天津市河东区2018届中考复习《勾股定理的逆定理》专题练习及答案

CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。

勾股定理的逆定理【学习目标】1．能熟练地说出勾股定理的逆定理．2．会应用逆定理判定一个三角形是否是直角三角形． 3．学会通过代数运算证明几何问题的方法． 【主体知识归纳】1．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．2．直角三角形的判定 判定一个三角形是直角三角形，一是利用定义，即证明三角形中有一个角是直角，二是利用勾股定理的逆定理． 【基础知识精讲】1．本节主要是勾股定理的逆定理及其应用，它与勾股定理都是初中阶段所学数学的重要思想——数形结合思想的重要体现．判断三角形的形状是本节命题热点，它常与完全平方公式相配合，通过代数法来证明几何问题．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数)，勾股数是一种重要的数组，找勾股数可以用试验的方法．实际上，人们已证明了许多公式，用公式很容易找出许多组勾股数．例如在△ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，其中a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1，只要用n ＞1的正整数代入公式即可． 【例题精讲】［例1］如图3—224，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ．求证：(1)222111h b a =+;(2)a ＋b ＜c ＋h;(3)以a ＋b ，h ，c ＋h 为边的三角形是直角三角形． 证明：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∴S △ABC ＝21AB ·CD ＝21AC ·BC ． ∴AB ·CD ＝AC ·BC ，即ch ＝ab ，∴.1112222222222hh c c b a b a b a ==+=+． (2)∵(c ＋h)－(a ＋b)＝(c ＋c ab )－(a ＋b)＝cb c a c c bc ac ab c ))((2--=--+∵c ＞a ，c ＞b ，∴(c ＋h)－(a ＋b)＞0，∴c ＋h ＞a ＋b ，即a ＋b ＜c ＋h ． (3)∵c ＋h ＞a ＋b ，c ＋h ＞h ，∴(c ＋h)2＝c 2＋2ch ＋h 2＝a 2＋b 2＋2ab ＋h 2＝(a ＋b)2＋h 2． ∴以a ＋b ，h ，c ＋h 为边的三角形是直角三角形．说明：本题综合考查几何问题的代数解法，其关键是掌握面积公式、不等式等代数知识． ［例2］如图3—225，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私艇A 通知反走私艇B ：A 和C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 测得距离C 艇是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°，又∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠ABC ＝90°． 由于MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ．①－②得CE ＝169144131314413144=÷≈0．85(小时)＝51(分)， ∴9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．说明：用勾股定理及逆定理也可以解决诸如上例类似实际问题． 练习 1．填空题(1)若一个三角形三边满足c 2－a 2＝b 2，则这个三角形是__________(2)△ABC 的三边a ＝1．2 cm ，b ＝1．6 cm ，c ＝2 cm ，则∠C ＝__________． (3)已知三角形的三边分别是m 2－1，2m ，m 2＋1，则最大角是__________(4)四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 各边长顺次为3，4，13，12，且∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为__________(5)有一个三角形两边长为4，5，要使三角形为直角三角形，则第三边为__________(6)设a＞b，如果a＋b，a－b是三角形较小的两边，当第三边等于__________时，这个三角形为直角三角形．(7)如图3—226，在Rt△ABC中，E是斜边AB上一点，把△ABC沿CE折叠，点A与点B 恰好重合，如果AC＝4 cm，那么AB＝__________cm．(8)如图3—227，∠ADB＝45°，BD＝1，把△ABD沿直线AD折叠过去，点B落在点B′的位置，标出B′的位置，则BB′的长为__________(9)如图3—228，AD是BC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折过来，点C 落在点C′的位置，如果BC＝4，那么BC′的长等于__________(10)已知四边形ABCD中，AB＝BC＝23，∠ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是一个直角三角形；那么AD的长等于__________.2．选择题(1)已知在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，则三角形为A．锐角三角形; B．钝角三角形; C．等腰三角形; D．直角三角形(2)下列各组能组成直角三角形的是A．4、5、6; B．2、3、4; C．11、12、13; D．8、15、17(3)三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为A．6; B．4.5; C．2.4; D．8(4)下列命题中，假命题是A．三个角的度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为1∶3∶2的三角形是直角三角形C．三边长度之比为1∶3∶2的三角形是直角三角形D．三边长度之比为2∶2∶2的三角形是直角三角形(5)在△ABC 中，D 是BC 上一点，若BD ＝5，AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，则△ABC 的面积是( 0A ．30;B ．42;C ．84;D ．100(6)一个三角形三边长分别为20，15，25，那么它的最长边上的高为A ．12．5;B ．12;C ．2215; D ．9 (7)△ABC 三边a 、b 、c 满足｜a ＋b －50｜＋32--b a ＋(c －40)2＝0，则△ABC 为A ．等边三角形;B ．直角三角形;C ．等腰三角形;D ．无法确定3．如图3—229，CD 是△ABC 边上的高，且D 在边AB 上，有CD 2＝AD ·DB ．求证：△ABC 是直角三角形．4．a 、b 为任意正数，且a ＞b ．求证：边长为2ab ，a 2－b 2，a 2＋b 2的三角形是直角三角形．5．已知△ABC 的三边之比为5∶12∶13，求证：△ABC 为直角三角形．6．△ABC 中，AB ＝8 cm ，BC ＝20 cm ，BC 边上的中线AD ＝6 cm ．(1)求证：S △ABC ＝2S △ADC ；(2)求△ADC 的面积S △ADC ．7．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a ＋b ＝4，ab ＝27，c ＝3，试判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由．8．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC ．9．如图3—230，已知BE⊥AD，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC＝23，CD＝3，DE＝3，求证：AD⊥CD．10．如图3—231，一块四边形的草地ABCD，其中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，CD＝10米，求这块草地的面积．11．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断三角形的形状．【思路拓展题】 ●读一读:勾股数如果三个正整数满足于勾股定理逆定理，那么就称这三个数为一组勾股数．3、4、5是最简单的一组勾股数，因为它们满足：32＋42＝52．勾股数是一种重要的数组，那么什么样的数才能组成勾股数呢?看下面一些简单的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；… 观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第二个数加1，也就是第一个数的平方加1再除以2．结论：如果n 是一个奇数，且n ≥3，那么n 、212-n 、212+n 就是一组勾股数．证明：∵n 2＋(212-n )2＝n 2＋,)21(41244122224224+=+-+=+-n n n n n n ， ∴n 、212-n 、212+n 是一组勾股数．这样，我们任意给出一个奇数(如11，13，…)，同学们就可以写出各组勾股数来． 再看一些简单的勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；…观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是偶数，第二个数是第一个数的一半的平方减1，第三个数是第一个数一半的平方加1．结论：如果m 是一个偶数，且m ≥4，那么m 、(2m )2－1、(2m)2＋1就是一组勾股数． 证明：∵m 2＋［(2m )2－1］2＝m 2＋(42m )2－22m ＋1＝m 2＋21624m m -＋1＝1616824++m m ,]1)2[()44(222+=+=mm∴m 、(2m )2－1、(2m)2＋1是一组勾股数． 这样，我们任意给出一个偶数(如10，12，…)，同学们就可以写出各组勾股数来．参考答案1．(1)直角三角形 (2)90° (3)90° (4)36 (5)3或41 (6)2222b a (7)42(8) 2 (9)22 (10)3或42．(1)D (2)D (3)D (4)B (5)C (6)B (7)B 3．提示：由AC 2＝AD 2＋CD 2，BC 2＝CD 2＋DB 2， 得AC 2＋BC 2＝2CD 2＋AD 2＋DB 2， 又CD 2＝AD ·DB ，所以AC 2＋BC 2＝AB 2． 4．提示：(a 2＋b 2)2＝(a 2－b 2)2＋(2ab)2．5．提示：设三角形三边长分别为5x ，12x ，13x ．∵(13x)2＝(12x)2＋(5x)2，∴△ABC 是直角三角形． 6．(1)提示：S △ABD ＝S △ACD ；(2)S △ADC ＝24 cm 2．提示：△ABD 是直角三角形．7．△ABC 为直角三角形．提示：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝16－7＝9，∴a 2＋b 2＝c 2． 8．DC ＝9．9．提示：由已知易求BE ＝23，又∵∠EBC ＝60°，BC ＝23，则可证△BCE 是等边三角形，得CE ＝23， 则可证△DEC 是直角三角形．10．1503 cm ．提示：延长AD 、BC 交于点E ，且∠E ＝30°．11．△ABC 是直角三角形．提示：配方得：(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0，∴a ＝5，b ＝12，c ＝13． 想一想:(略).。

勾股定理的逆定理1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( )A.22B.23C. 6D.236知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C详细解答：作BC 边上的高AD,△ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。

