冀教版八年级数学上册第十二章《分 式》导学案设计12.1 分式第1课时 分式及其基本性质学习目标：1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式.2.知道分式有意义、无意义和方式值为0的条件.3.能够运用分式的基本性质对分式进行变形.学习重点：会求分式有意义时，字母的取值范围. 学习难点：求分式值为零时，字母的取值.一、 知识链接1. 用代数式填空： （1）一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工作量是______________，三天完成的工作量是_______，如果乙施工队a 天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工作量是________，b （b <a ）天完成的工程量是______.（2）已知甲乙两地之间的路程为m km.如果A 车的速度为n km/h ，B 车比A 车每小时多行20km ，那么从甲地到乙地，A 车所用的时间是_____h ，B 车车所用的时间是_____h.2.下列数或算式：2÷1，3÷0，.__________0,05,32，其中无意义的是π3.（1）将下列分数化简为最简分数：.______6418_____,64______,105===（2）分数的性质：分数的分子和分母同乘（或除以）一个________0的数，其值______. 二、新知预习1.“知识链接”1中，我们可以得到一些代数式：________________________. ( 1 ) 将这些代数式分类，可分成怎样的两类，并完成下表：（2）根据以上对比，上表中“？”所代表的名称是_________.你能归纳出它的概念吗？ 【自主归纳】 一般地，我们把形如AB的代数式叫做分式，其中A ，B 都是______，且B 含有______, 其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式AB可以看成两个整式相除的商： 名称 代数式 不同点 共同点分数？自主学【自主归纳】分式B有意义的条件是___________.3.类比分数的性质，猜想：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的 值______. 三、自学自测1.在代数式－3x 、22273x y xy −、18x −、5x y −、xy 、35y +中是整式的有 ， 是分式的有________________.2 填空：（1）当x 时，分式x 52有意义；当x 时，分式22−x x 无意义. （2）当m=____时1−m m 的值为0；若23−+m m 的值为0，则m=_______.3.判断下列分式是否相等，并说明理由. （1）21a ab a b = ；（2）2()()x x y xx y x y−=−−. 四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________一、合作探究探究点1：分式的概念例1：在式子1a 、2xy π、3a 2b 3c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10y ,xx 中，分式的个数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 疑惑思考：①π是字母吗？②x x 化简后的结果为1，xx能完全等同于1吗？它成立的条件是什么？【归纳总结】分母中含有字母的式子就是分式，注意①π不是字母，是常数；②判断分式要看化简之前的式子. 【针对训练】 1.下列式子:①x 2；②22321xy y x −；③41−；④a +51；⑤5n m −.其中是分式的是_______. 探究点2：分式有（无）意义及分式值为0的条件例2：分式x －1（x －1）（x －2）有意义，则x 应满足的条件是 ( )A.x≠1 B ．x≠2 C ．x≠1且x≠2 D ．以上结果都不对 【归纳总结】分式有意义的条件是分母不等于零.例3：若使分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为 ( )A ．－1B ．1或－1C ．1D ．1和－1【归纳总结】分式的值为零求字母的值：先根据分子为0，得出字母的值，然后一定要注意若分子中的整式是二次式或含有绝对值，解出的值一般有两个，要注意舍去使分母为0的值. 【针对训练】1.使分式x3x －1无意义的x 的值是( )A.x ＝0 B ．x≠0 C ．x ＝13 D ．x≠132. 若|x |11+−x 的值为0，则x=_______. 3.当x 取何值时，下列分式有意义？（1）3;2x + （2）5;32x x+− （3）225.4x x −−【师生合作】探究点3：分式的基本性质问题1： 如何用字母表示分数的基本性质？一般地，对于任意一个分数a b ，有·÷,·÷==a a c a a cb bc b b c(c ≠0)，其中a,b,c 表示数. 问题2：仿照分数的基本性质，你能说出分式的基本性质吗？ [做一做]分式.212·1·20,2_____212==≠a a a a a a a a a ，所以中，因为在分式与 .··0,_____222mnn n m n n m n n mn n mn n m n ==≠，所以中，因为在分式与分式分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值_____. 即：()A A M B ⨯=，()A A MB ÷=，其中A ,B ,M 表示整式且M 是不等于0的整式. 例4：下列式子从左到右的变形一定正确的是 ( ) A.a ＋3b ＋3＝a bB.a b ＝ac bcC.3a 3b ＝a bD.a b ＝a 2b 2【归纳总结】分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 【针对训练】1.