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一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。
传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。
其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。
本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。
首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。
该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。
我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。
在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。
因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。
其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。
我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。
当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。
对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。
其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。
在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。
最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。
本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。
我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。
一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定性信息与计算科学专业学生：肖宪伟指导教师：宫兆刚摘要：利用微分方程理论研究了具有免疫控制的数学模型，考虑总人口数是常数输入的影响，讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性，利用特征值方法和Jacobi矩阵得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性。
构造Dulac函数的方法，得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性充分条件，利用Matlab软件进行了数值模拟。
关键词：免疫控制; Jacobi；Dulac；平衡点；全局稳定性1 引言面对传染病长期严峻的威胁和日益出现的新的疫情，其严重的危害着人类健康与社会经济的发展。
又由于人们不能在人群中进行传染病的试验，因此，对各类传染病的流行趋势、发病规律的预测以及防治策略的重要性日益突出。
根据疾病的发生、发展以及与之有关的阐述流行过程的特征，利用动力学的方法来研究传染病模型是十分重要的，目前对传染病的研究方法主要有描述性方面的研究、理论性方面的研究、分析性方面的研究和实验性方面的研究。
传染病动力学[1]是对传染病进行理论性定量分析的一种非常重要的方法，通过对动力学性态的定性分析和模拟实验[2]，来显示疾病的发展过程，揭示起流行规律，分析疾病流行的原因和关键因素，预测其变化发展趋势，为预防和控制的最优策略提供了有力的理论依据。
在早期的传染病动力学中大多数传染病模型都是假设种群的总是常数状态而保持人口数不变，而没有考虑到其它方面的因素，但这种假设仅存在于一些环境状态封闭，人口的生育率和自然死亡率相平衡，且不考虑其它各方面等因素的理想状态下成立。
随着传染病模型的不断发展和研究的不断深入，对各方面因素做了大量的研究，极大地丰富了传染病动力学理论。
