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中考数学专题复习题型九 二次函数综合题课件

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中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件

中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
















时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .


∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－



−
＋ .∴


时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图

中考数学总复习：二次函数ppt专题课件

中考数学总复习：二次函数ppt专题课件

重点解析
探究拓展
真题演练
2+k 的形式是( 1.把二次函数 y= 1 x2-x+ 3 用配方法化成 y=a( x-h) 4
)
第 十 四 讲 第 十 五 讲
1 2+2 A.y= 4 ( x-2)
2+4 C.y= 4 ( x+2)
1 B.y= 4
2+4 ( x-2)
1
2+3 D.y=(2 x- 2 )
C.( -1, 2)
D.( 1, -4)
第 十 四 讲 第 十 五 讲
【思路点拨】 用公式法求二次函数对称轴及顶点坐标时, 应先将函数 解析式化为一般形式(y=ax2+bx+c(a≠0)), 再确定 a, b, c的值.用配方法求 解时, 要分清代数式的配方法与解方程时的配方法的不同.用配方法把 二次函数化为 y=a(x-h)2+k 的形式, 解题时先提取 a, 将 x2 项系数化为 1, 即 y=ax2+bx+c=a(x2+
第 十 四 讲 第 十 五 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
一、二次函数的有关概念 1.二次函数的定义: 一般地, 形如 ( a、b、c为常数, a≠0) 的函数, 叫做二次函数.
第 十 四 讲 第 十 五 讲
➡特别提醒: 二次函数 y=ax2+bx+c中, a 是不为 0 的实数, b 和 c可以是 任意实数, 自变量 x 的取值范围是全体实数. 2.二次函数的两种形式: ( 1) 一般形式: .
2+h( ( 2) 顶点式: y=a(x-d) a≠0) , 其中二次函数的顶点坐标是

中考数学复习课件：二次函数的综合应用(共21张PPT)

中考数学复习课件：二次函数的综合应用(共21张PPT)

∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
������������ ������������ ∴△DEM∽△BOC，∴ = ， ������������ ������������ 4 ∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE= DM 5 3 12 3 12 ∴DE=﹣ a2+ a=﹣（ （a﹣2）2+ ， 5 5 5 5 12 当 a=2 时，DE 取最大值，最大值是 ， 5
∵点 B（4，1），直线 l 为 y=﹣1， ∴点 B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 将 A（1， ）、B′（4，﹣3）代入 y=kx+b，得：
，解得：
，
∴直线 AB′的解析式为 y=﹣
x+
，
当 y=﹣1：x=
，
∴点 P 的坐标为（
【例3】如图，在平面直角坐标系 ∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经 过A、B两点． （1）求抛物线的解析式；
解题过程 （1）∵B（1，0）， ∴OB=1， ∵OC=2OB=2， ∴C（﹣2，0）， Rt△ABC中，tan∠ABC=2
当x=-0.75时y=6.625即M2（-0.75,6.625）
例4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c
与x 轴的两个交点分别为A（3，0），D（－1， 0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上， 且OB＝OD（1）求抛物线的解析式
解：（1）把A（3，0），D（﹣1，0）代入
y=﹣x2+bx+c得到， 解得，
K
E D
解：S△ABP=
PE×BC =
△APE △BPE=

2024年广东中考数学专题复习课件：二次函数的综合问题

2024年广东中考数学专题复习课件：二次函数的综合问题
点C(0，2)．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC.
(2)如图，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标．
解：过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作PE∥x轴，交y轴于点E，
∴x21＝－32(舍去)，x22＝16. ∴x＝4(舍去)或x＝－4. ∴B(－4，－3)；
4．(2023成都改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过点
P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)． (2)若抛物线上存在一点B，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标．
点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的最小值；
如图，作点D关于x轴的对称点D′(0，－2)， 连接D′M，D′H，则DH＝D′H， ∵D′M＝ （1－0）2＋（4＋2）2＝ 37， ∴MH＋DH＝MH＋D′H≥D′M， 即MH＋DH的最小值为D′M.
∴－ c＝13－，b＋c＝0，解得bc＝＝32.， ∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
2．(2023枣庄)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，C(0，3)两
点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的最小值；
将 y＝0 代入，得－12x2＋32x＋2＝0，解得 x1＝－1，x2＝4. ∴A(－1，0)．
∴OB＝4，OC＝2. 在 Rt△COB 中，tan∠ABC＝OOCB＝24＝12.
故答案为：32
2
(－1，0)
1 2.
5．(2023湖北改编)已知抛物线y＝－ 1 x2＋bx＋c与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于 2

