高三数学椭圆及其标准方程复习题2

《椭圆》专题专题 1 椭圆的定义及其应用1．过椭圆 4x 2＋ y 2＝ 1 的一个焦点 F 1 的直线与椭圆交于 A ， B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点F 2 组成的△ ABF 2 的周长为2．已知动点 P(x ，y)的坐标知足x 2＋ y ＋ 7 2＋ x 2＋ y －7 2＝16，则动点 P 的轨迹方程为 ________．3．如下图，一圆形纸片的圆心为 O ，F 是圆内必定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与 F重合，而后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD 与 OM 交于点 P ，则点 P 的轨迹是 ()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆专题 2 椭圆的标准方程2.1利用椭圆定义求椭圆的标准方程1．已知动点 M 到两个定点 A(－ 2,0)， B(2,0)的距离之和为 6，则动点 M 的轨迹方程为2．在△ ABC 中， A(－ 4,0)， B(4,0)，△ ABC 的周长是 18，则极点 C 的轨迹方程是x 2y 2y 2 x 2x 2 y 2y 2 x 2 A. 25＋ 9 ＝1(y ≠ 0)B ． 25＋9 ＝ 1(y ≠ 0) C.16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0) D ． 16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0)3．已知两圆 C 1： (x － 4)2＋ y 2＝ 169， C 2： (x ＋ 4)2＋ y 2＝ 9，动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内切，和圆C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为1： (x ＋ 3) 2＋ y 2＝ 1 外切，且与圆 C 2 2＋y 2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方4．（同 3）与圆 C ： (x －3)程为 _______．于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为2 23，过 F 2 的直线 l 交 C6．已知椭圆 C ： x 2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、 F 2，离心率为a b3于 A 、 B 两点．若△ AF 1的周长为 4 3，则 C 的方程为 B1 ，B 是圆 x － 12 2AB 的垂直均分线交 BF7．（同 5）已知 A － ， 02＋ y ＝ 4(F 为圆心 )上一动点，线段2于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为 ________．38．已知椭圆 G 的中心在座标原点，长轴在x 轴上，离心率为2 ，且椭圆 G 上一点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为2.2利用待定系数法求椭圆标准方程1．若直线 x － 2y ＋ 2＝ 0 经过椭圆的一个焦点和一个极点，则该椭圆的标准方程为 ________．2．已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C 的标准方程为 ____________．3．已知椭圆的中心在原点，离心率 e ＝ 1，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－ 4x 的焦点重合，则此椭2圆方程为4．设椭圆x 2 y 2y 2＝ 16x 的焦点同样，离心率为6，则此椭圆的方程 a 2＋2＝ 1(a>b>0) 的右焦点与抛物线3b为 ________．35．已知椭圆的中心在座标原点，长轴长是8，离心率是 4，则此椭圆的标准方程是6．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点 F(－ 2，0)，且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3，则椭圆 C 的方程是 ________________ ．y 2 x 2 7．过点 ( 3，－ 5)，且与椭圆 25＋9 ＝ 1 有同样焦点的椭圆的标准方程为________．x 2 y 28．过点 A(3，－ 2)且与椭圆 ＋＝1 有同样焦点的椭圆的方程为9 49．与椭圆 9x 2＋ 4y 2＝ 36 有同样焦点，且短轴长为2 的椭圆的标准方程为10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－3， 5 ，( 3， 5)，则椭圆方程2 2为11．与椭圆 x2 ＋ y 2＝ 1 有同样的离心率且经过点 (2，－ 3)的椭圆方程为 4312．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是 ( － 5，0)，则椭圆的标准方程为 ________．13．已知椭圆x 2 y 23 的直线 l 交 CC ：2＋2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为，过 F 2a b3于 A ， B 两点，若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为14．椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个极点和两个焦点恰为边长是2 的正方形的极点，则椭圆E 的标准方程为15．已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点的椭圆的标准方程为________．16．已知中心在座标原点的椭圆过点A(－ 3,0)，且离心率e ＝ 35，则椭圆的标准方程为________．517．已知椭圆的中心在原点， 焦点在 x 轴上，离心率为 5，且过 P(－ 5,4)，则椭圆的方程为 ________．x 2 y 218．已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的长轴长为6，且两焦点恰巧将长轴三均分，则此椭圆的标准方程为19．一个椭圆的中心在原点，焦点 F 1，F 2 在 x 轴上， P(2， 3)是椭圆上一点，且 |PF 1|，|F 1F 2|， |PF 2| 成等差数列，则椭圆的标准方程为x 2 y 220．设 F 1，F 2 为椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点，经过 F 1 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，若△ F 221．已知椭圆 x 2 y 2 ， F 2 分别为椭圆的左 、右焦点， A 为椭圆的上极点，直线 AF 2a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)， F 1交椭圆于另一点 B ．→→→ → (1) 若∠ F 1AB ＝ 90°，求椭圆的离心率； (2) 若AF 2＝ 2F 2B ， AF 1·AB ＝ 3，求椭圆的方程．2专题 3 椭圆的几何性质3.1 辨别椭圆有关性质观点x 2y 21．椭圆 16＋ 25＝1 的焦点坐标为2．已知椭圆的标准方程为 x 2＋y 2＝ 1，则椭圆的焦点坐标为 10x 2y 23．椭圆 10－m ＋ m － 2＝1 的焦距为4，则 m 等于4．椭圆以两条坐标轴为对称轴， 一个极点是 (0,13) ，另一个极点是 (－ 10,0)，则焦点坐标为 ________．2＋ y 2225．曲线 C 1：x＝ 1 与曲线 C 2： x ＋ y ＝1(k<9)的 ()25 925－ k 9－ kA ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．已知椭圆x 2 22＋ y 2＝ 1(a>b>0) 的一个焦点是圆x 2＋ y 2－ 6x ＋ 8＝ 0 的圆心， 且短轴长为 8，则椭圆的左a b极点为 ____________．x 2y 247．椭圆 9 ＋ 4＋ k ＝ 1 的离心率为 5，则 k 的值为x 28．椭圆 4 ＋ y 2＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为 P ，则 |PF 2|等于9．椭圆 mx 2＋ ny 2 ＋mn ＝ 0(m ＜n ＜ 0)的焦点坐标是3.2 求离心率的值 ( 或范围 )x 2 y 21．椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 的离心率是x 2 y 22．若椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为x 2 y 23．已知椭圆 C ： a 2＋ 4 ＝ 1 的一个焦点为 (2,0)，则 C 的离心率为 ________．4．已知椭圆 C ：x 22 ＝1(a ＞ b ＞ 0)和直线 l ：x ＋ y＝1，若过 C 的左焦点和下极点的直线与直线2＋y2l 平a b4 3行，则椭圆 C 的离心率为x 2 y 2m － 3，则此椭圆的离心率为5．若椭圆 ＋＝ 1 上一点到两焦点的距离之和为4 mx 2 y 26．焦点在 x 轴上的椭圆方程为a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) ，短轴的一个端点和两个焦点相连组成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为7．若一个椭圆长轴的长 、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是8．如图， F 1， F 2 是双曲线 C 1： x 2－y 2 的公共焦点，点 A 是 C 1， C 2 在第一象限内的交＝1 与椭圆 C 28点，若 |F 1F 2|＝ |F 1 A|，则 C 2 的离心率是2 4 A.3 B. 5 32 C. 5D. 5x 2 y 29．已知 F 是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点， A 为右极点， P 是椭圆上的一点， PF ⊥ x 轴，若 |PF|＝34|AF |，则该椭圆的离心率是 ________．x 2 y 210．已知椭圆 a 2 ＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)的左焦点为 F ，右极点为 A ，点 B 在椭圆上， 且 BF ⊥x 轴，直线 AB―→ ―→交 y 轴于点 P.若 AP ＝ 2 PB ，则椭圆的离心率是2211．设椭圆x＋ y＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 122 1 2，C ：a 2 b 2， F，P 是 C 上的点， PF ⊥ F F ∠PF 1 2°，则 C 的离心率为F ＝ 3012．已知 F 1， F 2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点．若 PF 1⊥ PF 2，且∠ PF 2F 1＝ 60°，则 C 的离心率为13． P 是椭圆 x 2 y2 1a 2＋2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上的一点， A 为左极点， F 为右焦点， PF ⊥ x 轴，若 tan ∠ PAF ＝ ，b 2则椭圆的离心率e 为22x ＋y＝ 1(a>b>0) 的左、右极点分别为 A 121 2 为直径的圆与直线abbx － ay ＋ 2ab ＝ 0 相切，则 C 的离心 率为15．已知椭圆x 2 y 21，其焦点分别为 A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任 a 2＋2＝ 1(a>b>0) 的离心率等于3b意一点，则在△ABC 中， sin A ＋ sin B ＝________.sin C16．已知椭圆 x 2 y 2M ，上极点为 N ，右焦点为 ―→ ―→＝0，则椭圆a 2＋ 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)的左极点为F ，若 NM ·NFb的离心率为17．已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：x 222＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左 、右焦点， A 是 C 的左极点，点P 在过 A 且斜ab率为3的直线上，△ PF 12为等腰三角形，∠1 2°，则 C 的离心率为6FF F P ＝120x 2 y 218．设椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为 →→60°， AF ＝2FB.则椭圆 C 的离心率是 ________．- 8 -319．椭圆 C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若 C 上的点 P 知足 |PF 1|＝ 2|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率 e 的取值范围是x 2 y 220．在椭圆 a 2＋ b 2 ＝ 1(a>b>0)中， F 1，F 2 分别是其左、 右焦点， 若 |PF 1|＝ 2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是2 221．过椭圆 C ：x2＋ y2＝ 1(a>b>0) 的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆C 于另一个点 B ，且点 B 在 xa b轴上的射影恰巧为右焦点1 1 __________.F 2，若 <k< ，则椭圆的离心率的取值范围是32x 2 y 222．如图，椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2 的直线交椭圆于 P ， Q 两点，且 PQ ⊥PF 1.(1) 若 |PF 1 |＝ 2＋ 2， |PF 2|＝ 2－ 2，求椭圆的标准方程；(2) 若 |PF 1 |＝ |PQ|，求椭圆的离心率 e.3.3 求参数的值 ( 或范围 )x 2 y 2 1 ，则 m 的值为 ________．1．若焦点在 ＋ ＝ 1 的离心率为 2 y 轴上的椭圆 m2 22 x y2．若方程＋ ＝ 1 表示椭圆，则 m 的取值范围是 5－m m ＋ 3x 2 y 2 k 的取值范围是 3．已知方程 ＋ ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 2－ k 2k － 14．方程 kx 2＋ 4y 2＝ 4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是5．若 x 2＋ky 2 ＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ________．x 2y 2 6．假如方程 a 2＋ a ＋ 6＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是 ________．x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示椭圆”的 ()7． “ 2<m<6”是“方程 m － 2 6－ mA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2 8．已知椭圆 mx 2＋ 4y 2＝ 1 的离心率为2 ，则实数 m 等于x 2 y 22 9．设 e 是椭圆 4 ＋ k ＝1 的离心率，且 e ＝ 3，则实数 k 的值是 ________．10．“ m ＞n ＞ 0”是“方程 mx 2＋ ny 2＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ()A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2 2x ＋ y ＝ 1(0<b<2) 的左、右焦点分别为 F 121 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，11．已知椭圆 4 b 2 ，F ，过F -10-若 |BF 2|＋ |AF 2|的最大值为 5，则 b 的值是12．已知动点 M 到定点 F 1(－ 2,0)和 F 2(2,0)的距离之和为4 2.(1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2) 设 N(0,2)，过点 P( － 1，－ 2)作直线 l ，交 C 于不一样于 N 的两点 A ， B ，直线 NA ， NB 的斜率分别为 k 1， k 2，求 k 1＋ k 2 的值．3.4 焦点三角形x 2 y 21．椭圆 C ：25＋ 16＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 2 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，则△ F 1AB 的周长为 ________．2．过椭圆x 2 作直线 l 交椭圆于 A ， B 两点， F 2 是椭圆右焦点，则△ ABF 2 的周长 ＋ y 2＝ 1 的左焦点 F 1 4为3．已知△ ABC 的极点 B ， C 在椭圆x 2＋ y 2＝ 1 上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的此外一个焦 3点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ________．4．已知点 F 1，F 2 分别为椭圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠ F 1PF 2＝ 60°， 4 3则 |PF 1|· |PF 2|＝-11-12x2 ＋ y2 ＝ 1 的两个焦点， A 为椭圆上一点，且∠ AF 1 2 1 2的面积为5．F ，F 是椭圆9 7 F ＝45 °，则△ AF F6．如图，椭圆x 2 22＋y ＝ 1(a＞ 2)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的一点，若∠ F 1PF2＝ 60°，a 4那么△ PF1 F2的面积为x2y27．已知 F1， F2是椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△ PF 1F2的面积为 9，则 b＝ ________.x2y2|PF2| 8．设 F 1， F2为椭圆9＋5＝ 1 的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF1|的值为x2y29．已知 F1， F2是长轴长为 4 的椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△ PF1 F2面积的最大值为________．x2 ＋ y2 ＝1 上一点， F1 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，1 2于点 H，10．P 为椭圆25 9 ，F 过 P 点作 PH⊥F F 若 PF1⊥PF2，则 |PH |＝-12-x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 2 → 1 → 2＝ 9，则 |PF 12| 11．设椭圆 16 12 ，F ，点 P 在椭圆上， 且知足 PF ·PF| ·|PF 的值为x 2 y 212．椭圆 9 ＋ 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 P 在椭圆上，若 |PF 1|＝ 4，则∠ F 1PF 2 的大小为-13-。

