平面图形的认识(一) 检测卷(含答案)

第六章平面图形的认识(一) 检测卷(总分100分时间90分钟)一、选择题（每小题3分，共30分）1．图中射线AB、线段MN能和直线PQ相交的是( )2．如图，若AB＝DE，则( )A．AD＝EB B．AC＝ECC．BC＝DC D．AB＝BC3．已知∠α＝32°，求∠α的补角为()A．58°B．68°C．148°D．168°4．借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角( )A．65°B．75°C．85°D．95°5．如图，直线AB、CD交于O点，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O点，若∠BOC＝80°，则∠DOF等于( )A．100°B．120°C．130°D．115°6．下列语句中，正确的是( )A．射线AB与射线BA表示同一条射线B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．D．直线l1∥l2，l2//l3，则l1∥l3，理由是等量代换7．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数和互余两角的对数分别为( )A．3；3 B．4；4C．5；4 D．7；58．点P是直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离是( )A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm9．已知AB＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的长是( )A．5 cm B．11cm C．5 cm或11 cm D．不确定10．已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于( )A．120°B．120°或60°C．30°D．30°或90°二、填空题（每小题3分，共30分）11．如图，用文字或字母符号表达它们的关系_______．12．如图，以OD为一边的角有_______，它们之间的大小关系用“>”连接为_______．13．如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若BM＝5cm，BC＝2cm，则AB 的长是_______．14．计算：71°28'36"－35°31'42"＝_______．15．一次测验从开始到结束，手表的时针转了50°的角，这次测验的时间是_______．16．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOD＝104°，则∠BOM＝_______．17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°．(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是_______，(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是_______．18．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内不同的n 个点最多可确定15条直线，则n的值为_______．19．如图是幼儿园跷跷板的图形，其横板AD通过点O，它可以绕点O上下转动，若∠OCA ＝90°，∠CAO＝20°，且∠CAO＋∠AOC＝90°，则小朋友玩该跷跷板时，上下最多可转动_______度的角．20．把一张长方形纸条按图6－10的方式折叠后，量得∠AOB'＝110°，则∠B'OC＝_______．三、解答题（本题共6小题，共40分）21．（4分）如图，在方格纸上有一条线段AB和一点C．(1)过点C画出与AB平行的直线；(2)过点C画出与AB垂直的直线．22．（6分）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C；(2)过点P画OA的垂线，垂足为H；(3)线段PH的长度是点P到_______的距离，_______是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_______（用“<”号连接），其根据是___________．23．（5分）一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数．24．（5分）如图，AOC为一直线，OD是∠AOB的平分线，∠BOE＝12∠EOC，∠DOE＝72°．求∠EOC的度数．25．（6分）已知A、B、C三点在同一条直线上，AB＝100cm，BC＝35AB，E是AC的中点，求BE的长．26．（8分）如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB．(1)画出符合要求的图形；(2)如果∠AOB＝30°，其他条件不变，则∠COD＝_______°；(3)如果(2)中∠AOB＝α°，其他条件不变，则∠COD＝_______°；(4)结合(1)中画图和(2)(3)的结果，你从中能看出什么规律（用一句话来归纳）27．（8分）如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC 和BC的中点．(1)若点C恰好是AB中点，则DE＝_______cm；(2)若AC＝4cm，求DE的长；(3)试说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；(4)如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE＝60°与射线OC的位置无关．参考答案1—10 DACBC CCCDB11．直线AB和直线BC相交于点B12．∠DOA，∠DOB，∠DOC；∠DOA>∠DOB>∠DOC13．8 cm14．35°56'54"15．100分钟16．142°17．(1)北偏东70°；(2)南偏东40°18．六19．40°20．35°21．如图所示，(1)直线CD即为所画平行线；(2)CB即为所画垂线．22．(1)(2)如图答．(3)OA，CP的长度，PH<PC<OC，垂线段最短．23．65°24．72°．25．80cm或20cm26．(1)有4种情况，如图所示：(2)30°或150°；(3)a°或(180°－a°)；(4)如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补．27．(1)6 (2)6cm。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.【答案】（1）解：∵而同理：∴∴（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：（3）解：仍然成立.理由如下：∵又∵∴【解析】【分析】（1）先计算出再根据（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．2．如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；（2）若AC=6cm，求DE的长；（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．【答案】（1）解：∵点C恰为AB的中点，∴AC=BC= AB=8cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC=4cm，CE= BC=4cm，∴DE=8cm（2）解：∵AB=16cm，AC=6cm，∴BC=10cm，由（1）得，DC= AC=3cm，CE= CB=5cm，∴DE=8cm（3）解：∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC，CE= BC，∴DE= （AC+BC）= AB，∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变（4）解：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB=65°，∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关【解析】【分析】（1）由点C恰为AB的中点，得到AC=BC的值，再由点D、E分别是AC和BC的中点，求出DE的值；（2）由（1）得，DC= AC的值，CE= CB的值，得到DE的值；（3）由点D、E分别是AC和BC的中点，得到不论AC取何值（不超过16cm），DE 的长不变；（4）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，根据角平分线定义，得到∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB，得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关.3．已知，AB//CD,（1）如图，若E 为DC 延长线上一点，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.（1）求证：AF//CG.（2）若 E 为线段 DC 上一点（E 不与 C 重合），AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，画出图形，试判断 AF，CG 的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）证明：∵AB//CD∴∠BAC=∠ACE，∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,∴∠CAF=∠ACG∴AF//CG.（2）解：AF⊥CG，理由如下：如图，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,∵AB//CD,∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）=90°，∴∠3=180°-（∠1+∠2）=90°，∴AF⊥CG.【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠ACE，根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ，进而根据内错角相等，二直线平行得出AF∥CG；（2）根据题意作出图形，根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°，从而即可得出∠1+∠2= 90°，根据三角形的内角和定理得出∠3=90°，进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.4．如图，已知，在的右侧，平分，平分，，所在直线交于点.（1）求的度数.（2）若，求的度数(用含的代数式表示).（3）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，在图中画出平移后的图形，并判断的度数是否发生改变?若改变，求出它的度数(用含的式子表示)；若不改变，请说明理由.【答案】（1）解：∵平分，，.（2）解：如图，过点作∵，，， .∵平分，平分，，，，，..（3）解：如图2为平移后的图形.的度数发生了改变.过点作，平分，平分，，，， .∵，，，，.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（3）∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=∠ABC，∠CDE=∠ADC，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：，进而可由求得答案.5．（1）思考探究：如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，请探究与的关系是________.（2）类比探究：如图②，四边形中，设，，，四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用，的代数式表示)（3）拓展迁移：如图③，将(2)中改为，其它条件不变，请在图③中画出，并直接写出 ________.(用，的代数式表示)【答案】（1）（2）解：延长、，交于点 .，由(1)知：∴ .（3）【解析】【解答】解：(1)∵平分，平分，∴，∵是的外角∴∵是的外角∴( 3 )延长，交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图：，【分析】（1）利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.（2）延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.（3）延长AB、DC交于F,然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.6．已知：如图所示，直线，另一直线交于，交于，且，点为直线上一动点，过点的直线交于点，且 .（1）如图1，当点在点右边且点在点左边时，的平分线与的平分线交于点，求的度数；（2）如图2，当点在点右边且点在点右边时，的平分线与的平分线交于点，求的度数；（3）当点在点左边且点在点左边时，的平分线与的平分线所在直线交于点，请直接写出的度数，不说明理由.【答案】（1）解：过点作 .∵平分 .∴ .∴（两直线平行，内错角相等）.同理可证..∴ .（2）解：过点作 .∵ .∴ .∵平分 .∴ .∴（两直线平行，同旁内角互补）.∵平分 .∴（两直线平行，内错角相等）.∴ .（3）解：过点作 .∵平分 .∴（两直线平行等，内错角相等）.∴平分 ..∴ .∴（两直线平行，同旁内角互补）..【解析】【分析】（1）过点作，由角平分线定义可得，利用两直线平行内错角相等，可得，同理可得∠CPE=∠PCA= ∠DCA=25°，从而求出∠BPC的度数.（2）过点作 . 利用邻补角定义可得∠DBA=100°，由角平分线定义可得∠DBP= ∠DBA=50°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BPE=130°.根据角平分线定义及两直线平行，内错角相等角可得∠PCA=∠CPE= ∠DCA=25°，从而求∠BPC的度数.（3）过点作 . 根据两直线平行，内错角相等角可得∠DBP=∠DPE=40°，根据邻补角可求出∠CPE的度数，由角平分线的定义可得∠PCA= ∠DCA=65°，根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠CPE的度数，继而求出∠BPC的度数.7．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP=40°，∠FBP=70°，则∠APB=________．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用(2)的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=β，求∠AP2B(用含β的代数式表示)．【答案】（1）（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为： .（3）解：①∠P=2∠P1；由（2）得：，即∠P=2∠P1；②由(2)得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∴【解析】【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质），即【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠APM=∠DAP，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠MPB=∠FBP，根据角的和差及等量代换即可得出；（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为： .（3）①∠P=2∠P1；根据（2）的结论，得，由角平分线的定义及等量代换得，②由(2)得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，根据角平分线的定义及角的和差，等量代换即可得出结论：∴=180°-.8．将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上直角三角板OBC和直角三角板MON，，，，，保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒（1）如图2， ________度用含t的式子表示；（2）在旋转的过程中，是否存在t的值，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒的速度顺时针旋转.当 ________秒时，；请直接写出在旋转过程中，与的数量关系________ 关系式中不能含 .【答案】（1）（2）解：当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：90﹣8t=4（45﹣8t）解得：t ；当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：90﹣8t=4（8t﹣45）解得：t .综上所述：t 或t（3）5或10；3∠NOD+4∠BOM=270°.【解析】【解答】（1）∠NOD一开始为90°，然后每秒减少8°，因此∠NOD=90﹣8t.故答案为90﹣8t.（ 3 ）①当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：8t﹣2t=30解得：t=5；当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：8t﹣2t=60解得：t=10.故答案为5或10.②∵∠NOD=90﹣8t，∠BOM=6t，∴3∠NOD+4∠BOM=3（90﹣8t）+4×6t=270°.即3∠NOD+4∠BOM=270°.【分析】（1）把旋转前∠NOD的大小减去旋转的度数就是旋转后的∠NOD的大小.（2）相对MO与CO的位置有两种情况，所以要分类讨论，然后根据∠NOD=4∠COM建立关于t 的方程即可.（3）①其实是一个追赶问题，分MO没有追上CO与MO超过CO两种情况，然后分别列方程即可.②分别用t的代数式表示∠NOD和∠BOM，然后消去t即可得出它们的关系.9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）【答案】（1）解：∵∠BOD=∠AOC=76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE= ∠BOD= ×76°=38°．∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF= ∠COE= ×142°=71°，∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°（2）解：∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得：x=36°，故∠AOC=72°（3）解：设∠BOE=x，∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，∴∠DOE=x，∠COA=2x，∴∠BOC=180°-2x，∴∠COE=180°-x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=90°- x，∴∠BOF=90°﹣ x，∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，∴|2x﹣（90°﹣ x）|=α°，解得：x=（）°+ α°或x=（）°﹣α°，当x=（）°+ α°时，∠AOC=2x=（）°+ α°，∠BOF=90°﹣ x=（）°﹣α°；当x=（）°﹣α°时，∠AOC=2x=（）°﹣α°，∠BOF=90°﹣ x=（）°+ α°【解析】【分析】（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，结合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，结合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度数；（2）设∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，结合∠BOF=36°，OF平均∠EOF 可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度数；（3）设∠BOE=x，则由已知条件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°- x，这样结合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.10．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2.①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.【答案】（1）解：①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°.∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC（2）解：∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°（3）解：设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5.即t=5时，射线OC第一次平分∠MON.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；（3）分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.11．如图，已知，，，点E在线段AB上，，点F在直线AD上，．（1）若，求的度数；（2）找出图中与相等的角，并说明理由；（3）在的条件下，点不与点B、H重合从点B出发，沿射线BG的方向移动，其他条件不变，请直接写出的度数不必说明理由．【答案】（1）解：，，，，，，（2）解：与相等的角有：，，．理由：，两直线平行，内错角相等，，，，，同角的余角相等，，，两直线平行，同位角相等，（3）解：35°或145°【解析】【解答】解：或当点C在线段BH上时，点F在点A的左侧，如图1：，两直线平行，内错角相等，当点C在射线HG上时，点F在点A的右侧，如图2：，两直线平行，同旁内角互补，，．【分析】根据，，可得，再根据，即可得到；根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角；分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C 在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或．12．（1）①如图1，已知，，可得 ________.②如图2，在①的条件下，如果平分，则 ________.③如图3，在①、②的条件下，如果，则 ________.（2）尝试解决下面问题：已知如图4，，，是的平分线，，求的度数.【答案】（1）60°；30°；60°（2）解：∵，∴，∵，∴ .∵是的平分线，∴∵，∴ .【解析】【解答】解：(1)①由两直线平行，内错角相等得到∠BCD=60°；②如果平分，则 =30°；③如果，则 90°－ 60°.【分析】(1) ①根据两直线平行,内错角相等即可求解;②根据角平分线的定义求解即可;③根据互余的两个角的和等于90°,计算即可;(2)先根据两直线平行,同旁内角互补和角平分线的定义求出∠BCN的度数,再利用互余的两个角的和等于90°即可求出.。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;（1）若∠E=60°，则∠F=________;（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;【答案】（1）90°（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB∴EM∥AB∥FN∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN又∵AB∥CD，AB∥FN∴CD∥FN∴∠D+∠DFN=180°又∵∠D =120°∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°∴∠EFD=∠MEF +60°∴∠EFD=∠BEF+30°（3）解：如图，过点F作FH∥EP由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°∵FH∥EP∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.2．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.【答案】（1）解：∵而同理：∴∴（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：（3）解：仍然成立.理由如下：∵又∵∴【解析】【分析】（1）先计算出再根据（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．3．如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 【答案】（1）解：∵HG⊥HE，FG⊥HG∴FG∥EH，∴∠GFE+∠HEF=180°，∵AB∥CD∴∠BEH=∠CHE∴∠EHC+∠GFE=180°（2）解：设∠EHM=x，∵HG⊥HE，∴∠GHK=90°-x,∵MH平分∠CHG，∴∠EHC=90°-2x，∵AB∥CD∴∠HMB=90°-x，∴∠HMB=∠MHG=90°-x，∵AB∥CD，∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，∴∠GHD=2∠EHM；（3）解：延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图，∵AB∥CD，∠BFG=50°∴∠HRG=50°∵FG⊥HG，∴∠GHR=40°，∵HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，∵AB∥CD,∴∠FEH=∠CHE=50°，∵EP是∠HEF的平分线，∴∠SEP= ∠FEH=25°，∵GH平分∠HGF，∴∠HGS= ∠HGF=45°,∴∠HSG=45°，∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，∴∠EPS=20°，即∠NPK=20°.【解析】【分析】（1）根据HG⊥HE，FG⊥HG可证明FG∥EH，从而得∠GFE+∠HEF=180°，再根据AB∥CD可得∠BEH=∠CHE,进而可得结论；（2）设∠EHM=x，根据MH是∠CHG的平分线可得∠MHG=90°-x，∠EHC=90°-2x，根据平行线的性质得∠HMB=90°-x，从而得∠HMB=∠MHG，再由平行线的性质得∠BMH+∠DHM=180°，从而可得结论；（3）分别延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，由AB∥CD得∠HRG=50°，由FG⊥HG得∠GHR=40°，由MH平分∠CHG得∠CHE=50°，由AB∥CD得∠MEH=∠CHE=50°，可得∠SEP=25°，最后由三角形的外角可得结论.4．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.（2）MN=【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．（1）求点D的坐标；（2）如图（1），求△ACD的面积；（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．【答案】（1）解：∵B（3，0），∴OB＝3，∵BC＝8，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），∵AB∥CD，AB＝CD，∴D（﹣2，﹣4）（2）解：如图（1），连接OD，∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16（3）解：∠M＝45°，理由是：如图（2），连接AC，∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABO，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB+∠DCB＝90°，∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，∴∠MCB＝，∠OAM＝，∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.6．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P 作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)【答案】（1）解：如图，∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，∴∠1=∠3∴AB∥CD（2）解：如图，由(1)得AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF∵GH⊥EG，∴PF∥GH．（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3∵∠3=2∠6，∴∠EPK=90°+2∠6∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，∁…．例如：当α=30°时，OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON 上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1， OA2， OA3， OA4， OA3的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．解决如下问题：（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是________；（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3， OA4并求出α的值；（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是________（4）（选做题）当OA i所在的射线是∠A i OA k（i，j，k是正整数，且OA j与OA k不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．【答案】（1）45°（2）解：如图所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得：（3），，（4）解：对于角α=120°不能停止．理由如下：无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会停止．但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM 重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况，旋转不会停止【解析】【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会中止．2．综合题（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC=________．（用含α与β的代数式表示）【答案】（1）解：∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC= ∠AOC= ×90°=45°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF= ∠BOC= ×90°=45°，∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；（2）解：∵OE平分∠AOD，∴∠EOD= ∠AOD= ×（80+β）=40+ β，∵OF平分∠BOC，∴∠COF= ∠BOC= ×（80+β）=40+ β，∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+ β﹣β=40﹣β；∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+ β=80°；（3）【解析】【解答】（3）如图2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，∴∠AOD=α+β，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE= （α+β），∴∠COE=∠DOE﹣∠COD= ，如图3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，∴∠AOD=α+β，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE= （α﹣β），∴∠COE=∠DOE+∠COD= ．综上所述：，故答案为：．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠EOD=40+ β，∠COF=40+ β，根据角的和差即可得到结论；（3）如图2由已知条件得到∠AOD=α+β，根据角平分线的定义得到∠DOE=（α+β），即可得到结论．3．如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；（2）若AC=6cm，求DE的长；（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．【答案】（1）解：∵点C恰为AB的中点，∴AC=BC= AB=8cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC=4cm，CE= BC=4cm，∴DE=8cm（2）解：∵AB=16cm，AC=6cm，∴BC=10cm，由（1）得，DC= AC=3cm，CE= CB=5cm，∴DE=8cm（3）解：∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC，CE= BC，∴DE= （AC+BC）= AB，∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变（4）解：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB=65°，∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关【解析】【分析】（1）由点C恰为AB的中点，得到AC=BC的值，再由点D、E分别是AC和BC的中点，求出DE的值；（2）由（1）得，DC= AC的值，CE= CB的值，得到DE的值；（3）由点D、E分别是AC和BC的中点，得到不论AC取何值（不超过16cm），DE 的长不变；（4）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，根据角平分线定义，得到∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB，得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关.4．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M,N．（1）求∠MCN的度数．（2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数．（3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．【答案】（1）解：∵A B∥CD，∴∠ACD=180°﹣∠A=140°，又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，∴∠MCN=∠MCP+∠NCP= （∠ACP+∠PCD）= ∠ACD=70°，故答案为：70°．（2）解：∵AB∥CD，∴∠AMC=∠MCD，又∵∠AMC=∠ACN，∴∠MCD=∠ACN，∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD，∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD，∴∠ACM= ∠ACD=35°，故答案为：35°．（3）解：不变．