1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。

A.2B.3C.4D.33 答案：C分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。

或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC 和BC 。

详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。

CD在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。

在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。

因此AB=BD+CD=3+1=4，小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

学习好资料欢迎下载勾股定理的逆定理专题训练一、你能填对吗1．ABC∆的两边分别为5，12，另—边c为奇数，且a ＋ b ＋c是3的倍数，则c应为_________，此三角形为________．2．三角形中两条较短的边为a ＋b，a －b（a>b），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．3．若ABC∆的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋l0c，则此三角形是_______三角形，面积为______．4．已知在ABC∆中，BC＝6，BC边上的高为7，若AC＝5，则AC边上的高为_________．5．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．6．一个三角形的三边分别为7cm，24 cm，25 cm，则此三角形的面积为_________。

二、选一选7．给出下列几组数：①111,,345；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（）．A．①②B．③④C．①③④D．④8．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（）．A．1，2，3 B．4，5，6 C．12，13，14 D．9，40，419．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（）．A．8 B．10 C．11个D．12个10．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋l，那么这个三角形是（）；A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形三、解答题11．如图18－2－5，在ABC∆中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求ABC∆的周长和面积．12．已知ABC∆中，AB＝17 cm，BC＝30 cm，BC上的中线AD＝8 cm，请你判断ABC∆的形状，并说明理由．13．一种机器零件的形状如图18－2－6，规定这个零件中的∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图（单位：mm），这个零件符合要求吗?14．如图18－2－7，四边形ABCD中，B=90∠，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．15．为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽千家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问，当年结婚时，两个人各是多少岁?现在共有子女几人?（在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁）16．有一只喜鹊正在一棵高3 m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24 m且高为14 m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m／s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。

勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2=c 2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。

（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得： （3x ）2+（4x ）2=202 化简得x 2=16； ∴直角三角形的面积=21×3x ×4x =6x 2=96注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。

解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D 则：BD=21BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3 S △ABC =21BC·AD=3 ABCD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为43a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

勾股定理的逆定理练习题1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。

小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 。

2.在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？ 为什么？3.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。

4.一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直？ 为什么？ 5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。

6、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状 。

7、已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。

求：四边形ABCD 的面积。

第7题 8、根据下列条件，分别判断a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形 （1）a=7,b=24,c=25; (2) a=32,b=1,c=32（ 填序号 ）D9、已知ABC Δ的三边分别a,b,ca=22n m -,b=2mn,c=22n m +(m>n,m,n 是正整数)，ABC Δ是直角三角形吗？说明理由。

10、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？第10题11、如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ，求证：AF ⊥EF ．E NABC12、如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

18.2 勾股定理的逆定理 (一)一、判断题(每小题3分,共12分)1.在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角.( )2.命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半.”的逆命题是真命题.( )3.勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形.( )4. △ABC 的三边之比是1：1：2，则△ABC 是直角三角形.( ) 二、认真选一选(每小题5分,共25分)1.△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ） A.如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形B.如果c 2= b 2—a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°C.如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形D.如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形 2.下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A.a =8，b =15，c =17B.a =9，b =12，c =15C.a =5，b =3，c =2D.a ：b ：c =2：3：43. 以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. 5cm ，12cm ，13cm B. 5cm ，8cm ，11cm C .5cm ，13cm ，11cm D. 8cm ，13cm ，11cm4. ⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则⊿ABC 的直角是（ ） A.∠ C B.∠A C.∠B D.不能确定 5. 三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 二、请你填一填(每小题5分,共25分)1.若一个三角形的三边长分别是m +1，m +2，m +3，则当m = ，它是直角三角形.2.在⊿ABC 中，若5,7,252222==-=+c b a b a ，则最大边上的高为 .3.一个三角形的三边之比为13:12:5，且周长为60cm ，则它的面积是 2cm . 4.三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为 . 5.小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。

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勾股定理的逆定理一、基础·巩固1。

满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是（ )A.三内角之比为1∶2∶3 B 。

三边长的平方之比为1∶2∶3C 。

三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD∥BC，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63。

如图18－2－5,以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3,且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4。

如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 ， BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76。

已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1(k＞1），求证：△ABC是直角三角形.二、综合·应用7。

18.2勾股定理的逆定理测试（2）一、基础过关：1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A．16πB．12πC．10πD．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3、梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1mC．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图1所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．图1A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝213，则a＝_____，b＝_____．6、如图2，矩形零件上两孔中心A、B的距离是_____（精确到个位）．图2图37、如图图3，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．二、能力挑战：8、某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图17－2－10所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.图49、如图5，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值； （2）根据以上规律写出a n 的表达式．图510、已知：如图6，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC ，D 是垂足．求：AD 的长． 图611、如图7，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点，且知AB ＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？图7三、中考在线：12、图8甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。

八年级数学《勾股定理的逆定理》练习题一、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a 10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．17．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．勾股定理的逆定理1．直角，逆定理．2．互逆命题，逆命题．3．(1)(2)(3)．4．①锐角；②直角；③钝角．5．90°．6．直角．7．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8．8．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．9．D．10．C．11．C．112．CD＝9．13．.514．提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．18．352＋122＝372，[(n＋1)2－1]2＋[2(n＋1)]2＝[(n＋1)2＋1]2．(n≥1且n为整数)。

