松江二中2022学年第二学期期中考试高一数学考生注意：1.试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟；2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括三部分；3.答题前，务必在答题纸上填写姓名、班级和考号.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.半径为2且周长为6的扇形的面积是__________．2.设集合{}12|A x x =<<－，{}|B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是________．3.已知向量1(4,3)e =- ，2(2,1)e m m =+- ，且12//e e，则实数m 的值为_____．4.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A =，则ABC 的形状是________三角形．5.若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则α=__________.6.方程π12x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的解为_______．7.不等式3lg 3xx +≤的解集是__________．8.函数ππ()2sin()0,0,22f x x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则⋅=ωϕ____．9.菱形ABCD 的边长为4，30BAD ∠=︒，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AB AN ⋅的最大值为______．10.若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则OM ON +=_______.11.设平面向量a ，b ，c 满足：3a = ，b c= ，1a b -= ，b c ⊥ ，则b c - 的取值范围是__________．12.记()(){|sin A f x x θωθ==+为偶函数，ω是正整数}，()(){|10}B x x a x a =---<，对任意实数a ，满足A B ⋂中的元素不超过两个，且存在实数a 使A B ⋂中含有两个元素，则ω的值是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（）A.sin y x =B.2log y x =C.cos y x x =-D.e e x xy -=-14.若π3π,22⎛⎫∈⎪⎝⎭α，且π3cos 2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α可以为（）A.6-B.89C.18-D.1718-15.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足112663OP OB OC =++，则△ACO 与△CBP 面积比为（）A.5:6B.3:4C.2:3D.1:216.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知O 是坐标原点，(2,3),(1,4)OA OB ==，（1）求向量OB 在OA方向上的投影向量的坐标和数量投影；（2）若3OC OA = ，3OD OB = ，2OE OA OB =+，请判断C 、D 、E 三点是否共线，并说明理由.18.已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.（1）求()cos αβ-的值；（2）求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.19.如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长||AB =，记弓形花园的顶点为M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，使得喷泉M 与山庄O 的距离最大？喷㬌M 与山庄O 的距离最大？20.已知函数()sin cos sin cos 1(,,R)f x a x b x c x x a b c =+++∈.（1）当0a b ==，1c =时，求函数()y f x =的单调增区间；（2）当1a =，0c =时，设()()1g x f x =-，且函数()g x 的图像关于直线π6x =对称，将函数()y g x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()y h x =，求解不等式()1h x ≥；（3）当3a =，2b =，0c =时，若实数m ，n ，p 使得()()1mf x nf x p +-=对任意实数x 恒成立，求cos 2023pm n+的值.21.已知函数()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++，且π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求a 的值，并求出()y f x =的最小正周期（不需要说明理由）；（2）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域；（3）是否存在正整数n ，使得()y f x =在区间[]0,πn 内恰有2025个零点，若存在，求由n 的值；若不存在，说明理由.松江二中2022学年第二学期期中考试高一数学考生注意：1.试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟；2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括三部分；3.答题前，务必在答题纸上填写姓名、班级和考号.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.半径为2且周长为6的扇形的面积是__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意求得弧长2l =，结合扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的弧长为l ，由题意可得226l ++=，即2l =，又由扇形面积公式，可得扇形的面积为1122222S lr ==⨯⨯=.故答案为：22.设集合{}12|A x x =<<－，{}|B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是________．【答案】()1,-+∞【解析】【分析】A B ⋂≠∅，故1a >-，得到答案.【详解】{}12|A x x =<<－，{}|B x x a =<，A B ⋂≠∅，故1a >-.故答案为：()1,-+∞3.已知向量1(4,3)e =- ，2(2,1)e m m =+- ，且12//e e，则实数m 的值为_____．【答案】10【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标表示，即可求解【详解】解：因为12//e e，所以()()4132m m -=-+，即3644m m --=-，解得10m =，故答案为：10.4.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A =，则ABC 的形状是________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】由cos cos a B b A =结合正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，即in 0()s A B -=，结合A 、B 范围即可得到答案.【详解】因为cos cos a B b A =，由正弦定理，得sin cos sin cos A B B A =，即in 0()s A B -=，又(0,)A π∈，(0,)B π∈，所以(,)A B ππ-∈-，所以0A B -=，即A B =，所以ABC 是等腰三角形.故答案为：等腰【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，涉及到两角差的正弦公式，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题.5.若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以3πtan ,36αα==.故答案为：π66.