高三数学专题复习----椭圆一 基础知识（1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系二 例题1、方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29 2、已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝13、椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3504、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）335、若椭圆19822=++y k x 的离心率是21，则k 的值等于 ( ) (A)－45 (B)45 (C)－45或4 (D)45或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。

（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=18、椭圆22a x ＋22b y =1的两个焦点F 1, F 2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（ ）。

（A ）32 （B ）33 （C ）63 （D ）669、椭圆100x 2＋36y 2=1上的一点P 到它的右准线的距离是10，那么P 点到它的左焦点的距离是（ ）。

高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.()0，3π4∪()7π4，2π B.[)π2，3π4 C.()π2，3π4 D.()3π4，3π2[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.()0，22C.()22，1 D.(]0，22[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513 B.1213 C.35 D.45 [解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎨⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513. (理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12B.5－12 C.3－12D.5＋12[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，∵e >0，∴e ＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3 D ．3 [解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴1e 12＋1e 22＝1()ca2＋1()c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确；∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423， ∴|AB |＝1＋12||423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.()14，49B.()23，1 C.()12，23D.()0，12[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标()c ，±b 2a，已知k ∈()13，12，∴B()c ，b 2a.斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得?x 1－x 2??x 1＋x 2?a 2＝?y 2－y 1??y 2＋y 1?b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴c a <22.12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知，sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[解析] 在椭圆x 2a 2＋y2a 2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1.(理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF |∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |.同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |，10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2， 则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×()1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝3∴l 的方程为y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0∵F 1到直线l 的距离为23∴|－3c －3c |?3?2＋?－1?2＝3c ＝23∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎨⎧y ＝3?x －2?x 2a2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b 23a 2＋b 2①y 1·y 2＝－3b 2?a 2－4?3a 2＋b 2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2?a 2－4?3a 2＋b 2 ④③2④得12＝48b 4?3a 2＋b 2?2·3a 2＋b 23b 2?a 2－4?＝16b 2?3a 2＋b 2??a 2－4?⑤ ,又a 2＝b 2＋4 ⑥由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2) 法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k ?x 0＋22－2?解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1把(1,1)代入得14＋1b 2＝1∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263 故两焦点坐标为()263，0，()－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． (3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎨⎧y ＝k ?x －1?＋1x 24＋3y24＝1消去y 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 ∵点A (1,1)在椭圆上 ∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1，同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1，y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k ，所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。