勾股定理逆定理基础知识精讲“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.重点难点解析重点：是对定理的内容掌握；难点：在于对定理的灵活运用及结合勾股定理及直角三角形相关知识解决问题.例1已知△ABC的三边为a,b,c,且a∶b∶c=1∶1∶2.求三内角的比.分析将比例通过设k，使线段量化后，再判断三角形是否为直角三角形，是解决已知三边或三边之比的问题常用的方法之一.解设a=b=k，则c=2k.a2+b2=2k2=c2∴△ABC为直角三角形，又a∶b=1∶1 a=b∴两锐角分别为45°,45°∴三内角比为1∶1∶2.例2如图3.17-1，△ABC中，∠A=30°,AB∶AC=2∶3,求证AC⊥BC.分析本题即是求证△ABC为直角三角形是∠C=90°.可考虑用勾股定理逆定理.因而要设法求出BC边.可考虑作AB边上的高，将△ABC分为两个直角三角形，Rt△ACD和Rt△BCD,再利用勾股定理及已知条件求出BC 的长.证 ∵AB ＞AC ∠C ＞∠B∴作CD ⊥AB 于D.设AB=2k ，则AC=3k(k ＞0), 在Rt △ACD 中，∠A=30°, AC=3k.∴AD=23k,CD=23k , AB=2k ∴BD=21k.在Rt △BCD 中 BC 2=CD 2+DB 2=k 2 ∴BC=k ∴BC ∶AB ∶AC=1∶2∶3,BC 2+AC 2=k 2+(3k)2=4k 2=AB 2 ∴△ACB 为直角三角形,∴AC ⊥BC.例3 求证：边长为m 2-n 2,m 2+n 2,2mn(m ＞n)的三角形是直角三角形 分析 只需证明最长边的平方等于另两边平方和即可，∵（m -n ）2≥0, ∴m 2+n 2≥2mn,m 2+n 2≥m 2-n 2,∴m 2+n 2为最长边. 证 (m 2+n 2)2=m 4+2m 2n 2+n 4(m 2-n 2)2+(2mn)2=m 4+n 4-2m 2n 2+4m 2n 2=m 4+2m 2n 2+n 4 ∴(m 2-n 2)2+(2mn)2=(m 2+n 2)2 ∴所构成三角形为直角三角形.例4 如图3.17-2，四边形ABCD 中，BA ⊥DA ，BA=2,DA=23,DC=3,BC=5,求∠ADC.图3.17-2分析 利用已知Rt △ABD,求出BD 的长和∠ADB 的度数，再验证△BDC 为直角三角形且∠BDC=90°是解决本题的基本思路.解 连BD ，∠A=90°,BA=2,DA=23 ∴BD=4. ∠ADB=30°,又DC=3，BC=5 ∴BD 2+DC 2=32+42=52=BC 2.∴△BCD 为直角三角形，∠BDC=90° ∴∠ADC=90°+30°=120°.难题巧解点拨例1 已知三角形ABC 中，AD 为中线，M 在AB 上，N 在AC 上，∠MDN=90°,若BM 2+CN 2=DM 2+DN 2，求证AD 2=41(AB 2+AC 2)(图3.17-3)图3.17-3分析 将中线延长一倍，从而将分散的各线段集中到一起，以便充分利用条件，是本题之关键，又由结论的式子结构看，若∠BAC=90°,则AD=21BC=2122AC AB +，则要证的结论显然成立.证 延长MD 至E ，使BD=DE.连CE ，NE ，NM ，则△BMD ≌△CED.BM=CE ， 又DN ⊥ME ，MD=DE∴MN=NE.DM 2+DN 2=MN 2 ∴DM 2+DN 2=NE 2 又DM 2+DN 2=BM 2+CN 2=EC 2+CN 2=NE 2∴∠ECN=90° △BMD ≌△CED. ∠B=∠BCE ∴AB ∥CE. ∴∠BAC=90°,AD 为中线，AD=21BC,AD 2=41BC 2=41(AB 2+AC 2). 例2 正△ABC 的边长为31225+，P 为形内一点，PC=5.且PA 2+PB 2=25，求PA ，PB.(图3.17-4)分析 将三角形内的点与顶点构成的三角形经过适当的旋转，转到形外，而将PA 、PB 、PC 集中到一个三角形来解决问题，是常用方法之一.解 将△APB 绕B 点顺时针旋转60°,得△BP ′C,则△ABP ≌△CBP ′ PB=P ′B ∠PBP ′=60°∴PP ′=PB,又P ′C=PA.PA 2+PB 2=25 PC=5 ∴PP ′2+P ′C 2=25=52=PC 2 ∴∠PP ′C=90°又∠PP ′B=60°∴∠BP ′C=150°,设PA=P ′C=x,PB=P ′B=y. 过B 作BD ⊥CP ′交CP ′延长线于D. ∴∠BP ′D=30° ∴BD=2y ,P ′D=23y. 在Rt △BDC 中BD 2+DC 2=BC 2 ∴(2y )2+(23y+x)2=BC 2=25+123. ∴x 2+y 2+3xy=25+123 又x 2+y 2=25. ∴xy=12. (x+y)2=25+24=49 ∴⎩⎨⎧=-=+17y x y x 或⎩⎨⎧-=-=+17y x y x(x-y)2=25-24=1 ∴⎩⎨⎧==34y x 或⎩⎨⎧==43y x∴PA,PB 的长为3,4.课本难题解答103页习题2 除3，4，5外，再找5组勾股数.分析 只要三边比满足3∶4∶5,即三边为3k 、4k 、5k(k 为正整数)的数均为勾股数，一般地，只要设⎩⎨⎧=-=+12b a m b a (m 为正奇数)或⎩⎨⎧=-=+222b a n b a (n 为正整数)求出a,b,则以a 、))((b a b a -+、b 为勾股数.同步练习一、判断(4分×6=24分)( )1.三边长为m 2+n 2,mn,m 2-n 2(m ＞n ＞0)的三角形是直角三角形. ( )2.三边比为1∶1∶2的三角形，有一个内角是60°. ( )3.△ABC 的三边为a,b,c 若a 2-b 2=c 2,则△ABC 为直角三角形.( )4.三边为a 、b 、c ，且满足a 3-a 2b+ab 2-ac 2-b 2+bc 2=0的三角形一定是直角三角形. ( )5.两边比为2∶1且一个角为30°的三角形是直角三角形.( )6.不等边三角形三边为整数，最长边为5，一边为3，则三角形必为直角三角形. 二、选择(6分×5=30分)1.下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有( )①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,16; ④32,42,52; ⑤2+1,2-1,6;⑥3+1,3-1,22.A.3组B.4组C.5组D.6组 2.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a -b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形3.等腰三角形ABC 底边上的高AD=21BC ，AB=2，则△ABC 面积为( ) A.2 B.1 C.2 D.4 4.CD 为△ABC 的高且∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3,AB=m,则CD 等于( )A.2m B.43m C.4m D.23m 5.若一个三角形三边长均为奇数，则此三角形( )A.一定是直角三角形B.一定是等腰三角形C.一定不是直角三角形 C.一定不是等腰三角形 三、填空(5分×6=30分)1.勾股定理逆定理可用来判定一个三角形是否 .2.三角形三边比为1∶3∶2,则三内角比为 .3.等边△ABC 内一点P 与三顶点距离为PA=5，PB=3，PC=4，则∠BPC= .4.D 为△ABC 边AB 上一点，BC=AC=AD. ∠ACD=43∠ACB ，则AB ∶AC= . 5.D 为△ABC 边BC 上一点，AB=20，AC=13，AD=12，DC=5，则S △ABC = . 6.边长为7，24，25的△ABC 内有一点P 到三边距离相等，则这个距离为 . 四、解答题(8分×2=16分)1.△ABC 中，AC+BC=4，AC ·BC=1，AB=14，CD ⊥AB 于D.AB 中点为E ，求DE.2.CD 为△ABC 的边AB 上的高，且CD 2=AD ·BD ∠A=60°(图3.17-5). 求证AD=21AC=41AB.图3.17-5素质优化训练1.四边形ABCD 中，AB=7，BC=24，CD=20，对角线AC=25，E 为AC 的中点且EB=ED.求边AD 及四边形ABCD 面积.2.△ABC中，AB∶AC∶BC=2∶2∶2,直线l过A且平行于BC，D为l上一点，且BD=BC，BD交AC于E，求证：CD=CE.图3.17-6【生活实际运用】有一块四边形地ABCD(如图3.17-7)∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD的面积？图3.17-7小结1.直角三角形边角关系定理为证明线段倍分关系、线段平方关系提供了理论依据；勾股定理及逆定理在几何证明与计算中应用非常广泛，熟悉常用的勾股数常能挖掘隐含条件.2.一些复杂的几何问题常常要分解为下述的基本图形及其基本结论来解决.(如图3.17-8)图3.17-8参考答案： 同步练习一、× × √ × × × 二、B A B B C三、1.为直角三角形 2.1∶2∶3 3.150° 4.2∶1 5.120 6.3 四、1.AC 2+BC 2=(AC+BC)2-2AC ·BC=16-2=14=AB 2∴△ABC 为Rt △CD 为斜边上的高，CE 为中线 ∴CE=214，CD=1414=⋅AB BC AC .DE 2=CE 2-CD 2=7241448141414==- ∴DE=4272. 2.AC 2=CD 2+AD 2 BC 2=CD 2+BD 2∴AC 2+BC 2=AD 2+BD 2+2CD 2.2CD 2=AD ·BD ∴AC 2+BC 2=AD 2+BD 2+2AD ·BD=AB 2 ∴△ABC 为Rt △.∵∠A=60° ∴∠B=30° ∴AD=21AC=41AB. 素质优化训练1.72+242=252 ∵AB=7,BC=24,AC=25∴AB 2+BC 2=AC 2. ∠ABC=90° AE=EC ∴BE=21AC=DE. ∴DE=EA=EC. ∴∠ADC=90° AD 2=AC 2-CD 2=252-202=225 AD=15.S ABCD =21(7×24+20×15)=84+150=234. 2.易知△ABC 中AB=AC ，∠BAC=90°,作AM ⊥BC 于M ，DF ⊥BC 于F.∵l ∥BC ∴AM=DF=21BC=21BD.(∵BD=BC) ∴∠DBC=30° ∴∠BDC=75°=∠BCD ∴∠ACB=45°∴∠ECD=30°，∠EDC=75° ∴∠CED=75°=∠EDC ∴CD=CE. 生活实际运用36平方米。