不改变分式0.2x ＋12＋0.5x 的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果为( )A.2x ＋12＋5xB.x ＋54＋xC.2x ＋1020＋5xD.2x ＋12＋x 2.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)－3b 2a =_______； (2)5y －7x 2=______；(3)－a －2b 2a ＋b =________.3.下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)44612−=+−x x x ；(2))23(6136322312≠+−−=−x x x x x .二、课堂小结1.下列代数式中，属于分式的有 （ ）A .-23 B.b a −21 C.11−x D.34x2.当a ＝－1时,分式112−+a a 的值( )A.没有意义B.等于零C.等于1D.等于－1 3.下列分式中一定有意义的是( )A.112+−x xB.21xx + C.1122−+x x D.12+x x4.下列各式从左到右的变形正确的是( )A.y x y x y x yx 222121+−=+−B.b a b a b a b a 222.02.0++=++C.yx x y x x −−=−+−11 D.b a b a b a b a +−=−+ 5.使分式31+−x x 有意义的x 的取值范围是_____________. 6..填空（1）； （2）； （3）； （4）． 7.（能力拓展）已知y =，x 取哪些值时：（1）分式无意义；（2）y 的值是零；（3）y 的值是负数.当堂检测参考答案：1.C2.A3.A4.A5. x ≠-36.⑴，⑵x ，⑶4n ，⑷x-y ；7.（1）由题意得：2-3x =0 ，∴x =.（2）由题意得： ∴x =1；（3）由题意得：＜0，∴或 ∴x ＞1或x ＜.第2课时 分式的约分学习目标：1.理解约分和最简分式的意义，并会进行约分.2.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值. 学习重点：分式的约分. 学习难点：分式求值.一、知识链接1.（1）把下列分数化为最简分数：._______1326________;45125______;128=== （2）分数约分的办法：先将分数的分子和分母__________,再约去分子分母上相同因数，把分数化为最简分数.2.结合分式的基本性质，判断正误： ①)(.)(.)(.ah a h xy xh yh acbc a b −−===②()b a ab b a 2=+()y x x xy x +=+22()mnmn =32369()yx yx y xy x +=−++22222123x x−−ab a +2231,23.x x −=0⎧⎨−≠0⎩123x x −−1,23.x x −>0⎧⎨−<0⎩1,23.x x −<0⎧⎨−>0⎩233.因式分解:①x 2+xy=____________;②4m 2-n 2=_____________;③a 2+8a+16=___________________.4. 分式的基本性质是__________________________________________.5. 在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：()()211;=ab a b ()()222;++=x xy x y x ()()363.6=+a ab a二.新知预习1.类比分数的约分，完成下列流程图：128=_____________.242a ab =____________.2.根据分式的性质，试着将化简：【概念归纳】1.像这样，把分式中的分子和分母的__________约去，叫做分式的约分. 2.分子和分母没有______的分式叫做最简分式. 三、自学自测化简下列各分式：（1）2232axyyax -___________=_________;（2）y xy x 242+−=________________=__________. 四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _二、要点探究探究点1：分式的约分【例1】约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4； (2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy2.【思考】通过上面的约分，你能说出分式约分的关键步骤是__________________.【针对训练】 1.化简分式aba b a +−222的结果是（ ）A.aba 2− B.aba − C.aba + D.ba ba +− 2.约分：探究点2：最简分式【议一议】下面是小亮和小妮两位同学在进行一道分式的化简时，结果出现了分歧，谁的结果正确？小亮： 小妮：（1）正确的是_______；（2）错误的原因是_____________________________. 【结论】在进行分式的约分时，一定要把结果化到最简. 【例2】下列分式是最简分式的是( ) A.2a 2＋a ab B.6xy 3a C.x 2－1x ＋1 D.x 2＋1x ＋1【归纳总结】最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．分子、分母中含多项式的分式，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式． 【针对训练】下列分式:c y x 3122、22y x y x −−、)(222y x y x ++、y x x y −−22、2−+−a a a 1122中,是最简分式的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个探究点3：分式的化简求值【做一做】当p =12，q =-8时，求分式2222p pqp pq q−−+的值. （1）说说你的思路.