与《二次函数》有关的中考综合题 ppt课件

与《二次函数》有关的中考综合题 ppt课件

周长的最小值； 3 +
（3）如图（2），若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、
D 不重合），过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，
交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，△ADF 的面积为 S．
①求 S 与 m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐
（3）对于给定的正实数 a，是否存在 n，使△ABC 是以 AC
为底边的等腰三角形？如果存在，求 n 的值（用含 a 的代数
式表示）；如果不存在，请说明理由．
当 a=11 时，∵y1≤y2≤y3
∴﹣ n 2+11n ≤﹣（ n +1）2+11（n +1）≤﹣（n +2） 2+11（n +2）
化简得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，
边 BC 上，若∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF
于点 F．
（1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三
角形全等来证明 AE=E F，请叙述你的一个构造方案，并指 取 AB 的中点 G，连接 EG，利用 ASA 能得到△AGE 与△ECF
出是哪两个三角形全等（不要求证明）； 全等；
，
∴Rt △ABD≌Rt△CBE （HL ）． ∴∠ABD=∠CBE ，即 BN 为顶角的平分线． 由等腰三角形性质可知，点 A、C 关于 BN 对称， ∴BN 为抛物线的对称轴，点 B 为抛物线的顶点，
∴n+1= ，
∴n= ﹣1．
∴a 为大于 2 的偶数，存在 n，使△ABC 是以 AC 为底边的
ppt课件
4
②过点 F 作 FH⊥x 轴于 H，

中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)

中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(线段周长问题)含答案

(3)M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分 的边MN时，求点N的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接 ，求 的最小值；
②是否存在点P使 为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣ x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．二次函数 的图像与 轴交于点 ，与 轴交于点 、 ．
(1)求 、 的值；
(2) 是二次函数图像在第一象限部分上一点，且 ，求 点坐标；
(3)在（2）的条件下，有一条长度为 的线段 落在 上（ 与点 重合， 与点 重合），将线段 沿 轴正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为 秒，当四边形 周长最小时，求 的值．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标；
(3) 为线段AB上一点， ，作 轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．
11．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点(不与点A，C重合)，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．

中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件


10
即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。 一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标 线段长，线段长 点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式 点坐标 线段长 面积
及其它。
（压轴题07） 点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的 新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。 则DM=2a，CM=2b。 所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N

深圳中考数学 专题9 二次函数综合题(中考22题)


为半径作圆，交 x 轴正半轴于点 E.在 y 轴正半轴上有一动点 P，
直线 PF 与⊙A 相切于点 F，连接 EF 交 y 轴于点 N，当 PF∥BM
时，求 PN 的长．
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
解：如解图 2 中，连接 BM，延长 FA 交 y 轴于点 J.
∵A(－2，0)，M(0，－53)，
当 y＝103 3时，103 3＝ 93x2－29 3x－89 3， 解得 x＝1± 39，
∴P(1＋ 39，103 3)或(1－ 39，103 3)．
∴PN＝PF＝5 961＋2 334.
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
4.(2020·罗湖区一模)如图，已知抛物线 y＝a(x＋2)(x－4)(a 为常
数，且 a＞0)与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，
经过点 B 的直线 y＝－ 33x＋43 3与抛物线的另一个交点为 D，且点 D 的横坐标为－5.
连接 CD，BC．
∵C(0，－893)，D(－5，3 3)，B(4，0)
∴CJ＝433－(－893)＝209 3
∴S△BDC＝C2J×(xB－xD)＝12×209 3×[4－(－5)]＝10 3，
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
∴S△PAB＝10 3，
∴12×6×|yP|＝10 3，解得 yP＝±103 3.
(1)求该抛物线的解析式；
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专题九
二次函数综合题(中考22题)
解：将点 A，B 的坐标代入抛物线的解析式， 得－ c＝4－＝19，－3b＋c，解得bc＝＝－4，1， 故抛物线的解析式为 y＝x2＋4x－1；