初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题及解析副标题一、选择题（本大题共73小题，共219.0分）1.如图所示，被纸板遮住的三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种情况都有可能【答案】D【解析】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角．故选D．三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，解题的关键是熟记三角形内角和定理．2.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A. π-6B. πC. π-3D. +π【答案】B【解析】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积-△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==π，故选：B．根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．3.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键.移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解. 【解答】解：移项得，a2c2-b2c2-a4+b4=0，c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，所以，a2-b2=0或c2-a2-b2=0，即a=b或a2+b2=c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形.故选C.4.一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为( ).A. 10B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了三角形面积，直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，解答此题的关键是根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形．根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式得出BD•AC=AB•BC，即可求得答案.【解答】解：已知三角形的三边分别是BC=15，AB=20，AC=25，BD是AC上的高，∵BC=15，AB=20，AC=25，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC为直角三角形，∵BD是AC上的高，∴BD•AC=AB•BC，∴BD=12．故选B.5.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，12D.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．6.下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（）A. a＝1，b＝1，B. a＝1，，c＝2C. a＝3，b＝4，c＝5D. a＝2，b＝2，c＝3【答案】D【解析】解：A、∵12+12=（）2，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵12+（）2=22，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵22+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7.下列给定的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A. 9，12，15B. 0.5，1.2，1.3C. 7，8，9D. 7，24，25【答案】C【解析】解：A、92+122=152，故是直角三角形，故不符合题意；B、（0.5）2+（1.2）2=（1.3）2，故是直角三角形，故不符合题意；C、72+82≠92，故不是直角三角形，故符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故不符合题意．故选：C．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8.如图△ABC，BC=6，AC=8，AB=10，则点B到AC的距离是（）A. 6B. 7C. 8D. 10【答案】A【解析】解：∵BC2+AC2=62+82=100，AB2=102=100，∴BC2+AC2=AB2，根据勾股定理逆定理得，△ABC是直角三角形，∠C=90°，所以，点B到AC的距离是6．故选：A．利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，∠C=90°，再根据点到直线的距离的定义解答．本题考查了勾股定理逆定理，点到直线的距离的定义，熟记定理并判断出三角形是直角三角形是解题的关键．9.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，则使△ABC为直角三角形的概率是：．故选：B．由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题主要考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．以AB为直角边有2个，以AB为斜边有2个，共4个．【解答】解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，故选B．11.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a-b）=c2，则（）A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. 不是直角三角形【答案】A【解析】解：∵（a+b）（a-b）=c2，∴a2-b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选：A．先把等式化为a2-b2=c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．12.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：A、三角形各边长为、、，（）2+（）2＜（）2，故该三角形不是直角三角形；B、由图可知该三角形为直角三角形；C、各边长、、，（）2+（）2=（）2，故该三角形为直角三角形；D、各边长、2、5，（）2+（2）2=（5）2，故该三角形为直角三角形．故选：A．由图可知B为直角三角形,分别求A、C、D三个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定C、D中三角形为直角三角形，A不是直角三角形，即可解题．本题中考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证B、C、D选项中三角形是直角三角形是解题的关键．13.下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠C=90°，③AC：BC：AB=3：4：5，④∠A：∠B：∠C=3：4：5．⑤a2=（b+c）（b-c）中，能确定△ABC是直角三角形的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】解：①∠A+∠B=∠C时，∠C=90°，是直角三角形；②∠C=90°，是直角三角形；③AC：BC：AB=3：4：5，∴32+42=52，是直角三角形；④∠A：∠B：∠C=3：4：5时，∠C=180°×＜90°，是锐角三角形；⑤a2=（b+c）（b-c），a2=b2-c2，是直角三角形．故能确定△ABC是直角三角形的有4个．故选：C．分别求出最大的角的度数，然后根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．本题考查了直角三角形的性质，关键是掌握勾股定理，以及三角形内角和定理．14.以下各组线段为边不能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 6，8，10C. 5，12，13D. 8，15，20【答案】D【解析】解：A、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵82+152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．故选：D．根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A. b2=c2-a2B. a：b：c=3：4：5C. ∠C=∠A-∠BD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5【答案】D【解析】解：A、b2=c2-a2，a2+b2=c2，故能组成直角三角形，不符合题意；B、32+42=52，故能组成直角三角形，不符合题意；C、∠C=∠A-∠B，∠A=∠B+∠C，故能组成直角三角形，不符合题意；D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C=180°×=75°，故不能组成直角三角形，符合题意．故选：D．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．16.三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2—c2 =2ab,则此三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若是两边的平方和等于另一个边的平方，那么这个三角形是直角三角形．因为a、b、c，为三角形的三边长，可化简：（a+b）2-c2=2ab，得到结论．【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，∴a2+2ab+b2-c2=2ab ,∴a2+b2=c2．所以为直角三角形.故选A.17.下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A-∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=5：12：13；④△ABC中，三边长分别为，其中，直角三角形的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：①△ABC中，∠C=∠A-∠B，即∠C+∠B=∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵△ABC中，a：b：c=5：12：13，∴a2+b2=c2，即△ABC是直角三角形，故③正确；④∵△ABC中，三边长分别为，∴（）2+（）2≠（）2，即△ABC不是直角三角形，故④错误；即正确的个数是3个，故选：C．根据三角形内角和定理即可判断②；根据勾股定理的逆定理即可判断③④．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．18.如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB=6，AC=8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，∴BC==10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，19.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中是直角三角形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．故选：A．要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．本题考查了勾股定理逆定理的运用以及三角形的三边关系，两边的平方和等于第三边的平方．属于比较简单的题目．20.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A. 1，2，2B. 1，1，C. 4，5，6D. 1，，2【答案】D【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．解答此题根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.【解答】解：A.∵12+22=5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；B.∵12+12=2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C.∵42+52=41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；D.∵12+（）2=4=22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．故选D.21.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则满足下列条件但不是直角三角形的是（）A. a2-c2=b2B. a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n＞1）C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. ∠A=∠B=∠C【答案】C【解析】解：A、a2-c2=b2，那么a2=b2+c2，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；B、∵a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2=c2，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；C、∠A：∠B：∠C=3：4：5，故△ABC不是直角三角形；故符合题意；D、∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A+2∠A=180°，∴∠A=45°，∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；故选：C．运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可．此题主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键．22.以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（）A. a=2，b=3，c=4B. a=1，b=，c=2C. a=4，b=5，c=6D. a=2，b=2，c=【答案】B【解析】解：A、32+22≠42，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；B、12+（）2=22，故是直角三角形，故本选项符合题意；C、42+52≠62，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；D、22+22≠（）2，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．23.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，CA，则∠ACB的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B【解析】解：根据勾股定理可以得到：AC=AB=，BC=，∵，即AC2+AB2=BC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ACB=45°．故选：B．分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC 的度数．本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．24.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.【解答】解：A.∵a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理∠C=90°，是直角三角形，故本选项错误；B.∵（3k）2+（4k）2=25k2=（5k）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；C.∵∠C=∠A-∠B，∴∠C+∠B=∠A，∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴最大的角∠C=180°×＜90°，是锐角三角形，故本选项正确.故选D.25.下列给定的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A.9，12，15 B. ，， C. 7，8，9 D. 7，24，25【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解答】解：A.92+122=152，故是直角三角形，故不符合题意；B.（0.5）2+（1.2）2=（1.3）2，故是直角三角形，故不符合题意；C.72+82≠92，故不是直角三角形，故符合题意；D.72+242=252，故是直角三角形，故不符合题意.故选C.26.若△ABC的三边长a，b，c满足（a -b）（b-c）＝0 ，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰或等边三角形【答案】D【解析】【分析】此题主要考查等腰三角形的判断.根据（a-b）（b-c）=0，可知三边关系，即可判断结果. 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，又∵（a-b）（b-c）=0，∴a=b或者b=c或者a=b=c，所以三角形是等腰三角形或等边三角形 .故选D.27.五根小木棒，其长度分别为，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解答】解：A：152+202≠242，72+242=252，故A错误；B：72+242=252，152+202≠242，故B错误；C：72+242=252，152+202=252，故C正确；D：72+202≠252，152+242≠252，故D错误.故选C.28.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A.由b2-a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B.由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C.由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；D.由∠A：∠B：∠C=3：4：5，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．故选D．29.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（）A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】C【解析】解：在Rt △ABC 中，∵AC =6，BC =8，∠C =90°， ∴AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ， ∴BE =4，∴△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12， 故选：C ．利用勾股定理求出AB =10，利用翻折不变性可得AE =AC =6，推出BE =4即可解决问题． 本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30.下列各组数不能构成直角三角形的是A. 12，5，13B. 40，9，41C. 7，24，25D. 10，20，16【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，判断三条线段能否构成直角三角形，只需看两条短边的平方和是否等于长边的平方，如果等就是直角三角形，不等就不是直角三角形，解答此题根据勾股定理的逆定理进行判断即可. 【解答】解：A .∵52+122=132，∴能构成直角三角形； B .∵402+92=412，∴能构成直角三角形； C .∵72+242=252，∴能构成直角三角形； D .∵102+162≠202，∴不能构成直角三角形． 故选D .31. 以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）A. 2，3，4B. 4，4，6C. 6，8，10D. 7，12，13 【答案】C【解析】解：A 、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误； B 、42+42=32≠62，不能构成直角三角形，故本选项错误； C 、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确； D 、122+72=193≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误； 故选：C ．只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．32. 有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：所有的情况有：4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共4种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种， 所以从中任取三条能构成直角三角形的概率是；故选：D ．找出四条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所求的概率．此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．33.若△ABC三边分别是a，b，c，且满足(b－c)(a2＋b2)＝bc2－c3，则△ABC是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】略34.下列选项中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠C B. A：∠B：∠C=1：2：3C. ∠A=∠B=2∠CD. AB2+BC2=AC2【答案】C【解析】解：A、正确，因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形；B、因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，所以设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，故x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=30°×3=90°，故为直角三角形；C、因为∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=∠B=72°，∠C=36°，故此三角形是锐角三角形，错误；D、因为AB2+BC2=AC2，故为直角三角形；故选：C．A、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠A、∠B、∠C的值；D、根据勾股定理的逆定理进行判定即可．此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．35.在下列条件中：，，，④,⑤中，能确定是直角三角形的条件有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的最大角的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案．【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=×180°=90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故③正确；④∵∠A=∠B=∠C，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，∴x+2x+3x=180°，∴x=30º，3x=90º，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故④正确，⑤∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴5∠C=180°∴∠C=36°∴∠A=∠B=72°∴△ABC不是直角三角形，∴⑤错误.综上所述①②③④4个全部符合题意．故选D．36.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】略37.下列说法中：①如果∠A+∠B﹣∠C＝0，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C＝5：12：13，则△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则△ABC为直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2﹣4、4n、n2+4（n＞2），则△ABC是直角三角形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理.利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项进行判断，从而得到答案．【解答】解：①符合题意，由三角形内角和定理可求出∠C为90度；②不符合题意，根据三角形的内角和定理可以求出三角形的三个内角分别为30°，72°，78°，不是直角三角形；③符合题意，设三边分别为x，x，x，则有7x2+10x2=17x2，则△ABC为直角三角形；④符合题意，因为，则△ABC是直角三角形．所以正确的有①③④．故选C．38.如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（）A. 6cm2B. 30cm2C. 24cm2D. 36cm2【答案】C【解析】解：连接AC，∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC=AC×CD-AB×BC=×5×12-×4×3=30-6=24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C．连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC 中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．39.王老师给出了下列三条线段的长度，其中能首尾相接构成直角三角形的是（）A. 1，2，3B.C. 6，8，9D. 5，12，13【答案】D【解析】解：A、由22+12=5≠32，故本选项错误；B、由（）2+（）2=7≠（）2，故本选项错误；C、由62+82=100≠92，故本选项错误；D、由52+122=169=132，故本项正确．故选：D．根据三边的长，运用勾股定理的逆定理进行分析解答即可．本题主要考查勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．40.图中三角形的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的定义,根据图形找出其中三角形即可得结果.【解答】解：图中三角形有ΔABF、ΔADF、ΔCDF、ΔAEC、ΔACD、ΔABD、ΔAED、ΔBDE，共8个.故选C.41.在下列几组数中，能作为直角三角形三边的是（）.A. 0.9，1.6，2.5B. ，，C. 32，42，52D. ，，【答案】D【解析】解：A、0.92+1.62≠2.52，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；D、（）2+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，故选项正确．故选D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．42.给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2=c2；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】C【解析】【分析】此题考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：①由于0.32+0.42=0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2=c2，故③说法正确；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．故选：C．43.已知△ABC，三边长AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则最长边上的高是（）A. 48cmB. 4.8cmC. 0.48cmD. 5cm【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的面积，是基础知识要熟练掌握．勾股的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形. 首先根据勾股定理的逆定理得出斜边为AB，再利用“面积法”来求AB边上的高.【解答】解：∵Rt△ABC的三边AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∴AB2=AC2+BC2，∠C=90°，，∴AB边上的高.故选B.44.线段BC上有3个点P1、P2、P3，线段BC外有一点A，把A和B、P1、P2、P3、C连接起来，可以得到的三角形个数为()A. 8个B. 10个C. 12个D. 20个【答案】B【解析】解：从5个点中，任意选2个点组合，显然有10种情况．故选B．45.将下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是( )。