理由如下：∵AB∥CD，∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD，又∵CN平分∠PCD，∴∠ANC=∠NCD= ∠PCD= ∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1．【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求解；（2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM =∠NCD（3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答．5．如图1，点是第二象限内一点, 轴于，且是轴正半轴上一点，是x轴负半轴上一点，且 .（1）（________），（________）（2）如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点 ,求的度数: (注: 三角形三个内角的和为 )（3）如图3,当点在线段上运动时，作交于的平分线交于 ,当点在运动的过程中，的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.【答案】（1）-2,0；0,3（2）解：如图，作DM∥x轴根据题意，设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，∵∠CAD=90°，∴∠CAE+∠OAD=90°，∴2y+∠OAD=90°，∴∠OAD=90°-2y，∵DM∥x轴，∴∠OAD+∠ADM=180°，∴90-2y+2x+90°=180°，∴x=y，∴∠APD=180°-(∠PAD+∠ADP)=180°-(y+90°-2y+x)=180°-90°=90°（3）解：∠N的大小不变，∠N=45°理由：如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC.∵BC∥x轴，∴DE∥BC∥x轴，NF∥BC∥x轴，∴∠EDM=∠BMD，∠EDA=∠OAD，∵DM⊥AD，∴∠ADM=90°，∴∠BMD+∠OAD=∠EDM+∠EDA=∠ADM=90°，∵MN平分∠BMD，AN平分∠DAO，∴∠BMN= ∠BMD，∠OAN= ∠OAD，∴∠ANM=∠BMN+∠OAN= ∠BMD+ ∠OAD= ×90°=45°.【解析】【解答】解：（1）由，可得和，解得∴A的坐标是（-2,0）、B的坐标是（0,3）；故答案为：-2,0；0,3；【分析】（1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b的值；（2）如图，作DM∥x轴，结合题意可设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，根据平角的定义可知∠OAD=90°-2y，由平行线的性质可得∠OAD+∠ADM=180°，即90-2y+2x+90°=180°，进而可得出x=y，再结合图形即可得出∠APD的度数；（3）∠N的大小不变，∠N=45°，如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC，根据平行线的性质可知∠BMD+∠OAD=∠ADM=90°，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，可得∠ANM= ∠BMD+ ∠OAD，据此即可得到结论.6．（1）思考探究：如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，请探究与的关系是________.（2）类比探究：如图②，四边形中，设，，，四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用，的代数式表示)（3）拓展迁移：如图③，将(2)中改为，其它条件不变，请在图③中画出，并直接写出 ________.(用，的代数式表示)【答案】（1）（2）解：延长、，交于点 .，由(1)知：∴ .（3）【解析】【解答】解：(1)∵平分，平分，∴，∵是的外角∴∵是的外角∴( 3 )延长，交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图：，【分析】（1）利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.（2）延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.（3）延长AB、DC交于F,然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.7．如图(1)，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF.（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF.（2）如图(2)，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF 之间的关系.（3）如图(3)，已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由.（4）已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系.(直接写结论) 【答案】（1）证明：如图1,过点P作PG∥AB,∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，又∵∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF（2）解：如图2由(1)，可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ∴（3）解：如图3,，由(1)，可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ∴（4）解：由(1)，可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ∴【解析】【分析】（1）如图1,过点P作PG∥AB,根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，从而可得∠AEP+∠CFP=∠EPF.（2）由(1)，可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，利用角平分线的定义，可得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP），利用平角定义，可得∠BEP+∠DFP=360°-（∠AEP+∠CFP）=360°-∠EPF，从而可得∠EPF+2∠EQF=360°.（3）同（2）方法，即可得出∠P+3∠Q=360°.（4）同（2）方法，即可得出结论.8．已知：如图所示，直线，另一直线交于，交于，且，点为直线上一动点，过点的直线交于点，且 .（1）如图1，当点在点右边且点在点左边时，的平分线与的平分线交于点，求的度数；（2）如图2，当点在点右边且点在点右边时，的平分线与的平分线交于点，求的度数；（3）当点在点左边且点在点左边时，的平分线与的平分线所在直线交于点，请直接写出的度数，不说明理由.【答案】（1）解：过点作 .∵平分 .∴ .∴（两直线平行，内错角相等）.同理可证..∴ .（2）解：过点作 .∵ .∴ .∵平分 .∴ .∴（两直线平行，同旁内角互补）.∵平分 .∴（两直线平行，内错角相等）.∴ .（3）解：过点作 .∵平分 .∴（两直线平行等，内错角相等）.∴平分 ..∴ .∴（两直线平行，同旁内角互补）..【解析】【分析】（1）过点作，由角平分线定义可得，利用两直线平行内错角相等，可得，同理可得∠CPE=∠PCA= ∠DCA=25°，从而求出∠BPC的度数.（2）过点作 . 利用邻补角定义可得∠DBA=100°，由角平分线定义可得∠DBP= ∠DBA=50°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BPE=130°.根据角平分线定义及两直线平行，内错角相等角可得∠PCA=∠CPE= ∠DCA=25°，从而求∠BPC的度数.（3）过点作 . 根据两直线平行，内错角相等角可得∠DBP=∠DPE=40°，根据邻补角可求出∠CPE的度数，由角平分线的定义可得∠PCA= ∠DCA=65°，根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠CPE的度数，继而求出∠BPC的度数.9．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动.（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s 时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=________，y=________；（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB 交于点Q.①试说明∠PBQ=∠ACQ；②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请写出∠BAO的度数.【答案】（1）3；1（2）解：的度数不发生变化，其值求解如下：由三角形的内角和定理得点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分由三角形的内角和定理得（3）解：①由三角形的外角性质得：点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分又是的角平分线；② 是的角平分线，BC平分由三角形的外角性质得：则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是.【解析】【解答】（1）由题意得：化简得解得故答案为：3，1；【分析】（1）根据“路程速度时间”建立一个关于x、y的二元一次方程组，求解即可得；（2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；（3）①先根据三角形的外角性质可得，再根据角平行线的定义即可得；②先根据角平分线的定义、平角的定义得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据角的和差、角平分线的定义即可得.10．如图1，，点，分别在，上，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度，射线转动的速度是每秒度.（1）直接写出的大小为________；（2）射线、转动后对应的射线分别为、，射线交直线于点，若射线比射线先转动秒，设射线转动的时间为秒，求为多少时，直线直线？（3）如图2，若射线、同时转动秒，转动的两条射线交于点，作，点在上，请探究与的数量关系.【答案】（1）60°（2）解：设灯转动t秒，直线直线，①当时，如图，，，，，，，解得；②当时，如图，，，，，，解得，综上所述，当秒或秒时直线；（3）解：和关系不会变化，理由：设射线AM转动时间为m秒，作，，，，，，，，，而，，，，，即，和关系不变.【解析】【解答】解：（1）∵，∴，∴（两直线平行，内错角相等）故结果为：；【分析】(1)根据得到，再根据直线平行的性质即可得到答案；(2)设灯转动t秒，直线直线，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；(3)根据补角的性质表示出，再根据三角形内角和即可表示出，即可得到答案；11．已知直线．（1）如图1，直接写出，和之间的数量关系．（2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．（3）若点E的位置如图3所示，，仍分别平分，，请直接写出和的数量关系．【答案】（1）（2）解：．理由如下：∵，分别平分，，∴，，∴，由（1）得，，又∵，∴（3）解：，理由如下：如图3，过点作，∵，，∴，∴，，∴，由（1）知，，又∵，分别平分，，∴，，∴，∴．【解析】【解答】（1），理由如下：如图1，过点E作，∵，∴，∴，，∴，即；【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得，，进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得，，结合第（1）题的结论，即可求证；（3）过点作，由平行线的性质得，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得，进而即可得到结论．12．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.（1）过点O作直线MN⊥AB；（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=35°，求∠EOF的度数；（3）若∠BOD：∠DOA=1：5，求∠AOE的度数.【答案】（1）解：如图，MN为所求（2）解：若F在射线OM上，∵MN⊥AB，OE⊥CD，∴∠AOC+∠COM=90°，∠EOF+∠COM=90°，则∠EOF＝∠AOC＝35°；若F'在射线ON上，∵MN⊥AB，OE⊥CD，∴∠DON=∠COM=90°-∠AOC=55°，∠EOD=90°则∠EOF'＝∠DOE＋∠DON＝145°；综上所述，∠EOF的度数为35°或145°；（3）解：∵∠BOD：∠DOA=1：5∴∠BOD：∠BOC＝1：5，∴∠BOD＝∠COD＝30°，∴∠AOC＝30°，又∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∴∠AOE＝90°＋30°＝120°.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可作图；（2）分F在射线OM上和在射线ON 上分别进行求解即可；（3）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数.。

第六章平面图形的认识(一) 检测卷(总分100分时间90分钟)一、选择题（每小题3分，共30分）1．图中射线AB、线段MN能和直线PQ相交的是( )2．如图，若AB＝DE，则( )A．AD＝EB B．AC＝ECC．BC＝DC D．AB＝BC3．已知∠α＝32°，求∠α的补角为( )A．58°B．68°C．148°D．168°4．借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角？( )A．65°B．75°C．85°D．95°5．如图，直线AB、CD交于O点，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O点，若∠BOC＝80°，则∠DOF等于( )A．100°B．120°C．130°D．115°6．下列语句中，正确的是( )A．射线AB与射线BA表示同一条射线B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．D．直线l1∥l2，l2//l3，则l1∥l3，理由是等量代换7．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数和互余两角的对数分别为( )A．3；3 B．4；4C．5；4 D．7；58．点P是直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离是( )A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm9．已知AB＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的长是( )A．5 cm B．11cm C．5 cm或11 cm D．不确定10．已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于( )A．120°B．120°或60°C．30°D．30°或90°二、填空题（每小题3分，共30分）11．如图，用文字或字母符号表达它们的关系_______．12．如图，以OD为一边的角有_______，它们之间的大小关系用“>”连接为_______．13．如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若BM＝5cm，BC＝2cm，则AB的长是_______．14．计算：71°28'36"－35°31'42"＝_______．15．一次测验从开始到结束，手表的时针转了50°的角，这次测验的时间是_______．16．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOD＝104°，则∠BOM＝_______．17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°．(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是_______，(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是_______．18．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为_______．19．如图是幼儿园跷跷板的图形，其横板AD通过点O，它可以绕点O上下转动，若∠OCA＝90°，∠CAO＝20°，且∠CAO＋∠AOC＝90°，则小朋友玩该跷跷板时，上下最多可转动_______度的角．20．把一张长方形纸条按图6－10的方式折叠后，量得∠AOB'＝110°，则∠B'OC＝_______．三、解答题（本题共6小题，共40分）21．（4分）如图，在方格纸上有一条线段AB和一点C．(1)过点C 画出与AB 平行的直线；(2)过点C 画出与AB 垂直的直线．22．（6分）如图，点P 是∠AOB 的边OB 上的一点．(1)过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C ；(2)过点P 画OA 的垂线，垂足为H ；(3)线段PH 的长度是点P 到_______的距离，_______是点C 到直线OB 的距离，线段PC 、PH 、OC 这三条线段大小关系是_______（用“<”号连接），其根据是___________．23．（5分）一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数．24．（5分）如图，AOC 为一直线，OD 是∠AOB 的平分线，∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝72°．求∠EOC 的度数．25．（6分）已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，AB ＝100cm ，BC ＝AB ，E 是AC 的35中点，求BE 的长．26．（8分）如图，已知∠AOB ，画射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ．(1)画出符合要求的图形；(2)如果∠AOB ＝30°，其他条件不变，则∠COD ＝_______°；(3)如果(2)中∠AOB ＝α°，其他条件不变，则∠COD ＝_______°； (4)结合(1)中画图和(2)(3)的结果，你从中能看出什么规律？（用一句话来归纳）27．（8分）如图①，已知线段AB ＝12cm ，点C 为AB 上的一个动点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中点．(1)若点C 恰好是AB 中点，则DE ＝_______cm ；(2)若AC ＝4cm ，求DE 的长；(3)试说明不论AC 取何值（不超过12cm ），DE 的长不变；(4)如图②，已知∠AOB ＝120°，过角的内部任一点C 画射线OC ，若OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，试说明∠DOE ＝60°与射线OC 的位置无关．参考答案1—10 DACBC CCCDB11．直线AB和直线BC相交于点B12．∠DOA，∠DOB，∠DOC；∠DOA>∠DOB>∠DOC13．8 cm14．35°56'54"15．100分钟16．142°17．(1)北偏东70°；(2)南偏东40°18．六19．40°20．35°21．如图所示，(1)直线CD即为所画平行线；(2)CB即为所画垂线．22．(1)(2)如图答．(3)OA，CP的长度，PH<PC<OC，垂线段最短．23．65°24．72°．25．80cm或20cm26．(1)有4种情况，如图所示：(2)30°或150°；(3)a°或(180°－a°)；(4)如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补．27．(1)6 (2)6cm。

