据求均值得t0= 。
对于ω1，我们找到了一家与问题中商务楼规模类似的公司，调查得到开车上班的人所占比例为%，这里认为ω1=%，ω2=%对于Λ，我们同样是在这家公司大厅实地做了统计，得到30分钟内到达329人，这里认为Λ= 。
取q1=1 , 2 …27，得到W(α1,α2)与q1的关系如图从图中可以看出，当q1=14时，W(α1,α2)最小，即(α1,α2)=[002714]时为最优方案。
同样，对于输入层为-1层，有W(α3,α4)=q254λ4(E2(t(α4))+D(t(α4)))2(1−λ4E(t(α4)))+(1-q254)λ3(E2(t(α3))+D(t(α3)))2(1−λ3E(t(α3)))且t(α4)=4N(α4) +4+ n t0Q (13,n)×A q2nq213，λ3=(1-q254)ω2Λ26，λ4=q254ω2Λ26，得到W(α3,α4)与q2的关系如图从图中可以看出，当q2=14时，W(α3,α4)最小，即(α3,α4)=[−1−12714]时为最优方案。
对于输入层为-2层，有W(α5,α6)=q354λ6(E2(t(α6))+D(t(α6)))2(1−λ6E(t(α6)))+(1-q354)λ5(E2(t(α5))+D(t(α5)))2(1−λ5E(t(α5)))且t(α6)=4N(α6) +6+ n t0Q (13,n)×A q3nq313，λ5=(1-q354)ω2Λ26，λ6=q354ω2Λ26，得到W(α5,α6)与q3的关系如图从图中可以看出，当q3=14时，W(α5,α6)最小，即(α5,α6)=[−2−22714]时为最优方案。