方程π12x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的解为_______．【答案】3π4x =【分析】根据给定条件，利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解作答.【详解】依题意，π2cos(22x -=，而π(,π)2x ∈，即ππ(0,)22x -∈，因此ππ24x -=，解得3π4x =，所以所求方程的解为3π4x =.故答案为：3π4x =7.不等式3lg 3xx +≤的解集是__________．【答案】(]0,1【解析】【分析】设()3lg x f x x =+，判断其单调性，根据函数的单调性即可求得不等式.的解集.【详解】由题意可设()3lg x f x x =+，定义域为(0,)+∞，由于3,lg x y y x ==在(0,)+∞都单调递增，故()3lg x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，且(1)3f =，故不等式3lg 3x x +≤的解集是(]0,1，故答案为：(]0,18.函数ππ()2sin()0,0,22f x x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则⋅=ωϕ____．【答案】2π3-【解析】【分析】由函数()f x 的图象，求得πT =，得到2πT ω=，再由5π(212f =，求得π3ϕ=-，【详解】由函数()y f x =的图象，可得111π5ππ212122T =-=，即πT =，所以2π2Tω==，即()2sin(2)f x x ϕ=+，又由5π()212f =，可得5π5πsin(2)sin()1126ϕϕ⨯+=+=，解得5ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈，可得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以ππ3322()ωϕ⋅-=⨯=-.故答案为：2π3-.9.菱形ABCD 的边长为4，30BAD ∠=︒，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AB AN ⋅的最大值为______．【答案】16+##16+【解析】【分析】设(01,01)AN xAB y AD x y =+≤≤≤≤，根据数量积的运算律得到16A x B AN =⋅+，即可得解.【详解】设(01,01)AN xAB y AD x y =+≤≤≤≤，则()AB AN AB x AB y AD ⋅=⋅+ 2xAB y AB AD=+⋅ 2cos x AB y AB A BA D D=∠+⋅2164cos3016x y x =+⨯⨯︒=+，所以当1x =，1y =时，AB AN ⋅取得最大值16+．故答案为：16+．10.若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则OM ON +=_______.【答案】π【解析】【分析】画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,进而求解即可【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,则M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以(),0OM ON π+=,所以||OM ON π+=,故答案为:π【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想11.设平面向量a ，b ，c满足：3a = ，b c = ，1a b -= ，b c ⊥ ，则b c - 的取值范围是__________．【答案】⎡⎣【解析】【分析】根据题设条件，设出,,a b c的坐标，利用坐标运算进行求解【详解】依题意，设(3cos ,3sin )a θθ=，(,0),(0,)b t c t == ，R t ∈.根据1a b -=r r ，即(3cos ,3sin )1t θθ-=，即()223cos (3sin )1t θθ-+=，整理得286cos t t θ+=.显然0t ≠，否则(0,0)0b ==，1a b a -==r r r ，与已知矛盾，故286cos t t θ+=可得28cos 6t tθ+=.由28cos 16t t θ+=≤，即2680t t -+≤，故()()240t t --≤，解得24t ≤≤.故(),b c t t ⎡-=-=∈⎣.故答案为：⎡⎣12.记()(){|sin A f x x θωθ==+为偶函数，ω是正整数}，()(){|10}B x x a x a =---<，对任意实数a ，满足A B ⋂中的元素不超过两个，且存在实数a 使A B ⋂中含有两个元素，则ω的值是__________．【答案】4、5、6【解析】【分析】根据()()sin f x x ωθ=+偶函数，ω是正整数，推断出θ的取值范围，相邻的两个θ的距离是22πω，依照题意列不等式组，求出ω的值．【详解】由题意得{}|1B x a x a =<<+．∵()(){|sin A f x x θωθ==+为偶函数，ω是正整数}，∴21{|,,*}{|,,*}22k A k k Z N k Z N πθωθπωθθπωω+==+∈∈==∈∈，∵对任意实数a ，满足A B ⋂中的元素不超过两个，且存在实数a 使A B ⋂中含有两个元素，∴A 中任意相邻的两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1．∴212{2212πωπω<⨯≥，解得2πωπ<≤，又*N ω∈，∴4,5,6ω=．答案：4,5,6．【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和周期性，以及根据集合的运算关系，求参数的值，关键是理解212{2212πωπω<⨯≥的意义，强调抽象思维与灵活应变的能力．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（）A.sin y x =B.2log y x =C.cos y x x =-D.e e x xy -=-【答案】D 【解析】【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数sin y x =在定义域R 上不是严格的单调函数，不符合题意；对于B 中，函数2log y x =的定义域为(0,)+∞，所以为非奇非偶函数，不符合题意；对于C 中，函数()cos f x x x =-，可得()()cos()cos f x x x x x f x -=---=--≠，所以函数()f x 不是奇函数，不符合题意；对于D 中，函数()1e ee exxx x f x -=-=-，在定义域R 上严格的单调递增函数，且()()()e e e e xx x x f x f x ---=-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，符合题意.故选：D.14.若π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，且π3cos 2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α可以为（）A.6-B.89C.18-D.1718-【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式得到()2223cos sin sin )2αααα-=-，即可得到cos sin 6αα+=或cos sin 0αα-=，再将上式平方即可得解；【详解】因为π3cos 2cos 4αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()2243cos sin cos co c ππ4ssin os αααα-=-，所以()2223cos sin (cos sin )2αααα-=-，即()()3cos sin cos sin (cos sin )2αααααα-+=-，解得2cos sin 6αα+=或cos sin 0αα-=，当2cos sin 6αα+=时，()281cos sin 1αα+=，2281cos 2cos sin sin 1αααα++=，即11sin 218α+=，解得17sin 218α=-；当cos sin 0αα-=时，()2cos sin 0αα-=，22cos 2cos sin sin 0αααα-+=，即1sin 20α-=，解得sin 21α=.故选：D15.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足112663OP OB OC =++，则△ACO 与△CBP 面积比为（）A.5:6B.3:4C.2:3D.1:2【答案】D 【解析】【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得2OP OA =，故P 为OA 中点，进而可得面积比.