天津市河东区普通中学2018届初三中考数学复习勾股定理的逆定理专题复习练习1. 下列各组数可以构成直角三角形的一组是( )A.3,5,6B.2,3,4C.6,7,9D.1.5,2,2.52. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )A.6，7，8B.5，6，7C.4，5，6D.3，4，53. 在Rt△ABC 中，若∠A =90°，BC =7，AC =5，则AB =___________.4. 以下各组数为边长，能构成直角三角形的有__________（填写编号）.①6，7，8 ②8，15，17 ③7，24，25 ④12，35，375. 在△ABC 中，∠C =90°，已知a∶b=3∶4,c=15,则b =_______.6. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则AB =___________.7. 若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为___________.8. 如果三角形的三边长a,b,c满足____________，那么这个三角形是____________，_______所对的角是直角.9. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，则∠___________=90°.10. 在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为________________.11. 如果三条线段长a,b,c满足a 2=c 2-b 2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？如果不是，请说明理由；如果是，请找出哪条边所对的角是直角.12. 三边长度分别为3 cm,4 cm,5 cm的三角形与以3 cm,4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？说说你是怎样得到的？13. A，B，C三地的距离如图X17-12-2所示，A 地在B 地的正东方向，C 地在B 地的什么方向？14. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile，它们离开港口一个半小时后相距30 n mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？15. 如图，∠C =90°，AC =12，BC =9，AD =8，BD =17，求△ABD 的面积.参考答案：1. B2. D3.4. ②③④5. 126.7. 3或8. a 2+b 2=c 2直角三角形c9. A10. 25∶1211. 解:是直角三角形，∠C =90°.12. 解：它们是全等的.理由：以3cm,4cm为直角边的直角三角形其斜边为5cm，从而它与以3cm,4cm,5cm为边的三角形对应相等,所以两三角形全等.13. 解：正北方向.14. 解：根据题意，得PQ =16×1.5=24（n mile）,PR =12×1.5=18（n mile），QR =30（n mile）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR =90°．由“远航号”沿东北方向航行可知∠QPS =45°，则∠SPR =45°，即“海天”号沿西北方向航行.15. 解：∵∠C =90°，AC =12，BC =9，∴AB 2=AC 2+BC 2,∴AB ==15.∵AD =8,BD =17,∵AB 2+AD 2=152+82=289=172=BD2∴∠DAB =90°.∴△ABD的面积=AB×AD=60.。

