西南科技大学2007年第二学期期末考试试题（A卷）答案
理学院: 课程名称：《泛函分析》课程代码： 1466 命题人：课程组
学院：专业班级：学号：命题共5页
一、填空题：（20个小题，每小题3分,共计60分）
1、(3分)值域为数域的映射叫泛函。
2、(3分)凡与自然数集N等势的集合称为可数集或可列集。
3、(4分)如果有两个映射,且,则称是在集上的延拓或扩张。
4．定义了某种半序关系的集合（）就称为半序集。
5．设是线性空间X中的两个点，则集合称为以为端点的区间或线段，记作。
6．设是线性算子，则集合称为f的核或f的零空间，记作kerf或N(f).
7．设是实数或复数域上线形空间,其中定义了一个二元数值函数：,满足下列条件：,
1°对第一变元的线性：；
2°共轭对称性：；
3°正定性：且.
则称是X上的内积。
8．现设A是内积空间X的子集，，如果存在A中的点列，使得，则称是集合A的接触点。
9．如果集合，则称A是闭集。
10．当，称A是X中的稠集。
11．如果内积空间中所有的Cauchy列都收敛，则称此空间为完备的。12．对有界线性泛函定义由有界线性泛函的定义，称为有界线性泛函的范数。
13．设A，BX，如aA, bB,有ab,则称A与B正交。
14．内积空间中的量称为的范数，即表示向量的长度。
15．完备的赋范线性空间称为Banach空间。
17．内积空间X的子集称为标准正交集，如果E中任意两个不同元素互相正交。
18．如是有界线性算子, 称为的范数。
19．设满足的唯一的算子称为算子的伴随算子，记作。
20．设X为一集合，T：XX是空间X上的一个自映射或者自映象（self-map）.如果，使得T,则称为映射T的一个不动点（Fixed point）。
二、证明题（2个小题，每小题15分,共计30分）：
1、(15分)证明定理(Cauchy-Schwarz不等式) 设是X上内积,则,。
证当时上式显然成立。现设，有。
令，上式化为
=，故（1）式成立。
2、(15分)证明变分引理设H是Hilbert空间，K是H中非空凸集，hH,则K中存在唯一的点k使得
|| h - k|| = inf{ || h - k|| : kK}.
证由于|| h - k|| 0,所以非负数集{ || h - k|| : kK}的下确界是存在的.先假设h = 0,则要证明存在唯一向量kK,
使得
|| k|| = inf {|| k ||: kK } ,
即要找K 中具有最小范数的元素k.记
d = inf {|| k ||: kK } ,
由下确界的性质,序列{k}K , 使得 || k|| d , 用平行四边形公式推出
|| || = ( || k|| + || k||) - || ||.
因K是凸集, ( k+k) K ,所以|| ||d,> 0 ,nN , 使
得当n n时,有
|| k||< d+ .
由上面的等式 , 当 n , m n时 ,有
|| ||< ( 2 d+) - d = ,
即 || k+k|| < , 因而{ k} 是Cauchy列，由于H是Hilbert空间， kH ，k k，由于K是闭集，kK ，且|| k- k||0.
d || k|| = || k- k+ k||
|| k- k|| + || k|| d ,
所以 || k|| = d .
为了证明k的唯一性，设hK , 且 || h|| = d .由凸性，||（k+ h）|| K ，因而
d ||（k+ h）|| ( || k|| + || h|| ) = d ,
所以 || || = d , 由平行四边形公式，
d = || ||= （|| k||+|| h||）- || ||
= d - || ||，
故 || ||= 0 ，即得 k= h.
现考虑h 0 的一般情况 .令
K – h { k – h : kK} ,
则K – h也是闭凸集 . 故存在唯一的kK – h ,
|| k|| = inf { || k – h || : kK} ,
因而存在唯一的kK ，使得k= k- h , 即
|| k- h || = inf { || h – k || : kK} .
三、应用题（本题10分）：
压缩映射原理（Banach不动点原理），若d() 即 则称T：XX为
Banach压缩映象.设是一个完备的距离空间，T：XX为Banach压缩映象，则T在X中有唯一的不动点且Picard迭代序列满足，
。
证明：任取一点，定义迭代数列如下： n=0,1,2,…
①先证明是Cauchy列：
即⑴由于，，故时，，这就证明了是Cauchy列，则，固定.
②再证明不动点的存在与唯一：设，此时我们应该首先想到距离空间里的三角不等式，在这里的具体体现就是，对不等两端去极限，即0，则，是T在X中的一个不动点；如果T还有另一个不动点，则，由=，推出，=0，=，故T的不动点唯一。