（2）以下两位同学的解法和你想法一样吗？谁的解法更简便？小亮的解法如下：解：把p =12，q =-8代入所求分式中，得原式=222881221281212）（）（）（−+−⨯⨯−−⨯−= 小妮的解法如下：解：2222p pqp pq q −−+=()()()()将分子和分母分解因式确定分子和分母的公因式 =()()约去公因式，得到最简分式当p =12，q =-8时，原式=()()=()().化简求值：1.化简xyx205的结果是 （ ） A.41 B.x 41 C.y41 D.4y 2.下列约分正确的是（）3.下列分式是最简分式的是（ ）A. 223a a bB. 23a a a −C. 22a b a b ++ D.222a ab a b −− 4.化简2293mmm −−的结果是_______________. 5.化简下列分式:(1)cd b c b a 2322432−; (2)2242m m m −−; (3)x x x 24442+++; (4))(27)(1223y x x y a −−.6.求下列各分式的值.(1)22222y xy x y x +−−,其中x ＝5,y ＝－10； (2)2222b ab a ab a +++,其中a ＝－2,b ＝－3.7.(拓展提升)先化简，再求值：（1）424102525−+−x x x ，其中x 2=4. （2）当5m n =−时，求2242−−m m n mn的值.当堂检测参考答案： 1.C 2.C 3.C 4.3+−m m5.(1)d ba d cb b ac b cd b c b a 3438)4(824322222232−=•−•=−； (2)m mm m m m m m m +−=+−−=−−2)2)(2()2(4222； (3)22)2(2)2(244422+=++=+++x x x x x x ； (4)9)(49)(3)(4)(3)(27)(12)(27)(12332323y x a y x y x a y x y x y x a y x x y a −=•−−•−=−−=−−. 6.(1)y x y x y x y x y x y xy x y x −+=−+−=+−−22222)())((2,当x ＝5,y ＝－10时,原式31105105−=+−=. (2)b a a b a b a a b ab a ab a +=++=+++2222)()(2,当a ＝－2,b ＝－3时,原式52322=−−−=.7.（1）4222242221025(5)5.25(5)(5)5−+−−==−+−+x x x x x x x x 当x 2=4时，原式=5454+−=-91.（2）2242−−m mn mn=)2(2)2(mnmm−−=-nm2，当5mn=−时，原式=25.12.2 分式的乘除第1课时分式的乘法学习目标：1.理通过类比分数的乘法法则，探索分式的乘法法则并运用.2.理通过类比整式的乘方法则，探索分式的乘方法则.学习重点：分式的乘法法则.学习难点：分式的乘法运算..二、知识链接1.23×45＝_______;57×29＝_______;23×23×23=_______;57×57×57×57=_______.2一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器的水占容积的mn时,求水的高为________ .二、新知预习自主学3.我们已经熟悉分数的乘法运算，那么怎样进行分式的乘法运算呢？ 类比分数的乘法运算，可知A CB D=分式的乘法法则：分式与分式相乘，用_________作为积的分子，_________作为积的分母. NOTE:分式的运算结果要化为最简分式或整式.4.类比： (ab )n =a n b n ，那么.na b⎛⎫= ⎪⎝⎭分式的乘方法则：分式的乘方就是分子、分母分别_________. 三、自学自测1.计算233x y a xy a等于( )A.22a xB.22a xyC.223ay x D.xy 2 2计算下列各分式：(1)22242244x x x x x x x 2−++−+； (2)2239y x x y y+−−.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________三、要点探究探究点1：分式的乘法问题1：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2；(2)x 2＋3x x 2－9·3－xx ＋2.【归纳总结】分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分． 【针对训练】下列各式的计算结果中，是分式的是（ ）①a b y x •； ②xy y x •； ③x x 26•； ④b a b a 32•.A. ①B.①④C. ②④D.①③问题2：先化简，再求值：3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13.【归纳总结】根据分式乘法法则将代数式进行计算化简，再代入求值． 【针对训练】先化简，再求值：，其中x ＝．x x x x x x x 39396922322−+⋅++−31－问题3：计算：（1）22132xyx y；（2）()22442a a a a a −+−.【归纳总结】根整式与分式相乘，可以将整式的分母看成是1，在根据分式的乘法法则进行计算.【针对训练】 计算：（1）25812x yxy；（2）()2222a a a a −++.探究点2：分式的乘方问题：下列运算结果不正确的是( ) A ．(8a 2bx 26ab 2x )2＝(4ax 3b )2＝16a 2x 29b 2B ．[－(x 32y )2]3＝－(x 32y )6＝－x 1864y 6C ．[y －x （x －y ）2]3＝(1y －x )3＝1（y －x ）3D ．(－x n y 2n )n ＝x 2ny3n【归纳总结】分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．【针对训练】计算：(－x 2y )2·(－y 2x )3·(－1x )4；1.计算:（1）211()x x x −+_______________；（2）32232)()(a b b a −−=_______________.2.若分式53x x −+的值与分式293x x −−的值互为倒数，则x =______.3.计算. (1)xyab b a y x 5195417322−•;(2)14912432)41(22−++•+−x x x x x ;4.已知|a-4|+（b-9）2=0，计算22b ab a +·222b a ab a −−的值.当堂检测参考答案：1.（1）yx 2− （2）－a2.63.(1)原式=-axb 182. (2)原式=8x 2+10x -3. 4.∵|a -4|+()290b −=，∴a -4=0，b -9=0，∴a =4，b =9，∴原式=2)(b b a a +·()()()a ab a b a b −+−=22b a =2294=8116.12.2 分式的乘除 第2课时 分式的除法学习目标：1.理通过类比分数的除法法则，探索分式的除法法则并运用.2.能够熟练的进行分式的乘除法混合运算. 学习重点：分式的除法法则. 学习难点：分式的乘除法运算..三、知识链接1.23÷45＝____×____＝____，57÷29＝____×____＝____. 2.大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的____________倍.二、新知预习自主学3.我们已经熟悉分数的除法运算，那么怎样进行分式的除法运算呢？ 类比分数的除法运算，可知A CB D÷=⨯=分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母_________后，与被除式相乘. 由此可知，分式的除法运算时转化为分式的乘法运算进行的. 三、自学自测 1.计算xyyx x xy −÷−)(2的结果为( ) A.y1B.x 2yC.－x 2yD.－xy 2．计算：(1)；（2）2222324ab a b c cd−÷.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________xyyx x xy −÷−)2（四、要点探究探究点1：分式的除法问题1：(1)－3xy÷2y 23x ；(2)(xy －x 2)÷x －y xy.【归纳总结】先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分． 【针对训练】计算： .问题2：先化简，再求值：x 2－x x ＋1÷xx ＋1，其中x ＝π＋1.【归纳总结】将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值． 【针对训练】先化简,然后请你选择一个合适的x 的值代入求值:xxxx x −÷+−4342.24244422223−+−÷+−+−x x x x x x x x问题3：若式子x ＋1x ＋2÷x ＋3x ＋4有意义，则x 的取值范围是( )A ．x≠－2，x≠－4B ．x≠－2C ．x≠－2，x≠－3，x≠－4D ．x≠－2，x≠－3【归纳总结】在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0. 【针对训练】若代数式2213254x x x x x −−+÷+−有意义,则x 的取值范围是__________． 问题4：老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？【归纳总结】此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可． 【针对训练】通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d ，已知球的体积公式为V ＝43πR 3(其中R 为球的半径)，求：(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？探究点2：分式的乘除混合运算问题1：计算：a －1a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1a 2－1.【归纳总结】分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．【针对训练】 计算dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷等于( ) A.a 2B.2222dc b a C.bcd a 2D.其他结果问题2：计算：（2－x ）（4－x ）x 2－16÷(x －24－3x )2·x 2＋2x －8（x －3）（3x －4）.【归纳总结】进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式． 【针对训练】 计算：.问题3：化简求值：(2xy 2x ＋y )3÷(xy 3x 2－y 2)2·[12（x －y ）]2，其中x ＝－12，y ＝23.222)11(11−+⋅−÷−−m m m m m m m【归纳总结】先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法． 【针对训练】化简求值：()2322663443x x x x x x x ++−÷−−++，其中x =-2.1.已知yx M y x x −=÷−1222，则M 等于 （ ） A.yx x+2 B.xyx 2+ C.yx x−2D.xyx 2− 2.下列计算结果正确的有（）①x x x x x1332=•；②8a 2b 2⎪⎭⎫ ⎝⎛−243b a =-6a 3；③111222−=+÷−a a a a a a ；④a ÷b ·b 1=a ；⑤ab b a a b b a 12222=÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−.A.1个B.2个C.3个D.4个3.计算：（1）；（2）.4..先化简再求值:2221412211a a a a a a −−÷+−+−,其中a 满足a 2－a ＝0.5.小明和小华在计算机课上进行打字比赛，小明n 小时打了a 个字，小华只用了小明打字时间的23，结果比小明还多打了13，小华的工作效率是小明工作效率的几倍？当堂检测参考答案： 1.A 2.C 3.(1)原式==;(2)原式=.4.原式221(2)(2)(1)(1)(2)(1)22(1)1a a a a a a a a a a a −+−+−==−+=−−+−, 由a 2－a ＝0得原式＝0－2＝－2.2212(1)441a a a a a a −+÷+⋅++−222117497m m m m m +÷⋅−−22(1)(1)12(1)(1)(2)(2)11(2)(1)(1)a a a a a a a a a a a a +−++−+⋅⋅=++−++−12a +2171-7)(7)(7)m m m m m m m +⋅⋅=−+−（5.1413322233a aa n n a n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭÷==. 答：小华的工作效率是小华工作效率的2倍.12.3 分式的加减 第1课时 分式的加减运算学习目标：1.通过类比同分母分数的加减法则，探索同分母分式的加减法则.2.能准确确定几个异分母分式的最简公分母，并会运用通分进行转化成同分母分式的加减运算.（难点）学习重点：分式的加减运算法则. 学习难点：分式的加减运算.四、知识链接 1.()()()()45431;2;777745433;4.39511+=−=+=−=2.将下列分式通分：（1）31123,,3575；（2）23113,,579. 答：___________________________________________________________________.二、新知预习3.类比同分母分数的加减法运算法则，完成下面同分母分式的加减运算：()()()()451;2;313;4.b c a a a a b c a aa a+=+=−=−=类比同分母分数的加减法运算，可知A CB B±=同分母分式的加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）.NOTE ：分式加减运算的结果要化为最简分式.4.类比异分母分数的加减，异分母分式的加减应当怎样进行？计算：b d a c±像这样，把几个异分母分式分别化为与它们______的同分母分式，叫做分式的通分，这个______的分母叫做几个分式的公分母. 类比异分母分数的加减法运算，可知A CB D±=±=异分母分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）. 三、自学自测1.计算1311−+−a a 的结果是( ) A.14−a B.12−a C.a −12 D.a−14 2.分式b a +1、222b a a −、ab b−的最简公分母是( )A.(a 2－b 2)(a+b)(b －a)B.(a 2－b 2)(a+b)C.(a 2－b 2)(b －a)D.a 2－b 2 3..化简329122++−m m 的结果是（ ）A.962−+m mB.32−m C.32+mD.9922−+m m 四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________五、要点探究探究点1：同分母分式的加减问题： 计算：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ；(2)2x －1＋x －11－x.【归纳总结】(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．【针对训练】下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 探究点2：通分 问题：通分：m m m 312=−+1=−−−ab b b a a 212122++=++−+y y y y y b a a b b b a a −=−−−1)()(22(1)b 3a 2c 2，c －2ab ，a 5cb 3；(2)1a 2－2a ，a a ＋2，1a 2－4.【归纳总结】通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式． 【针对训练】 通分：（1）222351,,462a b b c ac −；（2）223,,222184x x x x x x++++−.探究点3：异同分母分式的加减 问题1： 计算：(1)x 2x －1－x －1；(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4.【归纳总结】在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 【针对训练】分式a-b +b a b +22的值为（ ） A.ba b b a ++−22B .a+bC.ba b a ++22D.以上都不对问题2：先化简，再求值：3x －3－18x 2－9，其中x ＝2015.【归纳总结】先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值． 【针对训练】请你先对113+−−−−222x x xx x x 进行化简,再选取一个使原式有意义,而你又喜爱的数代入求值.问题3： 某商店有一个不准确的天平(其臂长不等)和一个10克的砝码．一位顾客想购买20克化学药品，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘，待平衡后交给顾客．然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘，待平衡后交给顾客．请判断在这次买卖中，是商店吃亏还是顾客吃亏，并说明理由．【归纳总结】此题属于分式的加减与实际问题的综合，熟练掌握分式加减运算法则是解本题的关键．【针对训练】在下图的电路中，已测定CAD 支路的电阻是R 1，又知CBD 支路的电阻R 2比R 1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R 与R 1、R 2满足关系式1R ＝1R 1＋1R 2，试用含有R 1的式子表示总电阻R.内容解题策略同分母分式的加减 分母________，把________相加减．即：a c ±bc ＝_______.(1)一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看做是分母为1的分式，整式前面是负号时，要加括号，进行通分； (2)结果一定要化成最简分式或整式.通分把几个异分母分式分别化为与它们______的同分母分式，叫做分式的通分，这个______的分母叫做几个分式的公分母.异分母分式的加减先________，变为同分母的分式，再________．即：a b ±cd＝____±____＝________.1.已知y x yx y x y xy y x M +−+−−=−222222,则M ＝___________.2.通分：（1）2222352,,234a b c b c ac a b ；（2）222,,222a b cm n m mn m mn n −−−+. 3.计算.(1)abab ab 142−−; (2)yx y y x x +−+22;当堂检(3)ba b a +−−2121; (4)222222n m n m n m n m −+−+−.4.甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米,两次大米的价格有变化,但他们两人购买的方式不一样,其中甲每次总是购买相同重量的大米,乙每次只能拿出相同数量的钱来买米,而不管能买多少,问这两种买米方式哪一种更合算？请说明理由.当堂检测参考答案： 1.x 22.（1）333222222222222231852023,,212312412a a c b ab c c b c a b c ac a b c a b a b c ===；（2）()()()()()22222222,,222222am m n b m n a b c cm m n m mn m mn n m m n m m n m m n −−===−−−+−−−. 3.(1)原式=ab 3−. (2)原式=x-y (3)原式= 2242b a b−. (4)原式=)(2n m n m −−−.4.设两次大米的单价分别为x 元/千克、y 元/千克(x ＞0,y ＞0,x≠y),则甲平均每千克花了2yx +元,乙平均每千克花了y x 112+元.而0)(2)(2211222>+−=+−+=+−+y x y x y x xy y x yx y x ,所以乙的购买方式合算.12.3 分式的加减 第2课时 分式的混合运算学习目标：1.复习并巩固分式的运算法则.2.能熟练地进行分式的混合运算.（难点） 学习重点：分式的运算法则. 学习难点：分式的混合运算.五、知识链接 1.()()45431;775114543132.395114⎛⎫⨯÷−= ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⨯−÷=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3.分数的混合运算法则是什么？答：___________________________________________________________________. 二、新知预习3.类比分数的混合运算法则，完成下面运算：22221422441x x x x x x x x x x +−−+⎛⎫−÷+ ⎪−−+−⎝⎭()()221421x x x x x x ⎡⎤+−−+=−÷+⎢⎥−⎣⎦ 有括号要先算括号内的()()()()2421x x x x ⎡⎤−+=−÷+⎢⎥−⎣⎦（异分母的分式的加减转化为同分母分式的加减）()()2421x x x x −+=÷+−先算乘除，后算加减()()()()21x x +=⨯+−（将分式的除法转化为分式的乘法）()()()()=+（异分母的分式的加减转化为同分母分式的加减）()()=在进行分式的加、减、乘、除混合运算时，一般按照运算顺序进行：先算_______，再算_______；如果有括号，先算____________. 三、自学自测 1.计算：2..先化简，再求值：923312−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+x xx x ，其中x =4.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________六、要点探究探究点1：分式的混合运算 问题： 计算：(1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a ；(2)(x ＋x x 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)．【归纳总结】分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 【针对训练】 计算：(1)221423−−−−÷−−x x x x x ; (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+m n m n 11;探究点2：分式的化简求值问题1： 先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．【归纳总结】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0. 【针对训练】先化简代数式211122x x x −⎛⎫÷− ⎪++⎝⎭，再从-3<x<2范围内选取一个合适的整数x 代入求值．问题2：已知a ＋1a ＝5，求a2a 4＋a 2＋1的值．【归纳总结】利用x 和1x 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁． 【针对训练】 已知，求的值.问题3： 甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a≠b)．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？ (2)谁的购买方式更合算？请说明理由．【针对训练】甲乙两位采购员同去一家饲料公司分别采购两次饲料，两次购买的价格有变化，两位采购员的购货方式也有所不同.其中，甲每次购买1000kg ，乙每次用去800元，设两次购买饲料的价格分别为m 元/kg ，n 元/kg （m ，n 是正数，且m ≠n ），那么甲乙所购买饲料的平均价格是多少？哪一个比较低？115a b −=2322a ab b a ab b+−−−1.化简的结果是( ) A ．1 B ． C ． D ．－ 12.计算：(1) 2224124421−−−−+−+x x xx x x x （）; (2) 2211111aa a a ⎛⎫⎛⎫−÷−⎪ ⎪−−+⎝⎭⎝⎭.3. 已知，求的值．4.有这样一道题:“先化简,再求值:41)4422(2−÷−++−2x x x x x ,其中x ＝－3.5.”小玲做题时把“x ＝－3.5”错抄成了“x ＝3.5”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？当堂检测参考答案： 1.B2.(1)原式=x . (2)原式=aa 2+. 11x y y x ⎛⎫⎛⎫−÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y yx03461022=+−−+b a b a ab a b ab a ab b a b a b a −++⨯−÷⎪⎭⎫⎝⎛+−22222223.4.4)4(444441)4422(2222+=−⨯−++−=−÷−++−22x x x x x x x x x x x . 因为x ＝3.5或x ＝－3.5时,x 2的值均为12.25,原式的计算结果都为16.25. 所以把“x ＝－3.5”错抄成“x ＝3.5”,计算结果也是正确的.12.4 分式方程学习目标：1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点）2.理解分式方程无解及出现增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点） 学习重点：解分式方程.学习难点：分式方程无解和增根的情况.六、知识链接1. 下列方程哪些是一元一次方程?(1)353;x −=(2)25;x y +=2(3)5;x x −=1(4) 1.23x x +−=4.一元一次方程的特征是什么？答：___________________________________________________________________. 二、新知预习3.完成下面解题过程：小红家到学校的路程为18km.小红从家去学校总是先乘坐公共汽车，下车后再步行1km ，才能到学校，路途所用时间是1h ，已知公共汽车是速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.（1）上述问题中有哪些等量关系？答：①_____________________+_______________________=小红上学路上的时间；②公共汽车的速度=_______________________________. （2）如果设小红步行的速度为x km/h ，那么公共汽车的速度为_____ km/h,根据等量关系①，可以得到方程：_______________________________.（3）如果设小红步行的时间为x h ，那么她乘坐公共汽车的时间为______h ，根据等量关系②，可以得到方程：_______________________________.83自主学（4）在（2）（3）中得到的方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？答：___________________________________________________________________.像这样，分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）. 4.试着解下列分式方程： （1）382291x x−=⨯−； 解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母） ___________________.解这个整式方程，得____________. 解整式方程经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义） （2）13111x x x x+−=+−−. 解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母） ___________________.解这个整式方程，得____________. 