高中数学高考总复习椭圆习题及详解Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.()0，3π4∪()7π4，2π B.[)π2，3π4 C.()π2，3π4D.()3π4，3π2[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.()0，22C.()22，1D.(]0，22[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513 B.1213 C.35 D.45 [解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎨⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513. (理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12B.5－12 C.3－12D.5＋12[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，∵e >0，∴e ＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3 D ．3 [解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴1e 12＋1e 22＝1()ca2＋1()c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1D ．0[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确；∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423， ∴|AB |＝1＋12||423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.()14，49B.()23，1 C.()12，23D.()0，12[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标()c ，±b 2a，已知k ∈()13，12，∴B()c ，b 2a.斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴c a <22.12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知，sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[解析] 在椭圆x 2a 2＋y2a 2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1.(理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF |∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |.同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |，10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2， 则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×()1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝3∴l 的方程为y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0∵F 1到直线l 的距离为23∴|－3c －3c |32＋－12＝3c ＝23∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎨⎧y ＝3x －2x 2a2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b 23a 2＋b 2①y 1·y 2＝－3b 2a 2－43a 2＋b 2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2a 2－43a 2＋b 2④③2④得12＝48b 43a 2＋b 22·3a 2＋b 23b 2a 2－4＝16b 23a 2＋b 2a 2－4⑤ ,又a 2＝b 2＋4 ⑥由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2) 法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k x 0＋22－2解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1把(1,1)代入得14＋1b 2＝1∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为()263，0，()－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． (3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎨⎧y ＝kx －1＋1x 24＋3y24＝1消去y 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 ∵点A (1,1)在椭圆上 ∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1，同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1，y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k ，所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。

、选择题:1•下列方程表示椭圆的是（）A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不能确定23.已知椭圆的标准方程X 2盘1，则椭圆的焦点坐标为（）A. ( J0,0)B. (0,10) C.(0, 3)2 2xy 5. 已知椭圆1上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3,则P 到另一焦点的距离是（）5 9A. 2 .53B.2C.3D.62 26. 如果 笃 —1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（）a a 2A. （ 2, ）B. 2, 1 2,C.（ , 1） （2, ）D.任意实数 R7.“m>n>0”是“方程mx 2 ny 2 1表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件38.椭圆的短轴长是 4，长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的焦距是（） 2A. . 5B. 4C.6D. 2,59.关于曲线的对称性的论述正确的是（）2 2A. 方程x xy y 0的曲线关于X 轴对称33B. 方程x y 0的曲线关于Y 轴对称2 xA. 一2y 92^2B. x 2y2x C.——252 2D.(x 2) y 12.动点P 到两个定点F 1 (- 4 , 0) . F 2（4, 0）的距离之和为 8，贝U P 点的轨迹为（） A •有相同的长 1和 2 k 2 a k2y2 2b k .短轴B .有相同的离心率1(a 2 b 2k 2）的关系是C .有相同的准线D •有相同的焦点D.( 3,0)D.方程x 3 y 3 8的曲 线关于原点对称C. 方程x2 xy y210的曲线关于原点对称13. （ 4分）比较下列每组中的椭圆:15. （30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程:（1）两个焦点的坐标分别为（0, -3） , （0,3），椭圆的短轴长为 8;（2）两个焦点的坐标分别为（-J5,o ）,（J 5,o ）,并且椭圆经过点（2J2,2）XVX 210方程肓 好（a >b >0,k >0且2"与方程孑A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）2 2 x y 11. （6分）已知椭圆的方程为：1，则a=64 100，焦距等于第11题2y2( a >b >0)表示的椭圆().b长轴； D.有相同的顶点.,b= ____ , c= ___ ，焦点坐标为:；若CD 为过左焦点 F1的弦，（如图）则？F 2CD 的周长为12. （ 6分）椭圆16x 2 25y 2 400的长轴长为,短轴长为 _______ ,焦点坐标为 四个顶点坐标分别为，离心率为;椭圆的左准线方程为(1 ［① 9x 2 22X4y 36与②一122161，哪一个更圆2w 1 与②9x2 y236，哪一个更扁14. （ 4分）若一个椭圆长轴的长度 .短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是三、解答题：本大题共 6小题，共 80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点R（J6,I）、B（-J3,-J2）x2 y2'十亠、、十亠、' 16. （12分）已知点M在椭圆1上，M P垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为P，25 9并且M为线段P P'的中点，求P点的轨迹方程17. （12分）设点A，B的坐标为（a,O）,（a,O）（a 0），直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为k（k 0且k 1）求点M的轨迹方程，并讨论k值与焦点的关系•2 218.（12分）当m取何值时，直线I : y x m与椭圆9x 16y 144相切，相交，相离？2 2X y19.(14分)椭圆1(0 m 45)的焦点分别是Fi和F?，已知椭圆的离心率45 m过中心O作直线与椭圆交于A, B两点，0为原点，若VABF2的面积是20,求(1)m的值(2)直线AB的方程参考答案填空题:11 10,8，6，( 0，6)，12，40 1210，8，( 3,0)，(-5,0).(5,0).( 0, -4)心、325_ _ 3(0,4)，—，x13②，②14535三•解答题：2 215. (1)解：由题意，椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为当乡1(a b 0)a b由焦点坐标可得c 3，短轴长为8，即2b 8,b 4，所以a2 b2 c2 252 2椭圆的标准方程为乂 - 125 162 2(2)由题意，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为笃占1(a b 0)a b由焦点坐标可得c .5)2)2.. 2 「5)2 262 2所以b2"2 C2=9-5=4，所以椭圆的标准方程为亍七1设椭圆的方程为mx2 ny2 1 (m 0,n 0 ),因为椭圆过P(^,1)、巳(-73,-运)11m —9解得n 1 所以椭圆的标准方程为:316•解：设p点的坐标为p(x, y)，m点的坐标为(x o, y o)，由题意可知x X。