苏科版七年级数学上册第6章平面图形的认识（一）单元测试卷一、选择题1.如图所示，下列说法中正确的是( )A．∠ADE就是∠D B．∠ABC可以用∠B表示C．∠ABC和∠ACB是同一个角D．∠BAC和∠DAE是不同的两个角2．如图所示，关于线段、射线和直线的条数，下列说法正确的是（ ）A．五条线段，三条射线B．三条线段，两条射线，一条直线C．三条射线，三条线段D．三条线段，三条射线3．轩轩同学带领自己的学习小组成员预习了“线段、射线、直线”一节的内容后，对图展开了讨论，下列说法不正确的是（ ）A．直线MN与直线NM是同一条直线B．射线PM与射线MN是同一条射线C．射线PM与射线PN是同一条射线D．线段MN与线段NM是同一条线段4．如图，遵义的红军烈士陵园集中了建国后在遵义各处找到的红军遗骨，故又称红军山，陵园正面是在纪念遵义会议五十周年时兴建的一座别具特色的纪念碑．从山脚一点A到纪念碑底部一点B，沿右边楼梯直行和沿左边弯曲的盘山公路走相比，缩短了行走的路程，其中蕴含的数学道理是（ ）A ．两点确定一条直线B ．两点之间，线段最短C ．垂线段最短D ．同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行5．下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③利用圆规可以比较两条线段的大小；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④6．下列说法①一个角的补角大于这个角②小于平角的角是钝角③同角或等角的余角相等④若，123180∠+∠+∠= 则、、互为补角．其中正确的说法有（ ）1∠2∠3∠A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，AM 为∠BAC 的平分线，下列等式错误的是( )A ．∠BAC =∠BAM B ．∠BAM =∠CAM C ．∠BAM =2∠CAM D ．2∠CAM =∠BAC128.点P 为直线外一点，点A ，B ，C 在直线l 上，若PA=4cm ，PB=5cm ，PC=6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A. 4cmB. 5cmC. 不大于4cm D. 6cm 9.如果线段AB=5cm ，BC=4cm ，且A ，B ，C 在同一条直线上，那么A 、C 两点的距离是（ ） A. 1cm B. 9cm C. 1cm 或9cmD. 以上答案都不正确10.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（ ）个．A. 1或3B. 0、1或3C. 0、1或2 D. 0、1、2或3二、填空题11．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因_____．12将30°15′36″换算成度：30°15′36″＝ °．13如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为 °．14如图，OC平分∠AOB，若∠AOC＝25°，则∠AOB＝ 度．15如图，点A位于点O的 方向上．16．从12点整开始到1点，经过____分钟，钟表上时针和分针的夹角恰好为99°．三、解答题17．如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图．（1）画线段AB，∠ADC；（2）找一点P，使P点既在直线AD上，又在直线BC上；（3）找一点Q，使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短．18线段AB依次被分为2：3：4三部分，已知第一部分和第三部分中点的距离是5.4 cm，求线段AB的长.19.如图,已知∠AOC=60°,∠BOD=90°,∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数.20已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度数；（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB=∠BOC，∠COF=∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）21．如图1直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE平分∠AOD．（1）若∠COE＝40°，则∠BOD＝．（2）若∠COE＝α，求∠BOD（请用含α的代数式表示）；（3）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．22．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDC＝45°），且三角板ACB的位置保持不动．（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE＝60°，求∠DCB的度数．（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．（3）当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由．23．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C 在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.24．已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝（用含α的代数式表示）（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE 的度数，（用含α的代数式表示）答案一、选择题1.B2．解：如图：由直线、射线及线段的定义可知：线段有：AB、BC、CA；射线有：AD、AE；直线有：DE．即有三条线段，两条射线，一条直线．故选：B．3．解：A、直线MN与直线NM是同一条直线，原说法正确，故本选项不符合题意；B、射线PM与射线MN不一定是同一条射线，原说法错误，故本选项符合题意；C、射线PM与射线PN是同一条射线，原说法正确，故本选项不符合题意；D、线段MN与线段NM是同一条线段，原说法正确，故本选项不符合题意；故选：B．4．解：从山脚一点A到纪念碑底部一点B，沿右边楼梯直行和沿左边弯曲的盘山公路走相比，缩短了行走的路程，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．故选：B．5．A 6．D 7．C8. C【考点】点到直线的距离解：∵4＜5＜6，∴根据从直线外一点到这条直线上所有点连线中，垂线段最短，可知点P到直线l的距离是4cm或比4cm小的数，即不大于4cm，故选C．【分析】根据垂线段最短得出点P到直线l的距离是4cm或比4cm小的数，即可得出选项9. C【考点】两点间的距离解：当点C在AB之间时，AC=AB﹣BC=5﹣4=1（cm）；当点C在点B的右侧时，AC=AB+BC=5+4=9（cm）．故选：C．【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．当点C在AB之间时，AC=AB﹣BC；当点C在点B的右侧时，AC=AB+BC．10. D【考点】点到直线的距离解：如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3．故选D．【分析】根据两直线平行和相交的定义作出图形即可得解．二、填空题11．两点之间线段最短12将30°15′36″换算成度：30°15′36″＝ °．【考点】度分秒的换算．见试题解答内容【分析】先把36″除以60化为0.6′，再加上15′为15.6′，再除以60化为度，与30合并在一起即可．解：36″＝36÷60＝0.6′；30°15′36″＝30+15.6÷60＝30.26°．故30.26．13如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为 °．【考点】角平分线的定义；垂线．见试题解答内容【分析】根据垂线的定义可知，∠ABD的度数是90°，根据角平分线的定义，可求∠DBE的度数，再根据对顶角相等可求∠CBF的度数．解：∵AB⊥CD，∴∠ABD＝90°，∵EF平分∠ABD，∴∠DBE＝45°，∴∠CBF＝45°．故45．14如图，OC平分∠AOB，若∠AOC＝25°，则∠AOB＝ 度．【考点】角平分线的定义．见试题解答内容【分析】根据角平分线的定义求解．解：∵∠AOC＝25°，OC平分∠AOB，∴∠AOB＝2∠AOC＝50°，故答案为50°．15如图，点A位于点O的 方向上．【考点】方向角．见试题解答内容【分析】根据方位角的概念直接解答即可．解：点A 位于点O 的北偏西30°方向上．16．18或52211三、解答题17．解：（1）如图所示，线段AB 、∠ADC 即为所求；（2）直线AD 与直线BC 交点P 即为所求；（3）如图所示，点Q即为所求．18.73°.19.解：（1）∵M 是AB 的中点∴MB=40（2）∵N 为PB 的中点，且NB=14 ∴PB=2NB=2×14=28（3）∵MB=40，PB=28 ∴PM=MB﹣PB=40﹣28=1220.解：AB=8.1 cm21．解：（1）若∠COE ＝40°，∵∠COD ＝90°，∴∠EOD ＝90°﹣40°＝50°，∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOD ＝2∠EOD ＝100°，∴∠BOD ＝180°﹣100°＝80°；（2）∵∠COE ＝α，∴∠EOD ＝90﹣α，∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOD ＝2∠EOD ＝2（90﹣α）＝180﹣2α，∴∠BOD ＝180°﹣（180﹣2α）＝2α；（3）如图2，∠BOD +2∠COE ＝360°，理由是：设∠BOD ＝β，则∠AOD ＝180°﹣β，∵OE 平分∠AOD ，∴∠EOD ＝ ∠AOD ＝ ＝90°﹣β，121802β︒-12∵∠COD ＝90°，∴∠COE ＝90°+（90°﹣β）＝180°﹣β，1212即∠BOD +2∠COE ＝360°．故（1）80°；（2）2α；（3）∠BOD +2∠COE ＝360°，理由见详解．22．解：（1）如图中，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECB ＝∠ACD ，∵∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝30°，∴∠BCD ＝∠BCE +∠ECD ＝30°+90°＝120°，故答案为120°；（2）如图中，当DE ∥AB 时，延长BC 交DE 于M ，∴∠B ＝∠DMC ＝60°，∵∠DMC ＝∠E +∠MCE ，∴∠ECM ＝15°，∴∠BCE ＝165°，当D ′E ′∥AB 时，∠E ′CB ＝∠ECM ＝15°，∴当ED ∥AB 时，∠BCE 的度数为165°或15°；（3）存在．如图，①CD ∥AB 时，∠BCE ＝30°，②DE ∥BC 时，∠BCE ＝45°，③CE ∥AB 时，∠BCE ＝120°，④DE ∥AB 时，∠BCE ＝165°，⑤当AC ∥DE 时，∠BCE ＝135°综上所述，当0°＜∠BCE ＜180°且点E 在直线BC 的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE 的值为30°或45°或120°或165°或135°．23．(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以(cm).111PC =⨯=因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以(cm).故BD =2PC.212BD =⨯=因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以(cm).1112433AP AB ==⨯=(2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以(cm).122PC =⨯=因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以(cm).故BD =2PC.224BD =⨯=因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以(cm).1112433AP AB ==⨯=(3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以(cm).PC t =因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以(cm).故BD =2PC.2BD t =因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以(cm).1112433AP AB ==⨯=(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为，所以.13AP AB =13BQ AP AB ==故.因为AB =12cm ，所以(cm).13PQ AB AP BQ AB =--=1112433PQ AB ==⨯=(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为，所以.故.13AP AB =13BQ AP AB ==1433AQ AB BQ AB AB AB =+=+=因为AB =12cm ，所以(cm).411233PQ AQ AP AB AB AB =-=-==综上所述，PQ 的长为4cm 或12cm.24．解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝50°，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，∵OE 平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝70°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，12②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣α，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，∵OE 平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，1212∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，1212（2）（1）中的结论还成立，理由是：如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE 平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，1212∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；1212（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE 平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，1212∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣α）＝180°﹣α．1212。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图，已知：点不在同一条直线， .（1）求证： .（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点，，请直接写出 ________.【答案】（1）证明：过点C作，则，∵∴∴（2）解：过点Q作，则，∵，∴∵分别为的平分线所在直线∴∴∵∴（3）:1:2:2【解析】【解答】解：（3）∵∴∴∵∴∵∴∴∴∴ .故答案为： .【分析】（1）过点C作，则，再利用平行线的性质求解即可；（2）过点Q作，则，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可得出，又因为，因此，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，再求答案即可.2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．