(泰安专版)201x版中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第21讲 圆的有关性质精练

第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(2018菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA 的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(2018甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x 轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(2017江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC 为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(2017潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC 相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(2018北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(2017江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC 相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB. cmC.2.5 cmD. cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )A.B.C.1- D.-二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是cm.三、解答题5.(2018江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得的长=的长, ∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案70°解析∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案27°解析∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案2解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所==4.在Rt△ABC中,AC=AB×cos 60°=4×=2. 以AB=°9.答案解析如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.∴BC=-=6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.在Rt△BCE中,BE==2,∴sin α===.三、解答题10.解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.在△ABC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC=·=.由AB=4,BC=2,得DC=()=.11.证明(1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.∴DC·CN=CM·DN.∵CN=DC,∴DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8 cm,AE=2 cm, 在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC===4 cm,∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,即=,解得OF= cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D. ∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.∴BE=+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.∴=-.故选D.二、填空题4.答案8解析如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M, 此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,∴的长=的长,∵的长=的长=的长,AB为直径,∴C D为直径,∴CM+DM的最小值是8 cm.三、解答题5.解析如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CDE=∠B.∵cos B=,CD=10,∴cos ∠CDE===, ∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°,∴四边形AFCE是矩形, ∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9,∴cos B===,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.。

第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(2018菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(2018甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(2017江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F 的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(2017潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(2018北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(2017江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB. cmC.2.5 cmD. cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )A. B. C.1- D.二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是cm.三、解答题5.(2018江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得的长=的长,∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案70°解析∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案27°解析∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案2解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所以AB===4.在Rt△ABC中,AC=AB×cos 60°=4×=2.9.答案解析如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,∴BC==6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.在Rt△BCE中,BE==2,∴sin α===.三、解答题10.解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.在△ABC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC==.由AB=4,BC=2,得DC==.11.证明(1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.∴DC·CN=CM·D N.∵CN=DC,∴DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8 cm,AE=2 cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC===4 cm, ∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,即=,解得OF= cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D. ∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.∴BE=+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.∴=.故选D.二、填空题4.答案8解析如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,∴的长=的长,∵的长=的长=的长,AB为直径,∴C'D为直径,∴CM+DM的最小值是8 cm.三、解答题5.解析如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CDE=∠B.小中高精品教案试卷∵cos B=,CD=10,∴cos ∠CDE===,∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°,∴四边形AFCE是矩形,∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9,∴cos B===,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.制作不易推荐下载11。

考
题
回
归
教
材
第十七页，共三十四页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考
题
回
归
教
材
考向一
垂径定理(dìnglǐ)的应用
例 1 如图 23-6,已知☉O 的直径 AB⊥CD [解析]∵AB⊥CD,
于点 E,则下列结论不正确的是 (
B
)
∴CE=DE, =.
∵CO=DO,∠CEO=∠DEO=90°,
A.CE=DE
B.AE=OE
C. =
D.△ OCE≌△ODE
∴△ OCE≌△ODE.
不能确定 AE 和 OE 的关系,故选 B.
图23-6
第十八页，共三十四页。
基
础
知
识
巩
固
精练(jīngliàn)1 如图23-7,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC等于
(
)
B
A.3 cm
ngzhuàn),并证
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做⑧ 直径
顶点在圆心的角
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角
第五页，共三十四页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考点(kǎo diǎn)二
垂径定理
示例
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径⑨ 平分(píngfēn)弦
,并且平分弦所对的两条弧
如图,如果 CD⊥AB,则
AM=BM, = ,=
基
础
知