程晓云，胡志兴等在2007年考虑了具有阶段结构因素研究了一类具有阶段结构的自治传染病模型的稳定性[3]；徐为坚研究了一类具有种群Logistic增长饱和传染率的SIS模型的稳定性和Hopf；杜艳可，徐瑞，段立江在经典的传染病模型上考虑了标准发生率[4-5]的因素，研究了一类具有标准发生率的传染病模型的全局稳定性；李健全，马知恩研究了一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析；付景超等在2008年研究了一类具有垂直传染和连续预防接种的SIRS 传染病模型[6-8]，得出了垂直传染和连续预防接种的稳定性分析；徐文雄，张仲华等研究了一类具有预防接种免疫力的双线性传染率SIR流行病模型全局稳定性；高淑京，滕志懂在2008年研究了一类具有饱和传染力和常数输入的SIRS 脉冲接种模型研究[9-11]。
收稿日期：2009-09-28基金项目：沈阳农业大学青年教师科研基金资助项目（20081021）；辽宁省博士启动基金项目（20081064）作者简介：宋贽（1982-）,女,沈阳农业大学助教,硕士,从事微分方程定性和分支理论的研究。
*通讯作者Corresponding author:惠淑荣（1963-）,女,沈阳农业大学教授,硕士,从事数学分析和应用数学研究。
沈阳农业大学学报，2010－02，41(1)：122-124Journal of Shenyang Agricultural University ，2010－02，41(1)：122-124SI n RS 传染病模型的稳定性分析宋贽，惠淑荣*，陶桂洪（沈阳农业大学理学院，沈阳110866）摘要：根据染病者不同个体病毒水平差异很大，把传统的染病者类I 分成n 个子类I k (k =1,2,…,n )，建立了SI n RS 传染病模型来研究传染力不同对疾病的影响，应用现代数学中的微分方程理论和非线性动力学的方法，得到了基本再生数的数学表达式及无病平衡点全局稳定性的阈值条件，讨论了影响疾病传播的主要因素，给出了仿真图。
关键词：SI n RS 传染病模型；全局稳定性；基本再生数；阈值中图分类号：O175.14文献标识码：A 文章编号：1000-1700（2010）01-0122-03Stability Analysis for an Epidemic ModelSONG Zhi,HUI Shu-rong*,TAO Gui-hong(College of Science,Shenyang Agricultural University,Shenyang 110866,China)Abstract ：An epidemic model was formulated by means of dividing classical infected population into n subgroups according to viral levels widely between infected individuals,the impact of variations in infectiousness was studied,and ordinary equation theory and nonlinear dynamics methods were used,the reproductive number and the threshold condition of global stability of the infection-free equilibrium were derived,discuss the main factors affecting the spread of disease were discussed and numerical simulations were corriedout.Key words ：SI n RS epidemic model;global stability;reproductive number;threshold传统的流行病模型大多假设所有易感者、染病者是等同的，事实上，这种假设仅当时间较短、环境封闭时成立，近期所研究的模型更加向实际靠拢，主要分为两个方面：（1）考虑易感类个体与染病者接触被传染上疾病的可能性不同把易感者按其易感性不同划分为n 个子群体，记作S i ,(i =1,2,…,n )，即S n IR 模型；（2）考虑染病类个体传染他人疾病的能力不同进一步分成n 个子群体，记作I i ,(i =1,2,…,n )，即SI n R 模型。