【答案】（1）25°（2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB∠MOB=2∠BOC=130°∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°（3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°∠MON=90°∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°4∠NOC+∠NOC=25°∠NOC=5°∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65°∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.3．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若，，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，∵CD平分△ABC的外角，∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N − 180 ° ).∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,或写成【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.4．综合题（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．（2）对于（1）问，如果我们这样叙述：“已知点C在直线AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果；如果没有，说明理由．【答案】（1）解：∵AC=6cm，且M是AC的中点，∴MC= AC= 6=3cm，同理：CN=2cm，∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，∴线段MN的长度是5m（2）解：分两种情况：当点C在线段AB上，由（1）得MN=5cm，当C在线段AB的延长线上时，∵AC=6cm，且M是AC的中点∴MC= AC= ×6=3cm，同理：CN=2cm，∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，∴当C在直线AB上时，线段MN的长度是5cm或1cm．【解析】【分析】（1）根据线段的中点定义，由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC+CN的值；（2）当点C在线段AB上，由（1）得MN的值；当C在线段AB 的延长线上时，再由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC﹣CN的值.5．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.（1）求出点B的坐标；（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：由得：,解得：∴点的坐标为（2）解：不变化∵轴∴BC∥x轴∴∵平分∴∴∴（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15若点P在OC边上，可设P点坐标为，则三角形BCP的面积为，剩余部分面积为，所以，解得，P点坐标为；若点P在OA边上，可设P点坐标为，则三角形BAP的面积为，剩余部分面积为，所以，解得，P点坐标为 .综上,点的坐标为， .【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.6．如图①，已知AB//CD， AC//EF（1）若∠A=75°，∠E=45°，求∠C和∠CDE的度数；（2）探究：∠A、∠CDE与∠E之间有怎样的等量关系？并说明理由.（3）若将图①变为图②，题设的条件不变，此时∠A、∠CDE 与∠E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论.【答案】（1）解：在图①中，∵AB∥CD∴∠A+∠C=180°，∵∠A=75°，∴∠C=180°-∠A=180°-75°=105°，过点D作DG∥AC，∵AC∥EF，∴DG∥AC∥EF，∴∠C+∠CDG=180°，∠E=∠GDE，∵∠C=105°，∠E=45°，∴∠CDG=180°-105°=75°，∠GDE=45°，∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，∴∠CDE=75°+45°=120°；（2）解：如图①，通过探究发现，∠CDE=∠A+∠E.理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°，过点D作DG∥AC，∵AC∥EF，∴DG∥AC∥EF，∴∠C+∠CDG=180°，∠GDE=∠E，∴∠CDG=∠A，∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，∴∠CDE=∠A+∠E；（3）解：如图②，通过探究发现，∠CDE=∠A-∠E.∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°，∵AC∥EF，∴∠E=∠CHD，∵∠CHD+∠C+∠CDE=180°，∴∠E+∠C+∠CDE=180°，∴∠E+∠CDE=∠A，即∠CDE=∠A-∠E.【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠C，过点D作DG∥AC，可得DG∥AC∥EF，利用平行线的性质定理可得∠CDG，由∠CDE=∠CDG+∠GDE，代入数值可得结果；（2）利用平行线的性质和同角的补角相等得∠A=∠CDG，由角的和及等量代换可得；（3）利用平行线的性质定理和三角形的内角和定理可得结论.7．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.（1）求∠ABN的度数（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。

苏科版初一数学上册《平面图形的认识（一）》单元测试卷及答案解析一、选择题1、钟表盘上指示的时间是10时40分，此刻时针与分针之间的夹角为A．B．C．D．2、如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（）A．30°B．120°C．90°D．60°3、以下四个说法中：①在同一直线上的4点A、B、C、D只能表示出5条不同的线段；②经过两点有一条直线，并且只有一条直线；③两条直线相交，有且只有一个交点；④在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行.正确的是（）A. ②③B. ①④C. ②③④D. ①②③4、下列语句错误的是( )A．锐角的补角一定是钝角B．一个锐角和一个钝角一定互补C．互补的两角不能都是钝角D．互余且相等的两角都是45°5、下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°6、下列说法中正确的个数是（）①射线AB与射线BA是同一条射线；②两点确定一条直线；③两条射线组成的图形叫做角；④两点之间直线最短；⑤若AB=BC，则点B是AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOC C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠AOC 也可用∠O来表示8、∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角B．锐角C．钝角D．以上三种都有可能9、如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB="6" cm，BC="4" cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( )A．5 cm B．1 cm C．5或1 cm D．无法确定10、如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，则∠2与∠4的数量关系是（）A．∠2＝∠4 B．∠2＜∠4 C．∠2＞∠4 D．无法判断二、填空题11、从3：15到3：30，钟表上的分针转过的角度是__度．12、从重庆乘火车到北京，沿途经过5个车站方可达到北京站，那么在重庆与北京两站之间需要安排不同的车票__种．13、如图，以图中的A、B、C、D为端点的线段共有___条．14、已知一个角的补角是130º，则这个角的度数是________15、如果∠3＋∠4＝180°，∠5＋∠3＝180°，则∠4与∠5的关系是_______，理由是___________________________．16、一个角为n°（n＜90），则它的余角为________，补角为__________．17、已知如图：直线AB和CD相交于点O，若AOD=5AOC，则BOC=___________。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;（1）若∠E=60°，则∠F=________;（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;【答案】（1）90°（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB∴EM∥AB∥FN∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN又∵AB∥CD，AB∥FN∴CD∥FN∴∠D+∠DFN=180°又∵∠D =120°∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°∴∠EFD=∠MEF +60°∴∠EFD=∠BEF+30°（3）解：如图，过点F作FH∥EP由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°∵FH∥EP∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．（1）求点D的坐标；（2）如图（1），求△ACD的面积；（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．【答案】（1）解：∵B（3，0），∴OB＝3，∵BC＝8，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），∵AB∥CD，AB＝CD，∴D（﹣2，﹣4）（2）解：如图（1），连接OD，∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16（3）解：∠M＝45°，理由是：如图（2），连接AC，∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABO，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB+∠DCB＝90°，∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，∴∠MCB＝，∠OAM＝，∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.3．如图1，∠AOB=120°，∠COE=60°，OF平分∠AOE（1）若∠COF=20°，则∠BOE=________°（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF=3∠DOE，且∠BOD=70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）40（2）解：∵∴∴（3）解：存在．理由如下：∵设∴∵∴∴∴∴【解析】【解答】⑴∴∵OF平分∠AOE，∴∴∴故答案为：40。

第六章《平面图形的认识（一）》综合测试卷一．选择题1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．2．如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°3．两根木条，一根长10cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（）A．1cm B．11cm C．1cm或11cm D．2cm或11cm 4．已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（）①∠AOC＝∠BOC②∠AOB＝2∠AOC③∠AOC+∠COB＝∠AOB④∠BOC∠AOBA．1个B．2个C．3个D．4个5．在所给的：①15°、②65°、③75°、④135°、⑤145°的角中，可以用一副三角板画出来的是（）A．②④⑤B．①②④C．①③⑤D．①③④6．上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是（）A．30°B．45°C．90°D．120°7．线段AB＝9，点C在线段AB上，且有AC AB，M是AB的中点，则MC等于（）A．3 B．C．D．8．某教科局提出开展“三有课堂”，某中学在一节体现“三有课堂”公开展示课上，李老师展示一幅图，条件是：C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各个小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余②∠FCG与∠HCG互补③∠ECF与∠GCH互补④∠ACD﹣∠BCE＝90°，聪明的你认为哪些组的结论是正确的，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间10．在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠COB＝30°，则∠AOC等于（）A．80°B．20°C．80°或20°D．10°11．如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝90°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间13．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（）A．2条B．3条C．4条D．5条二．填空题14．已知OC平分∠AOB，若∠AOB＝70°，∠COD＝10°，则∠AOD的度数为．15．如图，点C在线段AB上，且AC：BC＝2：3，点D在线段AB的延长线上，且BD＝AC，E为AD的中点，若AB＝40cm，则线段CE＝．16．如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝．17．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，OD是OB的反向延长线．（1）射线OC的方向是；（2）∠COD的度数是．18．观察下列图形，2条直线相交，有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，10条直线相交最多有个交点．19．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠DOC＝30°，OM是∠DOC平分线，ON是∠COB的平分线，则∠MON的度数是．20．线段AB＝12cm，点C在线段AB上，且AC BC，M为BC的中点，则AM的长为cm．21．已知射线OA，从O点再引射线OB，OC，使∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，则∠AOC的度数为22．如图，已知∠AOB＝150°，∠COD＝40°，∠COD在∠AOB的内部绕点O任意旋转，若OE平分∠AOC，则2∠BOE﹣∠BOD的值为°．23．已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝．24．如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．①若∠BOC＝40°，∠MON＝80°，则∠AOD的度数为度；②若∠AOD＝x°，∠MON＝80°，则∠BOC的度数为度（用含x的代数式表示）．25．一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k ＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC＝76°，∠BOF＝度；（2）若∠BOF＝36°，∠AOC＝度．三．解答题27．已知点O是直线AB上一点，∠COD是直角．（1）如图（1），若OE平分∠AOD，∠BOD＝40°，求∠COE的度数．（2）在图（1）中，若OE平分∠AOD，∠BOD＝a，请直接写出∠COE的度数（用含a的代数式表示）．（3）将图（1）中的∠COD按顺时针方向旋转至图（2）所示的位置，且OF平分∠BOC，其他条件不变，探究∠AOC与∠DOF的度数之间的等量关系，写出你的结论，并说明理由．28．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM 的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．29．如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝°；（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝°；（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．30．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°．（1）如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠ACE的度数；（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系．31．已知O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠BOE＝110°，求∠COF的度数．（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试判断∠COF和∠BOE之间的数量关系，并证明你的结果．（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，求满足：4∠COF﹣3∠BOE＝20°时，∠EOF 的度数．