初中数学勾股定理及逆定理练习题一、解答题1.如图所示的一块地,4,3,13,12,AD m CD m AB m BC m ====求这块地的面积.2.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A ，B ，C 为格点(1)判断ABC 的形状，并说明理由.(2)求BC 边上的高.3.如图,在Rt ABC 中90,7cm C BC ∠=︒=.动点P 在线段AC 上从点C 出发,沿CA 方向运动;动点Q 在线段BC 上同时从点B 出发,沿BC 方向运动.如果点,P Q 的运动速度均为1cm /s ,那么运动几秒时,它们相距5cm4.如图,在ABC ∆中,45ABC ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E ,BE 与CD 交于点F .(1)求证:ACD FBD ∆≅∆(2)若5,1AB AD ==,求BF 的长5.如图，将长方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE .(1)求证:AE AF CE CF===；(2)设AE a=，请写出一个a b c，，三者之间的数量关系式.=，DC c=，ED b6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE△，延长△沿AE对折至AFEEF交BC于点G，连接AG.(1)求证:ABG AFG△△；≅(2)求BG的长.7.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜂蜜，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.8.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点3E AE=，，1+EB=，在AC上有一点P，使EP BP 最短，求EP BP+的最短长度.9.如图，四边形ABCD 是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网，经过测量得知:90B ∠=︒，24m AB =，7m BC =，15m CD =，20m AD =.(1)判断D ∠是不是直角，并说明理由；(2)求四边形ABCD 需要铺的草坪网的面积.10.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数百千米的范围内形成极端气旋，有极强的破坏力如图，有一台风中心由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点,A B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，且500km AB =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域.(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h ，台风影响该海港持续的时间有多长？11.如图，每个小正方形的边长是1.(1)求ABC △的周长.(2)画出BC 边上的高，并求出ABC △的面积.(3)画出AB 边上的高，并求出高.12.如图，在ABC △中，20AB =，12AC =，16BC =，把ABC △折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)面积.13.已知ABC △的三边分别为a b c ,,，且4a b +=，1ab =，c =ABC △的形状. 14.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海某城市A 正南方向240km 的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25km ，风力就会减弱一级该台风中心现正以20km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，如图，且台风中心的风力不变若城市所受风力到达或超过4级，则称受到台风影响(提示:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)(1)城市A 是否会受到台风影响？请说明理由(2)若城市A 会受到台风影响，那么台风影响该城市的时间有多长？(3)若城市A 会受到台风影响，那么该城市受到台风影响的最大风力为几级？15.如图，在长方形纸片ABCD 中，3cm AB =，9cm AD =，将此长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，求ABE △的面积.16.如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D'处，BC交AD'于点BC=，求阴影部分的面积.，，8cm6cmE AB=17.如图，点D是ABC△，且4△内一点，把ABD△绕点B顺时针旋转60°得到CBEAD=，CD=.3BD=，5(1)判断DEC△的形状，并说明理由.(2)求ADB∠的度数.18.在一次意外事故中，有一根高为16m的电线杆在A处断裂，如图，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8m远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离.19.如图，在等腰直角三角形ABC中，90∠=︒，点D为AC边的中点，过点D作DE DFABC⊥，CF=，求EF的长.交AB于点E，交BC于点F，若4AE=，320.八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？21.如图,已知一高层住宅发生火灾,消防车立即赶到距大厦8米处(车尾到大厦墙面),升起云梯到火灾窗口,已知云梯长17米,云梯底部距地面2 米,问发生火灾的住户窗口距地面多高?22.已知a,b,c,为△ABC 的三边长,且满足a 2 +b 2+c 2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC 的形状.23.如图所示,在长方形ABCD 中, 8AB =,4BC =,将长方形沿AC 折叠,使点D 落在点D '处,求重叠部分AFC ∆的面积.24.如图,一个梯子AB 长25米,顶端A 靠在墙AC 上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为15米,梯子滑动后停在DE 的位置上,测得BD 长为5米,求梯子顶端A 下落了多少米?25.美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法,如图,他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形,请你利用此图形验证勾股定理.参考答案1.答案：解:连接AC∵90,4,3, 5.ADC AD CD AC ∠=︒==∴=由13,12AB BC ==可得222,AC BC AB ABC +=∴△是直角三角形∴30S ABC =△6,S ACD =△30624-=所以这块土地的面积为224m解析：2.答案：(1)结论：ABC 是直角三角形.理由：2222222221865,2313,6452BC AC AB =+==+==+=，222AC AB BC ∴+=， ∴ABC 是直角三角形.(2)设BC 边上的高为则有1122AC AB BC h ⋅⋅=⋅⋅， 13,AC AB BC ===.解析： 90,2ADB AD BD h ︒∠==∴ 3.答案：设运动x 秒时，它们相距5cm ，则()7cm,cm CQ x CP x =-= 根据题意得：()22275x x =+-解得123,4x x ==答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm解析：4.答案：(1)证明：45,ABC CD AB ︒∠=⊥90CDB CDA ∴∠=∠=︒CDB ∴∆为等腰直角三角形BD CD ∴=BE AC ⊥90CEF FDB ∴∠=∠=︒又CFE BFD ∠=∠ACD FBD ∴∠=∠在ACD ∆和FBD ∆中，90ACD FBD BD CDCDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩︒ ()ACD FBD ASA ∴∆≅∆(2)ACD FBD ∆≅∆ 1AD FD ∴==又5AB =4BD ∴=∴在Rt BDF ∆中，BF === 解析：5.答案：(1)证明:由题意知，AF CF =，AE CE =，AFE CFE ∠=∠. 在长方形ABCD 中，//AD BC ，AEF CFE ∴∠=∠， AFE AEF ∴∠=∠，AE AF EC CF ∴===.(2)由题意知，AE EC a ==，ED b =，DC c =， 由90D ∠=︒知，222ED DC CE += ，即222b c a +=. 解析：6.答案：(1)证明:在正方形ABCD 中，AD AB =，90D B ∠=∠=︒. 将ADE △沿AE 对折至AFE △，AD AF ∴=，DE EF =，90D AFE ∠=∠=︒.AB AF ∴=，90B AFG ∠=∠=︒.又AG AG =，()Rt Rt HL ABG AFG ∴≅△△.(2)ABG AFG ≅△△，BG FG ∴=.设()0BG FG x x ==>，则6GC x =-， E 为CD 的中点，3CE DE EF ∴===，3EG x ∴=+. 在Rt CEG △中，()()222363x x +-=+，解得2x =，2BG ∴=. 解析：7.答案：分为三种情况:(1)如图①，连接EC .在Rt EBC △中，12820cm EB =+=，13015cm 2BC =⨯=，由勾股定理得25cm EC =(2)如图②，连接EC .同理可得25cm CE >.(3)如图③，连接EC .同理可得25cm CE >. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.解析：8.答案：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP .此时EP BP +最短.易知BD AC ⊥，且BO OD =，BP PD ∴=，则BP EP ED +=.3AE =，134AD AB ==+=，∴在Rt ADE △中，由勾股定理得222234255ED =+==， EP BP ∴+的最短长度为5.解析：9.答案：(1)D ∠是直角，理由如下:如图，连接AC ，90B ∠=︒，24m AB =，7m BC =，222AC AB BC ∴=+22247625=+=，()25m AC ∴=. 又15m CD =，20m AD =，222152025+=即222DC AD AC +=，ACD ∴△是直角三角形，且D ∠是直角. (2)ABC ADC ABCD S S S =+四边形△△()211234m 22AB BC AD DC =⋅+⋅=. 故四边形ABCD 需要铺的草坪网的面积为2234m . 解析：10.答案：(1)海港C 受台风影响.理由如下:如答图，过点C 作CD AB ⊥.300km AC =，400km BC =，500km AB =.222AC BC AB ∴+=，ABC ∴△是直角三角形，AC BC CD AB ∴⋅=⋅，300400500CD ∴⨯=⨯，()300400240km 500CD ⨯∴==.以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域， ∴海港C 受台风影响(2)当250km EC =，250km FC =时，台风正好影响C 港口. 70km ED EC ==，140km EF ∴=.台风的速度为20km/h ，∴受台风影响的时间为()140207h ÷=，答:台风影响该海港持续的时间为7h.解析：11.答案：(1)AB AC =，2BC =，故ABC △的周长为2(2)作图略，ABC △的面积12442=⨯⨯=.(3)作图略，AB 边上的高42=⨯÷解析：12.答案：设CD x =在ABC △中，20AB =，12AC =，16BC =，222AC BC AB ∴+=，90ACB ∴∠=︒.把ABC △折叠，使AB 落在直线AC 上，BD B D '∴=16x =-，B C AB AC '=-20128=-=.在Rt DCB '△中，90DCB '∠=︒，222CD B C DB ''∴+=，()222816x x ∴+=-，解得6x =.∴重叠部分(阴影部分)的面积为1612363⨯⨯=. 解析：13.答案：ABC △是直角三角形理由如下22a b +()22a b ab =+-242114=-⨯=，2214c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴△是直角三角形. 解析：14.答案：(1)城市A 会受到台风影响理由如下:如图，过点A 作AD BC ⊥于点D .在Rt ADB △中，30ABD ∠=︒，240km AB =，()11240120km 22AD AB ∴==⨯=.由题意知，距台风中心在()()12425200km -⨯=以内时，会受到台风影响.120200<，∴城市A 会受到台风影响..(2)设台风中心移至E 处时，城市A 开始受到台风影响，台风中心移至F 处时，城市A 脱离台风影响，连接AE AF ,，则200km AE AF ==.由勾股定理，得222DE AE AD =-222200120160=-=，160km DE ∴=.同理可得160km DF =.∴城市A 受台风影响的时间为()160216h 20⨯=. (3)当台风中心位于D 处时，对城市A 的影响最大.120km AD =，∴台风从D 处到A 处，其风力将减弱12025 4.8÷=(级)，A ∴处的风力为12 4.87.2-=(级)，∴该城市受到台风影响的最大风力为7.2级解析：15.答案：设cm BE x =，由折叠的性质知cm DE BE x ==，则()9cm AE AD DE x =-=-.在Rt ABE △中，由勾股定理，得222BE AE AB =+，即()22293x x =-+，解得5x =.5cm DE BE ∴==， ()9954cm AE x ∴=-=-=.12ABE S AB AE ∴=⋅△()21346cm 2=⨯⨯=. 解析：16.答案：由折叠的性质，可知D D '∠=∠，CD CD '=.又CD AB =，D B ∠=∠，CD AB '∴=，B D '∠=∠在ABE △和CD E '△中， AEB CED B D AB CD '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，ABE CD E '∴≅△△，AE CE ∴=.设cm AE CE x ==，则()8cm BE x =-在Rt ABE △中，222AB BE AE +=即()22268x x +-=，254x ∴=，25cm 4CE AE ==. 12S CE AB ∴=⋅阴影()2125756cm 244=⨯⨯=. 解析：17.答案：(1)DEC △是直角三角形理由如下: ABD △绕点B 顺时针旋转60°得到CBE △，CBE ABD ∴≅△△，3BE BD ∴==，4CE AD ==又60DBE ∠=︒，BDE ∴△是等边三角形，3DE BD ∴==.又5CD =，222234DE CE ∴+=+22255CD ===，DEC ∴△是直角三角形(2)由(1)得90DEC ∠=︒，BDE △是等边三角形，60BED ∴∠=︒，BEC DEC BED ∴∠=∠+∠9060150=︒+︒=︒.ABD CBE ≅△△，150ADB BEC ∴∠=∠=︒.解析：18.答案：在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒.设m AB x =，则()16m AC x =-由勾股定理，得222AB BC AC +=，即()222816x x +=-，解得6x =.故电线杆断裂处A 到地面的距离为6m.解析：19.答案：连接BD .在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 边的中点，BD AC ∴⊥，BD CD AD ==，45ABD ∠=︒，45C ∠=︒，ABD C ∴∠=∠. 又DE DF ⊥，BD AC ⊥，EDB BDF FDC BDF ∴∠+∠=∠+∠，EDB FDC ∴∠=∠，在EDB △与FDC △中，EBD C BD CD EDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()...EDB FDC A S A ∴≅△△，3BE CF ∴==，7AB ∴=，则7BC =，4BF ∴=.在Rt EBF △中，222EF BE BF =+223425=+=，5EF ∴=.解析：20.答案：解：能将旗杆的长度求出来理由如下：设旗杆的长度为x 米，根据勾股定理得：2225(1)x x +=+解得：12x =答：旗杆的高度为12米.解析：21.答案：设窗口距地面高为(2)x +米,根据勾股定理有222178x =-,∴15x =,则217x +=,所以窗口距地面高17米.解析：22.答案：△ABC 是直角三角形解析：∵a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,∴a 2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5,∵32+42=52,∴△ABC 是直角三角形23.答案：在长方形ABCD 中,∵//AB CD ,∴BAC DCA ∠=∠.又由折叠的性质可得DCA FCA ∠=∠,∴BAC FCA ∠=∠,∴AF CF =.设AF x =,则8BF AB AF x =-=-.在Rt BCF ∆中, 4BC =,8BF x =-,CF x =,90B ∠=︒,∴()22248x x +-=.解得5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆=⋅=⨯⨯=. 解析：24.答案：5米解析：在RT ABC ∆中,根据勾股定理得: 20AC =米,由于梯子的长度不变,在RT CDE ∆中,根据勾股定理,求出CE ,从而即可得出答案.在Rt ABC ∆中, 25AB =米, 15BC =米, 故20AC ===米,在Rt ECD ∆中, 25AB DE ==米, ()15520CD =+=米, 故15EC ==米,故20155AE AC CE =-=-=米.答:梯子顶端A 下落了5米.考点:勾股定理的应用25.答案： 因为 ()()22211222S a b a ab b =+=++梯形, 又因为S 梯形221111(2)2222ab ba c ab c =++=+ 所以22211(2)(2)22a ab b ab c ++=+得c2=a2+b2.解析：试题分析:此等腰梯形的面积有三部分组成,利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理.考点:勾股定理的证明.。

勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少cm2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．2、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．【思路点拨】把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE ，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB 的度数． 【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性， AD=EC ，BD=BE ，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形， 于是DE=BD=3，EC=AD=4， 又∵CD=5，∴DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2； 故△DEC 为直角三角形．（2）∵△DEC 为直角三角形， ∴∠DEC=90°，又∵△BDE 为等边三角形， ∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°， 即∠ADB=150°．【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°． ∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACP ＝∠BCD ． ∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)， ∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，22222228DP CP CD =+=+=． 又∵ PB ＝1，则21PB =． ∵ 29DB =，∴ 22819DB DP PB =+=+=，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°， ∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°． 类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足438324a b c +++==，且a +b +c =12，请你探索△ABC 的形状． 【答案与解析】 解：令438324a b c +++===k ． ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8． 又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12， ∴k=3．∴a =5，b =3，c =4． ∴△ABC 是直角三角形．【总结升华】此题借用设比例系数k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状． 举一反三：【变式】（春•渝中区校级月考）△ABC 的三边a 、b 、c 满足|a+b ﹣50|++（c ﹣40）2=0．试判断△ABC 的形状是 ． 【答案】直角三角形． 解：∵|a+b ﹣50|++（c ﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC 是直角三角形． 故答案为直角三角形．4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°． 又BD ⊥AC ，可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =．∴ 1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)． 所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．【巩固练习】一．选择题1．（春•平武县校级月考）下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ） A ．13，16，19B ．，，C ．18，24，36D ．12，35，372．（春•凉山州期末）△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.a ：b ：c=12：1B.∠A ：∠B ：∠C=3：4：5C.（a+b ）（a ﹣b ）=c 2D.∠A ：∠B ：∠C=1：2：33． 已知△ABC 三边长分别为2n +1，2n 2+2n ，2n 2+2n +1，（n 为正整数），则△ABC 为（ ） A ． 直角三角形 B ． 等腰三角形 C ． 锐角三角形 D ． 钝角三角形4． 有下面的判断：①△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形．②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2﹣b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a +b ）（a ﹣b ）=c 2．以上判断正确的有（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）6． c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②222111,,a b c能组成直角三角形 ③hb a 1,1,1能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题7．若△ABC 中，()()2b a b ac -+=，则∠B ＝____________．8．（春•罗定市期中）若△ABC 的三边长分别为x +1，x +2，x +3，要使此三角形成为直角三角形，则x= ．9．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为______．10．△ABC 的两边a b ，分别为5，12，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______． 11．（春•寿县期中）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度． 12． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形，那么2,2,2cb a ________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．三．解答题 13．（秋•广州校级期末）如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=300m ，AD=400m ，CD=1300m ，BC=1200m ．请计算种植草皮的面积．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）填表：边a、b、c三角形的面积与周长的比值3 4 55 12 138 15 17（2）若a+b﹣c=m，则猜想sl=（并证明此结论）．15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△A BC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D【解析】判断一组数是不是勾股数时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间的关系，所以只有D项满足．2．【答案】B．3．【答案】A；【解析】由2n2+2n+1＞2n2+2n，且2n2+2n+1＞2n+1，得到2n2+2n+1为最长的边，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4，（2n 2+2n+1）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4 ∴（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2∴△ABC 为直角三角形． 4．【答案】C ；【解析】①c 不一定是斜边，故错误；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a ﹣b ）≠c 2，故错误． 5．【答案】C ； 【解析】22222272425152025+=+=，． 6．【答案】B ；【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误；因为ab ch =，所以ab c h=．又因为222a b c +=．得22222a b a b h +=．两边同除以22a b ，得222111a b h +=②正确；因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确，360°×512=150°，最大角并不是90°，所以④错误． 二．填空题 7．【答案】90°；【解析】由题意222b ac =+，所以∠B=90°． 8．【答案】2；【解析】由题意得：（x +1）2+（x +2）2=（x +3）2，解得：x 1=2，x 2=﹣2（不合题意，舍去）. 9．【答案】24；【解析】∵7＜a ＜9，∴a ＝8． 10．【答案】13；直角三角形； 【解析】7＜c ＜17． 11．【答案】30；【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=8×2=16，乙船的路程：BO=15×2=30，∵302+162=342， ∴∠AOB=90°，∵AO 是北偏东60°方向， ∴BO 是南偏东30°． 故答案为：30．12．【答案】能；【解析】设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(cb a =+ ． 三．解答题 13．【解析】 解：连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=3002+4002=5002， 在△CBD 中，CD 2=13002， BC 2=12002，而12002+5002=13002， 即BC 2+BD 2=CD 2， 则∠DBC=90°，S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC AD •BD+BD •BC=360000m 2． 答：种植草皮的面积是360000m 2． 14．【解析】（1）解：∵S=×3×4=6， L=3+4+5=12， ∴sl==，∴同理可得其他两空分别为1，； （2）4s m l =； 证明：∵a +b ﹣c =m ，∴a +b =m+c ，∴a 2+2ab +b 2=m 2+2mc +c 2， 又∵a 2+b 2=c 2， ∴2ab =m 2+2mc ，∴S=2ab=m （m +2c ）， ∴12ab sl a b c =++=1(2)4m m c m c c+++=4m ．15．【解析】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可） （2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC ， ∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC=DE ，BC=BE ， ∵∠CBE=60°，∴EC=BC ，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， ∴DC 2+EC 2=DE 2， ∴DC 2+BC 2=AC 2．即四边形ABCD 是勾股四边形．。

勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
1.三角形ABC的两边分别为5和12，另一边c为奇数，并且a+b+c是3的倍数。

求c的值和三角形的类型。

2.三角形中两条较短的边为a+b和a-b（a>b），求第三条边使得三角形为直角三角形。

3.已知三角形ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²+50=2(m-1)余m+1，求三角形的类型。

4.已知三角形ABC中，BC=6，BC边上的高为7，求AC 边上的高。

5.已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），求三角形的类型和理由。

6.已知一个三角形的三边分别为7cm，24cm，25cm，求三角形的面积。

7.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。

8.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。

9.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是多少？
10.已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，
AD=13，求四边形的面积。