A．10° B．14° C．16° D．26°
考点精讲
对对应应训训练练
9．(2020·江西宜春模拟)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四 边形，若∠B＝130°，则∠AOC的大小为 100° ．
精讲释疑
重重点点题题型型
题 型 一 圆的基本性质相关计算和证明
题组训练
例1.(2020·江西模拟)如图⊙O的半径为1 cm，弦AB，CD的长 度分别为 2 cm，1 cm.
考点精讲
对对应应训训练练
6．(2015·江西)如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交 AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为_1_1_0_°．
Байду номын сангаас
考点精讲
对对应应训训练练
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点， .若∠CAB＝50°，则∠CAD＝ 20 °.
考 点 五 圆内接四边形的性质
重重点点题题型型
题组训练
解：(1)如图1，△ACD即为所求(画法不唯一). (2)如图2，△AEF即为所求(画法不唯一).
重点题型
题题组组训训练练
2．在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请仅用无刻度的直尺作 图：
(1)在图 1中， 以 点C或 点 B为顶点作一锐角 ，使该锐角与 ∠CAB互余；
(2) 在 图 2 中 ， 已 知 AD∥BC 交 ⊙O 于 点 D ， 过 点 A 作 直 线 将 △ACB的面积平分．
解：(1)∠AOC＋∠DOB＝180°； (2)相同，理由如下：连接BC，∵∠AOC＝2∠CBA，∠DOB ＝2∠BCD，∴∠AOC＋∠DOB＝2(∠CBA＋∠BCD)， 又∵AB⊥CD，∴∠CBA＋∠BCD＝90°， ∴∠AOC＋∠DOB＝2×90°＝180°.

第六章　圆第21讲　圆的有关性质A组　基础题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(2018菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°33.(2018甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(2017江苏苏州)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC 为直径的☉O 交AB 于点D,E 是☉O 上一点,且的长=的长,连接OE,过点E 作EF⊥OE,交AC ⏜CE ⏜CD 的延长线于点F,则∠F 的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(2017潍坊)如图,四边形ABCD 为☉O 的内接四边形.延长AB 与DC 相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC 的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(2018北京)如图,点A,B,C 在☉O 上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,⏜CB ⏜CD 则∠ADB= .7.(2017江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC= .8.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为 .三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;3(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组　提升题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB. cmC.2.5 cmD. cm652.如图所示,在☉O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 是弧AB 的中点,点E 是弧AC 的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )EFBF A. B. C.1- D.1314222-12二、填空题4.在☉O 中,AB 是☉O 的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M 是AB 上一动点,⏜AC ⏜CD ⏜BD CM+DM 的最小值是 cm.三、解答题5.(2018江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求35AD 的长.第六章　圆第21讲　圆的有关性质A 组　基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,⏜CE ⏜CD ∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE 交☉O 于点F.由垂径定理,得的长=的长,⏜DF ⏜CF ∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案　70°解析　∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,⏜CB ⏜CD ∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案　27°解析　∵四边形ABCD 是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.1212∵四边形AECD 是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案　23解析　连接BD,因为AB 为☉O 的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD 平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所以AB===4.在Rt△ABC ADAB AD cos30°6323中,AC=AB×cos 60°=4×=2.31239.答案　31313解析　如图,连接BC.∵AB 是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC 中,AC=8,AB=10,∴BC==6.AB 2-AC 2∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.12在Rt△BCE 中,BE==2,BC 2+CE 213∴sin α===.BCBE 621331313三、解答题10.解析　(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED 是☉O 的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.12在△ABC 与△EDC 中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC==.AB DE BC DC BC ·DE AB BC 22AB 由AB=4,BC=2,得DC==.3(23)22×43211.证明　(1)∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD 内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.DC DN CM CN ∴DC·CN=CM·DN.∵CN=DC,∴DC 2=CM·DN.B 组　提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC 是☉O 的直径,弦BD⊥AO 于E,BD=8 cm,AE=2 cm,在Rt△OEB 中,OE 2+BE 2=OB 2,即OE 2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC 中,BC===4 cm,BE 2+EC 242+825∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,OF BE OC BC 即=,OF 4545解得OF= cm,5故选D.2.D 延长AO 交BC 于D,作OE⊥BC 于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB 为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,12∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE 于D.∵点E 是弧AC 的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE 是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.22∴BE=+1.2再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.12+12∴=.EF BF 2-12故选D.二、填空题4.答案　8解析　如图,作点C 关于AB 的对称点C',连接C'D 与AB 相交于点M,此时,点M 为CM+DM 为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,⏜AC ⏜AC '∴的长=的长,⏜BD ⏜AC '∵的长=的长=的长,AB 为直径,⏜AC ⏜CD ⏜BD ∴C'D 为直径,∴CM+DM 的最小值是8 cm.三、解答题5.解析　如图所示,过点C 作AD 延长线的垂线CE,垂足为E,过点C 作CF⊥AB 于点F,∵四边形ABCD 是圆内接四边形,∴∠CDE=∠B.∵cos B=,CD=10,35∴cos ∠CDE===,35DE CD DE 10∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°,∴四边形AFCE 是矩形,∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9,∴cos B===,35BF BC 9BC ∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.。