一类SIRS传染病模型的稳定性吴长青;黄勇庆;朱长荣【摘要】在总人口非常数条件下,研究了一类SIRS传染病模型的所有非负平衡点,以及平衡点的存在性、局部稳定性.运用微分方程定性理论证明了三维系统在不同条件下地方病平衡点分别是稳定平衡点、不稳定平衡点或退化平衡点.使用数学软件Matlab进行数值模拟,模拟结果很好地说明了本文结论的正确性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)005【总页数】6页(P596-601)【关键词】局部稳定性;稳定平衡点;不稳定平衡点;退化平衡点【作者】吴长青;黄勇庆;朱长荣【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆育才中学,重庆400050;重庆第一中学,重庆400030;重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O193传染病常常严重地影响着人们正常的日常生活,比如，流行感冒、天花，以及令人印象深刻的2008年的非典和现在依然流行的艾滋病,它们都是典型的可传播疾病.由于可传播疾病的厉害性，促使人们不断去研究传染病的传播规律.于是这就涉及到包括医学、数学、人文、地理等学科在内的传染病.而在数学上建立正确的传染病动力系统模型又是有效地研究传染病的重要一环.人们期待着从传染病动力系统模型的研究中去找到传染病的流行规律，进而有效地预防和阻止传染病的产生与传播；减少对人类生命的威胁和财产的损失.从Kermack等[1]研究1665-1666伦敦瘟疫开始，从数学的角度去研究传染病的传播规律就成为了研究和控制传染病的重要工具.之后，研究传染病模型的动力行为就成为了一个热门课题.经典的Kermack-Mckendrick模型是以仓室为单位，把人群分为3个仓室建立起的仓室模型，这3个仓室分别是带有传染病人群中的易感染者S、感染者I、移出者R.根据不同的仓室，又可以建立起相应的模型，其中主要包括了SIR[2]、SIS[3]、SIRS[4]和SEIRS[5]等模型.在这些动力系统模型当中有一个非常重要的因素是感染率.对于感染率，文献[6]曾在模型中引入饱和发生率g(I)S[7]，其中g(I)是感染者个体的增加量，g(I)=kI/(1+αI).Liu等[8]研究过更一般的发生率KSIi/(1+αIj)，参数i,j>0和α≥0.Song等[4]研究了发生率为kSI2/(1+βI+αI2)的传染病模型R′(t)=μI-(d+δ)R,(1)其中S(t)、I(t)和R(t)分别对应着t时刻的易感染者、感染者和移出者；b是人口出生率或迁入率；d是人口的自然死亡率；k是一个比例常数；μ是感染类中的自然恢复率；δ是移出类中由于失去免疫能力再次成为易感染者的比率；α是一个正参数；β是一个满足使得对于∀I≥0都有1+βI+αI2>0的正参数.在考虑传染病模型的时候，人们总要假定在总人口数不变的情况下，来考虑模型发生的动力性态.这将把三维的模型限制在三维空间上的一个超曲面去定性研究系统平衡点的稳定性和分岔.Song等[4]也以此做了类似的研究，它假设S+I+R=N，其中N为常数，在I-R平面内，研究了系统的稳定性和分岔情况.但是在现实生活当中又很难满足总人口不变的理想假设.所以一般而言，N不一定是常数，它总会随着时间的推移而改变.基于此，本文将在总人口为变量的假设下，以Ruan等[9]研究的方法为基础，研究模型(1)的动力性态.1 平衡点及其动力性态为了使计算简便，在系统(1)中需要引入一些同胚变换.令则系统(1)转化为下面等价的系统z′=qy-z,(2)其中,结合实际，取参数α≥0,β≥0,0<b<1,0<d<1,0<δ<1,0<μ<1，从而系统(2)中的对应参数范围为B>0,0<r<1,0<u<1,m≥0,n≥0,p>0,q>0.1.1 方程(2)的平衡点下面考察系统(2)的平衡点.系统(2)的平衡点是下面代数方程的解：(3)从方程组(3)中可以看到无论参数取何值，都存在唯一无病平衡点除此之外，(3)式还有地方病平衡点.如果y≠0，由(3)式的第2、3个方程可得(4)然后再把方程(4)代入方程组(3)中的第一个方程有(prn+p-uq)y2-(B-prm)y+rp=0.(5)根据同胚变换中的参数关系有进而prn+p-uq>0.注意到(5)式是一个一元二次方程，其判别式为Δ=(B-prm)2-4rp(prn+p-uq).定理 1 对于系统(2)中的平衡点，利用根与系数的关系可能出现以下几种情况：(i) 当Δ<0时，系统(2)只存在平衡点E0；(ii) 当且仅当Δ=0和B-prm>0时，系统(2)有平衡点E0和唯一正平衡点E*=(x*,y*,z*),其中(iii) 当且仅当Δ>0和B-prm>0时，系统(2)有平衡点E0和2个正平衡点Ei=(xi,yi,zi)，i=1，2，其中yi=i=1，2.