32．已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°．（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；①∠COD和∠BOE相等吗？②∠BOD和∠COE有什么关系？（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；①∠COD和∠BOE相等吗？②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？一．选择题1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【解答】C【解析】根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误，C是由两条直线相交构成的图形，正确，故选C．2．如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°【解答】D【解析】∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC AOB＝30°，又∠COP＝15°①当OP在∠BOC内，∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，②当OP在∠AOC内，∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，综上所述：∠BOP＝15°或45°．故选D．3．两根木条，一根长10cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（）A．1cm B．11cm C．1cm或11cm D．2cm或11cm【解答】C【解析】如图，设较长的木条为AB＝12cm，较短的木条为BC＝10cm，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM＝6cm，BN＝5cm，①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝6+5＝11cm，②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝6﹣5＝1cm，综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm或11cm，故选C．4．已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（）①∠AOC＝∠BOC②∠AOB＝2∠AOC③∠AOC+∠COB＝∠AOB④∠BOC∠AOBA．1个B．2个C．3个D．4个【解答】A【解析】①由∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB；②如图1，∠AOB＝2∠AOC所以不能确定OC平分∠AOB；③∠AOC+∠COB＝∠AOB不能确定OC平分∠AOB；④如图2，∠BOC∠AOB，不能确定OC平分∠AOB；所以只有①能确定OC平分∠AOB；故选A．5．在所给的：①15°、②65°、③75°、④135°、⑤145°的角中，可以用一副三角板画出来的是（）A．②④⑤B．①②④C．①③⑤D．①③④【解答】D【解析】①45°﹣30°＝15°，可以用一副三角板画出来；②65°不可以用一副三角板画出来；③45°+30°＝75°，可以用一副三角板画出来；④90°+45°＝135°，可以用一副三角板画出来；⑤145°不可以用一副三角板画出来；故选D．6．上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是（）A．30°B．45°C．90°D．120°【解答】D【解析】如图，上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是4×30°＝120°故选D．7．线段AB＝9，点C在线段AB上，且有AC AB，M是AB的中点，则MC等于（）A．3 B．C．D．【解答】B【解析】∵AB＝9，∴AC AB＝3，∵M是AB的中点，∴AM AB∴MC＝AM﹣AC3故选B．8．某教科局提出开展“三有课堂”，某中学在一节体现“三有课堂”公开展示课上，李老师展示一幅图，条件是：C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各个小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余②∠FCG与∠HCG互补③∠ECF与∠GCH互补④∠ACD﹣∠BCE＝90°，聪明的你认为哪些组的结论是正确的，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】C【解析】∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，∴∠ACF＝∠FCD∠ACD，∠DCH＝∠HCB∠DCB，∠BCG＝∠ECG∠BCE，∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，∠FCG＝135°∴∠ACF+∠BCH＝90°，∠FCG+∠HCG＝180°，故①②正确，∵∠ECF＝∠DCE+∠FCD＝90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH＝90°，∴∠ECF+∠DCH＝180°，∵∠HCG≠∠DCH，∴∠ECF与∠GCH不互补，故③错误，∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°，故④正确．故选C．9．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间【解答】A【解析】∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×100+10×300＝4500m，当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200＝5000m，当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200＝12000m，当停靠点在A、B区之间时，设在A区、B区之间时，设距离A区x米，则所有员工步行路程之和＝30x+15（100﹣x）+10（100+200﹣x），＝30x+1500﹣15x+3000﹣10x，＝5x+4500，∴当x＝0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A 区．故选A．10．在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠COB＝30°，则∠AOC等于（）A．80°B．20°C．80°或20°D．10°【解答】C【解析】①如图1，OC在∠AOB内，∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝50°﹣30°＝20°；②如图2，OC在∠AOB外，∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝50°+30°＝80°；综上所述，∠AOC的度数是20°或80°．故选C．11．如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝90°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】B【解析】①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE 和∠ADC互补，故②正确；③由∠BAE＝90°，∠CAD＝40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝90°+90°+90°+40°＝310°，故③错误；④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④错误．故选B．12．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【解答】A【解析】①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．13．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（）A．2条B．3条C．4条D．5条【解答】D【解析】如图，共有5条．故选D．二．填空题14．已知OC平分∠AOB，若∠AOB＝70°，∠COD＝10°，则∠AOD的度数为．【解答】25°或45°【解析】（1）若射线OD在OC的下方时，如图1所示：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC，又∵∠AOB＝70°，∴∠AOC35°，又∵∠AOC＝∠COD+∠AOD，∠COD＝10°，∴∠AOD＝35°﹣10°＝25°；（2）若射线OD在OC的上方时，如图2所示：同（1）可得：∠AOC＝35°，又∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD＝35°+10°＝45°；综合所述∠AOD的度数为25°或45°，故答案为25°或45°．15．如图，点C在线段AB上，且AC：BC＝2：3，点D在线段AB的延长线上，且BD＝AC，E为AD的中点，若AB＝40cm，则线段CE＝．【解答】12cm【解析】∵AC：BC＝2：3，BD＝AC，∴设AC＝BD＝2x，BC＝3x，∵AC+BC＝2x+3x＝40，解得：x＝8，∴AC＝BD＝16cm，BC＝24cm，∵E为AD的中点，∴AE＝ED（16×2+24）＝28cm，∴EC＝AE﹣AC＝28﹣16＝12cm．故答案为12cm．16．如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝．【解答】45°【解析】由折叠得，∠ABE＝∠DBE，∠CBF＝∠DBF，∵∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF∠ABC90°＝45°，故答案为45°．17．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，OD是OB的反向延长线．（1）射线OC的方向是；（2）∠COD的度数是．【解答】（1）北偏东70°；（2）70°【解析】（1）由图知：∠AOB＝15°+40°＝55°，∴∠AOC＝55°∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝15°+55°＝70°∴射线OC在北偏东70°方向上．故答案为北偏东70°；（2）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝55°×2＝110°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣110°＝70°故答案为70°18．观察下列图形，2条直线相交，有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，10条直线相交最多有个交点．【解答】45【解析】两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有1+2＝3个交点，四条直线相交最多有1+2+3＝6个交点，五条直线相交最多有1+2+3+4＝10个交点，……十条直线相交最多有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个交点；故答案为45．19．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠DOC＝30°，OM是∠DOC平分线，ON是∠COB的平分线，则∠MON的度数是．【解答】45°【解析】∵OM是∠DOC平分线，ON是∠COB的平分线，∴∠COM＝∠DOM∠COD，∠BON＝∠CON∠BOC，∵∠BOC+∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠COM+∠CON∠BOD＝45°＝∠MON，故答案为45°20．线段AB＝12cm，点C在线段AB上，且AC BC，M为BC的中点，则AM的长为cm．【解答】7.5【解析】如图，∵点C在线段AB上，AC BC，即BC＝3AC，∴AC+BC＝AB＝12即4AC＝12AC＝3∴BC＝9∵M为BC的中点，∴CM BC＝4.5∴AM＝AC+CM＝7.5cm．故答案为7.5．21．已知射线OA，从O点再引射线OB，OC，使∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，则∠AOC的度数为【解答】18°52′或116°10′【解析】如右图所示，①OC在OA、OB之间，∵∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，＝67°31′﹣48°39′，＝66°91′﹣48°39′，＝18°52′；②OB在OA、OC之间，∵∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝67°31′+48°39′＝115°70′＝116°10′；故答案是18°52′或116°10′．22．如图，已知∠AOB＝150°，∠COD＝40°，∠COD在∠AOB的内部绕点O任意旋转，若OE平分∠AOC，则2∠BOE﹣∠BOD的值为°．【解答】110【解析】如图：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，设∠DOE＝x，∵∠COD＝40°，∴∠AOE＝∠COE＝x+40°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°﹣2（x+40°）＝70°﹣2x，∴2∠BOE﹣∠BOD＝2（70°﹣2x+40°+x）﹣（70°﹣2x+40°）＝140°﹣4x+80°+2x﹣70°+2x﹣40°＝110°，故答案为110．23．已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝．【解答】110°或70°【解析】分两种情况进行讨论：①如图1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD，∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，∵∠AOC为平角，∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，即3α+70°+70°﹣α＝180°，解得α＝20°，∴∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；②如图2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．故答案为110°或70°．24．如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）若∠BOC＝40°，∠MON＝80°，则∠AOD的度数为度；（2）若∠AOD＝x°，∠MON＝80°，则∠BOC的度数为度（用含x的代数式表示）．【解答】（1）120°；（2）（160﹣x）【解析】（1）∵∠MON﹣∠BOC＝∠BOM+∠CON，∠BOC＝40°，∠MON＝80°，∴∠BOM+∠CON＝80°﹣40°＝40°，∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON，∴∠AOM+∠DON＝40°，∴∠AOD＝∠MON+∠AOM+∠DON＝80°+40°＝120°，故答案为120°；（2）∵∠AOD＝x°，∠MON＝80°，∴∠AOM+∠DON＝∠AOD﹣∠MON＝（x﹣80）°，∵∠BOM+∠CON＝∠AOM+∠DON＝（x﹣80）°，∴∠BOC＝∠MON﹣（∠BOM+∠CON）＝80°﹣（x﹣80）°＝（160﹣x）°，故答案为（160﹣x）．25．一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k ＝1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．【解答】150【解析】假设车站距离1号楼x米，则总距离S＝|x|+2|x﹣50|+3|x﹣100|+4|x﹣150|+5|x﹣200|，①当0≤x≤50时，S＝2000﹣13x，最小值为1350；②当50≤x≤100时，S＝1800﹣9x，最小值为900；②当100≤x≤150时，S＝1200﹣3x，最小值为750（此时x＝150）；当150≤x≤200时，S＝5x，最小值为750（此时x＝150）．∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．故答案为150．26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC＝76°，∠BOF＝度；（2）若∠BOF＝36°，∠AOC＝度．【解答】（1）33；（2）72【解析】（1）∵∠DOB和∠AOC是对顶角，∴∠DOB＝∠AOC＝76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠EOB∠DOB＝38°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝142°，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE∠COE＝71°，∴∠BOF＝∠FOE﹣∠EOB＝33°．故答案为33°．（2））∵∠DOB和∠AOC是对顶角，∴∠DOB＝∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠EOB∠DOB，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE∠COE，∵∠AOC＝180°﹣∠COF﹣∠BOF＝180°﹣（∠EOB+∠BOF）﹣∠BOF＝108°﹣∠EOB＝108°∠AOC∴∠AOC＝72°．故答案为72°．三．解答题27．已知点O是直线AB上一点，∠COD是直角．（1）如图（1），若OE平分∠AOD，∠BOD＝40°，求∠COE的度数．（2）在图（1）中，若OE平分∠AOD，∠BOD＝a，请直接写出∠COE的度数（用含a的代数式表示）．（3）将图（1）中的∠COD按顺时针方向旋转至图（2）所示的位置，且OF平分∠BOC，其他条件不变，探究∠AOC与∠DOF的度数之间的等量关系，写出你的结论，并说明理由．