解整式方程经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义） 像这样，解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.NOTE ：分式方程可能无解.解分式方程一定要注意验根. 三、自学自测1.下列各式中，分式方程是 （ ）A.65x x = B.1051x x =− C.2341x x =+ D.()1033x xa a =−≠2.解分式方程2211x x x++−−＝3时，去分母后变形为 （ ） A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1) C ．2－(x ＋2)＝3(1－x) ． D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)3.若分式x －1x ＋2的值为零，则x 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－2 4.如果关于x 的方程2－x x －5＝m5－x 无解，那么m 的值为( )A ．－2B ．5C ．2D ．－3 5.解方程：(1)x －2x ＋2－1＝3x 2－4；(2)2x 2x －3－12x ＋3＝1.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________七、要点探究探究点1：分式方程的相关概念问题： 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )A.3＋x 2＝2＋x 5B.2x －17＝x 2C.x π＋1＝2－x 3D.12＋x＝1－2x【归纳总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 【针对训练】下列各式中，分式方程是 （ ）A ．511y −+B ．324x x −=C ．232y y −=+ D ．156x x =− 探究点2：分式方程的解法 问题1： 解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3.【归纳总结】解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【针对训练】 解方程： (1)2112x x =−−；(2)2313162x x −=−−.问题2：关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．【归纳总结】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 【针对训练】当m 为何值时，关于x 的方程m x 2－x －2＝xx ＋1－x －1x －2的解是正数．探究点3：分式方程的增根问题1：若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增根，则增根可能为( )A ．0B ．2C ．0或2D ．1 【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解． 【针对训练】若关于x 的方程222xx x+−−＝2有增根，则增根是_____． 问题2：如果关于x 的分式方程2x －3＝1－mx －3有增根，则m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．3【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解． 【针对训练】当m 为何值时，方程mx －2＋3＝1－x 2－x 会产生增根．问题3：若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值．【归纳总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 【针对训练】 若关于x 的方程无解，求a 的值.二、课堂小结1.下列各式中是关于x 的分式方程的是_____________________. ①223x x −=;②437x y+=;③132x x =−;④11x x −=−,⑤32x x π−=; ⑥2a b a b x a ++=−;⑦2x b x b a a −+=+;⑧2x n x mx m x n−++=+−;⑨2121x x −=+; ⑩121x x−>+ 2.解分式方程232x x x−++＝1时，去分母后可得到 ( ) A ．x(2＋x)－2(3＋x)＝1 B ．x(2＋x)－2＝2＋x C ．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x) D ．x －2(3＋x)＝3＋x311x a x x−−=−3．分式方程212x x−−＝0的根是 ( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－24．若关于x 的分式方程2213m x x x+−=−无解，则m 的值为 ( )A ．－1，5B ．1C ．－1.5或2D ．－0.5或－1.55.若关于x 的方程1x 2－1－mx ＋1＝1－2m x －1不会产生增根，则m 为( )A ．m ≠0B ．m ≠14C ．m ≠0且m ≠－12D ．m ≠14且m ≠－126.解方程：(1)12211x x x +=−+;(2)22222222x x x x x x x ++−−=−−.7.关于x 的方程23321x k x x x x x−−=++，当k 为何值时，会产生增根？当堂检测参考答案： 1.②③④⑥⑧⑨ 2.C 3.D 4.D 5.D6.(1)x ＝3;(2)x ＝－.7.x ＝－1时k ＝3 .12.5 分式方程的应用学习目标：1.会列分式方程解决实际问题，学会建立数学模型.2.掌握列分式方程解决实际问题的一般方法.(重点）.（难点） 学习重点：列分式方程解决实际问题的一般方法. 学习难点：列分式方程解决实际问题.12。