关于正平衡点又称之为地方病平衡点.从系统(1)和(2)当中可以看到，随着出生率、死亡率和移除率的改变会影响到Δ和B-prm的符号，这就可能会造成系统平衡点的个数发生变化.为此，本文将针对这一变化情况加以讨论.1.2 无病平衡点的动力性态首先讨论无病平衡点E0的稳定性，系统(2)在无病平衡点E0处的Jacob矩阵为直接计算可知,矩阵J0对应的3个负特征根分别为：λ1=-r,λ2=-p,λ3=-1.于是可得下面的结论.定理 2 系统(2)的无病平衡点E0是局部渐进稳定的.如图1,当系统(2)只存在无病平衡点E0=(6.74,0,0)，即参数值为：B=6.2，r=0.92，m=1.6，n=0.4，u=0.08，p=3.2，q=2.28时，图1(a)～(d)分别是系统(2)在此平衡点附近的S(t)、I(t)、R(t)和SIR图像，它是局部渐进稳定的.1.3 地方病平衡点E*的动力性态系统(2)在平衡点E(x,y,z)处所对应的线性化矩阵为(a) 易感染人群的变化趋势 (b) 感染人群的变化趋势(c) 移除人群的变化趋势 (d) 系统的SIR相图图 1 无病平衡点的渐进稳定性Fig. 1 The asymptotic stability of free-equilibrium(6)其中矩阵M(E)所对应的行列式为其符号与下式相反(7)矩阵M(E)的迹为tr(M(E))=其符号与下式相反T(y)=(prn+nr+n+1)y2+m(1+r)y+1+r-p.(8)定理 3 系统(2)的平衡点E*是退化平衡点.证明当Δ=0时，系统(2)存在平衡点E*.由(7)式计算可知：det(M(E*))=0，所以系统(2)在E*处是退化的.注1 Δ=0，在E*处矩阵(6)对应的行列式det(M(E*))=0，可能出现以下2种情况：1) 若(B-prm)2(pn+nr+uq+1)+2mr(B-prm)(prn+p-uq)+4(r-p)(prn+p-uq)2≠0,则系统(2)有一个零特征根.2) 若(B-prm)2(pn+nr+uq+1)+2mr(B-prm)(prn+p-uq)+4(r-p)(prn+p-uq)2=0,则系统(2)有2个零特征根.这时系统一般会根据参数的变化发生不同的分岔现象.如图2,当Δ=0时，系统(2)存在平衡点E0=(2.4,0,0)和E*=(1.20,0.833,0.367)，参数取值为：B=1.334，r=0.56，m=0，n=0，u=0.44，p=1，q=0.44.图2显示的是系统(2)在平衡点E0是局部渐进稳定的，E*的稳定情况将会随着参数的变化而变化.如果Δ<0，相图将转化为图1，如果Δ>0，相图转化为图3.图2 Δ=0时系统的SIR相图Fig. 2 The phase diagram of SIR at Δ=01.4 地方病平衡点E1的动力性态平衡点E1的稳定性较复杂，它可以是稳定的，也可以是不稳定的，这依赖于不同参数的选取.定理 4 当Δ>0时，如果q>1，且有不等式(pn+nr+n+1)<m(1+r)](prn+p-uq)成立，则点E1是系统(2)的不稳定平衡点.证明由(7)式可得det(M(E1))>0.同时tr(M(E1))>0.所以E1为系统(2)的不稳定平衡点.为了判定平衡点E1的稳定性，先引入一个式子定理 5 当Δ>0时，如果q≤1，或(pn+nr+n+1)>m(1+r)](prn+p-uq)成立，且存在Ψ(M(E1))·tr(M(E1))-det(M(E1))<0，则系统(2)在平衡点E1处是稳定的.证明根据定理4，平衡点E1处的线性化矩阵对应的行列式det(M(E1))<0.在定理5中的条件成立下，结合(8)式有tr(M(E1))<0.在平衡点E1处计算得(H+Rn+m2r+2p)y2+m(r+R)y+R,图3 Δ>0时系统的SIR相图Fig. 3 The phase diagram of SIR at Δ>0其中，H=1+prn+p+pn+nr-uq,R=r-p-pr.由Routh-Hurwitz[10]判定准则，如果满足条件Ψ(M(E1))tr(M(E1))-det(M(E1))<0，则平衡点E1是局部渐进稳定的.如图3,当Δ>0时，系统(2)此时存在无病平衡点E0=(11.4,0,0)，正平衡点E1=(8.14,2.30,0.97)和正平衡点E2=(3.40,5.64,2.37),并且E0和E1是局部稳定的，E2是不稳定的.