人教A版高中数学必修三课件高一：2.3变量间的相关关系1

课堂探究1．散点图剖析：(1)将样本中的n 个数据对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图(scatterplot)．(2)散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．2．回归直线的性质剖析：(1)对于以(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )为样本数据，则(x ，y )为样本点的中心，回归直线一定过样本点的中心．(2)如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b ^＞0时，单调递增，此时这两个变量正相关；当b ^＜0时，单调递减，此时这两个变量负相关．题型一 判断相关关系【例题1】若变量x ，y 有如下观察的数据：(2)判断变量x ，y 是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？ 分析：对于给定一组观察数据，可以借助作散点图来判断两个变量是否具有线性相关性． 解：(1)画出散点图．(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x 的值由小变大时，另一个变量y 的值也由小变大，所以它们具有正相关关系．反思 两个随机变量x 和y 是否具有相关关系的确定方法：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断(如本题)； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断. 题型二 求回归直线方程【例题2】每立方米混凝土的水泥用量x (单位：kg)与28天后混凝土的抗压强度y (单位：kg/cm 2)之间的关系有如下数据：分析：由题目可获取以下主要信息： ①两个变量具有线性相关关系；②由两个变量的对应数据求回归直线方程．解答本题要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数就都容易求出了．解：列表如下：则b ^＝518 600－12×2052＝4 34714 300≈0.304，a ^＝y －b ^x ≈72.6－0.304×205＝10.28，于是所求的回归直线方程是y ^＝0.304x ＋10.28. 反思 (1)用公式求回归方程的一般步骤是： ①列表．②计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i . ③代入公式计算b ^，a ^的值． ④写出回归直线方程．(2)求回归直线方程时应注意的问题：①用公式计算a ^，b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.②使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错；不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关的计算.题型三 线性回归分析的应用【例题3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)分析：(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画出散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ^，a ^的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的y 的值．解：(1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， 则b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．反思 利用回归方程，可以对总体进行估计，如回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.当x ＝x 0时估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.题型四 易错辨析【例题4】下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A ．圆的周长和它的半径之间的关系B ．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系C ．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D ．正方形面积和它的边长之间的关系 错解：选B 或A 或D.错因分析：两个变量间的相关关系不同于函数关系．所谓函数关系，就是其中一个变量(自变量)的每一个值，唯一确定了另一个变量(因变量)的值；而对于相关关系，两个变量间则没有确定的关系，它们的关系相对来说是随机的．错解正是混淆了这两者之间的关系，而造成了误选．正解：因选项A，B，D中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C 中的关系才是相关关系．故选C.。