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。

作业8.6椭圆（二）一、单项选择题1．(2021·辽宁省实验中学期中)已知F 1，F 2分别为椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝()A ．6B ．7C ．5D ．82．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为()A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝03．(2021·广州市高三调研)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A(2，0)，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥PA ，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为()A ．(23，±223)B ．(253，±23)C ．(－23，±223)D ．(－253，±23)4．(2021·河北冀州中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.F 2也是抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线AF 1的倾斜角为45°，则C 的离心率为()A.5－12B.2－1C ．3－5D.2＋15．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是()A ．3B.11C ．22D.106.(2021·成都七中期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)．过F 1(－2，0)作倾斜角为60°的直线l 交上半椭圆于点A ，以F 1A ，F 1O(O 为坐标原点)为邻边作平行四边形OF 1AB ，点B 恰好也在椭圆上，如图，则b 2＝()A.3B ．23C ．43D ．12二、多项选择题7．设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m(0<m<3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF|＋|BF|为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为68．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，且短轴长为2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是()A ．椭圆方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ|＝233D ．△PF 2Q 的周长为43三、填空题与解答题9．直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP(O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________．10．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．11．(2018·浙江)已知点P(0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m(m>1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．12．已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C于A ，B 两点，求直线AB 的斜率．13．(2021·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP(O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．14．(2020·贵州毕节市三诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，直线AF 1与椭圆C 的另一个交点为E ，若∠F 1AF 2＝60°，则直线BE 的斜率为________．15．(2021·西安八校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为223，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的右焦点，且与x 轴垂直时，|AB|＝23.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．作业8.6椭圆（二）参考答案1．答案D解析本题考查椭圆焦点三角形的周长．由椭圆方程可知a ＝5，由题意可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△ABF 2的周长为4a ＝20.若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝20－12＝8.故选D.2．答案B 解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1x 12＝1，x 22＝1，两式相减得y 12－y 229＋x 12－x 22＝0，得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9x ＋y －5＝0.3．答案A解析设P(x ，y)，由OP ⊥PA ，得OP →⊥PA →，所以OP →·PA →＝(x ，y)·(2－x ，－y)＝x(2－x)－y 2＝0，与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，解得x ＝23y ＝±223，即点P 的坐标为(23，±223)，故选A.4．答案B解析由题意可知，p2＝c ，则p ＝2c.所以E ：y 2＝4cx.因为F 1(－c ，0)，直线AF 1的倾斜角为45°，所以直线AF 1的方程为：y ＝x ＋c.＝x ＋c，2＝4cx ，＝c ，＝2c ，所以A(c ，2c)．因为F 2(c ，0)，所以AF 2⊥F 1F 2.在Rt△AF 2F 1中，|AF 2|＝2c ，|AF 1|＝22c.由椭圆的定义得：|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，即22c ＋2c ＝2a ，解得ca ＝2－1.故选B.5．答案D解析设椭圆x 216＋y 24＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x ＋2y －2＝0的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝d max ＝|－42－2|5＝10.6.答案B 解析依题意可知，c ＝2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为四边形OF 1AB 为平行四边形，所以y 1＝y 2，又x 12a 2＋y 22b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以x 2＝－x 1，又F 1A ∥OB ，且直线F 1A 的倾斜角为60°，所以y 1x 1＋2＝y2x 2＝3，因为y 1＝y 2，x 2＝－x 1，所以x 1＝－1，x 2＝1，y 1＝y 2＝3，所以A(－1，3)，将其代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋3b 2＝1①，又c ＝2，所以a 2－b 2＝c 2＝4②，联立①②解得a 2＝4＋23，b 2＝2 3.故选B.7．答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF ′|＝6为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0，6)，∴△ABF 的周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可得A ，B 的坐标为(－332，32)，(332，32)，又∵F(6，0)，∴AF →·BF →＝(6＋332)(6－332)＋(32)2＝0，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，得A ，B 的坐标为(－6，1)，(6，1)，∴S △ABF ＝12×26×1＝6，D 正确，故选ACD.8．答案ACD解析由已知得，2b ＝2，即b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，∴椭圆方程为y 23＋x 2＝1，如右图，∴|PQ|＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.9．答案－12解析设P 1(x 1，y 2)，P 2(x 2，y 2)，P(x 中，y 中)，由点差法可求出y 2－y 1x 2－x 1＝－12·x 2＋x 1y 2＋y 1＝k 1，即k 1＝－12·x 中y 中，而k 2＝y 中x 中，∴k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12.10．答案3－1解析由直线y ＝3(x ＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(3＋1)c ＝2a.即e ＝23＋1＝3－1.11．答案5解析方法一：由题意知A ，B ，P 三点共线．①当AB 所在直线斜率不存在时，点B 的横坐标为0，显然此时点B 的横坐标的绝对值不是最大值．②当AB 所在直线斜率存在时，设斜率为k(k ≠0)，则直线AB 的方程y ＝kx ＋1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，y 2＝m ，kx ＋1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＋4－4m ＝0，则Δ＝(8k)2－4(1＋4k 2)(4－4m)＝64mk 2＋16(m －1)>0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8k1＋4k 2，x 1x 2＝4－4m 1＋4k 2.①又AP →＝2PB →，故x 1＝－2x 2.②将②代入①得，x 2＝8k 1＋4k 2，x 22＝2m －21＋4k 2，两式相除，整理得kx 2＝m －14.由x 22＝2m －21＋4k2得2m －2＝x 22＋4(kx 2)2＝x 22＋（m －1）24，故x 22＝2m －2－（m －1）24＝－14(m 2－10m ＋9)＝－14(m －5)2＋4.故当m ＝5时，x 22有最大值4，此时点B 横坐标的绝对值最大．方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →x 1＝2x 2，－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B3－2y 2）2＝m ，y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.12．答案2解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k(x －1)，代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2－2k(k－2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解．因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2，由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，即直线AB 的斜率为 2.13．答案(1)x 24＋y 2＝1(2)9110解析(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)b 2＝3，＋34b 2＝1，2＝4，2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<41＋x 2＝－3m ，1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，即OA →·OB →＝x 1x 2＋y1y 2＝x 1x 21＋2＋＝74x 1x 2＋32m(x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m)＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75<4.又|AB|＝1＋34·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m|1＋34＝|m|72，所以S △AOB ＝12|AB|·d ＝12×72×4－m 2×|m|72＝9110.14．答案－34解析由∠F 1AF 2＝60°，可得a ＝2c ，则b ＝a 2－c 2＝3c ，设E(m ，n)，即有m 2a 2＋n 2b 2＝1，则n 2－b 2m 2＝－b 2a 2，∵A(0，b)，B(0，－b)，∴k EA ·k EB ＝n －b m ·n ＋b m ＝n 2－b 2m 2＝－b 2a 2＝－34，又k EA ＝kAF 1＝3，∴k EB ＝－34.15．答案(1)x 29＋y 2＝1(2)不存在，理由略解析(1)＝223，＋19b 2＝1，a 2－b 2，∴a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)(点差法)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为P(x 0，y 0)，椭圆C 的右焦点为F(22，0)，直线l的斜率为k ，直线FP 的斜率为k 12＋9y 12＝9，22＋9y 22＝9，∴(x 1－x 2)·(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 29（y 1＋y 2）＝－x 09y 0，k ′＝y 0x 0－22，∴kk ′＝－x 09（x 0－22）＝－1，即x 0＝924∉(－3，3)，故不存在．。