该图展示的是系统(2)在此种参数情况下的SIR图像；这种情况下的参数取值为：B=8.9，r=0.78，m=1.6，n=0.3，u=0.22，p=1.2，q=0.42.1.5 地方病平衡点E2的动力性态定理6 当Δ>0时，如果系统(2)满足下列条件之一，则地方病平衡点E2是其鞍点：1) μ≤d+δ;2) μ>d+δ，并且(pn+nr+n+1)>m(1+r)](prn+p-uq).证明由(7)式有不难证明(B-prm)2+所以D(y2)<0，则det(M(E2))>0，进而E2是系统的不稳定平衡点.如果1)成立，则T(y2)>0，即tr(M(E2))<0.如果2)成立，由于μ>d+δ，则方程T(y)=0有正根注意到T(y)是单调增函数，当条件2)满足时有则tr(M(E2))<0.综上所述，如果定理中有一个条件成立，则有tr(M(E2))<0,det(M(E2))>0，所以平衡点E2是其鞍点.2 数值模拟下面运用Matlab进行数值模拟，其目的一是通过数值模拟可以进一步验证本文理论的科学性；其二在于，通过图像能更加清晰地表达出系统(2)的解在随其参数变化情况下所反映出的不同情况.下面把本文在数值模拟中所使用到的参数值归类如下：1) B=6.2，r=0.92，m=1.6，n=0.4，u=0.08，p=3.2，q=2.28.系统(2)只存在无病平衡点E0=(6.74,0,0)，并且局部渐进稳定(图1).2) B=1.334，r=0.56，m=0，n=0，u=0.44，p=1，q=0.44.系统(2)存在平衡点E0=(2.4,0,0)和平衡点E*=(1.20,0.833,0.367)，并且E0是局部渐进稳定的，E*是不稳定的(图2).3) B=8.9，r=0.78，m=1.6，n=0.3，u=0.22，p=1.2，q=0.42.系统(2)存在3个平衡点E0=(11.4,0,0)，E1=(8.14,2.30,0.97)和E2=(3.40,5.64,2.37)，其中E0和E1是局部渐进稳定的，而E2则是不稳定的(图3).3 结束语本文主要是在带有非线性发生率的传染病模型(1)的基础之上，分析了一个SIRS三维模型的稳定性.对于整个过程，主要分为三步：第一步讨论无病平衡点的局部稳定性；第二步是讨论地方病的局部稳定性；最后是数值模拟验证了本文所有结论的正确性.相比其他文献，本文最大的优点是在没有降低模型维数情况下，讨论了模型的稳定性态，不仅还原了模型本身，也使得结果更加准确.同时也用数学软件很好地验证本篇论文结论的科学性.这是回归模型，回归系统本身，也体现了模型具体的价值.参考文献【相关文献】[1] KERMACK W O, MCKENDRICK A G. 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一类带接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析摘要众所周知，传染病严重影响人类的健康，并在一定程度上会阻碍社会经济的发展。
因此，寻求疾病的最优预防与控制策略是当今社会重要的研究课题。
而传染病动力学则是对传染病进行定量研究的一门重要学科。
早在1927年，Kermack与McKendrick利用动力学的方法建立了SIR仓室模型。
当考虑易感者（S）在感染病菌后不会立即发病，例如：HIV病毒，这样即可建立SEIR模型。
本文主要研究了一类带有接种疫苗的SEIR传染病模型的定性分析。
首先，通过研究模型本身的等价系统，给出了基本再生数的显式表达式；其次，应用常微分方程的平衡点局部稳定性及全局稳定性的判断依据，讨论了无病平衡点以及地方病平衡点的存在性和稳定性。
关键词：SEIR传染病模型，基本再生数.无病平衡点，地方病平衡点引言传染病是由细菌、貞•菌或病毒等病原体或蠕虫等寄生虫感染人或者其他生物后所产生的能在种群中相互传播的疾病。
历史上一次又一次的大规模传染病盛行给人类生存和国民生计带来了巨大的灾难。
长期以来，人类都在与传染病进行不屈不挠的斗争。
20世纪以来，人类在征服传染病的路上取得了辉煌的成就。
肆虐千年的天花病毒被消火了：麻风、脊髓灰质炎消失的日子也不远了；百日咳、白喉等疾病已经在许多国家得到了遏制；众多抗生素的问世，也使得一度令人闻风丧胆的瘟疫不能再危害社会。
然而世界卫生组织发表的报告中表明，传染病依旧是危害人类健康的第一杀手。
以95年的数据为例，全世界5200万死亡人口中，丧命于传染病的有1700 万，将近三分之一。
近20年来，AIDS、霍乱、疯牛病、SARS和甲型Hl\l流感等恶性突发疾病给人类社会带来了巨大危害，其至一些老的传染病如鼠疫等也死灰复燃，这种悄况已经引起了全球的高度重视，如何对这类传染病发展做出科学预测，并实施有效手段的问题已经得到业界工作者的普遍关注。
数学作为一门基础学科，到如今已经渗透到了科学研究领域的各个方面。