【详解】由O 是△ABC 的重心，得0OA OB OC ++=，而112663OP OB OC =++，则64OB OC OP OA +=- ，故2OP OA =，所以点P 为OA 中点，即点P 、点O 为BC 边中线的两个三等分点，所以211323ACO ABC ABC S S S =⨯= ，23CBP ABC S S = ，所以△ACO 与△CBP 面积比为1:2.故选：D16.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52【答案】C 【解析】【分析】由题意可可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b = ，2t b a = ，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论．【详解】解：2cos |Z 2a a b n a b n b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭ ，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭．又由||||0a b >，可设m ∈Z ，Z t ∈，令2m a b = ，2t b a = ，且0m t ≥>又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出3,1m t ==所以322m a b == ．故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知O 是坐标原点，(2,3),(1,4)OA OB ==，（1）求向量OB 在OA方向上的投影向量的坐标和数量投影；（2）若3OC OA = ，3OD OB = ，2OE OA OB =+，请判断C 、D 、E 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）坐标2842,1313⎛⎫⎪⎝⎭，数量投影是141313（2）共线，理由见解析【解析】【分析】（1）根据投影向量和投影的公式，准确计算，即可求解；（2）根据平面向量的共线的坐标表示，得到3CD CE =，即可求解.【小问1详解】解：由向量(2,3),(1,4)OA OB ==，可得213414OA OA OB =⋅=⨯+⨯= 则投影向量的坐标是||cos OB OA < ，2842,1313||||||OA OA OB OA OB OA OA OA ⋅⎛⎫>⋅=⋅= ⎪⎝⎭，数量投影是||cos OB OA <，13||OA OB OB OA ⋅>== ，即向量OB 在OA 方向上的数量投影是141313.【小问2详解】解：C 、D 、E 三点共线，理由：向量(2,3),(1,4)OA OB ==，因为3OC OA = ，3OD OB = ，2OE OA OB =+，可得(6,9)OC = ，(3,12)OD = ，(5,10)OE =，所以(3,3)CD OD OC =-=- ，(1,1)CE OE OC =-=-，可得3CD CE =，所以C 、D 、E 三点共线.18.已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，5sin 5β=-.（1）求()cos αβ-的值；（2）求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【答案】（1）10（2）1-，3π4【解析】【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【小问1详解】π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，72sin 10α∴=，2cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=-，cos β∴=，25257210cos()cos cos sin sin 51051010αβαβαβ∴-=+=⨯-=-.【小问2详解】由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-<，3π24αβ∴-=.19.如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长||AB =，记弓形花园的顶点为M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，使得喷泉M 与山庄O 的距离最大？喷㬌M 与山庄O 的距离最大？【答案】（1）||OA θ=，π||6OB θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）当||||OA OB ==+OM 的最大值4+.【解析】【分析】（1）根据题意和正弦定理，即可求得||OA θ=，π||6OB θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）在OMB △中，由余弦定理化简得到22π||2283OM θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图像与性质，即可求解.【小问1详解】解：在OAB 中，由正弦定理得||||||sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，因为6AOB π∠=，||AB =，所以56OAB πθ∠=-，所以||OA θ=，5ππ||66OB θθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】解：因为||AB =，π6MAB MBA ∠=∠=，所以||||2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理易知222π||||||2||||cos 6OM OB BM OB BM θ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+⎪⎝⎭，即22πππ||48sin 4cos 666OM θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ππ48sin 2428263θθ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ24cos 222833θθ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π1πcos 2sin 2282323θθ⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦2π2283θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π2π7π2,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π23sin 21,32θ⎡⎫⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，当2πsin 213θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即5π12θ=时，2||OM取最大值28+即OM取最大值4+此时5πππ||1264OA ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭5ππππ||12643OB ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当||||OA OB ==+OM取最大值4+.20.已知函数()sin cos sin cos 1(,,R)f x a x b x c x x a b c =+++∈.（1）当0a b ==，1c =时，求函数()y f x =的单调增区间；（2）当1a =，0c =时，设()()1g x f x =-，且函数()g x 的图像关于直线π6x =对称，将函数()y g x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()y h x =，求解不等式()1h x ≥；（3）当3a =，2b =，0c =时，若实数m ，n ，p 使得()()1mf x nf x p +-=对任意实数x 恒成立，求cos 2023pm n +的值.