第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(xx浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(xx菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(xx甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(xx江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(xx潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(xx北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(xx江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(xx湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,O D⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.(xx浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB.cmC.2.5 cmD.cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )A. B. C.1- D.二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M是AB上一动点,CM+DM 的最小值是cm.三、解答题5.(xx江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得的长=的长,∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案70°解析∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案27°解析∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案2解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所以AB===4.在Rt△ABC 中,AC=AB×cos 60°=4×=2.9.答案解析如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,∴BC==6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.在Rt△BCE中,BE==2,∴sin α===.三、解答题10.解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.在△A BC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC==.由AB=4,BC=2,得DC==. 11.证明(1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.∴DC·CN=CM·DN.∵CN=DC,∴DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8 cm,AE=2 cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC===4cm,∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,即=,解得OF=cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D.∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.∴BE=+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.∴=.故选D.二、填空题4.答案8解析如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,∴的长=的长,∵的长=的长=的长,AB为直径,∴C'D为直径,∴CM+DM的最小值是8 cm.三、解答题5.解析如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CDE=∠B.∵cos B=,CD=10,∴cos ∠CDE===,（通用版）2021版中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第21讲 圆的有关性质精练 11 / 11 ∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°,∴四边形AFCE 是矩形,∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9, ∴cos B===,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。

第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(2018菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(2018甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(2017江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(2017潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(2018北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(2017江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB. cmC.2.5 cmD. cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )A. B. C.1- D.二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M是AB上一动点,CM+DM 的最小值是cm.三、解答题5.(2018江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得的长=的长,∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案70°解析∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案27°解析∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案2解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所以AB===4.在Rt△ABC中,AC=AB×cos 60°=4×=2.9.答案解析如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,∴BC==6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.在Rt△BCE中,BE==2,∴sin α===.三、解答题10.解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴A B=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.在△ABC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC==.由AB=4,BC=2,得DC==.11.证明(1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.∴DC·CN=CM·DN.∵CN=DC,∴DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8 cm,AE=2 cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC===4 cm, ∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,即=,解得OF= cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D. ∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.∴BE=+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.∴=.故选D.二、填空题4.答案8解析如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,∴的长=的长,∵的长=的长=的长,AB为直径,∴C'D为直径,∴CM+DM的最小值是8 cm.三、解答题5.解析如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,11∵四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴∠CDE=∠B. ∵cos B=,CD=10, ∴cos ∠CDE===, ∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°, ∴四边形AFCE 是矩形, ∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9, ∴cos B===,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.。

第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(2018菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA 的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(2018甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x 轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(2017江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC 为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(2017潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC 相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(2018北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(2017江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC 相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;。