[A.基础达标]1．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y2cos α＝1是表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫0，π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2 解析：选C.由题意可得：0＜sin α＜cos α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.2．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M到x 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3 解析：选C.因为MF 1→·MF 2→＝0，所以MF 1→⊥MF 2→，故|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝12，①|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，②， 由①②得|MF 1|·|MF 2|＝2.故点M 到x 轴的距离为|MF 1|·|MF 2||F 1F 2|＝223＝33.3．已知周长为16的△ABC 的两顶点与椭圆M 的两个焦点重合，另一个顶点恰好在椭圆M 上，则下列椭圆中符合椭圆M 条件的是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 225＋y 29＝1C.x 216＋y 29＝1D.x 29＋y 24＝1 解析：选A.不妨设B 、C 分别为椭圆M 的两个焦点，点A 在椭圆上，故|AB |＋|AC |＝2a ，|BC |＝2c ，|AB |＋|AC |＋|BC |＝2a ＋2c ＝16，即a ＋c ＝8.对于A ：a ＋c ＝8，满足要求；对于B ：a ＋c ＝5＋4＝9，排除B.对于C ：a ＋c ＝4＋7，排除C ；对于D ：a ＋c ＝3＋5，排除D.故选A.4．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且b ＝25的椭圆方程是( ) A.x 225＋y 220＝1 B.x 280＋y 285＝1 C.x 220＋y 245＝1 D.x 220＋y 225＝1 解析：选D.9x 2＋4y 2＝36的焦点坐标为(0，±5)．对于A ：焦点坐标为(±5，0)，b ＝25，排除A ；对于B ：焦点坐标为(0，±5)，b ＝45，排除B ；对于C ：焦点坐标为(0，±5)，b ＝25，排除C.选项D 符合要求．5.如图，椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．8B ．2C ．4D.32解析：选C.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，又|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8，由于N为MF 1的中点，所以ON 为△F 1MF 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.6．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|＝2，所以动点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y23＝17．已知椭圆x 25＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，当∠F 1PF 2为直角时，点P 的横坐标x 0＝________．解析：由椭圆的方程为x 25＋y 2＝1，得c ＝2，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)， PF 2→＝(2－x 0，－y 0)． 因为∠F 1PF 2为直角，所以PF 1→·PF 2→＝0，即x 20＋y 20＝4，① 又x 205＋y 20＝1，② ①②联立消去y 20得x 20＝154， 所以x 0＝±152.答案：±1528．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是________．解析：如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a ＞0是常数)． 又因为|PQ |＝|PF 2|，所以|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．答案：以F 1为圆心，2a 为半径的圆9．在△ABC 中， ∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．解：由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y23＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分除去与x 轴，y 轴的交点．10．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，(1)若PF 1⊥PF 2，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求|PF 2|的取值范围．解：(1)因为PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2为直角， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.所以⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝6. 因为∠F 1PF 2为钝角，所以cos ∠F 1PF 2<0.又因为cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－202r 1r 2<0，所以r 21＋r 22<20，所以r 1r 2>8，所以(6－r 2)r 2>8， 所以2<r 2<4.即|PF 2|的取值范围是(2，4)．[B.能力提升]1．已知点P 是椭圆x 216＋y28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM |的取值范围是( )A ．[0，3)B ．(0，22)C ．[22，3)D ．[0，4]解析：选B.延长F 1M 交PF 2的延长线于点N ，可得|OM |＝12|F 2N |＝12(|PN |－|PF 2|)＝12(2a －2|PF 2|)＝a －|PF 2|. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 2016＋y 208＝1. |PF 2|＝（x 0－22）2＋y 20＝22|x 0－42| ＝4－22x 0， 故|OM |＝a －|PF 2|＝4－(4－22x 0)＝22x 0. 由题意知x 0∈(－4，0)∪(0，4)．又因为|OM |＞0，所以|OM |∈(0，22)．2．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的焦点F (1，0)，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．3 解析：选C.如图所示，设l 与x 轴交于点A 1，过B 点作x 轴的垂线BB 1，交x 轴于点B 1，设|AF →|＝t ，则|FB →|＝t 3，得：|AA 1→|＝t 2－1，|BB 1→|＝t 2－13， |FB 1→|＝13，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，t 2－13， 代入椭圆方程得：⎝⎛⎭⎫4322＋t 2－19＝1，得：t ＝ 2.3．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，1a 2＋94b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y23＝14．已知△ABC 的顶点A (－2，0)和B (2，0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上，则sin A ＋sin B sin C＝________．解析：设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 1，b 1，c 1，a ＝4，b ＝23，c ＝a 2－b 2＝2.a 1＋b 1＝2a ＝8，c 1＝2c ＝4，由sin A ＝a 12R ，sin B ＝b 12R ，sin C ＝c 12R得sin A ＋sin B sin C ＝a 1＋b 1c 1＝84＝2.答案：25．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|＝d .(1)证明：d ，b ，a 成等比数列；(2)若M 的坐标为()2，1，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：由条件知M 点的坐标为()c ，y 0，其中|y 0|＝d ， 所以c 2a 2＋d 2b 2＝1，d ＝b ·1－c 2a 2＝b 2a ，所以d b ＝ba，即d ，b ，a 成等比数列．(2)由条件知c ＝2，d ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a ·1，a 2＝b 2＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.6．(选做题)(1)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，求P 点的轨迹方程．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．解：(1)由题意Q 坐标为(－x ，y )(x >0，y >0)，设A (x 0，0)，B (0，y 0)， 由BP →＝2P A →得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2x ，y －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32x ，y 0＝3y .由OQ →·AB →＝1得(－x ，y )·(－x 0，y 0)＝1，所以x 0x ＋y 0y ＝1，把⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y ，x 0＝32x 代入上式得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)． (2)由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点的椭圆(与x 轴的左交点除外)，又a ＝2，c ＝1，得b 2＝3，故其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．。

高三椭圆练习题含答案1. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，则第一焦点坐标为(-f,0)，第二焦点坐标为(f,0)。

设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有等式：f =√(a^2 - b^2) = a * e，其中e为离心率。

2. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，离心率定义为e = c / a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为椭圆的半长轴的长度。

根据定义，椭圆的离心率始终小于1。

3. 椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

4. 已知椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，离心率为2/3。

求该椭圆的半长轴和半短轴长度。

解答：根据离心率的定义，可知椭圆的焦点到椭圆中心的距离为a * e = 5* 2/3 = 10/3。

由于焦点到椭圆中心距离为a * e，而椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，因此椭圆的中心坐标为(0,0)。

由此可知，半长轴的长度为a = 大于等于5 + 10/3 = 25/3，半短轴的长度为b = √(a^2 - c^2) = √((25/3)^2 - (10/3)^2) = √(625/9 - 100/9) =√(525/9) = √175/3 = √(25 * 7)/3 = 5√7/3。

所以，该椭圆的半长轴长度为25/3，半短轴长度为5√7/3。

5. 已知椭圆的离心率为1/2，焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。

求该椭圆的长轴与短轴的长度之比。

解答：根据焦点的坐标和离心率的定义，可知椭圆的半长轴的长度为 a = 3 * 2 = 6, 离心率为e = c / a = 1/2，其中c为焦点到椭圆中心的距离。

