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简记为
c1n c2 n cnn
β1 ,β2 ,...,βn = α1 ,α2 ,...,αn C
定义5.6 矩阵C称为由基1, 2,…,n到基1, 2,…, n
的过渡矩阵.
过渡矩阵是可逆的.
定理5.3 设1, 2,…, n和1, 2,…, n是线性空间VK 的两组基. 如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1, x2,…, xn)T, y=(y1, y2,…, yn)T, 则x=Cy. 其中C是过渡矩阵.
空间.
仅含零向量的线性空间维数是零, 如果V中有任意多个 线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如K[x]. 在线性 代数中, 只讨论有限维线性空间.
可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V 的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. 例如
齐次线性方程组Ax=0的基础解系就是方程组解空间 U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线 性空间. K[x]n是n维线性空间, 1, x, x2,…,xn-1 是它的一组基.
Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
向量组1, 2,…r的一个极大线性无关组, 就是线性
也可表示为:
x1 x2 1 , 2 ,..., n xn
二. 基变换与坐标变换
线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不 同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设1, 2,…,n和1, 2,…, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果
c1k c2 k βk α1 ,α 2 , ...,α n cnk , k 1, 2,..., n
则合起来就有:
c11 c12 c21 c22 β1 ,β 2 , ...,βn = α1 ,α 2 , ...,αn cn1 cn 2
数集
Q( 2) {a+b 2|a, b Q}
也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于
有理数域. 二. 线性空间的定义和例子
对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域
上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两 种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间.
定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在 V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) +=+(加法交换律);
(2) (+)+=+(+)(加法结合律);
(3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.
例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子 空间.
K[x]n是K[x]的子空间.
Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间.
设1, 2,…r 是线性空间VK中的一组向量, 则
L(1, 2,…r)={k11+k22+…+krr|k1,k2,…,krK}
是VK的子空间. 称为由1, 2,…r生成的子空间.
证明 由于
y1 y1 y2 y2 α1 ,α 2 , ..., α n C ξ β1 ,β 2 , ..., βn yn yn
由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x=Cy.
例如
ARnn, 定义ℱ(A)=AT, 则ℱ为Rnn的一个线性变换.
取ARnn, Rn, 定义ℱ()=A, 则ℱ为Rn的一个
线性变换. 取0VK, VK, 定义ℱ()=0, 则ℱ为VK的一个线性 变换, 称为零变换. VK, 定义ℱ()=, 则ℱ为VK的一个线性变换, 称 为恒等变换或单位变换. 线性变换ℱ具有下列简单性质: (1) ℱ(0)=0; (2) ℱ()= ℱ(); (3) ℱ(x11+x22+…+xmm) =x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xmℱ(m)
1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1, -1)T, 3=(1, -1, -1)T
下的坐标. 解 设所求坐标为(x1, x2, xn)T, 则 =x11+x22+x33 即
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 2 x x x 3 1 2 3
§3 线 性 变 换
线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变 换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系. 一. 定义和例子
定义5.7 设ℱ是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足
, VK, kK都有
ℱ(+)= ℱ()+ ℱ()
ℱ(k)=kℱ()
则称ℱ为VK的一个线性变换.
§2 基
维数
坐标
齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间, 我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示. 这 是线性空间的重要性质. 一. 基 维数 坐标 定义5.4 在线性空间V中, 如果有n个向量1, 2,…,n 线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2,…,n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性
如例1中, =(1, 2, 3)T在基1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T,
3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T, 且由基1, 2, 3 到基
1, 2, 3的过渡矩阵为(1, 2, 3), 所以, =(1, 2, 3)T在基 1, 2, 3下的坐标为: (1, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T
二. 线性变换的矩阵 设ℱ为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2,…, n是VK 的一组基, VK, 如果=x11+x22+…+xnn, 则
ℱ()=x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xnℱ(n)
即, ℱ()是由ℱ(1), ℱ(2),…, ℱ(n)唯一确定的.
由于ℱ(1), ℱ(2),…, ℱ(n)VK, 故可由1, 2,…, n线
空间L(1, 2,…r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.
定理5.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2,…, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量m+1, m+2,…,n, 使 得1, 2,…, m, m+1, m+2,…,n是V的一组基.
由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.
三. 子空间 定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的
子空间.
按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间,
V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它
的称为非平凡子空间. 定理5.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算 是封闭的. 即 , U, kK, 都有+U, kU
定义5.5 设1, 2,…, n是线性空间VK的一组基, 如
果VK可以表示为:
=x11+x22+…+xnn
则称(x1, x2,…xn)T为向量在基1, 2,…, n下的坐标.
可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.
例1 试求线性空间R3中向量=(1, 2, 3)T在基:
11 0 0 00 1 1 00 0 0 00 0 0
0 0 n 2 0
解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.
所以, 向量在基1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T.
也可以写成:Biblioteka 2 1 1 ,2 ,3 2 1 2
一般地, 向量在基1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T,
第五章
线性空间与线性变换
线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线 性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的 概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.
§1 线性空间的概念
一. 数域
定义5.1 设K是一个数集, 如果 (1) 0, 1K ; (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.
11 0 0 00 2 2 00 0 0 00 0 0
0 0 n 1 0
线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2/2,…, xn-1/(n-1)下的矩阵为:
0 0 0 0 A A 0 0 0 0
矩阵A的第j列为向量ℱ(j)在基1, 2,…,n下的坐标. 矩阵A称为线性变换ℱ在基1, 2,…,n下的矩阵.
例如 零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵. 单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵. 线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2,…, xn-1 下的矩阵为:
