2017年春季新版北师大版九年级数学下学期1.6、利用三角函数测高同步练习1

课时作业(七)[第一章 6 利用三角函数测高]一、选择题1．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－7－1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )链接听课例1归纳总结图K－7－1A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米2．如图K－7－2，为了测量电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为链接听课例2归纳总结( )图K－7－2A．50 3米 B．51米C．(50 3＋1)米 D．101米3．如图K－7－3，斜坡AB的坡度为1∶2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼FH，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼FH的高度是(结果精确到1米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，3≈1.73)( )A．125米 B．105米C．85米 D．65米4．2017·深圳如图K－7－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长度为10 m，则树AB的高度是( )A．20 3 m B．30 mC．30 3 m D．40 m图K－7－45．如图K－7－5，在两建筑物之间有一旗杆GE，高15米，从点A经过旗杆顶端恰好看到矮建筑物的墙脚点C，且俯角α为60°，又从点A测得点D的俯角β为30°，若旗杆底G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()图K－7－5A．20米 B．10 3米C．15 3米 D．5 6米二、填空题6．如图K－7－6，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC ＝18 m，则树高AB约为________m．(结果精确到0.1 m)图K－7－67．如图K－7－7(示意图)，某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)20 m的点B处，用高为0.8 m 的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为________m．(结果精确到0.1 m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)链接听课例1归纳总结8．如图K－7－8，两建筑物的水平距离BC为18 m，从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为________m(结果不作近似计算)．图K－7－8三、解答题9．2017·黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图K －7－9所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－7－910．2017·莱芜如图K－7－10，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离．(结果均精确到0.01 m，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)链接听课例2归纳总结图K－7－1011．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)如图K－7－11，在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5米，并测得C，D之间的距离为288米．已知红军亭的高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB(3取1.732，结果保留整数)．图K－7－11如图K－7－12，A，B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B.现有的测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形；(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．图K－7－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] C 设AG ＝x 米，在Rt △AEG 中， ∵tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝AG3＝33x 米． 在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG ，∴CG ＝x tan30°＝3x 米，∴3x －33x ＝100，解得x ＝50 3，则AB ＝(50 3＋1)米，故选C.3．[解析] B 如图，延长FH 交AC 于点.由题意知BG ⊥AC ，BH ⊥FH ，FE ⊥AC ，∴四边形BGEH 是矩形，∴BH ＝GE ，BG ＝HE .∵BG ∶AG ＝1∶2.4，∴设BG ＝x 米，AG ＝2.4x 米(x ＞0)．在Rt △ABG 中，∵AB ＝52米，由勾股定理可得BG 2＋AG 2＝AB 2，即x 2＋(2.4x )2＝522，解得x ＝20，则BG ＝20米，AG ＝48米．在Rt △BHF 中，∵∠HBF ＝77°，∴tan77°＝FH BH，∴FH ＝BH tan77°. 在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝60°，∴EF ＝3AE ，∴3(48＋BH )＝20＋BH tan77°， 解得BH ≈24.25，∴FH ＝BH tan77°≈105米．故选B.4．[解析] B 先根据CD ＝20 m ，DE ＝10 m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBF ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．5．[解析] A 如图，延长CD 交点A 所在的水平线于点F ，如图．由题意，知GE ∥AB∥CD ，BC ＝2GC ，GE ＝15米，∴AB ＝2GE ＝30米．∵AF ＝BC ＝AB tan ∠ACB ＝303＝10 3(米)，DF ＝AF ·tan30°＝10 3×33＝10(米)，∴CD ＝AB －DF ＝30－10＝20(米)． 6．[答案] 12.6 7．[答案] 40.0[解析] 过点A 作AE ⊥CD 于点E . ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴四边形ABDE 是矩形，∴AE ＝BD ＝20 m ，DE ＝AB ＝0.8 m. 在Rt △ACE 中，∠CAE ＝63°，∴CE ＝AE ·tan63°≈20×1.96＝39.2(m)， ∴CD ＝CE ＋DE ≈39.2＋0.8＝40.0(m)， 即筒仓CD 的高约为40.0 m.8．[答案] 12 3[解析] 过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则四边形BCDE 是矩形．根据题意，得∠ACB ＝β＝60°，∠ADE ＝α＝30°，BC ＝18 m ，∴DE ＝BC ＝18 m ，CD ＝BE .在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝18×tan60°＝18 3(m)． 在Rt △ADE 中，AE ＝DE ·tan∠ADE ＝18×tan30°＝6 3(m)，∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝18 3－6 3＝12 3(m)．9．[解析] 如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，推出AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m ，在Rt △AEB 中，由∠E ＝30°，AB ＝5 m ，推出AE ＝2AB ＝10 m ，可得x ＋3x ＝10，解方程即可．解：如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，∴AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m. 在Rt △AEB 中，∵∠E ＝30°，AB ＝5 m ， ∴AE ＝2AB ＝10 m ，∴x ＋3x ＝10，解得x ＝5 3－5，∴EF ＝2x ＝10 3－10≈7.3(m)． 答：点E 与点F 之间的距离约为7.3 m.10．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB ·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60(m)，AE ＝ABcos31°＝31cos31°≈310.86≈36.05(m)，故甲楼的高度约为18.60 m ，彩旗的长度约为36.05 m. (2)过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于点M ， 在Rt △GMF 中，GM ＝FM ·tan19°. 在Rt △GDC 中，GD ＝CD ·tan40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m. 根据题意，得x tan40°－x tan19°＝18.60，解得x ＝37.20.乙楼的高度GD ＝CD tan40°≈37.20×0.84≈31.25(m)，故乙楼的高度约为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离约为37.20 m.11．解：设AH ＝x 米，在Rt △中， ∵∠EGH ＝45°，∴GH ＝EH ＝AE ＋AH ＝(x ＋12)米． ∵GF ＝CD ＝288米，∴HF ＝GH ＋GF ＝x ＋12＋288＝(x ＋300)米． 在Rt △AHF 中，∵∠AFH ＝30°， ∴AH ＝HF ·tan∠AFH ，即x ＝(x ＋300)·33， 解得x ＝150(3＋1)．∴AB ＝AH ＋BH ＝150(3＋1)＋1.5≈409.8＋1.5≈411(米)． 答：凤凰山与中心广场的相对高度AB 大约是411米． [素养提升][解析] 本题是一道开放性试题，解题方法很多，表达式也是多种多样的．测角器可以测得仰角和俯角，皮尺可以测得A 楼的高度，通过解直角三角形可得B 楼的高度．解：(1)答案不唯一．如图，设AC 表示A 楼，BD 表示B 楼．测量步骤如下：①用测角器在A 楼的顶端点A 测量B 楼楼底的俯角α； ②用测角器在点A 测量B 楼楼顶的仰角β；③用皮尺从A 楼楼顶放下，测量点A 到地面的高度为a . (2)在Rt △ACD 中，CD ＝atan ∠ADC ＝atan α.在Rt △AEB 中，BE ＝AE ·tan β. ∵AE ＝CD ，∴BE ＝a tan βtan α，∴B 楼的高度BD ＝BE ＋ED ＝BE ＋AC ＝a tan βtan α＋a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan βtan α.。

1.6利用直角函数测高课后专题练习一、单选题1、如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离CE=8m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB 的高度是（ ）A ．mB ．(8+mC ．⎛⎝⎭m D ．8⎛ ⎝⎭m 2、一架长5m 的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是65︒，则梯子顶端到地面的距离为（ ）A ．5sin65m ︒B ．5cos65m ︒C ．5tan65m ︒D ．5cos65m ︒3、如图，从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是( )A ．(6＋米 B ．(6＋米 C ．(6＋米 D ．12米4、如图，某渔船正在海上P 处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km 到A 处．然后右转40°再航行到B 处，在点A 的正南方向，点P 的正东方向的C 处有一条船，也计划驶往B 处，那么它的航向是（ ）A．北偏东20°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°5、兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．6、如图，杭州市郊外一景区内有一条笔直的公路a经过两个景点A，B，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东60°方向，又位于景点B的北偏东30°方向，且景点A、B相距200m，则景点B、C相距的路程为（）B．200 C．100 D．A．7、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，1.73)( )A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m8、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为（）A．40米B．米C．米D．10米9、某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为C．6米D．（A．9米B．10、一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进800米，则它上升的高度是（）A．800•sinα米B．米C．800•cosα米D．米二、填空题1、如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔项部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m1.732 1.414，结果保留一位小数）．2、如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是_____cm．3、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B 处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．4、已知在ABC中，AB= AC＝5，BC＝6，则tan B的值为_____．5、如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31cm，则楼BC的高度约为_______m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0．5，cos32°≈0．8，tan32°≈0．6）6、在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D为AC上一点，若1tan3DBC∠=，则AD＝______．7、如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为100m，那么该建筑物的高度BC约为__m．8、A．已知圆锥的底面半径长为5，圆锥侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为______．B．（用计算器）若某人沿坡角为23°的斜坡前进168cm，则他上升的高度是_____（精确到0.01m）三、解答题1、如图1所示的是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图2，灯杆AB与CD交于点O（点O固定），灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置，测得OC=20cm，∠COB=70°，∠F=40°，EF=EG，点G到OB的距离为12cm．（1）求∠CEG的度数．（2）求灯罩的宽度（FG的长；结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，sin70°≈0.940，cos70°≈0.342）2、在△ABC中，AB＝4，BC＝8，则△ABC的高AD和CE之比是多少？3、如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距30米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．求旗杆MN的高度．（参考≈，结果保留整数）≈ 1.71.44、如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF 为旗杆，气球从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AF 延长线上的点B 处测得气球和旗杆EF 的顶点E 在同一直线上．（1）已知旗杆高为12米，若在点B 处测得旗杆顶点E 的仰角为30°，A 处测得点E 的仰角为45°，试求AB 的长（结果保留根号）；（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC 的长（结果保留根号）？5、为了测量某段河面的宽度，秋实同学设计了如图所示的测量方案；先在河的北岸选定一点A ，再在河的南岸选定相距a m 的两点B ，C ，分别测得ABC α∠=，ACB β∠=.请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD ．（结果用含a 和α，β的三角函数表示）6、如图，一架飞机以每小时900千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔O（塔高300m）观测到飞机在A处的仰角为30︒，5分钟后测得飞机在B处的仰角为45︒，试确定飞机的飞行高度． 1.732=，结果精确到1km）。

北师大新版九年级下学期《1.6 利用三角函数测高》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔30海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB的值为（）A．30（+1）海里B．30（+）海里C．30（+1）海里D．60海里2．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）A．15海里B．30海里C．45海里D．30海里3．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒．A．20（+1）B．20（﹣1）C．200D．3004．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）A．60nmile B．60nmile C．30nmile D．30nmile 5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C 处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30C．30D．406．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（）A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米7．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米二．填空题（共9小题）8．如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）9．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为海里（结果保留根号）．10．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为n mile．（结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4）11．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为．12．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米．13．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为米．（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）14．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764）15．如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则＝（结果保留根号）．16．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°．n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是km．三．解答题（共34小题）17．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．18．为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB ＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）19．如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）20．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）21．一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？22．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈23．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈l．ll，tan58°≈1.60．24．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα＝，在顶端E 点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．25．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）26．随着我市农产品整体品牌形象“聊•胜一筹!”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°，15.6°，如图2．求保温板AC的长是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28）27．在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）28．如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．29．如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．（1）求∠BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）．30．某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（结果保留根号）31．知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）32．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B 处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）33．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．34．如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．35．“五•一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：≈1.414，≈1.732）36．为了维护国家主权和海洋权利，我国海监部门对中国海域实现常态化管理．某日，我国海监船在某海岛附近的海域执行巡逻任务．如图，此时海监船位于海岛P的北偏东30°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的南偏东45°方向的B处，求海监船航行了多少海里（结果保留根号）？37．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75m，请求出热气球离地面的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．38．如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°，同时测得教学楼外墙外点D的仰角为30°，从点C沿坡度为1：的斜坡向上走到点F时，DF正好与水平线CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求出宣传牌AB的高度（结果精确到0.0l）．（注：sin67°≈0.92，tan67°≈2.36，≈1.41，≈1.73）39．如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）40．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0）tan（α﹣β）＝（1+tanαtanβ≠0）利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．如：tan105°＝tan（45°+60°）＝根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：如图，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α＝15°，测得点C的俯角β＝75°，求建筑物CD的高度．41．如图，AB是某景区内高10m的观景台，CD是与AB底部相平的一座雕像（含底座），在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台底部B处向雕像方向水平前进6m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为60°，已知雕像底座DF高8m，求雕像CF的高．（结果保留根号）42．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）43．如图，两座建筑物AD与BC，其地面距离CD为60m，从AD的顶点A测得BC顶部B的仰角α＝30°，测得其底部C的俯角β＝45°，求建筑物BC 的高（结果保留根号）44．数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC为38.7°，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：0.6，请你求出仙女峰的高度（参考数据：tan38.7°≈0.8）45．如图，小明在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，小明测得风筝的仰角为60°，求风筝此时的高度．（结果保留根号）46．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC＝200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）47．如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC＝50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）48．今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B 点的距离为75海里．（1）求B点到直线CA的距离；（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）49．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．50．如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m）参考值：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75．北师大新版九年级下学期《1.6 利用三角函数测高》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔30海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB的值为（）A．30（+1）海里B．30（+）海里C．30（+1）海里D．60海里【分析】根据方向角的概念可知∠APC＝45°，由锐角三角函数的定义求出AC 的值，在Rt△PBC中根据∠B＝30°求出BC的值，由AB＝AC+BC即可得出结论．【解答】解：由题意得，∠APC＝45°，P A＝30，∵sin∠APC＝，∴AC＝P A•sin45°＝30•＝30，∵∠B＝30°，PC＝AC＝40，tan B＝，∴BC＝＝30，∴AB＝AC+BC＝30+30＝30（1+）（海里）故选：C．【点评】本题考查的是方向角的概念、直角三角形的性质及锐角三角函数的定义，熟知方向角的概念是解答此题的关键．2．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）A．15海里B．30海里C．45海里D．30海里【分析】作CD⊥AB，垂足为D．构建直角三角形后，根据30°的角对的直角边是斜边的一半，求出BP．【解答】解：作BD⊥AP，垂足为D．根据题意，得∠BAD＝30°，BD＝15海里，∴∠PBD＝60°，则∠DPB＝30°，BP＝15×2＝30（海里），故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．3．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒．A．20（+1）B．20（﹣1）C．200D．300【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．【解答】解：作BD⊥AC于点D．∵在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD•tan∠ABD＝200（米），同理，CD＝BD＝200（米）．则AC＝200+200（米）．则平均速度是＝20（+1）米/秒．故选：A．【点评】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．4．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）A．60nmile B．60nmile C．30nmile D．30nmile 【分析】如图作PE⊥AB于E．在Rt△P AE中，求出PE，在Rt△PBE中，根据PB＝2PE即可解决问题．【解答】解：如图作PE⊥AB于E．在Rt△P AE中，∵∠P AE＝45°，P A＝60nmile，∴PE＝AE＝×60＝30nmile，在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，∴PB＝2PE＝60nmile，故选：B．【点评】本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C 处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30C．30D．40【分析】先根据CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：在Rt△CDE中，∵CD＝20m，DE＝10m，∴sin∠DCE＝＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝20m，∴AB＝BC•sin60°＝20×＝30m．故选：B．方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．6．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（）A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米【分析】过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，∵∠BDB'＝∠B'DC＝22.5°，∴EB'＝B'F，∵∠BEB′＝90°，∴EB′＝B′F＝10，∴DF＝20+10，∴DC＝DF+FC＝20+10+1.6≈35.74＝35.7．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．7．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝＝＝可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP＝11，由AP＝＝结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ 可得答案．【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE，∵i＝＝＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8，BQ＝6，∴DP＝DE+PE＝11，在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈13.1，∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1，故选：A．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．二．填空题（共9小题）8．如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为42m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）【分析】在Rt△ACE中，根据正切函数求得EC＝AE•tan∠CAE，在Rt△AED中，求得ED＝AE，再根据CD＝DE+CE，代入数据计算即可．【解答】解：在Rt△ACE中，∵AE＝24，∠CAE＝37°，∴CE＝AE•tan37°≈24×0.75＝18，在Rt△AED中，∵∠EAD＝45°，∴AE＝ED＝24，∴DC＝CE+DE＝18+24≈42．故楼DC的高度大约为42m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．9．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为（4﹣4）海里（结果保留根号）．【分析】根据题意得：PC＝4海里，∠PBC＝45°，∠P AC＝30°，在直角三角形APC中，由勾股定理得出AC＝PC＝4（海里），在直角三角形BPC 中，得出BC＝PC＝4海里，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：PC＝4海里，∠PBC＝90°﹣45°＝45°，∠P AC＝90°﹣60°＝30°，在直角三角形APC中，∵∠P AC＝30°，∠C＝90°，∴AC＝PC＝4（海里），在直角三角形BPC中，∵∠PBC＝45°，∠C＝90°，∴BC＝PC＝4海里，∴AB＝AC＝BC＝（4﹣4）海里；故答案为：（4﹣4）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用；求出AC和BC的长度是解决问题的关键．10．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为102n mile．（结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4）【分析】根据题意得出∠MP A＝∠P AD＝60°，从而知PD＝AP•sin∠P AD＝43，由∠BPD＝∠PBD＝45°根据BP＝，即可求出即可．【解答】解：过P作PD⊥AB，垂足为D，∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile的A处，∴∠MP A＝∠P AD＝60°，∴PD＝AP•sin∠P AD＝86×＝43，∵∠BPD＝45°，∴∠B＝45°．在Rt△BDP中，由勾股定理，得BP＝＝＝43×≈102（nmile）．故答案为：102．【点评】此题主要考查了方向角含义，勾股定理的运用，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键．11．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为20米．【分析】方法1、作AD⊥BC于点D，设出AD＝x米，在Rt△ACD中，得出CD ＝x，在Rt△ABD中，得出BD＝x，最后用CD+BD＝80建立方程即可得出结论；方法2、先判断出△ABC是直角三角形，利用含30°的直角三角形的性质得出AB，AC，再利用同一个直角三角形，两直角边的积的一半和斜边乘以斜边上的高的一半建立方程求解即可．【解答】解：方法1、过点A作AD⊥BC于点D．根据题意，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∠ACD＝30°，设AD＝x米，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，∴CD＝＝＝x，在Rt△ABD中，tan∠ABC＝，∴BD＝＝＝x，∴BC＝CD+BD＝x+x＝80∴x＝20答：该河段的宽度为20米．故答案是：20米．方法2、过点A作AD⊥BC于点D．根据题意，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∠ACD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝80m，∠ACB＝30°，∴AB＝40m，AC＝40m，∴S＝AB×AC＝×40×40＝800，△ABC＝BC×AD＝×80×AD＝40AD＝800，∵S△ABC∴AD＝20米答：该河段的宽度为20米．故答案是：20米．【点评】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．12．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米．【分析】在Rt△BCD中有BD＝，在Rt△ACD中，根据tan∠A＝＝可得tanα＝，解之求出CD即可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴BD＝，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝＝，∴tanα＝，解得：CD＝，故答案为：．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解．13．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为137米．（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）。

新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-6利用三角函数测高同步练习新版北师大版(七)[第一章 6 利用三角函数测高]一、选择题1．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－7－1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )链接听课例1归纳总结图K－7－1A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米2．如图K－7－2，为了测量电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为链接听课例2归纳总结( )图K－7－2A．50 3米 B．51米C．(50 3＋1)米 D．101米3．如图K－7－3，斜坡AB的坡度为1∶2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼FH，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼FH的高度是(结果精确到1米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，3≈1.73)( )图K－7－3A．125米 B．105米C．85米 D．65米4．2017·深圳如图K－7－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长度为10 m，则树AB的高度是( )A．20 3 m B．30 mC．30 3 m D．40 m图K－7－45．如图K－7－5，在两建筑物之间有一旗杆GE，高15米，从点A经过旗杆顶端恰好看到矮建筑物的墙脚点C，且俯角α为60°，又从点A测得点D的俯角β为30°，若旗杆底G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()图K－7－5A．20米 B．10 3米C．15 3米 D．5 6米二、填空题6．如图K－7－6，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC＝18 m，则树高AB约为________m．(结果精确到0.1 m)图K－7－67．如图K－7－7(示意图)，某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)20 m的点B处，用高为0.8 m 的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为________m．(结果精确到0.1 m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)链接听课例1归纳总结图K－7－78．如图K－7－8，两建筑物的水平距离BC为18 m，从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为________m(结果不作近似计算)．图K－7－8三、解答题9．2017·黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图K －7－9所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－7－910．2017·莱芜如图K－7－10，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离．(结果均精确到0.01 m，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)链接听课例2归纳总结11．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)如图K－7－11，在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5米，并测得C，D之间的距离为288米．已知红军亭的高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB(3取1.732，结果保留整数)．图K－7－11如图K－7－12，A，B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B.现有的测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形；(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．图K－7－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] C 设AG ＝x 米，在Rt △AEG 中， ∵tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝AG3＝33x 米． 在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG ，∴CG ＝x tan30°＝3x 米，∴3x －33x ＝100，解得x ＝50 3，则AB ＝(50 3＋1)米，故选C.3．[解析] B 如图，延长FH 交AC 于点.由题意知BG ⊥AC ，BH ⊥FH ，FE ⊥AC ，∴四边形BGEH 是矩形，∴BH ＝GE ，BG ＝HE .∵BG ∶AG ＝1∶2.4，∴设BG ＝x 米，AG ＝2.4x 米(x ＞0)．在Rt △ABG 中，∵AB ＝52米，由勾股定理可得BG 2＋AG 2＝AB 2，即x 2＋(2.4x )2＝522，解得x ＝20，则BG ＝20米，AG ＝48米．在Rt △BHF 中，∵∠HBF ＝77°，∴tan77°＝FH BH，∴FH ＝BH tan77°. 在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝60°，∴EF ＝3AE ，∴3(48＋BH )＝20＋BH tan77°， 解得BH ≈24.25，∴FH ＝BH tan77°≈105米．故选B.4．[解析] B 先根据CD ＝20 m ，DE ＝10 m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBF ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．5．[解析] A 如图，延长CD 交点A 所在的水平线于点F ，如图．由题意，知GE ∥AB∥CD ，BC ＝2GC ，GE ＝15米，∴AB ＝2GE ＝30米．∵AF ＝BC ＝AB tan ∠ACB ＝303＝10 3(米)，DF ＝AF ·tan30°＝10 3×33＝10(米)，∴CD ＝AB －DF ＝30－10＝20(米)． 6．[答案] 12.6 7．[答案] 40.0[解析] 过点A 作AE ⊥CD 于点E . ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴四边形ABDE 是矩形，∴AE ＝BD ＝20 m ，DE ＝AB ＝0.8 m. 在Rt △ACE 中，∠CAE ＝63°，∴CE ＝AE ·tan63°≈20×1.96＝39.2(m)， ∴CD ＝CE ＋DE ≈39.2＋0.8＝40.0(m)， 即筒仓CD 的高约为40.0 m.8．[答案] 12 3[解析] 过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则四边形BCDE 是矩形．根据题意，得∠ACB ＝β＝60°，∠ADE ＝α＝30°，BC ＝18 m ，∴DE ＝BC ＝18 m ，CD ＝BE .在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝18×tan60°＝18 3(m)． 在Rt △ADE 中，AE ＝DE ·tan∠ADE ＝18×tan30°＝6 3(m)，∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝18 3－6 3＝12 3(m)．9．[解析] 如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，推出AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m ，在Rt △AEB 中，由∠E ＝30°，AB ＝5 m ，推出AE ＝2AB ＝10 m ，可得x ＋3x ＝10，解方程即可．解：如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，∴AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m. 在Rt △AEB 中，∵∠E ＝30°，AB ＝5 m ， ∴AE ＝2AB ＝10 m ，∴x ＋3x ＝10，解得x ＝5 3－5，∴EF ＝2x ＝10 3－10≈7.3(m)． 答：点E 与点F 之间的距离约为7.3 m.10．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB ·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60(m)，AE ＝ABcos31°＝31cos31°≈310.86≈36.05(m)，故甲楼的高度约为18.60 m ，彩旗的长度约为36.05 m. (2)过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于点M ， 在Rt △GMF 中，GM ＝FM ·tan19°. 在Rt △GDC 中，GD ＝CD ·tan40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m. 根据题意，得x tan40°－x tan19°＝18.60，解得x ＝37.20.乙楼的高度GD ＝CD tan40°≈37.20×0.84≈31.25(m)，故乙楼的高度约为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离约为37.20 m.11．解：设AH ＝x 米，在∵∠EGH ＝45°，∴GH ＝EH ＝AE ＋AH ＝(x ＋12)米． ∵GF ＝CD ＝288米，∴HF ＝GH ＋GF ＝x ＋12＋288＝(x ＋300)米． 在Rt △AHF 中，∵∠AFH ＝30°， ∴AH ＝HF ·tan∠AFH ，即x ＝(x ＋300)·33， 解得x ＝150(3＋1)．∴AB ＝AH ＋BH ＝150(3＋1)＋1.5≈409.8＋1.5≈411(米)． 答：凤凰山与中心广场的相对高度AB 大约是411米． [素养提升][解析] 本题是一道开放性试题，解题方法很多，表达式也是多种多样的．测角器可以测得仰角和俯角，皮尺可以测得A 楼的高度，通过解直角三角形可得B 楼的高度．解：(1)答案不唯一．如图，设AC 表示A 楼，BD 表示B 楼．测量步骤如下：①用测角器在A 楼的顶端点A 测量B 楼楼底的俯角α； ②用测角器在点A 测量B 楼楼顶的仰角β；③用皮尺从A 楼楼顶放下，测量点A 到地面的高度为a . (2)在Rt △ACD 中，CD ＝atan ∠ADC ＝atan α.在Rt △AEB 中，BE ＝AE ·tan β. ∵AE ＝CD ，∴BE ＝a tan βtan α，∴B 楼的高度BD ＝BE ＋ED ＝BE ＋AC ＝a tan βtan α＋a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan βtan α.。

1.6 利用三角函数测高同步练习一、单选题1、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．A、B、3C、D、以上的答案都不对2、如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )A、20米B、米C、米D、米3、如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为( )A、3米B、4.5米C、6米D、8米4、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长为10米，斜坡AB的坡度i＝1：，则河堤高BE等于( )米A、B、C、4D、55、.某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（）A、7mB、9mC、12mD、15m6、某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC 的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A、8B、9C、10D、127、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30度的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为（）A、米B、C、40米D、10米8、如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A、5cosaB、C、5sinaD、9、如图, 山坡AC与水平面AB成30°的角，沿山坡AC每往上爬100米，则竖直高度上升（）米A、50B、50C、50D、3010、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A、10mB、10mC、15mD、5m11、在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米，=，则飞机距疑似目标B的水平距离BC为（）A、2400米B、2400米C、2500米D、2500米12、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC 为（）米．A、7tanαB、C、7sinαD、7cosα13、如图，C．D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（）A、2kmB、3kmC、kmD、3km14、如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽CD=10m，则下底AB的长为（）A、55mB、60mC、65mD、70m15、济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A、47mB、51mC、53mD、54m二、填空题16、如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，则∠ B的正切值为________．17、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为________ 海里．（结果保留根号）18、如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=________ m（结果保留根号）．19、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为________ m ．（≈1.7）20、活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为________三、解答题21、水坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30°，背水坡AD坡比为1:1.5，坝顶宽DC=2米，坝高4米，求：（1）坝底AB的长；（2）迎水坡BC的坡比.22、小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E ，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC 的倾斜角为45° ．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）24、如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)25、在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）答案部分一、单选题1、【答案】B2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】C7、【答案】C8、【答案】B9、【答案】C10、【答案】A11、【答案】D 12、【答案】A 13、【答案】B 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】17、【答案】4018、【答案】（4+ ）19、【答案】32.4 20、【答案】三、解答题21、【答案】解：（1）如图，作CF⊥AB，DE⊥AD，垂足分别为点F，E. ∴四边形CDEF是矩形．∴CF=DE=4，EF=CD=2.∴BF=CFcot30°=，AE=1.5DE=6.∴AB=BF+EF+AE=+2+6=+8（2）∵CF=4，BF=，∴迎水坡BC的坡比为：CF/BF=.22、【答案】解：如图，∵∠ADG=30°，AFG=60°，∴∠DAF=30°，∴AF=DF=10，在Rt△FGA中，AG=AF•sin∠AFG=10× =5 ，∴AB=1.5+5 ．答：旗杆AB的高度为（1.5+5 ）米．23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=B D-AB=（10 -10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．24、【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2，x2+（2x）2=（4）2，x=4．答：河床面的宽减少了4米．25、【答案】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．。

北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步练习题（附答案）1．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）A．50B．51C．50+1D．1012．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A 处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）A．100m B．50m C．50m D．m3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P的距离为（ ）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里4．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）A．20米B．米C．米D．米5．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C 地，此时王英同学离A地（ ）A．m B．100m C．150m D．m6．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ）A．82米B．163米C．52米D．30米7．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．9．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）．10．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 m．（小兰身高忽略不计，取）11．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米．12．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）13．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）14．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）15．军方派出搜救船在失事海域搜寻飞机残骸和黑匣子（如图）．在海面A处搜救船测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续直线航行2千米后再次在B处测得俯角为45°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底C处距离海面的深度？（参考数据：）16．如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β（此时C、D、B三点在同一直线上）．（1）用含α、β和m的式子表示h；（2）当α＝45°，β＝60°，m＝50米时，求h的值．（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）17．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2021米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：＝1.732，＝1.414）18．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．19．如图，在与河对岸平行的南岸边有A、B、D三点，A、B、D三点在同一直线上，在A 点处测得河对岸C点在北偏东60°方向；从A点沿河边前进200米到达B点，这时测得C点在北偏东30°方向，求河宽CD．20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）21．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A 处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．（参考数据＝1.732）22．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．23．某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD 向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）24．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE＝1.5米，CD＝30米，求塔高AB．（保留根号）25．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）参考答案1．解：设AG＝x米，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x（m），在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x（m），∴x﹣x＝100，解得：x＝50．则AB＝（50+1）米．故选：C．2．解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．故选：A．3．解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，故CP＝AP＝40（海里），则PB＝＝40（海里）．故选：A．4．解：∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，则BC＝AB tan∠BAC＝30×＝10米．如图，过点D作DF⊥AF于点F．在Rt△AFD中，AF＝BC＝10米，则FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，综上可得：CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故选：A．5．解：AD＝AB•sin60°＝50；BD＝AB•cos60°＝50，∴CD＝150．∴AC＝＝100．故选：D．6．解：设楼高AB为x．在Rt△ADB中有：DB＝＝x，在Rt△ACB中有：BC＝＝x．而CD＝BD﹣BC＝（﹣1）x＝60，解得x≈82．故选：A．7．解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB•tan30°＝30×＝10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．8．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750（米）．故答案为：750．9．解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，∴DE＝BC＝18m，CD＝BE，在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝18×tan60°＝18（m），在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝18×tan30°＝6（m），∴DC＝BE＝AB﹣AE＝18﹣6＝12（m）．故答案为：12．10．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝50m．∴DC＝BD•sin60°＝50×＝43.3．故答案为：43.3．11．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，则AE＝CD＝6米，AC＝DE．设BE＝x米．在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝x米，∴AC＝DE＝x米．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC＝×x＝3x米，∵AB﹣BE＝AE，∴3x﹣x＝6，∴x＝3，AB＝3×3＝9（米）．即旗杆AB的高度为9米．故答案为9．12．解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，∴设EF＝x，则FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，则FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．13．解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，∵在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x，在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，∴AE+BE＝x+x＝100（3+），解得x＝100，∴AC＝2x＝200．在△ACD中，∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得y＝100（3﹣），∴AD＝2y＝200（3﹣）．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；（2）∵由（1）可知，DF＝AF＝×100（3﹣）≈219．∵219＞200，∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．14．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，∴AD＝CD tan∠ACD＝1000米，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CD tan∠BCD＝3000米，∴AB＝BD﹣AD＝2000米．答：此时渔政船和渔船相距2000米．15．解：过C作CD垂直AB于D点，设CD为x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，AC＝CD＝2x，AD ＝AB+CD＝2+x，∴在Rt△ACD中有：（2+x）2+x2＝（2x）2，∴（舍去）．答：海底C处距海面2.732千米．16．解：（1）在Rt△ABC中，有BC＝AB÷tanα＝；同理：在Rt△ABD中，有BD＝AB÷tanβ＝；且CD＝BC﹣BD＝m；即﹣＝m；故h＝，（2）将α＝45°，β＝60°，m＝50米，代入（1）中关系式可得h＝，＝，＝75米+25米，≈118.3米．17．解：设CF＝x米，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x米，＝tan30°，即AC＝x米，∵AC﹣BC＝1200米，∴x﹣x＝1200，解得：x＝600（+1），则DF＝h﹣x＝2021﹣600（+1）≈382（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约382米．18．解：根据题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴BD＝AD﹣AB＝CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，∠BCD＝90°﹣∠CBD＝36°，∴tan36°＝，∴BD＝CD•tan36°，∴CD•tan36°＝CD﹣112，∴CD＝≈≈415（m）．答：天塔的高度CD约为：415m．19．解：根据题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝200米，CD⊥AB，则∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，则BC＝AB＝200米，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝200×＝100（米）．答：河宽CD为100米．20．解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，3x＝（x+100），解得x＝50+50＝136.6，∴CD＝CE+ED＝136.6+1.5＝138.1≈138（m）．答：该建筑物的高度约为138m．21．解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，∵A在B北偏东60°方向上，∴∠ABD＝30°，又∵A在C北偏东30°方向上，∴∠ACD＝60°又∵∠ABC＝30°，所以∠BAC＝30°，∴∠ABD＝∠BAC，所以AC＝BC∵BC＝120，所以AC＝120在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝120，∴CD＝60，AD＝在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，∴AB＝第一组时间：第二组时间：因为207.84＞150所以第二组先到达A处．答：第二组先到．22．解：有触礁危险．理由：过点P作PD⊥AC于D．设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45度．∴BD＝PD＝x．在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°∴AD＝x∵AD＝AB+BD∴x＝12+x∴x＝∵6（+1）＜18∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．23．解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∠ADE＝60°，CD＝18，设线段AE的长为x米，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，∴CE＝x，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝tan60°＝，∴DE＝x，∵CD＝18，且CE﹣DE＝CD，∴x﹣x＝18，解得：x＝27+9，∵BE＝1米，∴AB＝AE﹣BE＝（26+9）（米）．答：塔AB的高度是（26+9）米．24．解：设AF＝x；在Rt△AGF中，有GF＝＝x，同理在Rt△AEF中，有EF＝＝x．结合图形可得：GE＝CD＝EF﹣GF＝30即x﹣x＝30，解可得：x＝15；故AB＝15+答：塔高AB为15+米．25．解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝x．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝x．∵BD+CD＝BC，∴x+x＝150，∴x＝75（3﹣）≈95．即A点到河岸BC的距离约为95m．。

6利用三角函数测高知识点1测量底部可以到达的物体的高度图1－6－11．如图1－6－1，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B 处测得树顶点A的仰角∠ABO为∠α，则树OA的高度为()A.30tanαm B．30sinαmC．30tanαm D．30cosαm2．湖南路大桥为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50 m的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图1－6－2)．已知测量仪器CD的高度为1 m，则桥塔AB的高度约为(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)()图1－6－2A.34 m B．38 mC．45 m D．50 m3．某校数学兴趣小组要测量贵阳某电视塔的高度．如图1－6－3，他们在点A处测得电视塔最高点C的仰角为45°，再往电视塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，则电视塔的高度CD约为________m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数)图1－6－3知识点2测量底部不可以到达的物体的高度4．[2021·重庆]某数学兴趣小组的同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图1－6－4，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一平面的斜坡AB行走13 m至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6 m至大树脚底点D处，斜坡AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)()A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m图1－6－4图1－6－55．如图1－6－5，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝________m (结果保留根号)．6．2021·贵阳模拟贵阳是一座美丽的生态文明城市，某中学依山而建，校门A 处有一斜坡AB ，长度为13米，在坡顶B 处看教学楼CF 的楼顶C 的仰角∠CBF ＝53°，离B 点4米远的E 处有一花台，在E 处仰望C 的仰角∠CEF ＝63.4°，CF 的延长线交校门处的水平面于D 点，FD ＝5米．(1)求斜坡AB 的坡度i ；(2)求DC 的长．(参考数据：tan 53°≈43，tan 63.4°≈2) 图1－6－67．如图1－6－7，小明想测量河对岸的一幢高楼AB 的高度，小明在河边C 处测得楼顶A 的仰角是60°，距C 处60 m 的E 处有一幢楼房，小明从该楼房中距地面20 m 的D 处测得楼顶A 的仰角是30°(点B ，C ，E 在同一直线上，且AB ，DE 均与地面BE 垂直)，求楼AB 的高度．图1－6－7图1－6－88．[2021·深圳] 如图1－6－8，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 处测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20 m ，DE 的长为10 m ，则树AB 的高度是( )A．20 3 m B．30 m C．30 3 m D．40 m9．如图1－6－9，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42 cm，灯罩BC长为32 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的角∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少？(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732)图1－6－910．[2021·菏泽]如图1－6－10，某小区1号楼与11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD.图1－6－1011．九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．(1)如图1－6－11①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF的长为16 m(点E为护墙上的端点)，EF的中点距地面FB的高度为1.9 m，请你求出点E离地面FB的高度；(3)如图③，第三小组利用第一、二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度．在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4 m到达点Q，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1 m，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．图1－6－11详解1．C2．C[解析] 过点D作DE⊥AB于点E，∴DE＝BC＝50 m.在Rt△ADE中，AE＝DE·tan41.5°≈50×0.885＝44.25(m)．∵CD＝1 m，∴BE＝1 m，∴AB＝AE＋BE＝44.25＋1≈45(m)，∴桥塔AB的高度约为45 m．故选C.3．189[解析] 根据题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝56°，AB＝62 m，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝∠CAD ＝45°，∴AD ＝CD .∵AD ＝AB ＋BD ，∴AB ＝AD －BD ＝CD －BD .∵在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD， ∴BD ＝CD tan56°， ∴AB ＝CD －CD tan56°＝62， ∴CD ≈189(m)．故答案为189.4．A [解析] 如图，作BF ⊥AE 于点F ，则FE ＝BD ＝6 m ，DE ＝BF .∵斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.4，∴AF ＝2.4BF ，设BF ＝x m ，则AF ＝2.4x m.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得x 2＋(2.4x )2＝132，解得x ＝5，∴DE ＝BF ＝5 m ，AF ＝12 m ，∴AE ＝AF ＋FE ＝18 m.在Rt △ACE 中，CE ＝AE ·tan36°≈18×0.73＝13.14(m)，∴CD ＝CE －DE ＝13.14－5≈8.1(m)．故选A.5．(7 3＋21)6．解：(1)如图，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，则四边形BGDF 是矩形，∴BG ＝FD ＝5米．∵AB ＝13米，∴AG ＝AB 2－BG 2＝12米，∴斜坡AB 的坡度i ＝BG AG＝1∶2.4. (2)在Rt △BCF 中，BF ＝CF tan ∠CBF ≈CF 43， 在Rt △CEF 中，EF ＝CF tan ∠CEF ≈CF 2. ∵BE ＝4米，∴BF －EF ≈CF 43－CF 2＝4， 解得CF ＝16(米)．∴DC ＝CF ＋DF ≈16＋5＝21(米)．7．解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则四边形BFDE 为矩形．设AB 的长度为x m ，则AF ＝(x －20)m ，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝60°，∴BC ＝x 3m. 在Rt △ADF 中，∵∠ADF ＝30°，∴DF ＝3(x －20)m.∵EB ＝DF ，CE ＝60 m ，∴3(x －20)－x 3＝60， 解得x ＝30 3＋30. 即楼AB 的高度为(30 3＋30)m.8．B [解析] 先根据CD ＝20 m ，DE ＝10 m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBF ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．在Rt △CDE 中，∵CD ＝20 m ，DE ＝10 m ，∴sin ∠DCE ＝1020＝12，∴∠DCE ＝30°. ∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°.∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC ＝CD tan30°＝2033＝20 3(m)， ∴AB ＝BC ·sin60°＝20 3×32＝30(m)． 9．解：如图，由题意得CD ⊥AD ，过点B 分别作BM ⊥CE 于点M ，BF ⊥AD 于点F . ∵灯罩BC 长为32 cm ，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，∴在Rt △CMB 中，sin30°＝CM BC ＝CM 32， ∴CM ＝16(cm)．在Rt △ABF 中，sin60°＝BF AB ， ∴32＝BF 42，解得BF ＝21 3(cm)． ∵∠ADC ＝∠BMD ＝∠BFD ＝90°，∴四边形BFDM 为矩形，∴MD ＝BF ，∴CE ＝CM ＋MD ＋DE ＝CM ＋BF ＋DE ＝16＋21 3＋2≈54.4(cm)．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是54.4 cm.10．[解析] 过点A 作AE ⊥CD 于点E ，分别在Rt △BCD 和Rt △ACE 中，利用锐角三角函数用BD 表示CD ，CE 的长，然后根据CD －CE ＝AB ，即可求得CD 的长．解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD，∴CD ＝BD ·tan60°＝3BD，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CEAE＝CEBD，∴CE＝BD·tan30°＝33BD.∵AB＝CD－CE，∴3BD－33BD＝42，2 33BD＝42，解得BD＝21 3，∴CD＝BD·tan60°＝3BD＝63米．答：11号楼的高度CD为63米．11．解：(1)∠α＝76°.(2)过点E作EG⊥FB，垂足为G.设EF的中点为O，过点O作OH⊥FB，垂足为H，如图①，可知OH是△EFG的中位线．∵OH＝1.9 m，∴EG＝2OH＝3.8 m，∴点E离地面FB的高度为3.8 m.(3)延长AE交直线PB于点G，如图②，设AG＝x m，在Rt△QAG中，tan∠AQG＝AGQG，得QG＝33x m.在Rt△P AG中，tan∠APG＝AGPG，得PG＝x m.∵PQ＋QG＝PG，∴4＋33x＝x，解得x≈9.46.由(2)知EG＝3.8 m，∴AE≈5.7 m. ∴旗杆AE的高度约为5.7 m.。

1.6 利用三角函数测高基础题知识点1 测量底部可以到达的物体的高度1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(C)A.30tanα米 B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米2.如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为(C)A.5 mB.6 mC.7 mD.8 m3.如图，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是(A)A.(6＋63)米B.(6＋33)米C.(6＋23)米D.12米4.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6 m，求旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据2≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28).解：过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝FC＝12 m，在Rt△AEH中，AH＝EH·tan∠AEH＝12×1.28＝15.36(m).∵∠BEH＝45°，∴BH＝EH＝12 m.∴AB＝AH－BH＝3.36≈3.4 m.答：旗杆AB的高度约为3.4 m.知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度5.如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD 6.如图所示，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔走s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是stanαtanβtanβ－tanα米.7.盐城电视塔是我市标志性建筑之一.如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D 处用高1.5米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，然后向电视塔前进224米到达E 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°.求电视塔的高度AB(3取1.73，结果精确到0.1米).解：设AG ＝x.在Rt△AFG 中，∵tan∠AFG＝AGFG ，∴FG＝x tan60°＝x3.在Rt△ACG 中，∵tan∠ACG＝AG CG ，∴CG＝xtan30°＝3x.∴3x －x3＝224.解得x≈193.8. ∴AB＝193.8＋1.5＝195.3(米). 答：电视塔的高度AB 约为195.3米. 中档题8.(2019·吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a ，b ，α的代数式表示旗杆AB 的高度.数学活动方案活动时间：2018年4月2日 活动地点：学校操场 填表人：林平解：计算过程：∠ADE＝α，DE ＝BC ＝a ，BE ＝CD ＝b. 在Rt△ADE 中，∠AED＝90°. ∵tan∠ADE＝AEDE ，∴AE＝DE·tan∠ADE. ∴AE＝atanα.∴AB＝AE ＋BE ＝(b ＋atanα)米.9.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7 m ，看旗杆顶部M 的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5 m ，看旗杆顶部M 的仰角为30°.两人相距30米且位于旗杆两侧(点B ，N ，D 在同一条直线上)，求旗杆MN 的高度(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数).解：过点A 作AE⊥MN，垂足为E ，过点C 作CF⊥MN，垂足为F. 设ME ＝x ，Rt△AME 中，∠MAE＝45°， ∴AE＝ME ＝x.Rt△MCF 中，MF ＝x ＋0.2， CF ＝MF tan30°＝3(x ＋0.2)，∵BD＝AE ＋CF ， ∴x＋3(x ＋0.2)＝30.∴x≈11，即AE ＝11. ∴MN＝11＋1.7≈13.答：旗杆MN 的高度约为13米. 综合题10.九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1，第一小组用一根木条CD 斜靠在护墙上，使得DB 与CB 的长度相等，如果测量得到∠CDB ＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图2，第二小组用皮尺量得EF 为16米(E 为护墙上的端点)，EF 的中点离地面FB 的高度为1.9米，请你求出E 点离地面FB 的高度；(3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P 处测得旗杆顶端A 的仰角为45°，向前走4米到达Q 点，测得A 的仰角为60°，求旗杆AE 的高度(精确到0.1米，参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，3≈1.732，2≈1.414). 解：(1)∵BD＝BC ，∴∠CDB＝∠DCB. ∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°.(2)设EF 的中点为M ，过点M 作MN⊥BF，垂足为N ，过点E 作EH⊥BF，垂足为H ， ∴MN //12EH.又∵MN＝1.9， ∴EH＝2MN ＝3.8.答：E 点离地面FB 的高度是3.8米. (3)延长AE 交PB 于点K. 设AE ＝x ，则AK ＝x ＋3.8.∵∠APB＝45°，∴PK＝AK ＝x ＋3.8. ∵PQ＝4，∴KQ＝x ＋3.8－4＝x －0.2. ∵tan∠AQK＝AKQK ＝tan60°＝3，∴x ＋3.8x －0.2＝ 3.解得x ＝3.8＋1533－1≈5.7. 答：旗杆AE 的高度约为5.7米.。

北师大版九年级数学下册 1.6 三角函数的应用-测高问题一、单选题1．如图，小明在300米高的楼顶上点A处测得一塔的塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A.100米B.1003米C.180米D.200米2．休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m3．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米4．（2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米二、填空题5．学校两幢教学楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离AC=15m，已知太阳光与水平线的夹角30°，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为_____m高.（保留根号）6．如图所示，在两建筑物之间有一高为15米的旗杆，从高建筑物的顶端A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的底端墙角C点，且俯角a为60°，又从A点测得矮建筑物左上角顶端D点的俯角β为30°，若旗杆底部点G为BC的中点（点B为点A向地面所作垂线的垂足）则矮建筑物的高CD为_____．三、解答题7．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝22米，HF＝2米，HE＝1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）8．如图，王明站在地面B处用测角仪器测得楼顶点E的仰角为45°，楼顶上旗杆顶点F的仰角为55°，已知测角仪器高AB=1.5米，楼高CE=14.5米，求旗杆EF的高度（精确到1米）．（供参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）9．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量： c ，c ， c ， c ．（结果精确到0.1）（1）如图2，，．①填空：_________°；②求投影探头的端点到桌面的距离．（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，求的大小．（参考数据：sin，cos，sin，cos）10．如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）11．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）12．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3＝1.73）13．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？ （结果精确到个位，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈，6 2.4≈）．14．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m ， GF=17.6m （注：C 、G 、 F 三点在同一直线上，CF ⊥AB 于点 F ）．斜坡 CD=20m ， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据：3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）15．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC 垂直于地面AB ，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE ∆，F 为PD 中点， 2.8AC m =，2PD m =，1CF m =，20DPE ∠=.当点P 位于初始位置0P 时，点D 与C 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳.（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为65（图3），为使遮阳效果最佳，点P 需从0P 上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 700.94≈，cos 700.34≈，tan 70 2.75≈，2 1.41≈，3 1.73≈）16．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A =120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．17．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：2≈1.41，3≈1.73．18．如图，在某街道路边有相距10m 、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A 处测得路灯PQ 的顶端仰角为14°，向前行走25m 到达B 处，在地面测得路灯MN 的顶端仰角为24.3°，已知点A ，B ，Q ，N 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）19．如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A 、C 、E 在同一直线上．（1）求斜坡CD 的高度DE ；（2）求大楼AB 的高度（结果保留根号）20．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m 的标语牌，即3CD m =．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D 到地面的距离．测角仪支架高 1.2AE BF m ==，小明在E 处测得标语牌底部点D 的仰角为31︒，小红在F 处测得标语牌顶部点C 的仰角为45︒，5=AB m ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D 到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，H 在同一平面内）（参考数据：tan 310.60︒≈，sin 310.52︒≈，cos310.86)︒≈21．如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m .在DB 上选取观测点E 、F ，从E 测得标杆和建筑物的顶部C 、A 的仰角分别为58、45，从F 测得C 、A 的仰角分别为22、70.求建筑物AB 的高度（精确到0.1m ） .（参考数据：tan 220.40≈，tan 58 1.60≈，tan 70 2.75≈.）22．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P 处测得古塔顶端M 的仰角为60︒，沿山坡向上走25m 到达D 处，测得古塔顶端M 的仰角为30︒．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助小明计算古塔的高度ME ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.732≈）23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）24．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60，同i=的斜坡从C走到时测得教学楼窗户D处的仰角为30(A、B、D、E在同一直线上)．然后，小明沿坡度1:1.5F处，此时DF正好与地面CE平行．(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，2 1.41≈，≈)．3 1.7325．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A 处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）i 的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF 26．如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度1:2与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面CF上行了205米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30，求楼AB的高度．27．（2017四川省达州市）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为25米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）28．如图，小明在教学楼的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为10米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．29．（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．30．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）参考答案1．D【解析】【分析】构造AD为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质以及相应的三角函数求出CE、DE的长，进而求解即可【详解】解：延长CD交过A的水平线于点E．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角为60°．∴BC＝3003．易得AE＝3003，CE＝AB＝300．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为30°，且BC＝3003．∴DE＝100 ∴CD＝200．故选：D．本题考查了解直角三角形的应用以及仰角俯角问题，熟练掌握相关概念是解题关键 2．D 【解析】 【分析】延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ． 根据三角函数得到AH ，HB ，进而得到CF ，由1=2.5EF CF ，进行计算即可得到答案. 【详解】解：如图，延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ．在Rt △OHA '中，=cos370.8OHOA ︒=、，=sin370.6A HOA ︒=、、， ∴OH ＝0.8OA '＝0.8×2＝1.6（m ），A 'H ＝0.6OA '＝0.6×2＝1.2（m ），∴AH ＝OA ﹣OH ＝2﹣1.6＝0.4（m ），HB ＝HA +AB ＝0.4+0.5＝0.9（m ），A 'F ＝HB ＝0.9（m ），BF ＝HA '＝1.2m ， ∴CF ＝BF ﹣BC ＝1.2﹣0.7＝0.5（m ）， 在Rt △EFC 中， 1=2.5EF CF ， EF ＝25CF ＝25×0.5＝0.2（m ），∴A 'E ＝A 'F ﹣EF ＝0.9﹣0.2＝0.7（m ）【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握三角函数的计算及实际应用. 3．A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AM EM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．A【解析】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=140.753 CQBQ==，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ² +CQ²=BC²可得(4x)²+(3x)²=102，解得：x=2或x=−2(舍)，则CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中,∵AP=11tan tan40DPA=∠︒≈13.1，∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1，故选：A.点睛：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．5．2053-【解析】【分析】延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，在Rt△BEF中，可求出BF，则EC=AF=AB-BF.【详解】如图所示，延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，EF=AC=15m，在Rt△BEF中3BF=EF tan E=15=533∠⨯，∴EC=AF=AB-BF=20-53.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.6．20米【解析】【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC和在Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．【详解】解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10米，∴FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故答案为：20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度. 7．（1）45°；（2）2.75米【解析】【分析】（1）由cos∠FHE＝HEHF＝22可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BC tan60°＝1.33；Rt△ANH中，求得HN＝AH sin45°＝12；根据EM＝EG+GM可得答案．【详解】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝HEHF＝12＝22，∴∠FHE＝45°．答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝AB AC，∴AB＝BC tan60°＝1.3×3＝1.33（米），∴GM＝AB＝1.33（米），在Rt△ANH中，∠F AN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝22×22＝12（米），∴EM＝EG+GM＝12+1.33≈2.75（米）．答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．故答案为：（1）45°；（2）2.75米．【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．8．5米.【解析】【详解】易知四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝1.5米，∴DE＝CE－AB＝13．在Rt△ADE中，∵∠EAD＝45°，AD＝DE＝13米，在Rt△ADF中，∠FAD＝55°，DF＝AD·tan55°＝13×1.4＝18.2，∴EF＝DF－DE＝18.2－13＝5.2≈5（米）．答：旗杆EF的高约为5米．【点睛】本题考查三角函数，解答本题要求考生掌握三角函数的定义，利用三角函数的定义来做题，要会做有关三角函数的题.9．（1）①160°，② c ;(2) 当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，为33.2°．【解析】【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质解答便可；②过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可．【详解】解：（1）①过点作，如图1，则，，，，，故答案为：160；②过点作于点，如图2，则sin sin，投影探头的端点到桌面的距离为：；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，则，，，，，，sin，，．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．10．50m．【解析】【分析】如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB=CM=DN，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．根据题中所给角度的正切构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．在Rt △CEM 中，∵tan ∠ECM ＝EM CM＝0.63， ∴x y＝0.63 ①， 在Rt △DEN 中，∵tan ∠EDN ＝EN DN ＝1.47， ∴42x y +＝1.47 ②， 由①②可得y ＝50，答：楼间距AB 的长度为50m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型.11．云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【解析】【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．12．旗杆AB的高度约等于8.2m【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，设BM=x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】过点C作CE AB⊥于点E，2 CD=，1 tan3CMD∠=，6MD∴=，设BM x=，6BD x∴=+，60AMB∠=︒，30BAM∴∠=︒，3AB x∴=，已知四边形CDBE是矩形，2BE CD∴==，6CE BD x==+，32AE x∴=-，在Rt ACE∆中，tan30AECE︒=，∴13263x x -=+， 解得：33x =+，33338.2AB x m ∴==+≈【点睛】此题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数的定义，解题关键在于作辅助线和列出方程组. 13．（1）75°；（2）这棵大树折断前高约10米．【解析】【分析】（1）延长BA 交EF 于点G ，根据直角三角形的性质求出∠GAE 的度数，再由补角的定义即可得出结论；（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，在△ADH 中，利用锐角三角函数的定义求出DH 的长，同理可得出AC 的长，由AB ＝AC ＋CD 即可得出结论．【详解】（1）延长BA 交EF 于点G ，在Rt AGE 中，E 23∠=︒，∴GAE 67∠=︒．又∵BAC 38∠=︒，∴CAE 180673875∠=︒-︒-︒=︒；（2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，在ADH 中，ADC 60AD 4∠=︒=，，DH cos ADC AD∠=， ∴DH 2=． AH sin ADC AD∠=， ∴AH 23=，在Rt ACH 中，C 180756045∠=︒-︒-︒=︒， ∴AC 26=，CH AH 23==． ∴AB AC CD 2623210=+=++≈（米）．答：这棵大树折断前高约10米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．14．瀑布AB 的高度约为45.4 米．【解析】【分析】过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出CM 的长度，进而可得出MF、DN 的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出BN、AN 的长度，结合AB=AN+BN 即可求出瀑布AB 的高度．【详解】如图，过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4 ，DM=CD•sin40°≈12.8 ，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m，在Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8 ，在Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6 ，∴AB=AN+BN=45.4m，答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题、坡度坡角问题，添加辅助线构造直角三角形，求出 AN 、BN 的长度是解题的关键．15．（1）点P 需从0P 上调0.6m ；（2）点P 在（1）的基础上还需上调0.7m . 【解析】【分析】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P 上调至1P 处，165CPE ∠=.11145.1,45CPF CF PF m C CPF ∠===∠=∠=,1 CPF ∆为等腰直角三角形，12CP m =，即可求出点P 需从0P 上调的距离.（2）中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处，过点F 作2FG CP ⊥于点G ，22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=，2220.68CP GP m ==，根据1212PP CP CP =-即可求解.【解答】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P 上调至1P 处，190∠=，90CAB ∠=，∴1115APE ∠=， ∴165CPE ∠=. ∵120DPE ∠=，∴145CPF ∠=. ∵11CF PF m ==，∴145C CPF ∠=∠=， ∴1CPF ∆为等腰直角三角形，∴12CP m =，∴0101220.6P P CP CP m =-=-≈，即点P 需从0P 上调0.6m .（2）如图4，中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处， ∴2//P E AB .∵90CAB ∠=，∴290CP E ∠=.∵220DP E ∠=，∴22270CP F CP E DP E ∠=∠-∠=.∵21CF P F m ==，得2CP F ∆为等腰三角形，∴270C CP F ∠=∠=. 过点F 作2FG CP ⊥于点G ，∴22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=， ∴2220.68CP GP m ==，∴121220.680.7PP CP CP m =-=-≈，即点P 在（1）的基础上还需上调0.7m .【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.16．灯杆AB的长度为2米．【解析】分析：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=BFtan BDF∠，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF-GF=1，再求得∠BAG=∠BAC-∠CAG=30°可得AB=2BG=2．详解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan∠β=34．设BF=3x，则EF=4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=BF DF，∴DF=31=62BF xx tan BDF=∠，∵DE=18，∴12x+4x=18． ∴x=4． ∴BF=12，∴BG=BF-GF=12-11=1， ∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°． ∴AB=2BG=2，答：灯杆AB 的长度为2米．点睛：本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．17．教学楼AB 的高度AB 长13.3m ． 【解析】 【分析】如图，延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ，设AM=xm ，则CN=xm ，在Rt △AFM 中，可得MF=x ，在Rt △CNH 中，可得HN=3x ，根据HF=MF+HN ﹣MN 可得关于x 的方程，解方程求得x 的值，继而可求得AB 的值. 【详解】延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，如图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ， 设AM=xm ，则CN=xm ， 在Rt △AFM 中，MF=tan 451AM x=︒=x ，在Rt △CNH 中，HN=3tan 3033CN xx==︒， ∴HF=MF+HN ﹣MN=x+3x ﹣24，即8=x+3x ﹣24， 解得，x≈11.7， ∴AB=11.7+1.6=13.3m ，答：教学楼AB 的高度AB 长13.3m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 18．路灯的高度约为8.4m ． 【解析】 【分析】设PQ ＝MN ＝xm ，根据正切的定义分别用x 表示出AQ 、BN ，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设PQ ＝MN ＝xm ，在Rt △APQ 中，tanA ＝PQAQ， 则AQ ＝tan x A ≈0.25x＝4x ，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝MN BN，则BN＝tan MNMBN≈0.45x＝209x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+209x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（1）2米；（2）（6+4）米.【解析】【分析】（1）在在Rt△DCE中，利用30°所对直角边等于斜边的一半，可求出DE=2米；（2）过点D作DF⊥AB于点F，则AF=2，根据三角函数可用BF表示BC、BD，然后可判断△BCD是Rt△，进而利用勾股定理可求得BF的长，AB的高度也可求.【详解】（1）在Rt△DCE中，∠DEC=90°，∠DCE=30°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，则AF=DE=2米.∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴BF=DF.设BF=DF=x米，则AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，∴sin∠BCA=，∴BC=AB÷sin∠BCA=（x+2）÷=米，在Rt△BDF中，∠BFD=90°，米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°.∴，解得：或(舍) ，则AB=米．考点：1特殊直角三角形；2三角函数；3勾股定理. 20．能，点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ． 【解析】 【分析】延长EF 交CH 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到CN NF =，根据正切的定义求出DN ，结合图形计算即可． 【详解】 能，理由如下：延长EF 交CH 于N ， 则90CNF ∠=︒，45CFN ∠=︒， CN NF ∴=，设DN xm =，则(3)NF CN x m ==+， 5(3)8EN x x ∴=++=+，在Rt DEN ∆中，tan DNDEN EN∠=，则tan DN EN DEN =∠， 0.6(8)x x ∴≈+，解得，12x =，则12 1.213.2()DH DN NH m =+=+=，答：点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．建筑物AB 的高度约为5.9m . 【解析】分析：在Rt CED 中,用三角函数表示DE 的长度, 在Rt CFD 中，用三角函数表示出DF 的长度,从而得到22tan22tan58EF =-,同理得tan45tan70AB ABEF =-,建立等量关系,求出即可. 详解：在Rt CED 中，58CED ∠=，∵tan58CDDE=. ∴2tan58tan58CD DE ==.在Rt CFD 中，22CFD ∠=，∵tan22CDDF=∴2tan22tan22CD DF ==.∴22tan22tan58EF DF DE =-=-.同理tan45tan70AB ABEF BE BF =-=-. ∴22tan45tan70tan22tan58AB AB -=-. 解得()5.9m AB ≈.因此，建筑物AB 的高度约为5.9m .点睛：此题主要考查了仰角与俯角问题，根构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力. 22．古塔的高度ME 约为39.8m ． 【解析】 【分析】作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，先在Rt △DCP 中利用已知条件利用勾股定理求出DC 和PC 的长，从而可得DH 和EF 的长，设MF y =，分别在Rt △MPE 和Rt △MFD 中根据60°和30°的三角函数用y 的代数式表示出PE 和DF ，再根据PE 、DF 和DH 的关系列出方程，解方程后即可求出结果. 【详解】解：作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，则DC PH FE ==，DH CP =，HF PE =，设3DC x =，∵3tan 4θ=，∴4CP x =， 由勾股定理得，222PD DC CP =+，即22225(3)(4)x x =+，解得，5x =， 则315DC x ==，420CP x ==， ∴20DH CP ==，15FE DC ==， 设MF y =，则15ME y =+，在Rt MDF V 中，tan MF MDF DF∠=，则3tan 30MFDF y ==o， 在Rt MPE V 中，tan ME MPE PE ∠=，则3(15)tan 603ME PE y ==+o ， ∵DH DF HF =-，∴33(15)203y y -+=，解得，7.5103y =+， ∴7.51031539.8ME MF FE =+=++≈. 答：古塔的高度ME 约为39.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键. 23．13米. 【解析】试题分析：根据矩形性质得出DG=CH ，CG=DH ，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可． 试题解析：如图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DH ⊥CE 于H ， 则四边形DHCG 为矩形． 故DG=CH ，CG=DH ， 在直角三角形AHD 中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=33， ∴CG=3， 设BC 为x ，在直角三角形ABC 中，AC=tan BAC BC ∠=x1.11，∴DG=33+x1.11，BG=x ﹣3， 在直角三角形BDG 中，∵BG=DG•tan30°，∴x ﹣3=（33+x 1.11）33⋅解得：x≈13，∴大树的高度为：13米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．24．(1)点F 到地面的距离为23米；(2)宣传牌的高度约为4.3米． 【解析】 【分析】(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ；得到四边形DEFG 是矩形；根据矩形的性质得到FG DE =；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ； ∴四边形DEFG 是矩形； ∴FG DE =； 在Rt CDE ∆中，tan DE CE DCE =⋅∠； 6tan 3023=⨯=o (米)；∴点F 到地面的距离为23米； (2)∵斜坡CF ：1:1.5i =．∴Rt CFG ∆中， 1.523 1.533CG FG ==⨯=，∴336FD EG ==+． 在Rt BCE ∆中，tan 6tan 6063BE CE BCE =⋅∠=⨯=o ．∴AB AD DE BE =+-．336236363 4.3=++-=-≈(米)．答：宣传牌的高度约为4.3米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（1）甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ． 【解析】试题分析：（1）在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出AE 与BE 的长即可；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在直角三角形GMF 中，利用锐角三角函数定义表示出GM 与GD ，设甲乙两楼之间的距离为xm ，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 试题解析：解：（1）在Rt △ABE 中，BE =AB •tan31°=31tan31°≈18.60，AE =cos31AB =31cos31≈36.05，则甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在Rt △GMF 中，GM =FM •tan19°，在Rt △GDC 中，DG =CD •tan40°，设甲乙两楼之间的距离为xm ，FM =CD =x ，根据题意得：x tan40°﹣x tan19°=18.60，解得：x =37.20，则乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ．点睛：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 26．楼AB 的高度为()50303+米． 【解析】 【分析】 由12DE i EC ==，222DE EC CD +=，解得20DE m =，40EC m =，过点D 作DG AB ⊥于G ，过点C 作CH DG ⊥于H ，则四边形DEBG 、四边形DECH 、四边形BCHG 都是矩形，证得AB BC =，设AB BC x m ==，。

北师大版九年级数学下册 1.6 三角函数的应用-测高问题一、单选题1．如图，小明在300米高的楼顶上点A处测得一塔的塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°，则塔高CD 为（）A.100米B.1003米C.180米D.200米2．休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m3．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米4．（2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米二、填空题5．学校两幢教学楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离AC=15m，已知太阳光与水平线的夹角30°，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为_____m高.（保留根号）6．如图所示，在两建筑物之间有一高为15米的旗杆，从高建筑物的顶端A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的底端墙角C点，且俯角a为60°，又从A点测得矮建筑物左上角顶端D点的俯角β为30°，若旗杆底部点G为BC的中点（点B为点A向地面所作垂线的垂足）则矮建筑物的高CD为_____．三、解答题7．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝22米，HF＝2米，HE＝1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）8．如图，王明站在地面B处用测角仪器测得楼顶点E的仰角为45°，楼顶上旗杆顶点F的仰角为55°，已知测角仪器高AB=1.5米，楼高CE=14.5米，求旗杆EF的高度（精确到1米）．（供参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）9．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：c ， c ， c ， c ．（结果精确到0.1）（1）如图2，，．①填空：_________°；②求投影探头的端点到桌面的距离．（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，求的大小．（参考数据：sin，cos，sin，cos）10．如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）11．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）12．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3＝1.73）13．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？ （结果精确到个位，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈，6 2.4≈）．14．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m ，GF=17.6m （注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF ⊥AB 于点 F ）．斜坡 CD=20m ， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据：3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）15．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC 垂直于地面AB ，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE ∆，F 为PD 中点， 2.8AC m =，2PD m =，1CF m =，20DPE ∠=.当点P 位于初始位置0P 时，点D 与C 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳.（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为65（图3），为使遮阳效果最佳，点P 需从0P 上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 700.94≈，cos 700.34≈，tan 70 2.75≈，2 1.41≈，3 1.73≈）16．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A =120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．17．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：2≈1.41，3≈1.73．18．如图，在某街道路边有相距10m 、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A 处测得路灯PQ 的顶端仰角为14°，向前行走25m 到达B 处，在地面测得路灯MN 的顶端仰角为24.3°，已知点A ，B ，Q ，N 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）19．如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A 、C 、E 在同一直线上．（1）求斜坡CD 的高度DE ；（2）求大楼AB 的高度（结果保留根号）20．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m 的标语牌，即3CD m =．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D 到地面的距离．测角仪支架高 1.2AE BF m ==，小明在E 处测得标语牌底部点D 的仰角为31︒，小红在F 处测得标语牌顶部点C 的仰角为45︒，5=AB m ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D 到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，H 在同一平面内）（参考数据：tan 310.60︒≈，sin 310.52︒≈，cos310.86)︒≈21．如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m .在DB 上选取观测点E 、F ，从E 测得标杆和建筑物的顶部C 、A 的仰角分别为58、45，从F 测得C 、A 的仰角分别为22、70.求建筑物AB 的高度（精确到0.1m ） .（参考数据：tan 220.40≈，tan 58 1.60≈，tan 70 2.75≈.）22．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P 处测得古塔顶端M 的仰角为60︒，沿山坡向上走25m 到达D 处，测得古塔顶端M 的仰角为30︒．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助小明计算古塔的高度ME ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.732≈）23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）24．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰i=角为60，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30(A、B、D、E在同一直线上)．然后，小明沿坡度1:1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，2 1.41≈，≈)．3 1.7325．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）i 的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，26．如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度1:2CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面CF上行了205米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30，求楼AB的高度．27．（2017四川省达州市）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为25米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）28．如图，小明在教学楼的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为10米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．29．（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．30．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）参考答案1．D【解析】【分析】构造AD为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质以及相应的三角函数求出CE、DE的长，进而求解即可【详解】解：延长CD交过A的水平线于点E．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角为60°．∴BC＝3003．易得AE＝3003，CE＝AB＝300．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为30°，且BC＝3003．∴DE＝100 ∴CD＝200．故选：D．本题考查了解直角三角形的应用以及仰角俯角问题，熟练掌握相关概念是解题关键 2．D 【解析】 【分析】延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ． 根据三角函数得到AH ，HB ，进而得到CF ，由1=2.5EF CF ，进行计算即可得到答案. 【详解】解：如图，延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ．在Rt △OHA '中，=cos370.8OHOA ︒=、，=sin370.6A HOA ︒=、、， ∴OH ＝0.8OA '＝0.8×2＝1.6（m ），A 'H ＝0.6OA '＝0.6×2＝1.2（m ），∴AH ＝OA ﹣OH ＝2﹣1.6＝0.4（m ），HB ＝HA +AB ＝0.4+0.5＝0.9（m ），A 'F ＝HB ＝0.9（m ），BF ＝HA '＝1.2m ， ∴CF ＝BF ﹣BC ＝1.2﹣0.7＝0.5（m ）， 在Rt △EFC 中， 1=2.5EF CF ， EF ＝25CF ＝25×0.5＝0.2（m ），∴A 'E ＝A 'F ﹣EF ＝0.9﹣0.2＝0.7（m ）【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握三角函数的计算及实际应用.3．A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°= AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．A【解析】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=140.753 CQBQ==，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ² +CQ²=BC²可得(4x)²+(3x)²=102，解得：x=2或x=−2(舍)，则CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中,∵AP=11tan tan40DPA=∠︒≈13.1，∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1，故选：A.点睛：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．5．2053-【解析】【分析】延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，在Rt△BEF中，可求出BF，则EC=AF=AB-BF.【详解】如图所示，延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，EF=AC=15m，在Rt△BEF中3BF=EF tan E=15=533∠⨯，∴EC=AF=AB-BF=20-53.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.6．20米【解析】【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC和在Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．【详解】解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10米，∴FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故答案为：20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度.7．（1）45°；（2）2.75米【解析】【分析】（1）由cos∠FHE＝HEHF＝22可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BC tan60°＝1.33；Rt△ANH中，求得HN＝AH sin45°＝12；根据EM＝EG+GM可得答案．【详解】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝HEHF＝12＝22，∴∠FHE＝45°．答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝AB AC，∴AB＝BC tan60°＝1.3×3＝1.33（米），∴GM＝AB＝1.33（米），在Rt△ANH中，∠F AN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝22×22＝12（米），∴EM＝EG+GM＝12+1.33≈2.75（米）．答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．故答案为：（1）45°；（2）2.75米．【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．8．5米.【解析】【详解】易知四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝1.5米，∴DE＝CE－AB＝13．在Rt△ADE中，∵∠EAD＝45°，AD＝DE＝13米，在Rt△ADF中，∠FAD＝55°，DF＝AD·tan55°＝13×1.4＝18.2，∴EF＝DF－DE＝18.2－13＝5.2≈5（米）．答：旗杆EF的高约为5米．【点睛】本题考查三角函数，解答本题要求考生掌握三角函数的定义，利用三角函数的定义来做题，要会做有关三角函数的题.9．（1）①160°，② c ;(2) 当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，为33.2°．【解析】【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质解答便可；②过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可．【详解】解：（1）①过点作，如图1，则，，，，，故答案为：160；②过点作于点，如图2，则sin sin，投影探头的端点到桌面的距离为：；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，则，，，，，，sin，，．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．10．50m．【解析】【分析】如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB=CM=DN，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．根据题中所给角度的正切构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．在Rt △CEM 中，∵tan ∠ECM ＝EMCM＝0.63， ∴xy＝0.63 ①， 在Rt △DEN 中，∵tan ∠EDN ＝ENDN＝1.47， ∴42x y+＝1.47 ②， 由①②可得y ＝50，答：楼间距AB 的长度为50m ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型. 11．云梯需要继续上升的高度BC 约为9米. 【解析】 【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长. 【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ， ∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒， ∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米. ∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米）， 由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒， ∵AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BDBAD AD∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）.在Rt ACD ∆中，tan CDCAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）. ∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）. 答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．12．旗杆AB的高度约等于8.2m【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，设BM=x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】过点C作CE AB⊥于点E，2 CD=，1 tan3CMD∠=，6MD∴=，设BM x=，6BD x∴=+，60AMB∠=︒，30BAM∴∠=︒，3AB x∴=，已知四边形CDBE是矩形，2BE CD∴==，6CE BD x==+，32AE x∴=-，在Rt ACE∆中，tan30AECE︒=，∴13263x x -=+， 解得：33x =+， 33338.2AB x m ∴==+≈【点睛】此题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数的定义，解题关键在于作辅助线和列出方程组. 13．（1）75°；（2）这棵大树折断前高约10米． 【解析】 【分析】（1）延长BA 交EF 于点G ，根据直角三角形的性质求出∠GAE 的度数，再由补角的定义即可得出结论； （2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，在△ADH 中，利用锐角三角函数的定义求出DH 的长，同理可得出AC 的长，由AB ＝AC ＋CD 即可得出结论． 【详解】（1）延长BA 交EF 于点G ，在Rt AGE 中，E 23∠=︒， ∴GAE 67∠=︒． 又∵BAC 38∠=︒，∴CAE 180673875∠=︒-︒-︒=︒； （2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，在ADH 中，ADC 60AD 4∠=︒=，，DHcos ADC AD∠=， ∴DH 2=．AHsin ADC AD∠=， ∴AH 23=，在Rt ACH 中，C 180756045∠=︒-︒-︒=︒， ∴AC 26=，CH AH 23==．∴AB AC CD 2623210=+=++≈（米）． 答：这棵大树折断前高约10米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．14．瀑布AB 的高度约为45.4 米．【解析】【分析】过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出CM 的长度，进而可得出MF、DN 的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出BN、AN 的长度，结合AB=AN+BN 即可求出瀑布AB 的高度．【详解】如图，过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4 ，DM=CD•sin40°≈12.8 ，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m，在Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8 ，在Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6 ，∴AB=AN+BN=45.4m，答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题、坡度坡角问题，添加辅助线构造直角三角形，求出 AN 、BN 的长度是解题的关键．15．（1）点P 需从0P 上调0.6m ；（2）点P 在（1）的基础上还需上调0.7m . 【解析】【分析】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P上调至1P 处，165CPE ∠=.11145.1,45CPF CF PF m C CPF ∠===∠=∠=,1 CPF ∆为等腰直角三角形，12CP m =，即可求出点P 需从0P 上调的距离. （2）中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处，过点F 作2FG CP ⊥于点G ，22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=，2220.68CP GP m ==，根据1212PP CP CP =-即可求解.【解答】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P 上调至1P 处，190∠=，90CAB ∠=，∴1115APE ∠=， ∴165CPE ∠=. ∵120DPE ∠=，∴145CPF ∠=. ∵11CF PF m ==，∴145C CPF ∠=∠=， ∴1CPF ∆为等腰直角三角形，∴12CP m =，∴0101220.6P P CP CP m =-=-≈，即点P 需从0P 上调0.6m .（2）如图4，中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处， ∴2//P E AB .∵90CAB ∠=，∴290CP E ∠=.∵220DP E ∠=，∴22270CP F CP E DP E ∠=∠-∠=.∵21CF P F m ==，得2CP F ∆为等腰三角形，∴270C CP F ∠=∠=. 过点F 作2FG CP ⊥于点G ，∴22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=， ∴2220.68CP GP m ==，∴121220.680.7PP CP CP m =-=-≈，即点P 在（1）的基础上还需上调0.7m .【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.16．灯杆AB的长度为2米．【解析】分析：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=BFtan BDF∠，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF-GF=1，再求得∠BAG=∠BAC-∠CAG=30°可得AB=2BG=2．详解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan∠β=34．设BF=3x，则EF=4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=BF DF，∴DF=31=62BF xx tan BDF=∠，∵DE=18，∴12x+4x=18． ∴x=4． ∴BF=12，∴BG=BF-GF=12-11=1， ∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°． ∴AB=2BG=2，答：灯杆AB 的长度为2米．点睛：本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．17．教学楼AB 的高度AB 长13.3m ． 【解析】 【分析】如图，延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ，设AM=xm ，则CN=xm ，在Rt △AFM 中，可得MF=x ，在Rt △CNH 中，可得HN=3x ，根据HF=MF+HN ﹣MN 可得关于x 的方程，解方程求得x 的值，继而可求得AB 的值. 【详解】延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，如图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ， 设AM=xm ，则CN=xm ， 在Rt △AFM 中，MF=tan 451AM x=︒=x ，在Rt △CNH 中，HN=3tan 3033CN xx==︒， ∴HF=MF+HN ﹣MN=x+3x ﹣24，即8=x+3x ﹣24， 解得，x≈11.7， ∴AB=11.7+1.6=13.3m ，答：教学楼AB 的高度AB 长13.3m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 18．路灯的高度约为8.4m ． 【解析】 【分析】设PQ ＝MN ＝xm ，根据正切的定义分别用x 表示出AQ 、BN ，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设PQ ＝MN ＝xm ，在Rt △APQ 中，tanA ＝PQAQ， 则AQ ＝tan x A ≈0.25x＝4x ，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝MN BN，则BN＝tan MNMBN≈0.45x＝209x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+209x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（1）2米；（2）（6+4）米.【解析】【分析】（1）在在Rt△DCE中，利用30°所对直角边等于斜边的一半，可求出DE=2米；（2）过点D作DF⊥AB于点F，则AF=2，根据三角函数可用BF表示BC、BD，然后可判断△BCD是Rt△，进而利用勾股定理可求得BF 的长，AB的高度也可求.【详解】（1）在Rt△DCE中，∠DEC=90°，∠DCE=30°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，则AF=DE=2米.∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴BF=DF.设BF=DF=x米，则AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，∴sin∠BCA=，∴BC=AB÷sin∠BCA=（x+2）÷=米，在Rt△BDF中，∠BFD=90°，米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°.∴，解得： 或 (舍) ，则AB=米．考点：1特殊直角三角形；2三角函数；3勾股定理. 20．能，点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ． 【解析】 【分析】延长EF 交CH 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到CN NF =，根据正切的定义求出DN ，结合图形计算即可． 【详解】 能，理由如下：延长EF 交CH 于N ， 则90CNF ∠=︒，45CFN ∠=︒， CN NF ∴=，设DN xm =，则(3)NF CN x m ==+， 5(3)8EN x x ∴=++=+，在Rt DEN ∆中，tan DNDEN EN∠=，则tan DN EN DEN =∠，0.6(8)x x ∴≈+，解得，12x =，则12 1.213.2()DH DN NH m =+=+=， 答：点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．建筑物AB 的高度约为5.9m . 【解析】分析：在Rt CED 中,用三角函数表示DE 的长度, 在Rt CFD 中，用三角函数表示出DF 的长度,从而得到22tan22tan58EF =-,同理得tan45tan70AB ABEF =-,建立等量关系,求出即可. 详解：在Rt CED 中，58CED ∠=，∵tan58CDDE=. ∴2tan58tan58CD DE ==.在Rt CFD 中，22CFD ∠=，∵tan22CDDF=∴2tan22tan22CD DF ==. ∴22tan22tan58EF DF DE =-=-. 同理tan45tan70AB ABEF BE BF =-=-. ∴22tan45tan70tan22tan58AB AB -=-. 解得()5.9m AB ≈.因此，建筑物AB 的高度约为5.9m .点睛：此题主要考查了仰角与俯角问题，根构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力. 22．古塔的高度ME 约为39.8m ． 【解析】 【分析】作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，先在Rt △DCP 中利用已知条件利用勾股定理求出DC 和PC 的长，从而可得DH 和EF 的长，设MF y =，分别在Rt △MPE 和Rt △MFD 中根据60°和30°的三角函数用y 的代数式表示出PE 和DF ，再根据PE 、DF 和DH 的关系列出方程，解方程后即可求出结果. 【详解】解：作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，则DC PH FE ==，DH CP =，HF PE =，设3DC x =，∵3tan 4θ=，∴4CP x =， 由勾股定理得，222PD DC CP =+，即22225(3)(4)x x =+，解得，5x =，则315DC x ==，420CP x ==， ∴20DH CP ==，15FE DC ==， 设MF y =，则15ME y =+，在Rt MDF V 中，tan MF MDF DF∠=，则3tan 30MFDF y ==o ， 在Rt MPE V 中，tan ME MPE PE ∠=，则3(15)tan 603ME PE y ==+o ， ∵DH DF HF =-，∴33(15)203y y -+=，解得，7.5103y =+， ∴7.51031539.8ME MF FE =+=++≈. 答：古塔的高度ME 约为39.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键. 23．13米. 【解析】试题分析：根据矩形性质得出DG=CH ，CG=DH ，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可． 试题解析：如图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DH ⊥CE 于H ，则四边形DHCG 为矩形． 故DG=CH ，CG=DH ， 在直角三角形AHD 中， ∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=33， ∴CG=3， 设BC 为x ，在直角三角形ABC 中，AC=tan BAC BC ∠=x1.11，∴DG=33+x1.11，BG=x ﹣3， 在直角三角形BDG 中，∵BG=DG•tan30°，∴x ﹣3=（33+x 1.11）33⋅解得：x≈13，∴大树的高度为：13米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．24．(1)点F 到地面的距离为23米；(2)宣传牌的高度约为4.3米．【解析】 【分析】(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ；得到四边形DEFG 是矩形；根据矩形的性质得到FG DE =；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ； ∴四边形DEFG 是矩形； ∴FG DE =； 在Rt CDE ∆中，tan DE CE DCE =⋅∠； 6tan 3023=⨯=o (米)；∴点F 到地面的距离为23米； (2)∵斜坡CF ：1:1.5i =．∴Rt CFG ∆中， 1.523 1.533CG FG ==⨯=，∴336FD EG ==+． 在Rt BCE ∆中，tan 6tan 6063BE CE BCE =⋅∠=⨯=o ．∴AB AD DE BE =+-．336236363 4.3=++-=-≈(米)．答：宣传牌的高度约为4.3米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25．（1）甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ． 【解析】试题分析：（1）在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出AE 与BE 的长即可；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在直角三角形GMF 中，利用锐角三角函数定义表示出GM 与GD ，设甲乙两楼之间的距离为xm ，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 试题解析：解：（1）在Rt △ABE 中，BE =AB •tan31°=31tan31°≈18.60，AE =cos31AB =31cos31≈36.05，则甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在Rt △GMF 中，GM =FM •tan19°，在Rt △GDC 中，DG =CD •tan40°，设甲乙两楼之间的距离为xm ，FM =CD =x ，根据题意得：x tan40°﹣x tan19°=18.60，解得：x =37.20，则乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ．点睛：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 26．楼AB 的高度为()50303+米．。

北师大九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.6 利用三角函数测高同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在处观测到灯塔在北偏东方向上，航行半小时后到达处，此时观测到灯塔在北偏东方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（）A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟2. 如图，小颖家（图中点处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点处）在距她家北偏东方向的米处，那么水塔所在的位置到公路的距离是（）A.米B.米C.米D.米3. 如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（）A. B.C. D.4. 一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以每小时海里的速度前往救援，则海警船到达事故船处所需的时间大约为（单位：小时）（）A. B. C. D.5. 如图，学校在小明家北偏西方向，且距小明家千米，那么学校所在位置点坐标为（）A. B.C. D.6. 如图，小明同学在东西方向的环海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，在处东米的处，测得海中灯塔在北偏东方向上，则灯塔到环海路的距离米．A. B. C. D.7. 如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（）A.海里B.海里C.海里D.海里8. 上午时，一条船从处出发，以每小时海里的速度向正东方向航行，时分到达处（如图）．从、两处分别测得小岛在北偏东和北偏东方向，那么在处船与小岛的距离为（）A.海里B.海里C.海里D.海里9. 如图，一艘轮船以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A.小时B.小时C.小时D.小时10. 如图，为了测量一河岸相对两电线杆，间的距离，在距点米的处测得，则，间的距离应为（）A.米B.米C.米D.米二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 一船向东航行，上午时，在灯塔的西南海里的处，上午时到达这灯塔的正南方向处，则这船航行的速度是________海里/小时．12. 如图，一艘轮船以海里/小时速度从南向北航行，当航行至处时，测得小岛在轮船的北偏东度的方向处，航行一段时间后到达处，此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处．若海里，则轮船航行的时间为________．13. 如图所示，一艘轮船在处观测到北偏东方向上有一个灯塔，轮船在正东方向以每小时海里的速度航行小时后到达处，又观测到灯塔在北偏东方向上，则此时轮船与灯塔相距________海里．（结果保留根号）14. 如图，小华家位于校门北偏东的方向，和校门的直线距离为的处，则小华家到校门所在街道（东西方向）的距离约为________．（用科学计算器计算，结果精确到）．15. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离为________海里．16. 海滨城市某校九班张华（图中的处）与李力（图中的处）两同学在东西方向的沿海路上，分别测得海中灯塔的方位角为北偏东、北偏东，此时他们相距米．________．