由此可知，焦点到椭圆中心的距离为c = a * e = 6 * 1/2 = 3。

椭圆的中心即为原点，因此椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/b^2 = 1。

根据焦点到椭圆中心的距离c = 3，可知椭圆的焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。

小题压轴题专练9—椭圆（2）一、单选题的面积S 最大，则S 的最大值是( )解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2214y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2258440x nx n ++-=， △2226420(44)80160n n n =--=->，得n <1285nxx +=-，212445n x x -=， 22212644(44)42||||25255n n AB x x n -∴=-=-=-，当过C 点直线与动直线平行且与椭圆只有一个交点时，C 点到动直线距离取到最值（最大或最小），不妨设过C 点直线方程为y x b =+，联立2214y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2258440x bxb ++-=， 则根据△226420(44)0b b =--=，可得b =不妨取b =C 到直线AB 的距离d =，221142|5|2||55(5)2252ABC n S d AB n n n ∆-∴==-=--，n t =，t ∈，则n t =．425ABC S t t ∆∴==-令43()g t t =-+，则322()4(4g t t t t '=-+=--．∴当t ∈时，()0g t '>，当t ∈，时，()0g t '<，∴675()16max g t g ==． ABC S ∆∴=故选：D ．2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，1F ，2F，1F 为左焦点，2F 为右焦点，P 点为它们在第值为( )解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：2222111x y a b +=，2222221x y a b -=．且222221122c a b a b =-=+，1a ，2a ，1b ，20b >．设1||PF m =，2||PF n =，则12m n a +=，22m n a -=．解得：12m a a=+，12n a a =-．222(2)2cos4c m n mn π=+-，22112124(2)()()(2c a a a a a ∴=-+-，22211211144(22)()e e e ∴=-+-， 化为：1222224-++=． 令122(α-=，222)+，(22β=-，)22+． ||||||αβαβ，∴21212112222()()()2222e e -++++-+． ∴121144222e e +⨯=．当且仅当12322e e =-时取等号．故选：B ．3．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．2[2，5]3B ．5[3，1) C ．2[2，31]- D ．[31-，1)解：作出椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB =，即FA FB ⊥，故平行四边形AFBF '为矩形， ||||2AB FF c '∴==，设AF n '=，AF m =，则在直角三角形ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，① 得22mn b =，②①÷②得222m n c n m b +=，令mt n =，得2212c t t b+=，又由||||2||FB FA FB ，得[1mt n=∈，2]， 2212[2c t t b ∴+=∈，5]2，即22[1c b∈，5]4即22514c b ，得22415b c ，即222415a c c -，即224115a c -， 则22925a c ，即221529c a ，得159e 得5e则椭圆的离心率的取值范围是， 故选：A ．圆的两个焦点），则此时△12F PF 中12F PF ∠的平分线的长度为( )解：由题意，切线方程为0021y yxx b +=， 直线l 与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，01(A x ∴，0)，20(0,)b B y ，20012AOBb S x y ∆∴=，220000221yx y x b b =+∴0012x y b， AOB S b ∆∴，当且仅当002y x b ==时，(AOB O ∆为坐标原点）的面积最小， 设1||PF x =，2||PF y =，则22x y a +==，由余弦定理可得2224c x y xy =+-，243xy b ∴=，∴△12PF F 的面积213sin 23S xy b π==， ∴201322c y b ⨯=，2032b y b ∴==，6c b ∴=， 2221c b a +==，15b ∴=， 设△12F PF 中12F PF ∠的平分线的长度为m ，则121133||sin ||sin ()2626425m m PF m PF m x y ππ+=+==⨯， 23m ∴=， 故选：A ．5．已知点0(P x ，00)()y x a ≠±在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且(PO PM O ⊥为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A ．3(0,)3B ．3(3，1) C ．2(2，1) D ．2(0,)2解：由题意知(,0)M a ，点0(P x ，0)y ，则0(PO x =-，0)y -，0(PM a x =-，0)y -，PO PM ⊥，∴000()()()()0PO PM x a x y y =--+--=，∴220000y ax x =->；又0a x a -<<，代入椭圆方程中，整理得22232200()0b a x a x a b -+-=；令222322()()0f x b a x a x a b =-+-=，(,)x a a ∈-；22(0)0f a b =-<，f （a ）0=，如图所示：△3222222()4()()(a b a a b a =-⨯-⨯-=4224222244)(2)0a a b b a a c -+=-， ∴对称轴满足32202()a a b a <-<-，即32202()a a ab <<-， ∴2212ac <，∴2212c a >，2c e a ∴=>； 又01e <<，∴21e <<；则椭圆C 的离心率e 的取值范围是2(，1)． 故选：C ．6．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值范围为解：延长1AF 交椭圆于1A ，根据椭圆的对称性，则211F B A F =，1113F A A F =，设直线1AA 的方程x m y c =-，1(A x ，1)y ，12(A x ，2)y ，联立22221x my cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：222224()20b m a y b mcy b +--=，则2122222b mc y y b ma +=+，412222b y yb m a =-+， 由1113F A A F =，则12y =，解得：22y =，1y =，由2412222)(13)(b y y b m a b ==-+-，整理得：2m =>，则22(20b ->，即222(2c a >=， ∴椭圆的离心率2ce a=> ∴椭圆的离心率的取值范围(21)，方法二：利用椭圆的极坐标方程． 由12F A F B λ=，且1||1cos ep F A e θ=-，11||1cos epA F e θ=+，由112A F F B =，所以1cos 1cos ep epe e λθθ=-+，整理得1cos 1e λθλ-=+，其中[0θ∈，2)π， 由A ，B 不重合，所以0θ≠，31cos 31e e θ-=<+，解得23e >-，所以，椭圆的离心率的取值范围(23-，1)，故选：C ．7．已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆222()4b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF ∆面积的最小值大于28b ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．102(0,)3- B ．102(,1)3- C ．51(0,)3- D ．51(,1)3- 解：因为四边形OABE 为平行四边形， 所以//BE AO ，||||BE AO a ==，设E 点纵坐标为m ，代入椭圆的方程得22221x m a b+=，解得x =(a =，解得m =，当m =，可得2ax =， (2aE)，(,0)A a -， 所以直线AE的方程为2())32y x a x a a =+=+，30ay -=，所以||min PF 即为点F 到直线AE的距离d =所以||PQ =所以211()||2228PFQ minb b S PQ R ∆=⋅=⋅， 整理得2212d b >，故22222222222223()3()(1)1393()942b ac a c b e b b b a a c a e +++==>+-+-， 所以221(1)(4)2e e +>-，所以23420e e +->，所以e s <舍去）或e >所以e的取值范围为1)． 故选：B ．8．已知1F ，2F 是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是△12MF F 的内心，G 是△12MF F 的重心，记△12IF F 与△1GF M 的面积分别为1S ，2S ，则( )A ．12S S =B ．122S S =C ．1232S S =D ．1243S S =解：离心率为13，∴13c a =，则3a c =，222822b a c c c =-==，设M 的坐标为0(x ，0)y ，三角形△12MF F 的面积为S ， 则00122S c y cy =⨯⨯=，G 是△12MF F 的重心，13GO OM ∴=，即213S S =，设内切圆的半径为r ，则121212MF I MIF MF F S SS IF F S++=，则110111112()22222222cr MF MF r cr ar cy ⨯++=⨯+⨯=⨯， 即0()c a r cy +=，即04cr cy =，则04y r =，则01112244y S cr cr c S =⨯===， 即则12134143S S S S ==，即1243S S =，故选：D ．9．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A 、B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为( )A ．11(,)164B ．11[,)84C ．11(,)162D ．11[,)82解：由椭圆的方程：2212x y +=，可得左焦点(1,0)F -，()i 当直线l 的斜率为0时，则直线l 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，这时M 与原点O 重合，这时||2AB a ==||1FM c ==，所以2||1||8FM AB =， ()ii 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中垂线为x 轴，舍去，()iii 当直线的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =-，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程：22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(2)210m y my +--=， 12222m y y m +=+，12212y y m -=+，所以弦长||AB =， 212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++， 所以AB 的中点坐标22(2m -+，2)2mm+， 所以直线AB 的中垂线方程为：222()22m y m x m m -=-+++， 令0y =，可得212x m =-+，所以21(2M m -+，0)， 所以221||2m FM m +=+，所以2222||12111(1)(||81818FM m AB m m +=⋅=⋅+∈++，1)4，综上所述2||||FM AB 的取值范围1[8，1)4， 故选：B ．10．已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆22:(3)3D x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2||||MN NF +的最大值是( )A ．433+B ．343+C ．432+D ．