【答案】（1）πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）22π,π2π,Z 3k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（3）11012-【解析】【分析】（1）根据题意得到1()sin 212f x x =+，结合正弦型函数的性质，即可求解；（2）根据题意得到1322b +=b =，得到π()2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合图象的变换求得()2sin π6h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由不等式()1h x ≥，即π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即可求解；（3）化简得到())1f x x ϕ=++，求得())1f x p x p ϕ-=+-+，转化为cos )sin()sin cos()(1)0m n p x p x m n ϕϕ++-+++-=，得到方程组，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：当0a b ==，1c =时，可得函数1()sin cos 1sin 212f x x x x =+=+，令ππ2π22π,Z 22k x k k -≤≤+∈，所以单调增区间为πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】解：当1a =，0c =时，可得sin cos ()()1)x b x x g x f x θ=-=+=+，其中tan b θ=，因为()g x 关于直线π6x =对称，可得max π()6g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭1322b +=b =，所以π()sin 2sin 3g x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数()y g x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()2sin π6h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()1h x ≥，即π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则ππ52ππ2π,Z 666k x k k +≤+≤+∈解得22ππ2π,Z 3k x k k ≤≤+∈，所以不等式的解集为()22π,π2πZ 3k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；【小问3详解】解：当3a =，2b =，0c =时，则()3sin 2cos 1f x x x =++，可得())1f x x ϕ=++，则())1f x p x p ϕ-=+-+，其中π02ϕ<<且2tan 3ϕ=，于是()()1mf x nf x p +-=，sin()sin()1x x p m n ϕϕ+++-++=，sin()sin()cos sin cos()(1)0x x p p x m n ϕϕϕ+++-+++-=，cos )sin()sin cos()(1)0m n p x p x m n ϕϕ++-+++-=.由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 0(1)sin 0(2)10(3)m n p n p m n +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，若0n =，则由（1）知0m =，显然不满足（3）式，故0n ≠，所以由（2）知sin 0p =，故ππ2p k =+或π2Z ,p k k =∈，当2πp k =时，cos 1p =，则（1）、（3）两式矛盾，故2,Z p k k ππ=+∈，cos 1p =-由（1）、（3）知12m n ==，所以cos 120231012p m n =-+.21.已知函数()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++，且π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求a 的值，并求出()y f x =的最小正周期（不需要说明理由）；（2）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域；（3）是否存在正整数n ，使得()y f x =在区间[]0,πn 内恰有2025个零点，若存在，求由n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）9a =-，函数()f x 的最小正周期为πT =（2）1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数506n =，理由见解析【解析】【分析】（1）根据π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭代入即可求解a 的值．因为sin cos sin 2x x x 、、的周期是都π，故得函数()f x 的最小正周期；（2）根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++，设πsin cos4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，转化为二次函数求解；（3）分类讨论π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，将()y f x =转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而得解.【小问1详解】函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，∵π134f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴πππsincos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-，所以()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++，因为sin cos sin 2x x x 、、的周期是都π，又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数()f x 的最小正周期为πT =.【小问2详解】若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++，设πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，则2sin22sin cos 1x x x t ==-，所以()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣，所以其值域为1,1316⎡--⎢⎣；【小问3详解】存在正整数506n =，使得()0f x =在区间[]0,πn 内恰有2025个零点．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++．设πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则2sin22sin cos 1x x x t ==-，于是()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+，令24950t t -+=，得1t =或54t ⎡=∈⎣，此时π0,2x =，或00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭或0π2x x =-，其中0π52sin 48x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++．设(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，则2sin22sin cos 1x x x t ==-，于是()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+，令249130t t --+=，解得1t =或(134t =-∉，故()f x 在π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭没有实根．综上，()0f x =在[)0,π上有4个零点，又()f x 的最小正周期为πT =，而202545061=⨯+，所以函数在[]0,506π有2025个零点．。
