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量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子力学复习题附答案1. 量子力学的基本假设是什么？答案：量子力学的基本假设包括波函数假设、态叠加原理、测量假设、不确定性原理、薛定谔方程和泡利不相容原理。
2. 描述态叠加原理的内容。
答案：态叠加原理指出，一个量子系统可以处于多个可能状态的线性组合，即叠加态。
系统的态函数可以表示为这些可能状态的叠加。
3. 测量假设在量子力学中扮演什么角色？答案：测量假设指出，当对量子系统进行测量时，系统会从叠加态“坍缩”到一个特定的本征态，其概率由波函数的模方给出。
4. 不确定性原理如何表述？答案：不确定性原理表述为，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，它们的不确定性的乘积总是大于或等于某个常数，即 $\Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$。
5. 薛定谔方程的形式是什么？答案：薛定谔方程的形式为 $i\hbar\frac{\partial}{\partialt}\Psi(r,t) = \hat{H}\Psi(r,t)$，其中 $\Psi(r,t)$ 是波函数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hbar$ 是约化普朗克常数。
6. 泡利不相容原理的内容是什么？答案：泡利不相容原理指出，一个原子中不能有两个或更多的电子处于相同的量子态，即具有相同的一组量子数。
7. 什么是波函数的归一化？答案：波函数的归一化是指波函数的模方在整个空间的积分等于1，即$\int |\psi|^2 d\tau = 1$，其中 $d\tau$ 是体积元素。
8. 描述量子力学中的隧道效应。
答案：隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其动能小于势垒的高度。
这是量子力学中粒子波性质的体现。
9. 什么是自旋？答案：自旋是量子力学中粒子的一种内禀角动量，它与粒子的质量和电荷有关，但与粒子的轨道角动量不同。
10. 什么是能级和能级跃迁？答案：能级是指量子系统中粒子可能的能量状态，能级跃迁是指粒子从一个能级跃迁到另一个能级的过程，通常伴随着能量的吸收或发射。
量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是：A. 牛顿运动定律B. 薛定谔方程C. 麦克斯韦方程组D. 热力学第二定律2. 波函数的绝对值平方代表：A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置的概率密度D. 粒子的波长3. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒4. 量子力学中的不确定性原理是由哪位物理学家提出的？A. 爱因斯坦B. 波尔C. 海森堡D. 薛定谔5. 在量子力学中，一个粒子的波函数可以表示为：B. 一个复数C. 一个向量D. 一个矩阵二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述海森堡不确定性原理，并解释其在量子力学中的意义。
2. 解释什么是量子纠缠，并给出一个量子纠缠的例子。
3. 描述量子隧道效应，并解释它在实际应用中的重要性。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 假设一个粒子在一维无限深势阱中，其波函数为ψ(x) = A *sin(kx)，其中A是归一化常数。
求该粒子的能量E。
2. 考虑一个二维电子在x-y平面上的波函数ψ(x, y) = A * e^(-αx) * cos(βy)，其中A是归一化常数。
求该电子的动量分布。
答案一、选择题1. B. 薛定谔方程2. C. 粒子在某一位置的概率密度3. D. 电荷守恒4. C. 海森堡二、简答题1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性关系为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中ħ是约化普朗克常数。
这一原理揭示了量子世界的基本特性，即粒子的行为具有概率性而非确定性。
2. 量子纠缠是指两个或多个量子系统的状态不能独立于彼此存在，即使它们相隔很远。
例如，两个纠缠的电子，无论它们相隔多远，测量其中一个电子的自旋状态会即刻影响到另一个电子的自旋状态。
3. 量子隧道效应是指粒子在经典物理中无法穿越的势垒，在量子物理中却有一定概率能够穿越。
1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。
解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。
( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。
又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
高中量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是波粒二象性，以下哪个现象不是波粒二象性的体现？A. 光的干涉现象B. 光电效应C. 电子的衍射现象D. 牛顿运动定律2. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被准确测量，这是由以下哪个原理所描述的？A. 能量守恒原理B. 泡利不相容原理C. 测不准原理D. 相对性原理3. 量子力学中的波函数是用来描述什么？A. 粒子的电荷B. 粒子的动量C. 粒子在空间中的概率分布D. 粒子的质量4. 量子力学中，一个系统的状态可以用一个什么来描述？A. 波函数B. 动量C. 位置D. 能量5. 以下哪个是量子力学中的一个基本假设？A. 所有物体都遵循牛顿运动定律B. 粒子在没有观察时不具有确定的位置C. 所有物体都具有确定的动量和位置D. 能量守恒定律不适用于微观粒子6. 量子力学中的薛定谔方程是用来描述什么的？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的波函数随时间的变化D. 粒子的总能量7. 量子力学中的量子态叠加原理指的是什么？A. 粒子的动量和位置可以同时被准确测量B. 粒子可以同时处于多个状态的叠加C. 粒子的状态只能由一个确定的波函数描述D. 粒子的状态不能被准确预测8. 量子纠缠是量子力学中的一个现象，它描述了什么？A. 两个粒子之间的相互作用B. 两个粒子之间的空间关系C. 两个或多个粒子的量子态不能独立于彼此存在D. 两个粒子之间的动量守恒9. 量子力学中的泡利不相容原理指的是什么？A. 两个相同的费米子不能处于同一个量子态B. 两个相同的玻色子不能处于同一个量子态C. 两个不同的费米子可以处于同一个量子态D. 两个不同的玻色子不能处于同一个量子态10. 以下哪个实验支持了量子力学的波粒二象性？A. 双缝实验B. 光电效应实验C. 迈克尔逊-莫雷实验D. 万有引力实验二、简答题（每题5分，共30分）1. 请简述量子力学与经典力学的主要区别。
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当，故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件：给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数［解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为：归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求，有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型：1。
算符运算；2。
力学量的平均值； 3.力学量几率分布.一。
有关算符的运算1。
证明如下对易关系（1)（2）（3)(4）(5)［证](1)(2）(3)一般地，若算符是任一标量算符,有(4)一般地，若算符是任一矢量算符，可证明有(5）=0同理:。
2。
证明哈密顿算符为厄密算符[解］考虑一维情况为厄密算符，为厄密算符，为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明：也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
［证］.是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又：可求出:二。
有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值［解]即是的本征函数.本征值2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意：是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 。
一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数,求（1)的数值；2）在态中能量的可能值,相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解］（1) ，归一化，，，（2）,，；，;，；(3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）.4．设氢原子处于状态求氢原子的能量，角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.［解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，出现的几率为100%可能值为出现的几率分别为:.5 。