342+解：若要满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：22222121212121212||||||(||||)4cos 12||||2||||PF PF F F PF PF c F PF PF PF PF PF +-+-∠==-222221212222111||||2||||()2b b b PF PF PF PF a =--=-+，当且仅当12||||PF PF a ==，即此时P 为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠最大，如图，不妨设P 点为短轴的上顶点时，12F PF ∠最大，设12F PF θ∠=，则23πθ， 所以3sin [2c e a θ==∈，因此当椭圆C 3时，24a =，故椭圆的标准方程为2214x y +=，连接DN ，则22(||||)3(||||)max max MN NF DN NF ++，所以只需研究2||||DN NF +的最大值即可，连接1NF ，1DF ，211||||4||||4||423DN NF DN NF DF +=+-+=+N ，D ，1F 三点共线(N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号，所以2||||DN NF +的最大值423+，故2||||MN NF +的最大值是433+． 故选：A ．二、多选题11．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，14||3PF =，214||3PF =．过点(2,1)M -的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有( )A ．椭圆的方程为22194x y +=B ．椭圆的焦距为5C ．椭圆上存在4个点Q ，使得120QF QF ⋅=D ．直线l 的方程为89250x y -+=解：由椭圆的定义知122||||6a PF PF =+=，故3a =，因为112PF F F ⊥，所以221221||||||252F F PF PF c -==，所以5c =2b =，所以椭圆的方程为22194x y +=，所以椭圆的焦距为225c =，则A 正确，B 错误，由120QF QF ⋅=知1290F QF ∠=︒，故点Q 在以12F F 为直径的圆上， 由c b >知圆与椭圆有4个交点，C 正确，依题意知点(2,1)M -为弦AB 的中点，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得12121212()()()()094x x x x y y y y -+-++=， 因为124x x +=-，122y y +=，所以121289ABy y x x -==-， 故直线l 的方程为：81(2)9y x -=+，即89250x y -+=，D 正确，故选：ACD ．若点P 是椭圆上不与1F ，2F 共线的任意点，且△12PF F的周长为16，则下列结论正确的是( )D ．点Q 是圆2225x y +=上一点，点A ，B 是C 的左、右顶点(Q 不与A ，B 重合），设直线PB ，QB 的斜率分别为1，2，若A ，P ，Q 三点共线，则122516=解：根据题意可得222542216a b a c a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，4b =，3c =，对于A：椭圆的方程为2212516x y+=，即A正确；对于3:5cB ea==，即B错误；对于C：双曲线22154x y-=的渐近线为25by x xa=±=±，联立222512516y xx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，且0x>，0y>，解得103x=，45y=，∴双曲线22154x y-=的渐近线与椭圆C 在第一象限内的交点为104(,5)33，即C正确；对于D：由题意知，(5,0)A-，(5,0)B，设1(P x，1)y，则1115yx=-，Q在圆2225x y+=上，且A，P，Q三点共线，AQ BQ∴⊥，12151AQxy+∴=-=-，∴212112221116(1)1625252525xyx x-===--，即122516=，故选项D正确．故选：ACD．13．一般地，我们把离心率为512-的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的有()D ．设焦点在x 轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A ，B ，“黄金椭圆”上动点P （异的斜率分别为1，2，则1212-=解：A 中没有指明焦点在x 轴还是y 轴，应该由两个值，所以A 不正确；B 中，由题意2c =，则c e a ==，所以1a =，则△12AF F 的周长为221)226a c +=+⨯=+，所以B 正确；C 中，由题意可得1||FC a c =+，1||F D a，||DC ，要使椭圆为“黄金椭圆”，则c a=， 所以c =，所以a c +=，所以1||F C=，||DC =，因为221||F C =，222221||||F D DC a +=+=， 所以22211||||||FC F D DC =+，所以12F DC π∠=，所以C 正确；D 中，由题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，设0(P x ，0)y ，则为20001222000y y y x a x a x a ⋅=⋅=+--，因为P 在椭圆上2200221x y a b +=，所以222002(1)x y b a=-，所以2122b a⋅=-，因为黄金椭圆”上动点P ，所以c a =，所以222c a ==222c a b =-，所以221b a -=221b a -=-=所以121-=D 正确． 故选：BCD ．(0)x =≠与C B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )B ．四边形12AF BF ，可能为矩形12D ．若P 与A 、B 两点不重合，则直线PA 和PB 斜率之积为4-解：由椭圆22:14x C y +=，得2a =，1b =，c =在△12PF F 中，由余弦定理可得，222121212||||||2||||cos60F F PF PF PF PF =+-︒， 即2212443||||c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =，∴121423F PF S=⨯=，故A 错误； 若四边形12AF BF 为矩形，则11AF BF ⊥，即110F A F B ⋅=，即()()0A B A B x c x c y y +++=，联立2214y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)4x +=，得0A B x x +=，2441A B x x =-+，22441A B y y =-+，即22244304141-+-=++，得2810-=，该方程有实根，故B 正确；由22(41)4x +=，得241x =±+，由对称性，不妨设0>，得241A +，)，2(41B -+，)，则241E +，0)，则2412BE+==，故C 正确；A PB P B PPAA PB P B Py y y y y y x x x x x x ---+===---+，BE 所在直线方程为()24y x =-，与椭圆2214x y +=联立，可得222()404x x +--=，即222224(1)4041x x ++-=+．得22114B P x x +=⋅+， 22222214()214141(1)41B P y y +=⋅-=+++++，故12PA=-，则11224PA PB⋅=-⋅=-，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题15．把半椭圆：22221(0)x y x a b+=和圆弧：222(1)(0)x y a x -+=<合成的曲线称为“曲圆”，其中点(1,0)F 是半椭圆的右焦点，1A ，2A 分别是“曲圆”与x 轴的左、右交点，1B ，2B 分别是“曲圆”与y 轴的上、下交点，已知12120B FB ∠=︒，过点F 的直线与“曲圆”交于P ，Q 两点，则半椭圆方程为 22143x y += (0)x ，△1A PQ 的周长的取值范围是 ．解：由222(1)(0)x y a x -+=<，令0y =，可得1x a =-以及1(1,0)A a --，再由椭圆的方程及题意可得2(,0)A a ，2(0,)B b ，1(0,)B b -，由12120B FB ∠=︒，可得3bc由(1,0)F 可得3b =所以2a =，所以半椭圆及圆弧的方程分别为221(0)43x y x +=，22(1)4(0)x y x -+=<，所以1212(1,0),(2,0),(0,3),3)A A B B --，可得1A 相当于椭圆的左焦点，△1A PQ 的周长为11PF PA AQ QF +++， 当P 从2A （不包括2)A 向2B 运动时，24PA PF a +==，当Q 在y 轴右侧时，124AQ QF a +==，所以这时三角形的周长为8， 当P 从2B 向1A 运动时，Q 在第四象限，则124AQ QF a +==，112224PF PA r A B a ++=+=， 这时三角形的周长小于8，当P 运动到1A 时，Q 在2A 处，不构成三角形，三角形的周长接近1226A A =， 由曲圆的对称性可得P 运动到x 轴下方时，与前面的一样， 综上所述，△1A PQ 的周长的取值范围为(6，8]．故答案为：22143x y +=；(6，8]．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为46，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，过O 作OD AB ⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，则椭圆C 的方程为 221306x y += ．解：由已知可得1AB OD⋅=-，所以11212ABOD=-=-=-， 则直线BA 的方程为：12(2)y x -=--，即25y x =-+，代入椭圆方程消去y 整理可得：2222222(4)20250b a x a x a a b +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2(B x ，2)y ，则2222121222222025,44a a a b x x x x b a b a -+==++，又由已知可得：2c =c =2224a b =+，所以2241212222049,524524a a a x x x x a a -+==--， 所以241212121221214600(25)(25)410()25524a a y y x x x x x x a --=-+-+=-++=-， 又由OA OB ⊥可得12120x x y y +=，所以242424912146000524a a a a a -+--=-，即42341200a a -+=， 解得230a =或4（舍去），所以230a =，26b =，所以椭圆的方程为221306x y +=，故答案为：221306x y +=．过点2F 作12F PF ∠的角平分线PT 的垂线，交PT 于M ，交直线1PF 于Q ，则点M 的横坐标解：设0(P x ，0)y ，1(Q x ，1)y ，因为点P 在椭圆上， 所以220014x y +=，又1(F 0)，所以10||2PF =，所以2103||||4||22PQ PF PF x ==-=-， 110||||||3QF PF PQ x =-=，分别过点P ，Q 作PG x ⊥轴于G ，QH x ⊥轴于H ，则//QH PG ， 所以1111||||||||QF HF PF GF =， 所以0100333322x x x x +=++，即00103(3)3322x x x x ++=+，有M 是2QF 的中点，所以2000000100003(3)3432433434M x x x x x x x x x x x x ++-+====-+++， 令034t x =+，故444533333333M t t t x tt--=-=+--，（当且仅当433t t=，即2t =时，取等号）即点M 的横坐标的最小值为33-． 故答案为：33-．18．已知点A ，B ，1F ，2F 分别是椭圆2221(1)x y a a+=>的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点，点M ，N 是椭圆上任意两点，若M AB ∆的面积最大值为21+，则1212||||||9||NF NF NF NF +的最大值为．解：如图所示，(,0)A a ，(0,1)B -，||AB AB k a =． 直线AB 的方程为：11y x a=-． 设与直线AB 平行且与椭圆相切于点M 的直线l 方程为：1y x m a=+、 联立22221y x m ax a y a ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，化为：2222220x amy a m a ++-=， 令△2222248()0a m a m a =--=，解得：22m =．取m =l ∴与AB之间的距离d =M AB ∴∆112=2a =． 设1||NF t =，2||NF n =． 则4t n +=．∴则1212||||11119119||9||941029()()4NF NF tn NF NF t n t n n t n t====++++++，当且仅当33t n ==时取等号． ∴1212||||||9||NF NF NF NF +的最大值为14．故答案为：14．。