《二次函数》中考总复习PPT课件(大全)

m2 m
- 2χ+1
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次 函数？
(3) y 1 2x
3 (1) y x 4
2
(2) y x
2
(5) y x x 1 (7) y ( x 2) 3 2 (9) y x 1 x
2
1 (4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 2 2 m 2 2 m （1）若是二次函数，则 且 m2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
2 2 m 2 1 m （2）若是反比例函数，则 且 m2 0
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
小结：
抛物线
开口方向
对称轴
a>0 y=ax 2 开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
y=ax2 +k
y=a(x- h)
2
( 0,0 ) 开 y轴(直线 x=0) ( 0,k ) 口
向 下
2 y=a(x-h)+k
直线 ( h,0 ) x=h ( h,k )
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探究特殊四边形的存在性问题
例2 (2018· 南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交
于点A、B. (1)求抛物线的解析式； (2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等， 求点Q的坐标； (3)若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC
的垂线段，垂足分别为点D、E，是否存在点M、N，使四边形MNED为正方形？
3 3 解：(1)二次函数的表达式为 y＝－ x2－ x＋6； 4 2 1 (2)由 A(－ 4，0)， E(0 ，－2) ，可求 AE 所在直线解析式为 y＝－ x－ 2，过点 D 作 2 DN⊥x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为点 H，如解 3 3 1 图，设 D(m，－ m2－ m＋6)，则点 F(m，－ m－2)， 4 2 2 3 3 1 3 ∴DF＝－ m2－ m＋6－(－ m－2)＝－ m2－m＋8， 4 2 2 4 1 1 ∴S△ADE＝S△ADF＋S△EDF＝ DF· AG＋ DF· EH 2 2 1 1 3 ＝ ×DF×(AG＋EH)＝ ×4×DF＝2×(－ m2－m＋8) 2 2 4 3 2 50 2 50 ＝－ (m＋ )2＋ ，∴当 m＝－ 时，△ADE 的面积取得最大值为 ； 2 3 3 3 3 (3)P 点的坐标为(－1，1)或(－ 1， 11)或(－ 1，－ 11)或(－ 1，－2＋ 19)或( －1， －2－ 19)．
3 3 解：(1)该抛物线的解析式为 y＝－ x2＋ x＋3； 8 4 (2)设运动时间为 t 秒，则 AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t， 由题意得，点 C 的坐标为(0，3)，在 Rt△BOC 中，BC＝ 32＋42＝5， 如解图①，过点 N 作 NH⊥AB 于点 H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC， HN BN 3 ∴ ＝ ，即 ，∴HN＝ t， OC BC 5 1 1 3 9 9 ∴S＝ MB· HN＝ (6－3t)× t＝－ t2＋ t＝ 2 2 5 10 5 9 9 － (t－1)2＋ (0<t<2)， 10 10 9 9 ∵－ <0，∴当 t＝1 时，S 最大＝ ， 图① 10 10 9 ∴点 M 运动 1 秒时△MBN 的面积最大，最大面积是 ； 10
(3)存在某一时刻 t，使△MBN 为直角三角形，如解图②， OB 4 在 Rt△OBC 中，cos∠B＝ ＝ ， BC 5 设运动时间为 t 秒，则 AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t， BN 4 4 当∠MNB＝90° 时，cos∠B＝ ＝ ，即 ＝ ， MB 5 5 24 化简，得 17t＝24，解得 t＝ ； 17 4 当∠BMN＝90° 时，cos∠B＝ ＝ ， 5 30 化简，得 19t＝30，解得 t＝ . 图② 19 24 30 综上所述，当 t＝ 或 t＝ 时，△MBN 为直角三角形． 17 19
(3)存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形，如解图②，过点 M 作 MF∥y 轴，过点 N 作 NF∥x 轴，过点 N 作 NH∥y 轴，则有△MNF 与△NEH 都 为等腰直角三角形．设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线 MN 解析式为 y＝－x ＋b，联立得 消去 y 得 x2－3x＋b－3＝0， ∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b， ∵△MNF 为等腰直角三角形， ∴MN2＝2NF2＝42－8b， 1 ∵NH2＝(b－3)2，∴NE2＝ (b－3)2，若四边形 2 1 MNED 为正方形，则有 NE2 ＝MN2，∴ 42－8b＝ (b2－6b＋9)，整理得 b2 2 ＋10b－75＝0，解得 b＝－15 或 b＝5，∵正方形边长为 MN＝ 42－8b， ∴MN＝9 2或 2.
3 6 解：(1)该抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3；(2)M(－ ，－ )； 5 5 (3)存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑： 设 Q(x，0)，P(m，m2－2m－3)， 当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B(－1，0)，C(0，－3)，根据平移规律 得：－1＋x＝0＋m，0＋0＝－3＋m2－2m－3，解得：m＝1± 7，x＝2± 7， 当 m＝1＋ 7时，m2－2m－3＝8＋2 7－2－2 7－3＝3，即 P(1＋ 7，3)； 当 m＝1－ 7时，m2－2m－3＝8－2 7－2＋2 7－3＝3，即 P(1－ 7，3)； 当四边形 BCPQ 为平行四边形，由 B(－1，0)，C(0，－3)， 根据平移规律得：－1＋m＝0＋x，0＋m2－2m－3＝－3＋0， 解得：m＝0 或 2，当 m＝0 时，P(0，－3)(舍去)；当 m＝2 时，P(2，－3)， 综上，存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P 的坐标为 (1＋ 7，3)或(1－ 7，3)或(2，－3)．