∴cos B=5=???=????,? ∴BC=15,
∴CF=12,
∴AE=12,
∴AD=12-6=6.
?
?
交 AB于点 D,E 是☉Ｏ上一点 , 且???的? 长 =???的? 长 , 连接 OE,过点 E 作 EF⊥OE,交 AC
的延长线于点 F, 则∠Ｆ的度数为 ( )
A.92° B.108° C.112° D.124° 5.(2017 潍坊 ) 如图 , 四边形 ABCD为☉Ｏ的内接四边形 . 延长 AB与 DC相交于点 G,AO⊥CD,垂足为 E, 连接 BD,∠GBC=5°0 , 则∠DBC 的度数为 ( )
A.64° B.58° C.32° D.26° 3.(2018 甘肃凉州 ) 如图, ☉Ａ过点 O(0,0),C( 3,0),D(0,1), 点 B是 x 轴下方☉Ａ 上的一点 , 连接 BO,BD,则∠OBD的度数是 ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.(2017 江苏苏州 ) 如图 , 在 Rt△ABC中, ∠ACB=9°0 , ∠A=56°. 以 BC为直径的☉Ｏ
5.(2018 江苏无锡 ) 如图 , 四边形 ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10∠, A=90°,cos AD的长 .
3
B=5, 求
第六章 圆
第 21 讲 圆的有关性质
A 组 基础题组
一、选择题
1.B 2.D 3.B
4.C 在 Rt△ACB中, ∠ACB=9°0 , ∠A=56°，
?
?
∴∠B=34°. ∵ ???的? 长 =???的? 长 ,
∴△OFC∽△BEC,
???? ????
∴???=? ???,?
???? 5

技法点拨►(1)圆周角定理及推论的应用：①由于直径所对的圆周 角是直角，所以在圆中有直径时，常构造直径所对的圆周角，利 用解直角三角形的知识解决问题；②在圆中，常利用等弧所对的 圆周角相等证明角相等．(2)利用圆内接四边形求角度，往往将 所求角与已知角进行等量代换，因此需要熟练掌握圆内接四边形 的性质．
得分要领►有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的 直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
命题点2 圆周角定理及其推论
4．[2017·潍坊，10,3分]如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC ＝50°，则∠DBC的度数为( C ) A．50° B．60° C．80° D．85°
C ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC＝∠ADC＝
50°.∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°.∴∠EAD＝40°.延长AE交
⊙O于点M，如图．∵AO⊥CD，∴

CM


DM
，∴∠DBC＝
2∠EAD＝80°.
5．[2017·潍坊，12,3分]点A，C为半径是3的圆周上两点， 点B为 的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( D )
变式运用►2.[2017·武汉中考]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC ，CO的延长线交AB于点D.
(1)求证：AO平分∠BAC； (2)若BC＝6，sin∠BAC＝ 3 ，求AC和CD的长．
5
解：(1)证明：如图，延长AO交BC于点H，连接BO. ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴A，O在线段BC的中垂线上． ∴AH⊥BC. 又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC.

第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(2018菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(2018甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(2017江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(2017潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(2018北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(2017江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.(2018浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB. cmC.2.5 cmD. cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )A. B. C.1- D.二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M是AB上一动点,CM+DM 的最小值是cm.三、解答题5.(2018江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得的长=的长,∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案70°解析∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案27°解析∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案2解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所以AB===4.在Rt△ABC中,AC=AB×cos 60°=4×=2.9.答案解析如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,∴BC==6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.在Rt△BCE中,BE==2,∴sin α===.三、解答题10.解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.在△ABC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC==.由AB=4,BC=2,得DC==.11.证明(1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.∴DC·CN=CM·D N.∵CN=DC,∴DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8 cm,AE=2 cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC===4 cm, ∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,即=,解得OF= cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D. ∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.∴BE=+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.∴=.故选D.二、填空题4.答案8解析如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,∴的长=的长,∵的长=的长=的长,AB为直径,∴C'D为直径,∴CM+DM的最小值是8 cm.三、解答题5.解析如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,11∵四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴∠CDE=∠B. ∵cos B=,CD=10, ∴cos ∠CDE===, ∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°, ∴四边形AFCE 是矩形, ∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9, ∴cos B===,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.。

第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。