高三数学专题练习30 椭圆的定义、标准方程及性质小题基础练○30一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为( ) A.12 B.32C.52 D ．2 答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则m n ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43 答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3C.3－12 D.3－1 答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1 答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF1→＋OP →)＝0(O为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32C.6－ 5D.6－52 答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．6D ．8 答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案： 5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.课时增分练○30一、选择题 1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1答案：C解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14 答案：D解析：如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. 故选D. 5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为( )A.53B.13C.23D.12 答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a3，则|PF 1|＝4a 3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或52B.32或 5C.32 D. 5 答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝c a ＝ 1－b 2a 2＝ 1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋4＝ 5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.故选A.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案：3 解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△F AB 的周长最大时，△F AB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33 解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O ，焦点在x轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.11因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k 1＋2k 2， y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4k 2(1＋2k 2)2＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。

高考数学椭圆专题复习二（后附答案）题组一：1.判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

（1）14322=+y x （2）1422=+y x （3）1422=+y x 2.求适合下列条件的椭圆标准方程：两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10。

3.方程221||12x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是____________4.在椭圆10042522=+y x 中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点位于________轴上5.如果方程1my 4x 22=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ．题组二：求适合下列条件的椭圆的标准方程1.a=4,b=1,焦点在x 轴上.2.a=4,c=15,焦点在坐标轴上题组三：1.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P 满足1021=+PF PF ，则点P 的轨迹是 ，若点P 满足621=+PF PF ，则点P 的轨迹是 .2.P 为椭圆1162522=+y x 上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为3.椭圆191622=+y x ,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF ∆的周长为题组四：1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.2.已知△ABC 的一边长6=BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程.3. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．4.与椭圆x 2+4y 2=16有相同焦点,且过点()6,5-的椭圆方程是 .5.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？。

高三数学椭圆试题1.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，其上顶点为已知是边长为的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记．若在线段上取一点，使得，当直线运动时，点在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）定直线的方程为.【解析】（1）因为是边长为2的正三角形，所以，椭圆的方程为；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出；设点的坐标为则由，解得，故点在定直线上.试题解析：（Ⅰ）因为是边长为2的正三角形，所以，所以，椭圆的方程为（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，设其方程为.并设由消去得则由得故设点的坐标为则由得解得:故点在定直线上.【考点】椭圆的性质、设而不求思想、定直线问题.2.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2B．3C．6D．8【答案】C【解析】设，则即，又因为，，又，∴，所以．3.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )A．(，+)B．(，+)C．(，+)D．(0，+)【答案】C【解析】解：椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为根据题意：,因为在等腰三角形中,,所以，所以，,所以，故选C.【考点】1、椭圆定义与简单几何性质；2、双曲线的定义与简单几何性质.4.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值.【答案】（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）详见解析.【解析】（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出因为短轴上的一个端点到的距离为，所以而所以再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消得关于的一元二次方程，由判别式为零得斜率,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点坐标在变化，所以由判别式为零得关于点坐标的一个等式：，即，而这等式对两条切线都适用，所以的斜率为方程两根，因此.当垂直时，线段为准圆的直径，为定值4.试题解析：解：（1），椭圆方程为， 2分准圆方程为. 3分（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.因为直线与椭圆相切，所以，解得， 6分所以方程为. 7分，. 8分（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直. 10分②当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由得.由化简整理得，因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直. 12分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值. 14分【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系5.在△ABC中，∠ACB＝60°，sinA∶sinB＝8∶5，则以A、B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．【答案】【解析】由题意e＝.∵sinA∶sinB＝8∶5，∴由正弦定理得a∶b＝8∶5.设a＝8k，b＝5k，∴由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c＝7k，∴e＝6.如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),半焦距为c1,则椭圆的离心率为e1=.设双曲线的标准方程为-=1(m>0,n>0),半焦距为c2,则双曲线的离心率为e2=.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a.∴===2.故选B.7.如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【答案】（1）+=1 （2）2 (x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6【解析】解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1,又e=,故b2==8,从而a2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x)2+y2=x2-2xx++8×（1-）=(x-2x)2-+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,当x=x1时|QM|2取最小值,又x1∈(-4,4),所以当x=2x时|QM|2取最小值,从而x1=2x,且|QP|2=8-.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S=|2y1||x1-x|=×2|x|==·.当x=±时,△PP′Q的面积S取得最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为()A．2B．3C．6D．8【答案】C【解析】由椭圆方程+=1可知a2=4,b2=3,∴c2=1,∴F(-1,0).设P(x0,y),则+=1.且=(x0,y), =(x+1,y),∴·=x0(x+1)+=+x+3（1-）=+x+3=(x+2)2+2∵-2≤x≤2,∴当x=2时, ·取到最大值×16+2=6.9.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c(c为半焦距),因为∠PF1F2=30°,所以|PF2|=,|PF1|=,由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=,所以e==.故选D.10.椭圆+=1的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆方程+=1可知a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=8,∴e=====.11.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A．3B．2C．2D．4【答案】C【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0).由得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,可得a2=7,∴2a=2.12.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()A．+=1B．+=1C．+y2=1D．+=1【答案】A【解析】圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.又e==,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,∴椭圆的标准方程为+=1.13.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.【答案】+=1【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.14.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.15.椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程为________．【答案】＝1【解析】当点P为椭圆的短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，此时△PF1F2的面积为S＝×8×b＝12，解得b＝3.又a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆方程为＝1.16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，两条曲线在第一象限的交点记为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是()A．0，B．，C．，＋∞D．，＋∞【答案】C【解析】根据已知|PF2|＝2c，在椭圆中根据定义2c＋10＝2a1，离心率e1＝，在双曲线中根据定义10－2c＝2a2，离心率e2＝.由于P，F1，F2三点构成三角形，所以2c＋2c>10，即c>，根据10－2c＝2a2>0可得0<c<5，故<c<5，0< －1<3，所以e1e2＝＝>17.已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．【答案】3【解析】由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，则双曲线的离心率e2＝＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，则有a＝＝＝1，b2＝＝＝，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF2|＝4，所以|PF1|＝6.因为坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点．所以|MO|＝|PF1|＝3.18.设椭圆C∶＝1(a＞b＞0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．【答案】2＋【解析】由题设知＝1，∴b2＝，∴椭圆的中心到准线的距离d＝，由d2＝＝，令a2－5＝t(t＞0)得d2＝＝t＋＋9≥9＋4(当且仅当t＝2时取等号)∴d≥2＋即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋19.已知椭圆过点,离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线、分别交直线于、两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据条件可得以下方程组:，解这个方程组求出、的值便得椭圆的方程；（Ⅱ）将用表示出来，这样就是一个只含的式子，将该式化简即可.那么如何用来表示？设，.因为A（2，0），所以直线的方程分别为：.令得：所以的中点为：由此得直线的斜率为：①再设直线的方程为，代入椭圆方程得:设，，则由韦达定理得:代入①式，便可将用表示出来，从而得到的值.试题解析：（Ⅰ）由题设:，解之得,所以椭圆的方程为 4分（Ⅱ）设直线的方程为代入椭圆方程得:设，，则由韦达定理得:直线的方程分别为：令,得：所以13分【考点】1、椭圆及其方程；2、直线的方程；3、中点坐标公式；4、根与系数的关系.20.已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆上，则此椭圆离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由椭圆的定义得：，平方得：①又∵，∴，②由余弦定理得：，③由①②③得：，，，∴，则此椭圆离心率的取值范围是，故选C．【考点】椭圆的标准方程，余弦定理的应用.21.已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．【答案】(1) ,;(2)-1.【解析】(1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简并求值.试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线 3分同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：．得椭圆． 6分（2）是定值，且定值为－1．设直线的方程为，则．联立方程组，消去得：且 , 9分由得：整理得：,． 14分【考点】1.抛物线和椭圆的方程；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）向量的坐标运算.22.已知定圆的圆心为，动圆过点，且和圆相切，动圆的圆心的轨迹记为．(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)若点为曲线上一点，试探究直线：与曲线是否存在交点? 若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线与曲线总有两个交点，.【解析】（Ⅰ）先找出圆心和半径，设出动圆的圆心和半径，因为动圆过点，且和圆相切，所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆；（Ⅱ）讨论的情况，分和两种，当时，显然有两个交点，当时，联立方程组，消解方程，看解的个数.试题解析：（Ⅰ）圆的圆心为，半径.设动圆的圆心为半径为，依题意有.由，可知点在圆内，从而圆内切于圆，故，即，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 3分设椭圆方程为. 由，，可得，.故曲线的方程为. 6分（Ⅱ）当时，由可得.此时直线的方程为：，与曲线有两个交点. 8分当时，直线的方程为：，联立方程组消去得，①由点为曲线上一点，得，可得.于是方程①可以化简为. 解得或.当代入方程可得；当代入方程可得.显然时，.综上，直线与曲线总有两个交点，. 13分【考点】1.求椭圆方程；2.判断直线与椭圆的交点.23.在椭圆（ａ＞）中，记左焦点为F,右顶点为A，短轴上方的端点为B，若角，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为椭圆左焦点为F(－c，0)，短轴上方的端点为B (0，b)，右顶点为A(a，0)，，所以BF=a=，即，所以，故选D。