求灯塔到沿海路的距离（结果用根号表示）17. 甲、乙两条轮船同时从港口出发，甲轮船以每小时海里的速度沿着北偏东的方向航行，乙轮船以每小时海里的速度沿着正东方向行进，小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的方向，沿着东南方向航行，结果在小岛处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，则港口与小岛之间的距离________．，，结果精确到18. 如图，一艘货轮以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行小时后到达处，发现灯塔在它北偏东方向，那么此时货轮与灯塔的距离为________海里（结果不取近似值）．19. 如图，要测量河内小岛到河边公路的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到公路的距离为________米．20. 如图，点在点的北偏西方向，且，点在点的北偏东方向，且，则到的距离为________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）21. 在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东，且与相距的处．求该轮船航行的速度；如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由．22. 胡老师散步途径，，，四地，如图，其中，，三地在同一直线上，地在地北偏东方向，在地正北方向，在地北偏西方向，地在地北偏东方向，、两地相距．问奥运圣火从地传到地的路程（即的路程）大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：，）23.马来西亚航空公司的一架载有人的波音飞机与管制中心失去联系，我国救援船舰马上开展搜救工作，一艘搜救船与某日上午点在处望见西南方向有一座灯塔（如图），此时测得船和灯塔相距海里，船以每小时海里的速度向南偏西的方向航行到处，这时望见灯塔在船的正北方向（参考数据：，）．求几点钟船到达处；求船到达处时与灯塔之间的距离．24. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸，小聪在河岸上点处测得河对岸小树位于东北方向，然后沿河岸走了米，到达处，测得河对岸电线杆位于北偏东方向，此时，其他同学测得米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）25. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求和的长（结果取整数）．参考数据：，，，取．26. 一天晚上，小明和爸爸在公园的一块空地上散步，他们从点出发，沿北偏东步行米到达点处，接着向正南方向步行一段时间到达点处．在点处掌上电脑观测到出发点处在北偏西方向上，接着他们沿线段路线回到出发点．求小明和爸爸这次散步共走了多少米？（精确到米，参考数据：，，，，）答案1. B2. A3. A4. B5. D6. C7. D8. B9. A10. B11.12. 小时13.14.15.16.17. 海里18.19.20.21. 解： ∵ ，，∴ ，∴ 为直角三角形．∵ ，，∴．∵ 小时分钟小时，∴．故该轮船航行的速度为；能；理由如下：作于，作于，延长交于．∵ ，∴ ．∵，∴，，又∵ ，∴ ．∵ ，∴，．∵ ，∴ ，∴，，解得：．∴ ，又∵ ，长为，∴ ，∵ ，故轮船能够正好行至码头靠岸．22. 解：过作于．依题意，，．在中，，在中，，，∴．∵ ，∴ ，∴ ．又，∴ ，∴，即，解得：，．∴奥运圣火从地到地的路程是．23. 解：延长与交于点．∴ ，∵ ，，∴ ．根据题意得：，，∴ ．，所以点到达处；在直角三角形中，，即，．所以船到处时，船和灯塔的距离是海里．24. 解：如图作，，垂足分别为、，则四边形是矩形，设，∵ ，，∴ ，∴ ，，∴ ，在中，∵ ，，∴，∴，解得．∴河的宽度为米．25. 的长为海里和的长为海里．26. 小明和爸爸这次散步共走了约米．。

1.6 利用三角函数测高同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 一船向正北方向匀速行驶，看见正西方两座相距海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西方向上，另一灯塔在南偏西方向上，则该船的速度应该是（）A.海里/小时B.海里/小时C.海里/小时D.海里/小时2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在处观测到灯塔在北偏东方向上，航行半小时后到达处，此时观测到灯塔在北偏东方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（）A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟3. 兴义市进行城区规划，工程师需测某楼的高度，工程师在得用高的测角仪，测得楼顶端的仰角为，然后向楼前进到达，又测得楼顶端的仰角为，楼的高为（）A. B.C. D.4. 如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆，米，测得旗杆顶的仰角，旗杆底部的俯角，那么旗杆的高度是（）A.米B.米C.米D.米5. 如图，某校数学兴趣小组在大厦前的平地上处，测得大厦顶端的仰角，在处测得大厦顶端的仰角，那么从点观察、处的视角的度数为（）A. B. C. D.6. 如图，小明家到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东处，学校前门到后门的距离是（）A.米B.米C.米D.米7. 如图，小雅家（图中点处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点处）在她家北偏东方向处，那么水塔所在的位置到公路的距离是（）A. B.D.C.，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，则旗杆的髙度是．A. B.C. D.9. 如图，山顶上有一座铁塔，在地面上一点处测得塔顶处的仰角，在山顶处测得点的俯角，已知塔高为，则山高等于（）A. B.C. D.10. 如图所示，两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低的建筑物的高为（）A. 米B.米C. 米D.米二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛位于北偏东的方向，前进海里到达点，此时，测得海岛位于北偏东的方向，则海岛到航线的距离等于________海里．12. 如图，飞机在目标的正上方米处，飞行员测得地面目标的俯角，则地面目标的长是________米．（结果保留根号）13. 如图，一艘轮船以海里/小时速度从南向北航行，当航行至处时，测得小岛在轮船的北偏东度的方向处，航行一段时间后到达处，此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处．若海里，则轮船航行的时间为________．14. 小明在某风景区的观景台处观测到东北方向的处有一艘货船，该船正向南匀速航行，分钟后再观察时，该船已航行到的南偏东，且与相距的处．如图．货船的航行速度是________．（结果用根号表示）15. 如图，甲船在处发现乙船在北偏东的的处，如果此时乙船正以每小时海里的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是海里/小时，这时甲船向________方向行驶才能最快追上乙．16. 如图，线段、分别表示甲、乙两座楼房的高，，，两建筑物间距离＝米，若甲建筑物高＝米，在点测得点的仰角＝，则乙建筑物高＝________米．17. 某校初三课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆米的处，用高为米的仪器测得旗杆顶部处的仰角为，则旗杆的高度为________ 米（结果保留根号）18. 如图，小岛在港口的南偏东方向、距离港口海里处．甲船从出发，沿方向以海里的速度驶向港口；乙船从港口出发，沿南偏西方向，以海里的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为________．（结果保留根号）19. 升国旗时，某同学站在离旗杆底部米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为，若双眼离地面米，则旗杆的高度为________米（结果保留位小数）．20. 如图，一艘船向正北航行，在处看到灯塔在船的北偏东的方向上，航行海里到达点，在处看到灯塔在船的北偏东的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔的最近距离是________海里（不近似计算）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛；若、两岛相距海里，问乙船的航速是每小时多少海里？22. 如图，张明站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，他测得小船的俯角是，若张明的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，，坡长米，求小船到岸边的距离的长？（参考数据：根号，结果保留两位有效数字）23. 飞机失联后，海空军部队第一时间赴相关海域开展搜寻工作，某舰船在地修整时发现在它的北偏西，距离它的地有一艘搜索船向正东方向航行，经过小时后，发现此船已到达它东北方向的处．问搜索船从处到处的航速是多少千米/小时（精确到千米/小时）？（参考数据，，）24. 如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点，再在河这边沿河取两点、，在点处测得点在北偏东方向上，在点处测得点在西北方向上，量得长为米，请你求出该河段的宽度（结果保留根号）．25. 如图所示，课外活动中，小明在离旗杆的米处，用测角仪测得旗杆顶部的仰角为，已知测角仪器的高米，求旗杆的高．（精确到米）（供选用的数据：，，）26. 某数学小组用高为米的仪器测量一教学楼的高，如图，距一定距离的处，用仪器测得教学楼顶部的仰角为，再在与之间选一点，由处测出教学楼顶部的仰角为，测得、之间的距离为米，若，，则他们能求出教学楼的高吗？。

北师大九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.6 利用三角函数测高同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60∘方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30∘方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（）A.10分钟B.15分钟C.20分钟D.25分钟2. 如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60∘方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A.200米B.200√3米C.4003√3米 D.400√2米3. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15∘方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60∘的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A.3√2kmB.3√3kmC.4 kmD.(3√3−3)km4. 一艘观光游船从港口A以北偏东60∘的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37∘方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（）A.1 sin37∘B.1cos37∘C.sin37∘D.cos37∘5. 如图，学校在小明家北偏西30∘方向，且距小明家6千米，那么学校所在位置A点坐标为（）A.(3, 3√3)B.(−3, −3√3)C.(3, −3√3)D.(−3, 3√3)6. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60∘方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30∘方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=()米．A.250B.500C.250√3D.500√37. 如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60∘方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A.12√3海里B.6√3海里C.6海里D.4√3海里8. 上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图）．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45∘和北偏东15∘方向，那么在B处船与小岛M的距离为（）A.20海里B.20√2海里C.15√3海里D.20√3海里9. 如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30∘方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60∘方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A.1小时B.√3小时C.2小时D.2√3小时10. 如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=50∘，则A，B间的距离应为（）A.15sin50∘米B.15tan50∘米C.15tan40∘米D.15cos40∘米二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 一船向东航行，上午9时，在灯塔的西南20海里的B处，上午11时到达这灯塔的正南方向C处，则这船航行的速度是________海里/小时．12. 如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．13. 如图所示，一艘轮船在A处观测到北偏东45∘方向上有一个灯塔B，轮船在正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时后到达C处，又观测到灯塔B在北偏东15∘方向上，则此时轮船与灯塔B相距________海里．（结果保留根号）14. 如图，小华家位于校门北偏东70∘的方向，和校门的直线距离为4km的N处，则小华家到校门所在街道（东西方向）的距离NM约为________km．（用科学计算器计算，结果精确到0.01km）．15. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60∘，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B，海轮航行的距离AB为________海里．16. 海滨城市某校九(2)班张华（图5中的A处）与李力（图中的B处）两同学在东西方向的沿海路上，分别测得海中灯塔P的方位角为北偏东60∘、北偏东30∘，此时他们相距800米．(1)∠PBC=________∘．(2)求灯塔P到沿海路的距离（结果用根号表示）17. 甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东30∘的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的方向，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，则港口A与小岛C之间的距离________．(√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到0.1)18. 如图，一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75∘方向，那么此时货轮与灯塔B的距离为________海里（结果不取近似值）．19. 如图，要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30∘，在C点测得∠BCD=60∘，又测得AC=40米，则小岛B到公路l的距离为________米．20. 如图，点B在点A的北偏西30∘方向，且AB=8km，点C在点B的北偏东60∘方向，且BC=15km，则A 到C的距离为________km．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）21. 在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西14.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30∘，且与A相距30km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60∘，且与A相距6√3km的C处．(1)求该轮船航行的速度；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．22. 胡老师散步途径A，B，C，D四地，如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45∘方向，在B地正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地北偏东75∘方向，B、D两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程（即A→B→C→D的路程）大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）23.马来西亚航空公司的一架载有239人的波音777−200飞机与管制中心失去联系，我国救援船舰马上开展搜救工作，一艘搜救船与某日上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B（如图），此时测得船和灯塔相距60√2海里，船以每小时30海里的速度向南偏西24∘的方向航行到C处，这时望见灯塔在船的正北方向（参考数据：sin24∘≈0.4，cos24∘≈0.9）．(1)求几点钟船到达C处；(2)求船到达C处时与灯塔之间的距离．24. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）25. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64∘方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin64∘≈0.90，cos64∘≈0.44，tan64∘≈2.05，√2取1.414．26. 一天晚上，小明和爸爸在公园的一块空地上散步，他们从点P出发，沿北偏东60∘步行200米到达点A处，接着向正南方向步行一段时间到达点B处．在点B处掌上电脑观测到出发点P处在北偏西37∘方向上，接着他们沿线段BP路线回到出发点P．求小明和爸爸这次散步共走了多少米？（精确到1米，参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2≈1.414，√3≈1.732）答案1. B2. A3. A4. B5. D6. C7. D8. B9. A10. B11. 5√212. (1+√3)小时13. 30√214. 1.3715. 116. 6017. 41.0海里18. 20√219. 20√320. 1721. 解：(1)∵∠1=30∘，∠2=60∘，∴∠BAC=30∘+60∘=90∘，∴△ABC为直角三角形．∵AB=30km，AC=6√3km，∴BC=√AB2+AC2=12√7(km)．∵1小时20分钟=113小时，∴12√7÷113=9√7(km/ℎ)．故该轮船航行的速度为9√7km/ℎ；(2)能；理由如下：作BR⊥AN于R，作CS⊥AN于S，延长BC交l于T．∵∠2=60∘，∴∠4=90∘−60∘=30∘．∵AC=6√3，∴CS=12AC=3√3，AS=√3CS=9，又∵∠1=30∘，∴∠3=90∘−30∘=60∘．∵AB=30，∴AR=12AB=15，BR=√3AR=15√3．∵CS // BR，∴△STC∽△RTB，∴ST RT =CSBR，STST+9+15=√315√3，解得：ST=6．∴AT=6+9=15，又∵AM=14.5km，MN长为1km，∴AN=15.5km，∵14.5<AT<15.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．22. 解：过B作BH⊥AD于H．依题意∠BDH=45∘，∠CBD=75∘，∠BAD=75∘−45∘=30∘．在Rt△BDH中，HD=BH=BD⋅cos45∘=√2，在Rt△ABH中，AH=BHtan30∘=√6，AB=BHsin30∘=2√2，∴AD=AH+HD=√6+√2．∵∠ABD=180∘−75∘=105∘，∴∠ADC=45∘+60∘=105∘，∴∠ABD=∠ADC．又∠DAB=∠CAD，∴△ABD∽△ADC，∴AD AC =BDCD=ABAD，即√6+√2AC=2CD=√2√6+√2，解得：AC=2√2+√6，CD=√3+1．∴奥运圣火从A地到D地的路程是AC+CD=2√2+√6+√3+1≈8(km)．23. 解：(1)延长CB与AD交于点E．∴∠AEB=90∘，∵∠BAE=45∘，AB=60√2，∴BE=AE=60．根据题意得：∠C=24∘，sin24∘=AEAC ，∴AC=150．150÷30=5，所以13点到达C处；(2)在直角三角形ACE中，cos24∘=ECAC，即cos24∘=60+BC150，BC=75．所以船到C处时，船和灯塔的距离是75海里．24. 解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，∵∠CKA=90∘，∠CAK=45∘，∴∠CAK=∠ACK=45∘，∴AK=CK=x，BK=HC=AK−AB=x−30，∴HD=x−30+10=x−20，在RT△BHD中，∵∠BHD=30∘，∠HBD=30∘，∴tan30∘=HDBH，∴√3 3=x−20x，解得x=30+10√3．∴河的宽度为(30+10√3)米．25. BP的长为153海里和BA的长为161海里．26. 小明和爸爸这次散步共走了约820米．。

1.6 利用三角函数测高1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为A. 40 mmD. 160 m2.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．3.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．4.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．第4题图第5题图第6题图5.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．8.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？9.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;（3）量出测倾器的高度AC＝h。