2. (2018· 眉山)如图①，已知抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c的图象经过点A(0，3)、 B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C， ∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横 坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时， 四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 △POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有 符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【方法指导】探究特殊四边形的存在性问题时，具体方法如下： (1)假设结论成立；
(2)探究特殊四边形通常有两类：
第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究特殊四边形的边或对角线画出符 合题意的特殊四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的 线段为探究特殊四边形的边或对角线画出符合题意的特殊四边形； (3)建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可 以利用特殊四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直 角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析 式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解．
解：(1)抛物线的解析式 y＝x2－4x＋3； (2) 如解图，设 P(m，m2－4m＋3)， ∵OE 平分∠AOB，∠AOB＝90° ，∴∠AOE＝45° ， ∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3，∴E(3，3)， 易得 OE 的解析式为 y＝x，过点 P 作 PG∥y 轴，交 OE 于点 G， ∴G(m，m)，∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3，∴S 四边形 AOPE＝S△AOE 1 1 9 1 3 15m ＋S△ POE ＝ ×3×3＋ PG· AE＝ ＋ ×3×(－m2＋5m－3)＝－ m2 ＋ ＝ 2 2 2 2 2 2 3 5 75 3 5 75 － (m－ )2＋ ，∵－ ＜0，∴当 m＝ 时，S 有最大值是 ； 2 2 8 2 2 8 5＋1 5＋ 5 5－ 5 1－ 5 3＋ 5 1－ 5 (3)点 P 的坐标是( ， ) 或( ， )或( ， )或 2 2 2 2 2 2 3－ 5 1＋ 5 ( ， )． 2 2
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax ＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、
2
B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA. (1)试求抛物线的解析式； (2)直线y＝kx＋1(k>0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于
【方法指导】探究特殊三角形的存在性问题 (1)假设结论成立； (2)找关系：①在直角三角形中，当所给直角未说明时，可以将所求三角形的
三个角分别设为直角分类进行讨论；②在等腰三角形中，当所给定长未说明时， 需分情况讨论： Ⅰ.当定长为腰时，则找直线或抛物线上的点与定长的一个端
点的距离相等，该点即为符合条件的点； Ⅱ.当定长为底边时，则找出定长的
垂直平分线，若与直线或抛物线有交点，则交点即为所求的点；若无交点，则
满足条件的点不存在；
(3)计算：①利用相似三角形求解；②图形中没有相似三角形，可以通过添加 辅助线构造相似三角形；③利用特殊三角形的性质进行求解．
[对应训练] 1. (2017· 内江)如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 坐标为(4，0)，抛物 线的对称轴方程为 x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点 运动，同时点 N 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度 向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值； (3)在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t， 使△MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值； 若不存在，请说明理由．
【分析】(1)由题意将已知点代入二次函数中，列方程组求解即可；
(2)先求出直线AE所在直线的解析式，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴 于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为点H，设出点D的坐标，表示出△ADE的面 积，利用二次函数分析最值即可；
(3)由题意可设出点P的坐标，分别表示出PA、PE、AE的长度，再分为PA＝PE， PA＝AE，PE＝AE三种情况分析讨论即可．
设出直线MN的解析式，与二次函数解析式联立，求得关于x的一元二次方程，
利用根与系数的关系、等腰直角三角形与正方形的性质，求出b的值，进而得Biblioteka 出MN的长，即为正方形的边长．
解：(1)抛物线解析式为 y＝－x2＋2x＋3； (2)由 B(3，0)，C(0，3)，得到直线 BC 解析式为 y＝－x＋3.∵S△PBC＝S△QBC，∴PQ∥BC， ①过点 P 作 PQ1∥BC，交抛物线于点 Q1， 如解图①， ∵P(1，4)，∴直线 PQ1 解析式为 y＝－x＋5， 联立直线 PQ 与抛物线的解析式得，Q1(2，3)； ②设 G(1，2)，∴PG＝GH＝2， 过点 H 作直线 Q2Q3∥BC，交 x 轴于点 H， 则直线 Q2Q3 解析式为 y＝－x＋1， 3－ 17 联立直线 Q2Q3 与抛物线的解析式得， Q2( ， 2 －1＋ 17 3＋ 17 －1－ 17 )，Q3( ， )； 2 2 2