【解答】（1）20°；（2）；（3）见解析【解析】（1）∵∠BOD＝40°，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE∠AOD＝70°，∵∠COD＝90°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣70°＝20°；（2）∠COE．∵∠BOD＝a，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣a，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE∠AOD，∵∠COD＝90°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣（）；（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOF．理由：∵OF平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COF，∵∠COD＝90°，∴∠COF＝∠DOF﹣90°，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOC+2∠COF＝180°，∴∠AOC＝180°﹣2∠COF，∴∠AOC＝180°﹣2（∠DOF﹣90°）＝360°﹣2∠DOF．28．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM 的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．【解答】（1）78°；（2）；（3）t或【解析】（1）∵∠AOD＝156°，∠BOD＝96°，∴∠AOB＝156°﹣96°＝60°，∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM＝30°，∠BON＝48°，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝78°；（2）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM∠AOB，∠BON∠BOD，∵∠MON＝∠BOM+∠BON（∠AOB+∠BOD）∠AOD，∴；（3）∵∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∴∠AOC＝（52+2t）°，∠BOD（126﹣2t）°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM═（26+t）°，∠DON＝（63﹣t）°，当∠AOM＝2∠DON时，26+t＝2（63﹣t），则t；当∠DON＝2∠AOM时，63﹣t＝2（26+t），则t．故当t或时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，29．如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝°；（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝°；（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．【解答】（1）30；（2）50；（3）见解析【解析】（1）∵∠COD＝∠AOB．即∠AOC+∠BOC＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD，∵∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝120°﹣75°＝45°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣45°＝30°，故答案为30，（2）设∠BOD＝x°，由（1）得∠AOC＝∠BOD＝x°，则∠BOC＝75°﹣x°由∠AOD＝5∠BOC得，75+x＝5（75﹣x），解得，x＝50，即：∠BOD＝50°，故答案为50；（3）不变；∵∠COD＝∠AOB＝75°，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝75°×2＝150°，答：当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC＝150°，其值不变．30．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°．（1）如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠ACE的度数；（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系．【解答】（1）45°；（2）∠ACE＝∠BCF；（3）45°【解析】（1）∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ACF∠ACB90°＝45°，∴∠ACE＝∠ECF﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°；（2）∠ACE＝∠BCF，∵∠BCF+∠ACF＝90°＝∠ACE+ACF，∴∠ACE＝∠BCF；（3）∠BCF﹣∠ACD＝45°，∵∠ACF+∠BCF＝90°，∠ACD+∠ACF＝∠DCF＝45°，∴（∠ACF+∠BCF）﹣（∠ACD+∠ACF）＝90°﹣45°，即：∠BCF﹣∠ACD＝45°．31．已知O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠BOE＝110°，求∠COF的度数．（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试判断∠COF和∠BOE之间的数量关系，并证明你的结果．（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，求满足：4∠COF﹣3∠BOE＝20°时，∠EOF 的度数．【解答】（1）55°；（2）∠BOE＝2∠COF；（3）20°【解析】（1）∵∠BOE＝110°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝70°∵OF平分∠AOE∴∠EOF AOE＝35°∵∠COE＝90°∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝55°答：∠COF的度数为55°；（2）∠COF和∠BOE之间的数量关系为：∠BOE＝2∠COF，理由如下：∵OF平分∠AOE∴∠AOE＝2∠AOF∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2∠AOF＝180°﹣2（∠AOC+∠COF）＝180°﹣2（90°﹣∠BOE+∠COF）＝2∠BOE﹣2∠COF∴∠BOE＝2∠COF；答：∠COF和∠BOE之间的数量关系为：∠BOE＝2∠COF；（3）∵OF平分∠AOE∴∠FOE＝∠AOF∴4∠COF﹣3∠BOE＝20°4（∠COE+∠EOF）﹣3（180°﹣∠EOA）＝20°4（90°+∠EOF）﹣3（180°﹣2∠EOF）＝20°∴∠EOF＝20°答：∠EOF的度数为20°．32．已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°．（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；①∠COD和∠BOE相等吗？②∠BOD和∠COE有什么关系？（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；①∠COD和∠BOE相等吗？②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？【解答】（1）①相等，②∠BOD+∠COE＝180°；（2）①相等，②依然成立【解析】（1）①∠COD＝∠BOE，∵∠BOC＝∠DOE＝90°，∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，即：∠COD＝∠BOE，②∠BOD+∠COE＝180°，∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，∴∠BOD+∠AOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，（2）①∠COD＝∠BOE，∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，∴∠COD＝∠BOE，②∠BOD+∠COE＝180°，∵∠DOE＝90°＝∠BOC，∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，因此（1）中的∠BOD和∠COE的关系仍成立．。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;（1）若∠E=60°，则∠F=________;（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;【答案】（1）90°（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB∴EM∥AB∥FN∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN又∵AB∥CD，AB∥FN∴CD∥FN∴∠D+∠DFN=180°又∵∠D =120°∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°∴∠EFD=∠MEF +60°∴∠EFD=∠BEF+30°（3）解：如图，过点F作FH∥EP由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°∵FH∥EP∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.2．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧（1）若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F(异于A，B，C点)在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；（2）若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式，则________.【答案】（1）解：①又 E为BC中点；②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知：，和当时，此时可画图如图2所示，代入得：解得：，即AD的长为3当时，此时可画图如图3所示，代入得：解得：，即AD的长为5综上，所求的AD的长为3或5；（2） .【解析】【解答】（2）①若DE在如图4的位置设，则又（不符题设，舍去）②如DE在如图5的位置设，则又代入得：解得：则 .【分析】（1）①根据AB的长和可求出AC和BC，根据中点的定义可得CE，再由可得CD，最后根据计算即可得；②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知，和，所以需分2种情况进行讨论：和，如图2、3（见解析），先根据已知条件判断点E、F位置，再将EF和CE用含x的式子表示出来，最后代入求解即可；（2）设，先判断出DE在AB上的位置，再根据得出x和y 满足的等式，然后将其代入化简即可得.3．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD−∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°（2）过点P作PG∥AB∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG∵∠MPN=90°∴∠NPG－∠MPG=90°∴∠PFD－∠AEM=90°；（3）设AB与PN交于点H∵∠P=90°，∠PEB＝15°∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75°∵AB∥CD，∴∠PFO=∠PHE=75°∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．【解析】【解答】（1）过点P作PH∥AB∵AB∥CD，∴PH∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH∵∠MPN=90°∴∠MPH＋∠NPH=90°∴∠PFD＋∠AEM=90°故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°；【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．2．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.（2）MN=【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.3．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．【答案】（1）25°（2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB∠MOB=2∠BOC=130°∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°（3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°∠MON=90°∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°4∠NOC+∠NOC=25°∠NOC=5°∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65°∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.3．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O,A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动.（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由.【答案】（1）解：不变化.理由：∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠AOB=90°，∴∠APB=180°（∠OAB+∠ABO）=180° ×90°=135°（2）解：都不变.理由：∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线，AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∴∠CAQ=∠QBP=90°，又∠APB=135°，∴∠Q=45°，∴∠C=45°【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° −（∠OAB+∠ABO）；根据邻补角的平分线互相垂直，得到∠CAQ=∠QBP=90°，由∠APB的度数，求出∠Q和∠C的度数.4．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P 作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)【答案】（1）解：如图，∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，∴∠1=∠3∴AB∥CD（2）解：如图，由(1)得AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF∵GH⊥EG，∴PF∥GH．（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3∵∠3=2∠6，∴∠EPK=90°+2∠6∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（▲），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（▲），∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.【答案】（1）90°（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE，证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（平行线的迁移性），∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°−∠CGE ，故答案为：∠BFE＋180°−∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°−∠CGE；（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE− ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.即∠GPQ＋∠GEF＝90°.【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，∵∠CGE＝130°，∴∠HEG＝50°，∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；故答案为：90°；【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°−∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE；（3）如图2，根据角平分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.3．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.（1）如果∠A=80∘，求∠BPC= ________.（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.（3）将直线MN绕点P旋转。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.