11.已知三角形ABC中，AC=17，AD=8，CD=15，
AB=10，求三角形的类型和面积。

12.已知三角形ABC中，AB=17cm，BC=30cm，求三角形的类型和面积。

13.判断一个机器零件是否符合要求。

14.已知四边形ABCD中，∠B=90，BC上的中线
AD=8cm，判断三角形ABC的类型和理由。

15.为了庆祝红宝石婚，XXX和XXX举办了一场数学竞赛，其中包括了勾股定理的逆定理的专题训练。

2018年10月18日勾股定理的逆定理一．选择题1．已知三角形的三边长为a、b、c，如果(a﹣5)2+|b﹣12|+(c﹣13)2=0，则△ABC是()A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形2．若a、b、c是△ABC的三边，且满足(a﹣b)2=c2﹣2ab，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是()A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形4．以下列各题的数组为三角形的三条边长：①5，12，13；②，，；③，2；④15，25，20．其中能构成直角三角形的有()A．1组B．2组C．3组D．4组5．如图，以△ABC的三边为邻边分别向外作等腰直角三角形，且S△AFB=169，S△AEC=25，S△CHB=144，则S△ACB=()A．130 B．120 C．100 D．90(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)二．填空题6．如图，在单位为1的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是．7．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成个直角三角形．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t=时，△ABP为直角三角形．三．解答题9．如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．10．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC是什么形状？并说明理由．11．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子蜡烛，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．13．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．(1)当a=3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．(2)若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．14．阅读下列解题过程：、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①所以c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2)②．所以c2=a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④请你判断上述解题过程是否正确？如果有误，请你将正确的解答过程写下来．15．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结P A，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．(1)证明：AP=CQ；(2)若P A：PB：PC=3：4：5，连结PQ，证明：△PQC是直角三角形．16．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°，求四边形ABCD 的面积．17．已知某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，那么三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形会不会是直角三角形呢？请说明理由(提示：若a+b＞c，则a+b﹣c＞0)．18．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：其中m、n为正整数，且m＞n．(1)观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．(2)探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=，b=，c=．(3)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．19．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC 为三角形．(2)猜想，当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形．(3)试证明(2)中猜想的正确性．20．已知a，b，c为三角形的三边，若a=2，b=3，当c为何值时，△ABC是：(1)锐角三角形？(2)直角三角形？(3)钝角三角形？2018年10月18日数学饼干的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题(共5小题)1．已知三角形的三边长为a、b、c，如果(a﹣5)2+|b﹣12|+(c﹣13)2=0，则△ABC是()A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形【分析】根据非负数的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可．【解答】解：∵(a﹣5)2+|b﹣12|+(c﹣13)2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴a2+b2=c2，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．故选：C．2．若a、b、c是△ABC的三边，且满足(a﹣b)2=c2﹣2ab，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】根据题意，利用完全平方公式展开求得a、b、c之间的关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵(a﹣b)2=c2﹣2ab，∴a2+b2﹣2ab=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是()A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断．【解答】解：A、∠C﹣∠B=∠A，即∠A+∠B=∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2=b2﹣a2，即a2+c2=b2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a=3，b=5，c=4，32+52≠42，但是32+42=52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．4．以下列各题的数组为三角形的三条边长：①5，12，13；②，，；③，2；④15，25，20．其中能构成直角三角形的有()A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①52+122=132，故是直角三角形；②()2+()2≠()2，故不是直角三角形；③()2+()2≠22，故不是直角三角形；④152+202=252，故是直角三角形．故选：B．5．如图，以△ABC的三边为邻边分别向外作等腰直角三角形，且S△AFB=169，S△AEC=25，S△CHB=144，则S△ACB=()A．130 B．120 C．100 D．90【分析】根据题意和图形得到AB2=AC2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据题意求出AC、BC的长，根据三角形的面积计算即可．【解答】解：∵S△AFB=S△AEC+S△CHB，∴AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∵AC2=25，BC2=144，∴AC=10，BC=24，∴S△ACB=×10×24=120，故选：B．二．填空题(共3小题)6．如图，在单位为1的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH．【分析】本题应先计算出各线长度，再根据勾股定理逆定理进行判断．【解答】解：AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2．故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH．故答案为：AB，EF，GH．7．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成3个直角三角形．【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．【解答】解：由勾股定理得：AD2=BD2=12+32=10，AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=CD2=25，∵AD2+BD2=AB2，AC2+AB2=BC2，AC2+AB2=CD2，∴能够组成3个直角三角形．故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t=2s或s时，△ABP为直角三角形．【分析】首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，∴BC=4 cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm，∴t=4÷2=2s．②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=(2t﹣4)cm，AC=3 cm，在Rt△ACP中，AP2=32+(2t﹣4)2，在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴52+[32+(2t﹣4)2]=(2t)2，解得t=s．综上，当t=2s或s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或s．三．解答题(共12小题)9．如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【分析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD 是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．【解答】解：连接BD，在Rt△BAD中，∵AB=AD=2，∴BD==2，在△BCD中，DB2+CD2=(2)2+12=9=CB2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC=90°，∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2÷2=2+．10．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC是什么形状？并说明理由．【分析】(1)运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；(2)根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解：(1)△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5．故△ABC的面积为5；(2)∵小方格边长为1，∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形．11．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子蜡烛，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？【分析】设使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形的位置为点C，则AC+BC=70cm，设AC=x，则BC=(70﹣x)cm，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x的值．【解答】解：已知如图：设AC=x，则BC=(70﹣x)cm，由勾股定理得：502=x2+(70﹣x)2，解得：x=40或30，若AC为斜边，则502+(70﹣x)2=x2，解得：x=，若BC为斜边，则502+x2=(70﹣x)2，解得：x=．故这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或cm或cm．12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=EF=AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，∴AM的最小值是．13．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．(1)当a=3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．(2)若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．【分析】(1)根据勾股定理的逆定理即可求解；(2)根据三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和，列不等式求解．【解答】(1)证明：当a=3时，a+1=4，a+2=5，∵32+42=52，∴这三条线段可以组成一个直角三角形．(2)解：根据三角形的三边关系，得a+a+1＞a+2，解得a＞1．故a的取值范围是a＞1．14．阅读下列解题过程：、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①所以c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2)②．所以c2=a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④请你判断上述解题过程是否正确？如果有误，请你将正确的解答过程写下来．【分析】利用提公因式法把原式因式分解，根据等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理解答．【解答】解：上述解题过程不正确，∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2)，∴(a2﹣b2)(c2﹣a2+b2)=0，∴a2﹣b2=0或(c2﹣a2+b2)=0，∴a=b或c2=a2+b2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．15．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结P A，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．(1)证明：AP=CQ；(2)若P A：PB：PC=3：4：5，连结PQ，证明：△PQC是直角三角形．【分析】(1)根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；(2)设P A=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形，从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．【解答】解：(1)猜想：AP=CQ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又∵AB=BC，BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；(2)证明：由P A：PB：PC=3：4：5，可设P A=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．16．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°，求四边形ABCD 的面积．【分析】作∠DBM=∠BDA，∠BDN=∠DBA，射线BM，DN交于A′，可得△A′BD≌△ADB，可得：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，证得∠A′BC=90°，根据勾股定理得到A′C=25，根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到结果．【解答】解：作∠DBM=∠BDA，∠BDN=∠DBA，射线BM，DN交于A′，可得△A′BD≌△ADB，可得：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如图1，连接A′C，∵∠ADB+∠CBD=90°，∴∠A′BD+∠CBD=90°，即∠A′BC=90°，∴A′B2+BC2=A′C2，∵A′B=15，BC=20，∴A′C=25，在R t△A′CD中，A′D=24，CD=7，∴A′D2+CD2=576+49=625，∵A′C2=625，∴A′D2+CD2=A′C2．∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，∴S四边形A′BCD=S△A′BC+S△A′CD=×20×15+×24×7=234，∵S△A'BD=S△ABD，∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234．17．已知某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，那么三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形会不会是直角三角形呢？请说明理由(提示：若a+b＞c，则a+b﹣c＞0)．【分析】根据勾股定理可得a2+b2=c2，分别求的(a+1)2、(b+1)2、(c+1)2的值，根据(a+1)2+(b+1)2﹣(c+1)2≠0，即可解题．【解答】解：∵某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，∴a2+b2=c2，∵(a+1)2+(b+1)2=a2+2a+1+b2+2b+1，(c+1)2=c2+2c+1，∴(a+1)2+(b+1)2﹣(c+1)2=2a+2b﹣2c+1，∵a+b＞c，∴a+b﹣c＞0，∴(a+1)2+(b+1)2﹣(c+1)2＞1≠0，∴三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形不是直角三角形．18．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：其中m、n为正整数，且m＞n．(1)观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．(2)探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2．(3)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．【分析】(1)计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；(2)根据给出的数据总结即可；(3)分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：(1)当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，∵32+42=52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；(2)观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；(3)以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，∵a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，∴a2=b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．19．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC 为钝角三角形．(2)猜想，当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．(3)试证明(2)中猜想的正确性．【分析】(1)利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；(2)根据(1)中的计算作出判断即可；(3)若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a ﹣x．根据勾股定理，得a2+b2=c2+2ax，从而可证；当△ABC是钝角三角形时，a2+b2＜c2；理由：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，则有BD2=a2﹣x2，根据勾股定理，得a2+b2+2bx=c2，从而可证．【解答】解：(1)∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；(2)当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；(3)若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x．根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣(a﹣x)2，即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．则a2+b2=c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0；∴a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时，a2+b2＜c2；理由：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，则有BD2=a2﹣x2，根据勾股定理，得(b+x)2+a2﹣x2=c2，即a2+b2+2bx=c2．∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2+b2＜c2．20．已知a，b，c为三角形的三边，若a=2，b=3，当c为何值时，△ABC是：(1)锐角三角形？(2)直角三角形？(3)钝角三角形？【分析】分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，(1)①a2+b2＞c2，②a2+c2＞b2，③c2+a2＞b2；(2)①a2+b2=c2，②a2+c2=b2，③c2+a2=b2；(3)①a2+b2＜c2，②a2+c2＜b2，③c2+a2＜b2．然后即可求出c 的范围．【解答】解：(1)分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形，即c2＜22+32=13，∴c＜，∴3＜c＜．∴当3＜c＜时，△ABC是锐角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＞，∵a＜c＜b，∴＜c＜3，∴当＜c＜3，时，△ABC是锐角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＞，∵c＜a＜b，∴＜c＜2(舍去)，∴当＜c＜3，或3＜c＜时，△ABC是锐角三角形；(2)分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形，即c2=22+32=13，∴c=，∴当c=时，△ABC是直角三角形，②a＜c＜b当a2+c2=b2时，△ABC是直角三角形，即c2=b2﹣a2=32﹣22=5，∴c=，∴当c=时，△ABC是直角三角形，③c＜a＜b当c2+a2=b2时，△ABC是直角三角形，即c2=b2﹣a2=32﹣22=5，∴c=，∴当c=时，△ABC是直角三角形，∴当c=或时，△ABC是直角三角形；(3)分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形，即c2＞22+32=13，∴c＞，∴c＞．∴当c＞时，△ABC是钝角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＜，∵a＜c＜b，∴2＜c＜，∴当2＜c＜，时，△ABC是钝角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2=32﹣22=5，∴c＜，∵c＜a＜b，∴0＜c＜2，∴当0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形，∴当c＞或当2＜a＜或0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形．。