（2）MN=【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.3．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是________；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 =3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：设运动t秒时，BC=8单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+8+2t=24解得：t=2（秒）；②当点B在点C的右边时，由题意得：6t﹣8+2t=24解得：t=4（秒）（2）解：4或16（3）解：存在关系式 =3．设运动时间为t秒，1）当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，当PC=1时，BD=AP+3PC，即 =3；2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，①点P在线段AC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC，当PC=1时，有BD=AP+3PC，即 =3；点P在线段BC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；3°当t= 时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；4°当＜t 时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3．∵P在C点左侧或右侧，∴PD的长有3种可能，即5或3.5【解析】【解答】解：（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．【分析】（1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．4．综合题（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC=________．（用含α与β的代数式表示）【答案】（1）解：∵CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC= ∠AOC= ×90°=45°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF= ∠BOC= ×90°=45°，∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；（2）解：∵OE平分∠AOD，∴∠EOD= ∠AOD= ×（80+β）=40+ β，∵OF平分∠BOC，∴∠COF= ∠BOC= ×（80+β）=40+ β，∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+ β﹣β=40﹣β；∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+ β=80°；（3）【解析】【解答】（3）如图2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，∴∠AOD=α+β，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE= （α+β），∴∠COE=∠DOE﹣∠COD= ，如图3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，∴∠AOD=α+β，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE= （α﹣β），∴∠COE=∠DOE+∠COD= ．综上所述：，故答案为：．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠EOD=40+ β，∠COF=40+ β，根据角的和差即可得到结论；（3）如图2由已知条件得到∠AOD=α+β，根据角平分线的定义得到∠DOE=（α+β），即可得到结论．5．如图（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 【答案】（1）解：∵HG⊥HE，FG⊥HG∴FG∥EH，∴∠GFE+∠HEF=180°，∵AB∥CD∴∠BEH=∠CHE∴∠EHC+∠GFE=180°（2）解：设∠EHM=x，∵HG⊥HE，∴∠GHK=90°-x,∵MH平分∠CHG，∴∠EHC=90°-2x，∵AB∥CD∴∠HMB=90°-x，∴∠HMB=∠MHG=90°-x，∵AB∥CD，∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，∴∠GHD=2∠EHM；（3）解：延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图，∵AB∥CD，∠BFG=50°∴∠HRG=50°∵FG⊥HG，∴∠GHR=40°，∵HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，∵AB∥CD,∴∠FEH=∠CHE=50°，∵EP是∠HEF的平分线，∴∠SEP= ∠FEH=25°，∵GH平分∠HGF，∴∠HGS= ∠HGF=45°,∴∠HSG=45°，∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，∴∠EPS=20°，即∠NPK=20°.【解析】【分析】（1）根据HG⊥HE，FG⊥HG可证明FG∥EH，从而得∠GFE+∠HEF=180°，再根据AB∥CD可得∠BEH=∠CHE,进而可得结论；（2）设∠EHM=x，根据MH是∠CHG的平分线可得∠MHG=90°-x，∠EHC=90°-2x，根据平行线的性质得∠HMB=90°-x，从而得∠HMB=∠MHG，再由平行线的性质得∠BMH+∠DHM=180°，从而可得结论；（3）分别延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，由AB∥CD得∠HRG=50°，由FG⊥HG得∠GHR=40°，由MH平分∠CHG得∠CHE=50°，由AB∥CD得∠MEH=∠CHE=50°，可得∠SEP=25°，最后由三角形的外角可得结论.2．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB=90°+60°=150°（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°（4）解：成立【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明) ；（1）探究：如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B．、∠C之间的关系，并说明理由；（2）应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=________度；(直接填答案，不需证明) （3）拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=________度. (直接填答案，不需证明)【答案】（1）解：如图5，连接AD并延长至点F.∵∠BDF为△ABD的外角，∴∠BDF=∠BAD+∠B，同理可得∠CDF=∠CAD+∠C，∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；（2）40°（3）125°【解析】【解答】解：（2）由题意可得∠BXC=90°，由（1）中结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，∵∠A=50°，∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；（3）如图6，∵∠A=100°，∠BDC=150°，∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=150°-100°=50°，∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠ABE+∠ACE= （∠ABD+∠ACD）=25°，又∵∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE，∴∠BEC=100°+25°=125°.【分析】（1）如图5，连接AD并延长至F，然后利用三角形外角的性质进行分析证明即可得到∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；（2）由题意可知∠BXC=90°，结合∠A=50°和（1）中所得结论即可得到∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；（3）如图6，利用（1）中所得结论结合已知条件进行分析解答即可.2．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．3．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是________；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 =3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：设运动t秒时，BC=8单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+8+2t=24解得：t=2（秒）；②当点B在点C的右边时，由题意得：6t﹣8+2t=24解得：t=4（秒）（2）解：4或16（3）解：存在关系式 =3．设运动时间为t秒，1）当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，当PC=1时，BD=AP+3PC，即 =3；2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，①点P在线段AC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC，当PC=1时，有BD=AP+3PC，即 =3；点P在线段BC上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；3°当t= 时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，当PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3；4°当＜t 时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，PC= 时，有BD=AP+3PC，即 =3．∵P在C点左侧或右侧，∴PD的长有3种可能，即5或3.5【解析】【解答】解：（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．【分析】（1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．4．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，∁…．例如：当α=30°时，OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON 上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1， OA2， OA3， OA4， OA3的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．解决如下问题：（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是________；（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3， OA4并求出α的值；（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是________（4）（选做题）当OA i所在的射线是∠A i OA k（i，j，k是正整数，且OA j与OA k不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．【答案】（1）45°（2）解：如图所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得：（3），，（4）解：对于角α=120°不能停止．理由如下：无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会停止．但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM 重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况，旋转不会停止【解析】【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会中止．5．如图（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。

B. 18个交点 D. 10个交点D.不能确定B.3个 D.5个 ADLCD. AB=a, CD=b,贝U AC 的取 )平面图形的认识（一）检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 如图，下列不正确的几何语句是（ ）一；——； ----- ；—0 A BA. 直线AB 与直线BA 是同一条直线 第1题图B. 射线OA 与射线OB 是同一条射线C. 射线OA 与射线AB 是同一条射线 |rD. 线段AB 与线段BA 是同一条线段2. 如图，己知。

NIL, OMJLL,所以OM 与ON 重合，其理由是（ ）A. 两点确定一条直线B. 在同一平而内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 第2题图C. 在同一•平面内，过一点只能作一条垂线D. 垂线段最短3. （2013・武汉中考）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么六条直线最多有（）A. 21个交点 C. 15个交点4.如果匕。

与N/?是邻补角，且Zcr>Z^那么的余角是（ ）A.— （ Za+Z/?）B.— Za 2 2C.— （Z.a — ZB ） 25. 己知。

、/?都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算!（a +p ）的结果依次是28。

、48。

、60。

、88°,其中只有一人计算正确，他是（）A.甲B.乙C.丙D.T 6. 下列语句：①一条直线有且只有一条垂线； %1 不相等的两个角一定不是对顶角； %1 两条不相交的直线叫做平行线；%1 若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平 行，则这两个角相等；%1 不在同一直线上的四个点可画6条直线；%1 如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成 的图形是直角. 其中错误的有（ A.2个 C.4个 7. 如图，ACLBC,值范围是（A.大于bB.小于QC.大于b且小于QD.无法确定8.如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（A.BC=AB—CD C.BC= - (AD+CD)2B.BC=-AD~CD2D・BC=AC—■ ■iB C D第8题图9.如图，观察图形，下列说法正确的个数是（）①直线曲和直线是同一条直线；②射线4C和射线刀D是同一条射线；③刀B+BDW1D；④三条直线两两相交时，一定有三个交点.A.lB.2C.3D.410.如果N1与N2互补，Z2与匕3互余，则匕1与匕3的关系是（）A.Z1=Z3 B.Z1 = 18O°-Z3C.Z1 = 9O°+Z3D.以上都不对二、填空题（每小题3分，共24分）11 .已知线段AB=10cm, BC=5cm, A、B、C三点在同一条直线上，则AC=.12.己知线段时=1 996 cm, P、Q是线段4B上的两个点•，线段"二1 200 cm,线段时=1 050 cm,贝线段PQ=.13.如图，OM平分NAOB, ON平分ZCOD.若 ZMON=5。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD.（2）解：猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB，又∵∠ACB=2∠B，∴∠FED=2∠B，∵∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B，∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD.【解析】【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．2．如图，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E，∠ADE+∠BCF=180°．（1）请说明AB∥EF的理由；（2）若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE= ∠ABC．又∵∠ABC=2∠E，即∠E= ∠ABC，∴∠E=∠ABE．∴AB∥EF（2）解：结论：AF⊥BE．理由：∵∠ADE+∠ADF=180°，∠ADE+∠BCF=180°，∴∠ADF=∠BCF，∴AD∥BC；∴∠DAB+∠CBA=180°，∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∴AF⊥BE【解析】【分析】（1）由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠ABC，结合∠ABC=2∠E，得∠E=∠ABC，等量代换得∠E=∠ABE，则内错角相等两直线平行，AB平行EF；（2）由同角的补角相等得∠ADF=∠BCF，则同位角相等两直线平行，AD∥BC，由于∠DAB和∠CBA是同旁内角，得∠DAB+∠CBA=180°，由于∠OAB和∠OBA分别是∠DAB和∠CBA的一半，则∠OAB和∠OBA之和为90°，即AF⊥BE。